Tənlik xətləri ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın. Nümunələr

Gəlin inteqral hesablamanın tətbiqlərini nəzərdən keçirək. Bu dərsdə müəyyən bir inteqraldan istifadə edərək bir müstəvi fiqurunun sahəsini hesablamaq üçün tipik və ən ümumi problemə baxacağıq. Nəhayət, ali riyaziyyatda məna axtaranların hamısı onu tapsın. Heç vaxt bilmirsən. Real həyatda, elementar funksiyalardan istifadə edərək bir bağ sahəsini təxmin etməli və müəyyən bir inteqraldan istifadə edərək sahəsini tapmalı olacaqsınız.

Materialı uğurla mənimsəmək üçün sizə lazımdır:

1) Qeyri-müəyyən inteqralı ən azı orta səviyyədə başa düşmək. Beləliklə, dummilər əvvəlcə Onun dərsi ilə tanış olmalıdırlar.

2) Nyuton-Leybnits düsturunu tətbiq etməyi və müəyyən inteqralı hesablamağı bacarın. Müəyyən İnteqral səhifəsində siz müəyyən inteqrallarla isti dostluq əlaqələri qura bilərsiniz. Həll nümunələri. "Müəyyən bir inteqraldan istifadə edərək ərazini hesablayın" tapşırığı həmişə bir rəsm qurmağı əhatə edir, buna görə də bilik və rəsm bacarıqlarınız da vacib məsələ olacaqdır. Ən azı düz xətt, parabola və hiperbola qurmağı bacarmalısınız.

Əyri trapesiya ilə başlayaq. Əyri trapesiya hansısa funksiyanın qrafiki ilə məhdudlaşan düz fiqurdur y = f(x), ox ÖKÜZ və xətlər x = a; x = b.

Əyrixətti trapezoidin sahəsi ədədi olaraq müəyyən bir inteqrala bərabərdir

Hər hansı müəyyən inteqralın (mövcud olan) çox yaxşı həndəsi mənası var. Dərsdə Müəyyən İnteqral. Həll nümunələri dedik ki, müəyyən inteqral ədəddir. İndi başqa bir faydalı faktı qeyd etməyin vaxtı gəldi. Həndəsə nöqteyi-nəzərindən müəyyən inteqral AREA-dır. Yəni müəyyən bir inteqral (əgər varsa) həndəsi olaraq müəyyən bir fiqurun sahəsinə uyğun gəlir. Müəyyən inteqralı nəzərdən keçirək

İnteqral

müstəvidə bir əyri təyin edir (istəsəniz çəkilə bilər) və müəyyən inteqralın özü ədədi olaraq müvafiq əyrixətti trapezoidin sahəsinə bərabərdir.

Misal 1

, , , .

Bu tipik bir tapşırıq bəyanatıdır. Qərarda ən vacib məqam rəsmin qurulmasıdır. Üstəlik, rəsm DÜZGÜN qurulmalıdır.

Rəsm qurarkən aşağıdakı ardıcıllığı tövsiyə edirəm: əvvəlcə bütün düz xətləri (əgər varsa) qurmaq daha yaxşıdır və yalnız bundan sonra - parabola, hiperbola və digər funksiyaların qrafiklərini. Nöqtəli qurma texnikası elementar funksiyaların qrafikləri və xassələri istinad materialında tapıla bilər. Orada dərsimiz üçün çox faydalı material tapa bilərsiniz - parabolanı necə tez qurmaq olar.

Bu problemdə həll yolu belə görünə bilər.

Gəlin rəsm çəkək (tənliyi qeyd edin y= 0 oxu təyin edir ÖKÜZ):

Əyri trapesiyaya kölgə salmayacağıq, burada hansı sahədən bəhs etdiyimiz aydındır. Həll belə davam edir:

Seqmentdə [-2; 1] funksiya qrafiki y = x 2 + 2 oxun üstündə yerləşir ÖKÜZ, Buna görə də:

Cavab: .

Müəyyən inteqralı hesablamaqda və Nyuton-Leybniz düsturunu tətbiq etməkdə çətinlik çəkən

Müəyyən inteqral mühazirəsinə baxın. Həll nümunələri. Tapşırığı yerinə yetirdikdən sonra rəsmə baxmaq və cavabın real olub olmadığını anlamaq həmişə faydalıdır. Bu vəziyyətdə, rəsmdəki hüceyrələrin sayını "gözlə" hesablayırıq - yaxşı, təxminən 9 olacaq, bu doğru görünür. Tamamilə aydındır ki, deyək ki, cavabı alsaq: 20 kvadrat vahid, onda haradasa səhv edildiyi açıqdır - 20 hüceyrə açıq-aydın sözügedən rəqəmə uyğun gəlmir, ən çoxu onlarla. Cavab mənfi olarsa, tapşırıq da səhv həll edilmişdir.

Misal 2

Xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın xy = 4, x = 2, x= 4 və ox ÖKÜZ.

Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir. Tam həll və dərsin sonunda cavab.

Bir əyri trapezoid oxun altında yerləşirsə nə etməli ÖKÜZ?

Misal 3

Xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın y = e-x, x= 1 və koordinat oxları.

