أبسط معادلات الجيب المثلثية. المعادلات المثلثية

عند حل الكثير المشاكل الرياضية وخاصة تلك التي تحدث قبل الصف العاشر، فإن ترتيب الإجراءات التي يتم تنفيذها والتي ستؤدي إلى الهدف محدد بوضوح. وتشمل هذه المشاكل، على سبيل المثال، المعادلات الخطية والتربيعية، والمتباينات الخطية والتربيعية، المعادلات الكسريةوالمعادلات التي يتم اختزالها إلى المعادلات التربيعية. مبدأ حل كل مشكلة من المشاكل المذكورة بنجاح هو كما يلي: من الضروري تحديد نوع المشكلة التي يتم حلها، وتذكر التسلسل الضروري للإجراءات التي ستؤدي إلى النتيجة المرجوة، أي. قم بالإجابة واتبع هذه الخطوات.

من الواضح أن النجاح أو الفشل في حل مشكلة معينة يعتمد بشكل أساسي على مدى صحة تحديد نوع المعادلة التي يتم حلها، ومدى صحة إعادة إنتاج تسلسل جميع مراحل حلها. وبطبيعة الحال، فمن الضروري أن يكون لديك المهارات اللازمة للأداء تحولات الهويةوالحوسبة.

الوضع مختلف مع المعادلات المثلثية.ليس من الصعب على الإطلاق إثبات حقيقة أن المعادلة مثلثية. تنشأ الصعوبات عند تحديد تسلسل الإجراءات التي من شأنها أن تؤدي إلى الإجابة الصحيحة.

بواسطة مظهرالمعادلة، فمن الصعب في بعض الأحيان تحديد نوعها. وبدون معرفة نوع المعادلة، يكاد يكون من المستحيل اختيار المعادلة الصحيحة من بين عشرات الصيغ المثلثية.

لحل معادلة مثلثية، عليك تجربة ما يلي:

1. جلب جميع الدوال المتضمنة في المعادلة إلى "نفس الزوايا"؛
2. تحويل المعادلة إلى "دوال متطابقة"؛
3. تتكشف الجهه اليسرىمعادلات التخصيم، الخ

دعونا نفكر الطرق الأساسية لحل المعادلات المثلثية.

I. الاختزال إلى أبسط المعادلات المثلثية

مخطط الحل

الخطوة 1.يعبر وظيفة المثلثيةمن خلال المكونات المعروفة.

الخطوة 2.ابحث عن وسيطة الوظيفة باستخدام الصيغ:

كوس س = أ؛ x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

الخطيئة س = أ؛ x = (-1) n قوسسين a + πn، n Є Z.

تان س = أ؛ x = القطب الشمالي a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

الخطوه 3.ابحث عن المتغير المجهول.

مثال.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

حل.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, nЄZ;

س = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, nЄZ;

س = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, nЄZ.

الإجابة: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, nЄZ.

ثانيا. استبدال متغير

مخطط الحل

الخطوة 1.اختزل المعادلة إلى الصورة الجبرية فيما يتعلق بإحدى الدوال المثلثية.

الخطوة 2.قم بالإشارة إلى الوظيفة الناتجة بواسطة المتغير t (إذا لزم الأمر، ضع قيودًا على t).

الخطوه 3.اكتب وحل المعادلة الجبرية الناتجة.

الخطوة 4.قم بإجراء استبدال عكسي.

الخطوة 5.حل أبسط معادلة مثلثية.

مثال.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

حل.

1) 2(1 – الخطيئة 2 (س/2)) – 5الخطيئة (س/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) دع الخطيئة (x/2) = t، حيث |t| ≥ 1.

3) 2ر 2 + 5ر + 3 = 0;

t = 1 أو e = -3/2، لا يحقق الشرط |t| ≥ 1.

4) خطيئة(س/2) = 1.

5) س/2 = π/2 + 2πn، n Є Z؛

س = π + 4πn، n Є Z.

