كيفية تحديد طول الوتر في المثلث القائم. كيفية العثور على الساقين إذا كان الوتر معروفًا

مترجم من اللغة اليونانية، الوتر يعني "ضيق". لفهم الأمر بشكل صحيح، تخيل خيطًا يربط بين طرفي عصا مرنة. وهذا أيضاً في مثلث قائم، الضلع الأطول هو الوتر، الذي يقع مقابل الزاوية القائمة. وهو بمثابة رابط للجانبين الآخرين، ويسمى الساقين. لمعرفة طول هذا "الخيط"، يجب أن يكون لديك طول الساقين، أو حجم زاويتين حادتين. يمكن حساب الجمع بين هذه البيانات باستخدام الصيغ القيمة المطلوبة.

كيفية العثور على الوتر عن طريق الساقين

أسهل طريقة للحساب هي إذا كنت تعرف حجم الساقين (دعنا نشير إلى أحدهما بالرمز A والآخر بالرمز B). يأتي فيثاغورس نفسه لإنقاذ نفسه في جميع أنحاء العالم النظرية الشهيرة. تخبرنا أنه إذا قمنا بتربيع طول الساقين وقمنا بجمع القيم المحسوبة، فسنعرف في النهاية القيمة المربعة لطول الوتر. مما سبق نستنتج: لإيجاد قيمة الوتر، من الضروري استخراج الجذر التربيعي لمجموع مربعات الأضلاع C = √ (A² + B²). مثال: الضلع أ=10 سم، الضلع ب=20 سم، الوتر يساوي 22.36 سم، الحساب كما يلي: √(10²+20²)=√(100+400)= √500≈22.36.

كيفية العثور على الوتر من خلال زاوية

من الأصعب قليلاً حساب طول الوتر من خلال زاوية معينة. إذا كنت تعرف حجم أحد الساقين (المشار إليها بـ A) وحجم الزاوية (المشار إليها بـ α) التي تقع مقابلها، فسيتم العثور على حجم الوتر باستخدام علم المثلثات، وتحديدًا الجيب. كل ما عليك فعله هو قسمة قيمة الساق المعلومة على جيب الزاوية. ج=أ/الخطيئة(α). مثال: طول الساق أ = 30 سم، والزاوية المقابلة له 45 درجة، وسيكون الوتر 42.25 سم، ويكون الحساب كما يلي: 30/sin(45°) = 30/0.71 = 42.25.

هناك طريقة أخرى وهي إيجاد حجم الوتر باستخدام جيب التمام. يتم استخدامه إذا كنت تعرف حجم الساق (المشار إليها بالرمز B) والزاوية الحادة (المشار إليها بالرمز α) المجاورة لها. كل ما عليك فعله هو قسمة قيمة الساق على جيب الزاوية. С=В/ كوس (α). مثال: طول الضلع ب = 30 سم، والزاوية المقابلة له 45 درجة، وسيكون الوتر 42.25 سم، ويكون الحساب كما يلي: 30/cos(45°) = 30/0.71 = 42.25.

كيفية العثور على الوتر في مثلث متساوي الساقين

يعرف أي تلميذ يحترم نفسه أن المثلث متساوي الساقين، بشرط أن يكون اثنان من الجوانب الثلاثة متساويين. تسمى هذه الجوانب جانبية، والجانب المتبقي يسمى القاعدة. إذا كانت إحدى الزوايا 90 درجة، فهذا يعني أن لديك مثلثًا قائمًا متساوي الساقين.

يعد العثور على الوتر في مثل هذا المثلث أمرًا بسيطًا، لأنه يحتوي على العديد من الخصائص التي ستساعدك. الزوايا المجاورة للقاعدة متساوية في القيمة، مجموع قيم الزوايا هو 180 درجة. وهذا يعني أن الزاوية القائمة تقع مقابل القاعدة، مما يعني أن القاعدة هي الوتر، والجوانب هي الأرجل.

تعليمات

فيديو حول الموضوع

ملحوظة

عند حساب جوانب المثلث القائم الزاوية، يمكن أن تلعب معرفة خصائصه دورًا:
1) إذا كان ساق الزاوية القائمة مقابل زاوية قياسها 30 درجة، فإنها تساوي نصف الوتر؛
2) يكون الوتر دائمًا أطول من أي من الأرجل.
3) إذا كانت الدائرة محاطة بمثلث قائم الزاوية، فإن مركزها يجب أن يقع في منتصف الوتر.

