Variasiya dəyəri. Variasiya və standart sapma

Statistikada istifadə olunan bir çox göstəricilər arasında fərqin hesablanmasını vurğulamaq lazımdır. Qeyd etmək lazımdır ki, bu hesablamanın əl ilə aparılması olduqca yorucu bir işdir. Xoşbəxtlikdən, Excel-də hesablama prosedurunu avtomatlaşdırmağa imkan verən funksiyalar var. Bu alətlərlə işləmək üçün alqoritmi öyrənək.

Dispersiya variasiya göstəricisidir, riyazi gözləntidən kənarlaşmaların orta kvadratıdır. Beləliklə, orta ilə bağlı rəqəmlərin yayılmasını ifadə edir. Dispersiyanın hesablanması həm ümumi kütlə, həm də nümunə üçün aparıla bilər.

Metod 1: ümumi əhali üzrə hesablama

Bu göstəricini Excel-də ümumi əhali üçün hesablamaq üçün funksiyadan istifadə olunur DISP.G. Bu ifadənin sintaksisi aşağıdakı kimidir:

DISP.G(Nömrə1;Nömrə2;…)

Ümumilikdə 1-dən 255-ə qədər arqument tətbiq oluna bilər. Arqumentlər həm ədədi dəyərlər, həm də onların yerləşdiyi xanalara istinadlar ola bilər.

Bir sıra rəqəmsal məlumatlar üçün bu dəyərin necə hesablanacağını görək.

Metod 2: nümunə hesablanması

Ümumi əhali üçün dəyərin hesablanmasından fərqli olaraq, nümunə üçün hesablamada məxrəc ədədlərin ümumi sayı deyil, bir azdır. Bu, səhvi düzəltmək üçün edilir. Excel bu nüansı bu tip hesablamalar üçün nəzərdə tutulmuş xüsusi funksiyada nəzərə alır - DISP.V. Onun sintaksisi aşağıdakı düsturla təmsil olunur:

VAR.B(Nömrə1;Nömrə2;…)

Arqumentlərin sayı, əvvəlki funksiyada olduğu kimi, 1 ilə 255 arasında dəyişə bilər.

Gördüyünüz kimi, Excel proqramı variasiyanın hesablanmasını xeyli asanlaşdıra bilir. Bu statistika həm əhali, həm də seçmə üçün tətbiq vasitəsilə hesablana bilər. Bu halda, bütün istifadəçi hərəkətləri əslində yalnız emal ediləcək nömrələrin diapazonunu təyin etmək üçün azaldılır və Excel əsas işi özü edir. Təbii ki, bu, istifadəçilər üçün xeyli vaxta qənaət edəcək.

Statistikada dispersiya kvadratında xüsusiyyətin fərdi qiymətləri kimi tapılır. İlkin məlumatlardan asılı olaraq sadə və çəkili dispersiya düsturları ilə müəyyən edilir:

1. (qruplaşdırılmamış məlumatlar üçün) düsturla hesablanır:

2. Çəkili dispersiya (variasiya seriyası üçün):

burada n tezlikdir (təkrarlanma əmsalı X)

Dispersiyanı tapmaq üçün bir nümunə

Bu səhifə dispersiyanı tapmaq üçün standart nümunəni təsvir edir, siz onu tapmaq üçün digər tapşırıqlara da baxa bilərsiniz

Nümunə 1. 20 nəfərlik qiyabi tələbə qrupu üçün bizdə aşağıdakı məlumatlar var. Xüsusiyyətlərin paylanmasının interval seriyasını qurmaq, xüsusiyyətin orta qiymətini hesablamaq və onun dispersiyasını öyrənmək lazımdır

Gəlin bir interval qruplaşdırma quraq. Düsturla intervalın diapazonunu təyin edək:

burada X max qruplaşdırma xüsusiyyətinin maksimum dəyəridir;
X min qruplaşdırma xüsusiyyətinin minimum dəyəridir;
n intervalların sayıdır:

n=5 qəbul edirik. Addım belədir: h \u003d (192 - 159) / 5 \u003d 6.6

Gəlin bir interval qruplaşdırma aparaq

Əlavə hesablamalar üçün köməkçi cədvəl quracağıq:

X'i intervalın ortasıdır. (məsələn, intervalın ortası 159 - 165,6 = 162,3)

Şagirdlərin orta artımı arifmetik çəkili orta düsturla müəyyən edilir:

Dispersiyanı düsturla təyin edirik:

Variasiya düsturu aşağıdakı kimi çevrilə bilər:

Bu düsturdan belə nəticə çıxır fərqlilikdir variantların kvadratlarının ortası ilə kvadrat və orta arasındakı fərq.

