Funksiyanın ekstremalları nədir: maksimum və minimumun kritik nöqtələri. Funksiya həddi

Bu bərabərsizliklərdə Δ kimi həddə keçmək x→ 0 və törəmə olduğunu nəzərə alaraq f "(x 0) mövcuddur və buna görə də soldakı limit Δ-dan asılı deyil x→ 0, alırıq: Δ üçün x → 0 – 0 f" (x 0) ≥ 0 və Δ-da x → 0 + 0 f" (x 0) ≤ 0. ildən f" (x 0) ədədi müəyyən edir, onda bu iki bərabərsizlik yalnız o halda uyğun gəlir f" (x 0) = 0.

Sübut edilmiş teorem göstərir ki, maksimum və minimum nöqtələr yalnız törəmənin itdiyi arqumentin qiymətləri arasında ola bilər.

Biz funksiyanın müəyyən seqmentin bütün nöqtələrində törəməsinin olması halını nəzərdən keçirdik. Törəmə mövcud olmadıqda nə baş verir? Nümunələri nəzərdən keçirin.

y =|x |.

Funksiyanın bir nöqtədə törəməsi yoxdur x=0 (bu nöqtədə funksiyanın qrafiki müəyyən tangensə malik deyil), lakin bu nöqtədə funksiya minimuma malikdir, çünki y(0)=0 və hamı üçün x ≠ 0y > 0.

Beləliklə, verilmiş misallardan və tərtib edilmiş teoremdən aydın olur ki, funksiya yalnız iki halda ekstremuma malik ola bilər: 1) törəmənin mövcud olduğu və sıfıra bərabər olduğu nöqtələrdə; 2) törəmənin mövcud olmadığı nöqtədə.

Lakin, əgər bir nöqtədə x 0 biz bunu bilirik f"(x 0 ) =0, onda bu nöqtədə belə nəticəyə gəlmək olmaz x 0 funksiyanın ekstremum var.

Misal üçün.

Ancaq nöqtə x=0 ekstremal nöqtə deyil, çünki bu nöqtənin solunda funksiya dəyərləri oxun altında yerləşir öküz, və yuxarıda sağda.

Funksiyanın törəməsinin itdiyi və ya mövcud olmadığı funksiyanın sahəsindən arqumentin qiymətləri adlanır. kritik nöqtələr .

Yuxarıda deyilənlərin hamısından belə nəticə çıxır ki, funksiyanın ekstremum nöqtələri kritik nöqtələr sırasındadır və bununla belə, hər bir kritik nöqtə ekstremum nöqtəsi deyil. Buna görə də, funksiyanın ekstremumunu tapmaq üçün funksiyanın bütün kritik nöqtələrini tapmaq və sonra bu nöqtələrin hər birini maksimum və minimum üçün ayrıca yoxlamaq lazımdır. Bunun üçün aşağıdakı teorem xidmət edir.

Teorem 2. (Ekstremumun mövcudluğu üçün kafi şərt.) Funksiya kritik nöqtəni ehtiva edən bəzi intervalda kəsilməz olsun. x 0 və bu intervalın bütün nöqtələrində diferensiallaşdırılır (bəlkə də nöqtənin özü istisna olmaqla x 0). Əgər bu nöqtədən soldan sağa keçərkən törəmə işarəni artıdan mənfiyə dəyişirsə, onda nöqtədə x = x 0 funksiyanın maksimumu var. Əgər keçərkən x 0 soldan sağa, törəmə işarəni mənfidən artıya dəyişir, onda funksiya bu nöqtədə minimuma malikdir.

Beləliklə, əgər

f"(x)>0 saat x <x 0 və f"(x)< 0 saat x > x 0, onda x 0 - maksimum nöqtə;

Sübut. Əvvəlcə keçərkən bunu fərz edək x 0, törəmə dəyişikliyi artıdan mənfiyə işarə edir, yəni. hamı üçün x nöqtəyə yaxındır x 0 f "(x)>üçün 0 x< x 0 , f"(x)< üçün 0 x > x 0 . Fərqə Laqranj teoremini tətbiq edək f(x) - f(x 0 ) = f "(c)(x- x 0), harada c arasında yatır x və x 0 .

Qoy x< x 0 . Sonra c< x 0 və f "(c)> 0. Buna görə də f "(c)(x-x 0)< 0 və buna görə də

f(x) - f(x 0 )< 0, yəni. f(x)< f(x 0 ).

Qoy x > x 0 . Sonra c>x 0 və f"(c)< 0. deməkdir f "(c)(x-x 0)< 0. Buna görə də f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x) < f(x 0 ) .

Beləliklə, bütün dəyərlər üçün x kifayət qədər yaxındır x 0 f(x) < f(x 0 ) . Və bu o deməkdir ki, nöqtədə x 0 funksiyanın maksimumu var.