Həlli: Gəlin rəsm çəkək:

Əgər əyri trapezoid tamamilə oxun altında yerləşirsə ÖKÜZ, onda onun sahəsi düsturla tapıla bilər:

Bu halda:

Diqqət! İki növ tapşırıq qarışdırılmamalıdır:

1) Əgər sizdən heç bir həndəsi mənası olmayan sadəcə müəyyən inteqralı həll etməyiniz xahiş olunursa, o, mənfi ola bilər.

2) Əgər sizdən müəyyən inteqraldan istifadə edərək fiqurun sahəsini tapmaq istənilirsə, onda sahə həmişə müsbətdir! Ona görə də indicə müzakirə olunan düsturda mənfi görünür.

Praktikada çox vaxt rəqəm həm yuxarı, həm də aşağı yarım müstəvidə yerləşir və buna görə də ən sadə məktəb problemlərindən daha mənalı nümunələrə keçirik.

Misal 4

Xətlərlə məhdudlaşan təyyarə fiqurunun sahəsini tapın y = 2x – x 2 , y = -x.

Həll yolu: Əvvəlcə bir rəsm çəkməlisiniz. Sahə problemlərində rəsm qurarkən bizi ən çox xətlərin kəsişmə nöqtələri maraqlandırır. Parabolanın kəsişmə nöqtələrini tapaq y = 2x – x 2 və düz y = -x. Bu iki yolla edilə bilər. Birinci üsul analitikdir. Tənliyi həll edirik:

Bu, inteqrasiyanın aşağı sərhədi deməkdir a= 0, inteqrasiyanın yuxarı həddi b= 3. Çox vaxt xətləri nöqtə-nöqtə qurmaq daha sərfəli və daha sürətli olur və inteqrasiyanın sərhədləri “özlüyündə” aydın olur. Buna baxmayaraq, məsələn, qrafik kifayət qədər böyükdürsə və ya təfərrüatlı konstruksiya inteqrasiyanın hüdudlarını aşkar etmirsə (onlar fraksiya və ya irrasional ola bilər) hədləri tapmaq üçün analitik metoddan hələ də bəzən istifadə edilməlidir. Gəlin vəzifəmizə qayıdaq: əvvəlcə düz xətt, sonra isə parabola qurmaq daha rasionaldır. Gəlin rəsm çəkək:

Təkrar edək ki, nöqtəvi qurarkən inteqrasiyanın hədləri ən çox "avtomatik" olaraq müəyyən edilir.

İndi iş düsturu:

Əgər seqmentdə [ a; b] bəzi davamlı funksiya f(x) bəzi davamlı funksiyadan böyük və ya ona bərabərdir g(x), onda müvafiq rəqəmin sahəsi düsturla tapıla bilər:

Burada artıq fiqurun harada yerləşdiyini - oxun üstündə və ya oxun altında olduğunu düşünməyə ehtiyac yoxdur, amma vacib olan hansı qrafikin YÜKSƏK (başqa qrafikə nisbətən), hansının AŞAĞIDA olmasıdır.

Baxılan misalda seqmentdə parabolanın düz xəttin üstündə yerləşdiyi və buna görə də 2-dən aydın görünür. x – x 2 çıxılmalıdır - x.

Tamamlanmış həll bu kimi görünə bilər:

İstədiyiniz rəqəm parabola ilə məhdudlaşır y = 2x – x 2 üst və düz y = -x aşağıda.

2-ci seqmentdə x – x 2 ≥ -x. Müvafiq düstura görə:

Cavab: .

Əslində, aşağı yarım müstəvidə əyri bir trapezoidin sahəsi üçün məktəb düsturu (3 nömrəli nümunəyə baxın) formulun xüsusi bir vəziyyətidir.

Çünki ox ÖKÜZ tənliyi ilə verilir y= 0 və funksiyanın qrafiki g(x) oxun altında yerləşir ÖKÜZ, Bu

İndi öz həlliniz üçün bir neçə nümunə

Misal 5

Misal 6

Xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini tapın

Müəyyən bir inteqraldan istifadə edərək sahənin hesablanması ilə bağlı məsələləri həll edərkən bəzən gülməli bir hadisə baş verir. Rəsm düzgün tamamlandı, hesablamalar düzgün aparıldı, lakin diqqətsizlik üzündən... səhv fiqurun sahəsi tapıldı.

Misal 7

Əvvəlcə bir rəsm çəkək:

Sahəsini tapmalı olduğumuz fiqur mavi rəngə çalınır (şərtə diqqətlə baxın - rəqəm necə məhduddur!). Ancaq praktikada, diqqətsizlik səbəbindən insanlar tez-tez yaşıl rənglə kölgələnmiş rəqəmin sahəsini tapmaq lazım olduğuna qərar verirlər!

Bu nümunə həm də faydalıdır, çünki iki müəyyən inteqraldan istifadə edərək rəqəmin sahəsini hesablayır. Həqiqətən:

1) Seqmentdə [-1; 1] oxun üstündə ÖKÜZ qrafik düz yerləşir y = x+1;

2) Oxun üstündəki seqmentdə ÖKÜZ hiperbolanın qrafiki yerləşir y = (2/x).

Sahələrin əlavə edilə biləcəyi (və edilməlidir) tamamilə aydındır, buna görə də:

Cavab:

Misal 8

Xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın

Tənlikləri “məktəb” şəklində təqdim edək

və nöqtəli bir rəsm çəkin:

Rəsmdən aydın olur ki, yuxarı həddimiz "yaxşıdır": b = 1.

