الدوال المثلثية كيفية حل الأمثلة. الصيغ الأساسية لعلم المثلثات

مفهوم حل المعادلات المثلثية.

• لحل معادلة مثلثية، قم بتحويلها إلى واحدة أو أكثر من المعادلات المثلثية الأساسية. حل معادلة مثلثية يأتي في النهاية إلى حل المعادلات المثلثية الأربع الأساسية.

عند حل الكثير المشاكل الرياضية وخاصة تلك التي تحدث قبل الصف العاشر، فإن ترتيب الإجراءات التي يتم تنفيذها والتي ستؤدي إلى الهدف محدد بوضوح. وتشمل هذه المشاكل، على سبيل المثال، الخطية و المعادلات التربيعية، عدم المساواة الخطية والتربيعية، المعادلات الكسريةوالمعادلات التي يتم اختزالها إلى المعادلات التربيعية. مبدأ حل كل مشكلة من المشاكل المذكورة بنجاح هو كما يلي: من الضروري تحديد نوع المشكلة التي يتم حلها، وتذكر التسلسل الضروري للإجراءات التي ستؤدي إلى النتيجة المرجوة، أي. قم بالإجابة واتبع هذه الخطوات.

من الواضح أن النجاح أو الفشل في حل مشكلة معينة يعتمد بشكل أساسي على مدى صحة تحديد نوع المعادلة التي يتم حلها، ومدى صحة إعادة إنتاج تسلسل جميع مراحل حلها. وبطبيعة الحال، فمن الضروري أن يكون لديك المهارات اللازمة للأداء تحولات الهويةوالحوسبة.

الوضع مختلف مع المعادلات المثلثية.ليس من الصعب على الإطلاق إثبات حقيقة أن المعادلة مثلثية. تنشأ الصعوبات عند تحديد تسلسل الإجراءات التي من شأنها أن تؤدي إلى الإجابة الصحيحة.

بواسطة مظهرالمعادلة، فمن الصعب في بعض الأحيان تحديد نوعها. وبدون معرفة نوع المعادلة، يكاد يكون من المستحيل اختيار المعادلة الصحيحة من بين عشرات الصيغ المثلثية.

لحل معادلة مثلثية، عليك تجربة ما يلي:

1. جلب جميع الدوال المتضمنة في المعادلة إلى "نفس الزوايا"؛
2. تحويل المعادلة إلى "دوال متطابقة"؛
3. تتكشف الجهه اليسرىمعادلات التخصيم، الخ

دعونا نفكر الطرق الأساسية لحل المعادلات المثلثية.

I. الاختزال إلى أبسط المعادلات المثلثية

مخطط الحل

الخطوة 1.التعبير عن دالة مثلثية بدلالة المركبات المعروفة.

الخطوة 2.ابحث عن وسيطة الوظيفة باستخدام الصيغ:

كوس س = أ؛ x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

الخطيئة س = أ؛ x = (-1) n قوسسين a + πn، n Є Z.

تان س = أ؛ x = القطب الشمالي a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

الخطوه 3.ابحث عن المتغير المجهول.

مثال.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

حل.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, nЄZ;

س = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, nЄZ;

س = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, nЄZ.

الإجابة: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, nЄZ.

ثانيا. استبدال متغير

مخطط الحل

الخطوة 1.اختزل المعادلة إلى الصورة الجبرية فيما يتعلق بإحدى الدوال المثلثية.

الخطوة 2.قم بالإشارة إلى الوظيفة الناتجة بواسطة المتغير t (إذا لزم الأمر، ضع قيودًا على t).

الخطوه 3.اكتب وحل المعادلة الجبرية الناتجة.

الخطوة 4.قم بإجراء استبدال عكسي.

الخطوة 5.حل أبسط معادلة مثلثية.

مثال.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

حل.

1) 2(1 – الخطيئة 2 (س/2)) – 5الخطيئة (س/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) دع الخطيئة (x/2) = t، حيث |t| ≥ 1.

3) 2ر 2 + 5ر + 3 = 0;

t = 1 أو e = -3/2، لا يحقق الشرط |t| ≥ 1.

4) خطيئة(س/2) = 1.

5) س/2 = π/2 + 2πn، n Є Z؛

س = π + 4πn، n Є Z.

الجواب: س = π + 4πn، n Є Z.

ثالثا. طريقة تخفيض ترتيب المعادلة

مخطط الحل

الخطوة 1.استبدل هذه المعادلة بمعادلة خطية، باستخدام صيغة تقليل الدرجة:

خطيئة 2 س = 1/2 · (1 - جتا 2س)؛

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

الخطوة 2.حل المعادلة الناتجة باستخدام الطريقتين الأولى والثانية.

