Định lý ma trận Cramer. Quy tắc của Cramer

Với số phương trình giống như số ẩn số với định thức chính của ma trận, không bằng 0, các hệ số của hệ (có một nghiệm cho các phương trình đó và nó chỉ là một).

Định lý Cramer.

Khi định thức của ma trận của một hệ vuông khác 0, thì hệ tương thích và nó có một nghiệm và nó có thể được tìm thấy bằng Công thức của Cramer:

trong đó Δ - yếu tố quyết định ma trận hệ thống,

Δ tôi- định thức của ma trận của hệ thống, trong đó thay vì tôi cột thứ là cột của các bộ phận bên phải.

Khi yếu tố quyết định của hệ thống bằng 0, thì hệ thống có thể trở nên nhất quán hoặc không nhất quán.

Phương pháp này thường được sử dụng cho các hệ thống nhỏ với tính toán thể tích và nếu khi cần xác định 1 trong các ẩn số. Sự phức tạp của phương pháp là cần phải tính toán nhiều yếu tố quyết định.

Mô tả phương pháp của Cramer.

Có một hệ phương trình:

Hệ 3 phương trình có thể được giải bằng phương pháp Cramer, phương pháp đã được thảo luận ở trên đối với hệ 2 phương trình.

Chúng tôi lập định thức từ các hệ số của ẩn số:

Điều này sẽ hệ thống định tính. Khi nào D ≠ 0, do đó hệ thống tương thích. Bây giờ chúng ta sẽ soạn 3 định thức bổ sung:

,,

Chúng tôi giải quyết hệ thống bằng cách Công thức của Cramer:

Ví dụ về giải hệ phương trình bằng phương pháp Cramer.

ví dụ 1.

Hệ thống đưa ra:

Hãy giải quyết nó bằng phương pháp của Cramer.

Đầu tiên, bạn cần tính toán yếu tố quyết định của ma trận của hệ thống:

Tại vì Δ ≠ 0, do đó, theo định lý Cramer, hệ thống tương thích và nó có một nghiệm. Chúng tôi tính toán các yếu tố quyết định bổ sung. Định thức Δ 1 nhận được từ định thức Δ bằng cách thay cột đầu tiên của nó bằng một cột có hệ số tự do. Chúng tôi nhận được:

Theo cách tương tự, chúng ta thu được định thức Δ 2 từ định thức của ma trận của hệ thống, thay cột thứ hai bằng cột có hệ số tự do:

Phương pháp Kramer và Gaussian một trong những giải pháp phổ biến nhất SLAU. Ngoài ra, trong một số trường hợp, nó được khuyến khích sử dụng các phương pháp cụ thể. Phiên đã kết thúc và bây giờ là lúc để lặp lại hoặc làm chủ chúng từ đầu. Hôm nay chúng ta giải quyết bằng phương pháp Cramer. Xét cho cùng, giải một hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Cramer là một kỹ năng rất hữu ích.

Hệ phương trình đại số tuyến tính

Hệ phương trình đại số tuyến tính là hệ phương trình có dạng:

Bộ giá trị x , tại đó các phương trình của hệ thống biến thành đồng nhất, được gọi là nghiệm của hệ thống, một và b là các hệ số thực. Một hệ đơn giản bao gồm hai phương trình với hai ẩn số có thể được giải bằng cách tính nhẩm hoặc bằng cách biểu diễn một biến dưới dạng biến kia. Nhưng có thể có nhiều hơn hai biến (x) trong SLAE và các thao tác trường học đơn giản là không thể thiếu ở đây. Để làm gì? Ví dụ, giải SLAE bằng phương pháp của Cramer!

Vì vậy, hãy để hệ thống N phương trình với N không xác định.

Một hệ thống như vậy có thể được viết lại dưới dạng ma trận

Nơi đây Một là ma trận chính của hệ thống, X và B , tương ứng, ma trận cột của các biến chưa biết và các thành viên tự do.

Giải pháp SLAE theo phương pháp của Cramer

Nếu định thức của ma trận chính không bằng 0 (ma trận là nonsingular), hệ thống có thể được giải bằng phương pháp Cramer.

Theo phương pháp Cramer, giải pháp được tìm theo công thức:

Nơi đây đồng bằng là yếu tố quyết định của ma trận chính, và delta x n-th - định thức thu được từ định thức của ma trận chính bằng cách thay thế cột thứ n bằng một cột gồm các phần tử tự do.

