Giải phương trình mũ trực tuyến có lời giải chi tiết. Giải hệ phương trình như thế nào? Các phương pháp giải hệ phương trình

Ở giai đoạn chuẩn bị cho kỳ thi cuối kỳ, học sinh THPT cần nâng cao kiến ​​thức về chủ đề “Phương trình hàm mũ”. Kinh nghiệm những năm qua cho thấy những công việc như vậy gây ra những khó khăn nhất định cho học sinh. Vì vậy, học sinh THPT dù ở trình độ chuẩn bị như thế nào cũng cần phải nắm vững lý thuyết, ghi nhớ các công thức và nắm rõ nguyên lý giải các phương trình đó. Sau khi học cách đối phó với loại vấn đề này, sinh viên tốt nghiệp có thể tin tưởng vào điểm cao khi vượt qua Kỳ thi Thống nhất về toán học.

Hãy sẵn sàng cho kỳ thi với Shkolkovo!

Khi xem lại các tài liệu đã học, nhiều học sinh gặp phải vấn đề tìm công thức cần thiết để giải phương trình. Sách giáo khoa ở trường không phải lúc nào cũng có sẵn và việc lựa chọn thông tin cần thiết về một chủ đề trên Internet mất nhiều thời gian.

Cổng giáo dục Shkolkovo mời sinh viên sử dụng nền tảng kiến ​​thức của chúng tôi. Chúng tôi đang thực hiện một phương pháp chuẩn bị hoàn toàn mới cho bài kiểm tra cuối kỳ. Khi nghiên cứu trên trang web của chúng tôi, bạn sẽ có thể xác định được những lỗ hổng kiến ​​thức và chú ý đến những nhiệm vụ gây khó khăn nhất.

Các giáo viên của Shkolkovo đã thu thập, hệ thống hóa và trình bày tất cả tài liệu cần thiết để vượt qua Kỳ thi Thống nhất thành công dưới dạng đơn giản và dễ tiếp cận nhất.

Các định nghĩa và công thức cơ bản được trình bày trong phần “Cơ sở lý thuyết”.

Để hiểu rõ hơn về tài liệu, chúng tôi khuyên bạn nên thực hành hoàn thành các bài tập. Xem xét cẩn thận các ví dụ về phương trình hàm mũ với nghiệm được trình bày trên trang này để hiểu thuật toán tính toán. Sau đó, tiến hành thực hiện các tác vụ trong phần “Thư mục”. Bạn có thể bắt đầu với những nhiệm vụ đơn giản nhất hoặc chuyển thẳng sang giải các phương trình hàm mũ phức tạp có nhiều ẩn số hoặc . Cơ sở dữ liệu các bài tập trên website của chúng tôi liên tục được bổ sung và cập nhật.

Những ví dụ có chỉ báo gây khó khăn cho bạn có thể được thêm vào “Yêu thích”. Bằng cách này, bạn có thể nhanh chóng tìm thấy chúng và thảo luận giải pháp với giáo viên của mình.

Để vượt qua thành công Kỳ thi Thống nhất, hãy học trên cổng Shkolkovo mỗi ngày!

I. rìu 2 = 0 – chưa hoàn thiện phương trình bậc hai (b=0, c=0 ). Giải: x=0. Trả lời: 0.

Giải phương trình.

2x·(x+3)=6x-x 2 .

Giải pháp. Hãy mở ngoặc bằng cách nhân 2x cho mỗi thuật ngữ trong ngoặc:

2x 2 +6x=6x-x 2 ; Chúng tôi di chuyển các điều khoản từ bên phải sang bên trái:

2x 2 +6x-6x+x 2 =0; Dưới đây là các thuật ngữ tương tự:

3x 2 =0, do đó x=0.

Trả lời: 0.

II. rìu 2 +bx=0 –chưa hoàn thiện phương trình bậc hai (c=0 ). Lời giải: x (ax+b)=0 → x 1 =0 hoặc ax+b=0 → x 2 =-b/a. Trả lời: 0; -ba.

5x 2 -26x=0.

Giải pháp. Hãy loại bỏ yếu tố chung X ngoài dấu ngoặc:

x(5x-26)=0; mỗi yếu tố có thể bằng 0:

x=0 hoặc 5x-26=0→ 5x=26, chia cả hai vế của đẳng thức cho 5 và chúng tôi nhận được: x=5,2.

