Hva er det identiske uttrykket a b. Identiske transformasjoner av uttrykk, deres typer

Mens vi studerte algebra, kom vi over begrepene et polynom (for eksempel ($y-x$,$\ 2x^2-2x$, etc.) og algebraisk brøk (for eksempel $\frac(x+5)(x)$ , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$ osv.) Likheten mellom disse begrepene er at både i polynomer og algebraiske brøker er det variabler og numeriske verdier, er de oppfylt aritmetiske operasjoner: addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, eksponentiering. Forskjellen mellom disse konseptene er at i polynomer utføres ikke deling med en variabel, men i algebraiske brøker kan divisjon med en variabel utføres.

Både polynomer og algebraiske brøker kalles rasjonelle algebraiske uttrykk i matematikk. Men polynomer er hele rasjonelle uttrykk, og algebraiske brøker brøk-rasjonell uttrykkene.

Det er mulig å få et helt algebraisk uttrykk fra et brøk-rasjonelt uttrykk ved å bruke en identitetstransformasjon, som i dette tilfellet vil være hovedegenskapen til en brøk - reduksjon av brøker. La oss sjekke dette i praksis:

Eksempel 1

Konverter:$\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$

Løsning: Konverter gitt rasjonell brøkligning er mulig ved å bruke den grunnleggende egenskapen til reduksjonsfraksjonen, dvs. å dele telleren og nevneren med det samme tallet eller uttrykket annet enn $0$.

Denne brøken kan ikke reduseres umiddelbart; telleren må konverteres.

La oss transformere uttrykket i telleren til brøken, for dette bruker vi formelen for kvadratet av forskjellen: $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$

Brøken ser ut som

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\venstre(x-2\høyre)(x-2))(x-2)\]

Nå ser vi at i telleren og nevneren er det felles multiplikator--dette er uttrykket $x-2$, som vi reduserer brøken med

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\venstre(x-2\høyre)(x-2))(x-2)=x-2\]

Etter reduksjon fant vi at det opprinnelige rasjonelle brøkuttrykket $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ ble et polynom $x-2$, dvs. hele rasjonelle.

La oss nå ta hensyn til det faktum at uttrykkene $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ og $x-2\ $ kan betraktes som identiske ikke for alle verdiene til variabelen, fordi For at et rasjonelt brøkuttrykk skal eksistere og for å kunne redusere med polynomet $x-2$, må ikke nevneren til brøken være lik $0$ (samt faktoren som vi reduserer med. I i dette eksemplet nevneren og multiplikatoren er den samme, men dette er ikke alltid tilfelle).

Verdiene til variabelen der den algebraiske brøken vil eksistere kalles de tillatte verdiene til variabelen.

La oss sette en betingelse for nevneren til brøken: $x-2≠0$, deretter $x≠2$.

Dette betyr at uttrykkene $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ og $x-2$ er identiske for alle verdiene til variabelen unntatt $2$.

Definisjon 1

Identisk like uttrykk er de som er like for alle gyldige verdier av variabelen.

En identisk transformasjon er enhver erstatning av det opprinnelige uttrykket med et identisk likt. Slike transformasjoner inkluderer å utføre handlinger: addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, plassering av en felles faktor utenfor parentes, reduksjon algebraiske brøker til en fellesnevner, redusere algebraiske brøker, redusere lignende termer, etc. Det er nødvendig å ta hensyn til at en rekke transformasjoner, for eksempel reduksjon, reduksjon av lignende termer, kan endre de tillatte verdiene til variabelen.

Teknikker som brukes for å bevise identiteter

Lede venstre side identiteter til høyre eller omvendt ved hjelp av identitetstransformasjoner

Reduser begge sider til samme uttrykk ved å bruke identiske transformasjoner

Overfør uttrykkene i en del av uttrykket til en annen og bevis at den resulterende forskjellen er lik $0$

Hvilken av teknikkene ovenfor som skal brukes for å bevise en gitt identitet avhenger av den opprinnelige identiteten.

Eksempel 2

Bevis identiteten $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$

Løsning: For å bevise denne identiteten bruker vi den første av metodene ovenfor, nemlig vi vil transformere venstre side av identiteten til den er lik den høyre.