Variasiya silsiləsində variasiya anlar üsuluna görə bərabər intervallarla dispersiyanın ikinci xassəsindən istifadə etməklə (bütün variantları intervalın qiymətinə bölməklə) aşağıdakı şəkildə hesablana bilər. Variasiyanın tərifi, anlar üsulu ilə hesablanan, aşağıdakı düstura görə daha az vaxt tələb edir:

burada i intervalın qiymətidir;
A - ən yüksək tezlikli intervalın ortasından istifadə etmək üçün əlverişli olan şərti sıfır;
m1 birinci sifarişin anının kvadratıdır;
m2 - ikinci sifarişin anı

(əgər statistik populyasiyada atribut elə dəyişirsə ki, bir-birini istisna edən yalnız iki variant var, onda belə dəyişkənlik alternativ adlanır) düsturla hesablana bilər:

Bu dispersiya düsturunda q = 1- p əvəz etsək, alırıq:

Dispersiya növləri

Ümumi variasiya bu dəyişkənliyə səbəb olan bütün amillərin təsiri altında bir əlamətin bütövlükdə bütün populyasiyada dəyişməsini ölçür. X xüsusiyyətinin fərdi dəyərlərinin ümumi orta dəyərdən x sapmalarının orta kvadratına bərabərdir və sadə dispersiya və ya çəkili dispersiya kimi müəyyən edilə bilər.

təsadüfi dəyişkənliyi xarakterizə edir, yəni. uçota alınmayan amillərin təsirindən yaranan və qruplaşmanın əsasını təşkil edən əlamət-amildən asılı olmayan dəyişkənliyin bir hissəsi. Belə bir dispersiya X qrupu daxilində bir xüsusiyyətin fərdi dəyərlərinin qrupun arifmetik ortasından sapmalarının orta kvadratına bərabərdir və sadə dispersiya və ya çəkili dispersiya kimi hesablana bilər.

Bu minvalla, qrupdaxili variasiya ölçüləri Qrup daxilində əlamətin dəyişməsi və düsturla müəyyən edilir:

burada xi - qrup orta;
ni qrupdakı vahidlərin sayıdır.

Məsələn, bir sexdə işçilərin ixtisaslarının əmək məhsuldarlığı səviyyəsinə təsirinin öyrənilməsi tapşırığında müəyyən edilməli olan qrupdaxili fərqlər, hər bir qrupda bütün mümkün amillərin (avadanlığın texniki vəziyyəti, avadanlığın texniki vəziyyəti) səbəb olduğu məhsulun dəyişməsini göstərir. alətlərin və materialların mövcudluğu, işçilərin yaşı, əmək intensivliyi və s. .), ixtisas kateqoriyasındakı fərqlər istisna olmaqla (qrup daxilində bütün işçilər eyni ixtisasa malikdir).

Qrupdaxili dispersiyaların ortalaması təsadüfi, yəni qruplaşdırma faktoru istisna olmaqla, bütün digər amillərin təsiri altında baş vermiş dəyişkənliyin həmin hissəsini əks etdirir. Bu düsturla hesablanır:

Qruplaşmanın əsasını təşkil edən əlamət-amilin təsiri ilə yaranan əlamətin sistematik dəyişməsini xarakterizə edir. Qrup vasitələrinin ümumi ortadan kənara çıxmalarının orta kvadratına bərabərdir. Qruplararası dispersiya düsturla hesablanır:

Statistikada fərqlərin toplanması qaydası

görə fərq əlavə etmə qaydasıümumi dispersiya qrupdaxili və qruplararası fərqlərin orta cəminə bərabərdir:

Bu qaydanın mənası bütün amillərin təsiri altında baş verən ümumi dispersiya bütün digər amillərin təsiri altında yaranan dispersiyaların və qruplaşma amilinə görə yaranan dispersiyaların cəminə bərabər olmasıdır.