Trả lời: 0; 5,2.

Ví dụ 3. 64x+4x2 =0.

Giải pháp. Hãy loại bỏ yếu tố chung 4x ngoài dấu ngoặc:

4x(16+x)=0. Do đó, chúng ta có ba thừa số, 4≠0, hoặc x=0 hoặc 16+x= 0. Từ đẳng thức cuối cùng chúng ta nhận được x=-16.

Trả lời: -16; 0.

Ví dụ 4.(x-3) 2 +5x=9.

Giải pháp.Áp dụng công thức tính bình phương hiệu của hai biểu thức, ta sẽ mở ngoặc:

x 2 -6x+9+5x=9; chuyển về dạng: x 2 -6x+9+5x-9=0; Hãy để chúng tôi trình bày các điều khoản tương tự:

x 2 -x=0; chúng tôi sẽ lấy nó ra X ngoài ngoặc, chúng ta nhận được: x (x-1)=0. Từ đây hoặc x=0 hoặc x-1=0→ x=1.

Trả lời: 0; 1.

III. rìu 2 +c=0 –chưa hoàn thiện phương trình bậc hai (b=0 ); Lời giải: ax 2 =-c → x 2 =-c/a.

Nếu như (-c/a)<0 , thì không có rễ thực sự. Nếu như (-с/а)>0

Ví dụ 5. x 2 -49=0.

Giải pháp.

x 2 = 49, từ đây x=±7. Trả lời:-7; 7.

Ví dụ 6. 9x 2 -4=0.

Giải pháp.

Thông thường, bạn cần tìm tổng các bình phương (x 1 2 +x 2 2) hoặc tổng các lập phương (x 1 3 +x 2 3) của các nghiệm của phương trình bậc hai, ít thường xuyên hơn - tổng các giá trị nghịch đảo ​​của bình phương của các căn hoặc tổng các căn bậc hai số học của các căn của một phương trình bậc hai:

Định lý Vieta có thể giúp giải quyết vấn đề này:

x 2 +px+q=0

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.

Hãy bày tỏ bởi vì P Và q:

1) tổng bình phương của các nghiệm của phương trình x 2 +px+q=0;

2) tổng lập phương của các nghiệm của phương trình x 2 +px+q=0.

Giải pháp.

1) Sự biểu lộ x 1 2 + x 2 2 thu được bằng cách bình phương cả hai vế của phương trình x 1 + x 2 = -p;

(x 1 +x 2) 2 =(-p) 2 ; mở ngoặc: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2 ; chúng tôi biểu thị số tiền cần thiết: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2x 1 x 2 =p 2 -2q. Chúng tôi có một sự bình đẳng hữu ích: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

2) Sự biểu lộ x 1 3 + x 2 3 Chúng ta hãy biểu thị tổng các khối bằng công thức:

(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p·(p 2 -2q-q)=-p·(p 2 -3q).

Một phương trình hữu ích khác: x 1 3 +x 2 3 = -p·(p 2 -3q).

Ví dụ.

3) x 2 -3x-4=0. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức x 1 2 + x 2 2.

Giải pháp.

x 1 +x 2 =-p=3, và công việc x 1 ∙x 2 =q=trong ví dụ 1) đẳng thức:

x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q. Chúng ta có -P=x 1 +x 2 = 3 → p 2 =3 2 =9; q= x 1 x 2 = -4. Sau đó x 1 2 +x 2 2 =9-2·(-4)=9+8=17.

Trả lời: x 1 2 +x 2 2 =17.

4) x 2 -2x-4=0. Tính: x 1 3 +x 2 3 .

Giải pháp.

Theo định lý Vieta, tổng các nghiệm của phương trình bậc hai rút gọn này là x 1 +x 2 =-p=2, và công việc x 1 ∙x 2 =q=-4. Hãy áp dụng những gì chúng tôi nhận được ( trong ví dụ 2) đẳng thức: x 1 3 +x 2 3 =-p·(p 2 -3q)= 2·(2 2 -3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.

Trả lời: x 1 3 +x 2 3 =32.

Câu hỏi: Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta được cho một phương trình bậc hai không rút gọn? Trả lời: nó luôn có thể được “rút gọn” bằng cách chia từng số hạng cho hệ số đầu tiên.

