Addisjon og subtraksjon av algebraiske brøker: regler, eksempler. Legge til algebraiske brøker

Vanlige brøker.

Legge til algebraiske brøker

Huske!

Du kan bare legge til brøker med de samme nevnerne!

Du kan ikke legge til brøker uten konverteringer

Du kan legge til brøker

Når du legger til algebraiske brøker med like nevnere:

1. telleren til den første brøken legges til telleren til den andre brøken;
2. nevneren forblir den samme.

La oss se på et eksempel på å legge til algebraiske brøker.

Siden nevneren til begge brøkene er "2a", betyr det at brøkene kan legges til.

La oss legge til telleren til den første brøken med telleren til den andre brøken, og la nevneren være den samme. Når vi legger til brøker i den resulterende telleren, presenterer vi lignende.

Subtrahere algebraiske brøker

Når du trekker fra algebraiske brøker med like nevnere:

1. Telleren til den andre brøken trekkes fra telleren til den første brøken.
2. nevneren forblir den samme.

Viktig!

Sørg for å inkludere hele telleren til brøken du trekker fra i parentes.

Ellers vil du gjøre en feil i skiltene når du åpner parentesene til brøken du trekker fra.

La oss se på et eksempel på å subtrahere algebraiske brøker.

Siden begge algebraiske brøkene har en nevner på "2c", betyr dette at disse brøkene kan trekkes fra.

Trekk telleren til den andre brøken "(a − b)" fra telleren til den første brøken "(a + d)". Ikke glem å sette telleren for brøken som trekkes fra i parentes. Ved åpning av parenteser bruker vi regelen for åpning av parenteser.

Redusere algebraiske brøker til en fellesnevner

La oss se på et annet eksempel. Du må legge til algebraiske brøker.

Brøker kan ikke legges til i denne formen fordi de har forskjellige nevnere.

Før du legger til algebraiske brøker, må de være det bringe til en fellesnevner.

Reglene for å redusere algebraiske brøker til en fellesnevner er veldig like reglene for å redusere vanlige brøker til en fellesnevner. .

Som et resultat bør vi få et polynom som vil bli delt uten en rest i hver av de foregående nevnerne av brøkene.

Til redusere algebraiske brøker til en fellesnevner du må gjøre følgende.

1. Vi jobber med numeriske koeffisienter. Vi bestemmer LCM (minste felles multiplum) for alle numeriske koeffisienter.
2. Vi jobber med polynomer. Vi definerer alle de forskjellige polynomene i de største potensene.
3. Produktet av den numeriske koeffisienten og alle ulike polynomer i de største potensene vil være fellesnevneren.
4. Bestem hva du trenger å gange hver algebraisk brøk med for å få en fellesnevner.

La oss gå tilbake til vårt eksempel.

Tenk på nevnerne "15a" og "3" i begge brøkene og finn en fellesnevner for dem.

1. Vi jobber med numeriske koeffisienter. Finn LCM (minste felles multiplum er et tall som er delelig med hver numerisk koeffisient uten en rest). For "15" og "3" er det "15".
2. Vi jobber med polynomer. Det er nødvendig å liste opp alle polynomene i de største potensene. I nevnerne "15a" og "5" er det bare
   en monomial - "a".
3. La oss multiplisere LCM fra trinn 1 "15" og monomial "a" fra trinn 2. Vi får "15a". Dette vil være fellesnevneren.
4. For hver brøk stiller vi oss selv spørsmålet: "Hva skal vi gange nevneren til denne brøken med for å få "15a"?"

La oss se på den første brøken. Denne brøken har allerede en nevner på "15a", som betyr at den ikke trenger å multipliseres med noe.

La oss se på den andre brøken. La oss stille spørsmålet: "Hva trenger du å multiplisere "3" med for å få "15a"?" Svaret er "5a".

Når du reduserer en brøk til en fellesnevner, multipliser med "5a" både teller og nevner.

En forkortet notasjon for å redusere en algebraisk brøk til en fellesnevner kan skrives ved å bruke "hus".

For å gjøre dette, husk på fellesnevneren. Over hver brøk øverst «i huset» skriver vi hva vi ganger hver av brøkene med.

Nå som brøkene har samme nevner, kan brøkene legges til.

La oss se på et eksempel på å trekke fra brøker med forskjellige nevnere.

Tenk på nevnerne "(x − y)" og "(x + y)" for begge brøkene og finn fellesnevneren for dem.