الجواب: س = π + 4πn، n Є Z.

ثالثا. طريقة تخفيض ترتيب المعادلة

مخطط الحل

الخطوة 1.استبدل هذه المعادلة بمعادلة خطية، باستخدام صيغة تقليل الدرجة:

خطيئة 2 س = 1/2 · (1 - جتا 2س)؛

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

الخطوة 2.حل المعادلة الناتجة باستخدام الطريقتين الأولى والثانية.

مثال.

كوس 2س + كوس 2 س = 5/4.

حل.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4؛

3/2 كوس 2س = 3/4؛

2x = ±π/3 + 2πn, nЄZ;

س = ±π/6 + πn, nЄZ.

الإجابة: x = ±π/6 + πn, nЄZ.

رابعا. المعادلات المتجانسة

مخطط الحل

الخطوة 1.تقليل هذه المعادلة إلى النموذج

أ) خطيئة س + ب كوس س = 0 ( معادلة متجانسةالدرجة الأولى)

أو إلى الرأي

ب) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (معادلة متجانسة من الدرجة الثانية).

الخطوة 2.اقسم طرفي المعادلة على

أ) كوس س ≠ 0؛

ب) جتا 2 س ≠ 0؛

واحصل على معادلة tan x:

أ) تان س + ب = 0؛

ب) أ تان 2 س + ب القطب الشمالي س + ج = 0.

الخطوه 3.حل المعادلة باستخدام الطرق المعروفة.

مثال.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

حل.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

جا 2 س + 3 جا س · كوس س – 4كوس 2 × = 0/كوس 2 × ≠ 0.

2) تيراغرام 2 س + 3تيراغرام س – 4 = 0.

3) دع tg x = t، إذن

ر 2 + 3ت – 4 = 0;

ر = 1 أو ر = -4، وهو ما يعني

تيراغرام س = 1 أو تيراغرام س = -4.

من المعادلة الأولى x = π/4 + πn, n Є Z; من المعادلة الثانية x = -arctg 4 + πk، kЄ Z.

الجواب: س = π/4 + πn، n Є Z؛ س = -arctg 4 + πk، k Є Z.

V. طريقة تحويل المعادلة باستخدام الصيغ المثلثية

مخطط الحل

الخطوة 1.باستخدام جميع الصيغ المثلثية الممكنة، اختزل هذه المعادلة إلى معادلة تم حلها بالطرق I، II، III، IV.

الخطوة 2.حل المعادلة الناتجة باستخدام الطرق المعروفة.

مثال.

خطيئة س + خطيئة 2س + خطيئة 3س = 0.

حل.

1) (الخطيئة س + الخطيئة 3x) + الخطيئة 2x = 0؛

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) خطيئة 2س (2كوس س + 1) = 0؛

الخطيئة 2x = 0 أو 2cos x + 1 = 0؛

من المعادلة الأولى 2x = π/2 + πn, n Є Z; من المعادلة الثانية cos x = -1/2.

لدينا x = π/4 + πn/2, n Є Z؛ من المعادلة الثانية x = ±(π – π/3) + 2πk, kЄZ.

ونتيجة لذلك، x = π/4 + πn/2, n Є Z; س = ±2π/3 + 2πك، ك، ض.

الجواب: x = π/4 + πn/2, n Є Z؛ س = ±2π/3 + 2πك، ك، ض.

حل المهارات والقدرات المعادلات المثلثيةانه كثير والأهم من ذلك أن تطويرها يتطلب جهدًا كبيرًا، سواء من جانب الطالب أو من جانب المعلم.

ترتبط العديد من مسائل القياس الفراغي والفيزياء وغيرها بحل المعادلات المثلثية، وتجسد عملية حل مثل هذه المسائل العديد من المعارف والمهارات التي يتم اكتسابها من خلال دراسة عناصر علم المثلثات.

تأخذ المعادلات المثلثية مكانة هامةفي عملية تدريس الرياضيات وتنمية الشخصية بشكل عام.