5) 2x 2 -5x-7=0. Không cần quyết định, hãy tính: x 1 2 + x 2 2.

Giải pháp. Chúng ta được cho một phương trình bậc hai đầy đủ. Chia cả hai vế của đẳng thức cho 2 (hệ số thứ nhất) và thu được phương trình bậc hai sau: x 2 -2,5x-3,5=0.

Theo định lý Vieta thì tổng các nghiệm bằng 2,5 ; tích của rễ bằng -3,5 .

Chúng tôi giải quyết nó theo cách tương tự như ví dụ 3) sử dụng đẳng thức: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

Trả lời: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.

6) x 2 -5x-2=0. Tìm thấy:

Chúng ta hãy biến đổi đẳng thức này và sử dụng định lý Vieta, thay thế tổng các nghiệm thông qua -P, và tích của rễ thông qua q, chúng ta có được một công thức hữu ích khác. Khi rút ra công thức, chúng tôi đã sử dụng đẳng thức 1): x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

Trong ví dụ của chúng tôi x 1 +x 2 =-p=5; x 1 ∙x 2 =q=-2. Chúng tôi thay thế các giá trị này vào công thức kết quả:

7) x 2 -13x+36=0. Tìm thấy:

Chúng ta hãy biến đổi tổng này và nhận được một công thức có thể được sử dụng để tìm tổng các căn bậc hai số học từ các nghiệm của phương trình bậc hai.

Chúng ta có x 1 +x 2 =-p=13; x 1 ∙x 2 =q=36. Chúng tôi thay thế các giá trị này vào công thức kết quả:

Khuyên bảo : luôn kiểm tra khả năng tìm nghiệm của phương trình bậc hai bằng phương pháp thích hợp, bởi vì 4 đã xem xét công thức hữu ích cho phép bạn nhanh chóng hoàn thành một nhiệm vụ, đặc biệt trong trường hợp phân biệt đối xử là một con số “bất tiện”. Trong mọi trường hợp đơn giản, hãy tìm các gốc và giải quyết chúng. Ví dụ, trong ví dụ trước, chúng ta chọn các nghiệm bằng định lý Vieta: tổng của các nghiệm phải bằng 13 , và sản phẩm của rễ 36 . Những con số này là gì? Chắc chắn, 4 và 9. Bây giờ hãy tính tổng căn bậc hai của những số này: 2+3=5. Đó là nó!

I. Định lý Vietađối với phương trình bậc hai rút gọn.

Tổng các nghiệm của phương trình bậc hai rút gọn x 2 +px+q=0 bằng hệ số thứ hai được lấy với dấu ngược lại và tích của các nghiệm bằng số hạng tự do:

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.

Tìm nghiệm của phương trình bậc hai đã cho bằng định lý Vieta.

Ví dụ 1) x 2 -x-30=0.Đây là phương trình bậc hai rút gọn ( x 2 +px+q=0), hệ số thứ hai p=-1, và thành viên miễn phí q=-30. Trước tiên, hãy đảm bảo rằng phương trình này có nghiệm và các nghiệm (nếu có) sẽ được biểu thị bằng số nguyên. Để làm điều này, chỉ cần phân biệt là bình phương hoàn hảo của một số nguyên là đủ.

Tìm người phân biệt đối xử D=b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Bây giờ, theo định lý Vieta, tổng các nghiệm phải bằng hệ số thứ hai lấy dấu ngược lại, tức là ( -P) và tích bằng số hạng tự do, tức là ( q). Sau đó:

x 1 +x 2 =1; x 1 ∙x 2 =-30. Ta cần chọn hai số sao cho tích của chúng bằng -30 , và số tiền là đơn vị. Đây là những con số -5 Và 6 . Trả lời: -5; 6.

Ví dụ 2) x 2 +6x+8=0. Ta có phương trình bậc hai rút gọn với hệ số thứ hai p=6 và thành viên miễn phí q=8. Hãy đảm bảo rằng có các nghiệm nguyên. Hãy tìm sự phân biệt D 1 D 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Phân biệt D 1 là bình phương hoàn hảo của số 1 , có nghĩa là nghiệm của phương trình này là số nguyên. Ta chọn nghiệm theo định lý Vieta: tổng các nghiệm bằng –р=-6, và tích của nghiệm bằng q=8. Đây là những con số -4 Và -2 .

