Juurevalemid. Juurte omadused

Tund ja esitlus teemal:
"Ruutjuure omadused. Valemid. Lahendusnäited, ülesanded vastustega"

Lisamaterjalid
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, ülevaateid, soove. Kõik materjalid on viirusetõrjeprogrammiga kontrollitud.

Õppevahendid ja simulaatorid Integrali veebipoes 8. klassile
Interaktiivne õpik "Geomeetria 10 minutiga" 8. klassile
Õppekompleks "1C: Kool. Geomeetria, 8. klass"

Ruutjuure omadused

Omadus 1. Kahe mittenegatiivse arvu korrutise ruutjuur võrdub korrutisega ruutjuured nendest arvudest: $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(b)$.

Igasuguseid omadusi on kombeks tõestada, teeme ära.
Olgu $\sqrt(a*b)=x$, $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$. Seejärel peame tõestama, et $x=y*z$.
Teeme iga avaldise ruudu.
Kui $\sqrt(a*b)=x$, siis $a*b=x^2$.
Kui $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$, siis mõlema avaldise ruudustamisel saame: $a=y^2$, $b=z^2$.
$a*b=x^2=y^2*z^2$, see tähendab $x^2=(y*z)^2$. Kui kahe mittenegatiivse arvu ruudud on võrdsed, siis on arvud ise võrdsed, mida oli vaja tõestada.

Meie atribuudist järeldub, et näiteks $\sqrt(5)*\sqrt(3)=\sqrt(15)$.

Märkus 1. Omadus kehtib ka juhul, kui juure all on rohkem kui kaks mittenegatiivset tegurit.
Vara 2. Kui $a≥0$ ja $b>0$, siis kehtib järgmine võrdus: $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$

See tähendab, et jagatise juur on võrdne juurte jagatisega.
Tõestus.
Kasutame tabelit ja tõestame lühidalt oma omadust.

Näited ruutjuure omaduste kasutamisest

Lahendus.
Muidugi võime võtta kalkulaatori, korrutada kõik juure all olevad arvud ja sooritada ruutjuurtehte. Ja kui teil pole kalkulaatorit käepärast, mida peaksite siis tegema?
$\sqrt(81*25*121)=\sqrt(81)*\sqrt(25)*\sqrt(121)=9*5*11=495 $.
Vastus: 495.

Näide 2. Arvutage: $\sqrt(11\frac(14)(25))$.

Lahendus.
Esitame radikaalarvu vale murduna: $11\frac(14)(25)=\frac(11*25+14)(25)=\frac(275+14)(25)=\frac(289)( 25) $.
Kasutame atribuuti 2.
$\sqrt(\frac(289)(25))=\frac(\sqrt(289))(\sqrt(25))=\frac(17)(5)=3\frac(2)(5)= 3,4 dollarit.
Vastus: 3.4.

Näide 3.
Arvutage: $\sqrt(40^2-24^2)$.

Lahendus.
Saame oma väljendit otseselt hinnata, kuid seda saab peaaegu alati lihtsustada. Proovime seda teha.
$40^2-24^2=(40-24)(40+24)=16*64$.
Niisiis, $\sqrt(40^2-24^2)=\sqrt(16*64)=\sqrt(16)*\sqrt(64)=4*8=32$.
Vastus: 32.

Poisid, pange tähele, et radikaalavaldiste liitmise ja lahutamise jaoks pole valemeid ning allpool esitatud avaldised pole õiged.
$\sqrt(a+b)≠\sqrt(a)+\sqrt(b)$.
$\sqrt(a-b)≠\sqrt(a)-\sqrt(b)$.

Näide 4.
Arvutage: a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)$; b) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))$.
Lahendus.
Ülaltoodud omadused töötavad nii vasakult paremale kui ka sissepoole vastupidises järjekorras, see on:
$\sqrt(a)*\sqrt(b)=\sqrt(a*b)$.
$\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))=\sqrt(\frac(a)(b))$.
Seda kasutades lahendame oma näite.
a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)=\sqrt(32*8)=\sqrt(256)=16.$

B) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))=\sqrt(\frac(32)(8))=\sqrt(4)=2$.

Vastus: a) 16; b) 2.

Vara 3. Kui $а≥0$ ja n – naturaalarv, siis kehtib võrdus: $\sqrt(a^(2n))=a^n$.

Näiteks. $\sqrt(a^(16))=a^8$, $\sqrt(a^(24))=a^(12)$ ja nii edasi.

Näide 5.
Arvutage: $\sqrt(129600)$.

