ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳು. ಬೇರುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ಪಾಠ ಮತ್ತು ಪ್ರಸ್ತುತಿ:
"ವರ್ಗಮೂಲದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ಸೂತ್ರಗಳು. ಪರಿಹಾರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು, ಉತ್ತರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು"

ಹೆಚ್ಚುವರಿ ವಸ್ತುಗಳು
ಆತ್ಮೀಯ ಬಳಕೆದಾರರೇ, ನಿಮ್ಮ ಕಾಮೆಂಟ್‌ಗಳು, ವಿಮರ್ಶೆಗಳು, ಶುಭಾಶಯಗಳನ್ನು ಬಿಡಲು ಮರೆಯಬೇಡಿ. ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಆಂಟಿ-ವೈರಸ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಮೂಲಕ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಗ್ರೇಡ್ 8 ಗಾಗಿ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ ಆನ್‌ಲೈನ್ ಸ್ಟೋರ್‌ನಲ್ಲಿ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಸಹಾಯಗಳು ಮತ್ತು ಸಿಮ್ಯುಲೇಟರ್‌ಗಳು
8 ನೇ ತರಗತಿಗೆ "10 ನಿಮಿಷಗಳಲ್ಲಿ ರೇಖಾಗಣಿತ" ಸಂವಾದಾತ್ಮಕ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ
ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಸಂಕೀರ್ಣ "1C: ಶಾಲೆ. ರೇಖಾಗಣಿತ, ಗ್ರೇಡ್ 8"

ವರ್ಗಮೂಲದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಗುಣ 1. ಎರಡು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧದ ವರ್ಗಮೂಲವು ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ವರ್ಗಮೂಲಗಳುಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ: $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(b)$.

ಯಾವುದೇ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ವಾಡಿಕೆ, ಅದನ್ನು ಮಾಡೋಣ.
$\sqrt(a*b)=x$, $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$ ಎಂದು ಬಿಡಿ. ನಂತರ ನಾವು $x=y*z$ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.
ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸೋಣ.
ಒಂದು ವೇಳೆ $\sqrt(a*b)=x$, ಆಗ $a*b=x^2$.
$\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$, ನಂತರ ಎರಡೂ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: $a=y^2$, $b=z^2$.
$a*b=x^2=y^2*z^2$, ಅಂದರೆ $x^2=(y*z)^2$. ಎರಡು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾದದ್ದು.

ನಮ್ಮ ಆಸ್ತಿಯಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $\sqrt(5)*\sqrt(3)=\sqrt(15)$.

ಗಮನಿಸಿ 1. ರೂಟ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಅಂಶಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಇರುವಾಗ ಆಸ್ತಿಯು ಸಹ ನಿಜವಾಗಿದೆ.
ಆಸ್ತಿ 2. $a≥0$ ಮತ್ತು $b>0$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$

ಅಂದರೆ, ಅಂಶದ ಮೂಲವು ಬೇರುಗಳ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಪುರಾವೆ.
ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಬಳಸೋಣ ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ.

ವರ್ಗಮೂಲಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಪರಿಹಾರ.
ಸಹಜವಾಗಿ, ನಾವು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಮೂಲ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು. ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ಕೈಯಲ್ಲಿ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಏನು ಮಾಡಬೇಕು?
$\sqrt(81*25*121)=\sqrt(81)*\sqrt(25)*\sqrt(121)=9*5*11=$495.
ಉತ್ತರ: 495.

ಉದಾಹರಣೆ 2. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ: $\sqrt(11\frac(14)(25))$.

ಪರಿಹಾರ.
ಮೂಲಭೂತ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಸಮರ್ಪಕ ಭಾಗವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ: $11\frac(14)(25)=\frac(11*25+14)(25)=\frac(275+14)(25)=\frac(289)( 25) $.
ಆಸ್ತಿ 2 ಅನ್ನು ಬಳಸೋಣ.
$\sqrt(\frac(289)(25))=\frac(\sqrt(289))(\sqrt(25))=\frac(17)(5)=3\frac(2)(5)= $3.4.
ಉತ್ತರ: 3.4.

ಉದಾಹರಣೆ 3.
ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ: $\sqrt(40^2-24^2)$.

