የ Gaussian ዘዴ ማብራሪያን በመጠቀም ማትሪክስ መፍታት። የጋውሲያን ዘዴ (የማይታወቁትን በቅደም ተከተል ማስወገድ)

1. የመስመር አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት

1.1 የመስመር አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት ጽንሰ-ሀሳብ

የእኩልታዎች ስርዓት ከበርካታ ተለዋዋጮች አንፃር በርካታ እኩልታዎችን በአንድ ጊዜ መፈጸምን ያካተተ ሁኔታ ነው። m እኩልታዎችን እና n ያልታወቁትን የያዘ የመስመራዊ አልጀብራ እኩልታዎች (ከዚህ በኋላ SLAE እየተባለ የሚጠራው) የቅጹ ስርዓት ይባላል፡-

ቁጥሮች a ij ሲስተም ኮፊፊሸንስ በሚባሉበት፣ ቁጥሮች b i ነፃ ቃላት ይባላሉ፣ አ ijእና b i(i=1፣…፣ m፣ b=1፣…፣ n) የተወሰኑ የታወቁ ቁጥሮችን ይወክላሉ፣ እና x 1፣…፣ x n- ያልታወቀ. በ Coefficients ስያሜ ውስጥ አ ijየመጀመሪያው ኢንዴክስ i የእኩልታውን ቁጥር ያመለክታል፣ ሁለተኛው j ደግሞ ይህ ቅንጅት የሚቆምበት ያልታወቀ ቁጥር ነው። ቁጥሮች x n መገኘት አለባቸው. እንዲህ ዓይነቱን ስርዓት በተመጣጣኝ ማትሪክስ መልክ ለመፃፍ ምቹ ነው- AX=B.እዚህ A ዋናው ማትሪክስ ተብሎ የሚጠራው የስርዓት ቅንጅቶች ማትሪክስ ነው;

በማትሪክስ A ውስጥ ብዙ ዓምዶች ስላሉት በማትሪክስ X (n ቁርጥራጮች) ውስጥ ያሉ ረድፎች ስላሉት የማትሪክስ ምርት A*X ይገለጻል።

የስርዓቱ የተራዘመ ማትሪክስ የስርዓቱ ማትሪክስ A ነው፣ በነጻ ቃላት አምድ ተጨምሯል።

1.2 የመስመር አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት መፍታት

የእኩልታዎች ስርዓት መፍትሄው የታዘዙ የቁጥሮች ስብስብ (የተለዋዋጮች እሴቶች) ነው ፣ በተለዋዋጮች ምትክ ሲተካ ፣ እያንዳንዱ የስርዓቱ እኩልታዎች ወደ እውነተኛ እኩልነት ይቀየራሉ።

የስርአት መፍትሄው ሁሉም የስርአቱ እኩልታዎች እውነተኛ እኩልነት በሚሆኑበት ጊዜ የማያውቁት x1=c1፣ x2=c2፣…፣ xn=cn እሴቶች ናቸው። ለስርዓቱ ማንኛውም መፍትሄ እንደ አምድ ማትሪክስ ሊፃፍ ይችላል

የእኩልታዎች ስርዓት ቢያንስ አንድ መፍትሄ ካለው ወጥነት ያለው እና ምንም መፍትሄ ከሌለው ወጥነት የለውም።

ወጥነት ያለው ሥርዓት አንድ መፍትሔ ካለው፣ ከአንድ በላይ መፍትሔ ካለው ደግሞ ላልተወሰነ ጊዜ እንደሚሰጥ ይነገራል። በኋለኛው ሁኔታ, እያንዳንዱ የራሱ መፍትሄዎች የስርዓቱ ልዩ መፍትሄ ተብሎ ይጠራል. የሁሉም ልዩ መፍትሄዎች ስብስብ አጠቃላይ መፍትሄ ተብሎ ይጠራል.

ስርዓትን መፍታት ማለት ተኳሃኝ ወይም የማይጣጣም መሆኑን ማወቅ ማለት ነው. ስርዓቱ ወጥነት ያለው ከሆነ, አጠቃላይ መፍትሄውን ያግኙ.

ሁለት ስርዓቶች አንድ አይነት አጠቃላይ መፍትሄ ካላቸው እኩል (ተመጣጣኝ) ይባላሉ. በሌላ አገላለጽ ስርዓቶች እያንዳንዳቸው የአንደኛው መፍትሄ የሌላኛው መፍትሄ ከሆነ እና በተቃራኒው እኩል ናቸው.

ትራንስፎርሜሽን፣ አተገባበሩ ስርዓቱን ከዋናው ጋር አቻ ወደሆነ አዲስ ስርዓት የሚቀይር፣ ተመጣጣኝ ወይም ተመጣጣኝ ለውጥ ይባላል። ተመጣጣኝ ትራንስፎርሜሽን ምሳሌዎች የሚከተሉትን ለውጦች ያካትታሉ፡ የአንድ ሥርዓት ሁለት እኩልታዎችን መለዋወጥ፣ ሁለት ያልታወቁትን ከሁሉም እኩልታዎች መጋጠሚያዎች ጋር መለዋወጥ፣ የስርአቱን የየትኛውም እኩልታ ሁለቱንም ጎኖች በዜሮ ባልሆነ ቁጥር ማባዛት።

ሁሉም ነፃ ቃላቶች ከዜሮ ጋር እኩል ከሆኑ የመስመር እኩልታዎች ስርዓት ተመሳሳይነት ይባላል።

x1=x2=x3=…=xn=0 የስርአቱ መፍትሄ ስለሆነ አንድ አይነት ስርዓት ሁሌም ወጥነት ያለው ነው። ይህ መፍትሔ ዜሮ ወይም ጥቃቅን ይባላል.

2. Gaussian የማስወገድ ዘዴ

2.1 የ Gaussian ማስወገጃ ዘዴ ምንነት

የመስመራዊ አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓቶችን ለመፍታት ክላሲካል ዘዴ የማያውቁትን በቅደም ተከተል የማስወገድ ዘዴ ነው - Gaussian ዘዴ(የ Gaussian ማስወገጃ ዘዴ ተብሎም ይጠራል). ይህ ተለዋዋጮችን በቅደም ተከተል የማስወገድ ዘዴ ነው ፣ የአንደኛ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም ፣ የእኩልታዎች ስርዓት ወደ አንድ ደረጃ (ወይም ባለሶስት ጎን) ቅርፅ ተመጣጣኝ ስርዓት ሲቀንስ ፣ ሁሉም ሌሎች ተለዋዋጮች ከመጨረሻው ጀምሮ በቅደም ተከተል ይገኛሉ (በ ቁጥር) ተለዋዋጮች.

የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም የመፍትሄው ሂደት ሁለት ደረጃዎችን ያካትታል: ወደ ፊት እና ወደ ኋላ ይንቀሳቀሳል.

1. ቀጥተኛ ምት.

በመጀመሪያ ደረጃ, ቀጥተኛ እንቅስቃሴ ተብሎ የሚጠራው ይከናወናል, በአንደኛ ደረጃ ትራንስፎርሜሽን ረድፎች ላይ, ስርዓቱ ወደ ደረጃ ወይም የሶስት ማዕዘን ቅርጽ ሲሰጥ ወይም ስርዓቱ የማይጣጣም መሆኑን ሲረጋገጥ. ማለትም ከማትሪክስ የመጀመሪያ አምድ ንጥረ ነገሮች መካከል ዜሮ ያልሆነን ይምረጡ ፣ ረድፎቹን በማስተካከል ወደ ላይኛው ቦታ ያንቀሳቅሱት እና ውጤቱን ከቀሪዎቹ ረድፎች እንደገና በማስተካከል በእሴት በማባዛት። የእነዚህ ረድፎች የመጀመሪያ ንጥረ ነገር ከመጀመሪያው ረድፍ የመጀመሪያ ክፍል ጋር እኩል ነው ፣ ስለሆነም ከሱ በታች ያለው አምድ ዜሮ ያደርገዋል።

የተጠቆሙት ለውጦች ከተጠናቀቁ በኋላ, የመጀመሪያው ረድፍ እና የመጀመሪያው አምድ በአእምሮ ተሻግረው የዜሮ መጠን ያለው ማትሪክስ እስኪቀር ድረስ ይቀጥላሉ. በማንኛውም ድግግሞሽ ከመጀመሪያው ዓምድ አካላት መካከል ምንም ዜሮ ያልሆነ አካል ከሌለ ወደ ቀጣዩ አምድ ይሂዱ እና ተመሳሳይ ክዋኔን ያድርጉ።

በመጀመሪያው ደረጃ (ቀጥታ ስትሮክ), ስርዓቱ ወደ ደረጃ (በተለይ, ሦስት ማዕዘን) ቅርፅ ይቀንሳል.

ከታች ያለው ስርዓት ደረጃ በደረጃ ቅርጽ አለው.

Coefficients aii የስርዓቱ ዋና (መሪ) አካላት ይባላሉ።

ከመጀመሪያው (የስርዓቱ የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም) በሁሉም እኩልታዎች ውስጥ የማይታወቅ x1ን በማስወገድ ስርዓቱን እንለውጠው። ይህንን ለማድረግ የመጀመሪያውን እኩልታ ሁለቱንም ጎኖች በ

ይህን ሂደት በመቀጠል, ተመጣጣኝ ስርዓት እናገኛለን:

ስለዚህ ፣ በመጀመሪያ ደረጃ ፣ በ 11 የመጀመሪያ መሪ አካል ስር ያሉ ሁሉም ኮፊሸንቶች ይደመሰሳሉ

ስርዓቱን ወደ ደረጃ በደረጃ በመቀነስ ሂደት ውስጥ, ዜሮ እኩልታዎች ብቅ ካሉ, ማለትም. የቅጹ 0=0 እኩልነት፣ ተጥለዋል። የቅጹ እኩልነት ከታየ

ይህ የጋውስ ዘዴ ቀጥተኛ እድገት የሚያበቃበት ነው.

2. የተገላቢጦሽ ምት.

