Kvadrat tənliyi sadələşdirmək üçün düstur. Kvadrat tənliklər

", yəni birinci dərəcəli tənliklər. Bu dərsdə baxacağıq buna kvadrat tənlik deyilir və necə həll etmək olar.

Kvadrat tənlik nədir?

Vacibdir!

Tənliyin dərəcəsi naməlumun dayandığı ən yüksək dərəcə ilə müəyyən edilir.

Naməlum olanın maksimum gücü "2" olarsa, onda kvadrat tənliyə sahibsiniz.

Kvadrat tənliklərin nümunələri

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Vacibdir! Kvadrat tənliyin ümumi forması belə görünür:

A x 2 + b x + c = 0

• “a” birinci və ya ən yüksək əmsaldır;
• “b” ikinci əmsaldır;
• “c” pulsuz üzvdür.

“a”, “b” və “c” tapmaq üçün tənliyinizi “ax 2 + bx + c = 0” kvadrat tənliyinin ümumi forması ilə müqayisə etməlisiniz.

Kvadrat tənliklərdə “a”, “b” və “c” əmsallarını təyin etməyə məşq edək.

• a = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

Kvadrat tənlikləri necə həll etmək olar

Xətti tənliklərdən fərqli olaraq, kvadrat tənliklərin həlli üçün xüsusi üsuldan istifadə olunur. kökləri tapmaq üçün düstur.

Unutma!

Kvadrat tənliyi həll etmək üçün sizə lazımdır:

• kvadrat tənliyi “ax 2 + bx + c = 0” ümumi formasına gətirin. Yəni sağ tərəfdə yalnız “0” qalmalıdır;
• köklər üçün düsturdan istifadə edin:

Kvadrat tənliyin köklərini tapmaq üçün düsturdan istifadə nümunəsinə baxaq. Kvadrat tənliyi həll edək.

X 2 − 3x − 4 = 0

“x 2 − 3x − 4 = 0” tənliyi artıq “ax 2 + bx + c = 0” ümumi formasına endirilmişdir və əlavə sadələşdirmələr tələb etmir. Bunu həll etmək üçün sadəcə müraciət etmək lazımdır kvadrat tənliyin köklərini tapmaq üçün düstur.

Bu tənlik üçün “a”, “b” və “c” əmsallarını təyin edək.

İstənilən kvadrat tənliyi həll etmək üçün istifadə edilə bilər.

“x 1;2 = ” düsturunda radikal ifadə tez-tez əvəz olunur
“D” hərfi üçün “b 2 − 4ac” və diskriminant adlanır. Ayrı-seçkilik anlayışı "Ayrı-seçkilik nədir" dərsində daha ətraflı müzakirə olunur.

Kvadrat tənliyin başqa bir nümunəsinə baxaq.

x 2 + 9 + x = 7x

Bu formada “a”, “b” və “c” əmsallarını müəyyən etmək olduqca çətindir. Əvvəlcə tənliyi “ax 2 + bx + c = 0” ümumi formasına endirək.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

İndi köklər üçün düsturdan istifadə edə bilərsiniz.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

Kvadrat tənliklərin kökləri olmadığı vaxtlar olur. Bu vəziyyət, düsturun kök altında mənfi bir rəqəm ehtiva etdiyi zaman baş verir.

Mövzunu öyrənməyə davam edirik " tənliklərin həlli" Biz artıq xətti tənliklərlə tanış olmuşuq və tanış olmağa davam edirik kvadrat tənliklər.

Əvvəlcə kvadrat tənliyin nə olduğunu, ümumi formada necə yazıldığını nəzərdən keçirəcəyik və əlaqədar tərifləri verəcəyik. Bundan sonra natamam kvadrat tənliklərin necə həll edildiyini ətraflı araşdırmaq üçün nümunələrdən istifadə edəcəyik. Sonra, tam tənliklərin həllinə keçəcəyik, kök düsturunu alacağıq, kvadrat tənliyin diskriminantı ilə tanış olacağıq və tipik nümunələrin həllini nəzərdən keçirəcəyik. Nəhayət, köklər və əmsallar arasındakı əlaqəni izləyək.

Səhifə naviqasiyası.

Kvadrat tənlik nədir? Onların növləri

Əvvəlcə kvadrat tənliyin nə olduğunu aydın başa düşməlisiniz. Buna görə də kvadrat tənliklər haqqında söhbətə kvadrat tənliyin tərifi, eləcə də əlaqəli təriflərlə başlamaq məntiqlidir. Bundan sonra, kvadrat tənliklərin əsas növlərini nəzərdən keçirə bilərsiniz: azaldılmış və azaldılmamış, həmçinin tam və natamam tənliklər.

Kvadrat tənliklərin tərifi və nümunələri

Tərif.

Kvadrat tənlik formanın tənliyidir a x 2 +b x+c=0, burada x dəyişəndir, a, b və c bəzi ədədlərdir, a isə sıfırdan fərqlidir.

Dərhal deyək ki, kvadrat tənliklər çox vaxt ikinci dərəcəli tənliklər adlanır. Bu, kvadrat tənliyin olması ilə əlaqədardır cəbri tənlik ikinci dərəcə.

Göstərilən tərif kvadrat tənliklərə nümunələr verməyə imkan verir. Beləliklə, 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 və s. Bunlar kvadrat tənliklərdir.

Tərif.

Nömrələri a, b və c adlanır kvadrat tənliyin əmsalları a·x 2 +b·x+c=0 və a əmsalı birinci və ya ən yüksək adlanır və ya x 2 əmsalı, b ikinci əmsal və ya x əmsalı, c isə sərbəst termindir. .

Məsələn, 5 x 2 −2 x −3=0 formalı kvadrat tənliyi götürək, burada aparıcı əmsal 5, ikinci əmsal −2, sərbəst hədd isə −3-ə bərabərdir. Nəzərə alın ki, b və/və ya c əmsalları mənfi olduqda, indi verilmiş misalda olduğu kimi, kvadrat tənliyin qısa forması 5 x 2 +(−2 ) deyil, 5 x 2 −2 x−3=0 olur. ·x+(−3)=0 .

Qeyd etmək lazımdır ki, a və/və ya b əmsalları 1 və ya −1-ə bərabər olduqda, onlar adətən kvadrat tənlikdə açıq şəkildə mövcud olmur, bu da belə yazının xüsusiyyətləri ilə bağlıdır. Məsələn, y 2 −y+3=0 kvadrat tənliyində aparıcı əmsal bir, y əmsalı isə −1-ə bərabərdir.

Azaldılmış və azaldılmamış kvadrat tənliklər

Aparıcı əmsalın qiymətindən asılı olaraq azaldılmış və azaldılmamış kvadrat tənliklər fərqləndirilir. Müvafiq tərifləri verək.

Tərif.

Aparıcı əmsalı 1 olan kvadrat tənlik adlanır kvadrat tənlik verilmişdir. Əks halda kvadrat tənlik olar toxunulmamış.

Bu tərifə əsasən kvadrat tənliklər x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 və s. – verilmişdirsə, onların hər birində birinci əmsal birə bərabərdir. A 5 x 2 −x−1=0 və s. - azaldılmamış kvadrat tənliklər, onların aparıcı əmsalları 1-dən fərqlidir.

Hər hansı bir azaldılmamış kvadrat tənlikdən, hər iki tərəfi aparıcı əmsala bölməklə, azaldılmış birinə keçə bilərsiniz. Bu hərəkət ekvivalent çevrilmədir, yəni bu yolla əldə edilən azaldılmış kvadrat tənliyin ilkin azaldılmamış kvadrat tənliyi ilə eyni kökləri var və ya onun kimi heç bir kökü yoxdur.

Gəlin azaldılmamış kvadrat tənlikdən azaldılmış tənliyə keçidin necə həyata keçirildiyinə dair bir nümunəyə baxaq.

Misal.

3 x 2 +12 x−7=0 tənliyindən müvafiq azaldılmış kvadrat tənliyə keçin.

Həll.

Sadəcə olaraq, orijinal tənliyin hər iki tərəfini aparıcı əmsal 3-ə bölmək lazımdır, o, sıfırdan fərqlidir, ona görə də bu hərəkəti yerinə yetirə bilərik. Bizdə (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, eynidir, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, sonra isə (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, haradan. İlkin tənliyə ekvivalent olan azaldılmış kvadrat tənliyi belə əldə etdik.