Đây là toàn bộ điểm của phương pháp Cramer. Thay thế các giá trị được tìm thấy bằng các công thức trên x vào hệ thống mong muốn, chúng tôi bị thuyết phục về tính đúng đắn (hoặc ngược lại) của giải pháp của chúng tôi. Để giúp bạn nhanh chóng nắm bắt được bản chất, chúng tôi đưa ra ví dụ dưới đây về một giải pháp chi tiết của SLAE bằng phương pháp Cramer:

Ngay cả khi bạn không thành công trong lần đầu tiên, đừng nản lòng! Với một chút thực hành, bạn sẽ bắt đầu bật CHẬM như các loại hạt. Hơn nữa, giờ đây hoàn toàn không cần phải miệt mài với cuốn vở, giải những phép tính rườm rà và viết trên que tính nữa. Dễ dàng giải SLAE bằng phương pháp Cramer trực tuyến, chỉ bằng cách thay các hệ số vào dạng hoàn chỉnh. Ví dụ, bạn có thể thử dùng máy tính trực tuyến để giải phương pháp Cramer trên trang web này.

Và nếu hệ thống trở nên cứng đầu và không từ bỏ, bạn luôn có thể tìm đến các tác giả của chúng tôi để được giúp đỡ, chẳng hạn như. Nếu có ít nhất 100 ẩn số trong hệ thống, chúng tôi chắc chắn sẽ giải nó một cách chính xác và kịp thời!

Để hệ phương trình tuyến tính chứa bao nhiêu phương trình bằng số biến độc lập, tức là có hình thức

Hệ phương trình tuyến tính như vậy được gọi là hệ phương trình bậc hai. Định thức bao gồm các hệ số của các biến độc lập của hệ thống (1.5) được gọi là định thức chính của hệ thống. Chúng tôi sẽ biểu thị nó bằng chữ cái Hy Lạp D. Vì vậy,

. (1.6)

Nếu trong định thức chính có một tùy ý ( j th), thay thế nó bằng cột các thành viên tự do của hệ thống (1.5), sau đó chúng ta có thể nhận được nhiều hơn N các yếu tố phụ trợ:

(j = 1, 2, …, N). (1.7)

Quy tắc của Cramer giải hệ phương trình tuyến tính bậc hai như sau. Nếu định thức chính D của hệ (1.5) khác không, thì hệ có một nghiệm duy nhất, có thể tìm được bằng công thức:

(1.8)

Ví dụ 1.5. Giải hệ phương trình bằng phương pháp Cramer

.

Hãy để chúng tôi tính toán yếu tố quyết định chính của hệ thống:

Kể từ D¹0, hệ thống có một nghiệm duy nhất có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng công thức (1.8):

Bằng cách này,

Hành động ma trận

1. Phép nhân ma trận với một số. Phép toán nhân một ma trận với một số được định nghĩa như sau.

2. Để nhân một ma trận với một số, bạn cần nhân tất cả các phần tử của nó với số này. Đó là

. (1.9)

Ví dụ 1.6. .

Phép cộng ma trận.

Phép toán này chỉ được giới thiệu cho các ma trận có cùng thứ tự.

Để cộng hai ma trận, cần thêm các phần tử tương ứng của ma trận kia với các phần tử của một ma trận:

(1.10)
Phép toán cộng ma trận có các tính chất của tính kết hợp và tính giao hoán.

Ví dụ 1.7. .

Phép nhân ma trận.

Nếu số cột ma trận NHƯNG khớp với số hàng ma trận TẠI, sau đó đối với các ma trận như vậy, phép toán nhân được giới thiệu:

2

Do đó, khi nhân ma trận NHƯNG kích thước m´ N thành ma trận TẠI kích thước N´ k chúng tôi nhận được một ma trận TỪ kích thước m´ k. Trong trường hợp này, các phần tử của ma trận TỪđược tính theo các công thức sau:

Bài toán 1.8. Tìm, nếu có thể, tích của ma trận AB và ba:

Dung dịch. 1) Để tìm một tác phẩm AB, bạn cần các hàng ma trận Một nhân với cột ma trận B:

2) Ảnh minh họa ba không tồn tại, vì số cột của ma trận B không khớp với số hàng ma trận Một.

Ma trận nghịch đảo. Giải hệ phương trình tuyến tính theo cách ma trận

Ma trận MỘT- 1 được gọi là nghịch đảo của ma trận vuông NHƯNG nếu bình đẳng giữ:

qua đâu Tôi biểu thị ma trận nhận dạng có cùng thứ tự với ma trận NHƯNG:

.

Đối với một ma trận vuông có khả năng nghịch đảo, điều cần thiết và đủ là định thức của nó khác không. Ma trận nghịch đảo được tìm thấy bằng công thức:

, (1.13)

ở đâu A ij- bổ sung đại số cho các phần tử aij ma trận NHƯNG(lưu ý rằng phép cộng đại số vào các hàng của ma trận NHƯNGđược sắp xếp trong ma trận nghịch đảo dưới dạng các cột tương ứng).

