Hvordan finne ut om linjer krysser hverandre. Gjensidig arrangement av linjer i rommet

Oh-oh-oh-oh-oh ... vel, det er blikkt, som om du leser setningen for deg selv =) Men da vil avslapning hjelpe, spesielt siden jeg kjøpte passende tilbehør i dag. Derfor, la oss fortsette til den første delen, håper jeg, ved slutten av artikkelen vil jeg holde et muntert humør.

Gjensidig arrangement av to rette linjer

Saken når salen synger med i kor. To linjer kan:

1) match;

2) være parallell: ;

3) eller kryss på et enkelt punkt: .

Hjelp til dummies : husk det matematiske tegnet på krysset, det vil forekomme veldig ofte. Oppføringen betyr at linjen skjærer linjen i punktet.

Hvordan bestemme den relative plasseringen av to linjer?

La oss starte med det første tilfellet:

To linjer faller sammen hvis og bare hvis deres respektive koeffisienter er proporsjonale, det vil si at det er et slikt tall «lambda» at likestillingene

La oss vurdere rette linjer og komponere tre likninger fra de tilsvarende koeffisientene: . Fra hver ligning følger det at derfor disse linjene faller sammen.

Faktisk, hvis alle koeffisientene til ligningen multipliser med -1 (endre fortegn), og alle koeffisientene til ligningen reduser med 2, du får samme ligning:.

Det andre tilfellet når linjene er parallelle:

To linjer er parallelle hvis og bare hvis koeffisientene deres ved variablene er proporsjonale: , men.

Som et eksempel, tenk på to rette linjer. Vi sjekker proporsjonaliteten til de tilsvarende koeffisientene for variablene:

Det er imidlertid klart at.

Og det tredje tilfellet, når linjene krysser hverandre:

To linjer krysser hverandre hvis og bare hvis koeffisientene til variablene IKKE er proporsjonale, det vil si at det IKKE er en slik verdi av «lambda» at likestillingene oppfylles

Så for rette linjer vil vi komponere et system:

Fra den første ligningen følger det at , og fra den andre ligningen: , derav, systemet er inkonsekvent(ingen løsninger). Dermed er koeffisientene ved variablene ikke proporsjonale.

Konklusjon: linjer krysser hverandre

I praktiske problemer kan løsningsskjemaet som nettopp er vurdert, brukes. Den er forresten veldig lik algoritmen for å sjekke vektorer for kollinearitet, som vi vurderte i leksjonen. Konseptet med lineær (ikke) avhengighet av vektorer. Vektor basis. Men det er en mer sivilisert pakke:

Eksempel 1

Finn ut den relative plasseringen av linjene:

Beslutning basert på studiet av retningsvektorer av rette linjer:

a) Fra ligningene finner vi retningsvektorene til linjene: .

, så vektorene er ikke kollineære og linjene krysser hverandre.

Bare i tilfelle vil jeg sette en stein med pekere ved veikrysset:

Resten hopper over steinen og følger videre, rett til Kashchei the Deathless =)

b) Finn retningsvektorene til linjene:

Linjene har samme retningsvektor, noe som betyr at de enten er parallelle eller like. Her er ikke determinanten nødvendig.

Selvfølgelig er koeffisientene til de ukjente proporsjonale, mens .

La oss finne ut om likheten er sann:

Og dermed,

c) Finn retningsvektorene til linjene:

La oss beregne determinanten, sammensatt av koordinatene til disse vektorene:
, derfor er retningsvektorene kollineære. Linjene er enten parallelle eller sammenfallende.

Proporsjonalitetsfaktoren "lambda" er lett å se direkte fra forholdet mellom kollineære retningsvektorer. Imidlertid kan det også bli funnet gjennom koeffisientene til selve ligningene: .

La oss nå finne ut om likheten er sann. Begge gratisvilkårene er null, så:

Den resulterende verdien tilfredsstiller denne ligningen (hvilket som helst tall tilfredsstiller den vanligvis).

Dermed faller linjene sammen.

Svar:

Svært snart vil du lære (eller til og med allerede har lært) å løse det vurderte problemet verbalt bokstavelig talt i løpet av sekunder. I denne forbindelse ser jeg ingen grunn til å tilby noe for en uavhengig løsning, det er bedre å legge en viktig murstein i det geometriske fundamentet:

Hvordan tegne en linje parallelt med en gitt?

For uvitenhet om denne enkleste oppgaven, straffer raneren nattergalen hardt.

Eksempel 2

Den rette linjen er gitt av ligningen. Skriv en ligning for en parallell linje som går gjennom punktet.

Beslutning: Angi den ukjente linjen med bokstaven . Hva sier tilstanden om det? Linjen går gjennom punktet. Og hvis linjene er parallelle, så er det åpenbart at retningsvektoren til linjen "ce" også er egnet for å konstruere linjen "de".