Cavab:

Tam və natamam kvadrat tənliklər

Kvadrat tənliyin tərifi a≠0 şərtini ehtiva edir. Bu şərt a x 2 + b x + c = 0 tənliyinin kvadratik olması üçün zəruridir, çünki a = 0 olduqda o, faktiki olaraq b x + c = 0 formasının xətti tənliyinə çevrilir.

b və c əmsallarına gəlincə, onlar həm fərdi, həm də birlikdə sıfıra bərabər ola bilər. Bu hallarda kvadrat tənlik natamam adlanır.

Tərif.

a x 2 +b x+c=0 kvadrat tənliyi adlanır natamam, əgər b, c əmsallarından ən azı biri sıfıra bərabərdirsə.

Öz növbəsində

Tərif.

Tam kvadrat tənliyi bütün əmsalların sıfırdan fərqli olduğu tənlikdir.

Belə adlar təsadüfən verilməyib. Bu, sonrakı müzakirələrdən aydın olacaq.

Əgər b əmsalı sıfırdırsa, onda kvadrat tənlik a·x 2 +0·x+c=0 şəklini alır və a·x 2 +c=0 tənliyinə ekvivalentdir. Əgər c=0, yəni kvadrat tənlik a·x 2 +b·x+0=0 formasına malikdirsə, o zaman onu a·x 2 +b·x=0 kimi yenidən yazmaq olar. Və b=0 və c=0 ilə a·x 2 =0 kvadrat tənliyini alırıq. Alınan tənliklər tam kvadrat tənlikdən onunla fərqlənir ki, onların sol tərəflərində nə x dəyişəni olan bir həddi, nə də sərbəst həddi və ya hər ikisini ehtiva etmir. Beləliklə, onların adı - natamam kvadrat tənliklər.

Beləliklə, x 2 +x+1=0 və −2 x 2 −5 x+0.2=0 tənlikləri tam kvadrat tənliklərə misaldır və x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 natamam kvadrat tənliklərdir.

Natamam kvadrat tənliklərin həlli

Əvvəlki paraqrafdakı məlumatlardan belə çıxır ki, var üç növ natamam kvadrat tənliklər:

• a·x 2 =0, ona b=0 və c=0 əmsalları uyğundur;
• b=0 olduqda a x 2 +c=0;
• və c=0 olduqda a·x 2 +b·x=0.

Bu növlərin hər birinin natamam kvadratik tənliklərinin necə həll edildiyini ardıcıllıqla araşdıraq.

a x 2 = 0

b və c əmsallarının sıfıra bərabər olduğu natamam kvadrat tənlikləri, yəni a x 2 =0 formalı tənliklərlə həll etməyə başlayaq. a·x 2 =0 tənliyi hər iki hissəni sıfırdan fərqli a ədədinə bölmək yolu ilə orijinaldan alınan x 2 =0 tənliyinə ekvivalentdir. Aydındır ki, x 2 =0 tənliyinin kökü sıfırdır, çünki 0 2 =0. Bu tənliyin başqa kökləri yoxdur, bu, hər hansı sıfırdan fərqli p ədədi üçün p 2 >0 bərabərsizliyinin olması ilə izah olunur, yəni p≠0 üçün p 2 =0 bərabərliyi heç vaxt əldə olunmur.

Deməli, a·x 2 =0 natamam kvadrat tənliyinin tək kökü x=0 olur.

Nümunə olaraq −4 x 2 =0 natamam kvadrat tənliyin həllini veririk. O, x 2 =0 tənliyinə ekvivalentdir, onun yeganə kökü x=0-dır, ona görə də ilkin tənliyin tək kök sıfırı var.

Bu vəziyyətdə qısa bir həll aşağıdakı kimi yazıla bilər:
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0 .

a x 2 +c=0

İndi isə b əmsalı sıfır və c≠0 olan natamam kvadrat tənliklərin, yəni a x 2 +c=0 formalı tənliklərin necə həll edildiyinə baxaq. Biz bilirik ki, tənliyin bir tərəfindən digər tərəfə əks işarəli həddi daşımaq, eləcə də tənliyin hər iki tərəfini sıfırdan fərqli bir ədədə bölmək ekvivalent tənlik verir. Beləliklə, a x 2 +c=0 natamam kvadrat tənliyinin aşağıdakı ekvivalent çevrilmələrini həyata keçirə bilərik:

• c-ni sağ tərəfə aparın, bu a x 2 =−c tənliyini verir,
• və hər iki tərəfi a-ya bölsək, alarıq.

Yaranan tənlik onun kökləri haqqında nəticə çıxarmağa imkan verir. a və c dəyərlərindən asılı olaraq ifadənin dəyəri mənfi ola bilər (məsələn, a=1 və c=2, onda ) və ya müsbət (məsələn, a=−2 və c=6 olarsa, onda ), sıfıra bərabər deyil, çünki c≠0 şərti ilə. Gəlin hallara ayrıca baxaq.

Əgər , onda tənliyin kökü yoxdur. Bu ifadə istənilən ədədin kvadratının mənfi olmayan ədəd olmasından irəli gəlir. Buradan belə nəticə çıxır ki, olduqda, onda hər hansı p ədədi üçün bərabərlik doğru ola bilməz.

Əgər , onda tənliyin kökləri ilə bağlı vəziyyət fərqlidir. Bu halda, haqqında xatırlasaq, onda tənliyin kökü dərhal aydın olur; bu, rəqəmdir, çünki . Rəqəmin eyni zamanda tənliyin kökü olduğunu təxmin etmək asandır. Bu tənliyin, məsələn, ziddiyyətlə göstərilə bilən başqa kökləri yoxdur. Gəl edək.

İndicə elan edilmiş tənliyin köklərini x 1 və −x 1 kimi işarə edək. Tutaq ki, tənliyin göstərilən x 1 və −x 1 köklərindən fərqli daha bir x 2 kökü var. Məlumdur ki, onun köklərini x əvəzinə tənliklə əvəz etmək tənliyi düzgün ədədi bərabərliyə çevirir. x 1 və −x 1 üçün bizdə , x 2 üçün isə . Ədədi bərabərliklərin xassələri düzgün ədədi bərabərliklərin müddət üzrə çıxılmasını həyata keçirməyə imkan verir, ona görə də bərabərliklərin müvafiq hissələrini çıxmaqla x 1 2 −x 2 2 =0 alınır. Rəqəmlərlə əməliyyatların xassələri nəticədə yaranan bərabərliyi (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0 şəklində yenidən yazmağa imkan verir. Biz bilirik ki, iki ədədin hasili sıfıra bərabərdir, o halda və yalnız onlardan ən azı biri sıfıra bərabərdir. Deməli, yaranan bərabərlikdən belə nəticə çıxır ki, x 1 −x 2 =0 və/yaxud x 1 +x 2 =0, eynidir, x 2 =x 1 və/və ya x 2 =−x 1. Beləliklə, biz ziddiyyətə gəldik, çünki əvvəldə dedik ki, x 2 tənliyinin kökü x 1 və −x 1-dən fərqlidir. Bu, tənliyin və -dən başqa kökə malik olmadığını sübut edir.

Bu paraqrafdakı məlumatları ümumiləşdirək. Natamam kvadrat tənliyi a x 2 +c=0 olan tənliyə ekvivalentdir.

• kökləri yoxdursa,
• iki kökə malikdir və əgər .

a·x 2 +c=0 formalı natamam kvadrat tənliklərin həlli nümunələrinə baxaq.

9 x 2 +7=0 kvadrat tənliyi ilə başlayaq. Sərbəst termini tənliyin sağ tərəfinə köçürdükdən sonra o, 9 x 2 =−7 formasını alacaq. Yaranan tənliyin hər iki tərəfini 9-a bölərək, -ə çatırıq. Sağ tərəfin mənfi ədədi olduğu üçün bu tənliyin kökü yoxdur, buna görə də ilkin natamam kvadratik tənliyin 9 x 2 +7 = 0 kökü yoxdur.

Başqa bir natamam kvadrat tənliyi −x 2 +9=0 həll edək. Doqquzu sağ tərəfə keçiririk: −x 2 =−9. İndi hər iki tərəfi −1-ə bölürük, x 2 =9 alırıq. Sağ tərəfdə müsbət rəqəm var, ondan belə nəticəyə gəlirik və ya . Sonra yekun cavabı yazırıq: natamam kvadrat tənliyin −x 2 +9=0 iki kökü x=3 və ya x=−3 olur.

a x 2 +b x=0

C=0 üçün son növ natamam kvadrat tənliklərin həlli ilə məşğul olmaq qalır. a x 2 + b x = 0 formasının natamam kvadratik tənlikləri həll etməyə imkan verir. faktorizasiya üsulu. Aydındır ki, tənliyin sol tərəfində yerləşə bilərik, bunun üçün ümumi x amilini mötərizədən çıxarmaq kifayətdir. Bu, bizə ilkin natamam kvadrat tənlikdən x·(a·x+b)=0 şəklində olan ekvivalent tənliyə keçməyə imkan verir. Və bu tənlik x=0 və a·x+b=0 iki tənlik çoxluğuna ekvivalentdir, sonuncusu xətti və x=−b/a kökü var.

Deməli, a·x 2 +b·x=0 natamam kvadrat tənliyinin x=0 və x=−b/a iki kökü var.

Materialı birləşdirmək üçün konkret bir nümunənin həllini təhlil edəcəyik.

Misal.

Tənliyi həll edin.

Həll.

Mötərizədə x-i çıxarmaq tənliyi verir. O, iki x=0 və tənliyinə ekvivalentdir. Alınan xətti tənliyi həll edirik: , və qarışıq ədədi adi kəsrə bölmək yolu ilə tapırıq. Buna görə də ilkin tənliyin kökləri x=0 və .

Lazımi təcrübə əldə etdikdən sonra belə tənliklərin həlli qısa şəkildə yazıla bilər:

Cavab:

x=0, .

Diskriminant, kvadrat tənliyin kökləri üçün düstur

Kvadrat tənlikləri həll etmək üçün kök düsturu var. Gəlin onu yazaq kvadrat tənliyin kökləri üçün düstur: , Harada D=b 2 −4 a c- sözdə kvadrat tənliyin diskriminantı. Giriş mahiyyətcə bunu ifadə edir.

Kök düsturunun necə alındığını və kvadrat tənliklərin köklərinin tapılmasında necə istifadə edildiyini bilmək faydalıdır. Gəlin bunu anlayaq.

Kvadrat tənliyin kökləri üçün düsturun çıxarılması

a·x 2 +b·x+c=0 kvadrat tənliyini həll etməliyik. Bəzi ekvivalent çevrilmələri həyata keçirək:

• Bu tənliyin hər iki tərəfini sıfırdan fərqli a ədədinə bölmək olar, nəticədə aşağıdakı kvadrat tənlik yaranır.
• İndi tam kvadrat seçin onun sol tərəfində: . Bundan sonra tənlik formasını alacaq.
• Bu mərhələdə son iki termini əks işarə ilə sağ tərəfə köçürmək mümkündür, bizdə .
• Və sağ tərəfdəki ifadəni də çevirək: .

Nəticədə ilkin a·x 2 +b·x+c=0 kvadrat tənliyinə ekvivalent olan tənliyə gəlirik.

Əvvəlki paraqraflarda tədqiq etdiyimiz zaman formaca oxşar tənlikləri artıq həll etmişik. Bu, tənliyin kökləri ilə bağlı aşağıdakı nəticələr çıxarmağa imkan verir:

• əgər , onda tənliyin həqiqi həlli yoxdur;
• əgər , onda tənlik onun yeganə kökünün göründüyü , deməli, formasına malikdir;
• əgər , onda və ya , və ya ilə eynidir, yəni tənliyin iki kökü var.

Beləliklə, tənliyin köklərinin və buna görə də ilkin kvadrat tənliyin olması və ya olmaması ifadənin sağ tərəfdəki işarəsindən asılıdır. Öz növbəsində, 4·a 2 məxrəci həmişə müsbət olduğundan, yəni b 2 −4·a·c ifadəsinin işarəsi ilə bu ifadənin işarəsi paylayıcının işarəsi ilə müəyyən edilir. Bu b 2 −4 a c ifadəsi adlanırdı kvadrat tənliyin diskriminantı və məktubla təyin olunur D. Buradan diskriminantın mahiyyəti aydın olur - onun dəyərinə və işarəsinə əsasən kvadrat tənliyin həqiqi kökləri olub-olmaması, əgər varsa, onların sayı neçədir - bir və ya iki olduğu qənaətinə gəlirlər.

Tənliyə qayıdaq və diskriminant qeydindən istifadə edərək onu yenidən yazaq: . Və nəticə çıxarırıq:

• əgər D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• əgər D=0, onda bu tənliyin tək kökü var;
• nəhayət, əgər D>0 olarsa, onda tənliyin iki kökü var və ya onu və ya şəklində yenidən yazmaq olar və kəsrləri genişləndirib ortaq məxrəcə gətirdikdən sonra əldə edirik.

Beləliklə, biz kvadrat tənliyin kökləri üçün düsturlar əldə etdik, onlar belə görünür, burada D diskriminantı D=b 2 −4·a·c düsturu ilə hesablanır.

Onların köməyi ilə müsbət diskriminantla kvadrat tənliyin hər iki həqiqi kökünü hesablaya bilərsiniz. Diskriminant sıfıra bərabər olduqda, hər iki düstur kvadrat tənliyin unikal həllinə uyğun olan kökün eyni qiymətini verir. Mənfi diskriminantla isə kvadrat tənliyin kökləri üçün düsturdan istifadə etməyə çalışarkən mənfi ədədin kvadrat kökünü çıxarmaqla qarşılaşırıq ki, bu da bizi məktəb proqramından kənara çıxarır. Mənfi diskriminantla kvadrat tənliyin həqiqi kökləri yoxdur, lakin bir cüt var mürəkkəb konjugat kökləri, əldə etdiyimiz eyni kök düsturlarından istifadə etməklə tapıla bilər.

Kök düsturlarından istifadə etməklə kvadrat tənliklərin həlli alqoritmi

Praktikada kvadrat tənlikləri həll edərkən onların qiymətlərini hesablamaq üçün dərhal kök düsturundan istifadə edə bilərsiniz. Ancaq bu, daha çox mürəkkəb köklərin tapılması ilə bağlıdır.

Bununla belə, məktəb cəbri kursunda biz adətən kompleksdən deyil, kvadrat tənliyin həqiqi köklərindən danışırıq. Bu halda, kvadrat tənliyin kökləri üçün düsturlardan istifadə etməzdən əvvəl, əvvəlcə diskriminantı tapmaq, onun mənfi olmadığına əmin olmaq məsləhət görülür (əks halda, tənliyin həqiqi kökləri olmadığı qənaətinə gələ bilərik), və yalnız bundan sonra köklərin dəyərlərini hesablayın.

Yuxarıdakı əsaslandırma bizə yazmağa imkan verir kvadrat tənliyin həlli alqoritmi. a x 2 +b x+c=0 kvadrat tənliyini həll etmək üçün sizə lazımdır:

• D=b 2 −4·a·c diskriminant düsturundan istifadə edərək onun qiymətini hesablayın;
• diskriminant mənfi olarsa, kvadrat tənliyin həqiqi kökləri olmadığı qənaətinə gəlmək;
• D=0 olduqda düsturdan istifadə edərək tənliyin yeganə kökünü hesablayın;
• diskriminant müsbət olarsa, kök düsturundan istifadə edərək kvadrat tənliyin iki həqiqi kökünü tapın.

Burada sadəcə qeyd edirik ki, diskriminant sıfıra bərabərdirsə, düsturdan da istifadə edə bilərsiniz; o, ilə eyni dəyəri verəcəkdir.

Kvadrat tənliklərin həlli üçün alqoritmdən istifadə nümunələrinə keçə bilərsiniz.

Kvadrat tənliklərin həlli nümunələri

Müsbət, mənfi və sıfır diskriminantlı üç kvadrat tənliyin həllərini nəzərdən keçirək. Onların həlli ilə məşğul olduqdan sonra bənzətmə ilə istənilən başqa kvadrat tənliyi həll etmək mümkün olacaqdır. Başlayaq.

Misal.

x 2 +2·x−6=0 tənliyinin köklərini tapın.

Həll.

Bu halda kvadrat tənliyin aşağıdakı əmsallarına sahibik: a=1, b=2 və c=−6. Alqoritmə görə, əvvəlcə diskriminantı hesablamalısınız, bunun üçün qeyd olunan a, b və c-ni diskriminant düsturunda əvəz edirik, əlimizdə var. D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. 28>0, yəni diskriminant sıfırdan böyük olduğundan kvadrat tənliyin iki həqiqi kökü var. Onları kök düsturundan istifadə edərək tapaq, əldə edirik, buradan edərək nəticədə yaranan ifadələri sadələşdirə bilərsiniz çarpanı kök işarəsindən kənara çıxarmaq ardınca fraksiyanın azalması:

Cavab:

Növbəti tipik nümunəyə keçək.

Misal.

−4 x 2 +28 x−49=0 kvadrat tənliyini həll edin.

Həll.

Diskriminantı tapmaqla başlayırıq: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Buna görə də, bu kvadrat tənliyin bir kökü var, biz onu , yəni,

Cavab:

x=3.5.

Mənfi diskriminantla kvadrat tənliklərin həllini nəzərdən keçirmək qalır.

Misal.

5·y 2 +6·y+2=0 tənliyini həll edin.

Həll.

Budur kvadrat tənliyin əmsalları: a=5, b=6 və c=2. Bu dəyərləri diskriminant düsturla əvəz edirik, bizdə var D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Diskriminant mənfidir, ona görə də bu kvadrat tənliyin həqiqi kökləri yoxdur.

Mürəkkəb kökləri göstərmək lazımdırsa, onda kvadrat tənliyin kökləri üçün tanınmış düsturu tətbiq edirik və yerinə yetiririk. kompleks ədədlərlə əməliyyatlar:

Cavab:

həqiqi köklər yoxdur, mürəkkəb köklər bunlardır: .

Bir daha qeyd edək ki, kvadrat tənliyin diskriminantı mənfi olarsa, məktəbdə adətən dərhal həqiqi köklərin olmadığını, mürəkkəb köklərin tapılmadığını bildirən bir cavab yazırlar.

Hətta ikinci əmsallar üçün kök düsturu

Kvadrat tənliyin kökləri üçün düstur, burada D=b 2 −4·a·c daha yığcam formalı düstur əldə etməyə imkan verir, x üçün bərabər əmsallı kvadratik tənlikləri həll etməyə imkan verir (və ya sadəcə olaraq a məsələn, 2·n formasına malik olan əmsal və ya 14· ln5=2·7·ln5 ). Gəlin onu çıxaraq.

Tutaq ki, a x 2 +2 n x+c=0 şəklində olan kvadrat tənliyi həll etməliyik. Bildiyimiz düsturdan istifadə edərək onun köklərini tapaq. Bunun üçün diskriminantı hesablayırıq D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), və sonra kök düsturundan istifadə edirik:

n 2 −a c ifadəsini D 1 kimi işarə edək (bəzən onu D " işarəsi ilə də göstərirlər). Onda ikinci əmsalı 2 n olan baxılan kvadrat tənliyin köklərinin düsturu formasını alacaq. , burada D 1 =n 2 −a·c.

D=4·D 1 və ya D 1 =D/4 olduğunu görmək asandır. Başqa sözlə, D 1 diskriminantın dördüncü hissəsidir. Aydındır ki, D 1 işarəsi D işarəsi ilə eynidir. Yəni D 1 işarəsi həm də kvadrat tənliyin köklərinin olub-olmamasının göstəricisidir.

Beləliklə, ikinci əmsalı 2·n olan kvadrat tənliyi həll etmək üçün sizə lazımdır

• D 1 =n 2 −a·c hesablayın;
• Əgər D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Əgər D 1 =0 olarsa, onda düsturdan istifadə edərək tənliyin yeganə kökünü hesablayın;
• Əgər D 1 >0 olarsa, düsturdan istifadə edərək iki həqiqi kök tapın.

Bu paraqrafda əldə edilmiş kök düsturundan istifadə edərək nümunənin həllini nəzərdən keçirək.

Misal.

5 x 2 −6 x −32=0 kvadrat tənliyini həll edin.

Həll.

Bu tənliyin ikinci əmsalı 2·(−3) kimi göstərilə bilər. Yəni ilkin kvadrat tənliyi 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, burada a=5, n=−3 və c=−32 şəklində yenidən yazıb, dördüncü hissəsini hesablaya bilərsiniz. diskriminant: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Qiyməti müsbət olduğundan tənliyin iki həqiqi kökü var. Müvafiq kök düsturundan istifadə edərək onları tapaq:

Qeyd edək ki, kvadrat tənliyin kökləri üçün adi düsturdan istifadə etmək mümkün idi, lakin bu halda daha çox hesablama işi aparılmalı olacaqdı.

Cavab:

Kvadrat tənliklərin formasının sadələşdirilməsi

Bəzən düsturlardan istifadə edərək kvadrat tənliyin köklərini hesablamağa başlamazdan əvvəl “Bu tənliyin formasını sadələşdirmək mümkündürmü?” sualını vermək zərər vermir. Razılaşın ki, hesablamalar baxımından 11 x 2 −4 x−6=0 kvadrat tənliyini həll etmək 1100 x 2 −400 x−600=0-dan daha asan olacaq.

Tipik olaraq, kvadrat tənliyin formasını sadələşdirmək hər iki tərəfi müəyyən bir ədədə vurmaq və ya bölmək yolu ilə əldə edilir. Məsələn, əvvəlki abzasda hər iki tərəfi 100-ə bölməklə 1100 x 2 −400 x −600=0 tənliyini sadələşdirmək mümkün idi.

Bənzər bir çevrilmə əmsalları olmayan kvadratik tənliklərlə həyata keçirilir. Bu halda tənliyin hər iki tərəfi adətən onun əmsallarının mütləq qiymətlərinə bölünür. Məsələn, 12 x 2 −42 x+48=0 kvadrat tənliyini götürək. onun əmsallarının mütləq dəyərləri: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. İlkin kvadrat tənliyin hər iki tərəfini 6-ya bölməklə, 2 x 2 −7 x+8=0 ekvivalent kvadrat tənliyinə gəlirik.

Kvadrat tənliyin hər iki tərəfini vurmaq adətən kəsr əmsallarından xilas olmaq üçün edilir. Bu halda, vurma onun əmsallarının məxrəcləri ilə həyata keçirilir. Məsələn, kvadrat tənliyin hər iki tərəfi LCM(6, 3, 1)=6 ilə vurularsa, o zaman x 2 +4·x−18=0 daha sadə formasını alacaq.

Bu bəndin yekununda qeyd edirik ki, onlar demək olar ki, həmişə kvadrat tənliyin ən yüksək əmsalındakı mənfidən bütün üzvlərin işarələrini dəyişdirməklə xilas olurlar ki, bu da hər iki tərəfi -1-ə vurmağa (və ya bölməyə) uyğun gəlir. Məsələn, adətən −2 x 2 −3 x+7=0 kvadrat tənliyindən 2 x 2 +3 x−7=0 həllinə keçir.

Kvadrat tənliyin kökləri və əmsalları arasında əlaqə

Kvadrat tənliyin kökləri üçün düstur tənliyin köklərini onun əmsalları vasitəsilə ifadə edir. Kök düsturuna əsasən, siz köklər və əmsallar arasında başqa əlaqələr əldə edə bilərsiniz.

Vyeta teoremindən ən məşhur və tətbiq olunan düsturlar və formasıdır. Xüsusilə, verilmiş kvadrat tənlik üçün köklərin cəmi əks işarəli ikinci əmsala, köklərin hasili isə sərbəst müddətə bərabərdir. Məsələn, 3 x 2 −7 x + 22 = 0 kvadrat tənliyinin formasına nəzər salmaqla dərhal deyə bilərik ki, onun köklərinin cəmi 7/3-ə, köklərin hasili isə 22-yə bərabərdir. /3.

Artıq yazılmış düsturlardan istifadə edərək, kvadrat tənliyin kökləri və əmsalları arasında bir sıra digər əlaqələr əldə edə bilərsiniz. Məsələn, kvadrat tənliyin köklərinin kvadratlarının cəmini onun əmsalları vasitəsilə ifadə etmək olar: .

Biblioqrafiya.

• Cəbr: dərs kitabı 8-ci sinif üçün. ümumi təhsil qurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tərəfindən redaktə edilmiş S. A. Telyakovski. - 16-cı nəşr. - M.: Təhsil, 2008. - 271 s. : xəstə. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkoviç A.G. Cəbr. 8-ci sinif. 2 saatda 1-ci hissə. Ümumtəhsil müəssisələrinin tələbələri üçün dərslik / A. G. Mordkoviç. - 11-ci nəşr, silinib. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: xəstə. ISBN 978-5-346-01155-2.

Kvadrat tənlik məsələləri həm məktəb proqramında, həm də universitetlərdə öyrənilir. Onlar a*x^2 + b*x + c = 0 formalı tənlikləri nəzərdə tuturlar, burada x- dəyişən, a, b, c – sabitlər; a<>0 . Tapşırıq tənliyin köklərini tapmaqdır.

Kvadrat tənliyin həndəsi mənası

Kvadrat tənliklə ifadə olunan funksiyanın qrafiki paraboladır. Kvadrat tənliyin həlləri (kökləri) parabolanın absis (x) oxu ilə kəsişmə nöqtələridir. Beləliklə, üç mümkün hal var:
1) parabolanın absis oxu ilə kəsişmə nöqtələri yoxdur. Bu o deməkdir ki, budaqları yuxarı olan yuxarı müstəvidə və ya budaqları aşağı olan aşağıdır. Belə hallarda kvadrat tənliyin həqiqi kökləri yoxdur (onun iki mürəkkəb kökü var).

2) parabolanın Ox oxu ilə bir kəsişmə nöqtəsi var. Belə nöqtəyə parabolanın təpəsi deyilir və oradakı kvadrat tənlik onun minimum və ya maksimum qiymətini alır. Bu halda kvadrat tənliyin bir həqiqi kökü (və ya iki eyni kök) olur.

3) Sonuncu hal praktikada daha maraqlıdır - parabolanın absis oxu ilə kəsişməsinin iki nöqtəsi var. Bu o deməkdir ki, tənliyin iki həqiqi kökü var.

Dəyişənlərin səlahiyyətlərinin əmsallarının təhlili əsasında parabolanın yerləşdirilməsi ilə bağlı maraqlı nəticələr çıxarmaq olar.

1) a əmsalı sıfırdan böyükdürsə, parabolanın budaqları yuxarıya, mənfi olarsa, parabolanın budaqları aşağıya doğru yönəldilir.

2) Əgər b əmsalı sıfırdan böyükdürsə, onda parabolanın təpəsi sol yarımmüstəvidə, mənfi qiymət alırsa, sağda yerləşir.

Kvadrat tənliyin həlli üçün düsturun çıxarılması

Kvadrat tənlikdən sabiti köçürək

bərabər işarəsi üçün ifadəni alırıq

Hər iki tərəfi 4a ilə vurun

Solda tam kvadrat əldə etmək üçün hər iki tərəfə b^2 əlavə edin və çevrilməni həyata keçirin

Buradan tapırıq

Kvadrat tənliyin diskriminantı və kökləri üçün düstur

Diskriminant radikal ifadənin qiymətidir, əgər müsbətdirsə, onda tənliyin düsturla hesablanmış iki həqiqi kökü olur. Diskriminant sıfır olduqda, kvadrat tənliyin bir həlli (iki üst-üstə düşən kök) olur ki, onu yuxarıdakı D=0 düsturundan asanlıqla əldə etmək olar.Diskriminant mənfi olduqda, tənliyin həqiqi kökləri yoxdur. Bununla belə, kvadrat tənliyin həlli kompleks müstəvidə tapılır və onların dəyəri düsturdan istifadə etməklə hesablanır.

Vyeta teoremi

Kvadrat tənliyin iki kökünü nəzərdən keçirək və onların əsasında kvadrat tənlik quraq.Vyeta teoreminin özü qeyddən asanlıqla belə çıxır: əgər formanın kvadrat tənliyi olarsa onda onun köklərinin cəmi əks işarə ilə alınan p əmsalına, tənliyin köklərinin hasili isə sərbəst q müddətinə bərabərdir. Yuxarıdakıların düstur şəklində təqdimatı belə görünəcək: Əgər klassik tənlikdə a sabiti sıfırdan fərqlidirsə, onda bütün tənliyi ona bölmək və sonra Vyeta teoremini tətbiq etmək lazımdır.

Faktorinq kvadrat tənlik cədvəli

Tapşırıq qoyulsun: kvadrat tənliyi əmsallayın. Bunun üçün əvvəlcə tənliyi həll edirik (kökləri tapırıq). Sonra tapılmış kökləri kvadrat tənliyin genişləndirmə düsturunda əvəz edirik.Bu, problemi həll edəcək.

Kvadrat tənlik məsələləri

Tapşırıq 1. Kvadrat tənliyin köklərini tapın

x^2-26x+120=0 .

Həlli: Əmsalları yazın və onları diskriminant düsturunda əvəz edin

Bu dəyərin kökü 14-dür, onu bir kalkulyatorla tapmaq asandır və ya tez-tez istifadə edərək xatırlamaq olar, lakin rahatlıq üçün məqalənin sonunda sizə tez-tez rast gəlinə bilən nömrələrin kvadratlarının siyahısını verəcəyəm. kimi problemlər.
Tapılan dəyəri kök düsturuna əvəz edirik

və alırıq

Tapşırıq 2. Tənliyi həll edin

2x 2 +x-3=0.

Həlli: Tam kvadrat tənliyimiz var, əmsalları yazın və diskriminantı tapın


Məlum düsturlardan istifadə edərək kvadrat tənliyin köklərini tapırıq

Tapşırıq 3. Tənliyi həll edin

9x 2 -12x+4=0.

Həlli: Tam kvadrat tənliyimiz var. Diskriminantın müəyyən edilməsi

Köklərin üst-üstə düşdüyü bir vəziyyətimiz var. Düsturdan istifadə edərək köklərin dəyərlərini tapın

Tapşırıq 4. Tənliyi həll edin

x^2+x-6=0 .

Həlli: x üçün kiçik əmsalların olduğu hallarda Vyeta teoremini tətbiq etmək məsləhətdir. Şərtinə görə iki tənlik əldə edirik

İkinci şərtdən hasilin -6-ya bərabər olması lazım olduğunu görürük. Bu o deməkdir ki, köklərdən biri mənfidir. Aşağıdakı mümkün həll yollarımız var (-3;2), (3;-2) . Birinci şərti nəzərə alaraq, ikinci həll cütünü rədd edirik.
Tənliyin kökləri bərabərdir

Məsələ 5. Perimetri 18 sm, sahəsi 77 sm 2 olan düzbucaqlının tərəflərinin uzunluqlarını tapın.

Həlli: Düzbucaqlının perimetrinin yarısı onun bitişik tərəflərinin cəminə bərabərdir. X-i böyük tərəf kimi qeyd edək, onda 18-x onun kiçik tərəfidir. Düzbucaqlının sahəsi bu uzunluqların məhsuluna bərabərdir:
x(18-x)=77;
və ya
x 2 -18x+77=0.
Tənliyin diskriminantını tapaq

Tənliyin köklərinin hesablanması

Əgər x=11, Bu 18 = 7 , bunun əksi də doğrudur (x=7 olarsa, 21-lər=9).

Məsələ 6. 10x 2 -11x+3=0 kvadrat tənliyini əmsal edin.

Həlli: Gəlin tənliyin köklərini hesablayaq, bunun üçün diskriminant tapırıq

Tapılan dəyəri kök düsturunda əvəz edirik və hesablayırıq

Kvadrat tənliyi köklərə görə parçalamaq üçün düstur tətbiq edirik

Mötərizələri açaraq şəxsiyyət əldə edirik.

Parametrli kvadrat tənlik

Nümunə 1. Hansı parametr qiymətlərində A ,(a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 tənliyinin bir kökü varmı?

Həlli: a=3 qiymətini birbaşa əvəz etməklə onun həlli olmadığını görürük. Sonra, sıfır diskriminantla tənliyin 2 çoxluğun bir kökü olması faktından istifadə edəcəyik. Diskriminantı yazaq

Gəlin onu sadələşdirək və sıfıra bərabərləşdirək

a parametri ilə bağlı kvadratik tənlik əldə etdik ki, onun həlli Vyeta teoremindən istifadə etməklə asanlıqla əldə edilə bilər. Köklərin cəmi 7, hasili isə 12-dir. Sadə axtarışla müəyyən edirik ki, 3,4 rəqəmləri tənliyin kökləri olacaqdır. Hesablamaların əvvəlində a=3 həllini artıq rədd etdiyimiz üçün yeganə düzgün olanı - a=4. Beləliklə, a=4 üçün tənliyin bir kökü var.

Misal 2. Hansı parametr qiymətlərində A , tənlik a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 birdən çox kök var?

Həlli: Əvvəlcə tək nöqtələri nəzərdən keçirək, onlar a=0 və a=-3 qiymətləri olacaq. a=0 olduqda, tənlik 6x-9=0 formasına sadələşdiriləcək; x=3/2 və bir kök olacaq. a= -3 üçün 0=0 eyniliyini alırıq.
Diskriminantı hesablayaq

və müsbət olduğu a-nın qiymətini tapın

Birinci şərtdən a>3 alırıq. İkincisi üçün tənliyin diskriminantını və köklərini tapırıq


Funksiyanın müsbət qiymətlər aldığı intervalları müəyyən edək. a=0 nöqtəsini əvəz etməklə əldə edirik 3>0 . Deməli, (-3;1/3) intervalından kənar funksiya mənfidir. Nöqtəni unutma a=0, orijinal tənliyin bir kökü olduğu üçün bu istisna edilməlidir.
Nəticədə problemin şərtlərini ödəyən iki interval əldə edirik

Praktikada bir çox oxşar tapşırıqlar olacaq, tapşırıqları özünüz anlamağa çalışın və bir-birini istisna edən şərtləri nəzərə almağı unutmayın. Kvadrat tənliklərin həlli üçün düsturları yaxşı öyrənin, onlar tez-tez müxtəlif məsələlərdə və elmlərdə hesablamalarda lazım olur.

Ümid edirəm ki, bu məqaləni öyrəndikdən sonra tam kvadrat tənliyin köklərini necə tapmağı öyrənəcəksiniz.

Diskriminantdan istifadə edərək yalnız tam kvadrat tənliklər həll edilir; natamam kvadrat tənlikləri həll etmək üçün "Natamam kvadrat tənliklərin həlli" məqaləsində tapa biləcəyiniz digər üsullardan istifadə olunur.

Hansı kvadrat tənliklər tam adlanır? Bu ax 2 + b x + c = 0 formalı tənliklər, burada a, b və c əmsalları sıfıra bərabər deyil. Beləliklə, tam kvadrat tənliyi həll etmək üçün D diskriminantını hesablamalıyıq.

D = b 2 – 4ac.

Diskriminantın qiymətindən asılı olaraq cavabı yazacağıq.

Diskriminant mənfi ədəddirsə (D< 0),то корней нет.

Əgər diskriminant sıfırdırsa, onda x = (-b)/2a. Diskriminant müsbət ədəd olduqda (D > 0),

onda x 1 = (-b - √D)/2a, və x 2 = (-b + √D)/2a.

Misal üçün. Tənliyi həll edin x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Cavab: 2.

2-ci tənliyi həll edin x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Cavab: kökləri yoxdur.

2-ci tənliyi həll edin x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Cavab: – 3,5; 1.

Beləliklə, Şəkil 1-dəki diaqramdan istifadə edərək tam kvadrat tənliklərin həllini təsəvvür edək.

Bu düsturlardan istifadə edərək istənilən tam kvadrat tənliyi həll edə bilərsiniz. Sadəcə olaraq diqqətli olmaq lazımdır tənlik standart formalı çoxhədli kimi yazılmışdır

A x 2 + bx + c,əks halda səhv edə bilərsiniz. Məsələn, x + 3 + 2x 2 = 0 tənliyini yazarkən səhvən qərar verə bilərsiniz ki,

a = 1, b = 3 və c = 2. Sonra

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 və onda tənliyin iki kökü var. Və bu doğru deyil. (Yuxarıda 2-ci misalın həllinə baxın).

Buna görə də, tənlik standart formanın çoxhədli kimi yazılmırsa, əvvəlcə tam kvadrat tənlik standart formanın çoxhədlisi kimi yazılmalıdır (ən böyük göstəricisi olan monohəd birinci gəlməlidir, yəni. A x 2 , sonra daha az – bx və sonra pulsuz üzv ilə.

Qısaldılmış kvadrat tənliyi və cüt əmsalı olan kvadrat tənliyi ikinci bənddə həll edərkən digər düsturlardan istifadə edə bilərsiniz. Gəlin bu düsturlarla tanış olaq. Tam kvadrat tənlikdə ikinci hədd bərabər əmsala malikdirsə (b = 2k), onda tənliyi Şəkil 2-dəki diaqramda göstərilən düsturlardan istifadə edərək həll edə bilərsiniz.

Tam kvadratik tənlik, əmsalı at olarsa, azaldılmış adlanır x 2 birinə bərabərdir və tənlik formasını alır x 2 + px + q = 0. Belə bir tənlik həll üçün verilə bilər və ya tənliyin bütün əmsallarını əmsallara bölmək yolu ilə əldə edilə bilər. A, dayanır x 2 .

Şəkil 3-də azaldılmış kvadratın həlli üçün diaqram göstərilir
tənliklər. Bu məqalədə müzakirə olunan düsturların tətbiqi nümunəsinə baxaq.

Misal. Tənliyi həll edin

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Şəkil 1-dəki diaqramda göstərilən düsturlardan istifadə edərək bu tənliyi həll edək.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3))/6 = –1 + √3

Cavab: –1 – √3; –1 + √3

Bu tənlikdə x-in əmsalının cüt ədəd olduğunu görə bilərsiniz, yəni b = 6 və ya b = 2k, buradan k = 3. Sonra D rəqəminin diaqramında göstərilən düsturlardan istifadə edərək tənliyi həll etməyə çalışaq. 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3))/3 = – 1 + √3

Cavab: –1 – √3; –1 + √3. Bu kvadrat tənlikdəki bütün əmsalların 3-ə bölündüyünü görüb bölməni yerinə yetirərək, x 2 + 2x – 2 = 0 azaldılmış kvadrat tənliyini alırıq.
tənliklər şəkil 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3))/2 = – 1 + √3

Cavab: –1 – √3; –1 + √3.

Gördüyünüz kimi, bu tənliyi müxtəlif düsturlardan istifadə edərək həll edərkən eyni cavabı aldıq. Buna görə də, Şəkil 1-dəki diaqramda göstərilən düsturları hərtərəfli mənimsəməklə, siz həmişə istənilən tam kvadrat tənliyi həll edə biləcəksiniz.

vebsayt, materialı tam və ya qismən köçürərkən mənbəyə keçid tələb olunur.

Yakupova M.I. 1

Smirnova Yu.V. 1

1 saylı bələdiyyə büdcəli təhsil müəssisəsi 11 nömrəli tam orta məktəb

Əsərin mətni şəkillər və düsturlar olmadan yerləşdirilib.
Əsərin tam versiyası PDF formatında "İş faylları" sekmesinde mövcuddur

Kvadrat tənliklərin yaranma tarixi

Babil

Təkcə birinci dərəcəli deyil, həm də ikinci dərəcəli tənliklərin həlli zərurəti qədim zamanlarda astronomiya və riyaziyyatın özünün inkişafı ilə torpaq sahələrinin tapılması ilə bağlı məsələlərin həlli zərurəti ilə əlaqədar idi. Kvadrat tənliklər təxminən eramızdan əvvəl 2000-ci ildə həll edilə bilərdi. e. babillilər. Babil mətnlərində göstərilən bu tənliklərin həlli qaydaları mahiyyətcə müasirlərlə eynidir, lakin bu mətnlərdə mənfi ədəd anlayışı və kvadrat tənliklərin həlli üçün ümumi üsullar yoxdur.

Qədim Yunanıstan

Qədim Yunanıstanda Diofant, Evklid və Heron kimi elm adamları da kvadrat tənliklərin həlli üzərində işləyirdilər. İsgəndəriyyəli Diophantus Diophantus, ehtimal ki, eramızın III əsrində yaşamış qədim yunan riyaziyyatçısıdır. Diofantın əsas əsəri 13 kitabdan ibarət “Arifmetika”dır. Evklid. Evklid qədim yunan riyaziyyatçısı, riyaziyyat üzrə bizə qədər gəlib çatan ilk nəzəri traktatın müəllifi Herondur. Heron - eramızın 1-ci əsrində Yunanıstanda ilk dəfə yunan riyaziyyatçısı və mühəndisi. kvadrat tənliyi həll etmək üçün sırf cəbr üsulunu verir

Hindistan

Kvadrat tənliklərlə bağlı məsələlərə artıq hind riyaziyyatçısı və astronomu Aryabhatta tərəfindən 499-cu ildə tərtib edilmiş “Aryabhattiam” astronomik traktatında rast gəlinir. Digər hind alimi Brahmaqupta (VII əsr) vahid kanonik formaya salınmış kvadrat tənliklərin həllinin ümumi qaydasını qeyd etmişdir: ax2 + bx = c, a> 0. (1) (1) tənliyində əmsallar mənfi ola bilər. Brahmaquptanın qaydası mahiyyətcə bizimki ilə eynidir. Hindistanda çətin problemlərin həlli üçün ictimai yarışlar adi hal idi. Qədim hind kitablarından birində belə yarışlar haqqında belə deyilir: “Günəş öz parlaqlığı ilə ulduzları üstələdiyi kimi, alim də cəbri məsələlər təklif edərək və həll etməklə ictimai məclislərdə öz şöhrətini üstələyər”. Problemlər çox vaxt poetik formada təqdim olunurdu.

Bu, 12-ci əsrin məşhur hind riyaziyyatçısının problemlərindən biridir. Bhaskarlar.

“Bir sürüsü çılğın meymunlar

Üzüm tənəkləri boyunca on iki nəfər doyunca yemək yeyərək əyləndilər

Onlar asılaraq tullanmağa başladılar

Onların səkkizinci hissəsi kvadratdır

Neçə meymun var idi?

Təmizlikdə əylənirdim

Mənə deyin, bu paketdə?

Bhaskara həlli onu göstərir ki, müəllif kvadrat tənliklərin köklərinin ikiqiymətli olduğunu bilirdi. Bhaskar məsələyə uyğun gələn tənliyi x2 - 64x = - 768 kimi yazır və bu tənliyin sol tərəfini kvadrata tamamlamaq üçün hər iki tərəfə 322 əlavə edir və sonra əldə edir: x2 - b4x + 322 = -768 + 1024 , (x - 32)2 = 256, x - 32= ±16, x1 = 16, x2 = 48.

17-ci əsr Avropasında kvadrat tənliklər

Avropada Əl-Xorəzmidən sonra modelləşdirilmiş kvadrat tənliklərin həlli üçün düsturlar ilk dəfə italyan riyaziyyatçısı Leonardo Fibonaççi tərəfindən 1202-ci ildə yazılmış “Abacus” kitabında verilmişdir. İstər İslam ölkələrindən, istərsə də qədim Yunanıstandan riyaziyyatın təsirini əks etdirən bu həcmli əsər tamlığı və təqdimatının aydınlığı ilə seçilir. Müəllif müstəqil olaraq problemlərin həlli üçün bəzi yeni cəbr nümunələri işləyib hazırladı və Avropada ilk dəfə mənfi ədədlərin tətbiqinə yaxınlaşdı. Onun kitabı təkcə İtaliyada deyil, Almaniya, Fransa və digər Avropa ölkələrində cəbr biliklərinin yayılmasına töhfə verib. “Abacus Kitabı”ndan bir çox problem 16-17-ci əsrlərin demək olar ki, bütün Avropa dərsliklərində istifadə edilmişdir. və qismən XVIII. Kvadrat tənliyi ümumi formada həll etmək üçün düsturun əldə edilməsi Viète-də mövcuddur, lakin Viète yalnız müsbət kökləri tanıdı. İtalyan riyaziyyatçıları Tartaglia, Cardano, Bombelli 16-cı əsrdə birincilərdən idi. Müsbət olanlarla yanaşı, mənfi köklər də nəzərə alınır. Yalnız 17-ci əsrdə. Girard, Dekart, Nyuton və başqa alimlərin işi sayəsində kvadrat tənliklərin həlli üsulu müasir forma alır.

Kvadrat tənliyin tərifi

a, b, c ədədlər olduğu ax 2 + bx + c = 0 şəklində olan tənliyə kvadrat adlanır.

Kvadrat tənlik əmsalları

a, b, c rəqəmləri kvadrat tənliyin əmsallarıdır.a birinci əmsaldır (x²-dən əvvəl), a ≠ 0; b ikinci əmsaldır (x-dən əvvəl), c sərbəst şərtdir (x olmadan).

Bu tənliklərdən hansı kvadrat deyil??

1. 4x² + 4x + 1 = 0;2. 5x - 7 = 0;3. - x² - 5x - 1 = 0;4. 2/x² + 3x + 4 = 0;5. ¼ x² - 6x + 1 = 0;6. 2x² = 0;

7. 4x² + 1 = 0;8. x² - 1/x = 0;9. 2x² - x = 0;10. x² -16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8x²= 0;13. 5x³ +6x -8= 0.

Kvadrat tənliklərin növləri

Azaldılmış, aparıcı əmsalın birə bərabər olduğu kvadrat tənlikdir. Belə bir tənliyi bütün ifadəni aparıcı əmsala bölmək yolu ilə əldə etmək olar a:

x 2 + px + q =0, p = b/a, q = c/a

Kvadrat tənlik bütün əmsalları sıfırdan fərqli olduqda tam adlanır.

Kvadrat tənlik natamam adlanır, burada əmsallardan ən azı biri, aparıcıdan (ikinci əmsal və ya sərbəst müddət) sıfıra bərabərdir.

Kvadrat tənliklərin həlli üsulları

I üsul Köklərin hesablanması üçün ümumi düstur

Kvadrat tənliyin köklərini tapmaq balta 2 + b + c = 0Ümumiyyətlə, aşağıdakı alqoritmdən istifadə etməlisiniz:

Kvadrat tənliyin diskriminantının qiymətini hesablayın: bu onun ifadəsidir D= b 2 - 4ac

Düsturun törəməsi:

Qeyd: Aydındır ki, 2 çoxluğun kökünün düsturu D=0 bərabərliyini ona əvəz etməklə əldə edilən ümumi düsturun xüsusi halıdır və D0-da həqiqi köklərin olmaması haqqında nəticə və (displaystyle (sqrt () -1))=i) = i.

Təqdim olunan üsul universaldır, lakin yeganə olandan uzaqdır. Tək bir tənliyin həllinə müxtəlif yollarla yanaşmaq olar, üstünlüklər adətən həlledicidən asılıdır. Bundan əlavə, tez-tez bu məqsədlə bəzi üsullar standartdan daha zərif, sadə və daha az əmək tələb edən olur.

II üsul. Cüt əmsallı kvadrat tənliyin kökləri b III üsul. Natamam kvadrat tənliklərin həlli

IV üsul. Əmsalların qismən nisbətlərindən istifadə

Kvadrat tənliklərin xüsusi halları var ki, əmsallar bir-biri ilə əlaqədə olur və bu, onların həllini xeyli asanlaşdırır.

Aparıcı əmsalın və sərbəst müddətin cəminin ikinci əmsala bərabər olduğu kvadrat tənliyin kökləri

Kvadrat tənlikdə olarsa balta 2 + bx + c = 0 birinci əmsalın və sərbəst müddətin cəmi ikinci əmsala bərabərdir: a+b=c, onda onun kökləri -1 və sərbəst terminin aparıcı əmsala nisbətinin əksinə olan ədəddir ( -c/a).

Beləliklə, hər hansı kvadrat tənliyi həll etməzdən əvvəl bu teoremin ona tətbiq edilməsinin mümkünlüyünü yoxlamaq lazımdır: aparıcı əmsalın və sərbəst terminin cəmini ikinci əmsalla müqayisə edin.

Bütün əmsallarının cəmi sıfır olan kvadrat tənliyin kökləri

Kvadrat tənlikdə onun bütün əmsallarının cəmi sıfırdırsa, belə bir tənliyin kökləri 1-dir və sərbəst müddətin aparıcı əmsala nisbəti ( c/a).

Beləliklə, standart metodlardan istifadə edərək tənliyi həll etməzdən əvvəl bu teoremin ona tətbiq oluna biləcəyini yoxlamaq lazımdır: bu tənliyin bütün əmsallarını toplayın və bu məbləğin sıfıra bərabər olub olmadığını yoxlayın.

V metodu. Kvadrat üçhəmin xətti amillərə bölünməsi

Əgər trinomial formadadırsa (displaystyle ax^(2)+bx+c(anot =0))ax 2 + bx + c(a ≠ 0) bir şəkildə xətti amillərin hasili kimi təqdim oluna bilər (displaystyle (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n), onda biz tənliyin köklərini tapa bilərik. balta 2 + bx + c = 0- onlar -m/k və n/l olacaqlar, həqiqətən də, axırda (görüntü tərzi (kx+m)(lx+n)=0Uzun sol sağ ox kx+m=0stəkan lx+n=0)(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n və göstərilən xətti tənlikləri həll edərək yuxarıdakıları əldə edirik. Qeyd edək ki, kvadrat üçbucaq həmişə həqiqi əmsallı xətti amillərə parçalanmır: bu, müvafiq tənliyin həqiqi kökləri olduqda mümkündür.

Bəzi xüsusi halları nəzərdən keçirək

Kvadrat cəmi (fərq) düsturundan istifadə etməklə

Kvadrat üçhəmin forması varsa (displaystyle (ax)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2 , onda yuxarıdakı düsturu ona tətbiq etməklə, onu xətti amillərə ayıra bilərik və , buna görə də kökləri tapın:

(ax) 2 + 2abx + b 2 = (ax + b) 2

Cəmin tam kvadratının təcrid edilməsi (fərq)

Yuxarıdakı düstur həmçinin “cəmin (fərq) tam kvadratının seçilməsi” adlı metoddan istifadə etməklə istifadə olunur. Əvvəllər təqdim edilmiş qeyd ilə yuxarıdakı kvadrat tənliyə münasibətdə bu, aşağıdakıları ifadə edir:

Qeyd: Diqqət yetirsəniz, bu düstur “Kiçildilmiş kvadrat tənliyin kökləri” bölməsində təklif olunanla üst-üstə düşür, bu da öz növbəsində a=1 bərabərliyini əvəz etməklə ümumi düsturdan (1) əldə edilə bilər. Bu fakt sadəcə bir təsadüf deyil: təsvir olunan metoddan istifadə etməklə, bəzi əlavə əsaslandırmalarla da olsa, ümumi bir düstur əldə etmək və həmçinin diskriminantın xüsusiyyətlərini sübut etmək olar.

VI üsul. Birbaşa və tərs Vyeta teoremindən istifadə

Vietanın birbaşa teoremi (aşağıda eyni adlı bölmədə bax) və onun tərs teoremi yuxarıdakı kvadrat tənlikləri (1) düsturundan istifadə edərək kifayət qədər çətin hesablamalara müraciət etmədən şifahi şəkildə həll etməyə imkan verir.

Əks teoremə görə, aşağıdakı tənliklər sisteminin həlli olan hər bir ədəd (ədəd) cütü (displaystyle x_(1),x_(2))x 1, x 2 tənliyin kökləridir.

Ümumi halda, yəni kiçilməmiş kvadrat tənlik üçün ax 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 = -b/a, x 1 * x 2 = c/a

Birbaşa teorem bu tənlikləri şifahi şəkildə təmin edən ədədləri tapmağa kömək edəcəkdir. Onun köməyi ilə köklərin özlərini bilmədən köklərin əlamətlərini təyin edə bilərsiniz. Bunu etmək üçün qaydaya əməl etməlisiniz:

1) sərbəst termin mənfi olarsa, köklər müxtəlif işarələrə malikdir və köklərin mütləq qiymətində ən böyüyü tənliyin ikinci əmsalının işarəsinə əks işarəyə malikdir;

2) sərbəst şərt müsbətdirsə, onda hər iki kök eyni işarəyə malikdir və bu, ikinci əmsalın işarəsinə əks olan işarədir.

VII üsul. Transfer üsulu

Sözdə "köçürmə" üsulu, azaldılmamış və azaldılmayan tənliklərin həllini tam əmsallı azaldılmış tənliklərin həllinə aparıcı əmsalla bölmək yolu ilə tam əmsallı azaldılmış tənliklər formasına endirməyə imkan verir. Bu aşağıdakı kimidir:

Sonra tənlik yuxarıda təsvir edilən üsulla şifahi həll edilir, sonra onlar orijinal dəyişənə qayıdır və tənliklərin köklərini tapırlar (görüntü tərzi y_(1)=ax_(1)) y 1 =ax 1 Və y 2 =ax 2 .(görüntü tərzi y_(2)=ax_(2))

Həndəsi məna

Kvadrat funksiyanın qrafiki paraboladır. Kvadrat tənliyin həlləri (kökləri) parabolanın absis oxu ilə kəsişmə nöqtələrinin absisləridir. Kvadrat funksiya ilə təsvir edilən parabola x oxunu kəsmirsə, tənliyin həqiqi kökləri yoxdur. Əgər parabola x oxunu bir nöqtədə (parabolanın təpəsində) kəsərsə, tənliyin bir həqiqi kökü olur (tənliyin iki üst-üstə düşən kökü də deyilir). Parabola x oxunu iki nöqtədə kəsərsə, tənliyin iki həqiqi kökü olur (sağdakı şəklə baxın).

Əgər əmsal (görüntü tərzi a) a müsbət, parabolanın budaqları yuxarı və əksinə yönəldilir. Əgər əmsalı (görüntü tərzi b) b müsbət (əgər müsbətdirsə (görüntü tərzi a) a, mənfi olarsa, əksinə), onda parabolanın təpəsi sol yarımmüstəvidə yerləşir və əksinə.

Kvadrat tənliklərin həyatda tətbiqi

Kvadrat tənlikdən geniş istifadə olunur. Bir çox hesablamalarda, strukturlarda, idmanda və həmçinin ətrafımızda istifadə olunur.

Kvadrat tənliyin tətbiqinə dair bəzi nümunələri nəzərdən keçirək və verək.

İdman. Hündürlüyə tullanmalar: tullananın qaçışı zamanı qalxma çubuğuna və yüksək uçuşa mümkün qədər aydın təsir göstərmək üçün parabola ilə bağlı hesablamalardan istifadə edilir.

Həmçinin atmada da oxşar hesablamalara ehtiyac var. Bir obyektin uçuş məsafəsi kvadrat tənlikdən asılıdır.

Astronomiya. Planetlərin trayektoriyasını kvadrat tənlikdən istifadə etməklə tapmaq olar.

Təyyarə uçuşu. Təyyarənin qalxması uçuşun əsas komponentidir. Burada aşağı müqavimət və uçuşun sürətlənməsi üçün hesablama aparırıq.

Kvadrat tənliklər müxtəlif iqtisadi fənlərdə, audio, video, vektor və rastr qrafikalarının işlənməsi proqramlarında da istifadə olunur.

Nəticə

Görülən işlər nəticəsində məlum oldu ki, kvadrat tənliklər alimləri hələ qədim zamanlarda özünə cəlb etmiş, onlar artıq bəzi məsələləri həll edərkən onlarla qarşılaşmış və həll etməyə çalışmışlar. Kvadrat tənliklərin həllinin müxtəlif yollarına baxaraq belə nəticəyə gəldim ki, onların hamısı sadə deyil. Məncə, kvadrat tənlikləri həll etməyin ən yaxşı yolu düsturlardan istifadə etməklə həll etməkdir. Formulları yadda saxlamaq asandır, bu üsul universaldır. Tənliklərin həyatda və riyaziyyatda geniş istifadə olunması ilə bağlı fərziyyə təsdiqləndi. Mövzunu öyrəndikdən sonra kvadrat tənliklər, onların istifadəsi, tətbiqi, növləri, həlli yolları haqqında çoxlu maraqlı faktlar öyrəndim. Və onları öyrənməyə davam etməkdən məmnun qalacağam. Ümid edirəm ki, bu, imtahanlarımda yaxşı nəticə göstərməyimə kömək edəcək.

İstifadə olunmuş ədəbiyyatın siyahısı

Sayt materialları:

Vikipediya

Açıq dərs.rf

İbtidai Riyaziyyat Kitabı Vygodsky M. Ya.