Minimum teoreminin ikinci hissəsi də eyni şəkildə isbat edilir.

Şəkildə bu teoremin mənasını izah edək. Qoy f"(x 1 ) =0 və istənilən üçün x, kifayət qədər yaxındır x 1 , bərabərsizliklər

f"(x)< 0 saat x< x 1 , f "(x)> 0 saat x > x 1 .

Sonra nöqtənin soluna x 1 funksiya sağda artır və azalır, buna görə də nə zaman x = x 1 funksiya artandan azalmağa doğru gedir, yəni maksimuma malikdir.

Eynilə, nöqtələri nəzərdən keçirmək olar x 2 və x 3 .

Sxematik olaraq yuxarıda göstərilənlərin hamısı şəkildə təsvir edilə bilər:

Ekstremum üçün y=f(x) funksiyasının öyrənilməsi qaydası

Funksiyanın əhatə dairəsini tapın f(x).

Funksiyanın birinci törəməsini tapın f"(x) .

Bunun üçün kritik nöqtələri müəyyənləşdirin:

tənliyin həqiqi köklərini tapın f"(x) =0;

bütün dəyərləri tapın x altında törəmə f"(x) mövcud deyil.

Kritik nöqtənin solunda və sağında törəmənin işarəsini təyin edin. Törəmə işarəsi iki kritik nöqtə arasında sabit qaldığından, törəmənin işarəsini kritik nöqtənin solunda və sağında hər hansı bir nöqtədə müəyyən etmək kifayətdir.

Ekstremum nöqtələrində funksiyanın qiymətini hesablayın.

Funksiyanın xarakterini müəyyən etmək və onun davranışı haqqında danışmaq üçün artım və azalma intervallarını tapmaq lazımdır. Bu proses funksiyaların kəşfiyyatı və planlaşdırılması adlanır. Ekstremum nöqtəsi funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətlərini taparkən istifadə olunur, çünki onlar funksiyanı intervaldan artırır və ya azaldır.

Bu məqalə tərifləri ortaya qoyur, biz interval üzrə kifayət qədər artım və azalma əlaməti və ekstremumun mövcudluğu şərtini tərtib edirik. Bu, misalların və problemlərin həllinə aiddir. Funksiyaların diferensiallaşdırılması bölməsi təkrarlanmalıdır, çünki həll edərkən törəmənin tapılmasından istifadə etmək lazım gələcək.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Tərif 1

İstənilən x 1 ∈ X və x 2 ∈ X , x 2 > x 1 üçün f (x 2) > f (x 1) bərabərsizliyi mümkün olduqda y = f (x) funksiyası x intervalında artacaq. Başqa sözlə, arqumentin daha böyük dəyəri funksiyanın daha böyük dəyərinə uyğun gəlir.

Tərif 2

İstənilən x 1 ∈ X , x 2 ∈ X , x 2 > x 1 üçün f (x 2) > f (x 1) bərabərliyi nəzərə alındıqda y = f (x) funksiyası x intervalında azalan hesab olunur. mümkün. Başqa sözlə, daha böyük bir funksiya dəyəri daha kiçik bir arqument dəyərinə uyğun gəlir. Aşağıdakı rəqəmi nəzərdən keçirin.

Şərh: Funksiya artan və enən intervalın sonunda, yəni (a; b) x = a, x = b olduğu yerlərdə müəyyən edilmiş və davamlı olduqda, nöqtələr artan və enən intervala daxil edilir. Bu tərifə zidd deyil, yəni x intervalında baş verir.

Y = sin x tipli elementar funksiyaların əsas xassələri arqumentlərin real qiymətləri üçün müəyyənlik və davamlılıqdır. Buradan əldə edirik ki, sinusun artımı intervalda baş verir - π 2; π 2, onda seqmentdəki artım formaya malikdir - π 2; π 2.

x 0 nöqtəsi adlanır maksimum nöqtə y = f (x) funksiyası üçün x-in bütün qiymətləri üçün f (x 0) ≥ f (x) bərabərsizliyi doğru olduqda. Maksimum funksiya nöqtədəki funksiyanın qiymətidir və y m a x ilə işarələnir.

Bütün x qiymətləri üçün f (x 0) ≤ f (x) bərabərsizliyi doğru olduqda, x 0 nöqtəsi y \u003d f (x) funksiyası üçün minimum nöqtə adlanır. Xüsusiyyət Minimum nöqtədə funksiyanın qiymətidir və y m i n formasının qeydinə malikdir.

x 0 nöqtəsinin məhəllələri nəzərə alınır ekstremal nöqtələr, və ekstremum nöqtələrinə uyğun gələn funksiyanın qiyməti. Aşağıdakı rəqəmi nəzərdən keçirin.

Funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiyməti olan funksiyanın ekstremumu. Aşağıdakı rəqəmi nəzərdən keçirin.

Birinci rəqəmdə deyilir ki, [ a seqmentindən funksiyanın ən böyük qiymətini tapmaq lazımdır; b]. Maksimum nöqtələrdən istifadə edərək tapılır və funksiyanın maksimum dəyərinə bərabərdir və ikinci rəqəm daha çox x = b nöqtəsində maksimum nöqtəni tapmağa bənzəyir.

Funksiyaların artırılması və azaldılması üçün kifayət qədər şərait

Funksiyanın maksimal və minimumlarını tapmaq üçün funksiya bu şərtləri ödədiyi halda ekstremumun işarələrini tətbiq etmək lazımdır. Birinci xüsusiyyət ən çox istifadə olunur.

Ekstremum üçün ilk kifayət qədər şərt

x 0 nöqtəsinin ε qonşuluğunda diferensiallanan və verilmiş x 0 nöqtəsində davamlılığa malik olan y = f (x) funksiyası verilsin. Beləliklə, biz bunu əldə edirik

• f "(x) > 0 olduqda x ∈ (x 0 - ε; x 0) və f" (x) ilə< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
• f"(x) olduqda< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) üçün 0, onda x 0 minimum nöqtədir.

Başqa sözlə, biz onların işarə qoyma şərtlərini əldə edirik:

• funksiya x 0 nöqtəsində kəsilməz olduqda, onda onun işarəsi dəyişən törəmə olur, yəni +-dan --ə qədər, bu o deməkdir ki, nöqtə maksimum adlanır;
• funksiya x 0 nöqtəsində kəsilməz olduqda, onda işarəsi --dən +-ə dəyişən törəmə olur, bu o deməkdir ki, nöqtə minimum adlanır.

Funksiyanın maksimum və minimum nöqtələrini düzgün müəyyən etmək üçün onları tapmaq üçün alqoritmə əməl etməlisiniz:

• tərif sahəsini tapmaq;
• funksiyanın bu sahədə törəməsini tapın;
• funksiyanın mövcud olmadığı sıfırları və nöqtələri müəyyənləşdirin;
• törəmənin işarəsinin intervallar üzrə təyin edilməsi;
• funksiyanın işarəsini dəyişdiyi nöqtələri seçin.

Alqoritmi funksiyanın ekstremumunu tapmaq üçün bir neçə nümunənin həlli nümunəsində nəzərdən keçirin.

Misal 1

Verilmiş y = 2 (x + 1) 2 x - 2 funksiyasının maksimum və minimum nöqtələrini tapın.

Həll

Bu funksiyanın oblastı x = 2 istisna olmaqla bütün real ədədlərdir. Əvvəlcə funksiyanın törəməsini tapırıq və alırıq:

y "= 2 x + 1 2 x - 2" = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2) ) - (x + 2) 2 (x) - 2) 2 = = 2 (x + 1) (x - 5) (x - 2) 2

Buradan görürük ki, funksiyanın sıfırları x \u003d - 1, x \u003d 5, x \u003d 2, yəni hər mötərizə sıfıra bərabər olmalıdır. Nömrə xəttində işarələyin və əldə edin:

İndi hər intervaldan törəmənin əlamətlərini təyin edirik. Aralığa daxil olan nöqtəni seçmək, onu ifadədə əvəz etmək lazımdır. Məsələn, x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6 nöqtələri.

Bunu anlayırıq

y "(- 2) \u003d 2 (x + 1) (x - 5) (x - 2) 2 x \u003d - 2 \u003d 2 (- 2 + 1) (- 2 - 5) (- 2 - 2 ) 2 \u003d 2 7 16 \u003d 7 8\u003e 0, buna görə də - ∞;- 1 intervalı müsbət törəməyə malikdir.

y "(0) = 2 (0 + 1) 0 - 5 0 - 2 2 = 2 - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

İkinci intervalın sıfırdan az olduğu ortaya çıxdığından, seqmentdəki törəmə mənfi olacaq. Üçüncüsü mənfi ilə, dördüncüsü artı ilə. Davamlılığı müəyyən etmək üçün törəmənin işarəsinə diqqət yetirmək lazımdır, əgər dəyişirsə, bu, ekstremum nöqtəsidir.

Alırıq ki, x \u003d - 1 nöqtəsində funksiya davamlı olacaq, yəni törəmə işarəni +-dan --ə dəyişəcək. Birinci işarəyə görə, bizdə x = - 1 maksimum nöqtədir, yəni alırıq

y m a x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0

X = 5 nöqtəsi funksiyanın davamlı olduğunu göstərir və törəmə işarəni --dən +-a dəyişəcək. Deməli, x=-1 minimum nöqtədir və onun tapılması formaya malikdir

y m i n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24

Qrafik şəkil

Cavab: y m a x = y (- 1) = 0 , y m i n = y (5) = 24 .