በሁለተኛው እርከን, የተገላቢጦሽ እንቅስቃሴ ተብሎ የሚጠራው ይከናወናል, ዋናው ነገር ሁሉንም የሚመነጩ መሰረታዊ ተለዋዋጮችን ከመሠረታዊ ባልሆኑ አንፃር መግለጽ እና መሠረታዊ የመፍትሄ ስርዓት መገንባት ወይም, ሁሉም ተለዋዋጮች መሠረታዊ ከሆኑ. ከዚያም ለመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት ብቸኛው መፍትሄ በቁጥር ይግለጹ።

ይህ አሰራር የሚጀምረው በመጨረሻው እኩልታ ነው, ከእሱ ጋር የሚዛመደው መሰረታዊ ተለዋዋጭ ይገለጻል (በውስጡ አንድ ብቻ ነው) እና ወደ ቀድሞው እኩልታዎች ተተክቷል, እና ወደ "ደረጃዎች" መሄድ.

እያንዳንዱ መስመር በትክክል ከአንድ የመሠረት ተለዋዋጭ ጋር ይዛመዳል, ስለዚህ በእያንዳንዱ ደረጃ ከመጨረሻው (ከላይ) በስተቀር, ሁኔታው ​​የመጨረሻውን መስመር ሁኔታ በትክክል ይደግማል.

ማሳሰቢያ: በተግባር, ከስርአቱ ጋር ለመስራት የበለጠ አመቺ ነው, ነገር ግን በተዘረጋው ማትሪክስ, በመደዳዎቹ ላይ ያሉትን ሁሉንም የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን በማከናወን. የቁጥር a11 ከ 1 ጋር እኩል እንዲሆን ምቹ ነው (እኩልታዎችን እንደገና ማስተካከል ወይም ሁለቱንም የእኩልቱን ጎኖች በ a11 መከፋፈል)።

2.2 የጋውሲያን ዘዴን በመጠቀም SLAEዎችን የመፍታት ምሳሌዎች

በዚህ ክፍል, ሶስት የተለያዩ ምሳሌዎችን በመጠቀም, የ Gaussian ዘዴ SLAEs እንዴት እንደሚፈታ እናሳያለን.

ምሳሌ 1. 3 ኛ ትዕዛዝ SLAE ን ይፍቱ።

ውህደቶቹን በ ላይ ዳግም እናስጀምር

Gauss ዘዴየመስመራዊ አልጀብራዊ እኩልታዎችን (SLAEs) ስርዓቶችን ለመፍታት ፍጹም ነው። ከሌሎች ዘዴዎች ጋር ሲወዳደር በርካታ ጥቅሞች አሉት-

• በመጀመሪያ ፣ ወጥነት እንዲኖረው በመጀመሪያ የእኩልታዎችን ስርዓት መመርመር አያስፈልግም ።
• በሁለተኛ ደረጃ ፣ የ Gauss ዘዴ የስሌቶች ብዛት ከማይታወቁ ተለዋዋጮች ብዛት ጋር የሚገጣጠምባቸውን እና የስርዓቱ ዋና ማትሪክስ ነጠላ ያልሆኑትን SLAEዎችን ብቻ ሳይሆን የእኩልታዎች ብዛት የማይገጣጠሙባቸውን የእኩልታዎች ስርዓቶችንም መፍታት ይችላል። የማይታወቁ ተለዋዋጮች ብዛት ወይም የዋናው ማትሪክስ መወሰኛ ከዜሮ ጋር እኩል ነው ፣
• በሶስተኛ ደረጃ, የጋውሲያን ዘዴ በአንጻራዊ ሁኔታ አነስተኛ ቁጥር ያላቸው የሂሳብ ስራዎች ወደ ውጤት ይመራል.

የጽሁፉ አጭር መግለጫ።

በመጀመሪያ, አስፈላጊ የሆኑትን ፍቺዎች እንሰጣለን እና ማስታወሻዎችን እናስተዋውቃለን.

በመቀጠል የጋውስ ዘዴን ስልተ ቀመር ለቀላል ጉዳይ እንገልፃለን ፣ ማለትም ፣ ለመስመራዊ አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓቶች ፣ የማይታወቁ ተለዋዋጮች ብዛት እና የስርዓቱ ዋና ማትሪክስ የሚወስንበት የእኩልታዎች ብዛት። ከዜሮ ጋር እኩል አይደለም. እንደነዚህ ያሉትን የእኩልታዎች ስርዓቶች ሲፈቱ, የጋውስ ዘዴ ምንነት በግልጽ ይታያል, ይህም የማይታወቁ ተለዋዋጭዎችን በቅደም ተከተል ማስወገድ ነው. ስለዚህ የጋውሲያን ዘዴ የማይታወቁትን በቅደም ተከተል የማስወገድ ዘዴ ተብሎም ይጠራል. የበርካታ ምሳሌዎች ዝርዝር መፍትሄዎችን እናሳያለን.

በማጠቃለያው መፍትሄውን በ Gauss ዘዴ የመስመር ላይ የአልጀብራ እኩልታዎች ስርዓቶችን እንመለከታለን, ዋናው ማትሪክስ አራት ማዕዘን ወይም ነጠላ ነው. ለእንደዚህ አይነት ስርዓቶች መፍትሄው አንዳንድ ባህሪያት አሉት, ምሳሌዎችን በመጠቀም በዝርዝር እንመረምራለን.

የገጽ አሰሳ።

መሰረታዊ ትርጓሜዎች እና መግለጫዎች።

n ያልታወቁ (p ከ n ጋር እኩል ሊሆን ይችላል) ያለው የፒ መስመራዊ እኩልታዎች ስርዓትን አስቡበት፡

የማይታወቁ ተለዋዋጮች ያሉበት፣ ቁጥሮች (እውነተኛ ወይም ውስብስብ) ናቸው፣ እና ነጻ ቃላት ናቸው።

ከሆነ , ከዚያም የመስመር አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት ይባላል ተመሳሳይነት ያለውአለበለዚያ - የተለያዩ.

ሁሉም የስርዓቱ እኩልታዎች መለያ የሚሆኑባቸው ያልታወቁ ተለዋዋጮች የእሴቶች ስብስብ ተጠርቷል። የ SLAU ውሳኔ.

ለመስመር አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት ቢያንስ አንድ መፍትሄ ካለ፣ ከዚያም ይባላል መገጣጠሚያአለበለዚያ - የጋራ ያልሆነ.

SLAE ልዩ መፍትሄ ካለው, ከዚያም ይባላል የተወሰነ. ከአንድ በላይ መፍትሄዎች ካሉ, ስርዓቱ ይባላል እርግጠኛ ያልሆነ.

ስርአቱ የተፃፈ ነው ይላሉ የማስተባበር ቅጽ, ቅጹ ካለው
.

ይህ ስርዓት በ ማትሪክስ ቅጽመዝገቦች የት ቅጽ አላቸው - የ SLAE ዋና ማትሪክስ ፣ - የማይታወቁ ተለዋዋጮች አምድ ማትሪክስ ፣ - የነፃ ቃላት ማትሪክስ።

ማትሪክስ-አምድ የነጻ ቃላትን ወደ ማትሪክስ A እንደ (n+1) ኛ አምድ ከጨመርን የሚባሉትን እናገኛለን የተራዘመ ማትሪክስየመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶች. በተለምዶ ፣ የተራዘመ ማትሪክስ በ T ፊደል ይገለጻል ፣ እና የነፃ ቃላት አምድ ከቀሪዎቹ አምዶች በአቀባዊ መስመር ይለያል ፣ ማለትም ፣

ካሬ ማትሪክስ A ይባላል የተበላሸ፣ የሚወስነው ዜሮ ከሆነ። ከሆነ ፣ ከዚያ ማትሪክስ A ይባላል ያልተበላሸ.

የሚከተለው ነጥብ መታወቅ አለበት.

በመስመራዊ የአልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት የሚከተሉትን ድርጊቶች ከፈጸሙ

• ሁለት እኩልታዎችን መለዋወጥ,
• የማንኛውንም እኩልታ ሁለቱንም ጎኖች በዘፈቀደ እና ዜሮ ባልሆነ እውነተኛ (ወይም ውስብስብ) ቁጥር ​​ማባዛት፣ k፣
• በማንኛዉም እኩልታ በሁለቱም በኩል የሌላ እኩልታ ተጓዳኝ ክፍሎችን በዘፈቀደ ቁጥር ተባዝቶ ይጨምሩ k

ከዚያ ተመሳሳይ መፍትሄዎች ያሉት (ወይም ልክ እንደ መጀመሪያው, ምንም መፍትሄዎች የሉትም) ተመጣጣኝ ስርዓት ያገኛሉ.

ለተራዘመ ማትሪክስ የመስመራዊ አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት፣ እነዚህ ድርጊቶች የአንደኛ ደረጃ ለውጦችን ከረድፎች ጋር ማከናወን ማለት ነው፡-

• ሁለት መስመሮችን መለዋወጥ,
• የማንኛውንም ረድፍ ማትሪክስ ቲ ሁሉንም ንጥረ ነገሮች በዜሮ ባልሆነ ቁጥር ማባዛት ፣ k ፣
• በማትሪክስ የማንኛውንም ረድፍ አካላት ላይ የሌላ ረድፍ ተጓዳኝ አካላትን በመጨመር በዘፈቀደ ቁጥር ተባዝቷል።

አሁን ወደ Gauss ዘዴ መግለጫ መቀጠል እንችላለን.

የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም የእኩልታዎች ብዛት ከማይታወቁ ቁጥሮች ጋር እኩል የሆነ እና የስርዓቱ ዋና ማትሪክስ ነጠላ ያልሆኑትን የመስመራዊ አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓቶችን መፍታት።

የእኩልታዎች ስርዓት መፍትሄ የማግኘት ተግባር ቢሰጠን በትምህርት ቤት ምን እናደርጋለን? .