La oss vurdere venstre side av identiteten: $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$ - den representerer forskjellen mellom to polynomer. I dette tilfellet er det første polynomet kvadratet av summen av tre ledd. For å kvadrere summen av flere ledd bruker vi formelen:

\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]

For å gjøre dette må vi multiplisere et tall med et polynom. Husk at for å gjøre dette må vi multiplisere fellesfaktoren bak parentesene med hvert ledd i polynomet i parentesen. Da får vi:

$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$

La oss nå gå tilbake til det opprinnelige polynomet, det vil ha formen:

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$

Vær oppmerksom på at før braketten er det et "-"-tegn, som betyr at når brakettene åpnes, endres alle skiltene som var i parentesene til det motsatte.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$

La oss presentere lignende termer, så får vi at monomialene $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ og $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ opphever hverandre, dvs. summen deres er $0$.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$

Dette betyr at gjennom identiske transformasjoner fikk vi identisk uttrykk på venstre side av den opprinnelige identiteten

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$

Merk at det resulterende uttrykket viser at den opprinnelige identiteten er sann.

Vær oppmerksom på at i den opprinnelige identiteten er alle verdiene til variabelen tillatt, noe som betyr at vi beviste identiteten ved hjelp av identitetstransformasjoner, og det er sant for alle mulige verdier av variabelen.

Denne artikkelen gir et utgangspunkt ideen om identiteter. Her vil vi definere identiteten, introdusere notasjonen som brukes, og selvfølgelig gi ulike eksempler identiteter

Sidenavigering.

Hva er identitet?

Det er logisk å begynne å presentere stoffet med identitetsdefinisjoner. I Makarychev Yu. N.s lærebok, algebra for 7. klasse, er definisjonen av identitet gitt som følger:

Definisjon.

Identitet– dette er en likhet som er sann for alle verdier av variablene; enhver sann numerisk likhet er også en identitet.

Samtidig fastsetter forfatteren umiddelbart at denne definisjonen i fremtiden skal avklares. Denne avklaringen skjer i 8. klasse, etter å ha blitt kjent med definisjonen akseptable verdier variabler og ODZ. Definisjonen blir:

Definisjon.

Identiteter- dette er sanne numeriske likheter, så vel som likheter som er sanne for alle tillatte verdier av variablene inkludert i dem.

Så hvorfor, når vi definerer identitet, snakker vi i 7. klasse om eventuelle verdier av variabler, og i 8. klasse begynner vi å snakke om verdiene til variabler fra deres DL? Frem til klasse 8 utføres det utelukkende arbeid med hele uttrykk (spesielt med monomer og polynomer), og de gir mening for alle verdier av variablene som er inkludert i dem. Det er derfor vi i 7. klasse sier at identitet er en likhet som er sant for alle verdier av variablene. Og i 8. klasse dukker det opp uttrykk som ikke lenger gir mening, ikke for alle verdier av variabler, men bare for verdier fra deres ODZ. Derfor begynner vi å kalle likheter som er sanne for alle tillatte verdier av variablene.

Så identitet er spesielt tilfelle likestilling. Det vil si at enhver identitet er likhet. Men ikke enhver likhet er en identitet, men bare en likhet som er sann for alle verdier av variablene fra deres rekkevidde av tillatte verdier.

Identitetstegn

Det er kjent at når man skriver likheter, brukes et likhetstegn på formen "=", til venstre og til høyre som det er noen tall eller uttrykk. Hvis vi legger til en annen horisontal linje til dette tegnet, får vi identitetsskilt“≡”, eller som det også kalles likhetstegn.

Identitetstegnet brukes vanligvis bare når det er nødvendig å spesielt understreke at vi ikke bare står overfor likhet, men identitet. I andre tilfeller skiller ikke registreringer av identiteter seg fra likheter.

Eksempler på identiteter

Det er på tide å ta med eksempler på identiteter. Identitetsdefinisjonen gitt i første ledd vil hjelpe oss med dette.

Numeriske likheter 2=2 er eksempler på identiteter, siden disse likhetene er sanne, og enhver sann numerisk likhet er per definisjon en identitet. De kan skrives som 2≡2 og .

Numeriske likheter av formen 2+3=5 og 7−1=2·3 er også identiteter, siden disse likhetene er sanne. Det vil si 2+3≡5 og 7−1≡2·3.