Diqqət yetirməyə dəyər ki, ekstremumun ilk kifayət işarəsinin istifadəsi funksiyanın x 0 nöqtəsindən diferensiallaşmasını tələb etmir və bu, hesablamağı asanlaşdırır.

Misal 2

y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8 funksiyasının maksimum və minimum nöqtələrini tapın.

Həll.

Funksiya sahəsi bütün həqiqi ədədlərdir. Bu formanın tənliklər sistemi kimi yazıla bilər:

1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

Sonra törəməni tapmaq lazımdır:

y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 " , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 y " = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

X = 0 nöqtəsinin törəməsi yoxdur, çünki birtərəfli sərhədlərin dəyərləri fərqlidir. Bunu alırıq:

lim y "x → 0 - 0 = lim y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 lim y "x → 0 + 0 = lim y x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3

Buradan belə nəticə çıxır ki, funksiya x = 0 nöqtəsində fasiləsizdir, onda hesablayırıq

lim y x → 0 - 0 = lim x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 (0 - 0) 3 - 2 (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 lim y x → 0 + 0 = lim x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 ( 0 + 0) 2 + 22 3 (0 + 0) - 8 = - 8 y (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8

Törəmə sıfır olduqda arqumentin dəyərini tapmaq üçün hesablamalar aparmaq lazımdır:

1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0

Hər bir intervalın işarəsini müəyyən etmək üçün alınan bütün nöqtələr xətt üzərində qeyd edilməlidir. Buna görə də, hər bir interval üçün ixtiyari nöqtələrdə törəmə hesablamaq lazımdır. Məsələn, x = - 6 , x = - 4 , x = - 1 , x = 1 , x = 4 , x = 6 dəyərləri olan xalları götürə bilərik. Bunu anlayırıq

y " (- 6) \u003d - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x \u003d - 6 \u003d - 1 2 - 6 2 - 4 (- 6) - 22 3 \u003d - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 y "(- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 (- 1) 2 - 4 (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 y "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

Düz xətt üzərində olan şəkil formaya malikdir

Beləliklə, bir nöqtəyə gəlirik ki, ekstremumun ilk əlamətinə müraciət etmək lazımdır. Bunu hesablayırıq və alırıq

x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , onda buradan maksimum nöqtələr x = - 4 + 2 3 3 , x = 4 - 2 3 3 qiymətlərinə malikdir

Minimumların hesablanmasına keçək:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3

Funksiyanın maksimumunu hesablayaq. Bunu anlayırıq

y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Qrafik şəkil

Cavab:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 y m a x = y - 4 + 2 3 2 m 3 = = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Əgər f "(x 0) = 0 funksiyası verilmişdirsə, onun f "" (x 0) > 0 ilə f "" (x 0) olarsa, x 0-nın minimum nöqtə olduğunu alırıq.< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

Misal 3

y = 8 x x + 1 funksiyasının maksimal və minimumlarını tapın.

Həll

Əvvəlcə tərif sahəsini tapırıq. Bunu anlayırıq

D (y) : x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0

Funksiyanı fərqləndirmək lazımdır, bundan sonra alırıq

y "= 8 x x + 1" = 8 x " (x + 1) - x (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x

x = 1 olduqda, törəmə sıfıra bərabər olur, yəni nöqtə mümkün ekstremumdur. Aydınlaşdırmaq üçün ikinci törəməni tapmaq və x \u003d 1-də dəyəri hesablamaq lazımdır. Biz əldə edirik:

y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x "(x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2" x + (x + 1) 2 x "(x + 1) 4 x == 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1)" x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1) ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 - 4 8 = - 1< 0

Beləliklə, ekstremum üçün 2 kifayət şərtdən istifadə edərək, x = 1-in maksimum nöqtə olduğunu alırıq. Əks halda, giriş y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4 olur.

Qrafik şəkil

Cavab: y m a x = y (1) = 4 ..

y = f (x) funksiyasının verilmiş x 0 nöqtəsinin ε qonşuluğunda n-ci sıraya qədər törəməsi, x 0 nöqtəsində isə n + 1-ci sıraya qədər törəməsi var. Sonra f "(x 0) = f "" (x 0) = f " " " (x 0) = . . . = f n (x 0) = 0 .

Buradan belə nəticə çıxır ki, n cüt ədəd olduqda, x 0 əyilmə nöqtəsi, n tək ədəd olduqda, x 0 ekstremum nöqtəsi, f (n + 1) (x 0) > 0, onda x hesab olunur. 0 minimum nöqtədir, f(n+1)(x0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

Misal 4

y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4 funksiyasının maksimum və minimum nöqtələrini tapın.