الوتر هو الضلع الموجود في المثلث القائم المقابل للزاوية التي قياسها 90 درجة. ولحساب طوله يكفي معرفة طول أحد الأرجل وحجم إحدى الزوايا الحادة للمثلث.

تعليمات

دعنا نعرف إحدى الأرجل والزاوية المجاورة لها. لكي نكون محددين، فليكن هذا هو الجانب |AB| والزاوية α. ثم يمكننا استخدام صيغة جيب التمام المثلثي - نسبة جيب التمام للضلع المجاور ل. أولئك. في تدويننا cos α = |AB| / |AC|. ومن هذا نحصل على طول الوتر |AC| = |أب| / كوس α.
إذا عرفنا الجانب |BC| والزاوية α، ثم سنستخدم الصيغة لحساب جيب الزاوية - جيب الزاوية يساوي نسبة الساق المقابلة إلى الوتر: sin α = |BC| / |AC|. نجد أن طول الوتر هو |AC| = |قبل الميلاد| / كوس α.

من أجل الوضوح، دعونا نلقي نظرة على مثال. دع طول الساق |AB| يُعطى. = 15. والزاوية α = 60 درجة. نحصل على |AC| = 15 / جتا 60° = 15 / 0.5 = 30.
دعونا نلقي نظرة على كيفية التحقق من نتيجتك باستخدام نظرية فيثاغورس. للقيام بذلك، علينا حساب طول الضلع الثاني |BC|. استخدام صيغة ظل الزاوية tan α = |BC| / |AC|، نحصل على |BC| = |أب| * ظا α = 15 * ظا 60° = 15 * √3. بعد ذلك، نطبق نظرية فيثاغورس، نحصل على 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. اكتمل التحقق.

نصائح مفيدة

بعد حساب الوتر، تحقق مما إذا كانت القيمة الناتجة تلبي نظرية فيثاغورس.

مصادر:

• طاولة الأعداد الأوليةمن 1 إلى 10000

الساقينهما الضلعان القصيران للمثلث القائم الزاوية اللذين يشكلان الرأس الذي يبلغ حجمه 90 درجة. ويسمى الجانب الثالث في مثل هذا المثلث الوتر. ترتبط جميع جوانب وزوايا المثلث هذه بعلاقات معينة تجعل من الممكن حساب طول الساق في حالة معرفة العديد من المعلمات الأخرى.

تعليمات

استخدم نظرية فيثاغورس للضلع (أ) إذا كنت تعرف طول الضلعين الآخرين (ب وج) للمثلث القائم. تنص هذه النظرية على أن مجموع الأطوال المربعة للساقين يساوي مربع الوتر. ويترتب على ذلك أن طول كل ساق متساوي الجذر التربيعيمن طولي الوتر والضلع الثاني: A=√(C²-B²).

استخدم تعريف الدالة المثلثية المباشرة "الجيب" للزاوية الحادة إذا كنت تعرف مقدار الزاوية (α) الواقعة مقابل الساق الجاري حسابها وطول الوتر (C). ينص هذا على أن جيب هذه النسبة المعروفة هو طول الساق المطلوبة إلى طول الوتر. هذا يعني أن طول الساق المطلوبة يساوي حاصل ضرب طول الوتر وجيب الزاوية المعلومة: A=C∗sin(α). بالنسبة لنفس الكميات المعروفة، يمكنك أيضًا استخدام قاطع التمام وحساب الطول المطلوب عن طريق قسمة طول الوتر على قاطع التمام للزاوية المعروفة A=C/cosec(α).

استخدم تعريف دالة جيب التمام المثلثية المباشرة إذا كان حجم الزاوية الحادة (β) المجاورة للزاوية المطلوبة معروفًا أيضًا، بالإضافة إلى طول الوتر (C). جيب تمام هذه الزاوية هو نسبة طولي الضلع المطلوب إلى الوتر، ومن هذا يمكننا أن نستنتج أن طول الساق يساوي حاصل ضرب طول الوتر وجيب تمام الزاوية المعلومة: أ=ج∗كوس(β). يمكنك استخدام تعريف دالة القاطع وحساب القيمة المطلوبة عن طريق قسمة طول الوتر على قاطع الزاوية المعروفة A=C/sec(β).

