Leidke prisma kogupindala. Teoreem sirge prisma külgpinna pindala kohta
Prisma. Parallelepiped
prisma nimetatakse hulktahukaks, mille kaks tahku on võrdsed n-nurgaga (põhjused) , mis asub paralleelsetes tasandites ja ülejäänud n tahku on rööpkülikukujulised (küljed) . Külgribi prisma on külgpinna külg, mis ei kuulu alusele.
Nimetatakse prismat, mille külgservad on risti aluste tasanditega otse prisma (joon. 1). Kui külgservad ei ole risti aluste tasanditega, siis nimetatakse prismat kaldus . õige Prisma on sirge prisma, mille alused on korrapärased hulknurgad.
Kõrgus prismaks nimetatakse aluste tasandite vahelist kaugust. Diagonaal Prisma on segment, mis ühendab kahte tippu, mis ei kuulu samasse tahku. diagonaalne lõik Nimetatakse prisma lõiku tasapinnal, mis läbib kahte külgserva, mis ei kuulu samasse tahku. Perpendikulaarne lõige nimetatakse prisma lõikeks prisma külgservaga risti oleva tasapinnaga.
Külgpind prisma on kõigi külgpindade pindalade summa. Täispind nimetatakse prisma kõigi tahkude pindalade summat (ehk külgtahkude pindalade ja aluste pindalade summat).
Suvalise prisma puhul on valemid tõesed:
kus l on külgribi pikkus;
H- kõrgus;
P
K
S pool
S täis
S peamine on aluste pindala;
V on prisma ruumala.
Sirge prisma puhul kehtivad järgmised valemid:
kus lk- aluse ümbermõõt;
l on külgribi pikkus;
H- kõrgus.
Parallelepiped Nimetatakse prismat, mille alus on rööpkülik. Nimetatakse rööptahukat, mille külgmised servad on alustega risti otsene (Joonis 2). Kui külgservad ei ole alustega risti, siis nimetatakse rööptahukaks kaldus . Nimetatakse parempoolset rööptahukat, mille alus on ristkülik ristkülikukujuline. Nimetatakse ristkülikukujulist rööptahukat, mille kõik servad on võrdsed kuubik.
Nimetatakse rööptahuka tahkusid, millel pole ühiseid tippe vastupidine . Nimetatakse ühest tipust lähtuvate servade pikkusi mõõdud rööptahukas. Kuna kast on prisma, on selle põhielemendid määratletud samamoodi nagu prismade puhul.
Teoreemid.
1. Rööptahuka diagonaalid lõikuvad ühes punktis ja poolitavad selle.
2. Ristkülikukujulise rööptahuka puhul võrdub diagonaali pikkuse ruut selle kolme mõõtme ruutude summaga: 
3. 
Ristkülikukujulise rööptahuka kõik neli diagonaali on üksteisega võrdsed.
Suvalise rööptahuka puhul kehtivad järgmised valemid:
kus l on külgribi pikkus;
H- kõrgus;
P on ristlõike ümbermõõt;
K- risti lõigu pindala;
S pool on külgpindala;
S täis on kogupindala;
S peamine on aluste pindala;
V on prisma ruumala.
Parempoolse rööptahuka puhul kehtivad järgmised valemid:
kus lk- aluse ümbermõõt;
l on külgribi pikkus;
H on parempoolse rööptahuka kõrgus.
Ristkülikukujulise rööptahuka puhul kehtivad järgmised valemid:
(3)
kus lk- aluse ümbermõõt;
H- kõrgus;
d- diagonaal;
a,b,c– rööptahuka mõõtmised.
Kuubi õiged valemid on järgmised:
kus a on ribi pikkus;
d on kuubi diagonaal.
Näide 1 Ristkülikukujulise risttahuka diagonaal on 33 dm ja selle mõõdud on omavahel seotud kujul 2:6:9. Leidke risttahuka mõõdud.