مثال.

كوس 2س + كوس 2 س = 5/4.

حل.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4؛

3/2 كوس 2س = 3/4؛

2x = ±π/3 + 2πn, nЄZ;

س = ±π/6 + πn, nЄZ.

الإجابة: x = ±π/6 + πn, nЄZ.

رابعا. المعادلات المتجانسة

مخطط الحل

الخطوة 1.تقليل هذه المعادلة إلى النموذج

أ) خطيئة س + ب كوس س = 0 ( معادلة متجانسةالدرجة الأولى)

أو إلى الرأي

ب) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (معادلة متجانسة من الدرجة الثانية).

الخطوة 2.اقسم طرفي المعادلة على

أ) كوس س ≠ 0؛

ب) جتا 2 س ≠ 0؛

واحصل على معادلة tan x:

أ) تان س + ب = 0؛

ب) أ تان 2 س + ب القطب الشمالي س + ج = 0.

الخطوه 3.حل المعادلة باستخدام الطرق المعروفة.

مثال.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

حل.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

جا 2 س + 3 جا س · كوس س – 4كوس 2 × = 0/كوس 2 × ≠ 0.

2) تيراغرام 2 س + 3تيراغرام س – 4 = 0.

3) دع tg x = t، إذن

ر 2 + 3ت – 4 = 0;

ر = 1 أو ر = -4، وهو ما يعني

تيراغرام س = 1 أو تيراغرام س = -4.

من المعادلة الأولى x = π/4 + πn, n Є Z; من المعادلة الثانية x = -arctg 4 + πk، kЄ Z.

الجواب: س = π/4 + πn، n Є Z؛ س = -arctg 4 + πk، k Є Z.

V. طريقة تحويل المعادلة باستخدام الصيغ المثلثية

مخطط الحل

الخطوة 1.باستخدام جميع الصيغ المثلثية الممكنة، اختزل هذه المعادلة إلى معادلة تم حلها بالطرق I، II، III، IV.

الخطوة 2.حل المعادلة الناتجة باستخدام الطرق المعروفة.

مثال.

خطيئة س + خطيئة 2س + خطيئة 3س = 0.

حل.

1) (الخطيئة س + الخطيئة 3x) + الخطيئة 2x = 0؛

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) خطيئة 2س (2كوس س + 1) = 0؛

الخطيئة 2x = 0 أو 2cos x + 1 = 0؛

من المعادلة الأولى 2x = π/2 + πn, n Є Z; من المعادلة الثانية cos x = -1/2.

لدينا x = π/4 + πn/2, n Є Z; من المعادلة الثانية x = ±(π – π/3) + 2πk, kЄZ.

ونتيجة لذلك، x = π/4 + πn/2, n Є Z; س = ±2π/3 + 2πك، ك، ض.

الجواب: x = π/4 + πn/2, n Є Z؛ س = ±2π/3 + 2πك، ك، ض.

القدرة والمهارة على حل المعادلات المثلثية للغاية والأهم من ذلك أن تطويرها يتطلب جهدًا كبيرًا، سواء من جانب الطالب أو المعلم.

ترتبط العديد من مسائل القياس الفراغي والفيزياء وغيرها بحل المعادلات المثلثية، وتجسد عملية حل مثل هذه المسائل العديد من المعارف والمهارات التي يتم اكتسابها من خلال دراسة عناصر علم المثلثات.

تأخذ المعادلات المثلثية مكانة هامةفي عملية تدريس الرياضيات وتنمية الشخصية بشكل عام.

لا تزال لديك أسئلة؟ لا أعرف كيفية حل المعادلات المثلثية؟
للحصول على مساعدة من المعلم -.
الدرس الأول مجاني!

blog.site، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر الأصلي.

الحفاظ على خصوصيتك مهم بالنسبة لنا. لهذا السبب، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى مراجعة ممارسات الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كانت لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عند تقديم طلب على الموقع، قد نقوم بجمع معلومات مختلفة، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوانك بريد إلكترونيإلخ.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

• المعلومات الشخصية التي نجمعها تسمح لنا بالاتصال بك وإبلاغك بذلك عروض فريدة من نوعهاوالترقيات وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إشعارات ومراسلات مهمة.
• قد نستخدم أيضًا المعلومات الشخصية لأغراض داخلية، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا شاركت في سحب جائزة أو مسابقة أو عرض ترويجي مماثل، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.

الكشف عن المعلومات لأطراف ثالثة

نحن لا نكشف عن المعلومات الواردة منك إلى أطراف ثالثة.