انتاج | الصيغة المطلوبةمن تعريف مماثل لمشتق ظل الدالة المثلثية، إذا كان بالإضافة إلى قيمة الزاوية الحادة (α) الواقعة مقابل الساق المطلوبة (A)، فإن طول الساق الثانية (B) معروف. ظل الزاوية المقابلة للساق المطلوبة هو نسبة طول هذه الساق إلى طول الساق الثانية. وهذا يعني أن القيمة المطلوبة ستكون مساوية لحاصل ضرب طول الساق المعلومة وظل الزاوية المعلومة: A=B∗tg(α). ومن هذه الكميات المعروفة نفسها، يمكن استخلاص صيغة أخرى إذا استخدمنا تعريف دالة ظل التمام. في هذه الحالة، لحساب طول الساق، سيكون من الضروري إيجاد نسبة طول الساق المعلومة إلى ظل تمام الزاوية المعلومة: A=B/ctg(α).

فيديو حول الموضوع

جاءت كلمة "kathet" إلى اللغة الروسية من اليونانية. في ترجمة دقيقةويعني خطًا راسيا، أي متعامدًا مع سطح الأرض. في الرياضيات، الأرجل هي الجوانب التي تشكل زاوية قائمة في مثلث قائم الزاوية. ويسمى الجانب المقابل لهذه الزاوية الوتر. يستخدم مصطلح "القسطرة" أيضًا في الهندسة المعمارية وتكنولوجيا اللحام.

ارسم المثلث الأيمن DIA. قم بتسمية ساقيه بالرمز a وb، والوتر بالرمز c. يتم تعريف جميع جوانب وزوايا المثلث القائم فيما بينها. تسمى نسبة الساق المقابلة لإحدى الزوايا الحادة إلى الوتر جيب هذه الزاوية. في هذا المثلث sinCAB=a/c. جيب التمام هو النسبة إلى الوتر للضلع المجاور، أي cosCAB=b/c. تسمى العلاقات العكسية قاطع التمام وقاطع التمام.

يتم الحصول على قاطع هذه الزاوية بقسمة الوتر على الضلع المجاور، أي secCAB = c/b. والنتيجة هي مقلوب جيب التمام، أي أنه يمكن التعبير عنه باستخدام الصيغة secCAB=1/cosSAB.
قاطع التمام يساوي حاصل قسمة الوتر على الضلع المقابل وهو مقلوب الجيب. ويمكن حسابه باستخدام الصيغة cosecCAB=1/sinCAB

كلتا الساقين متصلتان ببعضهما البعض وبواسطة ظل التمام. في هذه الحالة، سيكون الظل هو نسبة الضلع أ إلى الضلع ب، أي الضلع المقابل للضلع المجاور. يمكن التعبير عن هذه العلاقة بالصيغة tgCAB=a/b. وبناء على ذلك، فإن النسبة العكسية ستكون ظل التمام: ctgCAB=b/a.

تم تحديد العلاقة بين حجم الوتر وكلا الساقين من قبل فيثاغورس اليوناني القديم. لا يزال الناس يستخدمون النظرية واسمه. يقال أن مربع الوتر يساوي المبلغمربعات الأرجل، أي c2=a2+b2. وبناء على ذلك، فإن كل ساق ستكون مساوية للجذر التربيعي للفرق بين مربعي الوتر والساق الأخرى. يمكن كتابة هذه الصيغة بالشكل b=√(c2-a2).

ويمكن أيضًا التعبير عن طول الساق من خلال العلاقات المعروفة لك. وفقًا لنظريات الجيب وجيب التمام، فإن الساق تساوي حاصل ضرب الوتر وإحدى هذه الوظائف. يمكن التعبير عنها كـ و أو ظل التمام. يمكن إيجاد الساق a، على سبيل المثال، باستخدام الصيغة a = b*tan CAB. بنفس الطريقة تمامًا، اعتمادًا على المماس المعطى أو، يتم تحديد الساق الثانية.

يستخدم مصطلح "القسطرة" أيضًا في الهندسة المعمارية. يتم تطبيقه على التاج الأيوني ويمتد إلى منتصف ظهره. وهذا يعني أن هذا الحد في هذه الحالة عمودي على خط معين.

في تكنولوجيا اللحام هناك "ساق لحام فيليه". كما هو الحال في حالات أخرى، هذه هي أقصر مسافة. هنا نحن نتحدث عنحول الفجوة بين أحد الأجزاء الملحومة حتى حدود التماس الموجود على سطح الجزء الآخر.

