Phương trình logic. Hệ phương trình logic trong Đề thi trạng thái thống nhất môn tin học

Hướng dẫn. Khi nhập từ bàn phím, hãy sử dụng các quy ước sau:

Quy tắc nhập hàm logic

1. Thay vì ký hiệu v (phân cách, OR), hãy sử dụng dấu +.
2. Không cần chỉ định ký hiệu hàm trước hàm logic. Ví dụ: thay vì F(x,y)=(x|y)=(x^y) bạn chỉ cần nhập (x|y)=(x^y) .
3. Số lượng biến tối đa là 10.

Việc thiết kế và phân tích các mạch logic máy tính được thực hiện bằng cách sử dụng một nhánh toán học đặc biệt - đại số logic. Trong đại số logic, có thể phân biệt ba hàm logic chính: “NOT” (phủ định), “AND” (kết hợp), “OR” (phân tách).
Để tạo ra bất kỳ thiết bị logic nào, cần xác định sự phụ thuộc của từng biến đầu ra vào các biến đầu vào hiện có; sự phụ thuộc này được gọi là hàm chuyển mạch hoặc hàm đại số logic.
Một hàm đại số logic được gọi là xác định hoàn toàn nếu cho trước tất cả 2n giá trị của nó, trong đó n là số biến đầu ra.
Nếu không phải tất cả các giá trị đều được xác định thì hàm sẽ được gọi là được xác định một phần.
Một thiết bị được gọi là logic nếu trạng thái của nó được mô tả bằng hàm đại số logic.
Các phương pháp sau đây được sử dụng để biểu diễn hàm đại số logic:
Ở dạng đại số, bạn có thể xây dựng mạch của một thiết bị logic bằng cách sử dụng các phần tử logic.


Hình 1 - Sơ đồ thiết bị logic

Mọi phép toán đại số logic đều được xác định bảng sự thật các giá trị. Bảng chân lý xác định kết quả của một phép toán đối với mọi người đều có thể x giá trị logic của câu lệnh gốc. Số lượng các tùy chọn phản ánh kết quả của việc áp dụng các phép toán sẽ phụ thuộc vào số lượng câu lệnh trong biểu thức logic. Nếu số câu lệnh trong một biểu thức logic là N thì bảng chân lý sẽ chứa 2 N hàng, vì có 2 N tổ hợp giá trị đối số có thể có khác nhau.

Hoạt động KHÔNG - phủ định logic (đảo ngược)

• nếu biểu thức ban đầu là đúng thì kết quả phủ định của nó sẽ sai;
• nếu biểu thức ban đầu là sai thì kết quả phủ định của nó sẽ đúng.

Phép toán OR - phép cộng logic (phân tách, hợp)

Phép toán AND - phép nhân logic (kết hợp)

Hoạt động “IF-THEN” - hệ quả logic (ngụ ý)

Phép toán “A nếu và chỉ nếu B” (tương đương, tương đương)

Hoạt động “Thêm modulo 2” (XOR, phân tách độc quyền hoặc phân tách nghiêm ngặt)

Mức độ ưu tiên của các hoạt động logic

• Hành động trong ngoặc đơn
• Đảo ngược
• Sự liên kết (&)
• Phân ly (V), OR độc quyền (XOR), tổng modulo 2
• Hàm ý (→)
• Tương đương (↔)

Dạng chuẩn tắc phân biệt hoàn hảo

1. Mỗi số hạng logic của công thức chứa tất cả các biến có trong hàm F(x 1,x 2,...x n).
2. Tất cả các thuật ngữ logic của công thức đều khác nhau.
3. Không một thuật ngữ logic nào chứa một biến và sự phủ định của nó.
4. Không có thuật ngữ logic nào trong công thức chứa cùng một biến hai lần.

Dạng kết hợp chuẩn tắc hoàn hảo

1. Tất cả các giao cơ bản đều chứa tất cả các biến có trong hàm F(x 1 ,x 2 ,...x n).
2. Tất cả các phân tách cơ bản đều khác nhau.
3. Mỗi phân biệt cơ bản chứa một biến một lần.
4. Không một phân cách cơ bản nào chứa đựng một biến và sự phủ định của nó.