Vi har to forskjellige polynomer i nevnerne "(x − y)" og "(x + y)". Produktet deres vil være fellesnevneren, dvs. "(x − y)(x + y)" er fellesnevneren.

Legge til og subtrahere algebraiske brøker ved å bruke forkortede multiplikasjonsformler

I noen eksempler må forkortede multiplikasjonsformler brukes for å redusere algebraiske brøker til en fellesnevner.

La oss se på et eksempel på å legge til algebraiske brøker, der vi må bruke formelen for forskjellen på kvadrater.

I den første algebraiske brøken er nevneren “(p 2 − 36)”. Åpenbart kan formelen for forskjellen på kvadrater brukes på den.

Etter å ha dekomponert polynomet "(p 2 − 36)" til produktet av polynomer
"(p + 6)(p − 6)" er det tydelig at polynomet "(p + 6)" gjentas i brøker. Dette betyr at fellesnevneren til brøkene vil være produktet av polynomene “(p + 6)(p − 6)”.

å utvikle evnen til å utføre operasjoner (addisjon og subtraksjon) med algebraiske brøker med forskjellige nevnere, basert på regelen om addisjon og subtraksjon av vanlige brøker med forskjellige nevnere;

Utstyr: Demonstrasjonsmateriell.

Oppgaver for å oppdatere kunnskap:

1) +; 2) -;

3) + ; 4) +; 5) -.

1) Algoritme for å addere og subtrahere vanlige brøker med ulike nevnere.

For å legge til eller subtrahere vanlige brøker med forskjellige nevnere, må du:

1. Reduser disse brøkene til deres laveste fellesnevner.
2. Legg til eller trekk fra de resulterende brøkene.

2) En algoritme for å redusere algebraiske brøker til en fellesnevner.

1. La oss finne tilleggsfaktorer for hver av brøkene: dette vil være produktene av de faktorene som er i fellesnevneren (nye), men som ikke er i den gamle nevneren.

3) Standarder for selvstendig arbeid med selvtest:

3) Kort for refleksjonsstadiet.

1. Dette temaet er klart for meg.
2. Jeg vet hvordan jeg finner tilleggsfaktorer for hver brøkdel.
3. Jeg kan finne nye tellere for hver brøk.
4. Alt ordnet seg for meg når jeg jobbet selvstendig.
5. Jeg var i stand til å forstå årsaken til feilen jeg gjorde i selvstendig arbeid.
6. Jeg er fornøyd med arbeidet mitt i klassen.

UNDER KLASSENE

1. Selvbestemmelse for aktivitet.

Etappemål:

1. Inkludering av studenter i pedagogiske aktiviteter: fortsettelse av reisen rundt i landet “Algebraiske uttrykk”.
2. Bestemme innholdet i leksjonen: fortsette å jobbe med algebraiske brøker.

Organisering av utdanningsprosessen på trinn 1:

God morgen folkens! Vi fortsetter vår spennende reise gjennom landet med "algebraiske uttrykk".

Hvilke «innbyggere» i landet møtte vi i tidligere leksjoner? (Med algebraiske uttrykk.)

Hva kan vi gjøre med kjente algebraiske uttrykk? (Addisjon og subtraksjon.)

Hvilken karakteristisk trekk algebraiske brøker som vi allerede vet hvordan vi legger til og trekker fra? (Vi legger til og trekker fra brøker som har samme nevner.)

Ikke sant. Men vi forstår alle godt at ferdighetene til å utføre operasjoner med algebraiske brøker som har de samme nevnerne ikke er nok. Hva annet tror du vi må lære å gjøre? (Utfør operasjoner med brøker som har forskjellige nevnere.)

Bra gjort! Skal vi fortsette reisen da? (Ja!)

2. Oppdatering av kunnskap og registrering av vansker i aktiviteter.

Etappemål:

1. Å oppdatere kunnskap om å utføre operasjoner med brøker med samme nevnere, metoder for hodeberegninger.
2. Registrer vanskelighetsgraden.

Organisering av utdanningsprosessen på trinn 2:

Det er flere eksempler på tavlen for å utføre operasjoner med brøker:

5) -=-==.

Elevene blir bedt om å si sine løsninger høyt.

I det første eksemplet gir gutta enkelt det riktige svaret, og husker algoritmen for å utføre handlinger med algebraiske brøker som har de samme nevnerne.

Når det allerede er kommet en kommentar til eksempel nr. 2, fokuserer læreren på eksempel nr. 2:

Gutter, se på hva som er interessant i eksempel nr. 2? (Vi utførte ikke bare operasjoner med algebraiske brøker som har de samme nevnerne, men reduserte også den resulterende algebraiske brøken: vi tok minustegnet ut av parentes, og i telleren og nevneren fikk vi identiske faktorer, som vi deretter reduserte resultatet med .)