Ví dụ 1.9. Tìm ma trận nghịch đảo MỘT- 1 đến ma trận

.

Chúng tôi tìm thấy ma trận nghịch đảo bằng công thức (1.13), trong trường hợp N= 3 trông giống như:

.

Hãy cùng tìm det Một = | Một| = 1 x 3 x 8 + 2 x 5 x 3 + 2 x 4 x 3 - 3 x 3 x 3 - 1 x 5 x 4 - 2 x 2 x 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Vì định thức của ma trận ban đầu khác 0 nên tồn tại ma trận nghịch đảo.

1) Tìm phép cộng đại số A ij:

Để thuận tiện cho việc tìm ma trận nghịch đảo, chúng tôi đặt các phép cộng đại số cho các hàng của ma trận ban đầu trong các cột tương ứng.

Từ các phép cộng đại số thu được, chúng tôi lập một ma trận mới và chia nó cho định thức det Một. Do đó, chúng ta sẽ nhận được ma trận nghịch đảo:

Hệ phương trình tuyến tính bậc hai với định thức chính khác không có thể được giải bằng cách sử dụng ma trận nghịch đảo. Đối với điều này, hệ thống (1.5) được viết dưới dạng ma trận:

ở đâu

Nhân cả hai vế của đẳng thức (1.14) ở bên trái với MỘT- 1, chúng tôi nhận được giải pháp của hệ thống:

, ở đâu

Vì vậy, để tìm nghiệm của một hệ vuông, bạn cần phải tìm ma trận nghịch đảo của ma trận chính của hệ thống và nhân nó bên phải với ma trận cột của các số hạng tự do.

Bài toán 1.10. Giải hệ phương trình tuyến tính

sử dụng ma trận nghịch đảo.

Dung dịch. Ta viết hệ thống dưới dạng ma trận:,

ở đâu là ma trận chính của hệ thống, là cột ẩn số, là cột các thành viên tự do. Vì yếu tố quyết định chính của hệ thống , sau đó là ma trận chính của hệ thống NHƯNG có một ma trận nghịch đảo NHƯNG-một . Để tìm ma trận nghịch đảo NHƯNG-1, tính toán đại số bổ sung cho tất cả các phần tử của ma trận NHƯNG:

Từ các số thu được, chúng tôi tạo ra một ma trận (hơn nữa, các phép cộng đại số vào các hàng của ma trận NHƯNG viết vào các cột thích hợp) và chia nó cho định thức D. Như vậy, chúng ta đã tìm được ma trận nghịch đảo:

Nghiệm của hệ được tìm theo công thức (1.15):

Bằng cách này,

Giải hệ phương trình tuyến tính bằng ngoại lệ Jordan thông thường

Cho một hệ phương trình tuyến tính tùy ý (không nhất thiết phải vuông):

(1.16)

Nó được yêu cầu để tìm một giải pháp cho hệ thống, tức là một tập hợp các biến thỏa mãn tất cả các đẳng thức của hệ (1.16). Trong trường hợp tổng quát, hệ (1.16) không chỉ có một nghiệm mà còn có vô số nghiệm. Nó cũng có thể không có giải pháp nào cả.

Khi giải những bài toán như vậy, người ta sử dụng phương pháp loại bỏ ẩn số, nổi tiếng trong khóa học, còn được gọi là phương pháp khử Jordan thông thường. Bản chất của phương pháp này nằm ở chỗ trong một trong các phương trình của hệ (1.16) một trong các biến được biểu diễn dưới dạng các biến khác. Sau đó, biến này được thay thế vào các phương trình khác của hệ thống. Kết quả là một hệ có một phương trình và một ít biến hơn hệ ban đầu. Phương trình mà từ đó biến được biểu diễn được ghi nhớ.

Quá trình này được lặp lại cho đến khi một phương trình cuối cùng vẫn còn trong hệ thống. Trong quá trình loại bỏ ẩn số, một số phương trình có thể chuyển thành danh tính thực, chẳng hạn. Các phương trình như vậy bị loại khỏi hệ thống, vì chúng hợp lệ với bất kỳ giá trị nào của các biến và do đó, không ảnh hưởng đến nghiệm của hệ thống. Nếu trong quá trình loại bỏ ẩn số, có ít nhất một phương trình trở thành đẳng thức không thể thỏa mãn với bất kỳ giá trị nào của các biến (chẳng hạn), thì ta kết luận rằng hệ không có nghiệm.