Thực tế: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. Trả lời: -4; -2.

Ví dụ 3) x 2 +2x-4=0. Trong phương trình bậc hai rút gọn này, hệ số thứ hai là p=2, và thành viên miễn phí q=-4. Hãy tìm sự phân biệt D 1, vì hệ số thứ hai là số chẵn. D 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Phân biệt đối xử không phải là một bình phương hoàn hảo của số, vì vậy chúng ta làm Phần kết luận: Các nghiệm của phương trình này không phải là số nguyên và không thể tìm được bằng định lý Vieta.Điều này có nghĩa là chúng ta giải phương trình này, như thường lệ, bằng cách sử dụng các công thức (trong trường hợp này là sử dụng các công thức). Chúng tôi nhận được:

Ví dụ 4). Viết phương trình bậc hai sử dụng các nghiệm của nó nếu x 1 =-7, x 2 = 4.

Giải pháp. Phương trình cần tìm sẽ được viết dưới dạng: x 2 +px+q=0 và dựa vào định lý Vieta –p=x 1 +x 2=-7+4=-3 → p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Khi đó phương trình sẽ có dạng: x 2 +3x-28=0.

Ví dụ 5). Viết phương trình bậc hai sử dụng nghiệm của nó nếu:

II. Định lý Vieta cho một phương trình bậc hai hoàn chỉnh rìu 2 +bx+c=0.

Tổng số rễ là trừ b, chia MỘT, tích của rễ bằng Với, chia MỘT:

x 1 + x 2 = -b/a; x 1 ∙x 2 =c/a.

Ví dụ 6). Tìm tổng các nghiệm của một phương trình bậc hai 2x2 -7x-11=0.

Giải pháp.

Chúng tôi đảm bảo rằng phương trình này sẽ có nghiệm. Để làm điều này, chỉ cần tạo một biểu thức cho giá trị phân biệt và không cần tính toán nó, chỉ cần đảm bảo rằng giá trị phân biệt lớn hơn 0. D=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . Bây giờ hãy sử dụng định lý Vieta cho các phương trình bậc hai hoàn chỉnh.

x 1 +x 2 =-b:a=- (-7):2=3,5.

Ví dụ 7). Tìm tích các nghiệm của phương trình bậc hai 3x2 +8x-21=0.

Giải pháp.

Hãy tìm sự phân biệt D 1, vì hệ số thứ hai ( 8 ) là số chẵn. D 1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . Phương trình bậc hai có 2 nghiệm, theo định lý Vieta thì tích của nghiệm x 1 ∙x 2 =c:a=-21:3=-7.

I. ax 2 +bx+c=0– phương trình bậc hai tổng quát

phân biệt đối xử D=b 2 - 4ac.

Nếu như D>0, thì chúng ta có hai nghiệm thực:

Nếu như D=0, thì ta có một nghiệm đơn (hoặc hai nghiệm bằng nhau) x=-b/(2a).

Nếu D<0, то действительных корней нет.

Ví dụ 1) 2x2 +5x-3=0.

Giải pháp. Một=2; b=5; c=-3.

D=b 2 - 4ac=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 gốc thật.

4x2 +21x+5=0.

Giải pháp. Một=4; b=21; c=5.

D=b 2 - 4ac=21 2 - 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 rễ thật.

II. rìu 2 +bx+c=0 – phương trình bậc hai có dạng cụ thể dù chỉ một giây

hệ số b

Ví dụ 3) 3x 2 -10x+3=0.

Giải pháp. Một=3; b=-10 (số chẵn); c=3.

Ví dụ 4) 5x 2 -14x-3=0.

Giải pháp. Một=5; b= -14 (số chẵn); c=-3.

Ví dụ 5) 71x2 +144x+4=0.

Giải pháp. Một=71; b=144 (số chẵn); c=4.

Ví dụ 6) 9x 2 -30x+25=0.

Giải pháp. Một=9; b=-30 (số chẵn); c=25.

III. rìu 2 +bx+c=0 – phương trình bậc hai loại riêng được cung cấp: a-b+c=0.

Căn bậc nhất luôn bằng trừ một, và căn thứ hai luôn bằng trừ Với, chia MỘT:

x 1 =-1, x 2 =-c/a.