አንዳንዶች ያንን ያደርጉ ነበር።

የመጀመርያውን የግራ ጎን በሁለተኛው እኩልታ በግራ በኩል እና በቀኝ በኩል በቀኝ በኩል በማከል ያልታወቁትን ተለዋዋጭ x 2 እና x 3 ማስወገድ እና ወዲያውኑ x 1 ን ማግኘት እንደሚችሉ ልብ ይበሉ:

የተገኘውን እሴት x 1 = 1 ወደ ስርዓቱ የመጀመሪያ እና ሶስተኛ እኩልታዎች እንተካለን።

የስርዓቱን የሶስተኛውን እኩልዮሽ ሁለቱንም ጎኖች በ -1 ብናባዛው እና ወደ መጀመሪያው እኩልዮሽ ተጓዳኝ ክፍሎች ካከልን የማናውቀውን x 3ን እናስወግዳለን እና x 2 ን እናገኛለን፡-

የተገኘውን እሴት x 2 = 2 ወደ ሶስተኛው እኩልነት በመተካት የቀረውን ያልታወቀ ተለዋዋጭ x 3 እናገኛለን፡

ሌሎች በተለየ መንገድ ያደርጉ ነበር።

ከማይታወቅ ተለዋዋጭ x 1 አንጻር የስርዓቱን የመጀመሪያ እኩልታ እንፈታ እና ይህንን ተለዋዋጭ ከነሱ ለማግለል የተገኘውን አገላለጽ በሁለተኛው እና በሦስተኛው የስርዓቱ እኩልታዎች እንተካው።

አሁን የስርዓቱን ሁለተኛ እኩልታ ለ x 2 እንፍታ እና የተገኘውን ውጤት በሶስተኛው እኩልታ በመተካት የማይታወቅ ተለዋዋጭ x 2ን ከእሱ ለማስወገድ:

ከስርአቱ ሶስተኛው እኩልታ x 3 =3 መሆኑ ግልጽ ነው። ከሁለተኛው እኩልታ እናገኛለን እና ከመጀመሪያው እኩልታ እናገኛለን።

የተለመዱ መፍትሄዎች, አይደል?

እዚህ ላይ በጣም የሚያስደስት ነገር ሁለተኛው የመፍትሄ ዘዴ በመሠረቱ የማይታወቁትን በቅደም ተከተል የማስወገድ ዘዴ ነው, ማለትም, የጋውስ ዘዴ. ያልታወቁ ተለዋዋጮችን ስንገልጽ (በመጀመሪያ x 1፣ በሚቀጥለው ደረጃ x 2) እና በቀሩት የስርአቱ እኩልታዎች ውስጥ ስንተካ፣ በዚህም አስቀርናቸው። በመጨረሻው እኩልታ ውስጥ አንድ የማይታወቅ ተለዋዋጭ ብቻ እስኪቀር ድረስ ማስወገድን አደረግን። የማይታወቁ ነገሮችን በቅደም ተከተል የማስወገድ ሂደት ይባላል ቀጥተኛ Gaussian ዘዴ. ወደፊት የሚደረገውን እንቅስቃሴ ከጨረስን በኋላ, በመጨረሻው እኩልታ ውስጥ የተገኘውን የማይታወቅ ተለዋዋጭ ለማስላት እድሉ አለን. በእሱ እርዳታ የሚቀጥለውን የማይታወቅ ተለዋዋጭ ከፔነልቲሜት እኩልነት ወዘተ እናገኛለን. ከመጨረሻው እኩልታ ወደ መጀመሪያው በሚንቀሳቀስበት ጊዜ የማይታወቁ ተለዋዋጮችን በቅደም ተከተል የማግኘት ሂደት ይባላል የ Gaussian ዘዴ ተገላቢጦሽ.

በመጀመሪያው እኩልታ x 1ን በ x 2 እና x 3 ስንገልፅ እና የተገኘውን አገላለጽ በሁለተኛውና በሦስተኛው እኩልታ ስንተካ የሚከተሉት ድርጊቶች ወደ ተመሳሳይ ውጤት እንደሚመሩ ልብ ሊባል ይገባል።

በእርግጥ እንዲህ ዓይነቱ አሰራር የማይታወቅ ተለዋዋጭ x 1ን ከስርዓቱ ሁለተኛ እና ሶስተኛ እኩልታዎች ለማስወገድ ያስችላል።

የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም የማይታወቁ ተለዋዋጮችን የማስወገድ ልዩነቶች የስርዓቱ እኩልታዎች አንዳንድ ተለዋዋጮችን በማይይዙበት ጊዜ ይነሳሉ ።

ለምሳሌ, በ SLAU በመጀመሪያው እኩልታ ውስጥ ምንም የማይታወቅ ተለዋዋጭ x 1 የለም (በሌላ አነጋገር በፊቱ ያለው ቅንጅት ዜሮ ነው)። ስለዚህ, ይህንን የማይታወቅ ተለዋዋጭ ከቀሪዎቹ እኩልታዎች ለማስወገድ የስርዓቱን የመጀመሪያ እኩልታ ለ x 1 መፍታት አንችልም. ከዚህ ሁኔታ መውጫው የስርዓቱን እኩልታዎች መለዋወጥ ነው. የዋና ማትሪክስ ወሳኙ ከዜሮ የሚለዩትን የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶችን እያሰብን ስለሆነ ሁል ጊዜ የምንፈልገው ተለዋዋጭ የሚገኝበት እኩልታ አለ እና ይህንን እኩልነት ወደምንፈልገው ቦታ ማስተካከል እንችላለን። እንደ ምሳሌአችን, የስርዓቱን የመጀመሪያ እና ሁለተኛ እኩልታዎች መለዋወጥ በቂ ነው , ከዚያም የመጀመሪያውን እኩልታ ለ x 1 መፍታት እና ከተቀሩት የስርዓቱ እኩልታዎች ውስጥ ማስወጣት ይችላሉ (ምንም እንኳን x 1 በሁለተኛው እኩልነት ውስጥ ባይኖርም).

ዋናውን ነገር እንደምታገኝ ተስፋ እናደርጋለን።

እንግለጽ የ Gaussian ዘዴ አልጎሪዝም.

የ n መስመራዊ አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓትን ከ n ያልታወቁ የቅጹ ተለዋዋጮች ጋር መፍታት ያስፈልገናል እንበል እና የዋናው ማትሪክስ ወሳኙ ከዜሮ የተለየ ይሁን።

የስርዓቱን እኩልታዎች በማስተካከል ሁልጊዜ ይህንን ማሳካት ስለምንችል እንደዚያ እንገምታለን። የማይታወቀውን ተለዋዋጭ x 1ን ከሁሉም የስርዓቱ እኩልታዎች እናስወግድ፣ ከሁለተኛው ጀምሮ። ይህንን ለማድረግ ወደ ሁለተኛው የስርዓት እኩልታ የመጀመሪያውን እንጨምራለን ፣ ተባዝተናል ፣ ወደ ሦስተኛው እኩልታ የመጀመሪያውን እንጨምራለን ፣ ተባዝተናል ፣ እና በ nth እኩልነት የመጀመሪያውን እንጨምራለን ፣ ተባዝተናል። ከእንደዚህ አይነት ለውጦች በኋላ የእኩልታዎች ስርዓት ቅጹን ይወስዳል

የት, እና .

በስርአቱ የመጀመሪያ እኩልታ ላይ x 1 ን ከሌሎች ያልታወቁ ተለዋዋጮች አንፃር ብንገልጽ እና የተገኘውን አገላለጽ ወደ ሌሎች እኩልታዎች ብተካው ተመሳሳይ ውጤት ላይ በደረስን ነበር። ስለዚህ, ተለዋዋጭ x 1 ከሁለተኛው ጀምሮ ከሁሉም እኩልታዎች የተገለለ ነው.

በመቀጠል, በተመሳሳይ መንገድ እንቀጥላለን, ነገር ግን በስዕሉ ላይ ምልክት የተደረገበት የውጤት ስርዓት አካል ብቻ ነው

ይህንን ለማድረግ ወደ ስርዓቱ ሶስተኛው እኩልዮሽ ሁለተኛውን እንጨምራለን, በማባዛት, ወደ አራተኛው እኩልታ ሁለተኛውን እንጨምራለን, በማባዛት እና በመሳሰሉት, ወደ nth እኩልነት ሁለተኛውን እንጨምራለን, በማባዛት. ከእንደዚህ አይነት ለውጦች በኋላ የእኩልታዎች ስርዓት ቅጹን ይወስዳል

የት, እና . ስለዚህ, ተለዋዋጭ x 2 ከሦስተኛው ጀምሮ ከሁሉም እኩልታዎች የተገለለ ነው.

በመቀጠል, የማይታወቅ x 3ን ለማጥፋት እንቀጥላለን, በሥዕሉ ላይ ምልክት ከተደረገበት የስርዓቱ ክፍል ጋር ተመሳሳይ ነገር እናደርጋለን.

ስለዚህ ስርዓቱ ቅጹን እስኪያገኝ ድረስ የ Gaussian ዘዴን ቀጥተኛ እድገት እንቀጥላለን

ከዚህ ቅጽበት ጀምሮ የጋውሲያን ዘዴ ተቃራኒውን እንጀምራለን-x nን ከመጨረሻው እኩልታ እናሰላለን ፣ የተገኘውን የ x n እሴት በመጠቀም x n-1ን ከፔነልቲሜት እኩልታ እናገኛለን ፣ እና በመቀጠል ፣ ከመጀመሪያው እኩልታ x 1 እናገኛለን። .

ምሳሌን በመጠቀም አልጎሪዝምን እንመልከት።

ለምሳሌ.

Gauss ዘዴ.