Det er veldig bra at du ikke har glemt at den grunnleggende egenskapen til en brøk gjelder ikke bare for vanlige brøker, men også for algebraiske brøker!

Hvem vil kommentere løsningen på følgende tre eksempler for alle?

Mest sannsynlig vil det være en elev som enkelt kan løse eksempel nr. 3.

Hva brukte du for å løse eksempel nr. 3? (Algoritmen for å legge til og subtrahere vanlige brøker med forskjellige nevnere hjalp meg.)

Hvordan handlet du egentlig? (Jeg reduserte algebraiske brøker til den laveste fellesnevneren på 15 og la dem til.)

Fantastisk! Hvordan har vi det med de to siste eksemplene?

Når det kommer til de neste to eksemplene, fikser gutta (hver for seg selv) vanskeligheten som har oppstått.

Elevenes ord er omtrent slik:

Jeg synes det er vanskelig å fullføre eksempel 4–5, siden jeg har algebraiske brøker foran meg, ikke med «identiske» nevnere, og disse ulike nevnerne inkluderer variabler (nr. 4), og i nr. 5 er det bokstavelige uttrykk i nevner!...”

Svar på oppgave 4–5 er ikke mottatt.

3. Identifisere plassering og årsaker til vanskeligheter og sette mål for aktiviteten.

Etappemål:

1. Registrer det særegne jobbeiendom som forårsaket vanskeligheter i pedagogisk virksomhet.
2. Formuler hensikten og temaet for leksjonen.

Organisering av utdanningsprosessen på trinn 3:

Folkens? Hvor oppsto vanskeligheten? (I eksempel 4–5.)

Hvorfor, når du løser dem, er du ikke klar til å diskutere avgjørelsen og gi et svar? (Fordi de algebraiske brøkene som er foreslått i disse oppgavene har forskjellige nevnere, og vi er kjent med algoritmen for å utføre operasjoner med algebraiske brøker som har de samme nevnerne.

Hva annet trenger vi å kunne? (Du må lære å legge til og subtrahere brøker med forskjellige nevnere.)

Jeg er enig med deg. Hvordan kan vi formulere temaet for leksjonen vår i dag? (Å legge til og subtrahere algebraiske brøker med forskjellige nevnere.)

Temaet for leksjonen er skrevet ned i notatbøker.

4. Bygging av et prosjekt for å komme ut av vanskeligheten.

Hensikten med scenen:

1. Barns konstruksjon av en ny måte å handle på.
2. Fiksering av en algoritme for å redusere algebraiske brøker til en fellesnevner.

Organisering av utdanningsprosessen på trinn 4:

Hvilket mål vil vi sette oss i klassen i dag? (Lær å legge til og subtrahere algebraiske brøker med forskjellige nevnere.)

Hvordan være? (For å gjøre dette må vi bygge en algoritme for videre arbeid med algebraiske brøker.)

Hva må vi finne på for å nå målet med timen? (En algoritme for å redusere algebraiske brøker til en fellesnevner, slik at vi deretter kan jobbe etter den vanlige regelen for å addere og subtrahere brøker med de samme nevnerne.)

Arbeidet kan organiseres i grupper; hver gruppe får et ark og en tusj. Elevene kan foreslå sine egne versjoner av algoritmen i form av en liste med trinn. Det er satt av 5 minutter til arbeid. Grupper legger ut alternativene sine for en algoritme eller regel, og deretter analyseres hvert alternativ.

Mest sannsynlig vil en av elevene definitivt tegne en analogi av algoritmen sin med algoritmen for å addere og subtrahere vanlige brøker med forskjellige nevnere: først bringer de brøkene til en fellesnevner ved å bruke de tilsvarende tilleggsfaktorene, og legger deretter til og subtraherer resulterende brøker med samme nevnere.

Deretter vises et enkelt alternativ. Det kan være slik:

1. Vi tar med alle nevnerne.
2. Fra den første nevneren skriver vi ut produktet av alle dens faktorer, fra de resterende nevnerne tildeler vi de manglende faktorene til dette produktet. Det resulterende produktet vil være fellesnevneren (ny).
3. La oss finne ytterligere faktorer for hver av brøkene: disse vil være produktene av de faktorene som er i den nye nevneren, men som ikke er i den gamle nevneren.
4. La oss finne en ny teller for hver brøk: dette vil være produktet av den gamle telleren og en tilleggsfaktor.
5. La oss skrive hver brøk med en ny teller og en felles (ny) nevner.