الاستثناءات:

• إذا لزم الأمر، وفقا للقانون، الإجراء القضائي، الخامس محاكمةو/أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات الواردة من وكالات الحكومةعلى أراضي الاتحاد الروسي - الكشف عن معلوماتك الشخصية. يجوز لنا أيضًا الكشف عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأغراض الأمنية أو إنفاذ القانون أو أي أغراض أخرى ذات أهمية عامة.
• في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث الذي يخلفه.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام، بالإضافة إلى الوصول غير المصرح به والكشف والتغيير والتدمير.

احترام خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة، نقوم بتوصيل معايير الخصوصية والأمان لموظفينا وننفذ ممارسات الخصوصية بشكل صارم.

يتطلب معرفة الصيغ الأساسية لعلم المثلثات - مجموع مربعات الجيب وجيب التمام، والتعبير عن الظل من خلال الجيب وجيب التمام، وغيرها. لمن نسيها أو لا يعرفها ننصح بقراءة المقال "".
لذلك، نحن نعرف الصيغ المثلثية الأساسية، وحان الوقت لاستخدامها في الممارسة العملية. حل المعادلات المثلثيةفي النهج الصحيح- نشاط مثير للغاية، مثل حل مكعب روبيك على سبيل المثال.

ومن الاسم نفسه يتضح أن المعادلة المثلثية هي معادلة يكون فيها المجهول تحت إشارة الدالة المثلثية.
هناك ما يسمى بأبسط المعادلات المثلثية. هذا هو شكلها: sinx = a، cos x = a، tan x = a. دعونا نفكر كيفية حل هذه المعادلات المثلثية، من أجل الوضوح سوف نستخدم الدائرة المثلثية المألوفة بالفعل.

سينكس = أ

كوس س = أ

تان س = أ

سرير س = أ

يتم حل أي معادلة مثلثية على مرحلتين: نختصر المعادلة إلى أبسط صورة ثم نحلها كمعادلة مثلثية بسيطة.
هناك 7 طرق رئيسية يتم من خلالها حل المعادلات المثلثية.

1. طريقة الاستبدال والاستبدال المتغيرة

حل المعادلة 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

باستخدام صيغ التخفيض نحصل على:

2cos 2 (س + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

استبدل cos(x + /6) بـ y للتبسيط والحصول على المعادلة التربيعية المعتادة:

2ص 2 - 3ص + 1 + 0

جذورها هي ص 1 = 1، ص 2 = 1/2

الآن دعنا نذهب بترتيب عكسي

نستبدل قيم y التي تم العثور عليها ونحصل على خيارين للإجابة:

2. حل المعادلات المثلثية من خلال التحليل

كيف تحل المعادلة sin x + cos x = 1؟

دعنا ننقل كل شيء إلى اليسار بحيث يبقى 0 على اليمين:

خطيئة س + كوس س – 1 = 0

دعونا نستخدم الهويات التي تمت مناقشتها أعلاه لتبسيط المعادلة:

الخطيئة س - 2 الخطيئة 2 (س/2) = 0

دعونا نحلل:

2خطيئة(س/2) * جتا(س/2) - 2 خطيئة 2 (س/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

نحصل على معادلتين

3. التخفيض إلى معادلة متجانسة

تكون المعادلة متجانسة بالنسبة إلى الجيب وجيب التمام إذا كانت جميع حدودها مرتبطة بالجيب وجيب التمام بنفس الدرجة ومن نفس الزاوية. لحل معادلة متجانسة، اتبع ما يلي:

أ) نقل جميع أعضائه إلى الجانب الأيسر؛

ب) أخرج كل شيء العوامل المشتركةخارج الأقواس.

ج) مساواة جميع العوامل والأقواس بالصفر؛

د) يتم الحصول على معادلة متجانسة من الدرجة الأدنى بين قوسين، والتي بدورها تنقسم إلى جيب أو جيب التمام من درجة أعلى؛

هـ) حل المعادلة الناتجة لـ tg.

حل المعادلة 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

دعونا نستخدم الصيغة sin 2 x + cos 2 x = 1 ونتخلص من الاثنين المفتوحين على اليمين:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

خطيئة 2 س + 4 خطيئة x جتا س + 3 جتا 2 س = 0

القسمة على cos x:

تيراغرام 2 س + 4 تيراغرام س + 3 = 0

استبدل tan x بـ y واحصل على معادلة تربيعية:

ص 2 + 4ص +3 = 0، جذورها ص 1 =1، ص 2 = 3

ومن هنا نجد حلين للمعادلة الأصلية:

س 2 = القطب الشمالي 3 + ك

4. حل المعادلات من خلال الانتقال إلى نصف الزاوية

حل المعادلة 3sin x – 5cos x = 7

دعنا ننتقل إلى x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

دعنا ننقل كل شيء إلى اليسار:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

القسمة على cos(x/2):

تيراغرام 2 (س/2) – 3تغ(س/2) + 6 = 0

5. مقدمة من الزاوية المساعدة

للأخذ في الاعتبار، لنأخذ معادلة بالشكل: a sin x + b cos x = c،

حيث a، b، c هي بعض المعاملات التعسفية، وx غير معروف.