Ví dụ 7) 2x2 +9x+7=0.

Giải pháp. Một=2; b=9; c=7. Hãy kiểm tra sự bình đẳng: a-b+c=0. Chúng tôi nhận được: 2-9+7=0 .

Sau đó x 1 =-1, x 2 =-c/a=-7/2=-3,5. Trả lời: -1; -3,5.

IV. rìu 2 +bx+c=0 – phương trình bậc hai có dạng cụ thể tuân theo : a+b+c=0.

Căn thứ nhất luôn bằng một, căn thứ hai luôn bằng Với, chia MỘT:

x 1 =1, x 2 =c/a.

Ví dụ 8) 2x2 -9x+7=0.

Giải pháp. Một=2; b=-9; c=7. Hãy kiểm tra sự bình đẳng: a+b+c=0. Chúng tôi nhận được: 2-9+7=0 .

Sau đó x 1 =1, x 2 =c/a=7/2=3,5. Trả lời: 1; 3,5.

Trang 1 trên 1 1

Trong môn toán lớp 7, lần đầu tiên chúng ta gặp phương trình có hai biến, nhưng chúng chỉ được nghiên cứu trong bối cảnh hệ phương trình có hai ẩn số. Đó là lý do tại sao một loạt các bài toán trong đó các điều kiện nhất định được đưa vào các hệ số của phương trình để giới hạn chúng lại không được xem xét. Ngoài ra, các phương pháp giải các bài toán như “Giải phương trình bằng số tự nhiên hoặc số nguyên” cũng bị bỏ qua, mặc dù các bài toán loại này ngày càng được tìm thấy nhiều hơn trong tài liệu Kỳ thi Thống nhất và trong các kỳ thi tuyển sinh.

Phương trình nào sẽ được gọi là phương trình có hai biến?

Vì vậy, ví dụ, các phương trình 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, hoặc xy = 12 là các phương trình hai biến.

Xét phương trình 2x – y = 1. Nó trở thành đúng khi x = 2 và y = 3, vậy cặp giá trị biến này là nghiệm của phương trình đang xét.

Do đó, nghiệm của bất kỳ phương trình nào có hai biến là một tập hợp các cặp có thứ tự (x; y), giá trị của các biến biến phương trình này thành một đẳng thức số thực sự.

Một phương trình có hai ẩn số có thể:

MỘT) có một giải pháp. Ví dụ, phương trình x 2 + 5y 2 = 0 có nghiệm duy nhất (0; 0);

b) có nhiều giải pháp. Ví dụ: (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 có 4 nghiệm: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) không có giải pháp. Ví dụ: phương trình x 2 + y 2 + 1 = 0 không có nghiệm;

G) có vô số giải pháp. Ví dụ: x + y = 3. Nghiệm của phương trình này sẽ là các số có tổng bằng 3. Tập nghiệm của phương trình này có thể viết dưới dạng (k; 3 – k), trong đó k là số thực bất kỳ. con số.

Các phương pháp chính để giải phương trình hai biến là các phương pháp dựa trên biểu thức phân tích nhân tử, cô lập bình phương đầy đủ, sử dụng các tính chất của phương trình bậc hai, biểu thức giới hạn và phương pháp ước lượng. Phương trình thường được chuyển thành dạng mà từ đó có thể thu được hệ thống tìm các ẩn số.

Nhân tố hóa

Ví dụ 1.

Giải phương trình: xy – 2 = 2x – y.

Giải pháp.

Chúng tôi nhóm các thuật ngữ nhằm mục đích phân tích nhân tử:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Từ mỗi dấu ngoặc ta rút ra một thừa số chung:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Ta có:

y = 2, x – số thực bất kỳ hoặc x = -1, y – số thực bất kỳ.

Như vậy, câu trả lời là tất cả các cặp có dạng (x; 2), x € R và (-1; y), y € R.

Bình đẳng của các số không âm bằng 0

Ví dụ 2.

Giải phương trình: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Giải pháp.

Phân nhóm:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Bây giờ, mỗi dấu ngoặc có thể được gấp lại bằng cách sử dụng công thức hiệu bình phương.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

Tổng của hai biểu thức không âm chỉ bằng 0 nếu 3x – 2 = 0 và 2y – 3 = 0.