Həll

Orijinal funksiya bütöv bir rasional funksiyadır, deməli, tərif sahəsi bütün real ədədlərdir. Funksiyanı fərqləndirmək lazımdır. Bunu anlayırıq

y "= 1 16 x + 1 3" (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " == 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x +) 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7 x - 5)

Bu törəmə x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3 olduqda sıfıra gedəcək. Yəni nöqtələr mümkün ekstremum nöqtələri ola bilər. Üçüncü kifayət qədər ekstremal şərti tətbiq etmək lazımdır. İkinci törəmənin tapılması funksiyanın maksimum və minimumunun mövcudluğunu dəqiq müəyyən etməyə imkan verir. İkinci törəmə onun mümkün ekstremum nöqtələrində hesablanır. Bunu anlayırıq

y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 y "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0

Bu o deməkdir ki, x 2 \u003d 5 7 maksimum nöqtədir. 3 kifayət qədər meyar tətbiq edərək, əldə edirik ki, n = 1 və f (n + 1) üçün 5 7< 0 .

x 1 = - 1, x 3 = 3 nöqtələrinin xarakterini müəyyən etmək lazımdır. Bunu etmək üçün üçüncü törəməni tapmalı, bu nöqtələrdəki dəyərləri hesablamalısınız. Bunu anlayırıq

y "" " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " == 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y " " " (- 1) = 96 ≠ 0 y " " " (3) = 0

Deməli, x 1 = - 1 funksiyanın əyilmə nöqtəsidir, çünki n = 2 və f (n + 1) (- 1) ≠ 0 üçün. x 3 = 3 nöqtəsini araşdırmaq lazımdır. Bunun üçün 4-cü törəməni tapırıq və bu nöqtədə hesablamalar aparırıq:

y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " == 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0

Yuxarıdakılardan belə nəticəyə gəlirik ki, x 3 \u003d 3 funksiyanın minimum nöqtəsidir.

Qrafik şəkil

Cavab: x 2 \u003d 5 7 maksimum nöqtə, x 3 \u003d 3 - verilmiş funksiyanın minimum nöqtəsidir.

Mətndə səhv görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın

Bu, tamamilə bütün aspirantların və tələbələrin qarşılaşdığı riyaziyyatın olduqca maraqlı bölməsidir. Bununla belə, hamı matanı sevmir. Bəziləri hətta standart funksiyaların öyrənilməsi kimi əsas şeyləri belə başa düşə bilmirlər. Bu məqalə bu səhvi düzəltmək məqsədi daşıyır. Funksiya analizi haqqında daha çox öyrənmək istəyirsiniz? Ekstremum nöqtələrin nə olduğunu və onları necə tapacağını bilmək istərdinizmi? O zaman bu məqalə sizin üçündür.

Funksiya qrafikinin tədqiqi

Başlamaq üçün, cədvəli ümumiyyətlə təhlil etməyin niyə lazım olduğunu başa düşməyə dəyər. Çəkmək asan olan sadə funksiyalar var. Belə bir funksiyanın parlaq nümunəsi paraboladır. Onun qrafikini çəkmək çətin deyil. Sadəcə olaraq, sadə transformasiyadan istifadə edərək, funksiyanın 0 qiymətini aldığı ədədləri tapmaq lazımdır. Prinsipcə, parabola qrafikini çəkmək üçün sizə lazım olan bütün bunlardır.

Bəs qrafiki çəkməli olduğumuz funksiya daha mürəkkəbdirsə? Mürəkkəb funksiyaların xassələri kifayət qədər aydın olmadığı üçün bütöv bir analiz aparmaq lazımdır. Yalnız bundan sonra funksiya qrafik şəkildə göstərilə bilər. Bunu necə etmək olar? Bu sualın cavabını bu məqalədə tapa bilərsiniz.

Funksiya təhlili planı

Ediləcək ilk şey funksiyanın səthi tədqiqini aparmaqdır, bu müddət ərzində biz tərif sahəsini tapacağıq. Beləliklə, sıra ilə başlayaq. Tərif sahəsi funksiyanın təyin olunduğu dəyərlər toplusudur. Sadə dillə desək, bunlar funksiyada x əvəzinə istifadə edilə bilən rəqəmlərdir. Əhatə dairəsini müəyyən etmək üçün sadəcə girişə baxmaq lazımdır. Məsələn, aydındır ki, y (x) \u003d x 3 + x 2 - x + 43 funksiyası müəyyən bir sahəyə - həqiqi ədədlər dəstinə malikdir. Yaxşı, (x 2 - 2x) / x kimi bir funksiya ilə hər şey bir az fərqlidir. Məxrəcdəki ədəd 0-a bərabər olmamalıdır, onda bu funksiyanın oblastı sıfırdan başqa bütün real ədədlər olacaqdır.

