Võrrandite lahend oge. Võrrandi lahendamine tähendab...

Algebra mooduli neljas ülesanne testib teadmisi käsitsemisvõimete ja radikaalavaldiste valdkonnas.

OGE matemaatika ülesande nr 4 täitmisel kontrollitakse mitte ainult arvutuste sooritamise ja arvavaldiste teisendamise oskusi, vaid ka algebraavaldiste teisendamise oskust. Võimalik, et peate sooritama toiminguid kraadidega täisarvulise astendajaga, polünoomidega, ratsionaalsete avaldiste identsete teisendustega.

Põhieksami materjalidest lähtuvalt võib esineda ülesandeid, mis nõuavad ratsionaalsete avaldiste identsete teisenduste rakendamist, polünoomide teguriteks lammutamist, protsentide ja proportsioonide ning jaguvusmärkide kasutamist.

Ülesande 4 vastus on üks arvudest 1; 2; 3; 4, mis vastab ülesande pakutud vastuse numbrile.

Teooria ülesande number 4 jaoks

Teoreetilisest materjalist vajame kraadide käsitlemise reeglid:

Reeglid töötamiseks juurdunud väljendid:

Minu analüüsitud variantides on need reeglid välja toodud - kolmanda ülesande esimese variandi analüüsis on toodud kraadide käsitlemise reeglid ning teises ja kolmandas variandis on analüüsitud näiteid radikaalavaldistega töötamise kohta.

Matemaatika ülesande nr 4 OGE tüüpiliste võimaluste analüüs

Ülesande esimene versioon

Milline järgmistest avaldistest mis tahes n väärtuste korral võrdub 121 11 n korrutisega?

1. 121n
2. 11n+2
3. 112n
4. 11n+3

Lahendus:

Selle probleemi lahendamiseks pidage meeles järgmist kraadi reeglid :

• korrutamisel astendajad liidetakse
• jagunemisastmed lahutatakse
• võimu tõstmisel võimsuseks võimsused korrutatakse
• juure väljavõtmisel jagatakse kraadid

Lisaks on lahenduse jaoks vaja esitada 121 astmena 11, nimelt see on 11 2 .

121 11 n = 11 2 11 n

Võttes arvesse korrutamisreeglit, lisame kraadid:

11 2 11 n = 11 n+2

Seetõttu sobib meile teine ​​vastus.

Ülesande teine ​​versioon

Milline järgmistest avaldistest on suurima väärtusega?

1. 2√11
2. 2√10

Lahendus:

Selle ülesande lahendamiseks peate viima kõik avaldised ühisele kujule - esitama avaldised radikaalsete avaldiste kujul:

Liigume 3 juure alla:

3√5 = √(3² 5) = √(9 5) = √45

Liigume 2 juure alla:

2√11 = √(2² 11) = √(4 11) = √44

Liigume 2 juure alla:

2√10 = √(2² 10) = √(4 10) = √40

Ruut 6,5:

6,5 = √(6,5²) = √42,25

Vaatame kõiki saadud valikuid:

1. 3√5 = √45
2. 2√11 = √44
3. 2√10 = √40
4. 6,5 = √42,25

Seetõttu on õige vastus esimene.

Ülesande kolmas versioon

Milline neist arvudest on ratsionaalne?

1. √810
2. √8,1
3. √0,81
4. kõik need arvud on irratsionaalsed

Lahendus:

Selle probleemi lahendamiseks peate toimima järgmiselt.

Esiteks selgitame välja, millist arvu selles näites arvesse võetakse - see on arv 9, kuna selle ruut on 81 ja see on juba mõnevõrra sarnane vastuste avaldistega. Järgmisena kaaluge numbri 9 vorme - need võivad olla:

Mõelge igaühele neist:

0,9 = √(0,9)² = √0,81

90 = √(90²) = √8100

Seetõttu on arv √0,81 ratsionaalne, samas kui teised arvud

kuigi need sarnanevad 9-ruudulise kujuga, pole need ratsionaalsed.

Seega on õige vastus kolmas.

Neljas variant

Minu kogukonna liikme palvel Vaibunud Diana, ma annan järgmise ülesande nr 4 analüüsi:

Milline järgmistest arvudest on avaldise väärtus?

Lahendus:

Pange tähele, et nimetajas on erinevus (4 - √14), millest peame vabanema. Kuidas seda teha?

Selleks tuletame meelde lühendatud korrutamise valemit, nimelt ruutude erinevust! Selle õigeks rakendamiseks selles ülesandes peate meeles pidama murdarvude käsitlemise reegleid. Sel juhul tuletame meelde, et murdosa ei muutu, kui lugeja ja nimetaja korrutada sama arvu või avaldisega. Ruudude erinevuse jaoks puudub meil avaldis (4 + √14), mis tähendab, et korrutame lugeja ja nimetaja sellega.

Pärast seda saame lugejas 4 + √14 ja nimetajas ruutude vahe: 4² - (√14)². Pärast seda on nimetaja hõlpsasti arvutatav:

Kokkuvõttes näevad meie tegevused välja järgmised:

Viies variant (OGE 2017 demoversioon)

Millise avaldise väärtus on ratsionaalarv?

1. √6-3
2. √3 √5
3. (√5)²
4. (√6-3)²

Lahendus:

Selles ülesandes paneme proovile irratsionaalarvudega tehte tegemise oskused.

Analüüsime iga lahenduse vastust:

√6 ise on irratsionaalne arv, selliste ülesannete lahendamiseks piisab, kui meeles pidada, et naturaalarvude ruutudest on ratsionaalne juur eraldada, näiteks 4, 9, 16, 25...

Kui lahutada irratsionaalarvust, saadakse mis tahes muu peale iseenda jälle irratsionaalarvu, seega selles versioonis saadakse irratsionaalne arv.

Juurte korrutamisel saame juure eraldada radikaalavaldiste korrutisest, see tähendab:

√3 √5 = √(3 5) = √15

Kuid √15 on irratsionaalne, seega see vastus ei tööta.

Ruutjuure ruudustamisel saame just juuravaldise (täpsemalt mooduljuure avaldise, aga arvu puhul, nagu antud versioonis, ei oma see tähtsust), seega:

See vastus sobib meile.

See avaldis tähistab lõike 1 jätku, kuid kui √6-3 on irratsionaalarv, siis ei saa seda ühegi meile teadaoleva toiminguga muuta ratsionaalarvuks.

Lõpeta laused: 1). Võrrand on... 2). Võrrandi juur on... 3). Võrrandi lahendamine tähendab...

I. Lahenda võrrandid suuliselt: 1). 2). 3). neli). 5). 6). 7). kaheksa). 9). 6 x + 18=0 2 x + 5=0 5 x – 3=0 –3 x + 9=0 –5 x + 1=0 –2 x – 10=0 6 x – 7=5 x 9 x + 6 \u003d 10 x 5 x - 12 \u003d 8 x

Millisel järgmistest võrranditest pole lahendeid: a). 2 x - 14 \u003d x + 7 b). 2 x - 14 \u003d 2 (x - 7) c). x - 7 \u003d 2 x + 14 g). 2 x - 14 \u003d 2 x + 7?

Millisel võrrandil on lõpmata palju lahendeid: a). 4 x - 12 = x - 12 b). 4 x - 12 \u003d 4 x + 12 c). 4 (x - 3) = 4 x - 12 g). 4 (x - 3) \u003d x - 10?

VAATE VÕRRANDID kx + b = 0, kus k, b on antud arvud, NIMETATAKSE LINEAARSEKS. Lineaarvõrrandite lahendamise algoritm: 1). avatud sulgudes 2). liiguta tundmatut sisaldavad terminid vasakule ja tundmatut mittesisaldavad terminid paremale poole (ülekantud liikme märk on vastupidine); 3). tuua sarnaseid liikmeid; neli). jagage võrrandi mõlemad pooled tundmatu koefitsiendiga, kui see ei ole võrdne nulliga.