ಪರಿಹಾರ.
ನಾವು ನಮ್ಮ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಬಹುದು, ಆದರೆ ಅದನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ.
$40^2-24^2=(40-24)(40+24)=16*64$.
ಆದ್ದರಿಂದ, $\sqrt(40^2-24^2)=\sqrt(16*64)=\sqrt(16)*\sqrt(64)=4*8=32$.
ಉತ್ತರ: 32.

ಗೆಳೆಯರೇ, ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸೂತ್ರಗಳಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಸರಿಯಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ.
$\sqrt(a+b)≠\sqrt(a)+\sqrt(b)$.
$\sqrt(a-b)≠\sqrt(a)-\sqrt(b)$.

ಉದಾಹರಣೆ 4.
ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ: a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)$; b) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))$.
ಪರಿಹಾರ.
ಮೇಲೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಒಳಗೆ ಎರಡೂ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತವೆ ಹಿಮ್ಮುಖ ಕ್ರಮ, ಅದು:
$\sqrt(a)*\sqrt(b)=\sqrt(a*b)$.
$\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))=\sqrt(\frac(a)(b))$.
ಇದನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ.
a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)=\sqrt(32*8)=\sqrt(256)=16.$

ಬಿ) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))=\sqrt(\frac(32)(8))=\sqrt(4)=2$.

ಉತ್ತರ: a) 16; ಬಿ) 2.

ಆಸ್ತಿ 3. ಒಂದು ವೇಳೆ $а≥0$ ಮತ್ತು n - ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ, ನಂತರ ಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ: $\sqrt(a^(2n))=a^n$.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ. $\sqrt(a^(16))=a^8$, $\sqrt(a^(24))=a^(12)$ ಹೀಗೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 5.
ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ: $\sqrt(129600)$.

ಪರಿಹಾರ.
ನಮಗೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ, ಅದನ್ನು ಪ್ರಧಾನ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸೋಣ.
ನಾವು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ್ದೇವೆ: $129600=5^2*2^6*3^4$ ಅಥವಾ $\sqrt(129600)=\sqrt(5^2*2^6*3^4)=5*2^3*3^2 =5*8*9=$360.
ಉತ್ತರ: 360.

ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಮಸ್ಯೆಗಳು

ಒಂದು ಚದರ ಭೂಪ್ರದೇಶದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ 81 dm². ಅವನ ಕಡೆ ಹುಡುಕಿ. ಚೌಕದ ಬದಿಯ ಉದ್ದವಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ Xಡೆಸಿಮೀಟರ್ಗಳು. ನಂತರ ಕಥಾವಸ್ತುವಿನ ಪ್ರದೇಶ X² ಚದರ ಡೆಸಿಮೀಟರ್ಗಳು. ಏಕೆಂದರೆ, ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, ಈ ಪ್ರದೇಶವು 81 dm² ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ X² = 81. ಒಂದು ಚೌಕದ ಬದಿಯ ಉದ್ದವು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. 81 ರ ವರ್ಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಂಖ್ಯೆ 9 ಆಗಿದೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, x ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿತ್ತು, ಅದರ ವರ್ಗವು 81 ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ X² = 81. ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: X 1 = 9 ಮತ್ತು X 2 = - 9, ರಿಂದ 9² = 81 ಮತ್ತು (- 9)² = 81. ಎರಡೂ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 9 ಮತ್ತು - 9 ಅನ್ನು 81 ರ ವರ್ಗಮೂಲಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವರ್ಗಮೂಲಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ X= 9 ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ. ಇದನ್ನು 81 ರ ಅಂಕಗಣಿತದ ವರ್ಗಮೂಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು √81 ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ √81 = 9.

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕಗಣಿತದ ವರ್ಗಮೂಲ ಎಇದು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದರ ವರ್ಗವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 6 ಮತ್ತು - 6 ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 36 ರ ವರ್ಗಮೂಲಗಳಾಗಿವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಂಖ್ಯೆ 6 36 ರ ಅಂಕಗಣಿತದ ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ 6 ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು 6² = 36. ಸಂಖ್ಯೆ - 6 ಒಂದು ಅಲ್ಲ ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲ.

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕಗಣಿತದ ವರ್ಗಮೂಲ ಎಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: √ ಎ.

ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಅಂಕಗಣಿತದ ಚಿಹ್ನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವರ್ಗ ಮೂಲ; ಎ- ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ √ ಎಓದಿದೆ ಈ ರೀತಿ: ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕಗಣಿತದ ವರ್ಗಮೂಲ ಎ.ಉದಾಹರಣೆಗೆ, √36 = 6, √0 = 0, √0.49 = 0.7. ಅದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲದ ಬಗ್ಗೆ, ಅವರು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೇಳುತ್ತಾರೆ: “ಇದರ ವರ್ಗಮೂಲ ಎ«.

ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ವರ್ಗಮೂಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕ್ರಿಯೆಯು ವರ್ಗೀಕರಣದ ಹಿಮ್ಮುಖವಾಗಿದೆ.

ನೀವು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವರ್ಗ ಮಾಡಬಹುದು, ಆದರೆ ನೀವು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ವರ್ಗಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ - 4. ಅಂತಹ ಮೂಲವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಅದನ್ನು ಅಕ್ಷರದೊಂದಿಗೆ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ X, ನಾವು ತಪ್ಪಾದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ x² = - 4, ಏಕೆಂದರೆ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುತ್ತದೆ.

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ √ ಎಯಾವಾಗ ಮಾತ್ರ ಅರ್ಥವಾಗುತ್ತದೆ a ≥ 0. ವರ್ಗಮೂಲದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು: √ a ≥ 0, (√ಎ)² = ಎ. ಸಮಾನತೆ (√ ಎ)² = ಎಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ a ≥ 0. ಹೀಗಾಗಿ, ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಎಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಬಿ, ಅಂದರೆ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ √ ಎ =ಬಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ನೀವು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕು: ಬಿ ≥ 0, ಬಿ² = ಎ.

ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ವರ್ಗಮೂಲ

ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕೋಣ. √25 = 5, √36 = 6 ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ.

ಏಕೆಂದರೆ ಮತ್ತು , ಆಗ ಸಮಾನತೆ ನಿಜ. ಆದ್ದರಿಂದ, .

ಪ್ರಮೇಯ:ಒಂದು ವೇಳೆ ಎ≥ 0 ಮತ್ತು ಬಿ> 0, ಅಂದರೆ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಮೂಲ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಛೇದದ ಮೂಲದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ಅಂಶದಿಂದ. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ: ಮತ್ತು .

ರಿಂದ √ ಎ≥0 ಮತ್ತು √ ಬಿ> 0, ನಂತರ .

ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಆಸ್ತಿ ಮತ್ತು ವರ್ಗಮೂಲದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಸಾಬೀತಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ .

ಎರಡನೆಯ ಉದಾಹರಣೆ: ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ , ವೇಳೆ ಎ ≤ 0, ಬಿ < 0. .

ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ: ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ .

.

ಸ್ಕ್ವೇರ್ ರೂಟ್ ಪರಿವರ್ತನೆ

ಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಗುಣಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದು. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನೀಡಲಿ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಎ≥ 0 ಮತ್ತು ಬಿ≥ 0, ನಂತರ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೂಲ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿ ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು:

ಈ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ;

ನಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ X= 2. ನೇರ ಪರ್ಯಾಯ Xಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ = 2 ಸಂಕೀರ್ಣ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ನೀವು ಮೊದಲು ಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದರೆ ಈ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು: . ಈಗ x = 2 ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ :.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವಾಗ, ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಂಶಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳಾಗಿವೆ. ನಂತರ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೂಲ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಅಂಶದ ಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ನಾವು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: ಎ = √8 + √18 - 4√2 ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಮೊದಲ ಎರಡು ಪದಗಳಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವ ಮೂಲಕ ಸರಳಗೊಳಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ :. ನಾವು ಸಮಾನತೆಗೆ ಒತ್ತು ನೀಡುತ್ತೇವೆ ಯಾವಾಗ ಮಾತ್ರ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎ≥ 0 ಮತ್ತು ಬಿ≥ 0. ವೇಳೆ ಎ < 0, то .