Dispersiyaların əlavə edilməsi düsturundan istifadə edərək məlum olan iki dispersiyadan üçüncü naməlumu müəyyən etmək, həmçinin qruplaşdırma atributunun təsir gücünü mühakimə etmək olar.

Dispersiya xassələri

1. Əgər atributun bütün dəyərləri eyni sabit qiymətə azalırsa (artırılırsa), onda dispersiya bundan dəyişməyəcək.
2. Əgər atributun bütün dəyərləri eyni sayda n azaldılırsa (artırılırsa), onda dispersiya müvafiq olaraq n^2 dəfə azalır (artır).

Statistikada dispersiya, bir əlamətin fərdi dəyərlərinin arifmetik ortanın kvadratından standart sapması kimi müəyyən edilir. Seçimlərin ortadan kvadrat sapmalarını hesablamaq və sonra onları orta hesablamaq üçün ümumi üsul.

İqtisadi və statistik təhlildə xüsusiyyətin dəyişməsini ən çox dispersiyanın kvadrat kökü olan standart kənarlaşmadan istifadə etməklə qiymətləndirmək adətdir.

(3)

Dəyişən atributun dəyərlərinin mütləq dəyişməsini xarakterizə edir və variantlarla eyni vahidlərlə ifadə edilir. Statistikada tez-tez müxtəlif xüsusiyyətlərin variasiyasını müqayisə etmək zərurəti yaranır. Belə müqayisələr üçün variasiyanın nisbi göstəricisi, variasiya əmsalı istifadə olunur.

Dispersiya xüsusiyyətləri:

1) bütün variantlardan hər hansı bir rəqəmi çıxarsanız, dispersiya dəyişməyəcək;

2) variantın bütün dəyərləri bəzi b rəqəminə bölünərsə, dispersiya b^2 dəfə azalacaq, yəni.

3) qeyri-bərabər arifmetik orta ilə hər hansı bir ədəddən kənarlaşmaların orta kvadratını hesablasanız, o zaman dispersiyadan böyük olacaqdır. Bu vəziyyətdə, pos orta dəyəri arasındakı fərqin kvadrat başına yaxşı müəyyən edilmiş dəyəri ilə.

Dispersiya orta kvadrat və orta kvadrat arasındakı fərq kimi müəyyən edilə bilər.

17. Qrup və qruplararası variasiyalar. Variasiya əlavə etmə qaydası

Əgər statistik əhali tədqiq olunan xarakteristikaya görə qruplara və ya hissələrə bölünürsə, belə bir əhali üçün aşağıdakı dispersiya növləri hesablana bilər: qrup (özəl), qrup orta (özəl) və qruplararası.

Ümumi variasiya- verilmiş statistik populyasiyada fəaliyyət göstərən bütün şərait və səbəblərə görə əlamətin dəyişməsini əks etdirir.

Qrup fərqi- qrup daxilində atributun fərdi dəyərlərinin qrup orta adlanan bu qrupun arifmetik ortasından sapmalarının orta kvadratına bərabərdir. Bu halda qrup orta göstəricisi bütün əhali üzrə ümumi orta göstərici ilə üst-üstə düşmür.

Qrup dispersiyası bir xüsusiyyətin yalnız qrup daxilində fəaliyyət göstərən şərtlərə və səbəblərə görə dəyişməsini əks etdirir.

Orta qrup fərqləri- qrup dispersiyalarının çəkili arifmetik ortası kimi müəyyən edilir, çəkilər qrupların həcmləridir.

Qruplararası variasiya- qrup vasitələrinin ümumi ortadan kənara çıxmalarının orta kvadratına bərabərdir.

Qruplararası dispersiya nəticə atributunun qruplaşma atributuna görə dəyişməsini xarakterizə edir.