Lahendage vihikutes I rühm: nr 681 lk 63 6 (4 -x) + 3 x \u003d 3 III rühm: nr 767 lk 67 (x + 6) 2 + (x + 3) 2 \u003d 2 x 2 võrrandit: II rühm: nr 697 lk 63 x-1 + (x + 2) \u003d -4 (-5 -x) -5

Võrrandit kujul ax2 + bx + c \u003d 0, kus a ≠ 0, b, c on mis tahes reaalarvud, nimetatakse ruuduks. Mittetäielikud võrrandid: ax2 + bx =0 (c=0), ax2 + c =0 (b=0).

II. Lahendage verbaalselt ruutvõrrandid, näidates, kas need on täielikud või mittetäielikud: 1). x2 + 15 x=0 2). -x2 +2 x = 0 3). x2 -25 = 0 4). -х2 +9 =0 5). -x2 - 16 \u003d 0 6). x2 - 8 x + 15 = 0 7). x2 + 5 x + 6=0 8). x2 + x - 12 =0 9). (-x-5) (-x+ 6) = 0 10). x2 -4 x +4 =0

KÜSIMUSED: 1). Millist võrrandite omadust kasutati mittetäielike ruutvõrrandite lahendamiseks? 2). Milliseid polünoomi faktoriseerimise meetodeid kasutati mittetäielike ruutvõrrandite lahendamiseks? 3). Mis on täielike ruutvõrrandite lahendamise algoritm?

üks). Kahe teguri korrutis on võrdne nulliga, kui üks neist on võrdne nulliga, samas kui teine ​​ei kaota oma tähendust: ab = 0, kui a = 0 või b = 0. 2). Ühise teguri ja a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b) väljavõtmine - ruutude erinevuse valem. 3). Täielik ruutvõrrand ax2 + bx + c = o. D=b 2 – 4 ac, kui D>0, 2 juurt; D = 0, 1 juur; D

Teoreem on vastupidine Vieta teoreemile: kui arvud a, b, c, x 1 ja x 2 on sellised, et x 1 x 2 \u003d x 1 + x 2 \u003d ja x 2 on võrrandi a x 2 + bx juured + c \u003d 0

LAHENDAGE VÕRRANDID: I rühm: nr 802 lk 71 x2 - 5 x- 36 = 0 II rühm: nr 810 lk 71 3 x2 - x + 21 = 5 x2 III rühm: x4 -5 x2 - 36 = 0

III. LAHENDAGE VÕRRANDID: I ja II rühm: Nr 860 III rühm: =0 =0 Kuidas selliseid võrrandeid nimetatakse? Millist vara kasutatakse nende lahendamiseks?

Ratsionaalvõrrand on võrrand kujul =0. Murd on null, kui lugeja on null ja nimetaja ei ole null. =0, kui a = 0, b≠ 0.

Lühidalt matemaatika ajaloost Ruut- ja lineaarvõrrandid suutsid lahendada isegi Vana-Egiptuse matemaatikud. Pärsia keskaegne teadlane Al-Khwarizmi (IX sajand) tutvustas algebrat kui iseseisvat teadust lineaar- ja ruutvõrrandite lahendamise üldmeetodite kohta, andis nende võrrandite klassifikatsiooni. Uus suur läbimurre matemaatikas on seotud prantsuse teadlase Francois Vieta nimega (XVI sajand). Just tema viis algebrasse tähed. Talle kuulub tuntud ruutvõrrandi juurte teoreem. Ja traditsiooni tähistada tundmatuid suurusi ladina tähestiku viimaste tähtedega (x, y, z) võlgneme teisele prantsuse matemaatikule - Rene Descartes'ile (XVII).

Kodutöö Töö saitidega: - avatud ülesannete pank OGE (matemaatika) http://85. 142.162.126/os/xmodules/qprint/index. php? proj=DE 0 E 276 E 49 7 AB 3784 C 3 FC 4 CC 20248 DC 0 ; - "Ma lahendan OGE", autor D. Gushchin https: //oge. sdamgia. ru/ ; - A. Larini veebisait (119. valik) http://alexlarin. net/. Õppevahendid: - Yu. M. Kolyagini õpik "Algebra 9. klass", M., "Valgustus", 2014, lk. 308-310; - "3000 ülesannet" all. toimetanud I. V. Jaštšenko, M., "Eksam", 2017, lk. 5974.

Teave vanematele Matemaatika OGE-ks ettevalmistamise süsteem 1). Samaaegne kordamine tundides 2). Lõplik kordus aasta lõpus 3). Valiktunnid (laupäeviti) 4). Kodutöö süsteem - töö saitidega DECIDE OGE, OPEN BANK FIPI, A. LARIN SITE. 5). Individuaalsed konsultatsioonid (esmaspäeviti)

Toylonov Argymai ja Toylonov Erkey

Üldhariduskoolis omandatud matemaatiline haridus on üldhariduse ja tänapäeva inimese üldkultuuri olemuslik komponent. Peaaegu kõik, mis tänapäeva inimest ümbritseb, on kõik ühel või teisel viisil seotud matemaatikaga. Ja viimased edusammud füüsikas, inseneriteaduses ja infotehnoloogias ei jäta kahtlustki, et asjade seis jääb ka tulevikus samaks. Seetõttu taandub paljude praktiliste ülesannete lahendamine erinevat tüüpi võrrandite lahendamiseks, mille lahendamist on vaja õppida.

Ja alates 2013. aastast toimub põhikooli lõpus matemaatika atesteerimine OGE vormis. Nagu ühtne riigieksam, on ka OGE mõeldud sertifitseerimiseks mitte ainult algebra, vaid ka kogu põhikooli matemaatika kursuse jaoks.

Lõviosa ülesannetest taandub nii või teisiti võrrandite ja nende lahenduste koostamisele. Selle teema uurimise jätkamiseks pidime vastama küsimustele: „Mis tüüpi võrrandeid leidub OGE ülesannetes? ” ja „Millised on nende võrrandite lahendamise viisid?”

Seega on vaja uurida kõiki OGE ülesannetes leiduvaid võrrandeid. Kõik ülaltoodu määratleb

eesmärk töö seisneb igat tüüpi OGE ülesannetes leiduvate võrrandite tüübi järgi täiendamises ja nende võrrandite lahendamise peamiste võimaluste analüüsimises.

Selle eesmärgi saavutamiseks oleme seadnud järgmise ülesanded:

1) Õppige põhilised vahendid riigieksamiteks valmistumiseks.

2) Täitke kõik võrrandid tüübi järgi.

3) Analüüsige nende võrrandite lahendamise viise.

4) Koostage kogumik igat tüüpi võrrandite ja nende lahendamise viisidega.

Õppeobjekt: võrrandid.

Õppeaine: võrrandid OGE ülesannetes.

Lae alla:

Eelvaade:

Valla eelarveline õppeasutus

"Chibiti keskkool"

HARIDUSPROJEKT:

"VÕRRADUSED OGE ÜLESANDES"

Toylonov Erkey

8. klassi õpilased

Juhendaja: Toylonova Nadežda Vladimirovna, matemaatikaõpetaja.

Projekti elluviimise ajakava:

alates 13.12.2017 kuni 13.02. 2018. aasta

SISSEJUHATUS

Üldhariduskoolis omandatud matemaatiline haridus on üldhariduse ja tänapäeva inimese üldkultuuri olemuslik komponent. Peaaegu kõik, mis tänapäeva inimest ümbritseb, on kõik ühel või teisel viisil seotud matemaatikaga. Ja viimased saavutused füüsikas, inseneriteaduses ja infotehnoloogias ei jäta kahtlustki, et ka tulevikus jääb asjade seis samaks. Seetõttu taandub paljude praktiliste ülesannete lahendamine erinevat tüüpi võrrandite lahendamiseks, mille lahendamist on vaja õppida.

Ja alates 2013. aastast toimub põhikooli lõpus matemaatika atesteerimine OGE vormis. Nagu ühtne riigieksam, on ka OGE mõeldud sertifitseerimiseks mitte ainult algebra, vaid ka kogu põhikooli matemaatika kursuse jaoks.

Lõviosa ülesannetest taandub nii või teisiti võrrandite ja nende lahenduste koostamisele. Selle teema uurimise jätkamiseks pidime vastama küsimustele: „Mis tüüpi võrrandeid leidub OGE ülesannetes? ” ja „Millised on nende võrrandite lahendamise viisid?”