Vel, la oss bruke regelen vår for å fullføre uløste foreslåtte oppgaver. Hver oppgave (4, 5) snakkes en etter en av noen elever i klassen, og læreren registrerer løsningen på tavlen.

Du og jeg er rett og slett genier! Vi har bygget en algoritme for å addere og subtrahere algebraiske brøker med ulike nevnere. Gjennom felles innsats har vi eliminert vanskeligheten, siden vi nå har foran oss en ekte "guide" (algoritme) til det ukjente landet med "algebraiske brøker"!

5. Primær konsolidering i ytre tale.

Hensikten med scenen:

1. Trene opp evnen til å redusere algebraiske brøker til en fellesnevner.
2. Organiser uttalen av det studerte innholdet i regelalgoritmen i ekstern tale.

Organisering av utdanningsprosessen på trinn 5:

Gutter, vi vet alle godt at bare det å se og kjenne et "kart over området" ikke er en reise. Hva bør vi gjøre for å dykke dypere inn i verden av algebraiske brøker? (Vi må løse eksempler, og generelt trene på å løse eksempler, for å konsolidere vår nye algoritme.)

Helt rett. Derfor foreslår jeg å starte vår forskning.

Eleven oppgir muntlig planen for sin løsning, læreren korrigerer dersom det blir gjort noen unøyaktigheter.

Det høres omtrent slik ut:

Vi må velge et tall som er delelig med både 2 og 5. Dette er tallet 10. Så velger vi variablene i den grad vi trenger. Så vår nye nevner vil være 10xy. Vi velger flere multiplikatorer. Til den første brøken: 5y, til den andre: 2x. Vi multipliserer de valgte tilleggsfaktorene med hver gamle teller. Vi oppnår algebraiske brøker med identiske nevnere og utfører subtraksjon i henhold til regelen som allerede er kjent for oss.

Jeg er fornøyd. Og nå vil vårt store team dele seg i par, og vi vil fortsette vår interessante vei.

nr. 133 (a, d). Elevene jobber to og to og snakker gjennom løsningen med hverandre:

a) +=+= =;

d) +=+= =.

6. Selvstendig arbeid med selvtest.

Etappemål:

1. Utføre selvstendig arbeid.
2. Gjennomfør en selvtest ved hjelp av en ferdig selvteststandard.
3. Studentene skal registrere vanskeligheter, identifisere årsaker til feil og rette opp feil.

Organisering av utdanningsprosessen på trinn 6:

Jeg så nøye på arbeidet ditt og kom til den konklusjonen at hver av dere er klar til å selvstendig tenke på måter og finne løsninger på eksempler på temaet vårt i dag. Derfor tilbyr jeg deg et lite selvstendig arbeid, etter gjennomføringen vil du bli tilbudt en standard med riktig løsning og svar.

nr. 134 (a, b): utføre arbeid etter tilvalg.

Etter at arbeidet er avsluttet, gjennomføres en standardkontroll. Når de sjekker løsninger, merker elevene "+" for riktig løsning, "?" ikke riktig avgjørelse. Det anbefales at elever som har gjort feil, forklarer årsaken til at de fullførte oppgaven feil.

Feil blir analysert og rettet.

Så, hvilke vanskeligheter møtte du underveis? (Jeg gjorde en feil da jeg utvidet parentesene, som innledes med et minustegn.)

Hva er årsaken til dette? (Bare på grunn av uforsiktighet, men jeg skal være mer forsiktig i fremtiden!)

Hva annet virket vanskelig? (Var det vanskelig for meg å finne tilleggsfaktorer for brøker?)

Du må definitivt studere punkt 3 i algoritmen mer detaljert slik at et slikt problem ikke oppstår i fremtiden!

Var det andre vanskeligheter? (Og jeg tok rett og slett ikke med slike vilkår).

Og dette kan fikses. Når du har gjort alt mulig ved hjelp av den nye algoritmen, må du huske materialet du studerte for lenge siden. Spesielt å bringe lignende termer, eller redusere brøker, etc.

7. Inkorporering av ny kunnskap i kunnskapssystemet.

Hensikten med trinnet: å gjenta og konsolidere algoritmen for å legge til og subtrahere algebraiske brøker med forskjellige nevnere lært i leksjonen.

8. Leksjonsrefleksjon.

Hensikten med scenen: å ta opp nytt innhold, evaluere ens egne aktiviteter.