Việc sử dụng các phương trình rất phổ biến trong cuộc sống của chúng ta. Chúng được sử dụng trong nhiều tính toán, xây dựng công trình và thậm chí cả thể thao. Con người đã sử dụng các phương trình từ xa xưa và kể từ đó việc sử dụng chúng ngày càng tăng lên. Trong toán học, có một số vấn đề nhất định liên quan đến logic mệnh đề. Để giải được loại phương trình này, bạn cần phải có một lượng kiến ​​thức nhất định: kiến ​​thức về các định luật logic mệnh đề, kiến ​​thức về bảng chân lý của hàm logic 1 hoặc 2 biến, các phương pháp chuyển đổi biểu thức logic. Ngoài ra, bạn cần biết các tính chất sau của các phép toán logic: kết hợp, phân tách, đảo ngược, hàm ý và tương đương.

Bất kỳ hàm logic nào của \biến - \có thể được chỉ định bởi bảng chân trị.

Hãy giải một số phương trình logic:

\[\rightharpoondown X1\vee X2=1 \]

\[\rightharpoondown X2\vee X3=1\]

\[\rightharpoondown X3\vee X4=1 \]

\[\rightharpoondown X9\vee X10=1\]

Hãy bắt đầu giải pháp với \[X1\] và xác định những giá trị mà biến này có thể nhận: 0 và 1. Tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét từng giá trị trên và xem \[X2.\] có thể là gì.

Như có thể thấy từ bảng, phương trình logic của chúng ta có 11 nghiệm.

Tôi có thể giải phương trình logic trực tuyến ở đâu?

Bạn có thể giải phương trình trên trang web của chúng tôi https://site. Bộ giải trực tuyến miễn phí sẽ cho phép bạn giải các phương trình trực tuyến có độ phức tạp bất kỳ chỉ trong vài giây. Tất cả những gì bạn cần làm chỉ đơn giản là nhập dữ liệu của bạn vào bộ giải. Bạn cũng có thể xem video hướng dẫn và tìm hiểu cách giải phương trình trên trang web của chúng tôi. Và nếu bạn vẫn còn thắc mắc, bạn có thể hỏi họ trong nhóm VKontakte của chúng tôi http://vk.com/pocketteacher. Hãy tham gia nhóm của chúng tôi, chúng tôi luôn sẵn lòng hỗ trợ bạn.

Có nhiều cách khác nhau để giải hệ phương trình logic. Đây là sự rút gọn thành một phương trình, xây dựng bảng chân lý và phân rã.

Nhiệm vụ: Giải hệ phương trình logic:

Hãy xem xét phương pháp rút gọn về một phương trình . Phương pháp này liên quan đến việc biến đổi các phương trình logic sao cho vế phải của chúng bằng giá trị chân lý (nghĩa là 1). Để làm điều này, hãy sử dụng phép toán phủ định logic. Sau đó, nếu các phương trình chứa các phép toán logic phức tạp, chúng ta thay thế chúng bằng các phép toán cơ bản: “AND”, “OR”, “NOT”. Bước tiếp theo là kết hợp các phương trình thành một, tương đương với hệ thống, sử dụng phép toán logic “AND”. Sau đó, bạn nên biến đổi phương trình kết quả dựa trên các định luật đại số logic và thu được nghiệm cụ thể cho hệ.

Giải pháp 1:Áp dụng nghịch đảo cho cả hai vế của phương trình đầu tiên:

Hãy cùng tưởng tượng hàm ý thông qua các phép toán cơ bản “OR” và “NOT”:

Vì vế trái của các phương trình bằng 1 nên chúng ta có thể kết hợp chúng bằng phép toán “AND” thành một phương trình tương đương với hệ ban đầu:

Chúng ta mở ngoặc đầu tiên theo định luật De Morgan và biến đổi kết quả thu được:

Phương trình thu được có một nghiệm: A =0, B=0 và C=1.

Phương pháp tiếp theo là xây dựng bảng chân lý . Vì các đại lượng logic chỉ có hai giá trị, bạn có thể chỉ cần xem qua tất cả các tùy chọn và tìm trong số đó những giá trị thỏa mãn hệ phương trình đã cho. Tức là chúng ta xây dựng một bảng chân lý chung cho tất cả các phương trình của hệ và tìm một đường có các giá trị cần tìm.

Giải pháp 2: Hãy tạo bảng chân lý cho hệ thống:

Dòng đáp ứng các điều kiện của nhiệm vụ được tô đậm. Vậy A=0, B=0 và C=1.

Đường sự phân hủy . Ý tưởng là cố định giá trị của một trong các biến (đặt nó bằng 0 hoặc 1) và từ đó đơn giản hóa các phương trình. Sau đó, bạn có thể sửa giá trị của biến thứ hai, v.v.

Giải pháp 3: Cho A = 0 thì:

Từ phương trình đầu tiên, chúng ta nhận được B = 0 và từ phương trình thứ hai - C = 1. Giải của hệ: A = 0, B = 0 và C = 1.