La oss gå videre til eksempler på identiteter som inneholder ikke bare tall, men også variabler.

Tenk på likheten 3·(x+1)=3·x+3. For enhver verdi av variabelen x er den skrevne likheten sann på grunn av den distributive egenskapen til multiplikasjon i forhold til addisjon, derfor er den opprinnelige likheten et eksempel på en identitet. Her er et annet eksempel på en identitet: y·(x−1)≡(x−1)·x:x·y 2:y, her består området av tillatte verdier for variablene x og y av alle parene (x, y), der x og y er alle tall unntatt null.

Men likhetene x+1=x−1 og a+2·b=b+2·a er ikke identiteter, siden det er verdier av variablene som disse likhetene ikke vil være sanne for. For eksempel, når x=2, blir likheten x+1=x−1 til den feilaktige likheten 2+1=2−1. Dessuten oppnås ikke likheten x+1=x−1 i det hele tatt for noen verdier av variabelen x. Og likheten a+2·b=b+2·a vil bli til en feilaktig likhet hvis vi tar noen forskjellige betydninger variablene a og b. For eksempel, med a=0 og b=1 vil vi komme frem til den feilaktige likheten 0+2·1=1+2·0. Likhet |x|=x, hvor |x| - Variabel x er heller ikke en identitet, siden den ikke er sant for negative verdier av x.

Eksempler på de mest kjente identitetene er av formen sin 2 α+cos 2 α=1 og a log a b =b.

Avslutningsvis av denne artikkelen vil jeg bemerke at når vi studerer matematikk møter vi stadig identiteter. Registreringer av egenskaper til handlinger med tall er identiteter, for eksempel a+b=b+a, 1·a=a, 0·a=0 og a+(−a)=0. Det er også identitetene

Tallene og uttrykkene som utgjør det opprinnelige uttrykket kan erstattes med identiske like uttrykk. En slik transformasjon av det opprinnelige uttrykket fører til et uttrykk som er identisk likt med det.

For eksempel, i uttrykket 3+x, kan tallet 3 erstattes med summen 1+2, noe som vil resultere i uttrykket (1+2)+x, som er identisk lik det opprinnelige uttrykket. Et annet eksempel: i uttrykket 1+a 5 kan potensen a 5 erstattes med et identisk likt produkt, for eksempel av formen a·a 4. Dette vil gi oss uttrykket 1+a·a 4 .

Denne transformasjonen er utvilsomt kunstig, og er vanligvis en forberedelse til noen ytterligere transformasjoner. For eksempel, i summen 4 x 3 +2 x 2, under hensyntagen til gradens egenskaper, kan begrepet 4 x 3 representeres som et produkt 2 x 2 2 x. Etter denne transformasjonen vil det opprinnelige uttrykket ha formen 2 x 2 2 x+2 x 2. Tydeligvis har vilkårene i den resulterende summen en felles faktor på 2 x 2, så vi kan utføre følgende transformasjon - bracketing. Etter det kommer vi til uttrykket: 2 x 2 (2 x+1) .

Legge til og trekke fra samme tall

En annen kunstig transformasjon av et uttrykk er addisjon og samtidig subtraksjon av samme tall eller uttrykk. Denne transformasjonen er identisk fordi den i hovedsak tilsvarer å legge til null, og å legge til null endrer ikke verdien.

La oss se på et eksempel. La oss ta uttrykket x 2 +2·x. Hvis du legger til en til den og trekker fra en, vil dette tillate deg å utføre en annen identisk transformasjon i fremtiden - kvadrat binomialet: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.

Bibliografi.

Algebra: lærebok for 7. klasse allmennutdanning institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigert av S. A. Telyakovsky. - 17. utg. - M.: Utdanning, 2008. - 240 s. : jeg vil. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Algebra: lærebok for 8. klasse. allmennutdanning institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigert av S. A. Telyakovsky. - 16. utg. - M.: Utdanning, 2008. - 271 s. : jeg vil. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A.G. Algebra. 7. klasse. Kl. 14. Del 1. Lærebok for elever utdanningsinstitusjoner/ A. G. Mordkovich. - 17. utgave, legg til. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 s.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.