فيديو حول الموضوع

مصادر:

• ما هي الساق والوتر في عام 2019

هناك ثلاثة خيارات لحل هذه المشكلة. الأول هو أنه في ظروف المشكلة يُعطى أن الأرجل متساوية (في الواقع، لدينا مثلث متساوي الساقين قائم). والثاني هو إذا ما زالت بعض الزوايا معطاة (باستثناء الزاوية 45٪، فلدينا نفس المثلث المتساوي الساقين ونعود إلى الخيار الأول). والثالث: إذا عرف إحدى الرجلين. دعونا نفكر في هذه الخيارات بمزيد من التفصيل.

كيفية العثور على أرجل متساوية مع وتر معروف

• الساق الأولى (دعنا نشير إليها بالحرف "أ") تساوي الساق الثانية ((دعنا نشير إليها بالحرف "ب"): a=b;

• حجم الساق

في هذا الإصدار يعتمد حل المشكلة على استخدام نظرية فيثاغورس. يتم تطبيقه على المثلثات القائمة ونسخته الرئيسية تبدو مثل: "مربع الوتر يساوي مجموع مربعات الأرجل". وبما أن ساقينا متساويتان، فيمكننا الإشارة إلى كلا الساقين بنفس الرمز: a=b، وهو ما يعني a=a.

1. نحن نستبدل لدينا حرف او رمزفي النظرية (مع الأخذ بعين الاعتبار ما ورد أعلاه):
   ج^2=أ^2+أ^2,
2. بعد ذلك، نقوم بتبسيط الصيغة قدر الإمكان:
   с^2=2*(a^2) - مجموعة،
   с=√2*а - نقرب طرفي المعادلة إلى الجذر التربيعي،
   a=c/√2 - نخرج ما نبحث عنه.
3. دعونا نستبدل قيمة معينةالوتر ونحصل على الحل:
   أ=س/√2

كيفية العثور على الساقين، مع الوتر والزاوية المعروفة

• الوتر (دعنا نشير إليه بالحرف "c") يساوي x cm: c=x;
• الزاوية β تساوي q: β=q؛

• حجم الساق

لحل هذه المشكلة تحتاج إلى استخدام الدوال المثلثية. الأكثر شعبية منهم هما:

• دالة الجيب - جيب الزاوية المطلوبة يساوي نسبة الجانب المقابل إلى الوتر؛
• وظيفة جيب التمام - جيب تمام الزاوية المطلوبة يساوي نسبة الساق المجاورة إلى الوتر؛

يمكنك استخدام أي واحد. سأعطي مثالا باستخدام الأول. دع الأرجل محددة بالرمزين "أ" (المجاور للزاوية) و "ب" (مقابل الزاوية). وبناءً على ذلك، تقع الزاوية بين الساق "أ" والوتر.

1. نستبدل الرموز المحددة في الصيغة:
   الخطيئة β = ب / ج
2. نستمد الساق:
   ب=ج*الخطيئةβ
3. نعوض بالمعطى لدينا ولدينا ساق واحدة.
   ب=ج*سينق

يمكن العثور على المحطة الثانية باستخدام الثانية وظيفة المثلثيةأو انتقل إلى الخيار الثالث.

كيفية العثور على جانب واحد إذا كان الوتر والجانب الآخر معروفين

• الوتر (دعنا نشير إليه بالحرف "c") يساوي x cm: c=x;
• الساق (دعنا نشير إليها بالحرف "b") تساوي y cm: b=y;

• حجم الساق الأخرى (نشير إليها بالحرف "أ")؛

في هذا الإصدار، حل المشكلة، كما في الأول، هو استخدام نظرية فيثاغورس.

1. نستبدل رموزنا في النظرية:
   ج^2=أ^2+ب^2,
2. نخرج الساق اللازمة:
   أ^2=ج^2-ب^2
3. نأخذ طرفي المعادلة إلى الجذر التربيعي:
   أ=√(ج^2-ب^2)
4. نستبدل هذه القيم ولدينا الحل:
   أ=√(س^2-ص^2)

"ويقولون لنا أن الساق أقصر من الوتر..." هذه السطور من الأغنية الشهيرة التي سمعت في الفيلم الروائي "مغامرات الإلكترونيات" صحيحة بالفعل في هندسة إقليدس. ففي نهاية المطاف، الأرجل وجهان يشكلان زاوية قياس درجتها 90 درجة. والوتر هو أطول ضلع "ممتد" يصل بين ساقين متعامدين مع بعضهما البعض، ويقع متقابلين زاوية مستقيمة. ولهذا السبب من الممكن العثور على الوتر بالساقين فقط في المثلث القائم، وإذا كانت الساق أطول من الوتر، فلن يكون مثل هذا المثلث موجودًا.