Sonra, funksiyanın sözdə sıfırlarını tapmaq lazımdır. Bunlar bütün funksiyanın sıfır dəyərini aldığı arqumentin dəyərləridir. Bunun üçün funksiyanı sıfıra bərabərləşdirmək, onu ətraflı nəzərdən keçirmək və bəzi transformasiyaları yerinə yetirmək lazımdır. Artıq tanış olan y(x) = (x 2 - 2x)/x funksiyasını götürək. Məktəb kursundan bilirik ki, say sıfır olduqda kəsr 0-dır. Buna görə də, məxrəci atırıq və onu sıfıra bərabərləşdirərək say ilə işləməyə başlayırıq. Biz x 2 - 2x \u003d 0 alırıq və x-i mötərizədə çıxarırıq. Beləliklə, x (x - 2) \u003d 0. Nəticədə tapırıq ki, x 0 və ya 2-yə bərabər olduqda funksiyamız sıfıra bərabərdir.

Funksiya qrafikinin tədqiqi zamanı çoxları ekstremum nöqtələri şəklində problemlə üzləşirlər. Və qəribədir. Axı ekstremallar olduqca sadə mövzudur. inanmırsınız? Minimum və maksimum ballar haqqında danışacağımız məqalənin bu hissəsini oxuyaraq özünüzə baxın.

Başlamaq üçün ekstremumun nə olduğunu başa düşməyə dəyər. Ekstremum, funksiyanın qrafikdə çatdığı həddi qiymətdir. Buradan belə çıxır ki, iki ifrat dəyər var - maksimum və minimum. Aydınlıq üçün yuxarıdakı şəklə baxa bilərsiniz. Tədqiq olunan ərazidə -1 nöqtəsi y (x) \u003d x 5 - 5x funksiyasının maksimumu, 1 nöqtəsi isə minimumdur.

Həmçinin, anlayışları bir-biri ilə qarışdırmayın. Funksiyanın ekstremum nöqtələri verilmiş funksiyanın ekstremal qiymətlər əldə etdiyi arqumentlərdir. Öz növbəsində ekstremum funksiyanın minimum və maksimumlarının qiymətidir. Məsələn, yuxarıdakı rəqəmi yenidən nəzərdən keçirin. -1 və 1 funksiyanın ekstremum nöqtələri, 4 və -4 isə ekstremumların özləridir.

Ekstremal nöqtələrin tapılması

Bəs funksiyanın ekstremum nöqtələrini necə tapmaq olar? Hər şey olduqca sadədir. Ediləcək ilk şey tənliyin törəməsini tapmaqdır. Tutaq ki, tapşırığı aldıq: "Y (x) funksiyasının ekstremum nöqtələrini tapın, x arqumentdir. Aydınlıq üçün y (x) \u003d x 3 + 2x 2 + x + 54 funksiyasını götürək. Fərqləndirək. və aşağıdakı tənliyi əldə edirik: 3x 2 + 4x + 1. Nəticədə standart kvadrat tənlik əldə etdik. Yalnız onu sıfıra bərabərləşdirmək və kökləri tapmaq lazımdır. Diskriminant sıfırdan böyük olduğundan (D) \u003d 16 - 12 \u003d 4), bu tənlik iki kök ilə müəyyən edilir. Onları tapıb iki qiymət alırıq: 1/3 və -1. Bunlar funksiyanın ekstremum nöqtələri olacaq. Bununla belə, hələ də necə müəyyən edə bilərsiniz kim kimdir?Hansı nöqtə maksimum və hansı minimumdur?Bunun üçün qonşu nöqtəni götürüb onun qiymətini tapmaq lazımdır.Məsələn , koordinat boyunca solda olan -2 rəqəmini götürək. -1-dən xətt. Bu dəyəri y (-2) = 12 - 8 + 1 = 5 tənliyimizdə əvəz edirik. Nəticədə müsbət ədəd aldıq. Bu o deməkdir ki, 1/3-dən -1-ə qədər olan intervalda funksiyası artır, bu da öz növbəsində mindən aralıqlarla deməkdir sonsuzdan 1/3-ə və -1-dən üstəgəl sonsuzluğa qədər funksiya azalır. Beləliklə, belə nəticəyə gələ bilərik ki, 1/3 rəqəmi tədqiq olunan intervalda funksiyanın minimum nöqtəsi, -1 isə maksimum nöqtədir.

Onu da qeyd etmək lazımdır ki, imtahan təkcə ekstremum nöqtələri tapmağı deyil, həm də onlarla bir növ əməliyyat aparmağı (əlavə etmək, çoxaltmaq və s.) tələb edir. Məhz bu səbəbdən problemin şərtlərinə xüsusi diqqət yetirməyə dəyər. Axı diqqətsizlik səbəbindən xal itirə bilərsiniz.