Nəzərə alınan dispersiya növləri arasında müəyyən əlaqə mövcuddur: ümumi dispersiya orta qrup və qruplararası dispersiyaların cəminə bərabərdir.

Bu əlaqə variasiya toplama qaydası adlanır.

18. Dinamik silsilələr və onun tərkib elementləri. Dinamik seriyaların növləri.

Statistikada seriyalar- bunlar zaman və ya məkanda hadisənin dəyişməsini göstərən və hadisələrin həm onların inkişaf prosesində, həm də müxtəlif forma və tiplərdə statistik müqayisəsini aparmağa imkan verən rəqəmsal məlumatlardır. Bunun sayəsində hadisələrin qarşılıqlı asılılığını aşkar etmək mümkündür.

Statistikada ictimai hadisələrin zamanla hərəkətinin inkişaf prosesi adətən dinamika adlanır. Dinamikanı göstərmək üçün xronoloji ardıcıllıqla düzülmüş statistik göstəricinin (məsələn, 10 ildən çox məhkumların sayı) zamanla dəyişən qiymətləri silsiləsi olan dinamika silsiləsi (xronoloji, müvəqqəti) qurulur. Onların tərkib elementləri müəyyən bir göstəricinin ədədi dəyərləri və istinad etdikləri dövrlər və ya zaman nöqtələridir.

Zaman sıralarının ən vacib xüsusiyyəti- müəyyən bir dövrdə və ya müəyyən bir anda əldə edilmiş bu və ya digər fenomenin ölçüsü (həcmi, dəyəri). Müvafiq olaraq, dinamika seriyasının şərtlərinin böyüklüyü onun səviyyəsidir. fərqləndirmək dinamik seriyanın ilkin, orta və son səviyyələri. Birinci səviyyə birincinin, sonun dəyərini göstərir - seriyanın sonuncu üzvünün dəyəri. Orta səviyyə orta xronoloji variasiya diapazonunu təmsil edir və zaman seriyasının interval və ya ani olmasından asılı olaraq hesablanır.

Dinamik seriyanın başqa bir vacib xüsusiyyəti- ilkin müşahidədən yekun müşahidəyə qədər keçən vaxt və ya belə müşahidələrin sayı.

Zaman sıralarının müxtəlif növləri var, onları aşağıdakı meyarlara görə təsnif etmək olar.

1) Səviyyələrin ifadə üsulundan asılı olaraq dinamika silsiləsi mütləq və törəmə göstəricilər sırasına (nisbi və orta qiymətlər) bölünür.

2) Silsilənin səviyyələrinin zamanın müəyyən məqamlarında (ayın, rübün, ilin və s. əvvəlində) hadisənin vəziyyətini necə ifadə etməsindən və ya müəyyən zaman intervalları üçün (məsələn, gündə, ay, il və s.) n.), müvafiq olaraq dinamikanın moment və interval sıralarını fərqləndirir. Hüquq-mühafizə orqanlarının analitik işində anlar silsiləsi nisbətən nadir hallarda istifadə olunur.

Statistika nəzəriyyəsində dinamika bir sıra digər təsnifat xüsusiyyətlərinə görə də fərqləndirilir: səviyyələr arasındakı məsafədən asılı olaraq - bərabər məsafəli səviyyələrlə və zaman baxımından qeyri-bərabər səviyyələrlə; tədqiq olunan prosesin əsas tendensiyasının mövcudluğundan asılı olaraq - stasionar və qeyri-stasionar. Dinamik seriyaları təhlil edərkən seriyanın aşağıdakı səviyyələri komponentlər kimi təqdim olunur:

Y t \u003d TP + E (t)

burada TR zamanla dəyişmənin ümumi tendensiyasını və ya trendi müəyyən edən deterministik komponentdir.

E (t) səviyyə dəyişkənliyinə səbəb olan təsadüfi komponentdir.