لا تزال لديك أسئلة؟ لا أعرف كيفية حل المعادلات المثلثية؟
للحصول على مساعدة من المعلم، قم بالتسجيل.
الدرس الأول مجاني!

موقع الويب، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر.

تتضمن دورة الفيديو "Get a A" جميع المواضيع التي تحتاج إليها اكتمال موفقامتحان الدولة الموحد في الرياضيات من 60 إلى 65 نقطة. تماما جميع المشاكل 1-13 امتحان الدولة الموحدة للملف الشخصيالرياضيات. مناسب أيضًا لاجتياز امتحان الدولة الموحدة الأساسي في الرياضيات. إذا كنت ترغب في اجتياز امتحان الدولة الموحدة برصيد 90-100 نقطة، فأنت بحاجة إلى حل الجزء الأول في 30 دقيقة وبدون أخطاء!

دورة تحضيرية لامتحان الدولة الموحدة للصفوف 10-11 وكذلك للمعلمين. كل ما تحتاجه لحل الجزء الأول من امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات (أول 12 مسألة) والمسألة 13 (علم المثلثات). وهذا أكثر من 70 نقطة في امتحان الدولة الموحدة، ولا يستطيع طالب 100 نقطة ولا طالب العلوم الإنسانية الاستغناء عنها.

كل النظرية اللازمة. طرق سريعةحلول ومزالق وأسرار امتحان الدولة الموحدة. تم تحليل جميع المهام الحالية للجزء الأول من بنك مهام FIPI. تتوافق الدورة تمامًا مع متطلبات امتحان الدولة الموحدة 2018.

الدورة تحتوي على 5 مواضيع كبيرة، 2.5 ساعة لكل منهما. يتم تقديم كل موضوع من الصفر، ببساطة ووضوح.

المئات من مهام امتحان الدولة الموحدة. المسائل اللفظية ونظرية الاحتمالات. خوارزميات بسيطة وسهلة التذكر لحل المشكلات. الهندسة. نظرية، المواد المرجعية، تحليل جميع أنواع مهام امتحان الدولة الموحدة. القياس المجسم. حلول صعبة، أوراق غش مفيدة، تطوير الخيال المكاني. علم المثلثات من الصفر إلى المشكلة 13. الفهم بدلا من الحشر. تفسيرات واضحة للمفاهيم المعقدة. الجبر. الجذور والقوى واللوغاريتمات والدالة والمشتقات. أساس الحل المهام المعقدة 2 أجزاء من امتحان الدولة الموحدة.

درس وعرض حول موضوع: "حل المعادلات المثلثية البسيطة"

مواد إضافية
أعزائي المستخدمين، لا تنسوا ترك تعليقاتكم ومراجعاتكم ورغباتكم! تم فحص جميع المواد بواسطة برنامج مكافحة الفيروسات.

الأدلة وأجهزة المحاكاة في متجر Integral عبر الإنترنت للصف العاشر من 1C
حل المشاكل في الهندسة. المهام التفاعلية للبناء في الفضاء
بيئة البرمجيات "1C: منشئ رياضي 6.1"

ما سوف ندرسه :
1. ما هي المعادلات المثلثية؟

3. طريقتان رئيسيتان لحل المعادلات المثلثية.
4. المعادلات المثلثية المتجانسة.
5. أمثلة.

ما هي المعادلات المثلثية؟

يا رفاق، لقد درسنا بالفعل أركسين وأركوسين وظل قوسي وظل قوسي. الآن دعونا نلقي نظرة على المعادلات المثلثية بشكل عام.

المعادلات المثلثية هي معادلات تحتوي على متغير تحت إشارة الدالة المثلثية.