Etter at vi har behandlet begrepet identiteter, kan vi gå videre til å studere identiske like uttrykk. Hensikten med denne artikkelen er å forklare hva det er og vise med eksempler hvilke uttrykk som vil være identisk like med andre.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Identisk like uttrykk: definisjon

Begrepet identisk like uttrykk studeres vanligvis sammen med selve identitetsbegrepet innenfor rammen skolekurs algebra. Her er den grunnleggende definisjonen hentet fra en lærebok:

Definisjon 1

Identisk like hverandre vil det være slike uttrykk, hvis verdier vil være de samme for alle mulige verdier av variablene som er inkludert i deres sammensetning.

Også de numeriske uttrykkene som de samme verdiene vil tilsvare anses som identiske like.

Dette er en ganske bred definisjon som vil være sann for alle heltallsuttrykk hvis betydning ikke endres når verdiene til variablene endres. Imidlertid blir det senere nødvendig å avklare denne definisjonen, siden i tillegg til heltall, er det andre typer uttrykk som ikke vil gi mening med visse variabler. Dette gir opphav til begrepet tillatelighet og utillatelighet for visse variable verdier, samt behovet for å bestemme rekkevidden av tillatte verdier. La oss formulere en raffinert definisjon.

Definisjon 2

Identisk like uttrykk– dette er de uttrykkene hvis verdier er lik hverandre for eventuelle tillatte verdier av variablene som er inkludert i deres sammensetning. Numeriske uttrykk vil være identisk like med hverandre forutsatt at verdiene er de samme.

Uttrykket "for alle gyldige verdier av variablene" indikerer alle de verdiene til variablene som begge uttrykkene vil gi mening for. Vi vil forklare dette punktet senere når vi gir eksempler på identiske like uttrykk.

Du kan også gi følgende definisjon:

Definisjon 3

Identisk like uttrykk er uttrykk plassert i samme identitet på venstre og høyre side.

Eksempler på uttrykk som er identisk like med hverandre

Ved å bruke definisjonene gitt ovenfor, la oss se på noen få eksempler på slike uttrykk.

La oss starte med numeriske uttrykk.

Eksempel 1

Dermed vil 2 + 4 og 4 + 2 være identisk like med hverandre, siden resultatene deres vil være like (6 og 6).

Eksempel 2

På samme måte er uttrykkene 3 og 30 identisk like: 10, (2 2) 3 og 2 6 (for å beregne verdien av det siste uttrykket må du kjenne gradens egenskaper).

Eksempel 3

Men uttrykkene 4 - 2 og 9 - 1 vil ikke være like, siden verdiene deres er forskjellige.

La oss gå videre til eksempler på bokstavelige uttrykk. a + b og b + a vil være identisk like, og dette avhenger ikke av verdiene til variablene (likheten mellom uttrykk i dette tilfellet bestemmes av den kommutative egenskapen til addisjon).

Eksempel 4

For eksempel, hvis a er lik 4 og b er lik 5, vil resultatene fortsatt være de samme.

Et annet eksempel på identisk like uttrykk med bokstaver er 0 · x · y · z og 0 . Uansett verdiene til variablene i dette tilfellet, når de multipliseres med 0, vil de gi 0. De ulike uttrykkene er 6 · x og 8 · x, siden de ikke vil være like for noen x.

I tilfelle at arealene med tillatte verdier til variablene faller sammen, for eksempel i uttrykkene a + 6 og 6 + a eller a · b · 0 og 0, eller x 4 og x, og verdiene til selve uttrykkene er like for alle variabler, da anses slike uttrykk som identisk like. Så, a + 8 = 8 + a for en hvilken som helst verdi av a, og a · b · 0 = 0 også, siden multiplisering av et hvilket som helst tall med 0 resulterer i 0. Uttrykkene x 4 og x vil være identisk like for enhver x fra intervallet [ 0 , + ∞) .

Men rekkevidden av gyldige verdier i ett uttrykk kan være forskjellig fra området til et annet.

Eksempel 5

La oss for eksempel ta to uttrykk: x − 1 og x - 1 · x x. For den første av dem vil området av tillatte verdier av x være hele settet med reelle tall, og for det andre - settet med alle reelle tall, med unntak av null, for da får vi 0 i nevner, og en slik inndeling er ikke definert. Disse to uttrykkene har et felles verdiområde dannet av skjæringspunktet mellom to separate områder. Vi kan konkludere med at begge uttrykkene x - 1 · x x og x - 1 vil gi mening for alle reelle verdier av variablene, med unntak av 0.