Vi tar ut retningsvektoren fra ligningen:

Svar:

Geometrien til eksemplet ser enkel ut:

Analytisk verifisering består av følgende trinn:

1) Vi sjekker at linjene har samme retningsvektor (hvis likningen til linjen ikke er riktig forenklet, vil vektorene være kollineære).

2) Sjekk om punktet tilfredsstiller den resulterende ligningen.

Analytisk verifisering er i de fleste tilfeller enkel å utføre muntlig. Se på de to ligningene, og mange av dere vil raskt finne ut hvordan linjene er parallelle uten noen tegning.

Eksempler for selvløsning i dag vil være kreative. For du må fortsatt konkurrere med Baba Yaga, og hun, du vet, elsker alle slags gåter.

Eksempel 3

Skriv en ligning for en linje som går gjennom et punkt parallelt med linjen if

Det er en rasjonell og lite rasjonell måte å løse på. Den korteste veien er på slutten av leksjonen.

Vi jobbet litt med parallelle linjer og kommer tilbake til dem senere. Tilfellet med sammenfallende linjer er av liten interesse, så la oss vurdere et problem som er godt kjent for deg fra skolens læreplan:

Hvordan finne skjæringspunktet mellom to linjer?

Hvis rett skjærer hverandre ved punktet , så er koordinatene løsningen systemer av lineære ligninger

Hvordan finne skjæringspunktet mellom linjer? Løs systemet.

Her er til deg geometrisk betydning av et system av to lineære ligninger med to ukjente er to kryssende (oftest) rette linjer på et plan.

Eksempel 4

Finn skjæringspunktet mellom linjer

Beslutning: Det er to måter å løse - grafisk og analytisk.

Den grafiske måten er å ganske enkelt tegne de gitte linjene og finne ut skjæringspunktet direkte fra tegningen:

Her er poenget vårt: . For å sjekke, bør du erstatte koordinatene i hver ligning på en rett linje, de skal passe både der og der. Med andre ord er koordinatene til et punkt løsningen av systemet. Faktisk vurderte vi en grafisk måte å løse på systemer av lineære ligninger med to ligninger, to ukjente.

Den grafiske metoden er selvfølgelig ikke dårlig, men det er merkbare ulemper. Nei, poenget er ikke at sjuendeklassinger bestemmer seg på denne måten, poenget er at det vil ta tid å lage en korrekt og NØYAKTIG tegning. I tillegg er noen linjer ikke så enkle å konstruere, og selve skjæringspunktet kan være et sted i det trettiende rike utenfor notatbokarket.

Derfor er det mer hensiktsmessig å søke etter skjæringspunktet ved hjelp av den analytiske metoden. La oss løse systemet:

For å løse systemet ble metoden med termvis addisjon av ligninger brukt. For å utvikle de relevante ferdighetene, besøk leksjonen Hvordan løser man et ligningssystem?

Svar:

Verifikasjonen er triviell - koordinatene til skjæringspunktet må tilfredsstille hver likning i systemet.

Eksempel 5

Finn skjæringspunktet mellom linjene hvis de skjærer hverandre.

Dette er et gjør-det-selv eksempel. Det er praktisk å dele problemet inn i flere stadier. Analyse av tilstanden tyder på at det er nødvendig:
1) Skriv ligningen til en rett linje.
2) Skriv ligningen til en rett linje.
3) Finn ut den relative plasseringen av linjene.
4) Hvis linjene skjærer hverandre, finn skjæringspunktet.

Utviklingen av en handlingsalgoritme er typisk for mange geometriske problemer, og jeg vil gjentatte ganger fokusere på dette.

Full løsning og svar på slutten av opplæringen:

Et par sko er ennå ikke utslitt, da vi kom til den andre delen av leksjonen:

Vinkelrette linjer. Avstanden fra et punkt til en linje.
Vinkel mellom linjene

La oss starte med en typisk og veldig viktig oppgave. I den første delen lærte vi å bygge en rett linje parallelt med den gitte, og nå vil hytta på kyllingbein snu 90 grader:

Hvordan tegne en linje vinkelrett på en gitt?

Eksempel 6

Den rette linjen er gitt av ligningen. Skriv en ligning for en vinkelrett linje som går gjennom et punkt.

Beslutning: Det er kjent ved antagelse at . Det ville vært fint å finne retningsvektoren til den rette linjen. Siden linjene er vinkelrette, er trikset enkelt:

Fra ligningen "fjerner" vi normalvektoren: , som vil være retningsvektoren til den rette linjen.

Vi komponerer likningen av en rett linje med et punkt og en retningsvektor:

Svar:

La oss brette ut den geometriske skissen:

Hmmm... Oransje himmel, oransje hav, oransje kamel.

Analytisk verifisering av løsningen:

1) Trekk ut retningsvektorene fra ligningene og med hjelp prikkprodukt av vektorer vi konkluderer med at linjene faktisk er vinkelrette: .