Lahendus.
Meile esitatud arv on üsna suur, jagame selle algteguriteks.
Saime: $129600=5^2*2^6*3^4$ või $\sqrt(129600)=\sqrt(5^2*2^6*3^4)=5*2^3*3^2 =5*8*9=360 dollarit.
Vastus: 360.

Iseseisvalt lahendatavad probleemid

Ruutkrundi pindala on 81 dm². Leia tema pool. Oletame, et ruudu külje pikkus on X detsimeetrid. Siis on krundi pindala X² ruutdetsimeetrid. Kuna tingimuse järgi on see pindala 81 dm², siis X² = 81. Ruudu külje pikkus on positiivne arv. Positiivne arv, mille ruut on 81, on arv 9. Ülesande lahendamisel oli vaja leida arv x, mille ruut on 81, s.t lahendada võrrand X² = 81. Sellel võrrandil on kaks juurt: x 1 = 9 ja x 2 = - 9, kuna 9² = 81 ja (- 9)² = 81. Nii numbreid 9 kui ka -9 nimetatakse arvu 81 ruutjuurteks.

Pange tähele, et üks ruutjuurtest X= 9 on positiivne arv. Seda nimetatakse 81 aritmeetiliseks ruutjuureks ja tähistatakse √81, seega √81 = 9.

Arvu aritmeetiline ruutjuur A on mittenegatiivne arv, mille ruut on võrdne A.

Näiteks arvud 6 ja - 6 on arvu 36 ruutjuur. Arv 6 on aga aritmeetiline ruutjuur arvust 36, kuna 6 on mittenegatiivne arv ja 6² = 36. Arv - 6 ei ole aritmeetiline juur.

Arvu aritmeetiline ruutjuur A tähistatakse järgmiselt: √ A.

Märki nimetatakse aritmeetiliseks märgiks ruutjuur; A- nimetatakse radikaalseks väljendiks. Väljend √ A lugeda nagu see: arvu aritmeetiline ruutjuur A. Näiteks √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. Juhtudel, kui on selge, et me räägime aritmeetilise juure kohta ütlevad nad lühidalt: „ruutjuur A«.

Arvu ruutjuure leidmist nimetatakse ruutjuureks. See toiming on ruudustamise vastupidine.

Ruutjuure saab teha mis tahes arvust, kuid ruutjuurt ei saa ühestki numbrist välja võtta. Näiteks on võimatu eraldada numbri ruutjuurt - 4. Kui selline juur oli olemas, siis tähistades seda tähega X, saaksime vale võrrandi x² = - 4, kuna vasakul on mittenegatiivne arv ja paremal negatiivne arv.

Väljend √ A on mõtet ainult siis, kui a ≥ 0. Ruutjuure definitsiooni võib lühidalt kirjutada järgmiselt: √ a ≥ 0, (√A)² = A. Võrdsus (√ A)² = A kehtiv a ≥ 0. Seega tagamaks, et ruutjuur mittenegatiivsest arvust A võrdub b, st selles, et √ A =b, peate kontrollima, kas järgmised kaks tingimust on täidetud: b ≥ 0, b² = A.

Murru ruutjuur

Arvutame. Pange tähele, et √25 = 5, √36 = 6 ja kontrollime, kas võrdsus kehtib.

Sest ja , siis on võrdsus tõsi. Niisiis, .

Teoreem: Kui A≥ 0 ja b> 0, st murru juur võrdne juurega lugejast jagatuna nimetaja juurega. On vaja tõestada, et: ja .

Alates √ A≥0 ja √ b> 0, siis .

Murru astmeks tõstmise omadusest ja ruutjuure määratlusest teoreem on tõestatud. Vaatame mõnda näidet.

Arvutage tõestatud teoreemi abil .

Teine näide: tõestage seda , Kui A ≤ 0, b < 0. .

Teine näide: Arvuta .

.

Ruutjuure teisendamine

Kordaja eemaldamine juurmärgi alt. Olgu väljend antud. Kui A≥ 0 ja b≥ 0, siis saame korrutise juurteoreemi kasutades kirjutada:

Seda teisendust nimetatakse teguri eemaldamiseks juurmärgist. Vaatame näidet;

Arvutage kell X= 2. Otsene asendus X= 2 radikaalavaldises viib keeruliste arvutusteni. Neid arvutusi saab lihtsustada, kui eemaldate kõigepealt juurmärgi alt tegurid: . Asendades nüüd x = 2, saame:.