كيفية العثور على الوتر باستخدام نظرية فيثاغورس إذا كان كلا الجانبين معروفين

تنص النظرية على أن مربع الوتر ليس أكثر من مجموع مربعات الأضلاع: x^2+y^2=z^2، حيث:

• س - المحطة الأولى؛
• ذ - المحطة الثانية؛
• ض – الوتر.

لكنك تحتاج فقط إلى العثور على الوتر، وليس مربعه. للقيام بذلك، قم باستخراج الجذر.

خوارزمية لإيجاد الوتر باستخدام اثنين الجهات المعروفة:

• وضح لنفسك مكان وجود الساقين وأين يوجد الوتر.
• قم بتربيع الساق الأولى.
• قم بتربيع الساق الثانية.
• أضف القيم الناتجة.
• استخرج جذر الرقم الذي تم الحصول عليه في الخطوة 4.

كيفية العثور على الوتر من خلال الجيب إذا كانت الساق والزاوية الحادة المقابلة لها معروفة

نسبة الساق المعلومة إلى الزاوية الحادة المقابلة لها تساوي قيمة الوتر: a/sin A = c. وهذا نتيجة لتعريف الجيب:

نسبة الضلع المقابل إلى الوتر: sin A = a/c، حيث:

• أ - المحطة الأولى؛
• أ – الزاوية الحادة المقابلة للساق .
• ج- الوتر.

خوارزمية إيجاد الوتر باستخدام نظرية الجيب:

• حدد لنفسك الساق المعروفة والزاوية المقابلة لها.
• قسم الساق إلى الزاوية المقابلة.
• احصل على الوتر.

كيفية العثور على الوتر من خلال جيب التمام إذا كانت الساق والزاوية الحادة المجاورة لها معروفة

نسبة الضلع المعلوم إلى الزاوية الحادة المجاورة تساوي قيمة الوتر a/cos B = c. وهذا نتيجة لتعريف جيب التمام: نسبة الساق المجاورة إلى الوتر: cos B= a/c، حيث:

• أ - المحطة الثانية؛
• ب – الزاوية الحادة المجاورة للرجل الثانية .
• ج- الوتر.

خوارزمية لإيجاد الوتر باستخدام نظرية جيب التمام:

• حدد لنفسك ساقاً معروفة وزاوية مجاورة.
• اقسم الساق بالزاوية المجاورة.
• احصل على الوتر.

كيفية العثور على الوتر باستخدام المثلث المصري

"المثلث المصري" عبارة عن ثلاثي من الأرقام، مع العلم أنه يمكنك توفير الوقت في العثور على الوتر أو حتى ساق أخرى غير معروفة. يحمل المثلث هذا الاسم لأن بعض الأرقام في مصر كانت ترمز إلى الآلهة وكانت أساس بناء الأهرامات وغيرها من الهياكل المختلفة.

• الأرقام الثلاثة الأولى: 3-4-5. الأرجل هنا تساوي 3 و 4. ومن المؤكد أن الوتر يساوي 5. تأكد من: (9+16=25).
• الثلاثي الثاني من الأرقام: 5-12-13. هنا أيضًا الأرجل تساوي 5 و 12. وبالتالي فإن الوتر يساوي 13. تحقق: (25+144=169).

تساعد مثل هذه الأرقام حتى عند قسمتها أو ضربها في أي رقم واحد. إذا كانت الأرجل 3 و 4، فسيكون الوتر مساويًا لـ 5. إذا ضربت هذه الأرقام في 2، فسيتم ضرب الوتر أيضًا بـ 2. على سبيل المثال، ستكون ثلاثية الأرقام 6-8-10 مناسبة أيضًا نظرية فيثاغورس وليس عليك حساب الوتر إذا كنت تتذكر هذه الأرقام الثلاثية.



وبالتالي، هناك 4 طرق للعثور على الوتر باستخدام الأرجل المعروفة. أكثر الخيار الأفضلهي نظرية فيثاغورس، ولكن لن يضر أيضًا أن تتذكر ثلاثة توائم من الأرقام التي تشكل "المثلث المصري"، لأنه يمكنك توفير الكثير من الوقت إذا صادفت مثل هذه القيم.