Nếu trong quá trình giải các phương trình không nhất quán không phát sinh, thì một trong các biến còn lại trong đó sẽ được tìm thấy từ phương trình cuối cùng. Nếu chỉ còn một biến trong phương trình cuối cùng, thì nó được biểu thị dưới dạng một số. Nếu các biến khác vẫn ở trong phương trình cuối cùng, thì chúng được coi là tham số và biến thể hiện qua chúng sẽ là một hàm của các tham số này. Sau đó, cái gọi là "di chuyển ngược" được thực hiện. Biến tìm thấy được thay thế vào phương trình ghi nhớ cuối cùng và biến thứ hai được tìm thấy. Sau đó, hai biến tìm thấy được thay thế vào phương trình ghi nhớ áp chót và biến thứ ba được tìm thấy, và cứ tiếp tục như vậy cho đến phương trình ghi nhớ đầu tiên.

Kết quả là, chúng tôi nhận được giải pháp của hệ thống. Giải pháp này sẽ là giải pháp duy nhất nếu các biến tìm được là số. Nếu biến được tìm thấy đầu tiên và sau đó tất cả các biến khác phụ thuộc vào các tham số, thì hệ thống sẽ có vô số nghiệm (mỗi tập tham số tương ứng với một nghiệm mới). Các công thức cho phép tìm ra lời giải cho hệ thống phụ thuộc vào một bộ tham số cụ thể được gọi là lời giải chung của hệ thống.

Ví dụ 1.11.

x

Sau khi ghi nhớ phương trình đầu tiên và đưa các số hạng tương tự trong phương trình thứ hai và thứ ba, chúng ta đi đến hệ thống:

Thể hiện y từ phương trình thứ hai và thay nó vào phương trình thứ nhất:

Hãy nhớ phương trình thứ hai và từ phương trình đầu tiên chúng ta tìm thấy z:

Thực hiện ngược lại, chúng tôi liên tiếp tìm thấy y và z. Để làm điều này, trước tiên chúng tôi thay thế vào phương trình đã ghi nhớ cuối cùng, từ đó chúng tôi tìm y:

.

Sau đó, chúng tôi thay thế và vào phương trình ghi nhớ đầu tiên từ nơi chúng tôi tìm thấy x:

Bài toán 1.12. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng cách loại bỏ ẩn số:

. (1.17)

Dung dịch. Hãy để chúng tôi biểu diễn biến từ phương trình đầu tiên x và thay thế nó vào phương trình thứ hai và thứ ba:

.

Hãy nhớ phương trình đầu tiên

Trong hệ này, phương trình thứ nhất và thứ hai mâu thuẫn với nhau. Thật vậy, bày tỏ y , chúng tôi nhận được rằng 14 = 17. Đẳng thức này không được thỏa mãn, đối với bất kỳ giá trị nào của các biến x, y, và z. Do đó, hệ thống (1.17) không nhất quán, tức là không có giải pháp.

Người đọc được mời xác minh một cách độc lập rằng định thức chính của hệ thống ban đầu (1.17) bằng không.

Hãy xem xét một hệ thống khác với hệ thống (1.17) chỉ bởi một thuật ngữ miễn phí.

Bài toán 1.13. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng cách loại bỏ ẩn số:

. (1.18)

Dung dịch. Như trước đây, chúng tôi biểu diễn biến từ phương trình đầu tiên x và thay thế nó vào phương trình thứ hai và thứ ba:

.

Hãy nhớ phương trình đầu tiên và chúng tôi trình bày các thuật ngữ tương tự trong phương trình thứ hai và thứ ba. Chúng tôi đến hệ thống:

bày tỏ y từ phương trình đầu tiên và thay nó vào phương trình thứ hai , chúng tôi nhận được danh tính 14 = 14, không ảnh hưởng đến giải pháp của hệ thống, và do đó, nó có thể bị loại trừ khỏi hệ thống.

Trong đẳng thức đã ghi nhớ cuối cùng, biến z sẽ được coi là một tham số. Chúng tôi tin tưởng. sau đó

Thay thế y và z vào bình đẳng được ghi nhớ đầu tiên và tìm x:

.

Do đó, hệ (1.18) có vô số nghiệm và có thể tìm được bất kỳ nghiệm nào từ công thức (1.19) bằng cách chọn một giá trị tùy ý của tham số t:

(1.19)
Do đó, các nghiệm của hệ, chẳng hạn, là các tập hợp các biến sau (1; 2; 0), (2; 26; 14), v.v. Công thức (1.19) biểu thị nghiệm tổng quát (bất kỳ) của hệ (1.18 ).

Trong trường hợp hệ ban đầu (1.16) có số lượng phương trình và ẩn số đủ lớn, thì phương pháp loại bỏ Jordan thông thường được chỉ ra có vẻ phức tạp. Tuy nhiên, không phải vậy. Nó đủ để tạo ra một thuật toán để tính toán lại các hệ số của hệ thống ở một bước ở dạng tổng quát và chính thức hóa lời giải của bài toán dưới dạng các bảng Jordan đặc biệt.

