Kök formülleri. Köklerin özellikleri

Konuyla ilgili ders ve sunum:
"Karekökün özellikleri. Formüller. Çözüm örnekleri, cevaplı problemler"

Ek materyaller
Değerli kullanıcılarımız yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın. Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.

8. sınıf için Integral çevrimiçi mağazasında eğitim yardımcıları ve simülatörler
8. sınıf için interaktif ders kitabı "10 dakikada Geometri"
Eğitim kompleksi "1C: Okul. Geometri, 8. sınıf"

Karekökün özellikleri

Özellik 1. Negatif olmayan iki sayının çarpımının karekökü çarpıma eşittir Karekökşu sayılardan: $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(b)$.

Herhangi bir özelliği kanıtlamak gelenekseldir, hadi yapalım.
$\sqrt(a*b)=x$, $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$ olsun. O zaman $x=y*z$ olduğunu kanıtlamamız gerekiyor.
Her ifadenin karesini alalım.
Eğer $\sqrt(a*b)=x$ ise, o zaman $a*b=x^2$.
Eğer $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$ ise, her iki ifadenin karesini alırsak şunu elde ederiz: $a=y^2$, $b=z^2$.
$a*b=x^2=y^2*z^2$, yani $x^2=(y*z)^2$. Negatif olmayan iki sayının kareleri eşitse, sayıların kendisi de eşittir ve bunun kanıtlanması gerekir.

Özelliğimizden şu sonuç çıkıyor, örneğin, $\sqrt(5)*\sqrt(3)=\sqrt(15)$.

Not 1. Bu özellik, kökün altında ikiden fazla negatif olmayan faktörün bulunduğu durum için de geçerlidir.
Mülk 2. $a≥0$ ve $b>0$ ise aşağıdaki eşitlik sağlanır: $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$

Yani bölümün kökü, köklerin bölümüne eşittir.
Kanıt.
Tabloyu kullanıp kısaca mülkiyetimizi ispatlayalım.

Kareköklerin özelliklerini kullanma örnekleri

Çözüm.
Elbette bir hesap makinesi alıp kökün altındaki tüm sayıları çarpabilir ve karekök çıkarma işlemini gerçekleştirebiliriz. Elinizde bir hesap makinesi yoksa ne yapmalısınız?
$\sqrt(81*25*121)=\sqrt(81)*\sqrt(25)*\sqrt(121)=9*5*11=$495.
Cevap: 495.

Örnek 2. Hesaplayın: $\sqrt(11\frac(14)(25))$.

Çözüm.
Radikal sayıyı uygunsuz bir kesir olarak temsil edelim: $11\frac(14)(25)=\frac(11*25+14)(25)=\frac(275+14)(25)=\frac(289)( 25) $.
Özellik 2'yi kullanalım.
$\sqrt(\frac(289)(25))=\frac(\sqrt(289))(\sqrt(25))=\frac(17)(5)=3\frac(2)(5)= 3,4 dolar.
Cevap: 3.4.

Örnek 3.
Hesaplayın: $\sqrt(40^2-24^2)$.

Çözüm.
İfademizi doğrudan değerlendirebiliriz ancak hemen hemen her zaman basitleştirilebilir. Bunu yapmaya çalışalım.
$40^2-24^2=(40-24)(40+24)=16*64$.
Yani, $\sqrt(40^2-24^2)=\sqrt(16*64)=\sqrt(16)*\sqrt(64)=4*8=32$.
Cevap: 32.

Arkadaşlar köklü ifadelerde toplama ve çıkarma işlemlerinin formüllerinin bulunmadığını ve aşağıda sunulan ifadelerin doğru olmadığını lütfen unutmayın.
$\sqrt(a+b)≠\sqrt(a)+\sqrt(b)$.
$\sqrt(a-b)≠\sqrt(a)-\sqrt(b)$.