Trong Kỳ thi Thống nhất về khoa học máy tính, người ta thường phải xác định số nghiệm của một hệ phương trình logic mà không cần tự tìm đáp án, cũng có một số phương pháp nhất định cho việc này. Cách chính để tìm số nghiệm của một hệ phương trình logic làthay thế các biến. Trước tiên, bạn cần đơn giản hóa từng phương trình càng nhiều càng tốt dựa trên các định luật đại số logic, sau đó thay thế các phần phức tạp của phương trình bằng các biến mới và xác định số nghiệm của hệ mới. Tiếp theo, quay lại phần thay thế và xác định số lượng giải pháp cho nó.

Nhiệm vụ: Phương trình (A →B) + (C →D) = 1 có bao nhiêu nghiệm? Trong đó A, B, C, D là các biến logic.

Giải pháp: Hãy giới thiệu các biến mới: X = A →B và Y = C →D. Có tính đến các biến mới, phương trình sẽ được viết là: X + Y = 1.

Phép phân biệt đúng trong ba trường hợp: (0;1), (1;0) và (1;1), trong khi X và Y là hàm ý, nghĩa là nó đúng trong ba trường hợp và sai trong một trường hợp. Do đó, trường hợp (0;1) sẽ tương ứng với ba tổ hợp tham số có thể có. Trường hợp (1;1) – sẽ tương ứng với chín tổ hợp tham số có thể có của phương trình ban đầu. Điều này có nghĩa là tổng số nghiệm có thể có của phương trình này là 3+9=15.

Cách tiếp theo để xác định số nghiệm của một hệ phương trình logic là Cây nhị phân. Hãy xem xét phương pháp này bằng một ví dụ.

Nhiệm vụ: Hệ phương trình logic có bao nhiêu nghiệm khác nhau:

Hệ phương trình đã cho tương đương với phương trình:

(x 1 → x 2 )*(x 2 → x 3 )*…*(xm -1 → xm) = 1.

Hãy giả vờ như vậy x 1 – đúng thì từ phương trình thứ nhất ta thu được x 2 cũng đúng, từ điều thứ hai - x 3 =1, v.v. cho đến khi xm= 1. Điều này có nghĩa là tập (1; 1; …; 1) của m đơn vị là nghiệm của hệ. Hãy để nó bây giờ x 1 = 0 thì từ phương trình thứ nhất ta có x 2 = 0 hoặc x 2 =1.

Khi x 2 true thì ta thu được các biến còn lại cũng đúng, tức là tập (0; 1; ...; 1) là nghiệm của hệ. Tại x 2 =0 chúng tôi hiểu điều đó x 3 = 0 hoặc x 3 =, v.v. Tiếp tục với biến cuối cùng, ta thấy nghiệm của phương trình là các tập biến sau (lời giải m +1, mỗi nghiệm chứa m giá trị của biến):

(1; 1; 1; …; 1)

(0; 1; 1; …; 1)

(0; 0; 0; …; 0)

Cách tiếp cận này được minh họa rõ ràng bằng cách xây dựng cây nhị phân. Số giải pháp khả thi là số nhánh khác nhau của cây được xây dựng. Dễ dàng thấy rằng nó bằng m +1.

Trường hợp có khó khăn về lý luận nghiên cứu và xây dựngtrong số các giải pháp bạn có thể tìm kiếm giải pháp với sử dụng bảng sự thật, cho một hoặc hai phương trình.

Viết lại hệ phương trình dưới dạng:

Và hãy tạo một bảng chân trị riêng cho một phương trình:

Hãy lập bảng chân lý cho hai phương trình:

Chủ đề bài học: Giải phương trình logic

Phát triển - tạo điều kiện phát triển hứng thú nhận thức của học sinh, thúc đẩy sự phát triển trí nhớ, sự chú ý, tư duy logic;

giáo dục : phát huy khả năng lắng nghe ý kiến ​​của người khác, nuôi dưỡng ý chí và sự kiên trì để đạt được kết quả cuối cùng.

Loại bài học: bài học kết hợp

Thiết bị: máy tính, máy chiếu đa phương tiện, thuyết trình 6.

Trong các lớp học

Nhắc lại và cập nhật kiến ​​thức cơ bản. Kiểm tra bài tập về nhà (10 phút)

Trong các bài học trước, chúng ta đã làm quen với các định luật cơ bản của đại số logic và học cách sử dụng các định luật này để đơn giản hóa các biểu thức logic.

