Kare kök. Kapsamlı Kılavuz (2019)

Özellikler Karekök

Şu ana kadar sayılar üzerinde beş aritmetik işlem gerçekleştirdik: toplama, çıkarma, çarpma işlemi, bölme ve üs alma ve hesaplamalarda aktif olarak kullanıldı çeşitli özellikler bu işlemler, örneğin a + b = b + a, аn-bn = (аb)n, vb.

Bu bölümde, negatif olmayan bir sayının karekökünü alan yeni bir işlem tanıtılmaktadır. Başarılı bir şekilde kullanmak için bu bölümde yapacağımız bu işlemin özelliklerine aşina olmanız gerekir.

Kanıt. Aşağıdaki gösterimi tanıtalım: https://pandia.ru/text/78/290/images/image005_28.jpg" alt="Eşitlik" width="120" height="25 id=">!}.

Bir sonraki teoremi tam olarak bu şekilde formüle edeceğiz.

(Pratikte kullanımı daha uygun olan kısa bir formülasyon: bir kesrin kökü, köklerin kesrine eşittir veya bölümün kökü, köklerin bölümüne eşittir.)

Bu sefer ispatın sadece kısa bir özetini vereceğiz ve siz de Teorem 1'in ispatının özünü oluşturan yorumlara benzer uygun yorumlar yapmaya çalışacaksınız.

Not 3. Elbette bu örnek, özellikle elinizde bir mikro hesap makinesi varsa farklı şekilde çözülebilir: 36, 64, 9 sayılarını çarpın ve ardından ortaya çıkan çarpımın karekökünü alın. Ancak yukarıda önerilen çözümün daha kültürel göründüğünü kabul edeceksiniz.

Not 4. İlk yöntemde hesaplamaları “kafa kafaya” yaptık. İkinci yol daha zariftir:
başvurduk formül a2 - b2 = (a - b) (a + b) ve karekök özelliğini kullandı.

Not 5. Bazı "ateşli kafalar" bazen örnek 3'e bu "çözüm"ü sunar:

Bu elbette doğru değil: Görüyorsunuz - sonuç örnek 3'teki ile aynı değil. Gerçek şu ki hiçbir özellik yok https://pandia.ru/text/78/290/images/image014_6.jpg" alt="Görev" width="148" height="26 id=">!} Yalnızca kareköklerin çarpma ve bölünmesiyle ilgili özellikler vardır. Dikkatli ve dikkatli olun, arzulu düşüncelere kapılmayın.

Bu paragrafı bitirirken oldukça basit ve aynı zamanda bir şeye daha dikkat edelim. önemli özellik:
a > 0 ve n ise - doğal sayı , O

Karekök İşlemi İçeren İfadeleri Dönüştürme

Şu ana kadar yalnızca dönüşümler gerçekleştirdik rasyonel ifadeler bunun için polinomlara ilişkin eylem kurallarını kullanarak ve cebirsel kesirler, kısaltılmış çarpma formülleri vb. yeni operasyon- karekök çıkarma işlemi; bunu tespit ettik

burada, geri çağırma, a, b negatif olmayan sayılardır.

Bunları kullanmak formüller karekök işlemi içeren ifadeler üzerinde çeşitli dönüşümler gerçekleştirebilirsiniz. Birkaç örneğe bakalım ve tüm örneklerde değişkenlerin yalnızca negatif olmayan değerler aldığını varsayacağız.

Örnek 3.Çarpanı karekök işaretinin altına girin:

Örnek 6. Çözüm ifadesini basitleştirin. Sıralı dönüşümler gerçekleştirelim:

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Sitede bir talep gönderdiğinizde toplayabiliriz çeşitli bilgiler adınız, telefon numaranız ve adresiniz dahil E-posta vesaire.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler sizinle iletişime geçmemize ve sizi benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

• Gerektiğinde kanuna uygun olarak, adli prosedür, V duruşma ve/veya genel taleplere veya taleplere dayalı olarak Devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Konuyla ilgili ders ve sunum:
"Karekökün özellikleri. Formüller. Çözüm örnekleri, cevaplı problemler"

Ek materyaller
Değerli kullanıcılarımız yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın. Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.

8. sınıf için Integral çevrimiçi mağazasında eğitim yardımcıları ve simülatörler
8. sınıf için interaktif ders kitabı "10 dakikada Geometri"
Eğitim kompleksi "1C: Okul. Geometri, 8. sınıf"

Karekökün özellikleri

Mülk 1. Kare kök Negatif olmayan iki sayının çarpımı, bu sayıların kareköklerinin çarpımına eşittir: $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(b)$.