Seega on vaja uurida kõiki OGE ülesannetes leiduvaid võrrandeid. Kõik ülaltoodu määratlebtehtud töö probleemi asjakohasus.

eesmärk töö seisneb igat tüüpi OGE ülesannetes leiduvate võrrandite tüübi järgi täiendamises ja nende võrrandite lahendamise peamiste võimaluste analüüsimises.

Selle eesmärgi saavutamiseks oleme seadnud järgmiseülesanded:

1) Õppige põhilised vahendid riigieksamiteks valmistumiseks.

2) Täitke kõik võrrandid tüübi järgi.

3) Analüüsige nende võrrandite lahendamise viise.

4) Koostage kogumik igat tüüpi võrrandite ja nende lahendamise viisidega.

Õppeobjekt: võrrandid.

Õppeaine:võrrandid OGE ülesannetes.

Projekti tööplaan:

1. Projekti teema sõnastamine.
2. Materjali valik ametlikest allikatest antud teema kohta.
3. Info töötlemine ja süstematiseerimine.
4. Projekti elluviimine.
5. Projekti kujundamine.
6. Projekti kaitse.

Probleem : süvendage oma arusaamist võrranditest. Näidake OGE esimeses ja teises osas esitatud ülesannetes esitatud võrrandite lahendamise põhimeetodeid.

Käesolev töö on katse õpitud materjali üldistada ja süstematiseerida ning uut uurida. Projekt sisaldab: lineaarvõrrandid koos terminite ülekandmisega võrrandi ühest osast teise ja võrrandite omadusi kasutades, samuti võrrandiga lahendatavad ülesanded, igat tüüpi ruutvõrrandid ja ratsionaalsete võrrandite lahendamise meetodid.

Matemaatika... paljastab korra, sümmeetria ja kindluse,

ja need on kõige olulisemad iluliigid.

Aristoteles.

Ajaloo viide

Tol kaugetel aegadel, kui targad hakkasid esimest korda mõtlema tundmatuid koguseid sisaldavatele võrdsustele, polnud ilmselt veel münte ega rahakotte. Kuid teisalt oli hunnikuid, aga ka potte, korve, mis sobisid suurepäraselt tundmatut hulka kaupu sisaldavate vahemälude-poodide rolli. "Otsime hunnikut, mis koos kahe kolmandiku, poole ja ühe seitsmendikuga on 37 ...", õpetas Egiptuse kirjatundja Ahmes II aastatuhandel eKr. Mesopotaamia, India, Hiina, Kreeka iidsetes matemaatikaülesannetes väljendasid tundmatud kogused paabulindude arvu aias, pullide arvu karjas, vara jagamisel arvesse võetud asjade kogumit. Salateadmistega initsieeritud kirjatundjad, ametnikud ja preestrid, kes on hästi koolitatud loendamise alal, tulid selliste ülesannetega üsna edukalt toime.

Meieni jõudnud allikad näitavad, et iidsetel teadlastel oli teada üldisi meetodeid tundmatute kogustega probleemide lahendamiseks. Kuid mitte ükski papüürus ega ükski savitahvel ei anna nende võtete kirjeldust. Autorid esitasid oma arvulisi arvutusi vaid aeg-ajalt alatute kommentaaridega, nagu: "Vaata!", "Tee seda!", "Leidsite selle õigesti." Selles mõttes on erandiks kreeka matemaatiku Diophantuse Aleksandria (III sajand) "aritmeetika" - ülesannete kogum võrrandite koostamiseks koos nende lahenduste süstemaatilise esitusega.

Esimene probleemide lahendamise käsiraamat, mis sai laiemalt tuntuks, oli aga 9. sajandi Bagdadi õpetlase töö. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Sõna "al-jabr" selle traktaadi araabiakeelsest pealkirjast - "Kitab al-jaber wal-muqabala" ("Restaureerimise ja vastandamise raamat") muutus aja jooksul sõnaks "algebra", mis on kõigile hästi teada, ja al-Khwarizmi töö ise oli lähtepunktiks võrrandite lahendamise teaduse arengus.

Mis on võrrand?

Õigustes on võrrand, ajavõrrand (tõelise päikeseaja tõlge keskmiseks päikeseajaks, hostelis ja teaduses aktsepteeritud; aster.) jne.

Matemaatikas - see on matemaatiline võrrand, mis sisaldab ühte või mitut tundmatut suurust ja säilitab oma kehtivuse ainult nende tundmatute suuruste teatud väärtuste puhul.

Ühe muutujaga võrrandites tähistatakse tundmatut tavaliselt tähega " X". Väärtus "x , mis vastab neile tingimustele, nimetatakse võrrandi juureks.

Võrrandid on erinevad. liik:

ax + b = 0. - Lineaarvõrrand.
ax 2 + bx + c = 0. - Ruutvõrrand.
ax 4 + bx 2 + c = 0. - Bikvadraatne võrrand.

– Ratsionaalne võrrand.

– Irratsionaalne võrrand.
Selliseid onvõrrandite lahendamise viise kuidas: algebraline, aritmeetiline ja geomeetriline. Mõelge algebralisele meetodile.

lahendage võrrandon leida sellised x väärtused, mis asendades algse avaldisega annavad meile õige võrdsuse või tõestavad, et lahendusi pole. Võrrandite lahendamine on põnev, kui keeruline see ka pole. Lõppude lõpuks on tõesti üllatav, kui ühest tundmatust numbrist sõltub terve arvude voog.

Võrrandites on tundmatu leidmiseks vaja algset avaldist teisendada ja lihtsustada. Ja nii, et välimuse muutmisel ei muutu väljenduse olemus. Selliseid teisendusi nimetatakse identseteks või samaväärseteks.

1. peatükk Võrrandi lahendamine

1.1 Lineaarvõrrandite lahendamine.

Nüüd käsitleme lineaarvõrrandite lahendusi. Tuletage meelde, et vormi võrrandnimetatakse lineaarvõrrandiks või esimese astme võrrandiks, kuna muutujaga " X » kõrgeim aste on esimesel astmel.

Lineaarvõrrandi lahendus on väga lihtne:

Näide 1: lahendage võrrand 3 x+3=5x

Lineaarvõrrand lahendatakse meetodil, mille käigus kantakse tundmatuid sisaldavad terminid võrdusmärgi vasakule poole, vabad koefitsiendid võrdusmärgi paremale poole:

3 x – 5 x = – 3

2x=-3

x = 1,5

Nimetatakse muutuja väärtust, mis muudab võrrandi tõeliseks võrduseks võrrandi juur.

Pärast kontrollimist saame:

Seega 1,5 on võrrandi juur.

Vastus: 1.5.

Võrrandite lahendamine võrrandi ühest osast teise terminite ülekandmisega, kusjuures terminite märk muutub vastupidiseks ja rakendub omadused võrrandid - võrrandi mõlemad osad on korrutatavad (jagatavad) sama nullist erineva arvu või avaldisega, võib arvestada järgmiste võrrandite lahendamisel.

Näide 2. Lahendage võrrandid:

a) 6 x +1=− 4 x ; b) 8 + 7 x \u003d 9 x +4; c) 4 (x - 8) = - 5.

Lahendus.

a) Lahendame ülekandemeetodiga

6x + 4x = -1;

10x=─ 1;

x=─ 1:10;

x=─ 0,1.

Eksam:

Vastus: -0,1

b) Sarnaselt eelmise näitega lahendame ülekandemeetodiga:

Vastus: 2.

c) Selles võrrandis on vaja avada sulud, rakendades liitmistehte suhtes korrutamise jaotusomadust.

Vastus: 6.75.

1.2 Ruutvõrrandid

Tüüpvõrrand nimetatakse ruutvõrrandiks, kus a - vanemkoefitsient, b on keskmine koefitsient, c on vaba liige.

Olenevalt koefitsientidest a, b ja c - võrrand võib olla täielik või mittetäielik, vähendatud või redutseerimata.

1.2.1 Mittetäielikud ruutvõrrandid

Mõelge mittetäielike ruutvõrrandite lahendamise viisidele:

1) Hakkame tegelema esimest tüüpi mittetäielike ruutvõrrandite lahendamisega c=0 . Vormi mittetäielikud ruutvõrrandid a x 2 +b x=0 võimaldab teil lahendadafaktoriseerimise meetod. Eelkõige sulgude meetod.