ಮನುಷ್ಯನು ತನ್ನನ್ನು ತಾನು ಅರಿತುಕೊಂಡಾಗ ಮತ್ತು ಪ್ರಪಂಚದ ಸ್ವಾಯತ್ತ ಘಟಕವಾಗಿ ತನ್ನನ್ನು ತಾನು ಇರಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದಾಗ ಗಣಿತವು ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು. ನಿಮ್ಮನ್ನು ಸುತ್ತುವರೆದಿರುವದನ್ನು ಅಳೆಯುವ, ಹೋಲಿಸುವ, ಎಣಿಸುವ ಬಯಕೆ - ಇದು ಒಂದು ಆಧಾರವಾಗಿದೆ ಮೂಲ ವಿಜ್ಞಾನಗಳುನಮ್ಮ ದಿನಗಳು. ಮೊದಲಿಗೆ, ಇವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಗಣಿತದ ಕಣಗಳಾಗಿವೆ, ಇದು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಭೌತಿಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸಿತು, ನಂತರ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ ಮಾತ್ರ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿತು (ಅವುಗಳ ಅಮೂರ್ತತೆಯಿಂದಾಗಿ), ಆದರೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದ ನಂತರ, ಒಬ್ಬ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಹೇಳಿದಂತೆ, " ಗಣಿತವು ಅದರಿಂದ ಕಣ್ಮರೆಯಾದಾಗ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ಸೀಲಿಂಗ್ ಅನ್ನು ತಲುಪಿತು." ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು." "ಸ್ಕ್ವೇರ್ ರೂಟ್" ಎಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಡೇಟಾದಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ಬೆಂಬಲಿಸಬಹುದಾದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಸಮತಲವನ್ನು ಮೀರಿ.

ಅದು ಎಲ್ಲಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಯಿತು

ಮೂಲದ ಮೊದಲ ಉಲ್ಲೇಖ, ಅದು ಈ ಕ್ಷಣ√ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆಧುನಿಕ ಅಂಕಗಣಿತಕ್ಕೆ ಅಡಿಪಾಯ ಹಾಕಿದ ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ ಗಣಿತಜ್ಞರ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ದಾಖಲಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಹಜವಾಗಿ, ಅವರು ಪ್ರಸ್ತುತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಹೋಲಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರು - ಆ ವರ್ಷಗಳ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಮೊದಲು ಬೃಹತ್ ಮಾತ್ರೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ಆದರೆ ಎರಡನೇ ಸಹಸ್ರಮಾನ ಕ್ರಿ.ಪೂ. ಇ. ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಹೇಗೆ ಹೊರತೆಗೆಯಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುವ ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅವರು ಪಡೆದರು. ಕೆಳಗಿನ ಫೋಟೋವು ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು √2 ಅನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಕೆತ್ತಿದ ಕಲ್ಲನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದು ಎಷ್ಟು ಸರಿಯಾಗಿದೆಯೆಂದರೆ ಉತ್ತರದಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಹತ್ತನೇ ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಕಂಡುಬಂದಿದೆ.

ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ತ್ರಿಕೋನದ ಒಂದು ಬದಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಗತ್ಯವಿದ್ದಲ್ಲಿ ಮೂಲವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು, ಇತರ ಎರಡು ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸರಿ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದರಿಂದ ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ ಕೃತಿಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಲೇಖನದ ವಸ್ತುವನ್ನು ಚೀನೀ ಕೃತಿ "ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಒಂಬತ್ತು ಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ" ಸಹ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕರು ಶೇಷವಿಲ್ಲದೆ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲಾಗದ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂಬ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಬಂದರು. .

ಈ ಪದದ ಮೂಲವು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅರೇಬಿಕ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ: ಪ್ರಾಚೀನ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗವು ಸಸ್ಯದಂತೆ ಮೂಲದಿಂದ ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಂಬಿದ್ದರು. ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಈ ಪದವು ರಾಡಿಕ್ಸ್ನಂತೆ ಧ್ವನಿಸುತ್ತದೆ (ನೀವು ಮಾದರಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು - "ಮೂಲ" ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲವೂ ವ್ಯಂಜನವಾಗಿದೆ, ಅದು ಮೂಲಂಗಿ ಅಥವಾ ರೇಡಿಕ್ಯುಲಿಟಿಸ್ ಆಗಿರಬಹುದು).

ನಂತರದ ಪೀಳಿಗೆಯ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಈ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಎತ್ತಿಕೊಂಡರು, ಅದನ್ನು Rx ಎಂದು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಿದರು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 15 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲು, ಅವರು R 2 a ಎಂದು ಬರೆದರು. ಅಭ್ಯಾಸ ಆಧುನಿಕ ನೋಟ"ಟಿಕ್" √ 17 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ರೆನೆ ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ಗೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು.