Bu səhifə dispersiyanı tapmaq üçün standart nümunəni təsvir edir, siz onu tapmaq üçün digər tapşırıqlara da baxa bilərsiniz

Nümunə 1. Qrupun, qrupun ortalamasının, qruplararası və ümumi variasiyanın təyini

Nümunə 2. Qruplaşdırma cədvəlində variasiya və dəyişmə əmsalının tapılması

Misal 3. Diskret silsilədə dispersiyanın tapılması

Nümunə 4. 20 nəfərlik qiyabi tələbə qrupu üçün aşağıdakı məlumatlara sahibik. Xüsusiyyətlərin paylanmasının interval seriyasını qurmaq, xüsusiyyətin orta qiymətini hesablamaq və onun dispersiyasını öyrənmək lazımdır

Gəlin bir interval qruplaşdırma quraq. Düsturla intervalın diapazonunu təyin edək:

burada X max qruplaşdırma xüsusiyyətinin maksimum dəyəridir;
X min qruplaşdırma xüsusiyyətinin minimum dəyəridir;
n intervalların sayıdır:

n=5 qəbul edirik. Addım belədir: h \u003d (192 - 159) / 5 \u003d 6.6

Gəlin bir interval qruplaşdırma aparaq

Əlavə hesablamalar üçün köməkçi cədvəl quracağıq:

X "i - intervalın ortası. (məsələn, intervalın ortası 159 - 165.6 \u003d 162.3)

Şagirdlərin orta artımı arifmetik çəkili orta düsturla müəyyən edilir:

Dispersiyanı düsturla təyin edirik:

Formula belə çevrilə bilər:

Bu düsturdan belə nəticə çıxır fərqlilikdir variantların kvadratlarının ortası ilə kvadrat və orta arasındakı fərq.

Xüsusiyyət fərqi (əgər statistik populyasiyada atribut elə dəyişirsə ki, bir-birini istisna edən yalnız iki variant var, onda belə dəyişkənlik alternativ adlanır) düsturla hesablana bilər:

Bu dispersiya düsturunda q = 1- p əvəz etsək, alırıq:

Dispersiya növləri

Qrupdaxili variasiya təsadüfi dəyişkənliyi xarakterizə edir, yəni. uçota alınmayan amillərin təsirindən yaranan və qruplaşmanın əsasını təşkil edən əlamət-amildən asılı olmayan dəyişkənliyin bir hissəsi. Belə bir dispersiya X qrupu daxilində bir xüsusiyyətin fərdi dəyərlərinin qrupun arifmetik ortasından sapmalarının orta kvadratına bərabərdir və sadə dispersiya və ya çəkili dispersiya kimi hesablana bilər.

Bu minvalla, qrupdaxili variasiya ölçüləri Qrup daxilində əlamətin dəyişməsi və düsturla müəyyən edilir:

burada xi - qrup orta;
ni qrupdakı vahidlərin sayıdır.

Dispersiya məlumat dəyərləri ilə orta arasındakı nisbi sapmanı təsvir edən dispersiya ölçüsüdür. Statistikada ən çox istifadə edilən dispersiya ölçüsüdür, hər bir məlumat dəyərinin ortadan kənarlaşmasını toplamaq, kvadrata almaqla hesablanır. Dispersiyanı hesablamaq üçün formula aşağıda göstərilmişdir:

s 2 - nümunə fərqi;

x cf - nümunənin orta qiyməti;

n — nümunə ölçüsü (məlumat dəyərlərinin sayı),

(x i – x cf) verilənlər toplusunun hər bir dəyəri üçün orta qiymətdən kənarlaşmadır.

Formulu daha yaxşı başa düşmək üçün bir nümunəyə baxaq. Yemək bişirməyi çox sevmirəm, ona görə də nadir hallarda edirəm. Ancaq aclıqdan ölməmək üçün zaman-zaman bədənimi zülal, yağ və karbohidratlarla doyurmaq planını həyata keçirmək üçün sobaya getməli oluram. Aşağıdakı məlumatlar Renatın ayda neçə dəfə yemək hazırladığını göstərir:

Dispersiyanın hesablanmasında ilk addım nümunəmizdə ayda 7,8 dəfə olan seçmə ortasını müəyyən etməkdir. Qalan hesablamalar aşağıdakı cədvəlin köməyi ilə asanlaşdırıla bilər.