Ilmselgelt saame võrrandi vasakul küljel asudes, mille jaoks piisab, kui võtta sulgudest välja ühisteguri x . See võimaldab teil minna algsest mittetäielikust ruutvõrrandist samaväärse vormiga võrrandile: x·(a·x+b)=0 .

Ja see võrrand on võrdne kahe võrrandi kombinatsiooniga x=0 või a x+b=0 , millest viimane on lineaarne ja sellel on juur x=− .

a x 2 +b x=0 on kahe juurega

x=0 ja x=− .

2) Nüüd mõelge, kuidas lahendatakse mittetäielikud ruutvõrrandid, milles koefitsient b on null ja c≠0 , see tähendab vormi võrrandid a x 2 +c=0 . Teame, et liikme ülekandmine võrrandi ühelt küljelt teisele vastupidise märgiga, samuti võrrandi mõlema poole jagamine nullist erineva arvuga annab samaväärse võrrandi. Seetõttu saame teostada mittetäieliku ruutvõrrandi järgmised ekvivalentsed teisendused a x 2 + c=0:

• liigutada c paremale poole, mis annab võrrandi a x 2 =-c ,
• ja jagage mõlemad osad a , saame.

Saadud võrrand võimaldab teha järeldusi selle juurte kohta.

Kui number on negatiivne, siis pole võrrandil juuri. See väide tuleneb asjaolust, et mis tahes arvu ruut on mittenegatiivne arv.

Kui on positiivne arv, siis on võrrandi juurtega olukord erinev. Sel juhul peate meeles pidama, et võrrandil on juur, see on arv. Võrrandi juur arvutatakse vastavalt skeemile:

On teada, et asendamine võrrandisse asemel x selle juured muudavad võrrandi tõeliseks võrdsuseks.

Teeme selle lõigu teabe kokkuvõtte. Mittetäielik ruutvõrrand a x 2 +c=0 on võrdne võrrandiga, mis

3) Mittetäielike ruutvõrrandite lahendused, milles koefitsiendid b ja c on võrdsed nulliga, see tähendab vormi võrranditest a x 2 \u003d 0. Võrrand a x 2 =0 järgneb x 2 =0 , mis saadakse originaalist, jagades selle mõlemad osad nullist erineva arvuga a . Ilmselgelt võrrandi juur x2=0 on null, sest 0 2 =0 . Sellel võrrandil pole muid juuri.

Seega mittetäielik ruutvõrrand a x 2 \u003d 0 on üks juur x=0.

Näide 3 Lahenda võrrandid: a) x 2 \u003d 5x, kui võrrandil on mitu juurt, siis märgi vastuses neist väiksem;

b) , kui võrrandil on mitu juurt, märkige vastuses neist suurim;

c) x 2 −9=0, kui võrrandil on mitu juurt, siis märkige vastuses väiksem.

Lahendus.

Saime mittetäieliku ruutvõrrandi, mille jaoks vaba liiget pole. Lahendame sulgudest väljavõtmise meetodil.

Kell Võrrandil võib olla kaks juurt, millest väiksem on 0.

Vastus: 0.

b) . Sarnaselt eelmise näitega rakendame kahvlite meetodit

Vastuses peate märkima suurima juurtest. See on number 2.

Vastus: 2.

sisse) . See võrrand on mittetäielik ruutvõrrand, millel puudub keskmine koefitsient.

Nendest juurtest väikseim on arv - 3.

Vastus: -3.

1.2.2 Täielikud ruutvõrrandid.

1. Diskriminant, ruutvõrrandi juurte põhivalem

On juurvalem.

Paneme kirja ruutvõrrandi juurte valem samm-sammult:

1) D=b 2 −4 a c - nn.

a) kui D

b) kui D>0, siis võrrandsellel pole üht juurt:

c) kui D sellel pole kahte juurt:

Algoritm ruutvõrrandite lahendamiseks juurvalemite abil

Praktikas saab ruutvõrrandi lahendamisel kohe kasutada juurvalemit, mille abil arvutada nende väärtused. Kuid see on rohkem keeruliste juurte leidmine.

Koolialgebra kursusel ei räägita aga tavaliselt ruutvõrrandi keerulistest, vaid tegelikest juurtest. Sel juhul on soovitatav enne ruutvõrrandi juurte valemite kasutamist kõigepealt leida diskriminant, veenduda, et see pole negatiivne (vastasel juhul võime järeldada, et võrrandil pole reaalseid juuri) ja pärast seda. arvutage juurte väärtused.

Ülaltoodud põhjendus lubab meil kirjutadaruutvõrrandi lahendamise algoritm. Ruutvõrrandi lahendamiseks a x 2 +b x+c=0, vajate:

• diskrimineeriva valemi järgi D=b 2 −4 a c arvutage selle väärtus;
• järeldada, et ruutvõrrandil pole reaalseid juuri, kui diskriminant on negatiivne;
• arvutage võrrandi ainus juur valemiga if D=0;
• leida ruutvõrrandi kaks reaaljuurt juurvalemi abil, kui diskriminant on positiivne.

2. Diskriminant, ruutvõrrandi juurte teine ​​valem (paaris teise koefitsiendi jaoks).

Vormi ruutvõrrandite lahendamiseks, ühtlase koefitsiendiga b = 2k on veel üks valem.

Kirjutame uue ruutvõrrandi juurte valem:

1) D’=k 2 −a c - nnruutvõrrandi diskriminant.

a) kui D' tal puuduvad tõelised juured;

b) kui D'>0, siis võrrandsellel pole üht juurt:

c) kui D' sellel pole kahte juurt:

Näide 4 Lahendage võrrand 2x 2 −3x+1=0.. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjuta vastuseks üles suurem juurtest.

Lahendus. Esimesel juhul on meil järgmised ruutvõrrandi koefitsiendid: a=2, b=-3 ja c=1 D=b 2 -4 a c=(-3) 2 -4 2 1=9-8=1 . Alates 1>0

Meil on sai kaks juurt, millest suurim on number 1.

Vastus: 1.

Näide 5 Lahenda võrrand x 2 −21 = 4x.

Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles suurem juurtest.

Lahendus. Analoogiliselt eelmise näitega liigume 4h võrra võrdusmärgist vasakule ja saame:

Sel juhul on meil järgmised ruutvõrrandi koefitsiendid: a=1, k=-2 ja c=-21 . Algoritmi järgi tuleb kõigepealt arvutada diskriminant D'=k 2 −a c=(-2) 2 −1 (−21)=4+21=25 . Number 25>0 , see tähendab, et diskriminant on suurem kui null, siis ruutvõrrandil on kaks reaaljuurt. Leiame need juurvalemi järgi

Vastus: 7.

1.2.3 Konkreetsed ruutvõrrandite lahendamise meetodid.

1) Ruutvõrrandi juurte ja kordajate vaheline seos. Vieta teoreem.

Ruutvõrrandi juurte valem väljendab võrrandi juuri selle kordajate kaudu. Juurte valemi põhjal saate juurte ja koefitsientide vahel muid seoseid.

Kõige kuulsamat ja rakendatavat valemit nimetatakse Vieta teoreemiks.

Teoreem: Olgu - redutseeritud ruutvõrrandi juured. Siis võrdub juurte korrutis vaba liikmega ja juurte summa on võrdne teise koefitsiendi vastupidise väärtusega:

Juba kirjutatud valemeid kasutades saate ruutvõrrandi juurte ja kordajate vahel mitmeid muid seoseid. Näiteks võite väljendada ruutvõrrandi juurte ruutude summat selle kordajate kaudu.

Näide 6 a) Lahenda võrrand x 2

b) Lahenda võrrand x 2

c) Lahenda võrrand x 2

Lahendus.

a) Lahenda võrrand x 2 −6x+5=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

Valige juurtest väikseim

Vastus: 1

b) Lahenda võrrand x 2 +7x+10=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles suurem juurtest.

