Hansı rəqəm rasional və ya irrasionaldır? İrrasional ədəd

Bütün rasional ədədlər ümumi kəsr kimi göstərilə bilər. Bu, tam ədədlərə (məsələn, 12, –6, 0) və sonlu onluq kəsrlərə (məsələn, 0,5; –3,8921) və sonsuz dövri onluq kəsrlərə (məsələn, 0,11(23); –3 ,(87) aiddir. )).

Lakin sonsuz qeyri-dövri onluq ədədlərşəklində təmsil edir adi fraksiyalar qeyri-mümkün. Onlar budur irrasional ədədlər(yəni irrasional). Belə bir ədədə misal olaraq təxminən 3,14-ə bərabər olan π ədədini göstərmək olar. Ancaq bunun tam olaraq nəyə bərabər olduğunu müəyyən etmək mümkün deyil, çünki 4 rəqəmindən sonra təkrarlanan dövrləri ayırd etmək mümkün olmayan sonsuz sayda başqa nömrələr var. Üstəlik, π ədədini dəqiq ifadə etmək mümkün olmasa da, onun spesifikliyi var həndəsi məna. π ədədi hər hansı dairənin uzunluğunun onun diametrinin uzunluğuna nisbətidir. Beləliklə, rasional ədədlər kimi irrasional ədədlər də təbiətdə mövcuddur.

İrrasional ədədlərin başqa bir nümunəsi müsbət ədədlərin kvadrat kökləridir. Bəzi ədədlərdən kök çıxarmaq rasional, digərlərindən isə irrasional qiymətlər verir. Məsələn, √4 = 2, yəni 4-ün köküdür rasional ədəd. Lakin √2, √5, √7 və bir çox başqaları irrasional ədədlərlə nəticələnir, yəni onları yalnız müəyyən onluq yerlərə yuvarlaqlaşdırmaqla təxmin etməklə çıxarmaq olar. Bu halda kəsr qeyri-dövri olur. Yəni dəqiq və dəqiq nə üçün demək mümkün deyil kökə bərabərdir bu nömrələrdən.

Beləliklə, √5 2 və 3 ədədləri arasında yatan ədəddir, çünki √4 = 2 və √9 = 3. Həmçinin belə nəticəyə gələ bilərik ki, √5 2-yə 3-ə yaxındır, çünki √4 √5-ə daha yaxındır. √9 - √5. Həqiqətən, √5 ≈ 2,23 və ya √5 ≈ 2,24.

İrrasional ədədlər digər hesablamalarda da əldə edilir (yalnız kökləri çıxararkən deyil) və mənfi ola bilər.

İrrasional ədədlərə münasibətdə deyə bilərik ki, belə bir ədədlə ifadə olunan uzunluğu ölçmək üçün hansı vahid seqmenti götürsək də, onu qəti şəkildə ölçə bilməyəcəyik.

Arifmetik əməliyyatlarda rasionallarla yanaşı irrasional ədədlər də iştirak edə bilər. Eyni zamanda bir sıra qanunauyğunluqlar da var. Məsələn, arifmetik əməliyyatda yalnız rasional ədədlər iştirak edirsə, nəticə həmişə rasional ədəd olur. Əgər əməliyyatda yalnız irrasionallar iştirak edirsə, onda nəticənin rasional və ya irrasional ədəd olacağını birmənalı söyləmək mümkün deyil.

Məsələn, iki irrasional ədədi √2 * √2 çarparsanız, 2 alırsınız - bu rasional ədəddir. Digər tərəfdən, √2 * √3 = √6 irrasional ədəddir.

Arifmetik əməliyyat rasional və irrasional ədədləri əhatə edirsə, nəticə irrasional olacaqdır. Məsələn, 1 + 3.14... = 4.14... ; √17 – 4.

Niyə √17 – 4 irrasional ədəddir? Təsəvvür edək ki, rasional x ədədi alırıq. Onda √17 = x + 4. Lakin x + 4 rasional ədəddir, çünki biz x-in rasional olduğunu qəbul etmişdik. 4 rəqəmi də rasionaldır, ona görə də x + 4 rasionaldır. Lakin rasional ədəd √17 irrasional ədədinə bərabər ola bilməz. Buna görə də √17 – 4-ün rasional nəticə verməsi fərziyyəsi düzgün deyil. Arifmetik əməliyyatın nəticəsi irrasional olacaq.