መፍትሄ።

የቁጥር መጠን a 11 ከዜሮ የተለየ ነው, ስለዚህ ወደ Gaussian ዘዴ ቀጥተኛ እድገት እንቀጥል, ማለትም, ከመጀመሪያው በስተቀር ሁሉንም የስርዓቱ እኩልታዎች የማይታወቅ x 1 ለማግለል. ይህንን ለማድረግ በሁለተኛው ፣ በሦስተኛው እና በአራተኛው እኩልታዎች ግራ እና ቀኝ በኩል ፣ በቅደም ተከተል በማባዛት የመጀመሪያውን እኩልታ ግራ እና ቀኝ ይጨምሩ። እና:

የማይታወቅ ተለዋዋጭ x 1 ተወግዷል, ወደ x 2 ን ለማስወገድ እንሂድ. በሦስተኛው እና በአራተኛው የስርዓቱ እኩልታዎች ግራ እና ቀኝ በኩል የሁለተኛውን እኩልታ ግራ እና ቀኝ እንጨምራለን ፣ በቅደም ተከተል ተባዝተናል። እና :

የ Gaussian ዘዴን ወደፊት ለመጨረስ, የማይታወቅ ተለዋዋጭ x 3ን ከስርዓቱ የመጨረሻ እኩልነት ማስወገድ አለብን. ወደ አራተኛው እኩልዮሽ ግራ እና ቀኝ ጎን እንጨምር፣ በቅደም ተከተል፣ የሶስተኛው እኩልታ ግራ እና ቀኝ ጎን፣ ተባዝተን እንጨምር። :

የ Gaussian ዘዴን መቀልበስ መጀመር ይችላሉ.

ካለፈው እኩልታ አለን። ,
ከሦስተኛው እኩልታ እናገኛለን
ከሁለተኛው,
ከመጀመሪያው.

ለመፈተሽ ፣ የተገኙትን የማይታወቁ ተለዋዋጮች እሴቶችን ወደ መጀመሪያው የእኩልታዎች ስርዓት መተካት ይችላሉ። ሁሉም እኩልታዎች ወደ ማንነቶች ይለወጣሉ, ይህም የጋውስ ዘዴን በመጠቀም መፍትሄው በትክክል እንደተገኘ ያመለክታል.

መልስ፡-

አሁን በማትሪክስ ማስታወሻ ውስጥ የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም ለተመሳሳይ ምሳሌ መፍትሄ እንሰጣለን.

ለምሳሌ.

የእኩልታዎች ስርዓት መፍትሄ ይፈልጉ Gauss ዘዴ.

መፍትሄ።

የስርዓቱ የተራዘመ ማትሪክስ ቅጹ አለው . በእያንዳንዱ አምድ አናት ላይ ከማትሪክስ አካላት ጋር የሚዛመዱ የማይታወቁ ተለዋዋጮች አሉ።

የጋውሲያን ዘዴ ቀጥተኛ አቀራረብ የአንደኛ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም የስርዓቱን የተራዘመ ማትሪክስ ወደ ትራፔዞይድ ቅርጽ መቀነስ ያካትታል. ይህ ሂደት ከስርአቱ ጋር በቅንጅት መልክ ካደረግነው የማይታወቁ ተለዋዋጮችን ከማስወገድ ጋር ተመሳሳይ ነው። አሁን ይህንን ታያለህ።

በመጀመሪያው ዓምድ ውስጥ ያሉት ሁሉም ንጥረ ነገሮች ከሁለተኛው ጀምሮ ዜሮ እንዲሆኑ ማትሪክስ እንለውጠው። ይህንን ለማድረግ በሁለተኛው ፣ በሦስተኛው እና በአራተኛው መስመር አካላት ላይ የመጀመሪያውን መስመር ተጓዳኝ አካላትን እንጨምራለን ፣ እና በዚህ መሠረት፡-

በመቀጠልም የተገኘውን ማትሪክስ እንለውጣለን ስለዚህም በሁለተኛው ዓምድ ውስጥ ሁሉም ንጥረ ነገሮች ከሦስተኛው ጀምሮ ዜሮ ይሆናሉ. ይህ የማይታወቅ ተለዋዋጭ x 2ን ከማስወገድ ጋር ይዛመዳል። ይህንን ለማድረግ በሦስተኛው እና በአራተኛው ረድፎች አካላት ላይ የማትሪክስ የመጀመሪያ ረድፍ ተጓዳኝ አካላትን እንጨምራለን ፣ በቅደም ተከተል ተባዝተዋል። እና :

የማይታወቅ ተለዋዋጭ x 3ን ከስርዓቱ የመጨረሻ እኩልታ ለማግለል ይቀራል። ይህንን ለማድረግ በመጨረሻው ረድፍ ላይ ባለው የውጤት ማትሪክስ አካላት ላይ የፔነልቲሜትሩን ተጓዳኝ አካላት እንጨምራለን ፣ ተባዝተናል። :

ይህ ማትሪክስ ከመስመር እኩልታዎች ስርዓት ጋር እንደሚዛመድ ልብ ሊባል ይገባል።

ወደ ፊት ከተጓዘ በኋላ ቀደም ብሎ የተገኘው.

ወደ ኋላ ለመመለስ ጊዜው ነው. በማትሪክስ ማስታወሻ ውስጥ የጋውሲያን ዘዴ ተገላቢጦሽ የተገኘውን ማትሪክስ በስዕሉ ላይ ምልክት የተደረገበት ማትሪክስ መለወጥን ያካትታል ።

ሰያፍ ሆነ፣ ማለትም ቅጹን ወሰደ

አንዳንድ ቁጥሮች የት አሉ።

እነዚህ ለውጦች ከጋውሲያን ዘዴ ወደፊት ከሚደረጉ ለውጦች ጋር ተመሳሳይ ናቸው, ነገር ግን ከመጀመሪያው መስመር ወደ መጨረሻው ሳይሆን ከመጨረሻው ወደ መጀመሪያው ይከናወናሉ.

ወደ ሦስተኛው ፣ ሁለተኛ እና የመጀመሪያ መስመር አካላት የመጨረሻው መስመር ተጓዳኝ አካላትን ይጨምሩ ፣ ተባዝተዋል። ፣ ላይ እና ላይ በቅደም ተከተል፡-

አሁን ወደ ሁለተኛው እና የመጀመሪያው መስመር አካላት የሶስተኛው መስመር ተጓዳኝ አካላትን በቅደም ተከተል በማባዛት እንጨምር።

በተገላቢጦሽ Gaussian ዘዴ የመጨረሻ ደረጃ ላይ ፣ በመጀመሪያው ረድፍ አካላት ላይ የሁለተኛው ረድፍ ተጓዳኝ አካላትን እንጨምራለን ፣ ተባዝቷል-

የተገኘው ማትሪክስ ከእኩልታዎች ስርዓት ጋር ይዛመዳል ያልታወቁ ተለዋዋጮችን ከምንገኝበት።

መልስ፡-

ማስታወሻ.

የመስመራዊ አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓቶችን ለመፍታት የጋውስ ዘዴን ሲጠቀሙ ግምታዊ ስሌቶች መወገድ አለባቸው ፣ ይህ ወደ ሙሉ በሙሉ የተሳሳተ ውጤት ሊያመራ ይችላል። አስርዮሽ እንዳይጠጋ እንመክራለን። ከአስርዮሽ ክፍልፋዮች ወደ ተራ ክፍልፋዮች መሄድ ይሻላል።

ለምሳሌ.

የ Gauss ዘዴን በመጠቀም የሶስት እኩልታዎች ስርዓት ይፍቱ .

መፍትሄ።

በዚህ ምሳሌ ውስጥ የማይታወቁ ተለዋዋጮች የተለየ ስያሜ እንዳላቸው ልብ ይበሉ (x 1, x 2, x 3, ግን x, y, z). ወደ ተራ ክፍልፋዮች እንሂድ፡-

ከስርአቱ ሁለተኛ እና ሶስተኛ እኩልታዎች ያልታወቀ xን እናስወግድ፡-

በውጤቱ ስርዓት ውስጥ ፣ የማይታወቅ ተለዋዋጭ y በሁለተኛው እኩልታ ውስጥ የለም ፣ ግን y በሶስተኛው እኩልታ ውስጥ አለ ፣ ስለሆነም ፣ ሁለተኛውን እና ሶስተኛውን እኩልታዎች እንለዋወጥ።

ይህ የጋውስ ዘዴን ቀጥተኛ እድገት ያጠናቅቃል (ይህ የማይታወቅ ተለዋዋጭ ከአሁን በኋላ ስለሌለ yን ከሦስተኛው እኩልታ ማስወጣት አያስፈልግም)።

የተገላቢጦሹን እንቅስቃሴ እንጀምር።

ከመጨረሻው እኩልታ እናገኛለን ,
ከቅጣቱ


እኛ ካለን የመጀመሪያው እኩልታ

መልስ፡-

X = 10, y = 5, z = -20.

የጋውስ ዘዴን በመጠቀም የእኩልታዎች ብዛት ከማያውቁት ቁጥር ጋር የማይገጣጠም ወይም የስርዓቱ ዋና ማትሪክስ ነጠላ የሆነባቸው የመስመራዊ አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓቶችን መፍታት።

የእኩልታዎች ስርዓቶች፣ ዋናው ማትሪክስ አራት ማዕዘን ወይም ካሬ ነጠላ፣ ምንም መፍትሄዎች ላይኖረው ይችላል፣ አንድ ነጠላ መፍትሄ ሊኖረው ይችላል፣ ወይም ያልተገደበ የመፍትሄዎች ቁጥር ሊኖረው ይችላል።

አሁን የ Gauss ዘዴ የመስመር እኩልታዎች ስርዓትን ተኳሃኝነት ወይም አለመጣጣም ለመመስረት እንዴት እንደሚፈቅድ እንረዳለን ፣ እና በተመጣጣኝ ሁኔታ ውስጥ ሁሉንም መፍትሄዎች (ወይም አንድ ነጠላ መፍትሄ) እንወስናለን።

በመርህ ደረጃ, እንደዚህ ባሉ SLAEዎች ውስጥ የማይታወቁ ተለዋዋጭዎችን የማስወገድ ሂደት ተመሳሳይ ነው. ሆኖም ግን, ሊፈጠሩ ስለሚችሉ አንዳንድ ሁኔታዎች በዝርዝር መሄድ ጠቃሚ ነው.

ወደ በጣም አስፈላጊው ደረጃ እንሂድ.