Rakendades Vieta teoreemi, kirjutame juurte valemid

Loogiliselt järeldame seda. Valige juurtest suurim

Vastus: ─2.

c) Lahenda võrrand x 2 ─5x─14 = 0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles suurem juurtest.

Rakendades Vieta teoreemi, kirjutame juurte valemid

Loogiliselt järeldame seda. Valige juurtest väikseim

Vastus: ─2.

1.3 Ratsionaalvõrrandid

Kui teile antakse võrrand vormi murdosadegamille lugejas või nimetajas on muutuja, siis nimetatakse sellist avaldist ratsionaalvõrrandiks. Ratsionaalne võrrand on mis tahes võrrand, mis sisaldab vähemalt ühte ratsionaalset avaldist. Ratsionaalvõrrandid lahendatakse samamoodi nagu mis tahes võrrandit: võrrandi mõlemal poolel tehakse samu tehteid, kuni muutuja on võrrandi ühel küljel isoleeritud. Ratsionaalvõrrandite lahendamiseks on aga 2 meetodit.

1) Korrutamine risti.Vajadusel kirjutage teile antud võrrand ümber nii, et mõlemal küljel on üks murd (üks ratsionaalne avaldis); alles siis saate kasutada ristkorrutamise meetodit.

Korrutage vasakpoolse murru lugeja parempoolse nimetajaga. Korrake seda parempoolse murru lugejaga ja vasakpoolse nimetajaga.

• Ristkorrutamine põhineb algebralistel põhimõtetel. Ratsionaalväljendites ja muudes murdudes saate lugejast lahti saada, kui korrutate vastavalt kahe murru lugejad ja nimetajad.
• Võrdstage saadud avaldised ja lihtsustage neid.
• Lahendage saadud võrrand, see tähendab, leidke "x". Kui "x" on võrrandi mõlemal küljel, eraldage see võrrandi ühelt küljelt.

2) Selle võrrandi lihtsustamiseks kasutatakse vähimat ühist nimetajat (LCD).Seda meetodit kasutatakse juhul, kui te ei saa kirjutada antud võrrandit ühe ratsionaalse avaldisega võrrandi mõlemale küljele (ja kasutada ristkorrutamise meetodit). Seda meetodit kasutatakse siis, kui teile antakse 3 või enama murdosaga ratsionaalne võrrand (kahe murru puhul on ristkorrutamine parem).

• Leidke murdude vähim ühisosa (või vähim ühiskordne).NOZ on väikseim arv, mis jagub ühtlaselt iga nimetajaga.
• Korrutage nii iga murdosa lugeja kui ka nimetaja arvuga, mis on võrdne NOZ-i jagamisel iga murdosa vastava nimetajaga.
• Leia x. Nüüd, kui olete murded ühiseks nimetajaks taandanud, saate nimetajast lahti saada. Selleks korrutage võrrandi mõlemad pooled ühise nimetajaga. Seejärel lahendage saadud võrrand, see tähendab, leidke "x". Selleks eraldage muutuja võrrandi ühel küljel.

Näide 7 Lahenda võrrandid: a); b) c).

Lahendus.

a) . Kasutame ristkorrutamise meetodit.

Avage sulud ja lisage sarnased terminid.

sai lineaarvõrrandi ühe tundmatuga

Vastus: ─10.

b) , rakendame sarnaselt eelmisele näitele ristkorrutamise meetodit.

Vastus: ─1.9.

sisse) , kasutame vähima ühisnimetaja (LCD) meetodit.

Selles näites oleks ühisnimetaja 12.

Vastus: 5.

2. peatükk Kompleksvõrrandid

Keeruliste võrrandite kategooriasse kuuluvad võrrandid võivad kombineerida erinevaid lahendamise meetodeid ja tehnikaid. Kuid ühel või teisel viisil viivad kõik võrrandid loogilise arutluse ja samaväärsete toimingute meetodil varem uuritud võrranditeni.

Näide 7 Lahenda võrrand ( x +3) 2 =(x +8) 2 .

Lahendus. Lühendatud korrutamise valemite kohaselt avame sulud:

Viime kõik mõisted võrdusmärgist kaugemale ja anname sarnased,

Vastus: 5.5.

Näide 8 Lahendage võrrandid: a)(− 5 x +3)(− x +6)=0, b) (x +2)(− x +6)=0.

Lahendus.

a)(− 5 x +3)(− x +6)=0; avage sulud ja sisestage samasugused terminid

saime täieliku ruutvõrrandi, mille lahendame diskriminandi esimese valemi kaudu

võrrandil on kaks juurt

Vastus: 0,6 ja 6.

b) (x +2) (− x +6)=0, selle võrrandi puhul teeme loogilise arutluse (korrutis on võrdne nulliga, kui üks teguritest on võrdne nulliga). Tähendab

Vastus: ─2 ja 6.

Näide 9 Lahendage võrrandid:, b).

Lahendus. Väikseima ühisnimetaja leidmine

Kirjutame muutuja astmete kahanevas järjekorras

; saadi paarissekundilise koefitsiendiga täielik ruutvõrrand

Võrrandil on kaks tegelikku juurt

Vastus: .

b) . Põhjendus on sarnane a). NOZ-i leidmine

Avage sulud ja sisestage sarnased terminid

lahendame kogu ruutvõrrandi üldvalemi kaudu

Vastus: .

Näide 10 Lahendage võrrandid:

Lahendus.

a) , Märkame, et vasakul pool sulgudes olev avaldis on vähendatud korrutusvalem, täpsemalt kahe avaldise summa ruut. Muudame selle

; liigutage selle võrrandi liikmeid ühes suunas

võtke see sulgudest välja

Korrutis on null, kui üks teguritest on null. Tähendab,

Vastus: ─2, ─1 ja 1.

b) Me vaidleme samamoodi nagu näiteks a)

, Vieta teoreemi järgi

Vastus:

Näide 11. Lahendage võrrandid a)

Lahendus.

a) ; [võrrandi vasakul ja paremal küljel saame rakendada sulgumismeetodit ja vasakul pool eemaldameja paremal pool võtame välja numbri 16.]

[Liigutame kõik ühele poole ja rakendame veel kord sulgumismeetodit. Me võtame välja ühise teguri]

[korrutis on null, kui üks teguritest on null.]

Vastus:

b) . [See võrrand on sarnane võrrandiga a). Seetõttu on sel juhul kohaldatav rühmitusmeetod]

Vastus:

Näide 12. Lahenda võrrand=0.

Lahendus.

0 [kaekraadine võrrand. Lahendatud muutuja meetodi muutmisega].

0; [Rakendades Vieta teoreemi saame juured]

. [tagasi eelmiste muutujate juurde]

Vastus:

Näide 13 Lahenda võrrand

Lahendus. [kakskvadraatvõrrand, vabanege paarisastmest, rakendades moodulmärke.]

[saime kaks ruutvõrrandit, mille lahendame ruutvõrrandi juurte põhivalemi kaudu]

reaalseid juuri pole, võrrandil on kaks juurt

Vastus:

Näide 14 Lahenda võrrand

Lahendus.

ODZ:

[viime kõik võrrandi tingimused vasakule poole ja toome sarnased terminid]

[saime redutseeritud ruutvõrrandi, mis on Vieta teoreemiga hõlpsasti lahendatav]

Arv - 1 ei rahulda antud võrrandi ODZ-d, mistõttu see ei saa olla selle võrrandi juur. Nii et juur on ainult number 7.

Vastus: 7.

Näide 15 Lahenda võrrand

Lahendus.

Kahe avaldise ruutude summa saab olla võrdne nulliga ainult siis, kui avaldised on samal ajal võrdsed nulliga. Nimelt

[Lahendage iga võrrand eraldi]

Vastavalt Vieta teoreemile

Juurte kokkulangevus -5 on võrrandi juur.

Vastus: - 5.

KOKKUVÕTE

Tehtud töö tulemusi kokku võttes võime järeldada, et võrranditel on matemaatika arengus tohutu roll. Süstematiseerisime omandatud teadmisi, tegime kokkuvõtte läbitud materjalist. Need teadmised võivad meid eelseisvateks eksamiteks ette valmistada.

Meie töö võimaldab heita teistsuguse pilgu matemaatika meie ette seatud probleemidele.