Dispersiyanın hesablanmasının son mərhələsi belə görünür:

Bütün hesablamaları bir anda etməyi sevənlər üçün tənlik belə görünəcək:

Xam sayma metodundan istifadə (bişirmə nümunəsi)

"Xam hesablama" metodu kimi tanınan dispersiyanı hesablamaq üçün daha səmərəli üsul var. İlk baxışda tənlik kifayət qədər çətin görünsə də, əslində o qədər də qorxulu deyil. Bunu yoxlaya və sonra hansı üsulu daha çox bəyəndiyinizə qərar verə bilərsiniz.

kvadratlaşdırmadan sonra hər bir məlumat dəyərinin cəmidir,

bütün məlumat qiymətlərinin cəminin kvadratıdır.

İndi ağlını itirmə. Gəlin hamısını cədvəl şəklində təqdim edək, sonra görəcəksiniz ki, burada əvvəlki misaldan daha az hesablama var.

Gördüyünüz kimi, nəticə əvvəlki üsuldan istifadə edərkən olduğu kimidir. Bu metodun üstünlükləri nümunə ölçüsü (n) artdıqca aydın olur.

Excel-də fərqlərin hesablanması

Yəqin ki, artıq təxmin etdiyiniz kimi, Excel-də fərqi hesablamağa imkan verən bir düstur var. Bundan əlavə, Excel 2010-dan başlayaraq siz dispersiya düsturunun 4 çeşidini tapa bilərsiniz:

1) VAR.V - Nümunənin dispersiyasını qaytarır. Boolean dəyərləri və mətn nəzərə alınmır.

2) VAR.G - Əhali fərqini qaytarır. Boolean dəyərləri və mətn nəzərə alınmır.

3) VASP - Boolean və mətn dəyərlərini nəzərə alaraq nümunə fərqini qaytarır.

4) VARP - Məntiqi və mətn dəyərləri nəzərə alınmaqla populyasiyanın dispersiyasını qaytarır.

Əvvəlcə nümunə ilə populyasiya arasındakı fərqə baxaq. Təsviri statistikanın məqsədi məlumatların ümumiləşdirilməsi və ya göstərilməsidir ki, tez bir zamanda böyük bir şəkil, belə desək, icmal əldə etsin. Statistik nəticə bu populyasiyadan alınan məlumat nümunəsi əsasında əhali haqqında nəticə çıxarmağa imkan verir. Əhali bizim üçün maraqlı olan bütün mümkün nəticələri və ya ölçmələri təmsil edir. Nümunə populyasiyanın alt çoxluğudur.

Məsələn, biz Rusiya universitetlərindən birinin bir qrup tələbəsinin cəmi ilə maraqlanırıq və qrupun orta balını müəyyən etməliyik. Şagirdlərin orta göstəricilərini hesablaya bilərik və sonra nəticədə əldə edilən rəqəm bir parametr olacaq, çünki hesablamalarımıza bütün əhali cəlb olunacaq. Ancaq ölkəmizdəki bütün tələbələrin GPA-sını hesablamaq istəsək, bu qrup bizim nümunəmiz olacaq.

Nümunə və əhali arasında fərqin hesablanması üçün düsturdakı fərq məxrəcdədir. Nümunə üçün harada (n-1), ümumi əhali üçün isə yalnız n-ə bərabər olacaqdır.

İndi isə sonluqlarla variasiyanın hesablanması funksiyaları ilə məşğul olaq AMMA, təsvirində deyilir ki, hesablama mətn və məntiqi dəyərləri nəzərə alır. Bu halda, qeyri-rəqəmsal dəyərlərin meydana gəldiyi xüsusi məlumat dəstinin fərqini hesablayarkən, Excel mətni və yalançı mantiqləri 0, həqiqi mantiqi dəyərləri isə 1 kimi şərh edəcəkdir.

Beləliklə, əgər bir sıra məlumatlarınız varsa, yuxarıda sadalanan Excel funksiyalarından birini istifadə edərək, onun fərqini hesablamaq çətin olmayacaq.