Organisering av utdanningsprosessen på trinn 8:

Hvilket mål satte vi oss i begynnelsen av leksjonen? (Lær å legge til og subtrahere brøker med forskjellige nevnere.)

Hva kom vi frem til for å nå målet? (Algoritme for å legge til og subtrahere algebraiske brøker med forskjellige nevnere.)

Hva annet brukte vi til dette? (Vi faktoriserte nevnerne, valgte LCM for koeffisientene og tilleggsfaktorer for tellerne.)

Ta nå en farget penn eller tusj og merk med et "+"-tegn de utsagnene hvis sannhet du er enig i:

Hver elev har et kort med fraser. Barn markerer og viser til læreren.

Bra gjort!

Lekser: avsnitt 4 (lærebok); nr. 126, 127 (problembok).

I denne artikkelen vil vi undersøke i detalj addere og subtrahere algebraiske brøker. La oss starte med å legge til og subtrahere algebraiske brøker med like nevnere. Etter dette skriver vi ned den tilsvarende regelen for brøker med ulike nevnere. Avslutningsvis vil vi vise hvordan du legger til en algebraisk brøk med et polynom og hvordan du trekker dem fra. Tradisjonen tro vil vi gi all informasjon med typiske eksempler som forklarer hvert trinn i løsningsprosessen.

Sidenavigering.

Når nevnerne er de samme

Prinsippene overføres til algebraiske brøker. Vi vet at når man adderer og subtraherer vanlige brøker med like nevnere, blir deres tellere lagt til eller subtrahert, men nevneren forblir den samme. For eksempel, og .

Formulert på samme måte regel for å addere og subtrahere algebraiske brøker med like nevnere: For å addere eller subtrahere algebraiske brøker med like nevnere, må du addere eller subtrahere tellerne til brøkene tilsvarende, og la nevneren være uendret.

Fra denne regelen følger det at som et resultat av å addere eller subtrahere algebraiske brøker, oppnås en ny algebraisk brøk (i et spesielt tilfelle et polynom, monomial eller tall).

La oss gi et eksempel på anvendelsen av den oppgitte regelen.

Eksempel.

Finn summen av algebraiske brøker Og .

Løsning.

Vi må legge til algebraiske brøker med like nevnere. Regelen forteller oss at vi må legge til tellerne for disse brøkene, men la nevneren være den samme. Så vi legger sammen polynomene som finnes i tellerne: x 2 +2·x·y−5+3−x·y= x 2 +(2 x y−x y)−5+3=x 2 +x y−2. Derfor er summen av de opprinnelige brøkene lik .

I praksis skrives løsningen vanligvis kort i form av en kjede av likheter som gjenspeiler alle handlingene som er utført. I vårt tilfelle er kortversjonen av løsningen:

Svar:

.

Merk at hvis det oppnås en reduserbar brøk som et resultat av å addere eller subtrahere algebraiske brøker, er det tilrådelig å redusere den.

Eksempel.

Trekk fra brøker fra algebraiske brøker.

Løsning.

Siden nevnerne til algebraiske brøker er like, må du trekke fra telleren til den andre fra telleren til den første brøken, og la nevneren være den samme: .

Det er lett å se at det er mulig å redusere en algebraisk brøk. For å gjøre dette transformerer vi nevneren ved å bruke kvadratforskjellsformel. Vi har.

Svar:

.

Tre og tre legges til eller trekkes fra på nøyaktig samme måte. stor kvantitet algebraiske brøker med like nevnere. For eksempel, .

Addere og subtrahere algebraiske brøker med forskjellige nevnere

La oss huske hvordan vi adderer og subtraherer vanlige brøker med forskjellige nevnere: først bringer vi dem til en fellesnevner, og deretter legger vi til disse brøkene med de samme nevnerne. For eksempel, eller .

Det er en lignende regel for å addere og subtrahere algebraiske brøker med forskjellige nevnere:

• først reduseres alle brøker til en fellesnevner;
• hvoretter de resulterende brøkene med de samme nevnerne adderes og trekkes fra.

Til vellykket søknad den oppgitte regelen, må du ha god forståelse for å redusere algebraiske brøker til en fellesnevner. Dette er hva vi skal gjøre.

Redusere algebraiske brøker til en fellesnevner.