እንግዲያው የጋውስ ዘዴን ወደፊት እድገት ካጠናቀቀ በኋላ የመስመራዊ አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት ቅጹን እንደወሰደ እናስብ። እና አንድም እኩልታ አልተቀነሰም (በዚህ ሁኔታ ስርዓቱ ተኳሃኝ አይደለም ብለን እንወስዳለን). ምክንያታዊ ጥያቄ ይነሳል: "ከዚህ በኋላ ምን ማድረግ አለበት"?

በሁሉም የውጤት ስርዓት እኩልታዎች ውስጥ መጀመሪያ የሚመጡትን ያልታወቁ ተለዋዋጮችን እንፃፍ።

በእኛ ምሳሌ እነዚህ x 1፣ x 4 እና x 5 ናቸው። በስርዓቱ እኩልታዎች በግራ በኩል የተፃፉትን ያልታወቁ ተለዋዋጮች x 1 ፣ x 4 እና x 5 የያዙትን ቃላት ብቻ እንተዋለን ፣ የተቀሩት ቃላቶች በተቃራኒው ምልክት ወደ እኩልታዎች በቀኝ በኩል ይተላለፋሉ።

በቀኝ በኩል የሚገኙትን ያልታወቁ ተለዋዋጮች በዘፈቀደ እሴቶች እኩል እንስጥ - የዘፈቀደ ቁጥሮች;

ከዚህ በኋላ፣ የኛ SLAE እኩልታዎች የቀኝ እጅ ቁጥሮችን ይይዛሉ እና ወደ ጋውሲያን ዘዴ ወደ ተቃራኒው መቀጠል እንችላለን።

ካለን የስርአቱ የመጨረሻ እኩልታ፣ ከምናገኘው ከፔንልቲሜት እኩልታ፣ ከመጀመሪያው እኩልታ እናገኛለን።

የእኩልታዎች ስርዓት መፍትሄው የማይታወቁ ተለዋዋጮች እሴቶች ስብስብ ነው።

ቁጥሮች መስጠት የተለያዩ እሴቶች, ለእኩልታዎች ስርዓት የተለያዩ መፍትሄዎችን እናገኛለን. ይኸውም፣ የእኛ የእኩልታዎች ስርዓት ማለቂያ የሌላቸው ብዙ መፍትሄዎች አሉት።

መልስ፡-

የት - የዘፈቀደ ቁጥሮች.

ቁሳቁሱን ለማጠናከር, የበርካታ ተጨማሪ ምሳሌዎችን መፍትሄዎች በዝርዝር እንመረምራለን.

ለምሳሌ.

አንድ ወጥ የሆነ የመስመር አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓትን ይፍቱ Gauss ዘዴ.

መፍትሄ።

የማይታወቀውን ተለዋዋጭ x ከስርዓቱ ሁለተኛ እና ሶስተኛ እኩልታዎች እናስወግድ። ይህንን ለማድረግ በሁለተኛው እኩልዮሽ ግራ እና ቀኝ በኩል በቅደም ተከተል የመጀመሪያውን እኩልታ ግራ እና ቀኝ እንጨምራለን, ተባዝቷል, እና በሶስተኛው እኩልታ ግራ እና ቀኝ በኩል በግራ እና በቀኝ እንጨምራለን. የመጀመሪያው እኩልታ ቀኝ ጎኖች፣ ተባዝተው፡-

አሁን yን ከሚመጣው የእኩልታዎች ስርዓት ከሦስተኛው እኩልታ እናስወግድ፡-

የተገኘው SLAE ከስርዓቱ ጋር እኩል ነው። .

በስርአቱ እኩልታዎች በግራ በኩል ያልታወቁ ተለዋዋጮች x እና y የያዙ ቃላትን ብቻ እንተወዋለን እና ከማይታወቅ ተለዋዋጭ z ጋር ቃላቶቹን ወደ ቀኝ በኩል እናንቀሳቅሳለን።

የመስመር አልጀብራ ስርዓቶችን ለመፍታት ከአለም አቀፍ እና ውጤታማ ዘዴዎች አንዱ ነው። Gaussian ዘዴ ያልታወቁትን በቅደም ተከተል ማስወገድን ያካትታል.

ሁለቱ ስርዓቶች እንደሚጠሩ አስታውስ ተመጣጣኝ (ተመጣጣኝ) የመፍትሄዎቻቸው ስብስቦች ከተገጣጠሙ. በሌላ አገላለጽ ስርዓቶች እያንዳንዳቸው የአንደኛው መፍትሄ የሌላኛው መፍትሄ ከሆነ እና በተቃራኒው እኩል ናቸው. ተመጣጣኝ ስርዓቶች ሲገኙ ያገኛሉ የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦች የስርዓቱ እኩልታዎች;

የእኩልቱን ሁለቱንም ጎኖች ከዜሮ ሌላ ቁጥር ማባዛት;

ወደ አንዳንድ እኩልዮሽ መጨመር የሌላ እኩልታ ተጓዳኝ ክፍሎችን, ከዜሮ በተለየ ቁጥር ተባዝቷል;

ሁለት እኩልታዎችን እንደገና ማስተካከል.

የእኩልታዎች ስርዓት ይስጥ

የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም ይህንን ስርዓት የመፍታት ሂደት ሁለት ደረጃዎችን ያካትታል. በመጀመሪያ ደረጃ (በቀጥታ እንቅስቃሴ) ስርዓቱ, የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም, ወደ ይቀንሳል ደረጃ በደረጃ , ወይም ሦስት ማዕዘን ቅጽ, እና በሁለተኛው ደረጃ (በተቃራኒው) ከመጨረሻው ተለዋዋጭ ቁጥር ጀምሮ, ከተፈጠረው የእርምጃ ስርዓት የማይታወቁትን መወሰን, ቅደም ተከተል አለ.

የዚህን ሥርዓት ቅንጅት እንውሰድ
, አለበለዚያ በሲስተሙ ውስጥ የመጀመሪያው ረድፍ ከሌላው ረድፍ ጋር ሊለዋወጥ ስለሚችል ኮፊቲፊሽኑ በ ከዜሮ የተለየ ነበር።

ያልታወቀን በማስወገድ ስርዓቱን እንለውጥ ከመጀመሪያው በስተቀር በሁሉም እኩልታዎች. ይህንን ለማድረግ የመጀመሪያውን እኩልታ ሁለቱንም ጎኖች በ እና ከስርአቱ ሁለተኛ እኩልታ ጋር ቃል በቃል ይጨምሩ። ከዚያም የመጀመሪያውን እኩልታ ሁለቱንም ጎኖች በ እና ወደ ስርዓቱ ሶስተኛው እኩልታ ይጨምሩ. ይህንን ሂደት በመቀጠል, ተመጣጣኝ ስርዓቱን እናገኛለን

እዚህ
- ከመጀመሪያው እርምጃ በኋላ የተገኙ አዲስ የቁጥር እና የነፃ ቃላት እሴቶች።

በተመሳሳይም ዋናውን አካል ግምት ውስጥ ማስገባት
, ያልታወቀን አስወግድ ከመጀመሪያው እና ከሁለተኛው በስተቀር ከሁሉም የስርዓቱ እኩልታዎች. በተቻለ መጠን ይህንን ሂደት እንቀጥል, እና በውጤቱም ደረጃ በደረጃ ስርዓት እናገኛለን

,

የት ,
,…,- የስርዓቱ ዋና ዋና ነገሮች
.

ስርዓቱን ወደ ደረጃ በደረጃ በመቀነስ ሂደት ውስጥ, እኩልታዎች ይታያሉ, ማለትም, የቅጹ እኩልነት.
, በማንኛውም የቁጥሮች ስብስብ ስለረኩ ይጣላሉ
. ከሆነ
የቅጹ እኩልታ ምንም መፍትሄዎች ከሌለው, ይህ የስርዓቱን አለመጣጣም ያሳያል.

በተገላቢጦሽ ስትሮክ ወቅት፣ የመጀመሪያው ያልታወቀ ከተለወጠው የእርምጃ ስርዓት የመጨረሻ እኩልታ ይገለጻል። በሌሎች ያልታወቁ ነገሮች ሁሉ
የሚባሉት ፍርይ . ከዚያም ተለዋዋጭ አገላለጽ ከስርአቱ የመጨረሻ እኩልታ ወደ ፔነልቲሜት እኩልነት ተተካ እና ተለዋዋጭው ከሱ ይገለጻል.
. ተለዋዋጮች በተመሳሳይ መንገድ በቅደም ተከተል ይገለጻሉ።
. ተለዋዋጮች
, በነፃ ተለዋዋጮች ይገለጻል, ይባላሉ መሰረታዊ (ጥገኛ)። ውጤቱም የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት አጠቃላይ መፍትሄ ነው.

ማግኘት የግል መፍትሄ ስርዓቶች, ነጻ ያልታወቀ
በአጠቃላይ መፍትሄ የዘፈቀደ ዋጋዎች ተመድበዋል እና የተለዋዋጮች እሴቶች ይሰላሉ
.

የስርአቱ እኩልታዎችን ሳይሆን የስርዓቱን የተራዘመ ማትሪክስ ለአንደኛ ደረጃ ለውጦች መገዛት በቴክኒካዊ የበለጠ ምቹ ነው።

.

የ Gauss ዘዴ አራት ማዕዘን ብቻ ሳይሆን የማይታወቁ ቁጥር ያላቸውን አራት ማዕዘን ቅርጾችን ለመፍታት የሚያስችል ሁለንተናዊ ዘዴ ነው.
ከእኩልታዎች ብዛት ጋር እኩል አይደለም
.

የዚህ ዘዴ ጠቀሜታ የተራዘመውን ማትሪክስ ከሰጠን በመፍታት ሂደት ውስጥ ስርዓቱን ለተኳሃኝነት በተመሳሳይ ጊዜ እንመረምራለን ።
ደረጃ በደረጃ ቅፅ, የማትሪክስ ደረጃዎችን ለመወሰን ቀላል ነው እና የተራዘመ ማትሪክስ
እና ያመልክቱ Kronecker-Capelli ቲዎረም .