Cho một hệ có dạng tuyến tính (phương trình) đã cho:

, (1.20)
ở đâu x j- các biến độc lập (mong muốn), aij- hệ số không đổi
(tôi = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, N). Các bộ phận bên phải của hệ thống y tôi (tôi = 1, 2,…, m) có thể là cả biến (phụ thuộc) và hằng số. Yêu cầu phải tìm ra giải pháp cho hệ thống này bằng cách loại bỏ các ẩn số.

Chúng ta hãy xem xét hoạt động sau đây, sau đây được gọi là "một bước của các trường hợp ngoại lệ thông thường của Jordan". Từ một tùy ý ( r th) đẳng thức, chúng tôi biểu thị một biến tùy ý ( x s) và thay thế thành tất cả các giá trị bằng nhau khác. Tất nhiên, điều này chỉ có thể thực hiện được nếu một rs¹ 0. Hệ số một rsđược gọi là phần tử giải quyết (đôi khi là hướng dẫn hoặc chính).

Chúng tôi sẽ nhận được hệ thống sau:

. (1.21)

Từ Sđẳng thức của hệ thống (1.21), sau đó chúng ta sẽ tìm ra biến x s(sau khi các biến khác được tìm thấy). S Dòng thứ được ghi nhớ và sau đó bị loại khỏi hệ thống. Hệ thống còn lại sẽ chứa một phương trình và một biến ít độc lập hơn hệ thống ban đầu.

Chúng ta hãy tính các hệ số của hệ kết quả (1.21) theo các hệ số của hệ ban đầu (1.20). Hãy bắt đầu với r phương trình thứ, sau khi biểu thị biến x s thông qua phần còn lại của các biến sẽ như thế này:

Do đó, các hệ số mới r phương trình thứ được tính bằng các công thức sau:

(1.23)
Bây giờ chúng ta hãy tính toán các hệ số mới b ij(tôi¹ r) của một phương trình tùy ý. Để làm điều này, chúng tôi thay thế biến thể hiện trong (1.22) x s Trong tôi phương trình thứ của hệ (1.20):

Sau khi đưa ra các điều khoản tương tự, chúng tôi nhận được:

(1.24)
Từ đẳng thức (1.24), chúng ta thu được công thức tính các hệ số còn lại của hệ (1.21) (ngoại trừ r phương trình thứ):

(1.25)
Phép biến đổi hệ phương trình tuyến tính theo phương pháp khử Cô-xtanh thường được trình bày dưới dạng bảng (ma trận). Những bảng này được gọi là "bảng Jordan".

Do đó, vấn đề (1.20) được liên kết với bảng Jordan sau:

Bảng 1.1

Bảng Jordan 1.1 chứa cột đầu bên trái, trong đó các phần bên phải của hệ thống (1.20) được viết và dòng tiêu đề trên cùng, trong đó các biến độc lập được viết.

Các phần tử còn lại của bảng tạo thành ma trận hệ số chính của hệ thống (1.20). Nếu chúng ta nhân ma trận NHƯNGđến ma trận bao gồm các phần tử của hàng tiêu đề trên, khi đó ta nhận được ma trận bao gồm các phần tử của cột tiêu đề bên trái. Về bản chất, bảng Jordan là một dạng ma trận để viết một hệ phương trình tuyến tính:. Trong trường hợp này, bảng Jordan sau đây tương ứng với hệ thống (1.21):

Bảng 1.2

Yếu tố cho phép một rs chúng tôi sẽ tô đậm. Hãy nhớ lại rằng để thực hiện một bước của ngoại lệ Jordan, phần tử phân giải phải khác không. Một hàng trong bảng có chứa một phần tử cho phép được gọi là một hàng cho phép. Cột chứa phần tử kích hoạt được gọi là cột cho phép. Khi chuyển từ một bảng đã cho sang bảng tiếp theo, một biến ( x s) từ hàng tiêu đề trên cùng của bảng được chuyển sang cột tiêu đề bên trái và ngược lại, một trong những thành viên miễn phí của hệ thống ( y r) được chuyển từ cột tiêu đề bên trái của bảng lên hàng tiêu đề trên cùng.

Hãy để chúng tôi mô tả thuật toán để tính toán lại các hệ số khi chuyển từ bảng Jordan (1.1) sang bảng (1.2), theo sau từ công thức (1.23) và (1.25).