Amma aşağı hədd nədir?! Aydındır ki, bu tam deyil, amma nədir?

Ola bilər, a=(-1/3)? Ancaq rəsmin mükəmməl dəqiqliklə edildiyinə zəmanət haradadır, yaxşı olar ki a=(-1/4). Qrafiki səhv qursaq nə olacaq?

Belə hallarda əlavə vaxt sərf etməli və analitik şəkildə inteqrasiyanın sərhədlərini aydınlaşdırmalısınız.

Qrafiklərin kəsişmə nöqtələrini tapaq

Bunu etmək üçün tənliyi həll edirik:

Beləliklə, a=(-1/3).

Əlavə həll yolu mənasızdır. Əsas odur ki, əvəzləmələrdə və işarələrdə çaşqınlıq olmasın. Buradakı hesablamalar ən sadə deyil. Seqmentdə

, ,

müvafiq düstura görə:

Cavab:

Dərsi yekunlaşdırmaq üçün daha iki çətin işə baxaq.

Misal 9

Xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın

Həlli: Gəlin rəsmdə bu rəqəmi təsvir edək.

Nöqtə-nöqtəli bir rəsm qurmaq üçün sinusoidin görünüşünü bilmək lazımdır. Ümumiyyətlə, bütün elementar funksiyaların qrafiklərini, eləcə də bəzi sinus qiymətlərini bilmək faydalıdır. Onları triqonometrik funksiyaların qiymətləri cədvəlində tapmaq olar. Bəzi hallarda (məsələn, bu halda) qrafiklər və inteqrasiya hədləri əsaslı şəkildə düzgün göstərilməli olan sxematik bir rəsm qurmaq mümkündür.

Burada inteqrasiyanın sərhədləri ilə bağlı heç bir problem yoxdur, onlar birbaşa şərtdən irəli gəlir:

– “x” sıfırdan “pi”yə dəyişir. Gəlin əlavə qərar verək:

Seqmentdə, funksiyanın qrafiki y= günah 3 x oxun üstündə yerləşir ÖKÜZ, Buna görə də:

(1) Triqonometrik funksiyaların inteqralları dərsində sinusların və kosinusların tək güclərdə necə inteqral edildiyini görə bilərsiniz. Bir sinusu sıxırıq.

(2) Biz formada əsas triqonometrik eynilikdən istifadə edirik

(3) Gəlin dəyişəni dəyişdirək t= cos x, onda: oxun üstündə yerləşir, buna görə də:

Qeyd: toxunan kubun inteqralının necə alındığına diqqət yetirin; burada əsas triqonometrik eyniliyin nəticəsi istifadə olunur.

Veb saytına riyazi düsturları necə daxil etmək olar?

Əgər siz nə vaxtsa veb səhifəyə bir və ya iki riyazi düstur əlavə etməlisinizsə, bunun ən asan yolu məqalədə təsvir olunduğu kimidir: riyazi düsturlar asanlıqla Wolfram Alpha tərəfindən avtomatik olaraq yaradılan şəkillər şəklində sayta daxil edilir. . Sadəliyə əlavə olaraq, bu universal üsul axtarış sistemlərində saytın görünməsini yaxşılaşdırmağa kömək edəcəkdir. Uzun müddətdir işləyir (və məncə, əbədi işləyəcək), lakin artıq mənəvi cəhətdən köhnəlmişdir.

Əgər saytınızda müntəzəm olaraq riyazi düsturlardan istifadə edirsinizsə, onda mən sizə MathJax-dan istifadə etməyi məsləhət görürəm - MathML, LaTeX və ya ASCIIMathML işarələməsindən istifadə edərək veb brauzerlərdə riyazi qeydləri göstərən xüsusi JavaScript kitabxanası.

MathJax-dan istifadə etməyə başlamağın iki yolu var: (1) sadə koddan istifadə edərək, MathJax skriptini tez bir zamanda veb saytınıza qoşa bilərsiniz, bu da lazımi anda uzaq serverdən avtomatik yüklənəcək (serverlərin siyahısı); (2) MathJax skriptini uzaq serverdən serverinizə endirin və onu saytınızın bütün səhifələrinə qoşun. İkinci üsul - daha mürəkkəb və vaxt aparan - saytınızın səhifələrinin yüklənməsini sürətləndirəcək və əgər ana MathJax serveri nədənsə müvəqqəti olaraq əlçatmaz olarsa, bu heç bir şəkildə öz saytınıza təsir etməyəcək. Bu üstünlüklərə baxmayaraq, daha sadə, daha sürətli və texniki bacarıq tələb etmədiyi üçün birinci üsulu seçdim. Mənim nümunəmə əməl edin və cəmi 5 dəqiqə ərzində saytınızda MathJax-ın bütün xüsusiyyətlərindən istifadə edə biləcəksiniz.