Å redusere algebraiske brøker til en fellesnevner er en identisk transformasjon av de opprinnelige brøkene, hvoretter nevnerne til alle brøkene blir like. Det er praktisk å bruke følgende algoritme for å redusere algebraiske brøker til en fellesnevner:

• Først er fellesnevneren for algebraiske brøker funnet;
• Deretter bestemmes tilleggsfaktorer for hver av brøkene, for hvilke fellesnevneren er delt med nevnerne til de opprinnelige brøkene;
• til slutt multipliseres tellerne og nevnerne til de opprinnelige algebraiske brøkene med de tilsvarende tilleggsfaktorene.

Eksempel.

Gi algebraiske brøker Og til en fellesnevner.

Løsning.

La oss først bestemme fellesnevneren for algebraiske brøker. For å gjøre dette, faktor nevnerne til alle brøkene: 2 a 3 −4 a 2 =2 a 2 (a−2), 3·a2−6·a=3·a·(a−2) og 4 a 5 −16 a 3 =4 a 3 (a−2) (a+2). Herfra finner vi fellesnevneren 12·a 3 ·(a−2)·(a+2) .

La oss nå begynne å finne flere faktorer. For å gjøre dette deler vi fellesnevneren med nevneren til den første brøken (det er praktisk å ta utvidelsen), vi har 12 a 3 (a−2) (a+2):(2 a 2 (a−2))=6 a (a+2). Dermed er tilleggsfaktoren for den første fraksjonen 6·a·(a+2) . På samme måte finner vi tilleggsfaktorer for andre og tredje brøk: 12 a 3 (a−2) (a+2):(3 a (a−2))=4 a 2 (a+2) Og 12 a 3 (a−2) (a+2):(4 a 3 (a−2) (a+2))=3.

Det gjenstår å multiplisere tellerne og nevnerne til de opprinnelige brøkene med de tilsvarende tilleggsfaktorene:

Dette fullfører reduksjonen av de opprinnelige algebraiske brøkene til en fellesnevner. Om nødvendig kan de resulterende brøkene konverteres til form av algebraiske brøker ved å multiplisere polynomer og monomer i tellerne og nevnerne.

Så vi har sortert ut reduksjonen av algebraiske brøker til en fellesnevner. Vi er nå forberedt på å utføre addisjon og subtraksjon av algebraiske brøker med ulikt nevnere. Ja, vi glemte nesten å advare deg: det er praktisk å la fellesnevneren presenteres i form av et produkt til siste øyeblikk - du må kanskje redusere brøken som oppnås etter addisjon eller subtraksjon.

Eksempel.

Utfør addisjon av algebraiske brøker og .

Løsning.

Det er klart at de opprinnelige brøkene har forskjellige nevnere, så for å utføre addisjonen deres, må du først redusere dem til en fellesnevner. For å gjøre dette, faktor nevnerne: x 2 +x=x·(x+1) , og x 2 +3·x+2=(x+1)·(x+2) , siden røttene til kvadrattrinomialet x 2 + 3 x+2 er tallene −1 og −2. Herfra finner vi fellesnevneren, den har formen x·(x+1)·(x+2) . Da vil tilleggsfaktoren til den første brøken være x+2, og den andre brøken vil være x.

Så, og.

Alt som gjenstår er å legge til brøkene redusert til en fellesnevner:

Den resulterende fraksjon kan reduseres. Faktisk, hvis du tar de to ut av parentes i telleren, vil du se felles multiplikator x+1, som brøken reduseres med: .

Til slutt representerer vi den resulterende brøken som en algebraisk, som vi erstatter produktet i nevneren med et polynom: .

La oss formulere en kort løsning som tar hensyn til alle våre resonnementer:

Svar:

.

Og ett poeng til: før du legger til eller subtraherer algebraiske brøker, er det tilrådelig å først transformere dem for å forenkle (hvis det selvfølgelig er en slik mulighet).

Eksempel.

Utfør subtraksjon av algebraiske brøker og .

Løsning.

La oss utføre noen transformasjoner av algebraiske brøker, kanskje de vil forenkle løsningsprosessen. Til å begynne med, la oss ta de numeriske koeffisientene til variablene i nevneren ut av parentes: Og . Det er allerede interessant - fellesfaktoren for nevnerne til brøkene har blitt synlig.