Điều này có nghĩa là x = 2/3 và y = 3/2.

Đáp án: (2/3; 3/2).

Phương pháp ước tính

Ví dụ 3.

Giải phương trình: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Giải pháp.

Trong mỗi khung, chúng tôi chọn một hình vuông hoàn chỉnh:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Hãy ước tính nghĩa của các biểu thức trong ngoặc đơn.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 và (y – 2) 2 + 2 ≥ 2 thì vế trái của phương trình luôn nhỏ nhất bằng 2. Có thể đẳng thức nếu:

(x + 1) 2 + 1 = 1 và (y – 2) 2 + 2 = 2, tức là x = -1, y = 2.

Trả lời: (-1; 2).

Chúng ta hãy làm quen với một phương pháp khác để giải phương trình với hai biến bậc hai. Phương pháp này bao gồm việc xử lý phương trình như bình phương đối với một biến nào đó.

Ví dụ 4.

Giải phương trình: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Giải pháp.

Giải phương trình dưới dạng phương trình bậc hai của x. Hãy tìm phân biệt:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Phương trình chỉ có nghiệm khi D = 0, tức là nếu y = 4. Ta thay giá trị của y vào phương trình ban đầu và tìm được x = 3.

Trả lời: (3; 4).

Thông thường trong các phương trình có hai ẩn số chúng chỉ ra hạn chế về các biến.

Ví dụ 5.

Giải phương trình ở dạng số nguyên: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Giải pháp.

Viết lại phương trình dưới dạng x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Vế phải của phương trình khi chia cho 5 dư 2. Do đó, x 2 không chia hết cho 5. Nhưng bình phương của a số không chia hết cho 5 thì dư 1 hoặc 4. Như vậy, đẳng thức là không thể và không có nghiệm.

Trả lời: không có rễ.

Ví dụ 6.

Giải phương trình: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Giải pháp.

Hãy đánh dấu các ô vuông hoàn chỉnh trong mỗi dấu ngoặc:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Vế trái của phương trình luôn lớn hơn hoặc bằng 3. Có thể đảm bảo đẳng thức |x| – 2 = 0 và y + 3 = 0. Vậy x = ± 2, y = -3.

Trả lời: (2; -3) và (-2; -3).

Ví dụ 7.

Với mọi cặp số nguyên âm (x;y) thỏa mãn phương trình
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, tính tổng (x + y). Vui lòng cho biết số tiền nhỏ nhất trong câu trả lời của bạn.

Giải pháp.

Hãy chọn các ô vuông hoàn chỉnh:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Vì x và y là số nguyên nên bình phương của chúng cũng là số nguyên. Chúng ta nhận được tổng bình phương của hai số nguyên bằng 37 nếu chúng ta cộng 1 + 36. Do đó:

(x – y) 2 = 36 và (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 và (y + 2) 2 = 36.

Giải các hệ này và xét x và y âm, ta tìm được nghiệm: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Trả lời: -17.

Đừng tuyệt vọng nếu bạn gặp khó khăn khi giải phương trình có hai ẩn số. Với một chút luyện tập, bạn có thể xử lý bất kỳ phương trình nào.

Vẫn còn thắc mắc? Bạn chưa biết cách giải phương trình hai biến?
Để nhận được sự giúp đỡ từ một gia sư, hãy đăng ký.
Bài học đầu tiên là miễn phí!

trang web, khi sao chép toàn bộ hoặc một phần tài liệu đều phải có liên kết đến nguồn.