Herhangi bir özelliği kanıtlamak gelenekseldir, hadi yapalım.
$\sqrt(a*b)=x$, $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$ olsun. O zaman $x=y*z$ olduğunu kanıtlamamız gerekiyor.
Her ifadenin karesini alalım.
Eğer $\sqrt(a*b)=x$ ise, $a*b=x^2$ olur.
Eğer $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$ ise, her iki ifadenin karesini alırsak şunu elde ederiz: $a=y^2$, $b=z^2$.
$a*b=x^2=y^2*z^2$, yani $x^2=(y*z)^2$. Negatif olmayan iki sayının kareleri eşitse, sayıların kendisi de eşittir ve bunun kanıtlanması gerekir.

Özelliğimizden şu sonuç çıkıyor, örneğin, $\sqrt(5)*\sqrt(3)=\sqrt(15)$.

Not 1. Bu özellik, kökün altında ikiden fazla negatif olmayan faktörün bulunduğu durum için de geçerlidir.
Mülk 2. $a≥0$ ve $b>0$ ise aşağıdaki eşitlik sağlanır: $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$

Yani bölümün kökü, köklerin bölümüne eşittir.
Kanıt.
Tabloyu kullanıp kısaca mülkiyetimizi ispatlayalım.

Kareköklerin özelliklerini kullanma örnekleri

Çözüm.
Elbette bir hesap makinesi alıp kökün altındaki tüm sayıları çarpabilir ve karekök çıkarma işlemini gerçekleştirebiliriz. Elinizde bir hesap makinesi yoksa ne yapmalısınız?
$\sqrt(81*25*121)=\sqrt(81)*\sqrt(25)*\sqrt(121)=9*5*11=$495.
Cevap: 495.

Örnek 2. Hesaplayın: $\sqrt(11\frac(14)(25))$.

Çözüm.
Radikal sayıyı uygunsuz bir kesir olarak temsil edelim: $11\frac(14)(25)=\frac(11*25+14)(25)=\frac(275+14)(25)=\frac(289)( 25) $.
Özellik 2'yi kullanalım.
$\sqrt(\frac(289)(25))=\frac(\sqrt(289))(\sqrt(25))=\frac(17)(5)=3\frac(2)(5)= 3,4 dolar.
Cevap: 3.4.

Örnek 3.
Hesaplayın: $\sqrt(40^2-24^2)$.

Çözüm.
İfademizi doğrudan değerlendirebiliriz ancak hemen hemen her zaman basitleştirilebilir. Bunu yapmaya çalışalım.
$40^2-24^2=(40-24)(40+24)=16*64$.
Yani, $\sqrt(40^2-24^2)=\sqrt(16*64)=\sqrt(16)*\sqrt(64)=4*8=32$.
Cevap: 32.

Arkadaşlar köklü ifadelerde toplama ve çıkarma işlemlerinin formüllerinin bulunmadığını ve aşağıda sunulan ifadelerin doğru olmadığını lütfen unutmayın.
$\sqrt(a+b)≠\sqrt(a)+\sqrt(b)$.
$\sqrt(a-b)≠\sqrt(a)-\sqrt(b)$.

Örnek 4.
Hesaplayın: a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)$; b) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))$.
Çözüm.
Yukarıda sunulan özellikler hem soldan sağa hem de Ters sipariş, yani:
$\sqrt(a)*\sqrt(b)=\sqrt(a*b)$.
$\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))=\sqrt(\frac(a)(b))$.
Bunu kullanarak örneğimizi çözelim.
a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)=\sqrt(32*8)=\sqrt(256)=16.$

B) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))=\sqrt(\frac(32)(8))=\sqrt(4)=2$.

Cevap: a) 16; 2.

Mülk 3. $а≥0$ ve n bir doğal sayıysa eşitlik sağlanır: $\sqrt(a^(2n))=a^n$.

Örneğin. $\sqrt(a^(16))=a^8$, $\sqrt(a^(24))=a^(12)$ vb.

Örnek 5.
Hesaplayın: $\sqrt(129600)$.

Çözüm.
Bize sunulan sayı oldukça büyük, hadi onu asal çarpanlara ayıralım.
Aldık: $129600=5^2*2^6*3^4$ veya $\sqrt(129600)=\sqrt(5^2*2^6*3^4)=5*2^3*3^2 =5*8*9=360$.
Cevap: 360.

Bağımsız olarak çözülmesi gereken sorunlar

Kök formülleri. Kareköklerin özellikleri.

Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)

Önceki derste karekökün ne olduğunu çözdük. Hangilerinin var olduğunu bulmanın zamanı geldi kökler için formüller ne var köklerin özellikleri ve tüm bunlarla ne yapılabilir?

Kök formülleri, köklerin özellikleri ve köklerle çalışma kuralları- bu aslında aynı şeydir. Karekökler için şaşırtıcı derecede az sayıda formül vardır. Bu beni kesinlikle mutlu ediyor! Daha doğrusu pek çok farklı formül yazabilirsiniz, ancak köklerle pratik ve kendinden emin çalışma için yalnızca üçü yeterlidir. Diğer her şey bu üçünden akıyor. Pek çok insanın üç kök formül konusunda kafası karışsa da, evet...

En basitinden başlayalım. İşte burada:

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.