ನಮ್ಮ ದಿನಗಳು

ಗಣಿತದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, y ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮೂಲವು z ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ವರ್ಗವು y ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, z 2 =y √y=z ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಮಾತ್ರ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲ, ಇದು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, √y=z, ಅಲ್ಲಿ z 0 ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

IN ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣ, ಇದು ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, z 2 =y ಮತ್ತು (-z) 2 =y, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: √y=±z ಅಥವಾ √y=|z|.

ಗಣಿತದ ಮೇಲಿನ ಪ್ರೀತಿಯು ವಿಜ್ಞಾನದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಹೆಚ್ಚಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದಾಗಿ, ಒಣ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸದ ವಿವಿಧ ಪ್ರೀತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪೈ ದಿನದಂತಹ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ವರ್ಗಮೂಲದ ರಜಾದಿನಗಳನ್ನು ಸಹ ಆಚರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿ ನೂರು ವರ್ಷಗಳಿಗೊಮ್ಮೆ ಒಂಬತ್ತು ಬಾರಿ ಆಚರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಕೆಳಗಿನ ತತ್ವಕ್ಕೆ: ದಿನ ಮತ್ತು ತಿಂಗಳ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ವರ್ಷದ ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿರಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮುಂದಿನ ಬಾರಿ ನಾವು ಈ ರಜಾದಿನವನ್ನು ಏಪ್ರಿಲ್ 4, 2016 ರಂದು ಆಚರಿಸುತ್ತೇವೆ.

R ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ವರ್ಗಮೂಲದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಧಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಮತ್ತು y ವಿಸ್ತೀರ್ಣದೊಂದಿಗೆ ಚೌಕದ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ √y, ಈ ಅದೃಷ್ಟದಿಂದ ಪಾರಾಗಿಲ್ಲ.

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ?

ಹಲವಾರು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳಿವೆ. ಸರಳವಾದ, ಆದರೆ ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ತೊಡಕಿನ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಕಗಣಿತದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವಾಗಿದೆ, ಅದು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ:

1) ನಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಮೂಲದಿಂದ, ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಕಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ - ಔಟ್‌ಪುಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಉಳಿದವು ಸಬ್‌ಟ್ರಾಹೆಂಡ್‌ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಇನ್ನೂ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮ. ಚಲನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 25 ರ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು:

ಮುಂದಿನ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆ 11, ಉಳಿದದ್ದು: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿ ವಿಸ್ತರಣೆ ಇದೆ:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , ಇಲ್ಲಿ n 0 ರಿಂದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ

+∞, ಮತ್ತು |y|≤1.

z=√y ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ

ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ R ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯ z=√y ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ, ಅಲ್ಲಿ y ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅದರ ವೇಳಾಪಟ್ಟಿ ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಮೂಲದಿಂದ ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಬಿಂದುವನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ (1; 1).

ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ z=√y ಕಾರ್ಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು R

1. ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಪ್ಲಸ್ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದೆ (ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ).

2. ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಪ್ಲಸ್ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದೆ (ಸೊನ್ನೆಯನ್ನು ಮತ್ತೆ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ).

3. ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು (0) ಪಾಯಿಂಟ್ (0; 0) ನಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವಿಲ್ಲ.

4. z=√y ಕಾರ್ಯವು ಸಮ ಅಥವಾ ಬೆಸ ಅಲ್ಲ.

5. z=√y ಕಾರ್ಯವು ಆವರ್ತಕವಲ್ಲ.

6. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ z=√y ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ನ ಛೇದನದ ಒಂದು ಬಿಂದು ಮಾತ್ರ ಇರುತ್ತದೆ: (0; 0).

7. z=√y ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್‌ನ ಛೇದನ ಬಿಂದುವು ಈ ಕಾರ್ಯದ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

8. z=√y ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತಿದೆ.

9. z=√y ಕಾರ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದರ ಗ್ರಾಫ್ ಮೊದಲ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಕೋನವನ್ನು ಆಕ್ರಮಿಸುತ್ತದೆ.

z=√y ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವ ಆಯ್ಕೆಗಳು

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಸುಲಭಗೊಳಿಸಲು, ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಬರೆಯುವ ಶಕ್ತಿಯ ರೂಪವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ: √y=y 1/2. ಈ ಆಯ್ಕೆಯು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸುವಲ್ಲಿ: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2. ಈ ವಿಧಾನವು ಏಕೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಉತ್ತಮ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದಕ್ಕೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಕ್ತಿ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮತ್ತು ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ, √ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದು sqrt ಅಕ್ಷರಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ.