Mövzu üzrə dərs: "Funksiyaların ekstremum nöqtələrinin tapılması. Nümunələr"

Əlavə materiallar
Hörmətli istifadəçilər, rəy, rəy, təkliflərinizi bildirməyi unutmayın! Bütün materiallar antivirus proqramı ilə yoxlanılır.

1C-dən 10-cu sinif üçün "Integral" onlayn mağazasında təlimatlar və simulyatorlar
Həndəsə məsələləri həll edirik. 7-10-cu siniflər üçün interaktiv tikinti tapşırıqları
Proqram mühiti "1C: Riyazi konstruktor 6.1"

Nə öyrənəcəyik:
1. Giriş.
2. Minimum və maksimum xallar.

4. Ekstremumları necə hesablamaq olar?
5. Nümunələr.

Funksiyaların ekstremallarına giriş

Uşaqlar, gəlin bəzi funksiyaların qrafikinə baxaq:

Qeyd edək ki, y=f (x) funksiyamızın davranışı əsasən iki x1 və x2 nöqtəsi ilə müəyyən edilir. Gəlin bu nöqtələrdə və ətrafında funksiyanın qrafikinə daha yaxından nəzər salaq. x2 nöqtəsinə qədər funksiya artır, x2 nöqtəsində əyilmə olur və bu nöqtədən dərhal sonra funksiya x1 nöqtəsinə qədər azalır. X1 nöqtəsində funksiya yenidən əyilir və bundan sonra yenidən artır. Hələlik x1 və x2 nöqtələri əyilmə nöqtələri adlanacaq. Bu nöqtələrdə tangenslər çəkək:

Nöqtələrimizdəki tangenslər x oxuna paraleldir, yəni tangensin mailliyi sıfırdır. Bu o deməkdir ki, bu nöqtələrdə funksiyamızın törəməsi sıfırdır.

Bu funksiyanın qrafikinə baxaq:

x2 və x1 nöqtələrində tangentlər çəkilə bilməz. Beləliklə, bu nöqtələrdə törəmə mövcud deyil. İndi iki diaqramdakı nöqtələrimizə yenidən baxaq. X2 nöqtəsi funksiyanın hansısa sahədə maksimum dəyərinə çatdığı nöqtədir (x2 nöqtəsinin yaxınlığında). X1 nöqtəsi funksiyanın hansısa sahədə ən kiçik qiymətinə çatdığı nöqtədir (x1 nöqtəsinin yaxınlığında).

Yüksək və aşağı nöqtələr

Tərif: Aşağıdakı bərabərsizliyin doğru olduğu x0 nöqtəsinin qonşuluğu varsa, x= x0 nöqtəsi y=f(x) funksiyasının minimum nöqtəsi adlanır: f(x) ≥ f(x0).

Tərif: Aşağıdakı bərabərsizliyin doğru olduğu x0 nöqtəsinin qonşuluğu varsa, x=x0 nöqtəsi y=f(x) funksiyasının maksimum nöqtəsi adlanır: f(x) ≤ f(x0).

Uşaqlar, məhəllə nədir?

Tərif: Bir nöqtənin qonşuluğu nöqtəmizi ehtiva edən və ona yaxın olan nöqtələr toplusudur.

Məhəlləni özümüz müəyyən edə bilərik. Məsələn, x=2 nöqtəsi üçün qonşuluğu 1 və 3 nöqtələri kimi təyin edə bilərik.

Qrafiklərimizə qayıdaq, x2 nöqtəsinə baxaq, o, hansısa məhəllənin bütün digər nöqtələrindən böyükdür, onda tərifinə görə maksimum nöqtədir. İndi x1 nöqtəsinə baxaq, o, hansısa məhəllənin bütün digər nöqtələrindən kiçikdir, onda tərifinə görə minimum nöqtədir.

Uşaqlar, qeydi təqdim edək:

Ymin - minimum nöqtə,
ymax - maksimum nöqtə.

Vacibdir! Uşaqlar, maksimum və minimum nöqtələri funksiyanın ən kiçik və ən böyük dəyəri ilə qarışdırmayın. Ən kiçik və ən böyük dəyərlər verilmiş funksiyanın tərifinin bütün sahəsində, minimum və maksimum nöqtələr isə bəzi qonşuluqda axtarılır.

Funksiya həddi

Minimum və maksimum ballar üçün ümumi bir termin var - ekstremal nöqtələr.

Ekstremum (lat. extremum - ifrat) - verilmiş çoxluqda funksiyanın maksimum və ya minimum qiyməti. Ekstremumun çatdığı nöqtəyə ekstremum nöqtəsi deyilir.

Müvafiq olaraq, minimuma çatarsa, ekstremum nöqtəsinə minimum nöqtə, maksimuma çatarsa, maksimum nöqtə deyilir.

Funksiyanın ekstremallarını necə tapmaq olar?