Niisiis, eemaldades teguri juurmärgi alt, esitatakse radikaali avaldis korrutise kujul, milles üks või mitu tegurit on mittenegatiivsete arvude ruudud. Seejärel rakendage korrutise juurteoreemi ja võtke iga teguri juur. Vaatleme näidet: Lihtsustame avaldist A = √8 + √18 - 4√2, võttes juurmärgi alt välja kahe esimese liikme tegurid, saame:. Rõhutame seda võrdsust kehtib ainult siis, kui A≥ 0 ja b≥ 0. kui A < 0, то .

Matemaatika sai alguse siis, kui inimene teadvustas ennast ja hakkas positsioneerima maailma autonoomse üksusena. Soov mõõta, võrrelda, loendada seda, mis sind ümbritseb – see on aluseks põhiteadused meie päevad. Alguses olid need elementaarmatemaatika osakesed, mis võimaldasid numbreid nende füüsikaliste avaldistega ühendada, hiljem hakati järeldusi esitama ainult teoreetiliselt (nende abstraktsiooni tõttu), kuid mõne aja pärast, nagu üks teadlane ütles, " matemaatika jõudis keerukuse laeni, kui kõik numbrid sealt kadusid. Mõiste “ruutjuur” ilmus ajal, mil seda sai hõlpsasti toetada empiiriliste andmetega, mis väljuvad arvutustasandist.

Kust see kõik alguse sai

Esimene mainimine juurest, mis on Sel hetkel tähistatud kui √, registreeriti Babüloonia matemaatikute töödes, mis panid aluse kaasaegsele aritmeetikale. Muidugi ei sarnanenud need praeguse vormiga vähe - nende aastate teadlased kasutasid esmakordselt mahukaid tablette. Kuid teisel aastatuhandel eKr. e. Nad tuletasid ligikaudse arvutusvalemi, mis näitas, kuidas ruutjuurt eraldada. Alloleval fotol on kujutatud kivi, millele Babüloonia teadlased nikerdasid √2 tuletamise protsessi ja see osutus nii õigeks, et vastuses leiti lahknevus vaid kümnenda kümnendkoha täpsusega.

Lisaks kasutati juurt, kui oli vaja leida kolmnurga külg, eeldusel, et teised kaks olid teada. No ruutvõrrandite lahendamisel pole pääsu juure väljavõtmisest.

Artikli objekti uuriti koos Babüloonia teostega ka hiina teoses “Matemaatika üheksas raamatus” ning vanad kreeklased jõudsid järeldusele, et iga arv, millest ei ole võimalik juurt ilma jäägita välja võtta, annab irratsionaalse tulemuse. .

Selle termini päritolu seostatakse araabiakeelse arvu esitusega: iidsed teadlased uskusid, et suvalise arvu ruut kasvab juurest nagu taim. Ladina keeles kõlab see sõna nagu radix (saate jälgida mustrit - kõik, millel on "juur" tähendus, on kaashäälik, olgu see siis redis või radikuliit).

Järgmiste põlvkondade teadlased võtsid selle idee üles, nimetades selle Rx-ks. Näiteks 15. sajandil kirjutasid nad selleks, et näidata, et suvalise arvu a ruutjuur on võetud, R 2 a. Harjumuspärane kaasaegne vaade“puuk” √ ilmus alles 17. sajandil tänu Rene Descartes’ile.

Meie päevad

Matemaatilises mõttes on arvu y ruutjuur arv z, mille ruut võrdub y-ga. Teisisõnu, z 2 =y on ekvivalentne √y=z-ga. Kuid see määratlus asjakohane ainult aritmeetiline juur, kuna see eeldab avaldise mittenegatiivset väärtust. Teisisõnu, √y=z, kus z on suurem kui 0 või sellega võrdne.

IN üldine juhtum, mis määrab algebralise juure, võib avaldise väärtus olla kas positiivne või negatiivne. Seega tänu sellele, et z 2 =y ja (-z) 2 =y, saame: √y=±z või √y=|z|.

Tänu sellele, et armastus matemaatika vastu on teaduse arenguga ainult suurenenud, ilmneb selle vastu mitmesuguseid kiindumuse ilminguid, mis kuivades arvutustes ei väljendu. Näiteks koos selliste huvitavate nähtustega nagu Pi-päev tähistatakse ka ruutjuure tähtpäevi. Neid tähistatakse üheksa korda iga saja aasta tagant ja selle määrab järgmisele põhimõttele: numbrid, mis näitavad järjekorras päeva ja kuud, peavad olema aasta ruutjuur. Seega järgmine kord tähistame seda püha 4. aprillil 2016.