1. Phần tử cho phép được thay thế bằng số nghịch đảo:

2. Các phần tử còn lại của dòng cho phép được chia cho phần tử cho phép và đổi dấu thành ngược lại:

3. Các phần tử còn lại của cột cho phép được chia thành phần tử cho phép:

4. Các phần tử không có trong hàng phân giải và cột phân giải được tính toán lại theo công thức:

Công thức cuối cùng rất dễ nhớ nếu bạn nhận thấy rằng các yếu tố tạo nên phân số , đang ở giao lộ tôi-oh và r-th dòng và j th và S-các cột thứ (phân giải hàng, phân giải cột và hàng và cột tại giao điểm của phần tử sẽ được tính toán lại). Chính xác hơn, khi ghi nhớ công thức bạn có thể sử dụng biểu đồ sau:

Thực hiện bước đầu tiên của các ngoại lệ Jordan, bất kỳ phần tử nào của Bảng 1.3 nằm trong các cột x 1 ,…, x 5 (tất cả các phần tử được chỉ định không bằng 0). Bạn không nên chỉ chọn phần tử kích hoạt trong cột cuối cùng, bởi vì cần tìm các biến độc lập x 1 ,…, x 5. Ví dụ, chúng tôi chọn hệ số 1 với một biến x 3 trong hàng thứ ba của bảng 1.3 (phần tử cho phép được in đậm). Khi chuyển sang bảng 1.4, biến x Số 3 từ hàng tiêu đề trên cùng được hoán đổi với hằng số 0 của cột tiêu đề bên trái (hàng thứ ba). Đồng thời, biến x 3 được thể hiện theo các biến còn lại.

sợi dây x 3 (Bảng 1.4), đã được ghi nhớ trước đó, có thể được loại trừ khỏi Bảng 1.4. Bảng 1.4 cũng loại trừ cột thứ ba có số 0 ở dòng tiêu đề phía trên. Vấn đề là bất kể hệ số của cột này là bao nhiêu b tôi 3 tất cả các số hạng tương ứng với nó của mỗi phương trình 0 b tôi 3 hệ thống sẽ bằng không. Do đó, các hệ số này không thể được tính toán. Loại bỏ một biến x 3 và ghi nhớ một trong các phương trình, chúng ta đi đến một hệ thống tương ứng với Bảng 1.4 (với dòng gạch bỏ x 3). Chọn trong bảng 1.4 làm phần tử phân giải b 14 = -5, chuyển sang bảng 1.5. Trong bảng 1.5, chúng tôi ghi nhớ hàng đầu tiên và loại trừ nó khỏi bảng cùng với cột thứ tư (với số 0 ở trên cùng).

Bảng 1.5 Bảng 1.6

Từ bảng 1.7 cuối cùng, chúng ta tìm thấy: x 1 = - 3 + 2x 5 .

Thay thế tuần tự các biến đã tìm được vào các dòng đã ghi nhớ, chúng ta tìm thấy các biến còn lại:

Như vậy, hệ có vô số nghiệm. Biến đổi x 5, bạn có thể gán giá trị tùy ý. Biến này hoạt động như một tham số x 5 = t. Chúng tôi đã chứng minh tính tương thích của hệ thống và tìm ra giải pháp chung của nó:

x 1 = - 3 + 2t

x 2 = - 1 - 3t

x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Đưa ra thông số t các giá trị khác nhau, chúng tôi nhận được vô số nghiệm cho hệ thống ban đầu. Vì vậy, ví dụ, nghiệm của hệ thống là tập các biến sau (- 3; - 1; - 2; 4; 0).

Để nắm vững đoạn văn này, bạn phải có khả năng mở các vòng loại "hai nhân hai" và "ba nhân ba". Nếu vòng loại kém, vui lòng nghiên cứu bài học Làm thế nào để tính định thức?

Đầu tiên chúng ta xem xét quy tắc Cramer một cách chi tiết cho một hệ hai phương trình tuyến tính với hai ẩn số. Để làm gì? “Rốt cuộc, hệ thống đơn giản nhất có thể được giải quyết bằng phương pháp trường học, bằng phép cộng theo từng kỳ hạn!

Thực tế là ngay cả khi đôi khi, nhưng vẫn có một nhiệm vụ như vậy - giải hệ hai phương trình tuyến tính với hai ẩn số bằng công thức Cramer. Thứ hai, một ví dụ đơn giản hơn sẽ giúp bạn hiểu cách sử dụng quy tắc Cramer cho một trường hợp phức tạp hơn - một hệ ba phương trình với ba ẩn số.

Ngoài ra, có những hệ phương trình tuyến tính hai biến, nên giải chính xác theo quy tắc Cramer!

Xét hệ phương trình

Ở bước đầu tiên, chúng tôi tính toán định thức, nó được gọi là yếu tố quyết định chính của hệ thống.

Phương pháp Gauss.

Nếu hệ có nghiệm duy nhất, và để tìm nghiệm nguyên, chúng ta phải tính thêm hai định thức:
và

Trong thực tế, các định tính trên cũng có thể được ký hiệu bằng chữ cái Latinh.