Lahendus. Rööptahuka mõõtmete leidmiseks kasutame valemit (3), s.o. asjaolu, et risttahuka hüpotenuusi ruut on võrdne selle mõõtmete ruutude summaga. Tähistage k proportsionaalsuskoefitsient. Siis on rööptahuka mõõtmed 2 k, 6k ja 9 k. Kirjutame probleemiandmete jaoks valemi (3):
Selle võrrandi lahendamine jaoks k, saame:
Seega on rööptahuka mõõtmed 6 dm, 18 dm ja 27 dm.
Vastus: 6 dm, 18 dm, 27 dm.
Näide 2 Leidke kaldprisma ruumala, mille alus on võrdkülgne kolmnurk, mille külg on 8 cm, kui külgserv on võrdne aluse küljega ja on aluse suhtes 60º nurga all.
Lahendus
.
Teeme joonise (joon. 3).
Kaldprisma ruumala leidmiseks peate teadma selle aluse pindala ja kõrgust. Selle prisma aluse pindala on võrdkülgse kolmnurga pindala, mille külg on 8 cm. Arvutame selle:
Prisma kõrgus on selle aluste vaheline kaugus. Pealtpoolt AGA 1 ülemise aluse langetame risti alumise aluse tasapinnaga AGA 1 D. Selle pikkus on prisma kõrgus. Mõelge D AGA 1 AD: kuna see on külgribi kaldenurk AGA 1 AGA baastasandile AGA 1 AGA= 8 cm Sellest kolmnurgast leiame AGA 1 D:
Nüüd arvutame mahu valemi (1) abil:
Vastus: 192 cm3.
Näide 3 Tavalise kuusnurkse prisma külgserv on 14 cm. Suurima diagonaallõike pindala on 168 cm 2. Leidke prisma kogupindala.
Lahendus. Teeme joonise (joon. 4)
Suurim diagonaallõik on ristkülik AA 1 DD 1 , alates diagonaalist AD korrapärane kuusnurk ABCDEF on suurim. Prisma külgpinna arvutamiseks on vaja teada aluse külge ja külgribi pikkust.
Teades diagonaalosa (ristküliku) pindala, leiame aluse diagonaali.
Sest siis 
Sellest ajast AB= 6 cm.
Siis on aluse ümbermõõt:
Leidke prisma külgpinna pindala:
Tavalise kuusnurga pindala, mille külg on 6 cm, on:
Leidke prisma kogupindala:
Vastus: 
Näide 4 Parempoolse rööptahuka alus on romb. Diagonaalsete sektsioonide pindalad on 300 cm 2 ja 875 cm 2. Leidke rööptahuka külgpinna pindala.
Lahendus. Teeme joonise (joon. 5).
Tähistage rombi külge tähisega a, rombi diagonaalid d 1 ja d 2, kasti kõrgus h. Sirge rööptahuka külgpinna leidmiseks on vaja aluse ümbermõõt korrutada kõrgusega: (valem (2)). Aluse ümbermõõt p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, sest ABCD- romb. H = AA 1 = h. See. Vaja leida a ja h.
Mõelge diagonaalsetele lõikudele. AA 1 SS 1 - ristkülik, mille üks külg on rombi diagonaal AC = d 1, teine külgserv AA 1 = h, siis
Samamoodi sektsiooni kohta BB 1 DD 1 saame:
Kasutades rööpküliku omadust nii, et diagonaalide ruutude summa on võrdne selle kõigi külgede ruutude summaga, saame võrdsuse Saame järgmise.
Videokursus "Saada A" sisaldab kõiki matemaatika eksami edukaks sooritamiseks vajalikke teemasid 60-65 punktiga. Täielikult kõik profiili ülesanded 1-13 KASUTADA matemaatikas. Sobib ka matemaatika Basic USE läbimiseks. Kui soovid sooritada eksami 90-100 punktiga, siis tuleb 1. osa lahendada 30 minutiga ja vigadeta!
Ettevalmistuskursus eksamiks 10-11 klassidele, samuti õpetajatele. Kõik vajalik matemaatika eksami 1. osa (esimesed 12 ülesannet) ja 13. ülesande (trigonomeetria) lahendamiseks. Ja see on ühtsel riigieksamil rohkem kui 70 punkti ja ilma nendeta ei saa hakkama ei sajapalline tudeng ega humanist.