Du kan forresten bruke vanlige vektorer, det er enda enklere.

2) Sjekk om punktet tilfredsstiller den resulterende ligningen .

Verifisering, igjen, er enkel å utføre verbalt.

Eksempel 7

Finn skjæringspunktet for vinkelrette linjer, hvis ligningen er kjent og prikk.

Dette er et gjør-det-selv eksempel. Det er flere handlinger i oppgaven, så det er praktisk å ordne løsningen punkt for punkt.

Vår spennende reise fortsetter:

Avstand fra punkt til linje

Foran oss er en rett stripe av elven og vår oppgave er å nå den på korteste vei. Det er ingen hindringer, og den mest optimale ruten vil være bevegelse langs perpendikulæren. Det vil si at avstanden fra et punkt til en linje er lengden på det vinkelrette segmentet.

Avstanden i geometri er tradisjonelt betegnet med den greske bokstaven "ro", for eksempel: - avstanden fra punktet "em" til den rette linjen "de".

Avstand fra punkt til linje uttrykkes med formelen

Eksempel 8

Finn avstanden fra et punkt til en linje

Beslutning: alt du trenger er å nøye erstatte tallene i formelen og gjøre beregningene:

Svar:

La oss utføre tegningen:

Avstanden funnet fra punktet til linjen er nøyaktig lengden på det røde segmentet. Hvis du lager en tegning på rutete papir i en skala på 1 enhet. \u003d 1 cm (2 celler), så kan avstanden måles med en vanlig linjal.

Vurder en annen oppgave i henhold til samme tegning:

Oppgaven er å finne koordinatene til punktet, som er symmetrisk med punktet i forhold til linjen . Jeg foreslår å utføre handlingene på egen hånd, men jeg vil skissere løsningsalgoritmen med mellomresultater:

1) Finn en linje som er vinkelrett på en linje.

2) Finn skjæringspunktet mellom linjene: .

Begge handlingene diskuteres i detalj i denne leksjonen.

3) Punktet er midtpunktet i segmentet. Vi kjenner koordinatene til midten og en av endene. Av formler for koordinatene til midten av segmentet finne.

Det vil ikke være overflødig å kontrollere at avstanden også er lik 2,2 enheter.

Vanskeligheter her kan oppstå i beregninger, men i tårnet hjelper en mikrokalkulator mye, slik at du kan telle vanlige brøker. Har gitt råd mange ganger og vil anbefale igjen.

Hvordan finne avstanden mellom to parallelle linjer?

Eksempel 9

Finn avstanden mellom to parallelle linjer

Dette er nok et eksempel på en uavhengig løsning. Et lite hint: det er uendelig mange måter å løse. Debriefing på slutten av leksjonen, men prøv å gjette selv, jeg tror oppfinnsomheten din var godt spredt.

Vinkel mellom to linjer

Uansett hjørne, så jamben:


I geometri er vinkelen mellom to rette linjer tatt som den MINDRE vinkelen, hvorav det automatisk følger at den ikke kan være stump. På figuren anses ikke vinkelen som er angitt av den røde buen å være vinkelen mellom kryssende linjer. Og dens "grønne" nabo eller motsatt orientert crimson hjørne.

Hvis linjene er vinkelrette, kan en hvilken som helst av de 4 vinklene tas som vinkelen mellom dem.

Hvordan er vinklene forskjellige? Orientering. For det første er retningen for å "rulle" hjørnet grunnleggende viktig. For det andre skrives en negativt orientert vinkel med et minustegn, for eksempel hvis .

Hvorfor sa jeg dette? Det ser ut til at du kan klare deg med det vanlige konseptet med en vinkel. Faktum er at i formlene som vi vil finne vinklene med, kan et negativt resultat lett oppnås, og dette bør ikke overraske deg. En vinkel med et minustegn er ikke verre, og har en veldig spesifikk geometrisk betydning. På tegningen for en negativ vinkel er det viktig å angi orienteringen (med klokken) med en pil.

Hvordan finne vinkelen mellom to linjer? Det er to arbeidsformler:

Eksempel 10

Finn vinkelen mellom linjene

Beslutning og Metode én

Tenk på to rette linjer gitt av ligninger i generell form:

Hvis rett ikke vinkelrett, deretter orientert vinkelen mellom dem kan beregnes ved hjelp av formelen:

La oss følge nøye med på nevneren - dette er nøyaktig skalært produkt retningsvektorer for rette linjer:

Hvis , så forsvinner nevneren til formelen, og vektorene vil være ortogonale og linjene vil være vinkelrette. Det er derfor tatt forbehold om at linjene i formuleringen ikke er vinkelrette.

Basert på det foregående er løsningen praktisk formalisert i to trinn:

1) Beregn skalarproduktet av retningsvektorer av rette linjer:
så linjene er ikke vinkelrette.