Các nghiệm nguyên của phương trình được tìm theo công thức:
,

Ví dụ 7

Giải hệ phương trình tuyến tính

Dung dịch: Ta thấy hệ số của phân thức khá lớn, ở vế phải có các phân số thập phân có dấu phẩy. Dấu phẩy là một vị khách khá hiếm hoi trong các nhiệm vụ thực tế trong toán học; tôi lấy hệ thống này từ một bài toán kinh tế lượng.

Làm thế nào để giải quyết một hệ thống như vậy? Bạn có thể cố gắng diễn đạt một biến này theo nghĩa khác, nhưng trong trường hợp này, bạn chắc chắn sẽ nhận được những phân số lạ mắt khủng khiếp, cực kỳ bất tiện khi làm việc và thiết kế của giải pháp sẽ trông thật tệ hại. Bạn có thể nhân phương trình thứ hai với 6 và trừ số hạng theo số hạng, nhưng các phân số tương tự sẽ xuất hiện ở đây.

Để làm gì? Trong những trường hợp như vậy, các công thức của Cramer sẽ giải cứu.

;

;

Câu trả lời: ,

Cả hai gốc đều có đuôi vô hạn và được tìm thấy gần đúng, điều này khá chấp nhận được (và thậm chí là phổ biến) đối với các bài toán kinh tế lượng.

Không cần nhận xét ở đây, vì nhiệm vụ được giải quyết theo công thức có sẵn, tuy nhiên, có một điều cần lưu ý. Khi sử dụng phương pháp này, bắt buộc Phân đoạn của nhiệm vụ là phân đoạn sau: "vì vậy hệ thống có một giải pháp duy nhất". Nếu không, người đánh giá có thể trừng phạt bạn vì không tôn trọng định lý Cramer.

Sẽ không thừa để kiểm tra, điều này rất tiện lợi khi thực hiện trên máy tính: chúng tôi thay thế các giá trị gần đúng \ u200b \ u200bin vào bên trái của mỗi phương trình của hệ thống. Kết quả là, với một sai số nhỏ, các số nằm ở phía bên phải sẽ được thu được.

Ví dụ 8

Diễn đạt câu trả lời của bạn bằng các phân số không đúng thông thường. Kiểm tra.

Đây là một ví dụ cho một giải pháp độc lập (ví dụ về thiết kế tốt và câu trả lời ở cuối bài học).

Chúng ta chuyển sang việc xem xét quy tắc Cramer cho một hệ ba phương trình với ba ẩn số:

Chúng tôi tìm thấy yếu tố quyết định chính của hệ thống:

Nếu thì hệ thống có vô số giải pháp hoặc không nhất quán (không có giải pháp nào). Trong trường hợp này, quy tắc Cramer sẽ không giúp ích được gì, bạn cần sử dụng phương pháp Gauss.

Nếu hệ có nghiệm duy nhất, và để tìm nghiệm nguyên, chúng ta phải tính thêm ba định thức:
, ,

Và cuối cùng, câu trả lời được tính bằng công thức:

Như bạn có thể thấy, trường hợp "ba x ba" về cơ bản không khác trường hợp "hai bằng hai", cột các thuật ngữ tự do tuần tự "đi" từ trái sang phải dọc theo các cột của định thức chính.

Ví dụ 9

Giải hệ thống bằng cách sử dụng các công thức của Cramer.

Dung dịch: Hãy giải hệ thống bằng cách sử dụng các công thức của Cramer.

, vì vậy hệ thống có một giải pháp duy nhất.

Câu trả lời: .

Thực ra, không có gì đặc biệt để bình luận ở đây một lần nữa, vì thực tế là quyết định được đưa ra theo công thức sẵn. Nhưng có một số lưu ý.

Điều xảy ra là do kết quả của các phép tính, thu được các phân số bất khả quy "xấu", ví dụ:.
Tôi khuyên bạn nên sử dụng thuật toán "điều trị" sau đây. Nếu không có máy tính trong tay, chúng tôi thực hiện việc này:

1) Có thể có một sai lầm trong các tính toán. Ngay khi bạn gặp phải một cảnh quay “xấu”, bạn phải ngay lập tức kiểm tra xem điều kiện có được viết lại đúng không. Nếu điều kiện được viết lại mà không có lỗi, thì bạn cần phải tính toán lại các yếu tố quyết định bằng cách sử dụng phần mở rộng trong một hàng (cột) khác.