Denne leksjonen vil dekke å legge til og subtrahere algebraiske brøker med like nevnere. Vi vet allerede hvordan vi legger til og subtraherer vanlige brøker med like nevnere. Det viser seg at algebraiske brøker følger de samme reglene. Evnen til å arbeide med brøker med like nevnere er en av de hjørnesteiner i å lære reglene for å arbeide med algebraiske brøker. Spesielt vil forståelsen av dette emnet gjøre det enkelt å mestre mer vanskelig tema- addisjon og subtraksjon av brøker med ulike nevnere. Som en del av leksjonen vil vi studere reglene for å addere og subtrahere algebraiske brøker med like nevnere, og også analysere en rekke typiske eksempler

Regel for å addere og subtrahere algebraiske brøker med like nevnere

Sfor-mu-li-ru-em pra-vi-lo slo-zhe-niya (you-chi-ta-niya) al-geb-ra-i-che-skih brøker fra en-på-til-deg -mi know-me-na-te-la-mi (det sammenfaller med den analoge regelen for vanlige skuddslag): Det vil si for addisjon eller beregning av al-geb-ra-i-che-skih-brøker med en-til-deg know-me-on-the-la-mi nødvendig -ho-di-mo-kompilere en tilsvarende al-geb-ra-i-che-sum av tall, og sign-me-na-tel forlate uten noen.

Vi forstår denne regelen både for eksempelet med vanlige ven-draws og for eksempelet med al-geb-ra-i-che-draws.

Eksempler på bruk av regelen for vanlige brøker

Eksempel 1. Legg til fraksjoner: .

Løsning

La oss legge til antall brøker, og la tegnet være det samme. Etter dette dekomponerer vi tallet og signerer til enkle multiplisiteter og kombinasjoner. La oss ta det: .

Merk: en standardfeil som er tillatt når du løser lignende typer eksempler, for -klu-cha-et-sya i følgende mulige løsning: . Dette er en grov feil, siden tegnet forblir det samme som det var i de opprinnelige brøkene.

Eksempel 2. Legg til fraksjoner: .

Løsning

Denne er på ingen måte forskjellig fra den forrige: .

Eksempler på bruk av regelen for algebraiske brøker

Fra vanlige dro-beats går vi over til al-geb-ra-i-che-skim.

Eksempel 3. Legg til fraksjoner: .

Løsning: som allerede nevnt ovenfor, er sammensetningen av al-geb-ra-i-che-brøker på ingen måte forskjellig fra ordet det samme som vanlige skuddkamper. Derfor er løsningsmetoden den samme: .

Eksempel 4. Du er brøken:.

Løsning

You-chi-ta-nie av al-geb-ra-i-che-skih brøker fra addisjon bare ved det faktum at i antallet pi-sy-va-et-sya forskjell i antall brukte brøker. Derfor .

Eksempel 5. Du er en brøk: .

Løsning: .

Eksempel 6. Forenkle: .

Løsning: .

Eksempler på anvendelse av regelen etterfulgt av reduksjon

I en brøk som har samme betydning i resultatet av sammensetning eller beregning, er kombinasjoner mulige nia. I tillegg bør du ikke glemme ODZ for al-geb-ra-i-che-skih-brøker.

Eksempel 7. Forenkle: .

Løsning: .

Hvori . Generelt, hvis ODZ for de innledende brøkene sammenfaller med ODZ av totalen, kan den utelates (tross alt, brøken er i svaret, vil heller ikke eksistere med de tilsvarende betydelige endringene). Men hvis ODZ for de brukte brøkene og svaret ikke stemmer overens, må ODZ angis.

Eksempel 8. Forenkle: .

Løsning: . Samtidig, y (ODZ for de innledende brøkene faller ikke sammen med ODZ for resultatet).

Addere og subtrahere brøker med forskjellige nevnere

For å legge til og lese al-geb-ra-i-che-brøker med forskjellige know-me-on-la-mi, gjør vi ana-lo -giyu med vanlige-ven-ny-brøker og overfører det til al-geb -ra-i-che-brøker.

La oss se på det enkleste eksemplet for vanlige brøker.

Eksempel 1. Legg til brøker:.

Løsning:

La oss huske reglene for å legge til brøker. Til å begynne med må en brøk bringes til et felles tegn. I rollen som et generelt tegn for vanlige brøker handler du minste felles multiplum(NOK) innledende tegn.

Definisjon

Det minste tallet, som er delt samtidig i tall og.

For å finne NOC, er det nødvendig å bryte ned kunnskapen i enkle sett, og deretter velge alt det er mange, som er inkludert i delingen av begge tegn.

; . Da må LCM for tall inkludere to toere og to treere: .

Etter å ha funnet den generelle kunnskapen, er det nødvendig for hver av brøkene å finne en fullstendig multiplisitetsbeboer (faktisk, faktisk å helle det vanlige tegnet på tegnet til den tilsvarende brøken).