2) Vi finner vinkelen mellom linjene ved formelen:

Ved å bruke den omvendte funksjonen er det enkelt å finne selve vinkelen. I dette tilfellet bruker vi oddeligheten til buetangensen (se fig. Grafer og egenskaper til elementære funksjoner):

Svar:

I svaret angir vi den nøyaktige verdien, samt den omtrentlige verdien (gjerne både i grader og i radianer), beregnet ved hjelp av en kalkulator.

Vel, minus, så minus, det er greit. Her er en geometrisk illustrasjon:

Det er ikke overraskende at vinkelen viste seg å ha en negativ orientering, fordi i tilstanden til problemet er det første tallet en rett linje og "vridningen" av vinkelen begynte nøyaktig fra den.

Hvis du virkelig ønsker å få en positiv vinkel, må du bytte de rette linjene, det vil si ta koeffisientene fra den andre ligningen , og ta koeffisientene fra den første ligningen. Kort sagt, du må begynne med en direkte .

Ved hjelp av denne online kalkulatoren kan du finne skjæringspunktet mellom linjer på flyet. Det er gitt en detaljert løsning med forklaringer. For å finne koordinatene til skjæringspunktet for linjene, spesifiser typen av ligningen til linjene ("kanonisk", "parametrisk" eller "generell"), skriv inn koeffisientene til linjenes ligninger i cellene og klikk "Løs"-knappen. Se teoridelen og talleksempler nedenfor.

×

En advarsel

Vil du slette alle celler?

Lukk Slett

Instruksjon for dataregistrering. Tall legges inn som hele tall (eksempler: 487, 5, -7623 osv.), desimaltall (f.eks. 67., 102.54 osv.) eller brøker. Brøken må skrives på formen a/b, der a og b (b>0) er heltall eller desimaltall. Eksempler 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 osv.

Skjæringspunkt for linjer i planet - teori, eksempler og løsninger

1. Skjæringspunkt for rette linjer gitt i generell form.

Oksy L 1 og L 2:

La oss bygge en utvidet matrise:

Hvis en B" 2=0 og MED" 2 =0, så har systemet med lineære ligninger mange løsninger. Derav det direkte L 1 og L 2 kamp. Hvis en B" 2=0 og MED" 2 ≠0, da er systemet inkonsekvent, og derfor er linjene parallelle og har ikke et felles punkt. Hvis B" 2 ≠0, så har systemet med lineære ligninger en unik løsning. Fra den andre ligningen finner vi y: y=MED" 2 /B" 2 og erstatte den resulterende verdien i den første ligningen, finner vi x: x=−Med 1 −B 1 y. Få skjæringspunktet mellom linjene L 1 og L 2: M(x, y).

2. Skjæringspunkt for linjer gitt i kanonisk form.

La et kartesisk rektangulært koordinatsystem gis Oksy og la linjer gis i dette koordinatsystemet L 1 og L 2:

La oss åpne parentesene og gjøre transformasjonene:

Ved en lignende metode får vi den generelle ligningen for den rette linjen (7):

Fra ligning (12) følger det:

Hvordan finne skjæringspunktet for linjer gitt i den kanoniske formen er beskrevet ovenfor.

4. Skjæringspunkt for linjer definert i forskjellige visninger.

La et kartesisk rektangulært koordinatsystem gis Oksy og la linjer gis i dette koordinatsystemet L 1 og L 2:

La oss finne t:

Vi løser systemet med lineære ligninger mht x, y. For å gjøre dette bruker vi Gauss-metoden. Vi får:

Eksempel 2. Finn skjæringspunktet mellom linjer L 1 og L 2:

(21)

For å finne skjæringspunktet mellom linjer L 1 og L 2 er det nødvendig å løse systemet med lineære ligninger (20) og (21). Vi representerer likningene i matriseform.

La to linjer gis og det kreves for å finne deres skjæringspunkt. Siden dette punktet tilhører hver av de to gitte linjene, må dets koordinater tilfredsstille både ligningen til den første linjen og ligningen til den andre linjen.

For å finne koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer, bør man løse likningssystemet

Eksempel 1. Finn skjæringspunktet mellom linjer og

Beslutning. Vi finner koordinatene til det ønskede skjæringspunktet ved å løse likningssystemet

Skjæringspunktet M har koordinater

La oss vise hvordan man konstruerer en rett linje fra ligningen. For å tegne en linje er det nok å kjenne to av punktene. For å plotte hvert av disse punktene gir vi en vilkårlig verdi til en av dens koordinater, og så finner vi fra ligningen den tilsvarende verdien til den andre koordinaten.

Hvis i den generelle ligningen for en rett linje, begge koeffisientene ved de nåværende koordinatene ikke er lik null, så for å konstruere denne rette linjen, er det best å finne punktene for dens skjæringspunkt med koordinataksene.

Eksempel 2. Konstruer en rett linje.