2) Nếu không có lỗi nào được tìm thấy do kết quả của việc kiểm tra, thì rất có thể lỗi đánh máy đã được thực hiện trong điều kiện của bài tập. Trong trường hợp này, hãy bình tĩnh và CẨN THẬN giải quyết công việc đến cùng, rồi đảm bảo kiểm tra và vẽ nó lên một bản sao sạch sẽ sau khi quyết định. Tất nhiên, kiểm tra một câu trả lời phân số là một nhiệm vụ khó chịu, nhưng nó sẽ là một cuộc tranh cãi đáng tiếc cho giáo viên, người thực sự thích đặt điểm trừ cho bất kỳ điều gì tồi tệ như vậy. Cách xử lý phân số được hướng dẫn chi tiết trong đáp án của Ví dụ 8.

Nếu bạn có máy tính trong tay, hãy sử dụng một chương trình tự động để kiểm tra nó, chương trình này có thể được tải xuống miễn phí ngay đầu bài học. Nhân tiện, thuận lợi nhất là sử dụng chương trình ngay lập tức (thậm chí trước khi bắt đầu giải pháp), bạn sẽ thấy ngay bước trung gian mà bạn đã làm sai! Máy tính tương tự sẽ tự động tính toán nghiệm của hệ thống bằng phương pháp ma trận.

Nhận xét thứ hai. Đôi khi, có những hệ phương trình bị thiếu một số biến, ví dụ:

Ở đây trong phương trình đầu tiên không có biến, trong phương trình thứ hai không có biến. Trong những trường hợp như vậy, điều rất quan trọng là phải viết chính xác và CẨN THẬN yếu tố quyết định chính:
- số không được đặt ở vị trí của các biến bị thiếu.
Nhân tiện, sẽ hợp lý khi mở các định thức bằng số không trong hàng (cột) có số 0, vì có ít phép tính hơn đáng kể.

Ví dụ 10

Giải hệ thống bằng cách sử dụng các công thức của Cramer.

Đây là một ví dụ để tự giải (làm mẫu xong và trả lời ở cuối bài).

Đối với trường hợp của một hệ 4 phương trình với 4 ẩn số, các công thức của Cramer được viết theo các nguyên tắc tương tự. Bạn có thể xem một ví dụ trực tiếp trong bài học Thuộc tính xác định. Giảm bậc của định thức - năm định thức bậc 4 là khá khả thi. Mặc dù nhiệm vụ đã rất gợi nhớ đến chiếc giày của giáo sư trên ngực của một sinh viên may mắn.

Giải pháp của hệ thống sử dụng ma trận nghịch đảo

Phương pháp ma trận nghịch đảo về cơ bản là một trường hợp đặc biệt phương trình ma trận(Xem Ví dụ số 3 của bài đã chỉ định).

Để học phần này, bạn cần có khả năng mở rộng các định thức, tìm ma trận nghịch đảo và thực hiện phép nhân ma trận. Các liên kết có liên quan sẽ được đưa ra khi quá trình giải thích diễn ra.

Ví dụ 11

Giải hệ thống bằng phương pháp ma trận

Dung dịch: Ta viết hệ thống dưới dạng ma trận:
, ở đâu

Hãy nhìn vào hệ phương trình và ma trận. Việc chúng ta viết các phần tử thành ma trận theo nguyên tắc nào thì tôi nghĩ mọi người đều hiểu. Nhận xét duy nhất: nếu một số biến bị thiếu trong phương trình, thì các số không sẽ phải được đặt vào vị trí tương ứng trong ma trận.

Chúng ta tìm ma trận nghịch đảo theo công thức:
, đâu là ma trận chuyển vị của các phần bù đại số của các phần tử tương ứng của ma trận.

Đầu tiên, hãy đối phó với yếu tố quyết định:

Ở đây định thức được mở rộng bởi dòng đầu tiên.

Chú ý! Nếu thì ma trận nghịch đảo không tồn tại và không thể giải hệ bằng phương pháp ma trận. Trong trường hợp này, hệ thống được giải bằng cách loại bỏ ẩn số (phương pháp Gauss).

Bây giờ bạn cần tính toán 9 trẻ vị thành niên và viết chúng vào ma trận trẻ vị thành niên

Tài liệu tham khảo: Sẽ rất hữu ích nếu biết ý nghĩa của các chỉ số con kép trong đại số tuyến tính. Chữ số đầu tiên là số dòng chứa phần tử. Chữ số thứ hai là số cột mà phần tử nằm trong đó:

Nghĩa là, một chỉ số con kép cho biết rằng phần tử nằm ở hàng đầu tiên, cột thứ ba, trong khi, ví dụ, phần tử nằm ở hàng thứ 3, cột thứ 2

Trong quá trình giải, tốt hơn hết bạn nên mô tả chi tiết phép tính của trẻ vị thành niên, mặc dù với kinh nghiệm nhất định, chúng có thể được điều chỉnh để tính với lỗi bằng miệng.