Den grunnleggende egenskapen til brøken lar oss også konkludere med at x - 1 · x x og x − 1 vil være lik for enhver x som ikke er 0. Så på generelt område tillatte verdier, vil disse uttrykkene være identisk like med hverandre, og for enhver reell x er det umulig å snakke om identisk likhet.

Hvis vi erstatter ett uttrykk med et annet, som er identisk likt med det, så kalles denne prosessen en identitetstransformasjon. Dette konseptet er veldig viktig, og vi vil snakke om det i detalj i et eget materiale.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Identitetstransformasjoner representere arbeidet vi gjør med numeriske og bokstavelige uttrykk, samt uttrykk som inneholder variabler. Vi utfører alle disse transformasjonene for å bringe det originale uttrykket til en form som vil være praktisk for å løse problemet. Vi vil vurdere hovedtypene av identitetstransformasjoner i dette emnet.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Identisk transformasjon av et uttrykk. Hva det er?

Vi møtte først konseptet identisk transformert i algebratimer i 7. klasse. Det var da vi først ble kjent med begrepet identisk like uttrykk. La oss forstå begrepene og definisjonene for å gjøre emnet lettere å forstå.

Definisjon 1

Identisk uttrykkstransformasjon– dette er handlinger utført med sikte på å erstatte det opprinnelige uttrykket med et uttrykk som vil være identisk likt det opprinnelige.

Ofte brukes denne definisjonen i en forkortet form, der ordet "identisk" er utelatt. Det forutsettes at vi uansett transformerer uttrykket på en slik måte at vi får et uttrykk identisk med det opprinnelige, og dette trenger ikke å vektlegges separat.

La oss illustrere denne definisjonen eksempler.

Eksempel 1

Hvis vi erstatter uttrykket x + 3 − 2 til et identisk likt uttrykk x+1, så vil vi utføre en identisk transformasjon av uttrykket x + 3 − 2.

Eksempel 2

Bytte ut uttrykket 2 a 6 med uttrykket en 3 er en identitetstransformasjon, mens den erstatter uttrykket x til uttrykket x 2 er ikke en identitetstransformasjon, siden uttrykkene x Og x 2 er ikke identisk like.

Vi gjør deg oppmerksom på formen for skriveuttrykk når du utfører identiske transformasjoner. Vanligvis skriver vi originalen og det resulterende uttrykket som en likhet. Å skrive x + 1 + 2 = x + 3 betyr altså at uttrykket x + 1 + 2 er redusert til formen x + 3.

Påfølgende utførelse av handlinger fører oss til en kjede av likheter, som representerer flere identiske transformasjoner plassert på rad. Dermed forstår vi oppføringen x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x som den sekvensielle implementeringen av to transformasjoner: først ble uttrykket x + 1 + 2 brakt til formen x + 3, og det ble brakt til formen 3 + x.

Identiske transformasjoner og ODZ

En rekke uttrykk som vi begynner å studere i 8. klasse gir ikke mening for alle verdiene til variablene. Å utføre identiske transformasjoner i disse tilfellene krever at vi tar hensyn til rekkevidden av tillatte verdier av variabler (APV). Å utføre identiske transformasjoner kan la ODZ være uendret eller begrense den.

Eksempel 3

Når du utfører en overgang fra et uttrykk a + (− b) til uttrykket a−b rekkevidde av tillatte variabelverdier en Og b forblir det samme.

Eksempel 4

Flytte fra uttrykk x til uttrykk x 2 x fører til en innsnevring av rekkevidden av tillatte verdier for variabelen x fra settet med alle reelle tall til settet med alle reelle tall, som null er ekskludert fra.

Eksempel 5

Identisk uttrykkstransformasjon x 2 x uttrykk x fører til en utvidelse av rekkevidden av tillatte verdier for variabelen x fra settet med alle reelle tall unntatt null til settet med alle reelle tall.