ምሳሌ 2.1የ Gauss ዘዴን በመጠቀም ስርዓቱን ይፍቱ

መፍትሄ. የእኩልታዎች ብዛት
እና ያልታወቁት ቁጥር
.

በማትሪክስ በስተቀኝ ያለውን ቅንጅቶችን በመመደብ የስርዓቱን የተራዘመ ማትሪክስ እንፍጠር ነጻ አባላት አምድ .

ማትሪክስ እናቅርብ ወደ ሦስት ማዕዘን እይታ; ይህንን ለማድረግ የአንደኛ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም በዋናው ዲያግናል ላይ ከሚገኙት ንጥረ ነገሮች በታች "0" እናገኛለን.

በመጀመሪያው ዓምድ ሁለተኛ ቦታ ላይ "0" ለማግኘት, የመጀመሪያውን ረድፍ በ (-1) በማባዛት እና በሁለተኛው ረድፍ ላይ ይጨምሩ.

ይህንን ለውጥ እንደ ቁጥር (-1) ከመጀመሪያው መስመር ጋር እንጽፋለን እና ከመጀመሪያው መስመር ወደ ሁለተኛው መስመር በሚሄድ ቀስት እናሳያለን.

በመጀመሪያው ረድፍ በሦስተኛው ቦታ ላይ "0" ለማግኘት የመጀመሪያውን ረድፍ በ (-3) በማባዛት ወደ ሦስተኛው ረድፍ መጨመር; ከመጀመሪያው መስመር ወደ ሦስተኛው የሚሄድ ቀስት በመጠቀም ይህን ድርጊት እናሳየው.

.

በውጤቱ ማትሪክስ ውስጥ, በማትሪክስ ሰንሰለት ውስጥ ሁለተኛ የተጻፈው, በሦስተኛው ቦታ ላይ በሁለተኛው አምድ ውስጥ "0" እናገኛለን. ይህንን ለማድረግ, ሁለተኛውን መስመር በ (-4) በማባዛት ወደ ሶስተኛው ጨምረናል. በውጤቱ ማትሪክስ ውስጥ ሁለተኛውን ረድፍ በ (-1) ማባዛት እና ሶስተኛውን በ (-8) ይከፋፍሉት. ሁሉም የዚህ ማትሪክስ አካላት ከዲያግናል አካላት በታች ያሉት ዜሮዎች ናቸው።

ምክንያቱም , ስርዓቱ የጋራ እና የተገለጸ ነው.

ከመጨረሻው ማትሪክስ ጋር የሚዛመደው የእኩልታ ስርዓት ሶስት ማዕዘን ቅርፅ አለው፡

ከመጨረሻው (ሦስተኛው) እኩልነት
. በሁለተኛው እኩልታ ውስጥ ይተኩ እና ያግኙ
.

እንተኩ
እና
ወደ መጀመሪያው እኩልታ, እናገኛለን


.

የ Gaussian ዘዴ ፍቺ እና መግለጫ

የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶችን ለመፍታት የጋውሲያን ትራንስፎርሜሽን ዘዴ (የማይታወቁ ተለዋዋጮችን በቅደም ተከተል የማስወገድ ዘዴ ተብሎም ይታወቃል) የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶችን ለመፍታት የአልጀብራ እኩልታዎች (SLAE) ስርዓቶችን ለመፍታት ክላሲካል ዘዴ ነው። ይህ ክላሲካል ዘዴ እንደ ተገላቢጦሽ ማትሪክስ ማግኘት እና የማትሪክስ ደረጃን ለመወሰን ያሉ ችግሮችን ለመፍታትም ይጠቅማል።

የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም ትራንስፎርሜሽን ትናንሽ (አንደኛ ደረጃ) ተከታታይ ለውጦችን ወደ መስመራዊ አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት ማድረግን ያካትታል ፣ ይህም ተለዋዋጮችን ከላይ ወደ ታች እንዲወገድ ከዋናው ጋር እኩል የሆነ አዲስ የሶስት ማዕዘን ቅርፅ ስርዓት ይመሰረታል ። አንድ.

ፍቺ 1

አጠቃላይ ሂደቱ ከላይ ወደ ታች ስለሚሰራ ይህ የመፍትሄው ክፍል ወደፊት የጋኡሲያን መፍትሄ ተብሎ ይጠራል.

የመጀመሪያውን የእኩልታዎች ስርዓት ወደ ሶስት ማዕዘን ከተቀነሰ በኋላ ሁሉም የስርዓቱ ተለዋዋጮች ከታች ወደ ላይ ይገኛሉ (ማለትም የተገኙት የመጀመሪያዎቹ ተለዋዋጮች በትክክል በስርዓቱ የመጨረሻ መስመሮች ወይም ማትሪክስ ላይ ይገኛሉ)። ይህ የመፍትሄው ክፍል የ Gaussian መፍትሄ ተገላቢጦሽ በመባልም ይታወቃል። የእሱ ስልተ ቀመር እንደሚከተለው ነው-በመጀመሪያ ፣ ከስርዓተ ቀመር ወይም ማትሪክስ ስር በጣም ቅርብ የሆኑት ተለዋዋጮች ይሰላሉ ፣ ከዚያ የተገኙት ዋጋዎች ከፍ ብለው ይተካሉ እና ሌላ ተለዋዋጭ ተገኝቷል ፣ ወዘተ.

የ Gaussian ዘዴ ስልተ ቀመር መግለጫ

የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም የእኩልታዎች ስርዓት አጠቃላይ መፍትሄ የእርምጃዎች ቅደም ተከተል በ SLAE ላይ ተመስርተው ወደፊት እና ወደ ኋላ ግርፋት ወደ ማትሪክስ መተግበርን ያካትታል። የመጀመርያው የእኩልታዎች ስርዓት የሚከተለው ቅጽ እንዲኖረው ያድርጉ።

$\ጀማሪ (ጉዳይ) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \መጨረሻ(ጉዳይ)$

የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም SLAEዎችን ለመፍታት የመጀመሪያውን የእኩልታዎች ስርዓት በማትሪክስ መልክ መጻፍ አስፈላጊ ነው-

$A = \መጀመሪያ(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\\vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \መጨረሻ(pmatrix)$, $b =\ጀማሪ(pmatrix) b_1 \\\vdots \\ b_m \መጨረሻ(pmatrix)$

ማትሪክስ $A$ ዋና ማትሪክስ ተብሎ ይጠራል እና በቅደም ተከተል የተፃፉትን ተለዋዋጮች ኮፊሸን ይወክላል እና $ b$ የነፃ ቃላቶቹ አምድ ይባላል። የነጻ ቃላት አምድ ባለው ባር በኩል የተጻፈው ማትሪክስ $A$ የተራዘመ ማትሪክስ ይባላል፡-

$A = \መጀመሪያ(ድርድር)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\\vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \መጨረሻ(ድርድር)$

አሁን በእኩልታዎች ስርዓት ላይ የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም (ወይም በማትሪክስ ላይ ፣ ይህ የበለጠ ምቹ ስለሆነ) ወደሚከተለው ቅፅ ማምጣት አስፈላጊ ነው ።

$\ጀማሪ (ጉዳይ) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2))። ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ 0 = β_m \መጨረሻ(ጉዳይ)$ (1)

ከተቀየረው የእኩልታ (1) ስሌት የተገኘ ማትሪክስ የደረጃ ማትሪክስ ተብሎ ይጠራል።

$A = \መጀመሪያ(ድርድር)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \መጨረሻ(ድርድር)$

እነዚህ ማትሪክስ በሚከተሉት የባህሪዎች ስብስብ ተለይተው ይታወቃሉ።

1. ሁሉም ዜሮ መስመሮቹ ከዜሮ ያልሆኑ መስመሮች በኋላ ይመጣሉ
2. አንዳንድ የረድፎች ማትሪክስ ቁጥር $k$ ዜሮ ካልሆነ፣ የቀደመው ተመሳሳይ ማትሪክስ ቁጥር $k$ ካለው ከዚህ ያነሰ ዜሮዎች አሉት።

የእርምጃውን ማትሪክስ ካገኙ በኋላ የተገኙትን ተለዋዋጮች በቀሪዎቹ እኩልታዎች (ከመጨረሻው ጀምሮ) መተካት እና የተለዋዋጮቹን የቀሩትን እሴቶች ማግኘት ያስፈልጋል።

የ Gaussian ዘዴን ሲጠቀሙ መሰረታዊ ህጎች እና የተፈቀዱ ለውጦች

ይህንን ዘዴ በመጠቀም ማትሪክስ ወይም የእኩልታዎች ስርዓት ሲቀልሉ የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን ብቻ መጠቀም ያስፈልግዎታል።

እንደዚህ ያሉ ለውጦች ትርጉሙን ሳይቀይሩ በማትሪክስ ወይም በስርዓተ ቀመር ላይ ሊተገበሩ የሚችሉ ስራዎች ተደርገው ይወሰዳሉ፡

• የበርካታ መስመሮችን ማስተካከል,
• ከማትሪክስ አንድ ረድፍ ሌላ ረድፍ መጨመር ወይም መቀነስ ፣
• ሕብረቁምፊን ከዜሮ ጋር በማይመሳሰል ቋሚ ማባዛት ወይም ማካፈል፣
• ስርዓቱን በማስላት እና በማቃለል ሂደት ውስጥ የተገኘው ዜሮዎችን ብቻ የያዘ መስመር መሰረዝ አለበት ፣
• እንዲሁም ለቀጣይ ስሌቶች የበለጠ ተስማሚ እና ምቹ የሆኑ ኮርፖሬሽኖች ያሉት ብቸኛውን ለስርዓቱ መምረጥ, አላስፈላጊ የሆኑትን ተመጣጣኝ መስመሮችን ማስወገድ ያስፈልግዎታል.