Kogu vajalik teooria. Eksami kiirlahendused, lõksud ja saladused. Analüüsitud on kõik FIPI ülesannete panga 1. osa asjakohased ülesanded. Kursus vastab täielikult USE-2018 nõuetele.
Kursus sisaldab 5 suurt teemat, igaüks 2,5 tundi. Iga teema on antud nullist, lihtsalt ja selgelt.
Sajad eksamiülesanded. Tekstülesanded ja tõenäosusteooria. Lihtsad ja kergesti meeldejäävad probleemide lahendamise algoritmid. Geomeetria. Teooria, teatmematerjal, igat tüüpi USE ülesannete analüüs. Stereomeetria. Kavalad nipid lahendamiseks, kasulikud petulehed, ruumilise kujutlusvõime arendamine. Trigonomeetria nullist – ülesandeni 13. Tuupimise asemel mõistmine. Keeruliste mõistete visuaalne selgitus. Algebra. Juured, astmed ja logaritmid, funktsioon ja tuletis. Eksami 2. osa keeruliste ülesannete lahendamise alus.
Erinevad prismad on üksteisest erinevad. Samas on neil palju ühist. Prisma aluse pindala leidmiseks peate välja mõtlema, milline see välja näeb.
Üldine teooria
Prisma on iga hulktahukas, mille küljed on rööpküliku kujulised. Veelgi enam, iga hulktahukas võib olla selle aluses - kolmnurgast n-nurgani. Pealegi on prisma alused alati üksteisega võrdsed. Mis ei kehti külgpindade kohta - nende suurus võib oluliselt erineda.
Ülesannete lahendamisel ei puututa kokku mitte ainult prisma aluse pindalaga. Võib olla vaja teada külgpinda, st kõiki tahke, mis ei ole alused. Täispind on juba kõigi prisma moodustavate tahkude liit.
Mõnikord ilmuvad ülesannetes kõrgused. See on alustega risti. Hulktahuka diagonaal on segment, mis ühendab paarikaupa mis tahes kahte tippu, mis ei kuulu samasse tahku.
Tuleb märkida, et sirge või kaldprisma aluse pindala ei sõltu nende ja külgpindade vahelisest nurgast. Kui nende ülemises ja alumises küljes on samad näitajad, on nende pindalad võrdsed.
kolmnurkne prisma
Selle põhjas on kolme tipuga kujund, see tähendab kolmnurk. Teadaolevalt on see erinev. Kui siis piisab meenutamisest, et selle pindala määrab pool jalgade korrutisest.
Matemaatiline tähistus näeb välja selline: S = ½ keskm.
Aluse pindala üldiseks väljaselgitamiseks on kasulikud valemid: Heron ja see, milles pool külge on võetud sellele tõmmatud kõrgusele.
Esimene valem tuleks kirjutada järgmiselt: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-c)). See kirje sisaldab poolperimeetrit (p), st kolme külje summa jagatud kahega.
Teiseks: S = ½ n a * a.
Kui soovite teada kolmnurkse prisma aluse pindala, mis on korrapärane, osutub kolmnurk võrdkülgseks. Sellel on oma valem: S = ¼ a 2 * √3.
nelinurkne prisma
Selle alus on mis tahes tuntud nelinurk. See võib olla ristkülik või ruut, rööptahukas või romb. Igal juhul vajate prisma aluse pindala arvutamiseks oma valemit.
Kui alus on ristkülik, siis määratakse selle pindala järgmiselt: S = av, kus a, b on ristküliku küljed.
Kui tegemist on nelinurkse prismaga, arvutatakse tavalise prisma aluspind ruudu valemi abil. Sest see on tema, kes asub baasis. S = 2.
Juhul, kui alus on rööptahukas, on vaja järgmist võrdsust: S \u003d a * n a. Juhtub, et on antud rööptahuka külg ja üks nurkadest. Seejärel peate kõrguse arvutamiseks kasutama täiendavat valemit: na \u003d b * sin A. Veelgi enam, nurk A külgneb küljega "b" ja kõrgus on selle nurga vastas.
Kui prisma põhjas asub romb, on selle pindala määramiseks vaja sama valemit nagu rööpküliku puhul (kuna see on selle erijuhtum). Kuid võite kasutada ka seda: S = ½ d 1 d 2. Siin on d 1 ja d 2 rombi kaks diagonaali.