Innsnevring eller utvidelse av utvalget av tillatte verdier av variabler når du utfører identitetstransformasjoner er viktig når du løser problemer, siden det kan påvirke nøyaktigheten av beregninger og føre til feil.

Grunnleggende identitetstransformasjoner

La oss nå se hva identitetstransformasjoner er og hvordan de utføres. La oss skille ut de typer identitetstransformasjoner som vi oftest arbeider med, til en gruppe grunnleggende.

I tillegg til er det en rekke transformasjoner som relaterer seg til uttrykk av en bestemt type. For brøker er dette teknikker for å redusere og bringe til en ny nevner. For uttrykk med røtter og krefter, alle handlinger som utføres basert på egenskapene til røtter og krefter. For logaritmiske uttrykk, handlinger som utføres basert på egenskapene til logaritmer. For trigonometriske uttrykk, alle operasjoner som bruker trigonometriske formler. Alle disse spesielle transformasjonene er diskutert i detalj i separate emner som kan finnes på ressursen vår. I denne forbindelse vil vi ikke dvele ved dem i denne artikkelen.

La oss gå videre til å vurdere de viktigste identitetstransformasjonene.

Omorganisering av vilkår og faktorer

La oss starte med å omorganisere vilkårene. Vi håndterer denne identiske transformasjonen oftest. Og hovedregelen her kan betraktes som følgende utsagn: i enhver sum, omorganisering av vilkårene påvirker ikke resultatet.

Denne regelen er basert på de kommutative og assosiative egenskapene til addisjon. Disse egenskapene lar oss omorganisere termer og få uttrykk som er identisk like med de opprinnelige. Derfor er det å omorganisere begrepene i summen en identitetstransformasjon.

Eksempel 6

Vi har summen av tre ledd 3 + 5 + 7. Hvis vi bytter ledd 3 og 5, vil uttrykket ha formen 5 + 3 + 7. Det er flere alternativer for å bytte vilkår i dette tilfellet. Alle av dem fører til uttrykk som er identiske med det opprinnelige.

Ikke bare tall, men også uttrykk kan fungere som ledd i summen. De kan, akkurat som tall, omorganiseres uten å påvirke det endelige resultatet av beregningene.

Eksempel 7

Summen av tre ledd 1 a + b, a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 og - 12 a av formen 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 + ( - 12 ) · a-ledd kan omorganiseres, for eksempel slik (- 12) · a + 1 a + b + a 2 + 2 · a + 5 + a 7 · a 3 . På sin side kan du omorganisere leddene i nevneren til brøken 1 a + b, og brøken vil ha formen 1 b + a. Og uttrykket under rottegnet a 2 + 2 a + 5 er også en sum som vilkårene kan byttes i.

Akkurat som termer kan du bytte faktorer i de opprinnelige uttrykkene og få identisk korrekte ligninger. Denne handlingen er styrt av følgende regel:

Definisjon 2

I et produkt påvirker ikke omorganiseringsfaktorer resultatet av beregninger.

Denne regelen er basert på de kommutative og kombinative egenskapene til multiplikasjon, som bekrefter riktigheten av den identiske transformasjonen.

Eksempel 8

Arbeid 3 5 7 ved å omorganisere faktorene kan representeres i en av følgende typer: 5 3 7, 5 7 3, 7 3 5, 7 5 3 eller 3 7 5.

Eksempel 9

Omorganisering av faktorene i produktet x + 1 x 2 - x + 1 x gir x 2 - x + 1 x x + 1

Utvidende parenteser

Parenteser kan inneholde numeriske og variable uttrykk. Disse uttrykkene kan transformeres til identisk like uttrykk, der det ikke vil være noen parentes i det hele tatt eller færre av dem enn i de opprinnelige uttrykkene. Denne metoden for å transformere uttrykk kalles utvidelse av parenteser.

Eksempel 10

La oss utføre operasjoner med parentes i et uttrykk for formen 3 + x − 1 x for å få det identiske korrekte uttrykket 3 + x − 1 x.

Uttrykket 3 x - 1 + - 1 + x 1 - x kan transformeres til det identiske like uttrykket uten parentes 3 x - 3 - 1 + x 1 - x.

Vi diskuterte i detalj reglene for å konvertere uttrykk med parenteser i emnet "Utvidende parentes", som er lagt ut på ressursen vår.