• projekti lõpus süstematiseerisime ja üldistasime varem uuritud võrrandite lahendamise meetodid;
• tutvus uute võrrandite lahendamise viisidega ja võrrandite omadustega;

• käsitles kõiki võrranditüüpe, mis on OGE ülesannetes nii esimeses kui ka teises osas.
• Loonud metoodilise kogumiku "Võrrandid OGE ülesannetes".

Usume, et oleme saavutanud endale seatud eesmärgi - arvestada matemaatika põhiriigieksami ülesannetes kõiki võrranditüüpe.

Kasutatud kirjanduse loetelu:

1. B.V. Gnedenko "Matemaatika kaasaegses maailmas". Moskva "valgustus" 1980

2. Ja.I. Perelman "Meelelahutuslik algebra". Moskva "Teadus" 1978

6. http://tutorial.math.lamar.edu

7. http://www.regentsprep.org

8. http://www.fipi.ru

Lisa 1

Lineaarvõrrandid

1. Leidke võrrandi juur

2. Leia võrrandi juur

3. Leia võrrandi juur

Lisa 2

Mittetäielikud ruutvõrrandid

1. Lahenda võrrand x 2 = 5x. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

2. Lahenda võrrand 2x 2 = 8x. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

3. Lahenda võrrand 3x 2 =9x. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

4. Lahenda võrrand 4x 2 = 20x. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

5. Lahenda võrrand 5x 2 = 35x. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

6. Lahenda võrrand 6x 2 = 36x. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

7. Lahenda võrrand 7x 2 = 42x. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

8. Lahenda võrrand 8x 2 =72x. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

9. Lahenda võrrand 9x 2 =54x. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

10. Lahenda võrrand 10x2 =80x. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

11. Lahenda võrrand 5x2 −10x=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles suurem juurtest.

12. Lahenda võrrand 3x2 −9x=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles suurem juurtest.

13. Lahenda võrrand 4x2 −16x=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles suurem juurtest.

14. Lahenda võrrand 5x2 +15x=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

15. Lahenda võrrand 3x2 +18x=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

16. Lahenda võrrand 6x2 +24x=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

17. Lahenda võrrand 4x2 −20x=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles suurem juurtest.

18. Lahenda võrrand 5x2 +20x=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

19. Lahenda võrrand 7x2 −14x=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles suurem juurtest.

20. Lahenda võrrand 3x2 +12x=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

21. Lahenda võrrand x2 −9=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

22. Lahenda võrrand x2 −121=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

23. Lahenda võrrand x2 −16=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

24. Lahenda võrrand x2 -25 = 0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

25. Lahenda võrrand x2 -49 = 0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

26. Lahenda võrrand x2 -81 = 0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

27. Lahenda võrrand x2 −4=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

28. Lahenda võrrand x2 -64 = 0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

29. Lahenda võrrand x2 −36=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

30. Lahenda võrrand x2 −144=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

31. Lahenda võrrand x2 −9=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles suurem juurtest.

32. Lahenda võrrand x2 −121=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles suurem juurtest.

33. Lahenda võrrand x2 −16=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles suurem juurtest.

34. Lahenda võrrand x2 -25 = 0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles suurem juurtest.

35. Lahenda võrrand x2 -49 = 0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles suurem juurtest.

36. Lahenda võrrand x2 -81 = 0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles suurem juurtest.

37. Lahenda võrrand x2 −4=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles suurem juurtest.

38. Lahenda võrrand x2 -64 = 0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles suurem juurtest.

39. Lahenda võrrand x2 −36=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles suurem juurtest.

40. Lahenda võrrand x2 −144=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles suurem juurtest.

Lisa 3

Täielikud ruutvõrrandid

1. Lahenda võrrand x2 +3x=10. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles suurem juurtest.

2. Lahenda võrrand x2 +7x=18. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles suurem juurtest.

3. Lahenda võrrand x2 +2x=15. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

4. Lahenda võrrand x2 −6x=16. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

5. Lahenda võrrand x2 −3x=18. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles suurem juurtest.

6. Lahenda võrrand x2 −18 = 7x. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles suurem juurtest.

7. Lahenda võrrand x2 +4x=21. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

8. Lahenda võrrand x2 −21 = 4x. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles suurem juurtest.

9. Lahenda võrrand x2 −15 = 2x. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

10. Lahenda võrrand x2 −5x=14. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles suurem juurtest.

11. Lahenda võrrand x2 +6 = 5x. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

12. Lahenda võrrand x2 +4 = 5x. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles suurem juurtest.

13. Lahenda võrrand x2 −x=12. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles suurem juurtest.

14. Lahenda võrrand x2 +4x=5. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

15. Lahenda võrrand x2 −7x=8. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles suurem juurtest.

16. Lahenda võrrand x2 +7 = 8x. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

17. Lahenda võrrand x2 +18 = 9x. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

18. Lahenda võrrand x2 +10=7x. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles suurem juurtest.

19. Lahenda võrrand x2 −20=x. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles suurem juurtest.

20. Lahenda võrrand x2 −35 = 2x. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

21. Lahenda võrrand 2x2 −3x+1=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

22. Lahenda võrrand 5x2 +4x−1=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles suurem juurtest.

23. Lahenda võrrand 2x2 +5x−7=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

24. Lahenda võrrand 5x2 −12x+7=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles suurem juurtest.

25. Lahenda võrrand 5x2 −9x+4=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

26. Lahenda võrrand 8x2 −12x+4=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

27. Lahenda võrrand 8x2 −10x+2=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

28. Lahenda võrrand 6x2 −9x+3=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

29. Lahenda võrrand 5x2 +9x+4=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles suurem juurtest.

30. Lahenda võrrand 5x2 +8x+3=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles suurem juurtest.

31. Lahenda võrrand x2 −6x+5=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

32. Lahenda võrrand x2 −7x+10=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

33. Lahenda võrrand x2 −9x+18=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

34. Lahenda võrrand x2 −10x+24=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

35. Lahenda võrrand x2 −11x+30=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

36. Lahenda võrrand x2 −8x+12=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles suurem juurtest.

37. Lahenda võrrand x2 −10x+21=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles suurem juurtest.

38. Lahenda võrrand x2 −9x+8=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles suurem juurtest.

39. Lahenda võrrand x2 −11x+18=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles suurem juurtest.

40. Lahenda võrrand x2 −12x+20=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles suurem juurtest.

4. lisa

Ratsionaalvõrrandid.

1. Leidke võrrandi juur

2. Leia võrrandi juur

3. Leia võrrandi juur

4. Leia võrrandi juur

5. Leia võrrandi juur

6. Leia võrrandi juur.

7. Leia võrrandi juur

8. Leia võrrandi juur

9. Leia võrrandi juur.

10. Leia võrrandi juur

11. Leia võrrandi juur.

12. Leia võrrandi juur

13. Leia võrrandi juur

14. Leia võrrandi juur

15. Leia võrrandi juur

16. Leia võrrandi juur

17. Leia võrrandi juur

18. Leia võrrandi juur

19. Leia võrrandi juur

20. Leia võrrandi juur

21. Leia võrrandi juur

22. Leia võrrandi juur

23. Leia võrrandi juur

5. lisa

Keerulised võrrandid.