ಈ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ವರ್ಗಮೂಲವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಬೇಡಿಕೆಯಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಅಂಶವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸೂತ್ರಗಳ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಎಣಿಕೆಯ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಸ್ವತಃ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ (ಸ್ವತಃ ಕರೆಯುವ ಕಾರ್ಯ).

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಸ್ಕ್ವೇರ್ ರೂಟ್ C

ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ, ಈ ಲೇಖನದ ವಿಷಯವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಿ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಆವಿಷ್ಕಾರವನ್ನು ಉತ್ತೇಜಿಸಿತು, ಏಕೆಂದರೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಮ ಮೂಲವನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಪ್ರಶ್ನೆಯಿಂದ ಕಾಡುತ್ತಾರೆ. ಐ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕವು ಹೇಗೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು, ಇದು ಬಹಳ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಆಸ್ತಿಯಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ: ಅದರ ಚೌಕ -1. ಇದಕ್ಕೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು, ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನಕಾರಾತ್ಮಕ ತಾರತಮ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಸಹ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ. C ನಲ್ಲಿ, R ನಲ್ಲಿರುವಂತೆ ವರ್ಗಮೂಲಕ್ಕೆ ಅದೇ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸಂಬಂಧಿತವಾಗಿವೆ, ಮೂಲಭೂತ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೇಲಿನ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಒಂದೇ ವಿಷಯ.

ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳು. ವರ್ಗಮೂಲಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

ಗಮನ!
ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಇವೆ
ವಸ್ತುಗಳು ವಿಶೇಷ ವಿಭಾಗ 555.
ತುಂಬಾ "ತುಂಬಾ ಅಲ್ಲ..." ಇರುವವರಿಗೆ
ಮತ್ತು "ತುಂಬಾ..." ಇರುವವರಿಗೆ)

ಹಿಂದಿನ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ವರ್ಗಮೂಲ ಎಂದರೇನು. ಯಾವುದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಯ ಇದು ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರಗಳುಏನು ಬೇರುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ಮತ್ತು ಈ ಎಲ್ಲವನ್ನು ಏನು ಮಾಡಬಹುದು.

ಬೇರುಗಳ ಸೂತ್ರಗಳು, ಬೇರುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ನಿಯಮಗಳು- ಇದು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಒಂದೇ ವಿಷಯ. ವರ್ಗಮೂಲಗಳಿಗೆ ಆಶ್ಚರ್ಯಕರವಾಗಿ ಕೆಲವು ಸೂತ್ರಗಳಿವೆ. ಇದು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ನನಗೆ ಸಂತೋಷವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ! ಅಥವಾ ಬದಲಿಗೆ, ನೀವು ಸಾಕಷ್ಟು ವಿಭಿನ್ನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು, ಆದರೆ ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಮತ್ತು ಆತ್ಮವಿಶ್ವಾಸದ ಕೆಲಸಕ್ಕಾಗಿ, ಕೇವಲ ಮೂರು ಮಾತ್ರ ಸಾಕು. ಉಳಿದೆಲ್ಲವೂ ಈ ಮೂರರಿಂದ ಹರಿಯುತ್ತದೆ. ಮೂರು ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಜನರು ಗೊಂದಲಕ್ಕೊಳಗಾಗಿದ್ದರೂ, ಹೌದು...

ಸರಳವಾದ ಒಂದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಇಲ್ಲಿ ಅವಳು:

ನೀವು ಈ ಸೈಟ್ ಅನ್ನು ಇಷ್ಟಪಟ್ಟರೆ...

ಅಂದಹಾಗೆ, ನಾನು ನಿಮಗಾಗಿ ಇನ್ನೂ ಒಂದೆರಡು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಸೈಟ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇನೆ.)

ನೀವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ತ್ವರಿತ ಪರಿಶೀಲನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರೀಕ್ಷೆ. ಕಲಿಯೋಣ - ಆಸಕ್ತಿಯಿಂದ!)

ನೀವು ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.