دعونا نقسم طرفي المعادلة على:



الآن معاملات المعادلة، وفقًا للصيغ المثلثية، لها خصائص sin وcos، وهي: معاملها لا يزيد عن 1 ومجموع المربعات = 1. دعنا نشير إليهم على التوالي باسم cos وsin، حيث - هذا هو ما يسمى بالزاوية المساعدة. عندها ستأخذ المعادلة الشكل:

cos * sin x + sin * cos x = C

أو الخطيئة(س +) = ج

الحل لهذه المعادلة المثلثية البسيطة هو

س = (-1) ك * أرسين C - + ك، حيث



تجدر الإشارة إلى أن الرموز cos وsin قابلة للتبديل.

حل المعادلة sin 3x – cos 3x = 1

المعاملات في هذه المعادلة هي:

أ = ، ب = -1، لذا اقسم كلا الطرفين على = 2

درس تطبيق معقدمعرفة.

أهداف الدرس.

1. يعتبر أساليب مختلفةحل المعادلات المثلثية.
2. تطوير إِبداعالطلاب عن طريق حل المعادلات.
3. تشجيع الطلاب على ضبط النفس والتحكم المتبادل والتحليل الذاتي لأنشطتهم التعليمية.

المعدات: الشاشة، جهاز العرض، المواد المرجعية.

خلال الفصول الدراسية

محادثة تمهيدية.

الطريقة الرئيسية لحل المعادلات المثلثية هي اختزالها إلى أبسط صورها. في هذه الحالة، يتم استخدام الطرق المعتادة، على سبيل المثال، التحليل، وكذلك التقنيات المستخدمة فقط لحل المعادلات المثلثية. هناك الكثير من هذه التقنيات، على سبيل المثال، البدائل المثلثية المختلفة، وتحويلات الزوايا، وتحويلات الدوال المثلثية. إن التطبيق العشوائي لأي تحويلات مثلثية لا يؤدي عادة إلى تبسيط المعادلة، بل يعقدها بشكل كارثي. للعمل في المخطط العامخطة لحل المعادلة، حدد طريقة لتقليل المعادلة إلى أبسطها، يجب عليك أولاً تحليل الزوايا - حجج الدوال المثلثية المضمنة في المعادلة.

اليوم سنتحدث عن طرق حل المعادلات المثلثية. غالبًا ما تؤدي الطريقة المختارة بشكل صحيح إلى تبسيط الحل بشكل كبير، لذلك يجب دائمًا وضع جميع الطرق التي درسناها في الاعتبار من أجل حل المعادلات المثلثية باستخدام الطريقة الأكثر ملاءمة.

ثانيا. (باستخدام جهاز العرض، نكرر طرق حل المعادلات.)

1. طريقة اختزال المعادلة المثلثية إلى معادلة جبرية.

من الضروري التعبير عن جميع الدوال المثلثية من خلال دالة واحدة بنفس الوسيطة. ويمكن القيام بذلك باستخدام الهوية المثلثية الأساسية وعواقبها. نحصل على معادلة ذات دالة مثلثية واحدة. وبأخذها كمجهول جديد، نحصل على معادلة جبرية. نجد جذورها ونعود إلى المجهول القديم، ونحل أبسط المعادلات المثلثية.

2. طريقة التخصيم.

لتغيير الزوايا، غالبًا ما تكون صيغ التخفيض والمجموع والفرق بين الوسائط مفيدة، بالإضافة إلى صيغ تحويل مجموع (الفرق) للدوال المثلثية إلى منتج والعكس صحيح.

خطيئة x + خطيئة 3x = خطيئة 2x + خطيئة 4x

3. طريقة إدخال زاوية إضافية.

4. طريقة استخدام الاستبدال الشامل.

يتم تحويل المعادلات من الصيغة F(sinx, cosx, tanx) = 0 إلى جبرية باستخدام الاستبدال المثلثي الشامل

التعبير عن الجيب وجيب التمام والظل بدلالة الظل نصف زاوية. هذه التقنية يمكن أن تؤدي إلى المعادلة ترتيب عالي. والحل الذي هو صعب.