Gruppering av termer, faktorer

I tilfeller hvor vi har å gjøre med tre og stort beløp termer, kan vi ty til denne typen identitetstransformasjoner som gruppering av termer. Denne transformasjonsmetoden betyr å kombinere flere termer i en gruppe ved å omorganisere dem og sette dem i parentes.

Ved gruppering byttes termene slik at de grupperte termene ligger ved siden av hverandre i uttrykksposten. De kan da settes i parentes.

Eksempel 11

La oss ta uttrykket 5 + 7 + 1 . Hvis vi grupperer den første termen med den tredje, får vi (5 + 1) + 7 .

Grupperingen av faktorer utføres på samme måte som grupperingen av termer.

Eksempel 12

I arbeidet 2 3 4 5 vi kan gruppere den første faktoren med den tredje, og den andre med den fjerde, og vi kommer til uttrykket (2 4) (3 5). Og hvis vi grupperte den første, andre og fjerde faktoren, ville vi fått uttrykket (2 3 5) 4.

Termene og faktorene som er gruppert kan representeres som primtall, og uttrykk. Grupperingsregler ble diskutert i detalj i emnet "Gruppering av tillegg og faktorer."

Bytte ut forskjeller med summer, delprodukter og omvendt

Å erstatte forskjeller med summer ble mulig takket være vår kjennskap til motsatte tall. Trekker nå fra et tall en tall b kan betraktes som et tillegg til et tall en tall − b. Likestilling a − b = a + (− b) kan anses som rettferdig og på grunnlag av dette erstatte forskjeller med summer.

Eksempel 13

La oss ta uttrykket 4 + 3 − 2 , der forskjellen av tall 3 − 2 vi kan skrive det som summen 3 + (− 2) . Vi får 4 + 3 + (− 2) .

Eksempel 14

Alle forskjeller i uttrykk 5 + 2 x − x 2 − 3 x 3 − 0 , 2 kan erstattes av summer som 5 + 2 x + (− x 2) + (− 3 x 3) + (− 0, 2).

Vi kan gå videre til summer fra eventuelle forskjeller. Vi kan gjøre omvendt erstatning på samme måte.

Å erstatte divisjon med multiplikasjon med den resiproke av divisoren blir mulig takket være konseptet med resiproke tall. Denne transformasjonen kan skrives som a: b = a (b − 1).

Denne regelen var grunnlaget for regelen for deling av vanlige brøker.

Eksempel 15

Privat 1 2: 3 5 kan erstattes av et produkt av skjemaet 1 2 5 3.

På samme måte, analogt, kan divisjon erstattes med multiplikasjon.

Eksempel 16

Når det gjelder uttrykket 1 + 5: x: (x + 3) erstatte divisjon med x kan multipliseres med 1 x. Divisjon etter x+3 vi kan erstatte ved å multiplisere med 1 x + 3. Transformasjonen lar oss få et uttrykk som er identisk med originalen: 1 + 5 · 1 x · 1 x + 3.

Å erstatte multiplikasjon med divisjon utføres i henhold til skjemaet a · b = a: (b − 1).

Eksempel 17

I uttrykket 5 x x 2 + 1 - 3 kan multiplikasjon erstattes med divisjon som 5: x 2 + 1 x - 3.

Å gjøre ting med tall

Å utføre operasjoner med tall er underlagt regelen for rekkefølgen handlingene utføres i. Først utføres operasjoner med potenser av tall og tallrøtter. Etter det erstatter vi logaritmer, trigonometriske og andre funksjoner med deres verdier. Deretter utføres handlingene i parentes. Og så kan du utføre alle andre handlinger fra venstre til høyre. Det er viktig å huske at multiplikasjon og divisjon kommer før addisjon og subtraksjon.

Operasjoner med tall lar deg transformere det opprinnelige uttrykket til et identisk lik det.

Eksempel 18

La oss transformere uttrykket 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x , og fullføre alle mulige handlinger med tall.

Løsning

Først av alt, la oss ta hensyn til graden 2 3 og rot 4 og beregn verdiene deres: 2 3 = 8 og 4 = 2 2 = 2.

La oss erstatte de oppnådde verdiene i det opprinnelige uttrykket og få: 3 · (8 - 1) · a + 2 · (x 2 + 5 · x) .