MathJax kitabxana skriptini əsas MathJax veb-saytından və ya sənədləşmə səhifəsindən götürülmüş iki kod seçimindən istifadə edərək uzaq serverdən birləşdirə bilərsiniz:

Bu kod seçimlərindən biri kopyalanıb veb səhifənizin koduna, tercihen teqlər arasında və ya etiketdən dərhal sonra yapışdırılmalıdır. Birinci varianta görə, MathJax daha sürətli yüklənir və səhifəni daha az ləngidir. Lakin ikinci seçim avtomatik olaraq MathJax-ın ən son versiyalarını izləyir və yükləyir. İlk kodu daxil etsəniz, onun vaxtaşırı yenilənməsi lazımdır. İkinci kodu daxil etsəniz, səhifələr daha yavaş yüklənəcək, lakin MathJax yeniləmələrini daim izləmək lazım olmayacaq.

MathJax-a qoşulmağın ən asan yolu Blogger və ya WordPress-dədir: saytın idarəetmə panelində üçüncü tərəf JavaScript kodunu daxil etmək üçün nəzərdə tutulmuş vidceti əlavə edin, yuxarıda təqdim olunan yükləmə kodunun birinci və ya ikinci versiyasını ona köçürün və vidceti daha yaxın yerləşdirin. şablonun əvvəlinə (yeri gəlmişkən, bu heç də lazım deyil, çünki MathJax skripti asinxron şəkildə yüklənir). Hamısı budur. İndi MathML, LaTeX və ASCIIMathML-in işarələmə sintaksisini öyrənin və siz saytınızın veb səhifələrinə riyazi düsturlar daxil etməyə hazırsınız.

Hər hansı bir fraktal ardıcıl olaraq qeyri-məhdud sayda tətbiq olunan müəyyən bir qaydaya əsasən qurulur. Hər belə vaxt iterasiya adlanır.

Menger süngərinin qurulması üçün iterativ alqoritm olduqca sadədir: tərəfi 1 olan orijinal kub, üzlərinə paralel olan müstəvilərlə 27 bərabər kuba bölünür. Ondan bir mərkəzi kub və üzləri boyunca ona bitişik 6 kub çıxarılır. Nəticə qalan 20 kiçik kubdan ibarət dəstdir. Bu kubların hər biri ilə eyni şeyi edərək, 400 kiçik kubdan ibarət bir dəst alırıq. Bu prosesi sonsuz şəkildə davam etdirərək Menger süngərini əldə edirik.

Tapşırıq № 3. Rəsm çəkin və xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın

Tətbiqi məsələlərin həllinə inteqralın tətbiqi

Sahənin hesablanması

Davamlı qeyri-mənfi funksiyanın müəyyən inteqralı f(x) ədədi olaraq y = f(x) əyrisi, O x oxu və x = a və x düz xətləri ilə məhdudlaşan əyrixətti trapezoidin sahəsinə bərabərdir. = b. Buna uyğun olaraq sahə düsturu aşağıdakı kimi yazılır:

Müstəvi fiqurların sahələrinin hesablanmasına dair bəzi nümunələrə baxaq.

Tapşırıq No 1. y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2 xətləri ilə məhdudlaşan sahəni hesablayın.

Həll. Sahəsini hesablamalı olacağımız bir fiqur quraq.

y = x 2 + 1 budaqları yuxarıya doğru yönəlmiş paraboladır və parabola O y oxuna nisbətən bir vahid yuxarı sürüşdürülmüşdür (Şəkil 1).

Şəkil 1. y = x 2 + 1 funksiyasının qrafiki

Tapşırıq No 2. 0-dan 1-ə qədər olan diapazonda y = x 2 – 1, y = 0 xətləri ilə məhdudlaşan sahəni hesablayın.

Həll. Bu funksiyanın qrafiki yuxarıya doğru istiqamətlənmiş budaqlardan ibarət paraboladır və parabola O y oxuna nisbətən bir vahid aşağı sürüşdürülür (Şəkil 2).

Şəkil 2. y = x 2 – 1 funksiyasının qrafiki

Tapşırıq № 3. Rəsm çəkin və xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın

y = 8 + 2x – x 2 və y = 2x – 4.

Həll. Bu iki sətirdən birincisi x 2 əmsalı mənfi olduğu üçün budaqları aşağı yönəlmiş parabola, ikinci xətt isə hər iki koordinat oxunu kəsən düz xəttdir.

Parabolanı qurmaq üçün onun təpəsinin koordinatlarını tapırıq: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – təpənin absisi; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 onun ordinatıdır, N(1;9) təpəsidir.

İndi tənliklər sistemini həll etməklə parabola ilə düz xəttin kəsişmə nöqtələrini tapaq:

Sol tərəfləri bərabər olan tənliyin sağ tərəflərinin bərabərləşdirilməsi.

8 + 2x – x 2 = 2x – 4 və ya x 2 – 12 = 0 alırıq, buradan .

Beləliklə, nöqtələr parabola ilə düz xəttin kəsişmə nöqtələridir (Şəkil 1).

Şəkil 3 y = 8 + 2x – x 2 və y = 2x – 4 funksiyalarının qrafikləri

y = 2x – 4 düz xəttini quraq. O, koordinat oxları üzərindəki (0;-4), (2;0) nöqtələrindən keçir.

Parabola qurmaq üçün onun 0x oxu ilə kəsişmə nöqtələrindən, yəni 8 + 2x – x 2 = 0 və ya x 2 – 2x – 8 = 0 tənliyinin köklərindən də istifadə edə bilərsiniz. Vyeta teoremindən istifadə etmək asandır. onun köklərini tapmaq üçün: x 1 = 2, x 2 = 4.