دعونا نكرر شكل حل أبسط المعادلات المثلثية:

1)إذا كان |a|≥ 1، فإن المعادلة cos(x) = a لها حل:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) إذا كان |a|≥ 1، فإن المعادلة sin(x) = a لها حل:

3) إذا |أ| > 1، فإن المعادلة sin(x) = a وcos(x) = a ليس لها حلول 4) المعادلة tg(x)=a لها حل: x=arctg(a)+ πk

5) المعادلة ctg(x)=a لها حل: x=arcctg(a)+ πk

لجميع الصيغ ك هو عدد صحيح

أبسط المعادلات المثلثية لها الشكل التالي: T(kx+m)=a، T هي دالة مثلثية.

حل المعادلات: أ) sin(3x)= √3/2

حل:

أ) لنشير إلى 3x=t، ثم سنعيد كتابة معادلتنا على الصورة:

حل هذه المعادلة سيكون: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

من جدول القيم نحصل على: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

دعنا نعود إلى المتغير: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

ثم x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

الإجابة: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3، حيث n عدد صحيح. (-1)^n – ناقص واحد أس n.

المزيد من الأمثلة على المعادلات المثلثية.

حل:

أ) هذه المرة لننتقل مباشرة إلى حساب جذور المعادلة على الفور:

X/5= ± قوس(1) + 2ط ك. ثم x/5= πk => x=5πk

الإجابة: x=5πk، حيث k عدد صحيح.

ب) نكتبها على الصورة: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. نحن نعلم أن: arctan(√3)=π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

الإجابة: x=2π/9 + πk/3، حيث k عدد صحيح.

حل المعادلات: cos(4x)= √2/2. وأوجد جميع الجذور في القطعة.

حل:

سوف نقرر في منظر عاممعادلتنا: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

الآن دعونا نرى ما هي الجذور التي تقع على قطاعنا. عند k عند k=0, x= π/16، نكون في المقطع المحدد.
مع k=1، x= π/16+ π/2=9π/16، نضرب مرة أخرى.
بالنسبة لـ k=2، x= π/16+ π=17π/16، لكننا لم نصل هنا، مما يعني أنه من الواضح أيضًا أننا لن نصل إلى k الكبيرة.

الإجابة: س= ط/16، س= 9ط/16

طريقتان رئيسيتان للحل.

دعونا نحل المعادلة:

حل:
لحل المعادلة سنستخدم طريقة إدخال متغير جديد يدل على: t=tg(x).

نتيجة الاستبدال نحصل على: t 2 + 2t -1 = 0

دعونا نجد الجذور معادلة من الدرجة الثانية: ر=-1 و ر=1/3

ثم tg(x)=-1 وtg(x)=1/3، نحصل على أبسط معادلة مثلثية، لنجد جذورها.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

الإجابة: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

مثال على حل المعادلة

حل المعادلات: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

حل:

لنستخدم الهوية: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

ستكون معادلتنا بالشكل التالي: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 كوس 2 (س) - 3 كوس (س) -2 = 0

دعونا نقدم الاستبدال t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

حل المعادلة التربيعية هو الجذور: t=2 وt=-1/2

ثم cos(x)=2 وcos(x)=-1/2.

لأن لا يمكن لجيب التمام أن يأخذ قيمًا أكبر من واحد، وبالتالي فإن cos(x)=2 ليس له جذور.

بالنسبة لـ cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; س= ±2π/3 + 2πك

الإجابة: x= ±2π/3 + 2πk

المعادلات المثلثية المتجانسة.

معادلات النموذج

المعادلات المثلثية المتجانسة من الدرجة الثانية.

لحل معادلة مثلثية متجانسة من الدرجة الأولى، قسّمها على cos(x): لا يمكنك القسمة على جيب التمام إذا كان الأمر كذلك يساوي الصفر، دعونا نتأكد من أن الأمر ليس كذلك:
لنفترض أن cos(x)=0، ثم asin(x)+0=0 => sin(x)=0، لكن الجيب وجيب التمام لا يساويان الصفر في نفس الوقت، نحصل على تناقض، حتى نتمكن من القسمة بأمان بمقدار الصفر.