Örnek 4.
Hesaplayın: a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)$; b) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))$.
Çözüm.
Yukarıda sunulan özellikler hem soldan sağa hem de Ters sipariş, yani:
$\sqrt(a)*\sqrt(b)=\sqrt(a*b)$.
$\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))=\sqrt(\frac(a)(b))$.
Bunu kullanarak örneğimizi çözelim.
a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)=\sqrt(32*8)=\sqrt(256)=16.$

B) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))=\sqrt(\frac(32)(8))=\sqrt(4)=2$.

Cevap: a) 16; 2.

Mülk 3. Eğer $а≥0$ ve n – doğal sayı, bu durumda eşitlik sağlanır: $\sqrt(a^(2n))=a^n$.

Örneğin. $\sqrt(a^(16))=a^8$, $\sqrt(a^(24))=a^(12)$ vb.

Örnek 5.
Hesaplayın: $\sqrt(129600)$.

Çözüm.
Bize sunulan sayı oldukça büyük, hadi onu asal çarpanlara ayıralım.
Aldık: $129600=5^2*2^6*3^4$ veya $\sqrt(129600)=\sqrt(5^2*2^6*3^4)=5*2^3*3^2 =5*8*9=360$.
Cevap: 360.

Bağımsız olarak çözülmesi gereken sorunlar

Kare bir arsanın alanı 81 dm²'dir. Onun tarafını bul. Diyelim ki karenin kenar uzunluğu X desimetre. Daha sonra arsanın alanı X² desimetre kare. Koşula göre bu alan 81 dm²'ye eşit olduğundan, o zaman X² = 81. Karenin bir kenar uzunluğu pozitif bir sayıdır. Karesi 81 olan pozitif sayı 9 sayısıdır. Problemi çözerken karesi 81 olan x sayısını bulmak yani denklemi çözmek gerekiyordu. X² = 81. Bu denklemin iki kökü vardır: X 1 = 9 ve X 2 = - 9, çünkü 9² = 81 ve (- 9)² = 81. Hem 9 hem de - 9 sayılarına 81'in karekökleri denir.

Kareköklerden birinin X= 9 pozitif bir sayıdır. 81'in aritmetik karekökü olarak adlandırılır ve √81 ile gösterilir, yani √81 = 9.

Bir sayının aritmetik karekökü A karesi eşit olan negatif olmayan bir sayıdır A.

Örneğin 6 ve -6 sayıları 36 sayısının karekökleridir. Ancak 6, negatif olmayan bir sayı olduğundan ve 6² = 36 olduğundan 6 sayısı 36'nın aritmetik kareköküdür. -6 sayısı bir sayı değildir. aritmetik kök.

Bir sayının aritmetik karekökü A aşağıdaki gibi gösterilir: √ A.

İşarete aritmetik işareti denir kare kök; A- radikal bir ifade olarak adlandırıldı. İfade √ A Okumak şöyle: bir sayının aritmetik karekökü A.Örneğin √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. Bunun açıkça görüldüğü durumlarda Hakkında konuşuyoruz aritmetik kök hakkında kısaca şunu söylüyorlar: “karekök A«.

Bir sayının karekökünü bulma işlemine karekök alma denir. Bu eylem kare almanın tersidir.

Herhangi bir sayının karesini alabilirsiniz, ancak herhangi bir sayıdan karekök çıkaramazsınız. Örneğin - 4 sayısının karekökünü çıkarmak imkansızdır. Eğer böyle bir kök varsa, o zaman onu harfle belirtin X Solda negatif olmayan bir sayı ve sağda negatif bir sayı olduğundan yanlış eşitlik x² = - 4'ü elde ederiz.

İfade √ A sadece ne zaman anlamlı olur a ≥ 0. Karekök tanımı kısaca şu şekilde yazılabilir: √ a ≥ 0, (√A)² = A. Eşitlik (√ A)² = AŞunun için geçerli a ≥ 0. Böylece negatif olmayan bir sayının karekökünün elde edilmesini sağlamak A eşittir B, yani √ olması gerçeğinde A =B, aşağıdaki iki koşulun karşılanıp karşılanmadığını kontrol etmeniz gerekir: b ≥ 0, B² = A.