1. Leidke võrrandi (x+3) juur2 =(x+8)2 .

2. Leidke võrrandi (x−5) juur2 =(x+10)2 .

3. Leidke võrrandi (x+9) juur2 =(x+6)2 .

4. Leidke võrrandi juur (x+10)2 =(x−9)2 .

5. Leidke võrrandi (x−5) juur2 =(x−8)2 .

6. Leia võrrandi juur.

7. Leia võrrandi juur.

8. Leia võrrandi juur.

9. Leia võrrandi juur.

10. Leia võrrandi juur.

11. Lahenda võrrand (x+2)(− x+6)=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

12. Lahenda võrrand (x+3)(− x−2)=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

13. Lahenda võrrand (x−11)(− x+9)=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

14. Lahenda võrrand (x−1)(− x−4)=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

15. Lahenda võrrand (x−2)(− x−1)=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

16. Lahenda võrrand (x+20)(− x+10)=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles suurem juurtest.

17. Lahenda võrrand (x−2)(− x−3)=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles suurem juurtest.

18. Lahenda võrrand (x−7)(− x+2)=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles suurem juurtest.

19. Lahenda võrrand (x−5)(− x−10)=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles suurem juurtest.

20. Lahenda võrrand (x+10)(− x−8)=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles suurem juurtest.

21. Lahenda võrrand (− 5x+3)(− x+6)=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

22. Lahenda võrrand (− 2x+1)(− 2x−7)=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

23. Lahenda võrrand (− x−4)(3x+3)=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles suurem juurtest.

24. Lahendage võrrand (x−6)(4x−6)=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

25. Lahenda võrrand (− 5x−3)(2x−1)=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

26. Lahenda võrrand (x−2)(− 2x−3)=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

27. Lahenda võrrand (5x+2)(− x−4)=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles suurem juurtest.

28. Lahenda võrrand (x−6)(− 5x−9)=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

29. Lahenda võrrand (6x−3)(− x+3)=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles suurem juurtest.

30. Lahenda võrrand (5x−2)(− x+3)=0. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, kirjutage vastuseks üles juurtest väiksem.

31. Lahenda võrrand

32. Lahenda võrrand

33. Lahenda võrrand

34. Lahenda võrrand

35. Lahenda võrrand

36. Lahenda võrrand

37. Lahenda võrrand

38. Lahenda võrrand

39. Lahenda võrrand

40 Lahenda võrrand

41. Lahenda võrrand x(x2 +2x+1)=2(x+1).

42. Lahenda võrrand (x−1)(x2 +4x+4)=4(x+2).

43. Lahenda võrrand x(x2 +6x+9)=4(x+3).

44. Lahenda võrrand (x−1)(x2 +8x+16)=6(x+4).

45. Lahenda võrrand x(x2 +2x+1)=6(x+1).

46. ​​Lahenda võrrand (x−1)(x2 +6x+9)=5(x+3).

47. Lahenda võrrand (x−2)(x2 +8x+16)=7(x+4).

48. Lahenda võrrand x(x2 +4x+4)=3(x+2).

49. Lahenda võrrand (x−2)(x2 +2x+1)=4(x+1).

50. Lahenda võrrand (x−2)(x2 +6x+9)=6(x+3).

51. Lahenda võrrand (x+2)4 −4 (x+2)2 −5=0.

52. Lahenda võrrand (x+1)4 +(x+1)2 −6=0.

53. Lahenda võrrand (x+3)4 +2 (x+3)2 −8=0.

54. Lahenda võrrand (x−1)4 −2(x−1)2 −3=0.

55. Lahenda võrrand (x−2)4 −(x−2)2 −6=0.

56. Lahenda võrrand (x−3)4 −3(x−3)2 −10=0.

57. Lahenda võrrand (x+4)4 –6 (x+4)2 −7=0.
58. Lahenda võrrand (x−4)4 −4 (x−4)2 −21=0.

59. Lahenda võrrand (x+2)4 +(x+2)2 −12=0.

60. Lahenda võrrand (x−2)4 +3 (x−2)2 −10=0.

61. Lahenda võrrand x3 +3x2 =16x+48.

62. Lahenda võrrand x3 +4x2 =4x+16.

63. Lahenda võrrand x3 +6x2 =4x+24.

64. Lahenda võrrand x3 +6x2 =9x+54.

65. Lahenda võrrand x3 +3x2 =4x+12.

66. Lahenda võrrand x3 +2x2 =9x+18.

67. Lahenda võrrand x3 +7x2 =4x+28.

68. Lahenda võrrand x3 +4x2 =9x+36.

69. Lahenda võrrand x3 +5x2 =4x+20.

70. Lahenda võrrand x3 +5x2 =9x+45.

71. Lahenda võrrand x3 +3x2 −x−3=0.

72. Lahenda võrrand x3 +4x2 −4x−16=0.

73. Lahenda võrrand x3 +5x2 −x−5=0.

74. Lahenda võrrand x3 +2x2 −x−2=0.

75. Lahenda võrrand x3 +3x2 −4x−12=0.

76. Lahenda võrrand x3 +2x2 −9x−18=0.

77. Lahenda võrrand x3 +4x2 −x−4=0.

78. Lahenda võrrand x3 +4x2 −9x−36=0.

79. Lahenda võrrand x3 +5x2 −4x−20=0.
80. Lahenda võrrand x3 +5x2 −9x−45=0.

81. Lahenda võrrand x4 =(x−20)2 .

82. Lahenda võrrand x4 =(2x−15)2 .

83. Lahenda võrrand x4 =(3x−10)2 .

84. Lahenda võrrand x4 =(4x−5)2 .

85. Lahenda võrrand x4 =(x-12)2 .

86. Lahenda võrrand x4 =(2x−8)2 .

87. Lahenda võrrand x4 = (3x−4)2 .

88. Lahenda võrrand x4 = (x-6)2 .

89. Lahenda võrrand x4 = (2x−3)2 .

90. Lahenda võrrand x4 =(x−2)2 .

91. Lahenda võrrand

92. Lahenda võrrand

93. Lahenda võrrand

94. Lahenda võrrand

95. Lahenda võrrand

96. Lahenda võrrand

97. Lahenda võrrand

98. Lahenda võrrand

99. Lahenda võrrand

100. Lahenda võrrand

101. Lahenda võrrand.

102. Lahenda võrrand

103. Lahenda võrrand

104. Lahenda võrrand

105. Lahenda võrrand

106. Lahenda võrrand

107. Lahenda võrrand

108. Lahenda võrrand

109. Lahenda võrrand

110. Lahenda võrrand

VÕRRANDITE LAHENDUS

ettevalmistus OGE-ks

9. klass

koostas Peterburi Nevski rajooni Putrova Putrova rajooni GBOU kooli nr 14 matemaatika õpetaja Marina Nikolaevna

Lõpeta laused:

üks). Võrrand on...

2). Võrrandi juur on...

3). Võrrandi lahendamine tähendab...

I. Lahendage võrrandid suuliselt:

• üks). 6x + 18=0
• 2). 2x + 5=0
• 3). 5x - 3 = 0
• neli). -3x + 9=0
• 5). -5x + 1=0
• 6). -2x - 10=0
• 7). 6x - 7 = 5x
• kaheksa). 9x + 6=10x
• 9). 5x - 12 = 8x

Millisel järgmistest võrranditest pole lahendusi:

a). 2x - 14 = x + 7

b). 2x - 14 = 2 (x - 7)

sisse). x - 7 \u003d 2x + 14

G). 2x-14 = 2x + 7?

Millisel võrrandil on lõpmatult palju lahendeid?

a). 4x - 12 = x - 12

b). 4x - 12 = 4x + 12

sisse). 4 (x - 3) = 4x - 12

G). 4 (x - 3) \u003d x - 10?

VAATE VÕRDED

kx + b = 0

NIMETATUD LINEAARSEKS.

Algoritm lineaarvõrrandite lahendamiseks :

üks). liiguta tundmatut sisaldavad terminid vasakule ja tundmatut mittesisaldavad terminid paremale poole (ülekantud liikme märk on vastupidine);

2). tuua sarnaseid liikmeid;

3) Jagage võrrandi mõlemad pooled tundmatu koefitsiendiga, kui see ei ole võrdne nulliga.

Lahendage vihikutes võrrandeid :

II rühm: nr 697 lk.63

x-1 +(x+2) = -4(-5-x)-5

I grupp:

№ 681 lk 63

6(4x)+3x=3

III rühm: nr 767 lk 67

(x + 6) 2 + (x + 3) 2 = 2 x 2

Tüüpvõrrand

ah 2 + bx + c \u003d 0,

kus a≠0, b, c – kõiki reaalarve nimetatakse ruuduks.

Mittetäielikud võrrandid:

ah 2 + bх =0 (c = 0),

ah 2 + c=0 (b=0).

II. Lahendage ruutvõrrandid suuliselt, näidates, kas need on täielikud või mittetäielikud:

üks). 5x 2 + 15x=0

2). -X 2 +2x = 0

3). X 2 -25=0

neli). -X 2 +9 =0

5). -X 2 - 16 =0

6). X 2 - 8x + 15=0

7 ) . X 2 + 5x + 6 = 0

kaheksa). X 2 + x - 12 = 0

9).(-x-5)(-x+ 6)=0

KÜSIMUSED:

üks). Millist võrrandite omadust kasutati mittetäielike ruutvõrrandite lahendamiseks?

2). Milliseid polünoomi faktoriseerimise meetodeid kasutati mittetäielike ruutvõrrandite lahendamiseks?

3). Mis on täielike ruutvõrrandite lahendamise algoritm ?

üks). Kahe teguri korrutis on võrdne nulliga, kui üks neist on võrdne nulliga, samas kui teine ​​ei kaota oma tähendust: ab = 0 , kui a = 0 või b = 0 .

2). Võttes välja ühisteguri ja

a 2 -b 2 =(a - b)(a + b) - ruutude erinevuse valem.

3). Täielik ruutvõrrand ah 2 + bx + c = o.

D=b 2 – 4ac kui D0, 2 juurt;

D = 0, 1 juur;

X 1,2 =

LAHENDAGE VÕRRANDID :

I rühm: nr 802 lk 71 X 2 - 5x- 36 = 0

II rühm: nr 810 lk 71 3x 2 - x + 21 = 5x 2

III rühm: X 4 -5x 2 - 36 =0

III. LAHENDAGE VÕRRANDID :

I ja II rühm: nr 860 = 0

III rühm: =0

Kuidas selliseid võrrandeid nimetatakse? Millist vara kasutatakse nende lahendamiseks?

Ratsionaalne võrrand on vormi võrrand

Murd on null, kui lugeja on null ja nimetaja ei ole null. =0, kui a = 0, b≠0.

Lühike matemaatika ajalugu

• Vana-Egiptuse matemaatikud teadsid, kuidas lahendada ruut- ja lineaarvõrrandeid.

• Pärsia keskaegne teadlane Al-Khwarizmi (IX sajand) tutvustas algebrat kui iseseisvat teadust lineaar- ja ruutvõrrandite lahendamise üldmeetodite kohta, andis nende võrrandite klassifikatsiooni.

• Uus suur läbimurre matemaatikas on seotud prantsuse teadlase Francois Vieta nimega (XVI sajand). Just tema viis algebrasse tähed. Talle kuulub tuntud ruutvõrrandi juurte teoreem.

• Ja traditsiooni tähistada tundmatuid suurusi ladina tähestiku viimaste tähtedega (x, y, z) võlgneme teisele prantsuse matemaatikule - Rene Descartes'ile (XVII).

Al-Khwarizmi

François Viet

Rene Descartes

Kodutöö

Saitidega töötamine :

- avatud ülesannete pank OGE (matemaatika) http://85.142.162.126/os/xmodules/qprint/index.php?proj=DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0 ;

- D. Guštšini "Ma lahendan OGE". https://oge.sdamgia.ru/ ;

- A. Larini veebisait (119. valik) http://alexlarin.net/ .

Õpetused:

- Yu.M. Kolyagini õpik "Algebra klass 9", M., "Valgustus", 2014, lk. 308-310;

- "3000 ülesannet" all. toimetanud I.V. Jaštšenko, M., "Eksam", 2017, lk.59-74.

! Teooriast praktikasse;

! Lihtsatest kuni keerukateni

MAOU "Platoshinskaya keskkool",

matemaatikaõpetaja, Melekhina G.V.

Lineaarvõrrandi üldvaade: kirves + b = 0 ,

Kus a ja b– arvud (koefitsiendid).

• kui a = 0 ja b = 0, siis 0x+ 0 = 0 - lõpmatult palju juuri;
• kui a = 0 ja b ≠ 0, siis 0x+ b = 0- lahendusi pole
• kui a ≠ 0 ja b = 0 , siis kirves + 0 = 0 – üks juur, x = 0;
• kui a ≠ 0 ja b ≠ 0 , siis kirves + b = 0 - üks juur

! Kui X on esimesel astmel ja ei sisaldu nimetajas, siis on see lineaarne võrrand

! Mis siis, kui lineaarvõrrand on keeruline :

! Terminid X-ga vasakul, ilma X-ita paremal.

! Need võrrandid on ka lineaarne .

! Proportsiooni põhiomadus (risti).

! Avatud sulud, X-ga vasakul, ilma X-ita paremal.

• kui koefitsient a = 1, siis nimetatakse võrrandit antud :

• kui koefitsient b = 0 või (ja) c = 0, siis nimetatakse võrrandit mittetäielik :

! Põhivalemid

! Veel valemeid

Bikvadraatne võrrand nimetatakse vormi võrrandiks kirves 4 +bx 2 + c = 0 .

Bikvadraatvõrrand taandatakse ruutvõrrand siis asendamise teel

Saame ruutvõrrandi:

Leiame juured ja pöördume tagasi asendusse:

Näide 1:

Lahenda võrrand x 4 + 5x 2 – 36 = 0.

Lahendus:

Asendamine: x 2 = t.

t 2 + 5t - 36 = 0. Võrrandi t 1 = -9 ja t 2 = 4 juured.

x 2 \u003d -9 või x 2 = 4.

Vastus: esimeses võrrandis pole juuri, teisest: x \u003d ± 2.

Näide 2:

lahendage võrrand (2x - 1) 4 - 25 (2x - 1) 2 + 144 = 0.

Lahendus:

Asendamine: (2x - 1) 2 = t.

t 2 - 25t + 144 = 0. Võrrandi t 1 = 9 ja t 2 = 16 juured.

(2x - 1) 2 = 9 või (2x - 1) 2 = 16.

2x - 1 = ±3 või 2x - 1 = ±4.

Esimesest võrrandist on kaks juurt: x \u003d 2 ja x \u003d -1, teisest on samuti kaks juurt: x \u003d 2,5 ja x \u003d -1,5.

Vastus: -1,5; -üks; 2; 2.5.

1) X 4 - 9 X 2 = 0; 2) 4 X 4 - x 2 \u003d 0;

1) X 4 + x 2 - 2 = 0;

2) X 4 - 3 X 2 - 4 = 0; 3) 9 X 4 + 8 X 2 - 1 = 0; 4) 20 X 4 - X 2 - 1 = 0.

Lahendage võrrandid, eraldades vasakult küljelt täisruut :

1) X 4 - 20 X 2 + 64 = 0; 2) X 4 - 13 X 2 + 36 = 0; 3) X 4 - 4 X 2 + 1 = 0; 4) X 4 + 2 X 2 +1 = 0.

! Pidage meeles summa ruut ja erinevuse ruut

ratsionaalne väljendus on algebraline avaldis, mis koosneb arvudest ja muutujast x liitmise, lahutamise, korrutamise, jagamise ja astendajate tehte kasutamine loomuliku astendajaga.

Kui a r(x) on ratsionaalne avaldis, siis võrrand r(x)=0 nimetatakse ratsionaalseks võrrandiks.

Ratsionaalvõrrandi lahendamise algoritm:

1. Viige kõik võrrandi liikmed ühte ossa.

2. Teisendage see võrrandi osa algebraliseks murruks p(x)/q(x)

3. lahendage võrrand p(x)=0

4. Iga võrrandi juure jaoks p(x)=0 kontrollige, kas see vastab tingimusele q(x)≠0 või mitte. Kui jah, siis see on antud võrrandi juur; kui ei, on see kõrvaline juur ja seda ei tohiks vastusesse lisada.

! Tuletame meelde murdosa ratsionaalvõrrandi lahendust:

! Võrrandite lahendamiseks on kasulik meelde tuletada lühendatud korrutamise valemeid:

Kui muutuja võrrandis sisaldub ruutjuure märgi all, siis nimetatakse võrrandit irratsionaalne .

Meetod võrrandi mõlema poole ruudustamiseks- peamine meetod irratsionaalvõrrandite lahendamiseks.

Olles lahendanud saadud ratsionaalse võrrandi, on vaja tee tšekk , võimalike kõrvaliste juurte väljasõelumine.

Vastus: 5; neli

Veel üks näide:

Eksam:

Väljendil pole mõtet.

Vastus: lahendusi pole.