Şəkil 3-də bu xətlərlə hüdudlanmış fiqur (parabolik seqment M 1 N M 2) göstərilir.

Problemin ikinci hissəsi bu rəqəmin sahəsini tapmaqdır. Onun sahəsini düstura görə müəyyən inteqraldan istifadə etməklə tapmaq olar .

Bu şərtlə əlaqədar olaraq inteqral alırıq:

2 Fırlanma cisminin həcminin hesablanması

y = f(x) əyrisinin O x oxu ətrafında fırlanmasından alınan cismin həcmi düsturla hesablanır:

O y oxu ətrafında fırlanan zaman düstur belə görünür:

Tapşırıq № 4. O x oxu ətrafında x = 0 x = 3 düz xətləri və y = əyrisi ilə məhdudlaşan əyri trapezoidin fırlanmasından alınan cismin həcmini təyin edin.

Həll. Bir şəkil çəkək (Şəkil 4).

Şəkil 4. y = funksiyasının qrafiki

Tələb olunan həcmdir

Tapşırıq № 5. y = x 2 əyrisi və O y oxu ətrafında y = 0 və y = 4 düz xətləri ilə məhdudlaşan əyri trapezoidin fırlanmasından alınan cismin həcmini hesablayın.

Həll. Bizdə:

Sualları nəzərdən keçirin

Müəyyən inteqral. Fiqurun sahəsini necə hesablamaq olar

Gəlin inteqral hesablamanın tətbiqlərini nəzərdən keçirək. Bu dərsdə tipik və ən ümumi problemi təhlil edəcəyik - müəyyən bir inteqraldan istifadə edərək bir müstəvi fiqurunun sahəsini necə hesablamaq olar. Nəhayət, ali riyaziyyatda məna axtaranlar - tapsınlar. Heç vaxt bilmirsən. Real həyatda, elementar funksiyalardan istifadə edərək bir bağ sahəsini təxmin etməli və müəyyən bir inteqraldan istifadə edərək sahəsini tapmalı olacaqsınız.

Materialı uğurla mənimsəmək üçün sizə lazımdır:

1) Qeyri-müəyyən inteqralı ən azı orta səviyyədə başa düşmək. Beləliklə, dummies ilk növbədə "Yox" dərsi ilə tanış olmalıdır.

Əslində, bir fiqurun sahəsini tapmaq üçün qeyri-müəyyən və müəyyən inteqral haqqında o qədər də çox biliyə ehtiyacınız yoxdur. “Müəyyən bir inteqraldan istifadə edərək ərazini hesablayın” tapşırığı həmişə rəsm çəkməyi nəzərdə tutur, buna görə də rəsmlərin qurulmasında bilik və bacarıqlarınız daha aktual sual olacaqdır. Bu baxımdan, əsas elementar funksiyaların qrafikləri haqqında yaddaşınızı təzələmək və ən azı düz xətt, parabola və hiperbolanı qura bilmək faydalıdır. Bu, metodik materialın və qrafiklərin həndəsi çevrilmələrinə dair məqalənin köməyi ilə (bir çoxları üçün zəruridir) edilə bilər.

Əslində, hər kəs müəyyən inteqraldan istifadə edərək sahəni tapmaq vəzifəsi ilə məktəbdən tanışdır və biz məktəb kurikulumundan çox uzağa getməyəcəyik. Bu məqalə ümumiyyətlə olmaya bilərdi, amma fakt budur ki, problem 100-dən 99-da, tələbənin nifrət etdiyi məktəbdən əziyyət çəkdiyi və ali riyaziyyat kursunu həvəslə mənimsədiyi zaman baş verir.

Bu seminarın materialları sadə, ətraflı və minimum nəzəriyyə ilə təqdim olunur.

Əyri trapesiya ilə başlayaq.

Əyri trapesiya ox, düz xətlər və bu intervalda işarəsini dəyişməyən seqmentdə davamlı funksiyanın qrafiki ilə məhdudlaşan düz fiqurdur. Bu rəqəm yerləşsin az deyil x oxu:

Sonra əyrixətli trapezoidin sahəsi ədədi olaraq müəyyən inteqrala bərabərdir. Hər hansı müəyyən inteqralın (mövcud olan) çox yaxşı həndəsi mənası var. Dərsdə Müəyyən İnteqral. Həll nümunələri Mən dedim ki, müəyyən inteqral ədəddir. İndi başqa bir faydalı faktı qeyd etməyin vaxtı gəldi. Həndəsə nöqteyi-nəzərindən müəyyən inteqral AREA-dır.

Yəni müəyyən bir inteqral (əgər varsa) həndəsi olaraq müəyyən bir fiqurun sahəsinə uyğun gəlir. Məsələn, müəyyən inteqralı nəzərdən keçirək. İnteqral oxun üstündə yerləşən müstəvidə əyri müəyyən edir (arzu edənlər rəsm çəkə bilər) və müəyyən inteqralın özü ədədi olaraq müvafiq əyrixətti trapezoidin sahəsinə bərabərdir.

Misal 1

Bu tipik bir tapşırıq bəyanatıdır. Qərarda ilk və ən vacib məqam rəsmdir. Üstəlik, rəsm DÜZGÜN qurulmalıdır.