Bir kesrin karekökü

Hesaplayalım. √25 = 5, √36 = 6 olduğuna dikkat edelim ve eşitliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim.

Çünkü ve o zaman eşitlik doğrudur. Bu yüzden, .

Teorem: Eğer A≥ 0 ve B> 0, yani kesrin kökü köke eşit payın paydanın köküne bölünmesiyle bulunur. Bunu kanıtlamak gerekir: ve .

√'den beri A≥0 ve √ B> 0 ise .

Bir kesri bir kuvvete yükseltmenin özelliği ve karekök tanımı üzerine teorem kanıtlanmıştır. Birkaç örneğe bakalım.

Kanıtlanmış teoremi kullanarak hesaplama .

İkinci örnek: Bunu kanıtlayın , Eğer A ≤ 0, B < 0. .

Başka bir örnek: Hesaplayın.

.

Karekök Dönüşümü

Çarpanın kök işaretinin altından kaldırılması. İfade verilsin. Eğer A≥ 0 ve B≥ 0 ise çarpım kök teoremini kullanarak şunu yazabiliriz:

Bu dönüşüme çarpanın kök işaretinden çıkarılması denir. Bir örneğe bakalım;

Hesapla X= 2. Doğrudan ikame X= 2 radikal ifadesinde karmaşık hesaplamalara yol açar. İlk önce faktörleri kök işaretinin altından kaldırırsanız, bu hesaplamalar basitleştirilebilir: . Şimdi x = 2'yi yerine koyarsak şunu elde ederiz:.

Dolayısıyla, kök işaretinin altındaki faktör kaldırıldığında, radikal ifade, bir veya daha fazla faktörün negatif olmayan sayıların kareleri olduğu bir ürün biçiminde temsil edilir. Daha sonra çarpım kökü teoremini uygulayın ve her faktörün kökünü alın. Bir örnek düşünelim: A = √8 + √18 - 4√2 ifadesini kök işaretinin altındaki ilk iki terimdeki çarpanları çıkararak basitleştirirsek: elde ederiz. Eşitliğin altını çiziyoruz yalnızca şu durumlarda geçerlidir: A≥ 0 ve B≥ 0. eğer A < 0, то .

Matematik, insanın kendisinin farkına varması ve kendisini dünyanın özerk bir birimi olarak konumlandırmaya başlamasıyla ortaya çıktı. Sizi çevreleyen şeyleri ölçme, karşılaştırma, sayma arzusu; insanın temelinde yatan şey budur. temel bilimler günlerimiz. İlk başta bunlar, sayıları fiziksel ifadeleriyle ilişkilendirmeyi mümkün kılan temel matematiğin parçacıklarıydı, daha sonra sonuçlar (soyutlamalarından dolayı) yalnızca teorik olarak sunulmaya başlandı, ancak bir süre sonra bir bilim adamının ifadesiyle, " matematik, matematikten kaybolduğunda karmaşıklığın tavanına ulaştı." tüm sayılar." “Karekök” kavramı, hesaplama düzleminin ötesine geçerek ampirik verilerle kolayca desteklenebildiği bir dönemde ortaya çıktı.

Her şeyin başladığı yer

Kökün ilk sözü olan şu an√ ile gösterilen bu sayı, modern aritmetiğin temellerini atan Babilli matematikçilerin eserlerinde kayıtlıydı. Tabii ki, mevcut formla çok az benzerlik taşıyorlardı - o yılların bilim adamları ilk önce büyük tabletler kullandılar. Ancak MÖ 2. binyılda. e. Karekökün nasıl çıkarılacağını gösteren yaklaşık bir hesaplama formülü elde ettiler. Aşağıdaki fotoğraf, Babilli bilim adamlarının √2'yi çıkarma işlemini oyduğu bir taşı gösteriyor ve o kadar doğru olduğu ortaya çıktı ki, cevaptaki tutarsızlık yalnızca ondalık ondalık basamakta bulundu.