ሁሉም የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦች ሊቀለበሱ ይችላሉ።

ቀላል የጋውስ ትራንስፎርሜሽን ዘዴን በመጠቀም መስመራዊ እኩልታዎችን በሚፈታበት ጊዜ የሚነሱትን ሶስት ዋና ጉዳዮች ትንተና

ስርዓቶችን ለመፍታት የ Gaussian ዘዴን ሲጠቀሙ የሚከሰቱ ሶስት ጉዳዮች አሉ-

1. ስርዓቱ ወጥነት ከሌለው, ማለትም ምንም መፍትሄዎች የሉትም
2. የእኩልታዎች ስርዓት አንድ መፍትሄ እና ልዩ ነው, እና በማትሪክስ ውስጥ ዜሮ ያልሆኑ ረድፎች እና አምዶች ቁጥር እርስ በርስ እኩል ነው.
3. ስርዓቱ የተወሰነ ቁጥር ወይም ስብስብ አለው ሊሆኑ የሚችሉ መፍትሄዎች , እና በውስጡ ያሉት የረድፎች ብዛት ከአምዶች ቁጥር ያነሰ ነው.

ወጥነት ከሌለው ስርዓት ጋር የመፍትሄው ውጤት

ለዚህ አማራጭ፣ የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም የማትሪክስ እኩልታን በሚፈታበት ጊዜ፣ እኩልነትን ለማሟላት የማይቻልበትን መስመር ማግኘት የተለመደ ነው። ስለዚህ, ቢያንስ አንድ ትክክል ያልሆነ እኩልነት ቢፈጠር, የተገኙት እና የመጀመሪያዎቹ ስርዓቶች ምንም እንኳን የያዙት ሌሎች እኩልታዎች ምንም ቢሆኑም, መፍትሄዎች የላቸውም. ወጥነት የሌለው ማትሪክስ ምሳሌ፡-

$\ጀማሪ(ድርድር)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end(array)$

በመጨረሻው መስመር ላይ የማይቻል እኩልነት ተነሳ: $ 0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

አንድ መፍትሄ ብቻ ያለው የእኩልታዎች ስርዓት

እነዚህ ስርዓቶች ወደ ደረጃ ማትሪክስ ከተቀነሱ በኋላ እና ረድፎችን በዜሮዎች ካስወገዱ በኋላ በዋናው ማትሪክስ ውስጥ ተመሳሳይ የረድፎች እና የአምዶች ብዛት አላቸው. የዚህ ዓይነቱ ሥርዓት በጣም ቀላሉ ምሳሌ ይኸውልዎት-

$\ጀማሪ(ጉዳይ) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \መጨረሻ(ጉዳይ)$

በማትሪክስ መልክ እንጽፈው፡-

$\ጀማሪ(ድርድር)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \ end(array)$

የሁለተኛው ረድፍ የመጀመሪያውን ሕዋስ ወደ ዜሮ ለማምጣት, የላይኛውን ረድፍ በ $ -2$ በማባዛት እና ከማትሪክስ ታችኛው ረድፍ ላይ እንቀንሳለን, እና የላይኛውን ረድፍ በዋናው መልክ እንተወዋለን, በውጤቱም የሚከተለው አለን. :

$\ጀማሪ(ድርድር)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \ end(array)$

ይህ ምሳሌ እንደ ሥርዓት ሊጻፍ ይችላል፡-

$\ጀማሪ (ጉዳይ) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \መጨረሻ(ጉዳይ)$

የታችኛው እኩልታ የሚከተለውን እሴት ለ$x$ ያወጣል፡$x_2 = 3 \frac(1)(3)$። ይህንን እሴት ወደ ላይኛው እኩልታ ይቀይሩት፡$x_1 – 3 \frac(1)(3)$፣ $x_1 = 1 \frac(2)(3)$ እናገኛለን።

ብዙ መፍትሄዎች ያሉት ስርዓት

ይህ ስርዓት በውስጡ ካሉት የአምዶች ብዛት በትንሽ ጉልህ ረድፎች ተለይቶ ይታወቃል (የዋናው ማትሪክስ ረድፎች ግምት ውስጥ ይገባሉ)።

በእንደዚህ አይነት ስርዓት ውስጥ ያሉ ተለዋዋጮች በሁለት ይከፈላሉ-መሰረታዊ እና ነፃ. እንዲህ ዓይነቱን ሥርዓት በሚቀይሩበት ጊዜ በውስጡ የተካተቱት ዋና ዋና ተለዋዋጮች በግራ በኩል እስከ "=" ምልክት ድረስ መተው አለባቸው, የተቀሩት ተለዋዋጮች ደግሞ ወደ እኩልነት በስተቀኝ በኩል መዘዋወር አለባቸው.

እንዲህ ዓይነቱ ሥርዓት የተወሰነ አጠቃላይ መፍትሔ ብቻ ነው ያለው.

የሚከተለውን የእኩልታዎች ስርዓት እንመርምር።

$\ጀምር(ጉዳይ) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \ end(cases)$

በማትሪክስ መልክ እንጽፈው፡-

$\ጀማሪ(ድርድር)(cccc|c) 2 እና 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \ መጨረሻ(ድርድር)$

የእኛ ተግባር ለስርዓቱ አጠቃላይ መፍትሄ መፈለግ ነው። ለዚህ ማትሪክስ, የመሠረት ተለዋዋጮች $ y_1 $ እና $ y_3 $ ይሆናሉ (ለ $ y_1 $ - መጀመሪያ ስለሚመጣ, እና በ $ y_3 $ - ከዜሮዎች በኋላ ይገኛል).

እንደ መሰረታዊ ተለዋዋጮች, በረድፍ ውስጥ የመጀመሪያዎቹ የሆኑትን እና ከዜሮ ጋር እኩል ያልሆኑትን በትክክል እንመርጣለን.

ቀሪዎቹ ተለዋዋጮች ነፃ ተብለው ይጠራሉ;

የተገላቢጦሽ ስትሮክ ተብሎ የሚጠራውን በመጠቀም ስርዓቱን ከታች ወደ ላይ እንመረምራለን ፣ ይህንን ለማድረግ በመጀመሪያ ከስር ስርዓቱ በታች $ y_3 ዶላር እንገልፃለን ።

$5y_3 – 4y_4 = 1$

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$።

አሁን የተገለፀውን $y_3$ በስርዓቱ የላይኛው እኩልታ $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) እንተካለን። + y_4 = 1$

$y_1$ን በነጻ ተለዋዋጮች $y_2$ እና $y_4$ እንገልፃለን፡

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$

$2y_1 = -3ይ_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1.5x_2 - 0.1y_4 + 0.6$

መፍትሄው ዝግጁ ነው.

ምሳሌ 1

የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም ስሎውን ይፍቱ። ምሳሌዎች። የጋውሲያን ዘዴን በመጠቀም በ 3 በ 3 ማትሪክስ የተሰጠውን የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት የመፍታት ምሳሌ

$\ጀማሪ (ጉዳይ) 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \መጨረሻ(ጉዳይ)$

ስርዓታችንን በተዘረጋ ማትሪክስ መልክ እንፃፍ፡-

$\ጀማሪ(ድርድር)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \መጨረሻ(ድርድር)$

አሁን, ለምቾት እና ተግባራዊነት, $ 1 $ በውጭኛው አምድ ላይኛው ጥግ ላይ እንዲሆን ማትሪክስ መቀየር ያስፈልግዎታል.

ይህንን ለማድረግ በ 1 ኛ መስመር ላይ ከመሃል ላይ ያለውን መስመር መጨመር ያስፈልግዎታል, በ $ -1$ ተባዝተው, እና መካከለኛውን መስመር እራሱ እንደነበሩ ይፃፉ.

$\ጀማሪ(ድርድር)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \መጨረሻ(ድርድር)$

$\ጀማሪ(ድርድር)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3 \\ \ መጨረሻ(ድርድር) $

የላይኛውን እና የመጨረሻውን መስመሮች በ$-1$ ያባዙ፣ እና እንዲሁም የመጨረሻውን እና መካከለኛውን መስመሮች ይቀይሩ፡

$\ጀማሪ(ድርድር)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ \ end(array)$

$\ጀማሪ(አደራደር)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ \ end(array)$

እና የመጨረሻውን መስመር በ$3$ ይከፋፍሉት፡

$\ጀማሪ(ድርድር)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \ end(array)$

ከዋናው ጋር እኩል የሆነውን የሚከተለውን የእኩልታዎች ስርዓት እናገኛለን።

$\ጀማሪ(ጉዳይ) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \መጨረሻ(ጉዳይ)$

ከላይኛው እኩልታ $x_1$ን እንገልፃለን፡-

$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$።

ምሳሌ 2

የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም 4 በ 4 ማትሪክስ በመጠቀም የተገለጸውን ስርዓት የመፍታት ምሳሌ

$\ጀማሪ(ድርድር)(cccc|c) 2 እና 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40 \\ 3 & 8 & 9 2 እና 37 \\ \ መጨረሻ(ድርድር)$።

መጀመሪያ ላይ፣ በላይኛው ግራ ጥግ ላይ 1$ ለማግኘት እሱን ተከትለው ያሉትን የላይኛውን መስመሮች እንለዋወጣለን።

$\ጀማሪ(ድርድር)(cccc|c) 1 እና 3 እና 2 እና 1 እና 11 \\ 2 እና 5 እና 4 እና 1 እና 20 \\ 2 እና 10 እና 9 እና 7 እና 40 \\ 3 እና 8 እና 9 2 እና 37 \\ \ መጨረሻ(ድርድር)$።

አሁን የላይኛውን መስመር በ$-2$ በማባዛት ወደ 2 ኛ እና 3 ኛ ጨምር። ወደ 4 ኛ 1 ኛ መስመር እንጨምራለን ፣ በ$-3$ ተባዝተናል፡

$\ጀማሪ(ድርድር)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18 \\ 0 & - 1 እና 3 & -1 & 4 \\ \ መጨረሻ(ድርድር)$

አሁን ወደ መስመር ቁጥር 3 መስመር 2 ን በ$4$ ተባዝተናል፣ እና 4ኛው መስመር ላይ 2 መስመርን በ$-1$ ተባዝተናል።

$\ጀማሪ(ድርድር)(cccc|c) 1 እና 3 እና 2 እና 1 እና 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \ መጨረሻ(ድርድር)$