Deretter multipliseres hver brøk med en halvfull faktor. La oss hente noen brøker fra de samme du kjenner, legge dem sammen og lese dem opp -studert i tidligere leksjoner.

La oss spise: .

Svar:.

La oss nå se på sammensetningen av al-geb-ra-i-che-brøker med forskjellige fortegn. La oss nå se på brøkene og se om det er noen tall.

Addere og subtrahere algebraiske brøker med forskjellige nevnere

Eksempel 2. Legg til brøker:.

Løsning:

Al-go-rytme av avgjørelsen ab-so-lyut-men ana-lo-gi-chen til forrige eksempel. Det er lett å ta det vanlige tegnet for de gitte brøkene: og ytterligere multiplikatorer for hver av dem.

.

Svar:.

Så, la oss danne al-go-rytme for addisjon og beregning av al-geb-ra-i-che-skih-brøker med forskjellige fortegn:

1. Finn det minste fellestegnet for brøken.

2. Finn flere multiplikatorer for hver av brøkene (det vanlige tegnet for tegnet er faktisk gitt -th brøk).

3. Opptil mange tall på de tilsvarende opp til fulle multiplisitetene.

4. Legg til eller beregn brøker ved å bruke reglene for sammensetting og beregning av brøker med samme kunnskap -me-na-te-la-mi.

La oss nå se på et eksempel med brøker, i tegnet som det er bokstaver du -nia.

Utviklings- og pedagogiske hjelpemidler i nettbutikken "Integral"
Manual for læreboken Muravin G.K.    En manual for læreboken av Makarychev Yu.N.

Hva er en algebraisk brøk?

En algebraisk brøk er et uttrykk for formen: $\frac(P)(Q)$.

Hvor:
P er telleren for den algebraiske brøken.
Q er nevneren for en algebraisk brøk.

Her er eksempler på algebraiske brøker:

$\frac(a)(b)$, $\frac(12)(q-p)$, $\frac(7y-4)(y)$.

Grunnleggende egenskaper til algebraiske brøker

Denne transformasjonen kalles ellers identisk. Det brukes til å redusere et algebraisk (og ikke bare) uttrykk til en enklere form, og det vil være mer praktisk å jobbe med dette uttrykket.

$\frac(a)(4b^2)=\frac(a*3b)(4b^2*3b)=\frac(3ab)(12b^3)$.

$\frac(a^2)(6b^3)=\frac(a^2*2)(6b^3*2)=\frac(2a^2)(12b^3)$.

Eiendom 2.
Både telleren og nevneren til en brøk kan deles på samme tall (enten et monom eller et polynom). Som et resultat vil vi få samme brøk, men presentert i en annen form.

Som i tilfellet med multiplikasjon, dette identisk transformasjon ty til å representere en brøkdel i mer i enkel form og gjøre det lettere å jobbe med.

Addere og subtrahere algebraiske brøker med like nevnere

Generell regel:

$\frac(a)(d)+\frac(b)(d)-\frac(c)(d)=\frac(a+b-c)(d)$.

Forenkle uttrykket:

$\frac(2a^2+5)(a^2-ab)+\frac(2ab+b)(a^2-ab)-\frac(b+5)(a^2-ab)$.

Vi bruker regelen for å addere brøker beskrevet ovenfor, det vil si at vi legger sammen tellerne, og skriver ned fellesnevneren.

$\frac(2a^2+5)(a^2-ab)+\frac(2ab+b)(a^2-ab)-\frac(b+5)(a^2-ab)=\frac ((2a^2+5)+(2ab+b)-(b+5))(a^2-ab)$.

$(2a^2+5)+(2ab+b)-(b+5)=$
$2a^2+5+2ab+b-b-5=2a^2+2ab$.

$\frac(2a^2+2ab)(a^2-ab)$.

$\frac(2a^2+2ab)(a^2-ab)=\frac(2a(a+b))(a(a-b))=\frac(2(a+b))(a-b)=\ frac(2a+2b)(a-b)$.

Addere og subtrahere algebraiske brøker med forskjellige nevnere

Eksempel.
Regne ut:

$\frac(a)(4b^2)+\frac(a^2)(6b^3)$.

$\frac(a)(4b^2)+\frac(a^2)(6b^3)=\frac(3ab)(12b^3)+\frac(2a^2)(12b^3)=
\frac(3ab+2a^2)(12b^3)$.

Huske!
For to algebraiske brøker kan du velge så mange fellesnevnere du vil. Men for å forenkle beregningene, må du velge den enkleste mulig.