Ayrıca üçgenin bir kenarının bulunması gerekiyorsa diğer ikisinin bilinmesi şartıyla kökten yararlanılırdı. İkinci dereceden denklemleri çözerken kökü çıkarmaktan kaçış yoktur.

Babil eserlerinin yanı sıra Çin'in Dokuz Kitapta Matematik adlı eserinde de makalenin konusu incelenmiş ve eski Yunanlılar, kökü kalansız çıkarılamayan herhangi bir sayının irrasyonel sonuç verdiği sonucuna varmışlardır. .

Bu terimin kökeni, sayının Arapça temsiliyle ilişkilidir: eski bilim adamları, rastgele bir sayının karesinin, bir bitki gibi bir kökten büyüdüğüne inanıyorlardı. Latince'de bu kelime radix'e benziyor (bir modeli takip edebilirsiniz - ister turp ister radikülit olsun, "kök" anlamı olan her şey ünsüzdür).

Sonraki nesillerin bilim adamları bu fikri benimsedi ve onu Rx olarak adlandırdı. Örneğin 15. yüzyılda rastgele bir a sayısının karekökünün alındığını belirtmek için R 2 a yazdılar. alışılmış modern görünüm"kene" √ ancak 17. yüzyılda Rene Descartes sayesinde ortaya çıktı.

Günlerimiz

Matematiksel açıdan, bir y sayısının karekökü, karesi y'ye eşit olan z sayısıdır. Başka bir deyişle z 2 =y, √y=z'ye eşdeğerdir. Fakat bu tanım yalnızca aşağıdakilerle ilgili aritmetik kök, çünkü ifadenin negatif olmayan bir değerini ima eder. Başka bir deyişle, √y=z, burada z, 0'dan büyük veya ona eşittir.

İÇİNDE Genel dava Cebirsel kökü belirleme işlevi gören ifadenin değeri pozitif ya da negatif olabilir. Dolayısıyla z 2 =y ve (-z) 2 =y olması nedeniyle elimizde: √y=±z veya √y=|z|.

Matematik sevgisi bilimin gelişmesiyle birlikte arttığından, ona karşı kuru hesaplamalarla ifade edilmeyen çeşitli sevgi tezahürleri vardır. Örneğin Pi Günü gibi ilginç olayların yanı sıra kareköklü bayramlar da kutlanıyor. Her yüz yılda dokuz kez kutlanırlar ve şu şekilde belirlenir: aşağıdaki prensibe göre: Sırasıyla günü ve ayı gösteren sayılar yılın karekökü olmalıdır. Yani bu bayramı bir sonraki kutlamamız 4 Nisan 2016 olacak.

R alanındaki karekökün özellikleri

Hemen hemen tüm matematiksel ifadelerin geometrik bir temeli vardır ve alanı y olan karenin bir kenarı olarak tanımlanan √y bu kaderden kurtulamamıştır.

Bir sayının kökü nasıl bulunur?

Birkaç hesaplama algoritması vardır. En basit ama aynı zamanda oldukça hantal olan, aşağıdaki gibi olağan aritmetik hesaplamadır:

1) köküne ihtiyaç duyduğumuz sayıdan sırayla tek sayılar çıkarılır - çıktıdaki geri kalan, çıkarılandan küçük veya çift olana kadar sıfıra eşit. Hamle sayısı sonuçta istenen sayıya ulaşacaktır. Örneğin, 25'in karekökünü hesaplamak:

Bir sonraki tek sayı 11, kalan: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Bu gibi durumlar için Taylor serisi açılımı vardır:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , burada n 0'dan 0'a kadar değerleri alır

+∞ ve |y|≤1.

z=√y fonksiyonunun grafik gösterimi

Y'nin sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olduğu R gerçek sayıları alanında z=√y temel fonksiyonunu ele alalım. Programı şuna benziyor:

Eğri orijinden itibaren büyür ve zorunlu olarak (1; 1) noktasıyla kesişir.