Rəsm qurarkən aşağıdakı ardıcıllığı tövsiyə edirəm: əvvəlcə bütün düz xətləri (əgər varsa) qurmaq daha yaxşıdır və yalnız bundan sonra - parabola, hiperbola və digər funksiyaların qrafiklərini. Funksiyaların qrafiklərini nöqtəli şəkildə qurmaq daha sərfəlidir, nöqtəvi qurma texnikası elementar funksiyaların qrafikləri və xassələri istinad materialında tapıla bilər. Orada dərsimiz üçün çox faydalı material tapa bilərsiniz - parabolanı necə tez qurmaq olar.

Bu problemdə həll yolu belə görünə bilər.
Rəsmi çəkək (qeyd edək ki, tənlik oxu müəyyən edir):

Mən əyri trapesiyaya kölgə salmayacağam, burada hansı sahədən bəhs etdiyimiz aydındır. Həll belə davam edir:

Seqmentdə funksiyanın qrafiki oxun üstündə yerləşir, buna görə də:

Cavab:

Müəyyən inteqralı hesablamaqda və Nyuton-Leybniz düsturunu tətbiq etməkdə çətinlik çəkən , Müəyyən İnteqral mühazirəsinə baxın. Həll nümunələri.

Tapşırığı yerinə yetirdikdən sonra rəsmə baxmaq və cavabın real olub olmadığını anlamaq həmişə faydalıdır. Bu vəziyyətdə, rəsmdəki hüceyrələrin sayını "gözlə" hesablayırıq - yaxşı, təxminən 9 olacaq, bu doğru görünür. Tamamilə aydındır ki, deyək ki, cavabı alsaq: 20 kvadrat vahid, onda haradasa səhv edildiyi açıqdır - 20 hüceyrə açıq-aydın sözügedən rəqəmə uyğun gəlmir, ən çoxu onlarla. Cavab mənfi olarsa, tapşırıq da səhv həll edilmişdir.

Misal 2

Xətlər, , və oxu ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın

Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir. Tam həll və dərsin sonunda cavab.

Əyri trapezoid oxun altında yerləşirsə nə etməli?

Misal 3

Xətlər və koordinat oxları ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın.

Həlli: Gəlin rəsm çəkək:

Əyri trapezoid oxun altında yerləşirsə (və ya ən azı daha yüksək deyil verilmiş ox), onda onun sahəsi düsturla tapıla bilər:
Bu halda:

Diqqət! İki növ tapşırıq qarışdırılmamalıdır:

1) Əgər sizdən heç bir həndəsi mənası olmayan sadəcə müəyyən inteqralı həll etməyiniz xahiş olunursa, o, mənfi ola bilər.

Praktikada çox vaxt rəqəm həm yuxarı, həm də aşağı yarım müstəvidə yerləşir və buna görə də ən sadə məktəb problemlərindən daha mənalı nümunələrə keçirik.

Misal 4

, xətləri ilə məhdudlaşan müstəvi fiqurun sahəsini tapın.

Həll yolu: Əvvəlcə bir rəsm çəkməlisiniz. Ümumiyyətlə, sahə problemlərində rəsm çəkərkən bizi ən çox xətlərin kəsişmə nöqtələri maraqlandırır. Parabola ilə düz xəttin kəsişmə nöqtələrini tapaq. Bu iki yolla edilə bilər. Birinci üsul analitikdir. Tənliyi həll edirik:

Bu o deməkdir ki, inteqrasiyanın aşağı həddi, inteqrasiyanın yuxarı həddidir.
Mümkünsə, bu üsuldan istifadə etməmək daha yaxşıdır.

Nöqtə-nöqtə xətləri qurmaq daha sərfəli və sürətlidir və inteqrasiyanın sərhədləri “özlüyündə” aydın olur. Müxtəlif qrafiklər üçün nöqtəli qurma texnikası Elementar funksiyaların qrafikləri və xassələri yardımında ətraflı müzakirə olunur. Buna baxmayaraq, məsələn, qrafik kifayət qədər böyükdürsə və ya təfərrüatlı konstruksiya inteqrasiyanın hüdudlarını aşkar etmirsə (onlar fraksiya və ya irrasional ola bilər) hədləri tapmaq üçün analitik metoddan hələ də bəzən istifadə edilməlidir. Və belə bir nümunəni də nəzərdən keçirəcəyik.

Gəlin vəzifəmizə qayıdaq: əvvəlcə düz xətt, sonra isə parabola qurmaq daha rasionaldır. Gəlin rəsm çəkək:

Təkrar edirəm ki, nöqtəvi qurarkən, inteqrasiyanın sərhədləri ən çox "avtomatik olaraq" aşkar edilir.

İndi iş düsturu: Əgər seqmentdə hansısa fasiləsiz funksiya hansısa fasiləsiz funksiyadan böyük və ya ona bərabərdirsə, onda bu funksiyaların və düz xətlərin qrafikləri ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsi düsturdan istifadə etməklə tapıla bilər:

Burada artıq fiqurun harada yerləşdiyini - oxun üstündə və ya oxun altında olduğunu düşünməyə ehtiyac yoxdur və kobud desək, hansı qrafikin YÜKSƏK (başqa qrafikə nisbətən), hansının AŞAĞIDA olması vacibdir.

Baxılan misalda seqmentdə parabolanın düz xəttin üstündə yerləşdiyi aydındır və buna görə də ondan çıxmaq lazımdır.