حل المعادلة:
مثال: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

حل:

سوف نخرجها المضاعف المشترك: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

ثم نحتاج إلى حل معادلتين:

Cos(x)=0 وcos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 عند x= π/2 + πk;

خذ بعين الاعتبار المعادلة cos(x)+sin(x)=0 قسّم المعادلة على cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

الإجابة: x= π/2 + πk و x= -π/4+πk

كيفية حل المعادلات المثلثية المتجانسة من الدرجة الثانية؟
يا رفاق، اتبعوا هذه القواعد دائمًا!

1. تعرف على ما يساويه المعامل a، إذا كانت a=0 فإن معادلتنا ستأخذ الشكل cos(x)(bsin(x)+ccos(x))، مثال على الحل موجود في الشريحة السابقة

2. إذا كان a≠0، فأنت بحاجة إلى قسمة طرفي المعادلة على مربع جيب التمام، نحصل على:

نغير المتغير t=tg(x) ونحصل على المعادلة:

حل المثال رقم:3

دعونا نقسم طرفي المعادلة على مربع جيب التمام:

نقوم بتغيير المتغير t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

لنجد جذور المعادلة التربيعية: t=-3 وt=1

ثم: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

الإجابة: x=-arctg(3) + πk وx= π/4+ πk

حل المثال رقم:4

حل:
دعونا نحول تعبيرنا:

يمكننا حل هذه المعادلات: x= - π/4 + 2πk و x=5π/4 + 2πk

الإجابة: x= - π/4 + 2πk و x=5π/4 + 2πk

حل المثال رقم:5

حل:
دعونا نحول تعبيرنا:

دعونا نقدم الاستبدال tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

سيكون حل المعادلة التربيعية هو الجذور: t=-2 وt=1/2

ثم نحصل على: tg(2x)=-2 و tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

الإجابة: x=-arctg(2)/2 + πk/2 و x=arctg(1/2)/2+ πk/2

مشاكل للحل المستقل.

أ) sin(7x)= 1/2 ب) cos(3x)= √3/2 ج) cos(-x) = -1 د) tg(4x) = √3 د) ctg(0.5x) = -1.7

2) حل المعادلات: sin(3x)= √3/2. وأوجد جميع الجذور في القطعة [π/2; π].

3) حل المعادلة: cot 2 (x) + 2 cot (x) + 1 =0

4) حل المعادلة: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) حل المعادلة: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) حل المعادلة: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

الحفاظ على خصوصيتك مهم بالنسبة لنا. لهذا السبب، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى مراجعة ممارسات الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كانت لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عند تقديم طلب على الموقع، قد نقوم بجمع معلومات مختلفة، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوانك بريد إلكترونيإلخ.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

• المعلومات الشخصية التي نجمعها تسمح لنا بالاتصال بك وإبلاغك بذلك عروض فريدة من نوعهاوالترقيات وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إشعارات ومراسلات مهمة.
• قد نستخدم أيضًا المعلومات الشخصية لأغراض داخلية، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا شاركت في سحب جائزة أو مسابقة أو عرض ترويجي مماثل، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.

الكشف عن المعلومات لأطراف ثالثة

نحن لا نكشف عن المعلومات الواردة منك إلى أطراف ثالثة.

الاستثناءات:

• إذا لزم الأمر، وفقا للقانون، الإجراء القضائي، الخامس محاكمةو/أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات الواردة من وكالات الحكومةعلى أراضي الاتحاد الروسي - الكشف عن معلوماتك الشخصية. يجوز لنا أيضًا الكشف عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأغراض الأمنية أو إنفاذ القانون أو أي أغراض أخرى ذات أهمية عامة.
• في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث الذي يخلفه.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام، بالإضافة إلى الوصول غير المصرح به والكشف والتغيير والتدمير.

احترام خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة، نقوم بتوصيل معايير الخصوصية والأمان لموظفينا وننفذ ممارسات الخصوصية بشكل صارم.