R gerçel sayıları alanında z=√y fonksiyonunun özellikleri

1. Söz konusu fonksiyonun tanım alanı sıfırdan artı sonsuza kadar olan aralıktır (sıfır dahildir).

2. Söz konusu fonksiyonun değer aralığı sıfırdan artı sonsuza kadar olan aralıktır (sıfır yine dahildir).

3. Fonksiyon minimum değerini (0) yalnızca (0; 0) noktasında alır. Maksimum değer yoktur.

4. z=√y fonksiyonu ne çift ne de tektir.

5. z=√y fonksiyonu periyodik değildir.

6. z=√y fonksiyonunun grafiğinin koordinat eksenleriyle yalnızca bir kesişme noktası vardır: (0; 0).

7. z=√y fonksiyonunun grafiğinin kesişme noktası aynı zamanda bu fonksiyonun da sıfırıdır.

8. z=√y fonksiyonu sürekli büyüyor.

9. z=√y fonksiyonu yalnızca pozitif değerler alır, dolayısıyla grafiği birinci koordinat açısını kaplar.

z=√y fonksiyonunu görüntüleme seçenekleri

Matematikte karmaşık ifadelerin hesaplanmasını kolaylaştırmak için bazen karekök yazmanın kuvvet formu kullanılır: √y=y 1/2. Bu seçenek, örneğin bir fonksiyonun üssünü yükseltmek için kullanışlıdır: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2. Bu yöntem aynı zamanda integral ile türev almanın da iyi bir temsilidir, çünkü bu yöntem sayesinde karekök sıradan bir kuvvet fonksiyonu olarak temsil edilir.

Programlamada √ sembolünün yerine sqrt harflerinin birleşimi kullanılır.

Hesaplamalar için gerekli geometrik formüllerin çoğunun bir parçası olduğundan, bu alanda karekökün büyük talep gördüğünü belirtmekte fayda var. Sayma algoritmasının kendisi oldukça karmaşıktır ve özyinelemeye (kendini çağıran bir fonksiyon) dayanmaktadır.

C karmaşık alanında karekök

Negatif bir sayının çift kökünü elde etme sorunu matematikçileri rahatsız ettiğinden, karmaşık sayılar C alanının keşfini teşvik eden şey genel olarak bu makalenin konusuydu. Çok ilginç bir özellik ile karakterize edilen hayali birim i bu şekilde ortaya çıktı: karesi -1'dir. Bu sayede ikinci dereceden denklemler negatif bir diskriminantla bile çözüldü. C'de R'de olduğu gibi karekök için de aynı özellikler geçerlidir, tek şey radikal ifade üzerindeki kısıtlamaların kaldırılmasıdır.

Kök formülleri. Kareköklerin özellikleri.

Dikkat!
Ek var
içindeki malzemeler Özel bölüm 555.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)

Önceki derste anladık karekök nedir. Hangilerinin var olduğunu bulmanın zamanı geldi kökler için formüller ne var köklerin özellikleri ve tüm bunlarla ne yapılabilir?

Kök formülleri, köklerin özellikleri ve köklerle çalışma kuralları- bu aslında aynı şeydir. Karekökler için şaşırtıcı derecede az sayıda formül vardır. Bu beni kesinlikle mutlu ediyor! Daha doğrusu pek çok farklı formül yazabilirsiniz, ancak köklerle pratik ve kendinden emin çalışma için yalnızca üçü yeterlidir. Diğer her şey bu üçünden akıyor. Pek çok insanın üç kök formül konusunda kafası karışsa da, evet...

En basitinden başlayalım. İşte burada:

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.