መስመር 2ን በ$-1$ እናባዛለን፣ እና መስመር 4ን በ$3$ እናካፍላለን እና መስመር 3ን ​​እንተካለን።

$\ጀማሪ(ድርድር)(cccc|c) 1 እና 3 እና 2 እና 1 እና 11 1 እና 10 \\ \ መጨረሻ(ድርድር)$

አሁን በ$-5$ ተባዝተን የመጨረሻውን መስመር እንጨምራለን ።

$\ጀማሪ (አደራደር)(cccc|c) 1 እና 3 እና 2 እና 1 እና 11 1 & 0 \\ \ መጨረሻ(ድርድር)$

የተገኘውን የእኩልታዎች ስርዓት እንፈታዋለን-

$\ጀማሪ (ጉዳይ) m = 0 \\ g = 2 \\ y + m = 2 \ x + 3y + 2g + m = 11 \ መጨረሻ (ጉዳዮች)$

የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓት ለመፍታት በጣም ቀላሉ መንገዶች አንዱ በወሳኞች ስሌት ላይ የተመሠረተ ዘዴ ነው ( የክሬመር አገዛዝ). የእሱ ጥቅም መፍትሔውን ወዲያውኑ እንዲመዘግቡ ይፈቅድልዎታል, በተለይም የስርዓቱ መመዘኛዎች ቁጥሮች ካልሆኑ, ግን አንዳንድ መመዘኛዎች ናቸው. የእሱ ጉዳቱ ብዙ ቁጥር ያላቸው እኩልታዎች በሚኖሩበት ጊዜ የስሌቶች አስቸጋሪነት ነው ፣ በተጨማሪም ፣ የ Cramer ደንብ የእኩልታዎች ብዛት ከማይታወቁት ብዛት ጋር የማይጣጣምባቸው ስርዓቶች ላይ በቀጥታ ተፈጻሚነት የለውም። በእንደዚህ ዓይነት ሁኔታዎች ውስጥ ብዙውን ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላል Gaussian ዘዴ.

ተመሳሳይ የመፍትሄዎች ስብስብ ያላቸው የመስመር እኩልታዎች ስርዓቶች ይባላሉ ተመጣጣኝ. ምንም አይነት እኩልታዎች ከተቀያየሩ ወይም ከአንዱ እኩልታዎች ውስጥ አንዱ በሆነ ዜሮ ባልሆነ ቁጥር ቢባዛ ወይም አንድ እኩልታ ወደሌላው ከተጨመረ የመስመራዊ ስርዓት የመፍትሄዎች ስብስብ አይለወጥም።

Gauss ዘዴ (የማያውቁትን በቅደም ተከተል የማስወገድ ዘዴ) በኤሌሜንታሪ ትራንስፎርሜሽን እገዛ ስርዓቱ ወደ አንድ የእርምጃ አይነት ተመጣጣኝ ስርዓት ይቀንሳል። በመጀመሪያ, 1 ኛ እኩልታን በመጠቀም, እናስወግዳለን xከሁሉም የስርዓቱ እኩልታዎች 1. ከዚያም, 2 ኛውን እኩልታ በመጠቀም, እናስወግዳለን x 2 ከ 3 ኛ እና ሁሉም ተከታይ እኩልታዎች. ይህ ሂደት, ይባላል ቀጥተኛ Gaussian ዘዴበመጨረሻው እኩልታ በግራ በኩል አንድ የማይታወቅ አንድ ብቻ እስኪቀር ድረስ ይቀጥላል x n. ከዚህ በኋላ ይከናወናል የ Gaussian ዘዴ ተገላቢጦሽ- የመጨረሻውን እኩልታ መፍታት, እናገኛለን x n; ከዚያ በኋላ, ይህንን እሴት በመጠቀም, ከምንሰላው የፔንታል እኩልታ x n-1, ወዘተ. የመጨረሻውን እናገኛለን x 1 ከመጀመሪያው እኩልታ.

ከራሳቸው እኩልታዎች ጋር ሳይሆን ከኮፊፋፊናቸው ማትሪክስ ጋር ለውጦችን በማድረግ የጋውሲያን ለውጦችን ለማካሄድ ምቹ ነው። ማትሪክስ አስቡበት፡-

ተብሎ ይጠራል የተራዘመ የስርዓቱ ማትሪክስ ፣ምክንያቱም ከስርአቱ ዋና ማትሪክስ በተጨማሪ የነጻ ቃላትን አምድ ያካትታል። የ Gaussian ዘዴ የስርአቱን የተራዘመ ማትሪክስ (!) የአንደኛ ደረጃ ረድፍ ለውጦችን (!) በመጠቀም የስርዓቱን ዋና ማትሪክስ ወደ ሶስት ማዕዘን ቅርፅ (ወይም አራት ማዕዘን ያልሆኑ ስርዓቶችን በተመለከተ ትራፔዞይድ ቅርፅ) በመቀነስ ላይ የተመሠረተ ነው።

ምሳሌ 5.1.የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም ስርዓቱን ይፍቱ

መፍትሄ. የተራዘመውን የስርዓቱን ማትሪክስ እንፃፍ እና የመጀመሪያውን ረድፍ በመጠቀም ፣ ከዚያ በኋላ የተቀሩትን ንጥረ ነገሮች እንደገና እናስጀምራለን-

በመጀመሪያው አምድ በ 2 ኛ ፣ 3 ኛ እና 4 ኛ ረድፎች ውስጥ ዜሮዎችን እናገኛለን

አሁን ከዜሮ ጋር እኩል ለመሆን ከ 2 ኛ ረድፍ በታች ባለው በሁለተኛው አምድ ውስጥ ያሉትን ሁሉንም ንጥረ ነገሮች እንፈልጋለን። ይህንን ለማድረግ, ሁለተኛውን መስመር በ -4/7 ማባዛት እና ወደ 3 ኛ መስመር መጨመር ይችላሉ. ነገር ግን፣ ክፍልፋዮችን ላለማስተናገድ፣ በሁለተኛው ዓምድ 2 ኛ ረድፍ ላይ አንድ ክፍል እንፍጠር እና ብቻ።

አሁን, የሶስት ማዕዘን ማትሪክስ ለማግኘት, የ 3 ኛ ረድፍ አራተኛውን ክፍል እንደገና ማስጀመር ያስፈልግዎታል, ይህንን ለማድረግ, ሶስተኛውን ረድፍ በ 8/54 ማባዛት እና ወደ አራተኛው መጨመር ይችላሉ. ሆኖም ክፍልፋዮችን ላለማስተናገድ 3 ኛ እና 4 ኛ ረድፎችን እና 3 ኛ እና 4 ኛ አምዶችን እንለዋወጣለን እና ከዚያ በኋላ የተገለጸውን አካል እንደገና እናስጀምራለን ። ዓምዶቹን በሚያስተካክሉበት ጊዜ ተጓዳኝ ተለዋዋጮች ቦታዎችን እንደሚቀይሩ ልብ ይበሉ እና ይህ መታወስ አለበት ። ሌሎች የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦች ከአምዶች ጋር (በቁጥር መደመር እና ማባዛት) ሊከናወኑ አይችሉም!

የመጨረሻው ቀለል ያለ ማትሪክስ ከመጀመሪያው ጋር እኩል የሆነ የእኩልታዎች ስርዓት ጋር ይዛመዳል፡

ከዚህ በመነሳት የጋውሲያን ዘዴ ተገላቢጦሽ በመጠቀም ከአራተኛው እኩልታ እናገኛለን x 3 = -1; ከሦስተኛው x 4 = -2, ከሁለተኛው x 2 = 2 እና ከመጀመሪያው እኩልታ x 1 = 1. በማትሪክስ ቅጽ, መልሱ እንደ ተጽፏል

ጉዳዩን ተመልክተናል ስርዓቱ የተወሰነ ነው, ማለትም. አንድ መፍትሄ ብቻ ሲኖር. ስርዓቱ ወጥነት የሌለው ወይም እርግጠኛ ካልሆነ ምን እንደሚሆን እንይ።

ምሳሌ 5.2.የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም ስርዓቱን ያስሱ፡-

መፍትሄ. የተራዘመውን የስርዓቱን ማትሪክስ እንጽፋለን እና እንለውጣለን

ቀለል ያለ የእኩልታዎች ስርዓት እንጽፋለን-

እዚህ ፣ በመጨረሻው እኩልታ ውስጥ 0=4 ፣ ማለትም። ተቃርኖ በውጤቱም, ስርዓቱ ምንም መፍትሄ የለውም, ማለትም. እሷ የማይጣጣም. à

ምሳሌ 5.3.የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም ስርዓቱን ያስሱ እና ይፍቱ፡-

መፍትሄ. የተራዘመውን የስርዓቱን ማትሪክስ እንጽፋለን እና እንለውጣለን-

በለውጦቹ ምክንያት, የመጨረሻው መስመር ዜሮዎችን ብቻ ይይዛል. ይህ ማለት የእኩልታዎች ብዛት በአንድ ቀንሷል፡-

ስለዚህ, ከማቅለል በኋላ, ሁለት እኩልታዎች ይቀራሉ, እና አራት የማይታወቁ, ማለትም. ሁለት የማይታወቁ "ተጨማሪ". “የበለጠ” ይሁን ወይም እነሱ እንደሚሉት፣ ነጻ ተለዋዋጮች፣ ፈቃድ x 3 እና x 4 . ከዚያም

ማመን x 3 = 2ሀእና x 4 = ለ, እናገኛለን x 2 = 1–ሀእና x 1 = 2ለ–ሀ; ወይም በማትሪክስ መልክ

በዚህ መንገድ የተጻፈ መፍትሔ ይባላል አጠቃላይ, ምክንያቱም, መለኪያዎች መስጠት ሀእና ለየተለያዩ እሴቶች, ሁሉም ሊሆኑ የሚችሉ የስርዓቱ መፍትሄዎች ሊገለጹ ይችላሉ. ሀ