Dịch vụ giải phương trình trực tuyến sẽ giúp bạn giải bất kỳ phương trình nào. Sử dụng trang web của chúng tôi, bạn sẽ không chỉ nhận được câu trả lời cho phương trình mà còn thấy được lời giải chi tiết, tức là hiển thị từng bước về quá trình đạt được kết quả. Dịch vụ của chúng tôi sẽ hữu ích cho học sinh trung học và phụ huynh của các em. Học sinh sẽ có thể chuẩn bị cho các bài kiểm tra và bài kiểm tra, kiểm tra kiến ​​​​thức của mình và phụ huynh sẽ có thể theo dõi việc giải các phương trình toán học của con mình. Khả năng giải phương trình là yêu cầu bắt buộc đối với học sinh. Dịch vụ này sẽ giúp bạn tự học và nâng cao kiến ​​thức trong lĩnh vực phương trình toán học. Với sự trợ giúp của nó, bạn có thể giải bất kỳ phương trình nào: bậc hai, bậc ba, vô tỉ, lượng giác, v.v. Lợi ích của dịch vụ trực tuyến là vô giá, vì ngoài câu trả lời đúng, bạn còn nhận được lời giải chi tiết cho từng phương trình. Lợi ích của việc giải phương trình trực tuyến. Bạn có thể giải bất kỳ phương trình trực tuyến nào trên trang web của chúng tôi hoàn toàn miễn phí. Dịch vụ này hoàn toàn tự động, bạn không phải cài đặt bất cứ thứ gì trên máy tính, bạn chỉ cần nhập dữ liệu và chương trình sẽ đưa ra giải pháp cho bạn. Bất kỳ lỗi nào trong tính toán hoặc lỗi chính tả đều được loại trừ. Với chúng tôi, việc giải bất kỳ phương trình trực tuyến nào đều rất dễ dàng, vì vậy hãy nhớ sử dụng trang web của chúng tôi để giải bất kỳ loại phương trình nào. Bạn chỉ cần nhập dữ liệu và việc tính toán sẽ được thực hiện sau vài giây. Chương trình hoạt động độc lập, không có sự can thiệp của con người và bạn nhận được câu trả lời chính xác và chi tiết. Giải phương trình ở dạng tổng quát. Trong phương trình như vậy, các hệ số biến đổi và nghiệm mong muốn được kết nối với nhau. Công suất cao nhất của một biến xác định thứ tự của phương trình đó. Dựa trên điều này, các phương pháp và định lý khác nhau được sử dụng cho các phương trình để tìm nghiệm. Giải các phương trình loại này có nghĩa là tìm các nghiệm cần thiết ở dạng tổng quát. Dịch vụ của chúng tôi cho phép bạn giải trực tuyến ngay cả phương trình đại số phức tạp nhất. Bạn có thể thu được cả một nghiệm chung cho phương trình và một nghiệm cụ thể cho các giá trị số của các hệ số mà bạn chỉ định. Để giải một phương trình đại số trên trang web, chỉ cần điền đúng hai trường: vế trái và vế phải của phương trình đã cho là đủ. Các phương trình đại số với các hệ số thay đổi có vô số nghiệm và bằng cách đặt ra các điều kiện nhất định, các phương trình từng phần được chọn từ tập nghiệm. Phương trình bậc hai. Phương trình bậc hai có dạng ax^2+bx+c=0 với a>0. Giải phương trình bậc hai liên quan đến việc tìm các giá trị của x mà tại đó đẳng thức ax^2+bx+c=0 giữ. Để làm điều này, hãy tìm giá trị phân biệt bằng công thức D=b^2-4ac. Nếu biệt thức nhỏ hơn 0 thì phương trình không có nghiệm thực (các nghiệm này lấy từ trường số phức), nếu nó bằng 0 thì phương trình có một nghiệm thực và nếu biệt thức lớn hơn 0 , thì phương trình có hai nghiệm thực, được tìm thấy theo công thức: D = -b+-sqrt/2a. Để giải phương trình bậc hai trực tuyến, bạn chỉ cần nhập các hệ số của phương trình đó (số nguyên, phân số hoặc số thập phân). Nếu trong phương trình có dấu trừ thì phải đặt dấu trừ trước số hạng tương ứng của phương trình. Bạn có thể giải phương trình bậc hai trực tuyến tùy thuộc vào tham số, tức là các biến trong hệ số của phương trình. Dịch vụ trực tuyến của chúng tôi để tìm giải pháp chung có thể đáp ứng tốt nhiệm vụ này. Các phương trình tuyến tính. Để giải phương trình tuyến tính (hoặc hệ phương trình), bốn phương pháp chính được sử dụng trong thực tế. Chúng tôi sẽ mô tả chi tiết từng phương pháp. Phương pháp thay thế. Việc giải phương trình bằng phương pháp thế đòi hỏi phải biểu diễn một biến theo các biến khác. Sau đó, biểu thức được thay thế vào các phương trình khác của hệ thống. Do đó tên của phương pháp giải, tức là thay vì một biến, biểu thức của nó được thay thế thông qua các biến còn lại. Trong thực tế, phương pháp này yêu cầu các phép tính phức tạp, mặc dù dễ hiểu nhưng việc giải phương trình như vậy trực tuyến sẽ giúp tiết kiệm thời gian và tính toán dễ dàng hơn. Bạn chỉ cần cho biết số ẩn số trong phương trình và điền dữ liệu từ phương trình tuyến tính vào, sau đó dịch vụ sẽ thực hiện phép tính. Phương pháp Gauss. Phương pháp này dựa trên các phép biến đổi đơn giản nhất của hệ để đạt được hệ tam giác tương đương. Từ đó, những ẩn số lần lượt được xác định. Trong thực tế, bạn cần phải giải phương trình như vậy trực tuyến với một mô tả chi tiết, nhờ đó bạn sẽ hiểu rõ về phương pháp Gaussian để giải hệ phương trình tuyến tính. Viết hệ phương trình tuyến tính theo đúng dạng và tính đến số ẩn số để giải chính xác hệ phương trình. Phương pháp Cramer. Phương pháp này giải hệ phương trình trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Hoạt động toán học chính ở đây là tính toán các định thức ma trận. Việc giải phương trình bằng phương pháp Cramer được thực hiện trực tuyến, bạn sẽ nhận được kết quả ngay lập tức kèm theo mô tả đầy đủ và chi tiết. Chỉ cần điền vào hệ thống các hệ số và chọn số lượng biến chưa biết là đủ. Phương pháp ma trận. Phương pháp này bao gồm việc thu thập các hệ số của ẩn số trong ma trận A, ẩn số ở cột X và các thuật ngữ tự do ở cột B. Như vậy, hệ phương trình tuyến tính được rút gọn về phương trình ma trận có dạng AxX=B. Phương trình này chỉ có nghiệm duy nhất nếu định thức của ma trận A khác 0, nếu không thì hệ không có nghiệm hoặc có vô số nghiệm. Giải phương trình bằng phương pháp ma trận bao gồm việc tìm ma trận nghịch đảo A.