Regulaarne viisnurkne prisma
See juhtum hõlmab hulknurga jagamist kolmnurkadeks, mille alasid on lihtsam välja selgitada. Kuigi juhtub, et kujundid võivad olla erineva arvu tippudega.
Kuna prisma põhi on korrapärane viisnurk, saab selle jagada viieks võrdkülgseks kolmnurgaks. Siis võrdub prisma aluse pindala ühe sellise kolmnurga pindalaga (valemit näete ülal), korrutatuna viiega.
Regulaarne kuusnurkne prisma
Viisnurkse prisma puhul kirjeldatud põhimõtte kohaselt on võimalik jagada aluse kuusnurk 6 võrdkülgseks kolmnurgaks. Sellise prisma aluse pindala valem on sarnane eelmisele. Ainult selles tuleks korrutada kuuega.
Valem näeb välja selline: S = 3/2 ja 2 * √3.
Ülesanded
Nr 1. Antud on korrapärane sirge, mille diagonaal on 22 cm, hulktahuka kõrgus on 14 cm. Arvutage prisma aluse ja kogu pinna pindala.
Lahendus. Prisma alus on ruut, kuid selle külg pole teada. Selle väärtuse leiate ruudu diagonaalist (x), mis on seotud prisma diagonaaliga (d) ja selle kõrgusega (n). x 2 \u003d d 2 - n 2. Teisest küljest on see segment "x" hüpotenuus kolmnurgas, mille jalad on võrdsed ruudu küljega. See tähendab, x 2 \u003d a 2 + a 2. Seega selgub, et a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.
Asendage d asemel arv 22 ja asendage "n" selle väärtusega - 14, selgub, et ruudu külg on 12 cm. Nüüd on aluspinda lihtne välja selgitada: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .
Kogu pinna pindala väljaselgitamiseks peate lisama kahekordse aluspinna väärtuse ja neljakordistama külje. Viimast on lihtne leida ristküliku valemiga: korruta hulktahuka kõrgus ja aluse külg. See tähendab, et 14 ja 12 on see arv 168 cm 2. Prisma kogupindala on 960 cm 2 .
Vastus. Prisma aluspind on 144 cm2. Kogu pind - 960 cm 2 .
Nr 2. Dana Alusel asub kolmnurk, mille külg on 6 cm. Sel juhul on külgpinna diagonaal 10 cm. Arvutage pindalad: alus ja külgpind.
Lahendus. Kuna prisma on korrapärane, on selle alus võrdkülgne kolmnurk. Seetõttu selgub, et selle pindala on 6 ruudu korda ¼ ja ruutjuur 3. Lihtne arvutus annab tulemuse: 9√3 cm 2. See on prisma ühe aluse pindala.
Kõik külgpinnad on ühesugused ja on ristkülikud, mille küljed on 6 ja 10 cm. Nende pindalade arvutamiseks piisab nende arvude korrutamisest. Seejärel korrutage need kolmega, sest prismal on täpselt nii palju külgi. Seejärel keritakse külgpinna pindala 180 cm 2 .
Vastus. Pindalad: alus - 9√3 cm 2, prisma külgpind - 180 cm 2.
Prisma põhjas võib asuda mis tahes hulknurk - kolmnurk, nelinurk jne. Mõlemad alused on täpselt samad ja vastavalt sellele, millega paralleelsete tahkude nurgad on üksteisega ühendatud, on nad alati paralleelsed. Korrapärase prisma põhjas asub korrapärane hulknurk, st selline, mille kõik küljed on võrdsed. Sirge prisma puhul on külgpindade vahelised servad aluse suhtes risti. Sel juhul võib sirge prisma põhjas asuda mis tahes arvu nurkadega hulknurk. Prismat, mille alus on rööptahukas, nimetatakse rööptahukaks. Ristkülik on rööpküliku erijuht. Kui see kujund asub põhjas ja külgpinnad on aluse suhtes täisnurga all, nimetatakse rööptahukat ristkülikukujuliseks. Selle geomeetrilise keha teine nimi on ristkülikukujuline.