La oss nå gjøre trinnene i parentes: 8 − 1 = 7 . Og la oss gå videre til uttrykket 3 · 7 · a + 2 · (x 2 + 5 · x) .

Alt vi trenger å gjøre er å multiplisere tall 3 Og 7 . Vi får: 21 · a + 2 · (x 2 + 5 · x) .

Svar: 3 2 3 - 1 a + 4 x 2 + 5 x = 21 a + 2 (x 2 + 5 x)

Operasjoner med tall kan innledes med andre typer identitetstransformasjoner, for eksempel gruppering av tall eller åpningsparenteser.

Eksempel 19

La oss ta uttrykket 3 + 2 (6:3) x (y 3 4) − 2 + 11.

Løsning

Først og fremst vil vi erstatte kvotienten i parentes 6: 3 på dens betydning 2 . Vi får: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11.

La oss utvide parentesene: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 = 3 + 2 2 x y 3 4 − 2 + 11.

La oss gruppere de numeriske faktorene i produktet, samt termene som er tall: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3.

La oss gjøre trinnene i parentes: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 = 12 + 16 x y 3

Svar:3 + 2 (6:3) x (y 3 4) − 2 + 11 = 12 + 16 x y 3

Hvis vi jobber med numeriske uttrykk, så vil målet med vårt arbeid være å finne verdien av uttrykket. Hvis vi transformerer uttrykk med variabler, vil målet med handlingene våre være å forenkle uttrykket.

Inneholder den felles faktoren

I tilfeller der begrepene i uttrykket har samme faktor, kan vi ta denne fellesfaktoren ut av parentes. For å gjøre dette må vi først representere det opprinnelige uttrykket som produktet av en felles faktor og et uttrykk i parentes, som består av de opprinnelige termene uten en felles faktor.

Eksempel 20

Tallmessig 2 7 + 2 3 vi kan ta ut fellesfaktoren 2 utenfor parentes og få et identisk riktig uttrykk for formen 2 (7 + 3).

Du kan friske opp minnet om reglene for å sette fellesfaktoren utenfor parentes i den tilsvarende delen av ressursen vår. Materialet diskuterer i detalj reglene for å ta fellesfaktoren ut av parentes og gir en rekke eksempler.

Redusere lignende termer

La oss nå gå videre til summer som inneholder lignende termer. Det er to alternativer her: summer som inneholder identiske termer, og summer hvis termer avviker med en numerisk koeffisient. Operasjoner med summer som inneholder lignende termer kalles reduksjon av lignende termer. Det utføres som følger: vi tar den vanlige bokstavdelen ut av parentes og beregner summen av de numeriske koeffisientene i parentes.

Eksempel 21

Tenk på uttrykket 1 + 4 x − 2 x. Vi kan ta den bokstavelige delen x ut av parentes og få uttrykket 1 + x (4 − 2). La oss beregne verdien av uttrykket i parentes og få en sum av formen 1 + x · 2.

Bytte ut tall og uttrykk med identiske like uttrykk

Eksempel 22 Eksempel 23

Tenk på uttrykket 1 + en 5, der vi kan erstatte graden a 5 med et produkt som er identisk med det, for eksempel av formen a · a 4. Dette vil gi oss uttrykket 1 + a · a 4.

Transformasjonen som utføres er kunstig. Det gir bare mening som forberedelse til andre endringer.

Eksempel 24

Vurder transformasjonen av summen 4 x 3 + 2 x 2. Her er begrepet 4 x 3 vi kan forestille oss som et verk 2 x 2 2 x. Som et resultat tar det opprinnelige uttrykket formen 2 x 2 2 x + 2 x 2. Nå kan vi isolere den felles faktoren 2 x 2 og sett den utenfor parentes: 2 x 2 (2 x + 1).

Legge til og trekke fra samme tall

Å legge til og trekke fra samme tall eller uttrykk samtidig er en kunstig teknikk for å transformere uttrykk.

Eksempel 25

Tenk på uttrykket x 2 + 2 x. Vi kan legge til eller trekke en fra den, noe som vil tillate oss å utføre en annen identisk transformasjon - for å isolere kvadratet til binomialet: x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1 − 1 = (x + 1) 2 − 1.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter