Praktyczna praca na temat odwrotnych funkcji trygonometrycznych. „odwrotne funkcje trygonometryczne” – dokument

Cel:

Zadanie: Utwórz test „Odwrotne funkcje trygonometryczne”

Zasoby internetowe

Termin dostawy - zgodnie ze specyfikacją techniczną

Praca samodzielna nr 14 (2 godz.)

Na temat: „Rozciąganie i ściskanie wzdłuż osi współrzędnych”

Cel: usystematyzowanie i utrwalenie zdobytej wiedzy teoretycznej i umiejętności praktycznych studentów;

Zadanie: Streszczenie na temat: „Wydłużanie i ściskanie wzdłuż osi współrzędnych”

Literatura: A.G. Mordkovich „Algebra i początki analizy matematycznej” 10. klasa

Zasoby internetowe

Termin dostawy - zgodnie ze specyfikacją techniczną

Praca samodzielna nr 15 (1 godz.)

Na temat: „Rozciąganie i ściskanie wzdłuż osi współrzędnych”

Cel: kształtowanie samodzielnego myślenia, zdolności do samorozwoju, samodoskonalenia i samorealizacji

Zadanie: prezentacja: „Rozciąganie i ściskanie wzdłuż osi współrzędnych”

Literatura: A.G. Mordkovich „Algebra i początki analizy matematycznej” 10. klasa

Zasoby internetowe

Termin dostawy - zgodnie ze specyfikacją techniczną

Praca samodzielna nr 16 (2 godz.)

Na temat: „Odwrotne funkcje trygonometryczne, ich właściwości i wykresy”

Cel: usystematyzowanie i utrwalenie zdobytej wiedzy teoretycznej i umiejętności praktycznych studentów

Formularz wykonania zadania: prace badawcze.

Literatura: A.G. Mordkovich „Algebra i początki analizy matematycznej” 10. klasa

Zasoby internetowe

Termin dostawy - zgodnie ze specyfikacją techniczną

Praca samodzielna nr 18 (6 godz.)

Na temat: „Formuły półargumentowe”

Cel: pogłębianie i poszerzanie wiedzy teoretycznej

Zadanie: Napisz wiadomość na temat „Formuły połowy argumentu”. Utwórz tabelę referencyjną dla wzorów trygonometrycznych

Literatura: A.G. Mordkovich „Algebra i początki analizy matematycznej” 10. klasa

Zasoby internetowe

Termin dostawy - zgodnie ze specyfikacją techniczną

Strona tytułowa.

Plan pracy sporządzany jest z tytułem „Spis treści”; lokalizacja - w centrum.

Wykaz źródeł bibliograficznych prezentowany jest w rubryce „Literatura”. Spis literatury musi zawierać wszystkie wykorzystane źródła: informacje o książkach (monografie, podręczniki, podręczniki, informatory itp.) muszą zawierać: nazwisko i inicjały autora, tytuł książki, miejsce wydania, wydawcę, rok wydania. Jeżeli autorów jest trzech lub więcej, dopuszcza się oznaczenie nazwiska i inicjałów tylko pierwszego z nich z dodatkiem „itd”. W mianowniku należy podać pełną nazwę miejsca wydania: dopuszczalne są skróty nazw tylko dwóch miast: Moskwy (M.) i Petersburga (SPb.). Cytowane źródła bibliograficzne należy posortować alfabetycznie, rosnąco. Lista musi składać się z co najmniej trzech źródeł.

Każda nowa część dzieła, nowy rozdział, nowy akapit rozpoczyna się na kolejnej stronie.

Wniosek sporządzany jest na osobnych arkuszach, każdy wniosek posiada sygnaturę oraz nagłówek tematyczny. W prawym górnym rogu umieszczono napis „Załącznik” 1 (2.3...). Tytuł aplikacji jest sformatowany jako tytuł akapitu.

Objętość pracy to co najmniej 10 arkuszy stron wydrukowanych na komputerze (maszyna do pisania); Spis treści, bibliografia i załączniki nie są ujęte w podanej liczbie stron.

Tekst rękopisu napisano czcionką nr 14, z odstępem 1,5.

Marginesy: lewy - 3 cm, prawy - 1 cm, górny i dolny - 2 cm.

Linia czerwona - 1,5 cm Odstęp akapitowy - 1,8.

Po cytacie w tekście pracy stosuje się następujące znaki: „...”, gdzie numer źródła bibliograficznego pobierany jest z wykazu piśmiennictwa.

Odwołanie do tekstu wniosku ma następującą formę: (patrz dodatek 1).

Projektowanie diagramów, tabel i wzorów algorytmów. Ilustracje (wykresy, schematy, diagramy) mogą znajdować się w tekście głównym streszczenia oraz w załącznikach. Wszystkie ilustracje nazywane są rysunkami. Wszystkie ryciny, tabele i wzory są ponumerowane cyframi arabskimi i mają ciągłą numerację w obrębie aplikacji. Każdy rysunek musi być opatrzony podpisem. Na przykład:

Ryc. 12. Forma głównego okna aplikacji.

Wszystkie rysunki, tabele i wzory w pracy muszą mieć odnośniki w postaci: „formę głównego okna aplikacji pokazano na ryc. 12.”

Ryciny i tabele należy umieścić bezpośrednio po stronie, na której jest mowa o nich po raz pierwszy w tekście notatki. Jeśli pozwala na to miejsce, rysunek (tabelę) można umieścić w tekście na tej samej stronie, na której znajduje się pierwszy link do niego.

Jeżeli rysunek zajmuje więcej niż jedną stronę, wszystkie strony z wyjątkiem pierwszej są oznaczone numerem rysunku i napisem „Ciąg dalszy”. Na przykład:

Ryż. 12. Ciąg dalszy

Rysunki należy umieścić w taki sposób, aby można je było oglądać bez obracania notatki. Jeżeli takie umiejscowienie nie jest możliwe, rysunki należy tak ułożyć, aby je obejrzeć trzeba było obrócić pracę w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara.

Diagramy algorytmów należy wykonać zgodnie ze standardem ESPD. Grubość linii ciągłej przy rysowaniu diagramów algorytmów powinna mieścić się w przedziale od 0,6 do 1,5 mm. Napisy na schematach należy wykonać czcionką rysunkową. Wysokość liter i cyfr musi wynosić co najmniej 3,5 mm.

Numer stołu umieszcza się w prawym górnym rogu nad tytułem stołu, jeśli taki istnieje. Tytuł, z wyjątkiem pierwszej litery, jest pisany małymi literami. W skrótach używa się wyłącznie wielkich liter. Na przykład: komputer.

Numer wzoru umieszczany jest po prawej stronie strony w nawiasach na poziomie formuły. Na przykład: z:=sin(x)+cos(y); (12).

Na przykład: wartości oblicza się za pomocą wzoru (12).

Ponumeruj strony dzieła zgodnie z wersją książkową: numeracją drukowaną, w prawym dolnym rogu strony, zaczynając od tekstu „Wprowadzenia” (s. 3). Praca numerowana jest sekwencyjnie, aż do ostatniej strony.

Zapisano słowo „rozdział”, rozdziały ponumerowano cyframi rzymskimi, akapity ponumerowano po arabsku, znak; nie napisane; część pracy „Wprowadzenie”. „Wnioski” i „Literatura” nie są numerowane.

Tytuły rozdziałów i akapitów zapisano czerwoną linią.

Nagłówki „Wprowadzenie”, „Zakończenie”, „Literatura” wpisuje się pośrodku, u góry arkusza, bez cudzysłowu i bez kropki.

Objętość wstępu i zakończenia pracy wynosi 1,5-2 strony tekstu drukowanego.

Pracę należy zszyć.

W pracy zastosowano trzy rodzaje czcionek: 1 - do wyróżnienia tytułów rozdziałów, nagłówków „Spis treści”, „Literatura”, „Wprowadzenie”, „Zakończenie”; 2 - aby wyróżnić tytuły akapitów; 3 - dla tekstu

Wymagania dotyczące prezentacji

Pierwszy slajd zawiera:

ü tytuł prezentacji;

Drugi slajd wskazuje treść pracy, którą najlepiej przedstawić w formie hiperłączy (dla interaktywności prezentacji).

Na ostatnim slajdzie znajduje się spis literatury wykorzystanej zgodnie z wymaganiami, na końcu znajdują się zasoby internetowe.

8 Nie należy nadużywać wielkich liter (są mniej czytelne niż małe).

Sposoby wyróżniania informacji

Powinieneś użyć: 8 ramek, obramowań, cieniowania 8 różnych kolorów czcionek, cieniowania, strzałek 8 obrazków, diagramów, wykresów ilustrujących najważniejsze fakty

Objętość informacji

8, nie powinieneś wypełniać jednego slajdu zbyt dużą ilością informacji: ludzie mogą zapamiętać nie więcej niż trzy fakty, wnioski i definicje na raz.

8, największą skuteczność osiąga się, gdy kluczowe punkty są odzwierciedlane pojedynczo na każdym slajdzie.

Rodzaje slajdów

Aby zapewnić różnorodność, należy stosować różne rodzaje slajdów: z tekstem, z tabelami, ze schematami.

W trakcie pracy studenci:

Przeglądaj i przestudiuj niezbędny materiał, zarówno na wykładach, jak i w dodatkowych źródłach informacji;

Stwórz listę słów oddzielnie według kierunku;

Ułóż pytania do wybranych słów;

Sprawdź pisownię tekstu i zgodność z numeracją;

Utwórz gotową krzyżówkę.

Ogólne wymagania dotyczące układania krzyżówek:

Niedozwolona jest obecność „spacji” (niewypełnionych komórek) w siatce krzyżówki;

Losowe kombinacje i przecięcia liter są niedozwolone;

Ukryte słowa muszą być rzeczownikami w mianowniku liczby pojedynczej;

Słowa dwuliterowe muszą mieć dwa przecięcia;

Odpowiedzi publikowane są osobno. Odpowiedzi mają na celu sprawdzenie poprawności rozwiązania krzyżówki i dają możliwość zapoznania się z poprawnymi odpowiedziami na nierozwiązane pozycje warunków, co pomaga rozwiązać jedno z głównych zadań rozwiązywania krzyżówek - zwiększenie erudycji i zwiększenie słownictwa.

Kryteria oceny ukończonych krzyżówek:

1. Przejrzystość prezentacji materiału, kompletność tematu badawczego;

2. Oryginalność krzyżówki;

3. Praktyczne znaczenie pracy;

4. Poziom stylistycznego przedstawienia materiału, brak błędów stylistycznych;

5. Poziom projektu pracy, obecność lub brak błędów gramatycznych i interpunkcyjnych;

6. Liczba pytań w krzyżówce, ich poprawna prezentacja.

Aby zajęcia praktyczne przyniosły maksymalne korzyści, należy pamiętać, że ćwiczenie i rozwiązywanie problemów sytuacyjnych odbywa się na podstawie materiału czytanego na wykładach i zwykle wiąże się ze szczegółową analizą poszczególnych zagadnień z toku wykładu. Należy podkreślić, że dopiero po opanowaniu materiału wykładowego z określonego punktu widzenia (tj. z tego, z jakiego jest on prezentowany na wykładach) zostanie on ugruntowany na zajęciach praktycznych, zarówno w wyniku dyskusji, jak i analizy materiału wykładowego oraz rozwiązując problemy sytuacyjne. W tych warunkach student nie tylko dobrze opanuje materiał, ale także nauczy się go stosować w praktyce, a także otrzyma dodatkową motywację (a to bardzo ważne) do aktywnego studiowania wykładu.

Przy samodzielnym rozwiązywaniu postawionych problemów należy uzasadnić każdy etap działania w oparciu o teoretyczne założenia kursu. Jeżeli uczeń widzi kilka sposobów rozwiązania problemu (zadania), to musi je porównać i wybrać najbardziej racjonalny. Przed przystąpieniem do rozwiązywania problemów przydatne jest sporządzenie krótkiego planu rozwiązania problemu (zadania). Rozwiązanie problematycznych problemów lub przykładów powinno być szczegółowo przedstawione, opatrzone komentarzami, schematami, rysunkami i rysunkami oraz instrukcją wykonania.

Należy pamiętać, że rozwiązanie każdego problemu edukacyjnego powinno doprowadzić do ostatecznej logicznej odpowiedzi wymaganej przez warunek i, jeśli to możliwe, wraz z wnioskiem. Uzyskany wynik należy zweryfikować w sposób wynikający z istoty postawionego zadania.

· Główne warunki zadania testowego muszą być jasno i wyraźnie określone.

· Zadania testowe muszą być poprawne pragmatycznie i mieć na celu ocenę poziomu osiągnięć edukacyjnych uczniów w konkretnym obszarze wiedzy.

· Zadania testowe powinny być formułowane w formie skróconych krótkich ocen.

· Należy unikać elementów testowych, które wymagają od osoby badanej wyciągnięcia szczegółowych wniosków na temat wymagań związanych z elementami testowymi.

· Konstruując sytuacje testowe można zastosować różne formy ich prezentacji oraz elementy graficzne i multimedialne, aby w sposób racjonalny przedstawić treść materiału edukacyjnego.

Liczba słów w zadaniu testowym nie powinna przekraczać 10-12, chyba że zakłóca to strukturę pojęciową sytuacji testowej. Najważniejsze jest jasne i jednoznaczne odzwierciedlenie treści fragmentu tematu.

Średni czas, jaki student spędza na zadaniu testowym nie powinien przekraczać 1,5 minuty.

Lekcje 32-33. Odwrotne funkcje trygonometryczne

Cel: rozważyć odwrotne funkcje trygonometryczne i ich zastosowanie do zapisywania rozwiązań równań trygonometrycznych.

I. Przekazywanie tematu i celu zajęć

II. Nauka nowego materiału

1. Odwrotne funkcje trygonometryczne

Rozpocznijmy dyskusję na ten temat od następującego przykładu.

Przykład 1

Rozwiążmy równanie: a) grzech x = 1/2; b) grzech x = a.

a) Na osi rzędnych nanosimy wartość 1/2 i konstruujemy kąty x 1 i x2, dla których grzech x = 1/2. W tym przypadku x1 + x2 = π, skąd x2 = π – x 1 . Korzystając z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych, znajdujemy wówczas wartość x1 = π/6Weźmy pod uwagę okresowość funkcji sinus i zapiszmy rozwiązania tego równania:gdzie k ∈ Z.

b) Oczywiście algorytm rozwiązania równania grzech x = a jest takie samo jak w poprzednim akapicie. Oczywiście teraz wartość a jest wykreślana wzdłuż osi rzędnych. Trzeba jakoś wyznaczyć kąt x1. Uzgodniliśmy, że kąt ten będziemy oznaczać symbolem arcsin A. Następnie rozwiązania tego równania można zapisać w postaciTe dwie formuły można połączyć w jedną: naraz

Pozostałe odwrotne funkcje trygonometryczne wprowadza się w podobny sposób.

Bardzo często konieczne jest określenie wielkości kąta na podstawie znanej wartości jego funkcji trygonometrycznej. Taki problem jest wielowartościowy - istnieje niezliczona ilość kątów, których funkcje trygonometryczne mają tę samą wartość. Dlatego w oparciu o monotoniczność funkcji trygonometrycznych wprowadza się następujące odwrotne funkcje trygonometryczne w celu jednoznacznego określenia kątów.

Arcsine liczby a (arcsin , którego sinus jest równy a, tj.

Cosinus liczby a(arcos a) jest kątem a z przedziału, którego cosinus jest równy a, tj.

Arcus tangens liczby a(arctg a) - taki kąt a z przedziałuktórego tangens jest równy a, tj.tg a = a.

Arccotangens liczby a(arcctg a) jest kątem a z przedziału (0; π), którego cotangens jest równy a, tj. ctg a = a.

Przykład 2

Znajdźmy:

Biorąc pod uwagę definicje odwrotnych funkcji trygonometrycznych, otrzymujemy:

Przykład 3

Obliczmy

Niech kąt a = arcsin 3/5, czyli z definicji grzech a = 3/5 i . Dlatego musimy znaleźć sałata A. Korzystając z podstawowej tożsamości trygonometrycznej, otrzymujemy:Uwzględnia się, że cos a ≥ 0. Zatem

Podajmy szereg bardziej typowych przykładów związanych z definicjami i podstawowymi własnościami odwrotnych funkcji trygonometrycznych.

Przykład 4

Znajdźmy dziedzinę definicji funkcji

Aby funkcja y została zdefiniowana konieczne jest spełnienie nierównościco jest równoważne systemowi nierównościRozwiązaniem pierwszej nierówności jest przedział x∈ (-∞; +∞), drugi - Ten interwał i jest rozwiązaniem układu nierówności, a zatem dziedziną definicji funkcji

Przykład 5

Znajdźmy obszar zmiany funkcji

Rozważmy zachowanie funkcji z = 2x - x2 (patrz rysunek).

Jasne jest, że z ∈ (-∞; 1). Biorąc pod uwagę, że argument z funkcja arc cotangens zmienia się w określonych granicach, z danych tabelarycznych wynika, żeZatem obszar zmian

Przykład 6

Udowodnimy, że funkcja y = arctg x dziwne. PozwalaćNastępnie tg a = -x lub x = - tg a = tg (- a), i Dlatego - a = arctg x lub a = - arctg X. Zatem to widzimytj. y(x) jest funkcją nieparzystą.

Przykład 7

Wyraźmy poprzez wszystkie odwrotne funkcje trygonometryczne

Pozwalać To oczywiste Potem od

Przedstawmy kąt Ponieważ To

Podobnie zatem I

Więc,

Przykład 8

Zbudujmy wykres funkcji y = cos(arcsin x).

Oznaczmy zatem a = arcsin x Weźmy pod uwagę, że x = sin a i y = cos a, czyli x 2 + y2 = 1 i ograniczenia dotyczące x (x∈ [-1; 1]) i y (y ≥ 0). Następnie wykres funkcji y = cos(arcsin x) jest półkolem.

Przykład 9

Zbudujmy wykres funkcji y = arccos (cosx).

Ponieważ funkcja cos x zmiany w przedziale [-1; 1], wówczas funkcja y jest zdefiniowana na całej osi liczbowej i zmienia się na odcinku . Pamiętajmy, że y = arccos(cosx) = x w segmencie; funkcja y jest parzysta i okresowa z okresem 2π. Biorąc pod uwagę, że funkcja ma te właściwości bo x Teraz łatwo jest utworzyć wykres.

Zwróćmy uwagę na kilka przydatnych równości:

Przykład 10

Znajdźmy najmniejszą i największą wartość funkcji Oznaczmy Następnie Zdobądźmy funkcję Funkcja ta ma minimum w punkcie z = π/4 i jest równe Największą wartość funkcji osiąga się w punkcie z = -π/2 i jest równe Zatem i

Przykład 11

Rozwiążmy równanie

Weźmy to pod uwagę Wtedy równanie wygląda następująco:Lub Gdzie Z definicji arcustangens otrzymujemy:

2. Rozwiązywanie prostych równań trygonometrycznych

Podobnie jak w przykładzie 1, możesz otrzymać rozwiązania najprostszych równań trygonometrycznych.

Przykład 12

Rozwiążmy równanie

Ponieważ funkcja sinus jest nieparzysta, zapisujemy równanie w postaciRozwiązania tego równania:skąd to znajdziemy?

Przykład 13

Rozwiążmy równanie

Korzystając z podanego wzoru zapisujemy rozwiązania równania:i znajdziemy

Należy pamiętać, że w szczególnych przypadkach (a = 0; ±1) przy rozwiązywaniu równań sin x = a i cos x = i łatwiej i wygodniej jest używać nie ogólnych wzorów, ale zapisywać rozwiązania na podstawie okręgu jednostkowego:

dla równania sin x = 1 rozwiązanie

dla równania sin x = 0 rozwiązań x = π k;

dla równania sin x = -1 rozwiązanie

dla równania cos x = 1 rozwiązanie x = 2π k ;

dla równania cos x = 0 rozwiązanie

dla równania cos x = -1 rozwiązanie

Przykład 14

Rozwiążmy równanie

Ponieważ w tym przykładzie mamy do czynienia ze szczególnym przypadkiem równania, rozwiązanie zapiszemy stosując odpowiedni wzór:skąd możemy to znaleźć?

III. Pytania kontrolne (ankieta frontalna)

1. Zdefiniować i wymienić główne własności odwrotnych funkcji trygonometrycznych.

2. Podaj wykresy odwrotnych funkcji trygonometrycznych.

3. Rozwiązywanie prostych równań trygonometrycznych.

IV. Zadanie lekcji

§ 15, nr 3 (a, b); 4 (c, d); 7 lit. a); 8 lit. a); 12 lit. b); 13 lit. a); 15 lit. c); 16 lit. a); 18 (a, b); 19 lit. c); 21;

§ 16, nr 4 (a, b); 7 lit. a); 8 lit. b); 16 (a, b); 18 lit. a); 19 (c, d);

§ 17, nr 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 7 (c, d); 9 lit. b); 10 (a, c).

V. Praca domowa

§ 15, nr 3 (c, d); 4 (a, b); 7 lit. c); 8 lit. b); 12 lit. a); 13(b); 15 (g); 16 lit. b); 18 (c, d); 19 (g); 22;

§ 16, nr 4 (c, d); 7 lit. b); 8 lit. a); 16 (c, d); 18 lit. b); 19 (a, b);

§ 17, nr 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 7 (a, b); 9 lit. d); 10 (b, d).

VI. Zadania kreatywne

1. Znajdź dziedzinę funkcji:

Odpowiedzi:

2. Znajdź zakres funkcji:

Odpowiedzi:

3. Narysuj wykres funkcji:

VII. Podsumowanie zajęć

Federalna Agencja Edukacji Federacji Rosyjskiej

Państwowa Instytucja Edukacyjna Wyższego Kształcenia Zawodowego „Mari State University”

Katedra Matematyki i MPM

Zajęcia

Odwrotne funkcje trygonometryczne

Zakończony:

student

33 grupy JNF

Jaszmetowa L. N.

Opiekun naukowy:

Doktorat profesor nadzwyczajny

Borodina M.V.

Yoshkar-Ola

Wprowadzenie…………………………………………………………………………………...3

Rozdział I. Definicja odwrotnych funkcji trygonometrycznych.

1.1. Funkcjonować y =arcsin X……………………………………………………........4

1.2. Funkcjonować y =Arcos X…………………………………………………….......5

1.3. Funkcjonować y =arctg X………………………………………………………….6

1.4. Funkcjonować y =arcctg X…………………………………………………….......7

Rozdział II. Rozwiązywanie równań z odwrotnymi funkcjami trygonometrycznymi.

Podstawowe zależności odwrotnych funkcji trygonometrycznych....8

Rozwiązywanie równań zawierających odwrotne funkcje trygonometryczne……………………………………………………………………………..11

Obliczanie wartości odwrotnych funkcji trygonometrycznych...........21

Zakończenie………………………………………………………………………………….25

Lista referencji……………………………………………………………...26

Wstęp

W wielu problemach istnieje potrzeba znalezienia nie tylko wartości funkcji trygonometrycznych z danego kąta, ale także odwrotnie, kąta lub łuku z danej wartości jakiejś funkcji trygonometrycznej.

Zadania z odwrotnymi funkcjami trygonometrycznymi zawarte są w zadaniach USE (szczególnie wiele w częściach B i C). Na przykład w części B egzaminu Unified State Exam wymagane było użycie wartości sinusa (cosinusa) w celu znalezienia odpowiedniej wartości tangensa lub obliczenia wartości wyrażenia zawierającego tabelaryczne wartości odwrotnych funkcji trygonometrycznych. Jeśli chodzi o tego typu zadania, zauważamy, że takie zadania w podręcznikach szkolnych nie wystarczą, aby rozwinąć silne umiejętności w ich realizacji.

To. Celem zajęć jest zapoznanie się z odwrotnymi funkcjami trygonometrycznymi i ich własnościami oraz nauczenie się rozwiązywania problemów z odwrotnymi funkcjami trygonometrycznymi.

Aby osiągnąć cel, będziemy musieli rozwiązać następujące zadania:

przestudiować podstawy teoretyczne odwrotnych funkcji trygonometrycznych,

Pokaż zastosowanie wiedzy teoretycznej w praktyce.

RozdziałI. Definicja odwrotnych funkcji trygonometrycznych

1.1. Funkcja y =arcsinX

Rozważ funkcję,
. (1)

W tym przedziale funkcja jest monotoniczna (wzrasta od -1 do 1), dlatego istnieje funkcja odwrotna

,
. (2)

Każda podana wartość Na(wartość sinusoidalna) z przedziału [-1,1] odpowiada jednej dobrze określonej wartości X(wielkość łuku) z przedziału
. Przechodząc do ogólnie przyjętej notacji, otrzymujemy

Gdzie
. (3)

Jest to analityczna specyfikacja funkcji odwrotnej do funkcji (1). Wywoływana jest funkcja (3). arcsinus argument . Wykres tej funkcji jest krzywą symetryczną do wykresu funkcji, gdzie , względem dwusiecznej kątów współrzędnych I i III.

Przedstawmy własności funkcji, gdzie .

Właściwość 1. Obszar zmiany wartości funkcji: .

Własność 2. Funkcja jest nieparzysta, tj.

Własność 3. Funkcja, gdzie , ma pojedynczy pierwiastek
.

Właściwość 4. Jeśli więc
; Jeśli , To.

Własność 5. Funkcja jest monotoniczna: wraz ze wzrostem argumentu od -1 do 1 wartość funkcji wzrasta od
Do
.

1.2. Funkcjonowaćy = arZsałataX

Rozważ funkcję
, . (4)

W tym przedziale funkcja jest monotoniczna (maleje od +1 do -1), co oznacza, że ​​istnieje dla niej funkcja odwrotna

, , (5)

te. każdą wartość (wartości cosinus) z przedziału [-1,1] odpowiada jednej dobrze określonej wartości (wartości łuku) z przedziału . Przechodząc do ogólnie przyjętej notacji, otrzymujemy

, . (6)

Jest to analityczna specyfikacja funkcji odwrotnej do funkcji (4). Wywoływana jest funkcja (6). cosinus łukowy argument X. Wykres tej funkcji można zbudować w oparciu o własności wykresów funkcji wzajemnie odwrotnych.

Funkcja , gdzie , ma następujące właściwości.

Właściwość 1. Obszar zmiany wartości funkcji:
.

Własność 2. Wielkie ilości
I
powiązane relacją

Własność 3. Funkcja ma pojedynczy pierwiastek
.

Właściwość 4. Funkcja nie przyjmuje wartości ujemnych.

Własność 5. Funkcja jest monotoniczna: wraz ze wzrostem argumentu od -1 do +1 wartości funkcji maleją od do 0.

1.3. Funkcjonowaćy = arctgx

Rozważ funkcję
,
. (7)

Należy pamiętać, że funkcja ta jest zdefiniowana dla wszystkich wartości mieszczących się ściśle w przedziale od do ; na końcach tego przedziału nie istnieje, ponieważ wartości

- styczne punkty przerwania.

pomiędzy
funkcja jest monotoniczna (rosnie od -
Do
), zatem dla funkcji (1) istnieje funkcja odwrotna:

,
, (8)

te. każda podana wartość (wartość styczna) z przedziału
odpowiada jednej bardzo konkretnej wartości (rozmiarowi łuku) z przedziału .

Przechodząc do ogólnie przyjętej notacji, otrzymujemy

,
. (9)

To jest analityczna specyfikacja funkcji odwrotnej (7). Wywoływana jest funkcja (9). arcus tangens argument X. Zwróć uwagę, kiedy
wartość funkcji
i kiedy

, tj. wykres funkcji ma dwie asymptoty:
I.

Funkcja , ma następujące właściwości.

Właściwość 1. Zakres zmiany wartości funkcji
.

Własność 2. Funkcja jest nieparzysta, tj. .

Własność 3. Funkcja ma pojedynczy pierwiastek.

Właściwość 4. Jeśli
, To

; Jeśli , To
.

Własność 5. Funkcja jest monotoniczna: wraz ze wzrostem argumentu od do wartość funkcji rośnie od do +.

1.4. Funkcjonowaćy = arcctgx

Rozważ funkcję
,
. (10)

Funkcja ta jest definiowana dla wszystkich wartości mieszczących się w przedziale od 0 do ; na końcach tego przedziału nie istnieje, ponieważ wartości i są punktami przerwania kotangensu. W przedziale (0,) funkcja jest monotoniczna (maleje od do), dlatego dla funkcji (1) istnieje funkcja odwrotna

, (11)

te. do każdej podanej wartości (wartość cotangensu) z przedziału (
) odpowiada jednej dobrze określonej wartości (rozmiar łuku) z przedziału (0,). Przechodząc do ogólnie przyjętych oznaczeń, otrzymujemy następującą zależność: Streszczenie >> Matematyka trygonometryczna funkcje. DO odwracać trygonometryczny funkcje zwykle określane jako sześć funkcje: arcus sinus...

Praca końcowa na temat „Odwrotne funkcje trygonometryczne. Zadania zawierające odwrotne funkcje trygonometryczne” została ukończona na szkoleniach zaawansowanych.

Zawiera krótki materiał teoretyczny, szczegółowe przykłady i zadania do samodzielnego rozwiązania dla każdej sekcji.

Praca skierowana jest do uczniów i nauczycieli szkół ponadgimnazjalnych.

Pobierać:

Zapowiedź:

PRACA DYPLOMOWA

TEMAT:

„ODWROTNE FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE.

ZADANIA ZAWIERAJĄCE ODWROTNE FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE”

Zakończony:

nauczyciel matematyki

Miejska placówka oświatowa Gimnazjum nr 5, Lermontów

GORBACHENKO V.I.

Piatigorsk 2011

ODWROTNE FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE.

ZADANIA ZAWIERAJĄCE ODWROTNE FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE

1. KRÓTKA INFORMACJA TEORETYCZNA

1.1. Rozwiązania najprostszych równań zawierających odwrotne funkcje trygonometryczne:

Tabela 1.

1.2. Rozwiązywanie prostych nierówności z wykorzystaniem odwrotnych funkcji trygonometrycznych

Tabela 2.

1.3. Niektóre tożsamości odwrotnych funkcji trygonometrycznych

Z definicji odwrotnych funkcji trygonometrycznych wynikają tożsamości

, (1)

, (2)

, (3)

, (4)

Co więcej, tożsamości

, (5)

, (6)

, (7)

, (8)

Tożsamości powiązane w przeciwieństwie do odwrotnych funkcji trygonometrycznych

(9)

(10)

2. RÓWNANIA ZAWIERAJĄCE ODWROTNE FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE

2.1. Równania postaci itp.

Takie równania sprowadza się do równań wymiernych przez podstawienie.

Przykład.

Rozwiązanie.

Wymiana ( ) redukuje równanie do równania kwadratowego, którego pierwiastki.

Root 3 nie spełnia warunku.

Następnie otrzymujemy odwrotne podstawienie

Odpowiedź .

Zadania.

2.2. Równania postaci, Gdzie - funkcja racjonalna.

Aby rozwiązać równania tego typu, należy umieścić, rozwiąż równanie w najprostszej postacii wykonaj odwrotne podstawienie.

Przykład.

Rozwiązanie .

Pozwalać . Następnie

Odpowiedź . .

Zadania.

2.3. Równania zawierające różne funkcje łukowe lub funkcje łukowe o różnych argumentach.

Jeżeli w równaniu znajdują się wyrażenia zawierające różne funkcje łukowe lub te funkcje łukowe zależą od różnych argumentów, wówczas redukcję takich równań do ich konsekwencji algebraicznych przeprowadza się zwykle poprzez obliczenie jakiejś funkcji trygonometrycznej po obu stronach równania. Powstałe obce korzenie oddziela się poprzez kontrolę. Jeśli jako funkcję bezpośrednią wybierzemy styczną lub cotangens, wówczas możemy utracić rozwiązania zawarte w dziedzinie definicji tych funkcji. Dlatego przed obliczeniem wartości tangensa lub cotangensu z obu stron równania należy upewnić się, że wśród punktów nie objętych zakresem definicji tych funkcji nie ma pierwiastków pierwotnego równania.

Przykład.

Rozwiązanie .

Przełóżmy termin w prawą stronę i oblicz wartość sinusa z obu stron równania

W wyniku przekształceń otrzymujemy

Pierwiastki tego równania

Sprawdźmy

Kiedy mamy

Zatem, jest pierwiastkiem równania.

Zastępowanie , zauważ, że lewa strona powstałej zależności jest dodatnia, a prawa strona ujemna. Zatem,- zewnętrzny pierwiastek równania.

Odpowiedź. .

Zadania.

2.4. Równania zawierające odwrotne funkcje trygonometryczne jednego argumentu.

Równania takie można sprowadzić do najprostszych, wykorzystując podstawowe tożsamości (1) – (10).

Przykład.

Rozwiązanie.

Odpowiedź.

Zadania.

3. NIERÓWNOŚCI ZAWIERAJĄCE ODWROTNE FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE

3.1. Najprostsze nierówności.

Rozwiązanie najprostszych nierówności opiera się na zastosowaniu wzorów z tabeli 2.

Przykład.

Rozwiązanie.

Ponieważ , to rozwiązaniem nierówności jest przedział.

Odpowiedź .

Zadania.

3.2. Nierówności formy, - jakaś funkcja wymierna.

Nierówności formy, jest jakąś funkcją wymierną, oraz- jedną z odwrotnych funkcji trygonometrycznych rozwiązuje się w dwóch etapach - w pierwszej kolejności rozwiązuje się nierówność względem niewiadomej, a następnie najprostsza nierówność zawierająca odwrotną funkcję trygonometryczną.

Przykład.

Rozwiązanie.

Niech tak będzie

Rozwiązania nierówności

Wracając do pierwotnej niewiadomej, okazuje się, że pierwotną nierówność można sprowadzić do dwóch najprostszych

Łącząc te rozwiązania otrzymujemy rozwiązania pierwotnej nierówności

Odpowiedź .

Zadania.

3.3. Nierówności zawierające przeciwne funkcje łukowe lub funkcje łukowe o różnych argumentach.

Nierówności wygodnie jest rozwiązywać łącząc wartości różnych odwrotnych funkcji trygonometrycznych lub wartości jednej funkcji trygonometrycznej obliczone z różnych argumentów, obliczając wartości jakiejś funkcji trygonometrycznej z obu stron nierówności. Należy pamiętać, że uzyskana nierówność będzie równoważna pierwotnej tylko wtedy, gdy zbiór wartości prawej i lewej strony pierwotnej nierówności będzie należał do tego samego przedziału monotoniczności tej funkcji trygonometrycznej.

Przykład.

Rozwiązanie.

Wiele prawidłowych wartościzawarte w nierówności:. Na . Dlatego wartościnie są rozwiązaniami nierówności.

Na zarówno prawa, jak i lewa strona nierówności mają wartości należące do przedziału. Ponieważ pomiędzyfunkcja sinus rośnie monotonicznie, to kiedypierwotna nierówność jest równoważna

Rozwiązanie ostatniej nierówności

Przejście z przerwą, otrzymujemy rozwiązanie

Odpowiedź.

Komentarz. Można rozwiązać za pomocą

Zadania.

3.4. Nierówność formy, Gdzie - jedna z odwrotnych funkcji trygonometrycznych,- funkcja racjonalna.

Takie nierówności rozwiązuje się za pomocą podstawieniai redukcja do najprostszej nierówności w tabeli 2.

Przykład.

Rozwiązanie.

Niech tak będzie

Wykonajmy odwrotne podstawienie i uzyskajmy system

Odpowiedź .

Zadania.

Przygotowanie do jednolitego egzaminu państwowego z matematyki

Eksperyment

Lekcja 9. Odwrotne funkcje trygonometryczne.

Praktyka

Podsumowanie lekcji

Przy rozwiązywaniu równań i nierówności trygonometrycznych będziemy potrzebować głównie umiejętności pracy z funkcjami łukowymi.

Zadania, które teraz rozważymy, dzielą się na dwa typy: obliczanie wartości odwrotnych funkcji trygonometrycznych i ich przekształcenia przy użyciu podstawowych właściwości.

Obliczanie wartości funkcji łukowych

Zacznijmy od obliczenia wartości funkcji łuku.

Zadanie nr 1. Obliczać.

Jak widzimy, wszystkie argumenty funkcji łukowych są dodatnie i tabelaryczne, co oznacza, że ​​możemy przywrócić wartość kątów z pierwszej części tabeli wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów od do. Ten zakres kątów wchodzi w zakres wartości każdej z funkcji łukowych, więc po prostu korzystamy z tabeli, znajdujemy w niej wartość funkcji trygonometrycznej i przywracamy, któremu kątowi odpowiada.

A)

B)

V)

G)

Odpowiedź. .

Zadanie nr 2. Obliczać

.

W tym przykładzie widzimy już argumenty negatywne. Typowym błędem w tym przypadku jest po prostu usunięcie minusa spod funkcji i po prostu zredukowanie zadania do poprzedniego. Nie można tego jednak zrobić we wszystkich przypadkach. Przypomnijmy sobie, jak w części teoretycznej lekcji omawialiśmy parzystość wszystkich funkcji łukowych. Nieparzyste to arcsine i arcustangens, tj. minus jest z nich usuwany, a arccosinus i arccotangens są funkcjami o postaci ogólnej; aby uprościć minus w argumencie, mają specjalne formuły. Po obliczeniu, aby uniknąć błędów, sprawdzamy, czy wynik mieści się w zakresie wartości.

Po uproszczeniu argumentów funkcji do postaci dodatniej zapisujemy odpowiednie wartości kątów z tabeli.

Może pojawić się pytanie: dlaczego nie zapisać wartości kąta odpowiadającego np. bezpośrednio z tabeli? Po pierwsze dlatego, że wcześniejsza tabela jest trudniejsza do zapamiętania niż wcześniej, a po drugie dlatego, że nie ma w niej ujemnych wartości sinusa, a ujemne wartości tangensa dadzą zły kąt według tabeli. Lepiej mieć uniwersalne podejście do rozwiązania, niż dać się pogubić wielu różnym podejśćom.

Zadanie nr 3. Obliczać.

a) Typowym błędem w tym przypadku jest rozpoczęcie odejmowania minusa i upraszczanie czegoś. Pierwszą rzeczą, którą należy zauważyć, jest to, że argument arcsine nie wchodzi w zakres

Dlatego ten zapis nie ma znaczenia i nie można obliczyć arcsinusa.

b) Standardowym błędem w tym przypadku jest to, że mylą wartości argumentu i funkcji i dają odpowiedź. To nie jest prawda! Oczywiście pojawia się myśl, że w tabeli wartość odpowiada cosinusowi, ale w tym przypadku mylące jest to, że funkcje łuku są obliczane nie na podstawie kątów, ale na podstawie wartości funkcji trygonometrycznych. To znaczy nie.

Dodatkowo, skoro już dowiedzieliśmy się, czym dokładnie jest argument arcus cosinus, należy sprawdzić, czy mieści się on w domenie definicji. Aby to zrobić, pamiętajmy o tym , tj. co oznacza, że ​​arccosinus nie ma sensu i nie można go obliczyć.

Nawiasem mówiąc, na przykład wyrażenie ma sens, ponieważ , ale ponieważ wartość cosinusa równego nie jest tabelaryczna, nie można obliczyć arcus cosinusa za pomocą tabeli.

Odpowiedź. Wyrażenia nie mają sensu.

W tym przykładzie nie bierzemy pod uwagę arcustangens i arccotangens, ponieważ ich dziedzina definicji nie jest ograniczona, a wartości funkcji będą dotyczyć dowolnych argumentów.

Zadanie nr 4. Obliczać .

W zasadzie zadanie sprowadza się do pierwszego, wystarczy osobno obliczyć wartości obu funkcji, a następnie zastąpić je oryginalnym wyrażeniem.

Argument arcustangens ma charakter tabelaryczny, a wynik należy do zakresu wartości.

Argument arccosinus nie jest tabelaryczny, ale nie powinno nas to przerażać, ponieważ niezależnie od tego, ile wynosi arccosinus, jego wartość pomnożona przez zero da zero. Pozostaje jeszcze jedna ważna uwaga: należy sprawdzić, czy argument arccosinus należy do dziedziny definicji, bo jeśli tak nie jest, to całe wyrażenie nie będzie miało sensu, niezależnie od tego, czy zawiera mnożenie przez zero . Ale zatem możemy powiedzieć, że ma to sens i otrzymamy zero w odpowiedzi.

Podajmy inny przykład, w którym trzeba umieć obliczyć jedną funkcję łukową, znając wartość drugiej.

Problem nr 5. Oblicz, czy wiadomo, że .

Może się wydawać, że należy najpierw obliczyć wartość x ze wskazanego równania, a następnie podstawić ją do pożądanego wyrażenia, czyli do odwrotnej tangensa, ale nie jest to konieczne.

Przypomnijmy sobie wzór, według którego te funkcje są ze sobą powiązane:

I wyraźmy z tego to, czego potrzebujemy:

Dla pewności możesz sprawdzić, czy wynik mieści się w zakresie kotangensa łuku.

Transformacje funkcji łukowych z wykorzystaniem ich podstawowych własności

Przejdźmy teraz do szeregu zadań, w których będziemy musieli wykorzystać przekształcenia funkcji łukowych wykorzystując ich podstawowe właściwości.

Problem nr 6. Obliczać .

Do rozwiązania wykorzystamy podstawowe właściwości wskazanych funkcji łukowych, sprawdzając jedynie odpowiednie ograniczenia.

A)

B) .

Odpowiedź. A) ; B) .

Problem nr 7. Obliczać.

Typowym błędem w tym przypadku jest natychmiastowe wpisanie w odpowiedzi liczby 4. Jak wskazaliśmy w poprzednim przykładzie, aby skorzystać z podstawowych właściwości funkcji łukowych, należy sprawdzić odpowiednie ograniczenia dotyczące ich argumentów. Zajmujemy się nieruchomościami:

Na

Ale . Najważniejsze na tym etapie decyzji nie jest myśleć, że określone wyrażenie nie ma sensu i nie można go obliczyć. W końcu możemy zredukować czwórkę, która jest argumentem stycznej, odejmując okres stycznej, i nie wpłynie to na wartość wyrażenia. Po wykonaniu tych kroków będziemy mieli szansę zredukować argument tak, aby mieścił się w określonym przedziale.

Ponieważ zatem, ponieważ , ponieważ .

Problem nr 8. Obliczać.

W powyższym przykładzie mamy do czynienia z wyrażeniem podobnym do podstawowej własności arcsine, tyle że zawiera kofunkcje. Należy go sprowadzić do postaci sinus z arcsinus lub cosinus z arccosinus. Ponieważ łatwiej jest przekształcić bezpośrednie funkcje trygonometryczne niż odwrotne, przejdźmy od sinusa do cosinusa, korzystając ze wzoru na „jednostkę trygonometryczną”.

Jak już wiemy:

W naszym przypadku w roli. Najpierw obliczmy dla wygody .

Zanim podstawimy go do wzoru, poznajmy jego znak, czyli znak pierwotnego sinusa. Musimy obliczyć sinus z wartości arccosinus. Jakakolwiek jest ta wartość, wiemy, że mieści się ona w podanym zakresie. Zakres ten odpowiada kątom pierwszej i drugiej ćwiartki, w których sinus jest dodatni (sprawdź to sam za pomocą koła trygonometrycznego).

Na dzisiejszej lekcji praktycznej przyjrzeliśmy się obliczeniom i transformacji wyrażeń zawierających odwrotne funkcje trygonometryczne

Wzmocnij materiał za pomocą sprzętu do ćwiczeń

Trener 1 Trener 2 Trener 3 Trener 4 Trener 5