Tamamlanmış həll bu kimi görünə bilər:

İstədiyiniz rəqəm yuxarıda parabola və aşağıda düz xətt ilə məhdudlaşır.
Seqmentdə, müvafiq düstura görə:

Cavab:

Əslində, aşağı yarım müstəvidə əyri bir trapezoidin sahəsi üçün məktəb düsturu (sadə nümunə № 3-ə baxın) formulun xüsusi bir vəziyyətidir. . Ox tənliklə təyin olunduğundan və funksiyanın qrafiki yerləşir daha yüksək deyil baltalar, onda

İndi öz həlliniz üçün bir neçə nümunə

Misal 5

Misal 6

, xətləri ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini tapın.

Müəyyən bir inteqraldan istifadə edərək sahənin hesablanması ilə bağlı məsələləri həll edərkən bəzən gülməli bir hadisə baş verir. Rəsm düzgün aparılıb, hesablamalar düzgün aparılıb, lakin ehtiyatsızlıq ucbatından... səhv fiqurun sahəsi tapılıb, təvazökar qulluqçunuz bir neçə dəfə səhvə yol verib. Budur real həyat hadisəsi:

Misal 7

, , , xətləri ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın.

Həll yolu: Əvvəlcə rəsm çəkək:

...Eh, rəsm axmaq çıxdı, amma hər şey oxunaqlı görünür.

Sahəsini tapmalı olduğumuz fiqur mavi rəngə çalınır (şərtə diqqətlə baxın - rəqəm necə məhduddur!). Ancaq praktikada, diqqətsizlik səbəbindən tez-tez yaşıl rənglə kölgələnmiş bir fiqurun sahəsini tapmaq lazım olan bir "xətt" baş verir!

Bu nümunə həm də ona görə faydalıdır ki, o, iki müəyyən inteqraldan istifadə edərək rəqəmin sahəsini hesablayır. Həqiqətən:

1) Oxun üstündəki seqmentdə düz xəttin qrafiki var;

2) Oxun üstündəki seqmentdə hiperbolanın qrafiki var.

Sahələrin əlavə edilə biləcəyi (və edilməlidir) tamamilə aydındır, buna görə də:

Cavab:

Gəlin başqa bir mənalı işə keçək.

Misal 8

Xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın,
Gəlin tənlikləri “məktəb” şəklində təqdim edək və nöqtə-nöqtəli rəsm çəkək:

Rəsmdən aydın olur ki, bizim yuxarı həddimiz “yaxşı”dır: .
Amma aşağı hədd nədir?! Aydındır ki, bu tam deyil, amma nədir? Ola bilər ? Bəs rəsmin mükəmməl dəqiqliklə çəkildiyinə zəmanət haradadır, yaxşı olar ki... Və ya kök. Qrafiki səhv qursaq nə olacaq?

Belə hallarda əlavə vaxt sərf etməli və analitik şəkildə inteqrasiyanın sərhədlərini aydınlaşdırmalısınız.

Düz xəttin və parabolanın kəsişmə nöqtələrini tapaq.
Bunu etmək üçün tənliyi həll edirik:

,

Həqiqətən, .

Növbəti həll mənasızdır, əsas odur ki, əvəzetmələrdə və işarələrdə çaşqınlıq olmasın; burada hesablamalar ən sadə deyil.

Seqmentdə , müvafiq düstura görə:

Cavab:

Yaxşı, dərsi yekunlaşdırmaq üçün daha iki çətin işə baxaq.

Misal 9

Xətləri ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın, ,

Həlli: Gəlin rəsmdə bu rəqəmi təsvir edək.

Lənət olsun, cədvəli imzalamağı unutdum və üzr istəyirəm, şəkli yenidən çəkmək istəmədim. Rəsm günü deyil, bir sözlə, bu gün gündür =)

Nöqtə-nöqtə qurmaq üçün sinusoidin görünüşünü (və ümumiyyətlə bütün elementar funksiyaların qrafiklərini bilmək faydalıdır), həmçinin sinusun bəzi dəyərlərini bilməlisiniz, onları burada tapa bilərsiniz. triqonometrik cədvəl. Bəzi hallarda (bu vəziyyətdə olduğu kimi), qrafiklər və inteqrasiya hədləri əsaslı şəkildə düzgün göstərilməli olan sxematik bir rəsm qurmaq mümkündür.

Burada inteqrasiyanın hədləri ilə bağlı heç bir problem yoxdur, onlar birbaşa şərtdən irəli gəlir: “x” sıfırdan “pi”yə dəyişir. Gəlin əlavə qərar verək:

Seqmentdə funksiyanın qrafiki oxun üstündə yerləşir, buna görə də:

Bu yazıda siz inteqral hesablamalardan istifadə edərək xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini necə tapacağınızı öyrənəcəksiniz. İlk dəfə olaraq orta məktəbdə müəyyən inteqralların öyrənilməsini yenicə başa vurduqda və əldə edilmiş biliklərin həndəsi şərhinə praktikada başlamağın vaxtı çatanda belə bir problemin qoyuluşu ilə qarşılaşırıq.

Beləliklə, inteqrallardan istifadə edərək bir fiqurun sahəsini tapmaq problemini uğurla həll etmək üçün nə tələb olunur:

Bacarıqlı rəsmlər çəkmək bacarığı;
Məşhur Nyuton-Leybniz düsturundan istifadə etməklə müəyyən inteqralı həll etmək bacarığı;
Daha sərfəli həll variantını "görmək" bacarığı - yəni. bu və ya digər halda inteqrasiyanın həyata keçirilməsinin necə daha rahat olacağını başa düşürsən? X oxu (OX) və ya y oxu (OY) boyunca?
Yaxşı, düzgün hesablamalar olmasaydı, harda olardıq?) Bu, digər növ inteqralların necə həll olunacağını anlamaq və ədədi hesablamaları düzəltməkdən ibarətdir.

Xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsinin hesablanması probleminin həlli alqoritmi:

1. Rəsm qururuq. Bunu damalı kağızda, böyük miqyasda etmək məsləhətdir. Bu funksiyanın adını hər qrafikin üstündə qələmlə imzalayırıq. Qrafiklərin imzalanması yalnız sonrakı hesablamaların rahatlığı üçün edilir. İstədiyiniz rəqəmin qrafikini aldıqdan sonra, əksər hallarda inteqrasiyanın hansı məhdudiyyətlərindən istifadə ediləcəyi dərhal aydın olacaq. Beləliklə, problemi qrafik şəkildə həll edirik. Bununla belə, limitlərin dəyərləri fraksiya və ya irrasional olur. Buna görə əlavə hesablamalar apara bilərsiniz, ikinci addıma keçin.

2. Əgər inteqrasiyanın hədləri açıq şəkildə göstərilməyibsə, onda biz qrafiklərin bir-biri ilə kəsişmə nöqtələrini tapırıq və qrafik həllimizin analitik həll ilə üst-üstə düşüb-düşmədiyini görürük.

3. Sonra, rəsmi təhlil etməlisiniz. Funksiya qrafiklərinin necə qurulduğundan asılı olaraq, fiqurun sahəsini tapmaq üçün müxtəlif yanaşmalar mövcuddur. İnteqrallardan istifadə edərək fiqurun sahəsini tapmaq üçün müxtəlif nümunələrə baxaq.

3.1. Problemin ən klassik və ən sadə versiyası əyri bir trapezoidin sahəsini tapmaq lazım olduğu zamandır. Əyri trapesiya nədir? Bu, x oxu (y = 0), x = a, x = b düz xətləri və a-dan b-yə qədər fasiləsiz olan istənilən əyri ilə məhdudlaşan düz rəqəmdir. Üstəlik, bu rəqəm mənfi deyil və x oxundan aşağıda deyil. Bu halda əyrixətti trapezoidin sahəsi ədədi olaraq Nyuton-Leybniz düsturu ilə hesablanan müəyyən bir inteqrala bərabərdir:

Misal 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Fiqur hansı xətlərlə məhdudlaşır? OX oxundan yuxarıda yerləşən y = x2 - 3x + 3 parabolamız var, mənfi deyil, çünki bu parabolanın bütün nöqtələri müsbət qiymətlərə malikdir. Sonra, op-amp oxuna paralel olan və sol və sağdakı fiqurun sərhəd xətləri olan x = 1 və x = 3 düz xətləri verilir. Yaxşı, y = 0, bu da x oxudur, rəqəmi aşağıdan məhdudlaşdırır. Yaranan rəqəm, soldakı şəkildən göründüyü kimi kölgəlidir. Bu vəziyyətdə dərhal problemi həll etməyə başlaya bilərsiniz. Qarşımızda əyri trapezoidin sadə bir nümunəsi var, sonra onu Nyuton-Leybniz düsturundan istifadə edərək həll edirik.

3.2. Əvvəlki 3.1-ci bənddə biz əyri trapezoidin x oxunun üstündə yerləşdiyi halı araşdırdıq. İndi məsələnin şərtlərinin eyni olduğu halı nəzərdən keçirək, yalnız funksiya x oxunun altındadır. Standart Nyuton-Leybniz düsturuna mənfi əlavə olunur. Aşağıda belə bir problemi necə həll edəcəyimizi nəzərdən keçirəcəyik.

Misal 2. y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0 xətləri ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın.

Bu misalda OX oxunun altından, x = -4, x = -1, y = 0 düz xətlərindən yaranan y = x2 + 6x + 2 parabolamız var. Burada y = 0 yuxarıdan istənilən rəqəmi məhdudlaşdırır. x = -4 və x = -1 düz xətləri müəyyən inteqralın hesablanacağı sərhədlərdir. Fiqurun sahəsinin tapılması məsələsinin həlli prinsipi 1 nömrəli misalla demək olar ki, tamamilə üst-üstə düşür. Yeganə fərq ondadır ki, verilmiş funksiya müsbət deyil, həm də [-4” intervalında davamlıdır; -1]. Müsbət olmayan nə demək istəyirsiniz? Şəkildən göründüyü kimi, verilmiş x-lərin daxilində olan fiqurun müstəsna olaraq “mənfi” koordinatları var, məsələni həll edərkən bunu görməli və yadda saxlamalıyıq. Newton-Leibniz düsturundan istifadə edərək rəqəmin sahəsini axtarırıq, yalnız əvvəlində mənfi işarəsi var.

Məqalə tamamlanmayıb.