Hãy kiểm tra bài tập về nhà của chúng ta về việc đơn giản hóa các biểu thức logic:

1. Từ nào sau đây thỏa mãn điều kiện logic:

(phụ âm chữ cái đầu tiên→phụ âm chữ cái thứ hai)٨ (nguyên âm chữ cái cuối → nguyên âm chữ cái áp chót)? Nếu có một số từ như vậy, hãy chỉ ra từ nhỏ nhất trong số đó.

1) ANNA 2) MARIA 3) OLEG 4) BƯỚC

Hãy giới thiệu ký hiệu sau:

A – phụ âm chữ cái đầu tiên

B – phụ âm chữ cái thứ hai

S - nguyên âm chữ cái cuối cùng

D – nguyên âm áp chót

Hãy thực hiện một biểu thức:

Hãy lập một bảng:

2. Cho biết biểu thức logic nào tương đương với biểu thức

Hãy đơn giản hóa việc ghi lại biểu thức ban đầu và các tùy chọn được đề xuất:

3. Cho một đoạn của bảng chân trị của biểu thức F:

Hãy để chúng tôi xác định giá trị của các biểu thức này cho các giá trị được chỉ định của các đối số:

Giới thiệu chủ đề bài học, trình bày bài mới (30 phút)

Chúng ta tiếp tục nghiên cứu những kiến ​​thức cơ bản về logic và chủ đề của bài học hôm nay là “Giải các phương trình logic”. Sau khi nghiên cứu chủ đề này, bạn sẽ học các cách cơ bản để giải phương trình logic, đạt được kỹ năng giải các phương trình này bằng cách sử dụng ngôn ngữ đại số logic và khả năng soạn một biểu thức logic bằng bảng chân trị.

1. Giải phương trình logic

(-K M) → (€L M N) = 0

Viết câu trả lời của bạn dưới dạng một chuỗi gồm bốn ký tự: giá trị của các biến K, L, M và N (theo thứ tự đó). Vì vậy, ví dụ, dòng 1101 tương ứng với thực tế là K=1, L=1, M=0, N=1.

Giải pháp:

Hãy biến đổi biểu thức(-K  M) → (€L  M  N)

Một biểu thức là sai khi cả hai thuật ngữ đều sai. Số hạng thứ hai bằng 0 nếu M =0, N =0, L =1. Trong số hạng thứ nhất K = 0, vì M = 0, và
.

Đáp án: 0100

2. Phương trình có bao nhiêu nghiệm (chỉ ghi số trong đáp án)?

Giải pháp: biến đổi biểu thức

(A +B )*(C +D )=1

A +B =1 và C +D =1

Cách 2: Lập bảng chân lý

Hãy biến đổi biểu thức ban đầu, mở ngoặc để thu được sự phân cách của các liên từ:

(A+B)*(C+D)=A*C+B*C+A*D+B*D=

Hãy bổ sung các liên từ để hoàn thành liên từ (tích của tất cả các đối số), mở ngoặc:

Chúng ta hãy tính đến các liên từ tương tự:

Kết quả là chúng ta thu được một SDNF chứa 9 liên từ. Do đó, bảng chân trị của hàm này có giá trị 1 trong 9 hàng gồm 2 4 =16 bộ giá trị biến.

3. Phương trình có bao nhiêu nghiệm (chỉ ghi số trong đáp án)?

Hãy đơn giản hóa biểu thức:

,

3 chiều: xây dựng SDNF

Chúng ta hãy tính đến các liên từ tương tự:

Kết quả là chúng ta thu được một SDNF chứa 5 liên từ. Do đó, bảng chân trị của hàm này có giá trị 1 trên 5 hàng gồm 2 4 =16 bộ giá trị biến.

Xây dựng biểu thức logic bằng bảng chân lý:

đối với mỗi hàng của bảng chân lý chứa 1, chúng ta tạo ra một tích của các đối số và các biến bằng 0 được đưa vào tích có phủ định và các biến bằng 1 được đưa vào không có phủ định. Biểu thức F mong muốn sẽ bao gồm tổng của các tích thu được. Sau đó, nếu có thể, biểu thức này nên được đơn giản hóa.

Ví dụ: cho bảng chân lý của một biểu thức. Xây dựng một biểu thức logic.

3. Bài tập về nhà (5 phút)

Giải phương trình:

Phương trình có bao nhiêu nghiệm (chỉ ghi số trong đáp án)?

Sử dụng bảng chân lý cho trước, xây dựng một biểu thức logic và

đơn giản hóa nó.