Beslutning. Finn skjæringspunktet for denne linjen med x-aksen. For å gjøre dette løser vi sammen ligningene deres:

og vi får. Dermed ble punktet M (3; 0) for skjæringspunktet mellom denne rette linjen med abscisseaksen funnet (fig. 40).

Løser deretter likningen til den gitte linjen og likningen til y-aksen i fellesskap

finner vi skjæringspunktet for linjen med y-aksen. Til slutt konstruerer vi en linje fra de to punktene M og

Når du løser noen geometriske problemer ved hjelp av koordinatmetoden, er det nødvendig å finne koordinatene til skjæringspunktet mellom linjer. Oftest må man se etter koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer på planet, men noen ganger blir det nødvendig å bestemme koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer i rommet. I denne artikkelen skal vi bare ta for oss å finne koordinatene til punktet der to linjer krysser hverandre.

Sidenavigering.

Skjæringspunktet mellom to linjer er en definisjon.

La oss først definere skjæringspunktet mellom to linjer.

I avsnittet om den relative plasseringen av linjer på planet, vises det at to linjer på planet enten kan falle sammen (og de har uendelig mange fellespunkter), eller være parallelle (og to linjer har ingen fellespunkter), eller krysse hverandre. , som har ett felles poeng. Det er flere alternativer for gjensidig arrangement av to linjer i rommet - de kan falle sammen (har uendelig mange fellespunkter), kan være parallelle (det vil si ligge i samme plan og ikke krysse), kan krysse (ikke ligge i samme plan), og kan også ha ett felles punkt, det vil si krysse hverandre. Så to linjer både i planet og i rommet kalles kryssende hvis de har ett felles punkt.

Fra definisjonen av kryssende linjer følger det bestemmelse av skjæringspunktet for linjer: Punktet der to linjer skjærer, kalles skjæringspunktet mellom disse linjene. Med andre ord, det eneste fellespunktet for to skjærende linjer er skjæringspunktet mellom disse linjene.

For klarhetens skyld presenterer vi en grafisk illustrasjon av skjæringspunktet mellom to linjer i planet og i rommet.

Toppen av siden

Finne koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer på planet.

Før vi finner koordinatene til skjæringspunktet for to linjer i planet i henhold til deres kjente ligninger, tar vi for oss et hjelpeproblem.

Oksy en og b. Vi vil anta at den direkte en tilsvarer den generelle ligningen for den rette linjen, og den rette linjen b- type. La være et punkt av flyet, og det er nødvendig å finne ut om punktet er M 0 skjæringspunktet for de gitte linjene.

La oss løse problemet.

Hvis en M0 en og b, da hører den per definisjon også til linjen en og direkte b, det vil si at dens koordinater må tilfredsstille både ligningen og ligningen samtidig. Derfor må vi erstatte koordinatene til punktet M 0 inn i ligningene til gitte linjer og se om to sanne likheter oppnås. Hvis punktet koordinerer M 0 tilfredsstille både ligninger og , da er skjæringspunktet mellom linjene en og b, ellers M 0 .

er poenget M 0 med koordinater (2, -3) skjæringspunktet mellom linjer 5x-2y-16=0 og 2x-5y-19=0?

Hvis en M 0 er skjæringspunktet for de gitte linjene, så tilfredsstiller dens koordinater likningene til linjene. La oss sjekke dette ved å erstatte koordinatene til punktet M 0 inn i de gitte ligningene:

Vi har derfor to sanne likheter, M 0 (2, -3)- skjæringspunkt for linjer 5x-2y-16=0 og 2x-5y-19=0.

For klarhets skyld presenterer vi en tegning som viser rette linjer og viser koordinatene til skjæringspunktet deres.

ja, prikk M 0 (2, -3) er skjæringspunktet mellom linjene 5x-2y-16=0 og 2x-5y-19=0.

Skjærer linjene hverandre? 5x+3y-1=0 og 7x-2y+11=0 på punktet M 0 (2, -3)?

Bytt ut koordinatene til punktet M 0 inn i linjelikningene, ved denne handlingen vil vi sjekke om punktet tilhører M 0 begge linjene samtidig:

Siden den andre ligningen, når du erstatter koordinatene til punktet i den M 0 ble ikke til en sann likestilling, da poenget M 0 hører ikke til linjen 7x-2y+11=0. Fra dette faktum kan vi konkludere at poenget M 0 er ikke et skjæringspunkt for de gitte linjene.

Det ses også tydelig på tegningen at poenget M 0 er ikke et skjæringspunkt mellom linjer 5x+3y-1=0 og 7x-2y+11=0. Det er klart at de gitte linjene skjærer hverandre i et punkt med koordinater (-1, 2) .

M 0 (2, -3) er ikke et skjæringspunkt mellom linjer 5x+3y-1=0 og 7x-2y+11=0.

Nå kan vi gå videre til problemet med å finne koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer i henhold til de gitte linjelikningene på planet.

La et rektangulært kartesisk koordinatsystem festes på planet Oksy og gitt to kryssende linjer en og b ligninger og hhv. La oss betegne skjæringspunktet for de gitte linjene som M 0 og løs følgende oppgave: finn koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer en og b i henhold til de kjente ligningene til disse linjene og .

Punktum M0 tilhører hver av de kryssende linjene en og b a-priory. Deretter koordinatene til skjæringspunktet mellom linjene en og b tilfredsstille både ligningen og ligningen. Derfor er koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer en og b er en løsning på et ligningssystem (se artikkelen løse systemer av lineære algebraiske ligninger).

For å finne koordinatene til skjæringspunktet for to linjer definert på planet av generelle ligninger, er det derfor nødvendig å løse et system sammensatt av ligninger av gitte linjer.

La oss vurdere et eksempel på en løsning.

Finn skjæringspunktet mellom to linjer definert i et rektangulært koordinatsystem i planet med ligningene x-9y+14=0 og 5x-2y-16=0.

Vi får to generelle likninger av linjer, vi skal komponere et system fra dem: . Løsningene til det resulterende ligningssystemet er lett å finne hvis den første ligningen løses med hensyn til variabelen x og erstatte dette uttrykket i den andre ligningen:

Den funnet løsningen av ligningssystemet gir oss de ønskede koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer.

M 0 (4, 2)- skjæringspunkt for linjer x-9y+14=0 og 5x-2y-16=0.

Så, å finne koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer, definert av generelle ligninger på planet, reduseres til å løse et system med to lineære ligninger med to ukjente variabler. Men hva om de rette linjene på planet ikke er gitt av generelle ligninger, men av ligninger av en annen type (se typene av ligningen til en rett linje på planet)? I disse tilfellene kan du først bringe linjelikningene til en generell form, og først etter det finne koordinatene til skjæringspunktet.

Før vi finner koordinatene til skjæringspunktet til de gitte linjene, bringer vi ligningene deres til en generell form. Overgangen fra de parametriske ligningene til en rett linje til den generelle ligningen til denne rette linjen er som følger:

Nå vil vi utføre de nødvendige handlingene med den kanoniske ligningen av linjen:

Dermed er de ønskede koordinatene til skjæringspunktet mellom linjene løsningen på systemet med ligninger av formen. Vi bruker Cramers metode for å løse det:

M 0 (-5, 1)

Det er en annen måte å finne koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer i planet. Det er praktisk å bruke det når en av de rette linjene er gitt av parametriske ligninger av formen , og den andre er gitt av en rettlinjeligning av en annen type. I dette tilfellet, inn i en annen ligning i stedet for variabler x og y du kan erstatte uttrykkene og , hvorfra du kan få verdien som tilsvarer skjæringspunktet for de gitte linjene. I dette tilfellet har skjæringspunktet mellom linjene koordinater .

La oss finne koordinatene til skjæringspunktet for linjene fra forrige eksempel på denne måten.

Bestem koordinatene til skjæringspunktet mellom linjene og .

Erstatt i ligningen til det direkte uttrykket:

Løser vi den resulterende ligningen, får vi . Denne verdien tilsvarer fellespunktet for linjene og . Vi beregner koordinatene til skjæringspunktet ved å erstatte den rette linjen i de parametriske ligningene:
.

M 0 (-5, 1).

For å fullføre bildet bør ett punkt til diskuteres.

Før du finner koordinatene til skjæringspunktet for to linjer i planet, er det nyttig å forsikre seg om at de gitte linjene virkelig skjærer hverandre. Hvis det viser seg at de opprinnelige linjene faller sammen eller er parallelle, kan det ikke være snakk om å finne koordinatene til skjæringspunktet til slike linjer.

Du kan selvfølgelig klare deg uten en slik sjekk, og umiddelbart lage et system med formlikninger og løse det. Hvis ligningssystemet har en unik løsning, gir det koordinatene til punktet der de opprinnelige linjene skjærer hverandre. Hvis ligningssystemet ikke har noen løsninger, kan vi konkludere med at de opprinnelige linjene er parallelle (siden det ikke finnes et slikt par med reelle tall x og y, som samtidig vil tilfredsstille begge likningene til gitte linjer). Fra tilstedeværelsen av et uendelig sett med løsninger til ligningssystemet, følger det at de opprinnelige linjene har uendelig mange punkter til felles, det vil si at de faller sammen.

La oss se på eksempler som passer til disse situasjonene.

Finn ut om linjene og krysser hverandre, og om de krysser hverandre, finn deretter koordinatene til skjæringspunktet.

De gitte likningene av linjer tilsvarer likningene og . La oss løse systemet som består av disse ligningene.

Det er klart at likningene til systemet er lineært uttrykt gjennom hverandre (den andre likningen til systemet er hentet fra den første ved å multiplisere begge delene med 4 ), derfor har ligningssystemet et uendelig antall løsninger. Dermed definerer likningene den samme linjen, og vi kan ikke snakke om å finne koordinatene til skjæringspunktet til disse linjene.

ligninger og er definert i et rektangulært koordinatsystem Oksy den samme rette linjen, så vi kan ikke snakke om å finne koordinatene til skjæringspunktet.

Finn koordinatene til skjæringspunktet mellom linjene og om mulig.

Tilstanden til problemet innrømmer at linjene kanskje ikke krysser hverandre. La oss komponere et system av disse ligningene. Vi bruker Gauss-metoden for å løse den, siden den lar oss etablere kompatibiliteten eller inkonsistensen til likningssystemet, og i tilfelle dets kompatibilitet, finne en løsning:

Den siste ligningen av systemet etter det direkte forløpet til Gauss-metoden ble til en ukorrekt likhet, derfor har ligningssystemet ingen løsninger. Fra dette kan vi konkludere med at de opprinnelige linjene er parallelle, og vi kan ikke snakke om å finne koordinatene til skjæringspunktet til disse linjene.

Den andre løsningen.

La oss finne ut om de gitte linjene krysser hverandre.

En normalvektor er en linje, og en vektor er en normalvektor av en linje. La oss sjekke oppfyllelsen av betingelsen for collinaritet av vektorene og: likheten er sann, siden derfor de normale vektorene til de gitte linjene er kollineære. Da er disse linjene parallelle eller sammenfallende. Dermed kan vi ikke finne koordinatene til skjæringspunktet til de opprinnelige linjene.

det er umulig å finne koordinatene til skjæringspunktet for de gitte linjene, siden disse linjene er parallelle.

Finn koordinatene til skjæringspunktet mellom linjene 2x-1=0 og hvis de krysser hverandre.

La oss komponere et likningssystem som er generelle likninger av gitte linjer: . Determinanten til hovedmatrisen til dette ligningssystemet er forskjellig fra null, derfor har ligningssystemet en unik løsning, som indikerer skjæringspunktet mellom de gitte linjene.

For å finne koordinatene til skjæringspunktet mellom linjene, må vi løse systemet:

Den resulterende løsningen gir oss koordinatene til skjæringspunktet for linjene, det vil si - skjæringspunktet for linjene 2x-1=0 og .

Toppen av siden

Finne koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer i rommet.

Koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer i tredimensjonalt rom finnes på samme måte.

La de kryssende linjene en og b gitt i et rektangulært koordinatsystem Oxyz ligninger av to kryssende plan, det vil si en rett linje en bestemmes av systemet til skjemaet og linjen b-. La være M 0- skjæringspunkt for linjer en og b. Så poenget M 0 per definisjon tilhører linjen en og direkte b Derfor tilfredsstiller dens koordinater likningene til begge linjer. Dermed koordinatene til skjæringspunktet mellom linjene en og b representere en løsning på et system av lineære ligninger av formen. Her vil vi trenge informasjon fra avsnittet om å løse systemer av lineære ligninger der antall ligninger ikke er sammenfallende med antall ukjente variabler.

La oss vurdere eksempler.

Finn koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer gitt i rommet av ligningene og .

La oss komponere et likningssystem fra likningene til gitte linjer: . Løsningen til dette systemet vil gi oss de ønskede koordinatene til skjæringspunktet mellom linjer i rommet. La oss finne løsningen av det skrevne ligningssystemet.

Hovedmatrisen til systemet har formen, og den utvidede - .

Bestem rangeringen av matrisen MEN og matriserangering T. Vi bruker metoden for å grense til mindreårige, mens vi ikke vil beskrive i detalj beregningen av determinanter (om nødvendig, se artikkelen som beregner determinanten til en matrise):

Dermed er rangeringen til hovedmatrisen lik rangeringen til den utvidede matrisen og er lik tre.

Derfor har ligningssystemet en unik løsning.

Vi tar determinanten som basis-minor, så den siste likningen bør ekskluderes fra likningssystemet, siden den ikke deltar i dannelsen av basis-minor. Så,

Løsningen til det resulterende systemet er lett å finne:

Dermed skjæringspunktet mellom linjer og har koordinater (1, -3, 0) .

(1, -3, 0) .

Det skal bemerkes at likningssystemet har en unik løsning hvis og bare hvis linjene en og b krysse. Hvis direkte en og b parallelle eller kryssende, så har det siste ligningssystemet ingen løsninger, siden linjene i dette tilfellet ikke har noen felles punkter. Hvis rett en og b faller sammen, så har de et uendelig sett med fellespunkter, derfor har det indikerte likningssystemet et uendelig sett med løsninger. Men i disse tilfellene kan vi ikke snakke om å finne koordinatene til skjæringspunktet for linjene, siden linjene ikke skjærer.

Dermed, hvis vi ikke vet på forhånd, krysser de gitte linjene en og b eller ikke, er det rimelig å komponere et ligningssystem av formen og løse det ved hjelp av Gauss-metoden. Hvis vi får en unik løsning, vil den tilsvare koordinatene til skjæringspunktet mellom linjene en og b. Hvis systemet viser seg å være inkonsekvent, så det direkte en og b ikke kryss. Hvis systemet har et uendelig antall løsninger, så er den direkte en og b kamp.

Du kan klare deg uten å bruke Gauss-metoden. Alternativt kan du beregne rekkene av hoved- og utvidede matriser til dette systemet, og basert på dataene som er oppnådd og Kronecker-Capelli-teoremet, lage en konklusjon enten om eksistensen av en enkelt løsning, eller om eksistensen av mange løsninger, eller om fravær av løsninger. Det er en smakssak.

Hvis linjene og krysser hverandre, bestemmer du koordinatene til skjæringspunktet.

La oss komponere et system med gitte ligninger: . Vi løser det ved Gauss-metoden i matriseform:

Det ble klart at likningssystemet ikke har noen løsninger, derfor skjærer de gitte linjene ikke, og det kan ikke være snakk om å finne koordinatene til skjæringspunktet til disse linjene.

vi kan ikke finne koordinatene til skjæringspunktet til de gitte linjene, siden disse linjene ikke skjærer hverandre.

Når kryssende linjer er gitt av kanoniske ligninger av en linje i rommet eller parametriske ligninger for en linje i rommet, bør du først få ligningene deres i form av to kryssende plan, og først etter det finne koordinatene til skjæringspunktet.

To kryssende linjer er gitt i et rektangulært koordinatsystem Oxyz ligninger og . Finn koordinatene til skjæringspunktet mellom disse linjene.

La oss sette de innledende rette linjene ved likningene til to kryssende plan:

For å finne koordinatene til skjæringspunktet mellom linjene, gjenstår det å løse likningssystemet. Rangeringen til hovedmatrisen til dette systemet er lik rangeringen til den utvidede matrisen og er lik tre (vi anbefaler å sjekke dette faktum). Som basis-minor tar vi , derfor kan den siste ligningen ekskluderes fra systemet. Etter å ha løst det resulterende systemet med en hvilken som helst metode (for eksempel Cramer-metoden), får vi løsningen . Dermed skjæringspunktet mellom linjer og har koordinater (-2, 3, -5) .

Leksjon fra serien "Geometriske algoritmer"

Hei kjære leser!

Vi fortsetter å bli kjent med geometriske algoritmer. I den siste leksjonen fant vi ligningen til en rett linje i koordinatene til to punkter. Vi har en ligning av formen:

I dag skal vi skrive en funksjon som ved å bruke likningene til to rette linjer vil finne koordinatene til skjæringspunktet deres (hvis noen). For å sjekke likheten til reelle tall, vil vi bruke spesialfunksjonen RealEq().

Punkter på planet er beskrevet av et par reelle tall. Når du bruker den virkelige typen, er det bedre å ordne sammenligningsoperasjonene med spesialfunksjoner.

Årsaken er kjent: det er ingen ordrerelasjon på Real-typen i Pascal-programmeringssystemet, så det er bedre å ikke bruke poster på formen a = b, hvor a og b er reelle tall.
I dag vil vi introdusere RealEq()-funksjonen for å implementere "="-operasjonen:

Funksjon RealEq(Const a, b:Real):Boolsk; (strengt lik) begynne RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}

Oppgave. Ligninger av to rette linjer er gitt: og . Finn deres skjæringspunkt.

Beslutning. Den åpenbare løsningen er å løse systemet med linjelikninger: La oss omskrive dette systemet litt annerledes:
(1)

Vi introduserer notasjonen: , , . Her er D determinanten for systemet, og er determinantene som oppnås ved å erstatte kolonnen med koeffisienter for den tilsvarende ukjente med en kolonne med frie ledd. Hvis , så er system (1) bestemt, det vil si at det har en unik løsning. Denne løsningen kan finnes ved hjelp av følgende formler: , , som kalles Cramers formler. La meg minne deg på hvordan andreordens determinant beregnes. Determinanten skiller mellom to diagonaler: hoved og sekundær. Hoveddiagonalen består av elementer tatt i retning fra øvre venstre hjørne av determinanten til nedre høyre hjørne. Side diagonal - fra øvre høyre til nedre venstre. Andreordens determinant er lik produktet av elementene i hoveddiagonalen minus produktet av elementene i sekundærdiagonalen.

Koden bruker RealEq()-funksjonen for å se etter likhet. Beregninger over reelle tall gjøres med nøyaktighet opptil _Eps=1e-7.

Program geom2; Const _Eps: Real=1e-7;(beregningsnøyaktighet) var a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y,d,dx,dy:Real; Funksjon RealEq(Const a, b:Real):Boolsk; (strengt lik) begynne RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

Vi har satt sammen et program som du kan, ved å kjenne likningene til linjene, finne koordinatene til skjæringspunktet deres.