Gəlin qrafiklərimizə qayıdaq. Bizim nöqtələrimizdə törəmə ya yox olur (birinci qrafikdə), ya da yoxdur (ikinci qrafikdə).

Onda vacib bir ifadə verə bilərik: Əgər y= f(x) funksiyasının x=x0 nöqtəsində ekstremumu varsa, bu nöqtədə funksiyanın törəməsi ya sıfıra bərabərdir, ya da mövcud deyildir.

Törəmənin sıfıra bərabər olduğu nöqtələr deyilir stasionar.

Funksiyanın törəməsinin olmadığı nöqtələr çağırılır tənqidi.

Ekstremalları necə hesablamaq olar?

Uşaqlar, gəlin funksiyanın birinci qrafikinə qayıdaq:

Bu qrafiki təhlil edərək dedik: x2 nöqtəsinə qədər funksiya artır, x2 nöqtəsində əyilmə olur və bu nöqtədən sonra funksiya x1 nöqtəsinə qədər azalır. X1 nöqtəsində funksiya yenidən əyilir və bundan sonra funksiya yenidən artır.

Bu cür mülahizələrə əsaslanaraq belə nəticəyə gəlmək olar ki, ekstremum nöqtələrindəki funksiya monotonluğun xarakterini dəyişir və buna görə də törəmə funksiya işarəsini dəyişir. Yada salaq ki, funksiya azalırsa, onda törəmə sıfırdan kiçik və ya bərabərdir, funksiya artırsa, törəmə sıfırdan böyük və ya bərabərdir.

Alınan bilikləri ifadə ilə ümumiləşdirək:

Teorem: Kifayət qədər ekstremum şərt: y=f(x) funksiyası hansısa X intervalında kəsilməz olsun və intervalın daxilində sabit və ya kritik nöqtəsi x= x0 olsun. Sonra:

• Bu nöqtənin x x0 üçün f’(x)>0 ödənildiyi qonşuluq varsa, x0 nöqtəsi y= f(x) funksiyasının minimum nöqtəsidir.
• Əgər bu nöqtə x 0 və x> x0 üçün f'(x) üçün ekstremum olmayan qonşuluğa malikdirsə.

Problemləri həll etmək üçün aşağıdakı qaydaları xatırlayın: Əgər törəmələrin əlamətləri müəyyən edilirsə, onda:

Monotonluq və ekstremallar üçün y= f(x) fasiləsiz funksiyasının öyrənilməsi alqoritmi:

• y' törəməsini tapın.
• Stasionar (törəmə sıfırdır) və kritik nöqtələri (törəmə mövcud deyil) tapın.
• Say xəttində stasionar və kritik nöqtələri qeyd edin və yaranan intervallarda törəmənin işarələrini təyin edin.
• Yuxarıdakı ifadələrə əsaslanaraq, ekstremum nöqtələrinin təbiəti haqqında bir nəticə çıxarın.

Ekstremum nöqtələrin tapılması nümunələri

1) Funksiyanın ekstremum nöqtələrini tapın və onların xarakterini təyin edin: y= 7+ 12*x - x 3

Həlli: Bizim funksiyamız davamlıdır, onda alqoritmimizi istifadə edəcəyik:
a) y "= 12 - 3x 2,
b) y"= 0, x= ±2-də,

x= -2 nöqtəsi funksiyanın minimum nöqtəsi, x= 2 nöqtəsi funksiyanın maksimum nöqtəsidir.
Cavab: x= -2 - funksiyanın minimum nöqtəsi, x= 2 - funksiyanın maksimum nöqtəsi.

2) Funksiyanın ekstremum nöqtələrini tapın və onların xarakterini təyin edin.

3) y= x - 2cos(x) funksiyasının ekstremum nöqtələrini tapın və -π ≤ x ≤ π üçün xarakterini təyin edin.

Həlli: Funksiyamız davamlıdır, alqoritmimizi istifadə edək:
a) y"= 1 + 2sin(x),
b) törəmənin sıfıra bərabər olduğu dəyərləri tapın: 1 + 2sin(x)= 0, sin(x)= -1/2,
çünki -π ≤ x ≤ π, onda: x= -π/6, -5π/6,
c) həqiqi xəttin stasionar nöqtələrini qeyd edin və törəmənin əlamətlərini təyin edin: d) ekstremumların müəyyən edilməsi qaydalarını göstərən rəqəmimizə baxın.
x= -5π/6 nöqtəsi funksiyanın maksimum nöqtəsidir.
x= -π/6 nöqtəsi funksiyanın minimum nöqtəsidir.
Cavab: x= -5π/6 - funksiyanın maksimum nöqtəsi, x= -π/6 - funksiyanın minimum nöqtəsi.

4) Funksiyanın ekstremum nöqtələrini tapın və onların xarakterini təyin edin:

Müstəqil həll üçün tapşırıqlar