Hướng dẫn. Để giải trực tuyến, bạn cần chọn loại phương trình và đặt chiều của ma trận tương ứng.

Ví dụ số 1. Bài tập. Tìm nghiệm của phương trình ma trận
Giải pháp. Hãy biểu thị:
Khi đó phương trình ma trận sẽ được viết dưới dạng: A·X·B = C.
Định thức của ma trận A bằng detA=-1
Vì A là ma trận không suy biến nên có ma trận nghịch đảo A -1 . Nhân cả hai vế của phương trình bên trái với A -1: Nhân cả hai vế của phương trình này với A -1 và bên phải với B -1: A -1 ·A·X·B·B -1 = A -1 ·C·B -1 . Vì A A -1 = B B -1 = E và E X = X E = X nên X = A -1 C B -1

Ma trận nghịch đảo A -1:
Hãy tìm ma trận nghịch đảo B -1.
Ma trận chuyển vị B T:
Ma trận nghịch đảo B -1:
Ta tìm ma trận X theo công thức: X = A -1 ·C·B -1

Trả lời:

Ví dụ số 2. Bài tập. Giải phương trình ma trận
Giải pháp. Hãy biểu thị:
Khi đó phương trình ma trận sẽ được viết dưới dạng: A·X = B.
Định thức của ma trận A là detA=0
Vì A là ma trận đơn (định thức bằng 0) nên phương trình vô nghiệm.

Ví dụ số 3. Bài tập. Tìm nghiệm của phương trình ma trận
Giải pháp. Hãy biểu thị:
Khi đó phương trình ma trận sẽ được viết dưới dạng: X A = B.
Định thức của ma trận A là detA=-60
Vì A là ma trận không suy biến nên có ma trận nghịch đảo A -1 . Hãy nhân cả hai vế của phương trình bên phải với A -1: X A A -1 = B A -1, từ đó ta tìm thấy X = B A -1
Hãy tìm ma trận nghịch đảo A -1 .
Ma trận chuyển vị A T:
Ma trận nghịch đảo A -1:
Ta tìm ma trận X theo công thức: X = B A -1


Trả lời: >