Ruutjuure omadused väljal R

Peaaegu kõigil matemaatilistel avaldistel on geomeetriline alus ja √y, mis on defineeritud kui ruudu külg pindalaga y, pole sellest saatusest pääsenud.

Kuidas leida arvu juur?

Arvutusalgoritme on mitu. Lihtsaim, kuid samal ajal üsna tülikas on tavaline aritmeetiline arvutus, mis on järgmine:

1) arvust, mille juurt vajame, lahutatakse paarituid omakorda - kuni jääk väljundis on väiksem kui lahutatud või paaris võrdne nulliga. Käikude arv muutub lõpuks soovitud arvuks. Näiteks 25 ruutjuure arvutamine:

Järgmine paaritu arv on 11, ülejäänu on: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Sellistel juhtudel on Taylori seeria laiendus:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , kus n võtab väärtused vahemikus 0 kuni

+∞ ja |y|≤1.

Funktsiooni z=√y graafiline esitus

Vaatleme reaalarvude väljal R elementaarfunktsiooni z=√y, kus y on nullist suurem või sellega võrdne. Selle ajakava näeb välja selline:

Kõver kasvab lähtepunktist ja lõikub tingimata punktiga (1; 1).

Funktsiooni z=√y omadused reaalarvude väljal R

1. Vaadeldava funktsiooni määratluspiirkond on intervall nullist pluss lõpmatuseni (null on kaasatud).

2. Vaadeldava funktsiooni väärtuste vahemik on intervall nullist pluss lõpmatuseni (null on jälle kaasatud).

3. Funktsioon võtab oma minimaalse väärtuse (0) ainult punktis (0; 0). Maksimaalset väärtust pole.

4. Funktsioon z=√y ei ole paaris ega paaritu.

5. Funktsioon z=√y ei ole perioodiline.

6. Funktsiooni z=√y graafikul on ainult üks lõikepunkt koordinaattelgedega: (0; 0).

7. Funktsiooni z=√y graafiku lõikepunkt on ühtlasi selle funktsiooni null.

8. Funktsioon z=√y kasvab pidevalt.

9. Funktsioon z=√y võtab ainult positiivseid väärtusi, mistõttu selle graafik hõivab esimese koordinaatnurga.

Funktsiooni z=√y kuvamise võimalused

Matemaatikas kasutatakse keeruliste avaldiste arvutamise hõlbustamiseks mõnikord ruutjuure kirjutamise astmevormi: √y=y 1/2. See valik on mugav näiteks funktsiooni tõstmisel astmeks: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2. See meetod sobib hästi ka integreerimisega diferentseerimiseks, kuna tänu sellele on ruutjuur kujutatud tavalise astmefunktsioonina.

Ja programmeerimises on sümboli √ asendamine tähtede kombinatsioon sqrt.

Väärib märkimist, et selles piirkonnas on ruutjuur suur nõudlus, kuna see on osa enamikust arvutusteks vajalikest geomeetrilistest valemitest. Loendusalgoritm ise on üsna keeruline ja põhineb rekursioonil (funktsioon, mis kutsub ennast ise).

Ruutjuur kompleksväljal C

Üldiselt stimuleeris see artikkel kompleksarvude välja C avastamist, kuna matemaatikuid kummitas küsimus negatiivse arvu paarisjuure saamise kohta. Nii tekkis kujuteldav ühik i, mida iseloomustab väga huvitav omadus: selle ruut on -1. Tänu sellele lahendati ruutvõrrandid isegi negatiivse diskriminandiga. C-s on ruutjuure jaoks olulised samad omadused, mis R-is, ainus asi on see, et radikaalavaldise piirangud eemaldatakse.

Juurevalemid. Ruutjuurte omadused.

Tähelepanu!
On täiendavaid
materjalid sisse Eriosa 555.
Neile, kes on väga "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga…")

Eelmises tunnis saime aru mis on ruutjuur. On aeg välja mõelda, millised need on olemas juurte valemid mis on juurte omadused, ja mida selle kõigega teha saab.

Juurte valemid, juurte omadused ja juurtega töötamise reeglid- see on sisuliselt sama asi. Ruutjuurte valemeid on üllatavalt vähe. Mis teeb mind kindlasti õnnelikuks! Õigemini võib kirjutada palju erinevaid valemeid, aga praktiliseks ja enesekindlaks juurtega tööks piisab vaid kolmest. Kõik muu tuleneb neist kolmest. Kuigi paljud inimesed lähevad kolmes juurvalemis segadusse, jah...

Alustame kõige lihtsamast. Siin ta on:

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õpime - huviga!)

Saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.