Lakin bu qaydanın bir istisnası var. Əgər irrasional ədədi 0-a vursaq, 0 rasional ədədini alırıq.

Qədim riyaziyyatçılar artıq vahid uzunluğun bir seqmenti haqqında bilirdilər: onlar, məsələn, diaqonalın və kvadratın tərəfinin uyğunsuzluğunu bilirdilər ki, bu da ədədin irrasionallığına bərabərdir.

İrrasionaldır:

Məntiqsizliyin sübut nümunələri

2-nin kökü

Bunun əksini fərz edək: rasionaldır, yəni azalmayan kəsr şəklində təmsil olunur, burada və tam ədədlərdir. Gəlin ehtimal olunan bərabərliyi kvadratlaşdıraq:

Buradan belə çıxır ki, hətta cüt və . Qoy bütün olan yerdə olsun. Sonra

Buna görə də, hətta cüt və deməkdir. Biz tapdıq ki və cütdür ki, bu da kəsrin azalmazlığına ziddir. Bu o deməkdir ki, ilkin fərziyyə düzgün deyildi və bu, irrasional rəqəmdir.

3 ədədinin ikili loqarifmi

Bunun əksini fərz edək: rasionaldır, yəni kəsr kimi təmsil olunur, burada və tam ədədlərdir. , və müsbət olmaq üçün seçilə bilər. Sonra

Amma cüt və tək. Bir ziddiyyət alırıq.

e

Hekayə

İrrasional ədədlər anlayışı eramızdan əvvəl 7-ci əsrdə, Manava (e.ə. 750 - e.ə. 690) bəzi natural ədədlərin kvadrat köklərinin, məsələn, 2 və 61-in açıq şəkildə ifadə edilə bilməyəcəyini anlayanda hind riyaziyyatçıları tərəfindən dolayı qəbul edilmişdir. .

İrrasional ədədlərin mövcudluğunun ilk sübutu adətən pentaqramın tərəflərinin uzunluqlarını öyrənməklə bu sübutu tapan Pifaqorlu Metapontuslu Hippasa (e.ə. 500) aid edilir. Pifaqorçuların dövründə, kifayət qədər kiçik və bölünməz, hər hansı bir seqmentə tam sayda daxil olan tək bir uzunluq vahidinin olduğuna inanılırdı. Bununla belə, Hippasus iddia edirdi ki, vahid uzunluq vahidi yoxdur, çünki onun mövcudluğu fərziyyəsi ziddiyyətə gətirib çıxarır. O göstərdi ki, əgər bir ikitərəfli hipotenuz düz üçbucaq vahid seqmentlərin tam sayını ehtiva edir, onda bu rəqəm həm cüt, həm də tək olmalıdır. Sübut belə görünürdü:

• Hipotenuzanın uzunluğunun ikitərəfli düzbucaqlı üçbucağın ayağının uzunluğuna nisbəti belə ifadə edilə bilər. a:b, Harada a Və b mümkün olan ən kiçik kimi seçilir.
• Pifaqor teoreminə görə: a² = 2 b².
• Çünki a- hətta, a cüt olmalıdır (çünki tək ədədin kvadratı tək olardı).
• Çünki a:b azalmaz b qəribə olmalıdır.
• Çünki a hətta, işarə edirik a = 2y.
• Sonra a² = 4 y² = 2 b².
• b² = 2 y², buna görə də b- hətta sonra b hətta.
• Bununla belə, sübut olunub b qəribə. Ziddiyyət.

Yunan riyaziyyatçıları bu nisbəti müqayisə olunmayan kəmiyyətlər adlandırdılar aloqlar(danılmaz), lakin əfsanələrə görə Hippasa lazımi hörmət göstərmədilər. Hippasın orada olarkən bir kəşf etdiyi barədə bir əfsanə var dəniz səyahəti, və digər Pifaqorçular tərəfindən "kainatdakı bütün varlıqların tam ədədlərə və onların nisbətlərinə endirilə biləcəyi doktrinasını inkar edən kainatın elementini yaratdıqlarına görə" atıldı. Hippasın kəşfi Pifaqor riyaziyyatına meydan oxudu ciddi problem, ədədlərin və həndəsi cisimlərin bir və ayrılmaz olduğuna dair bütün nəzəriyyənin əsas fərziyyəsini məhv edir.

həmçinin bax

Qeydlər

İrrasional ədədlər hansılardır? Onlar niyə belə adlanır? Onlar harada istifadə olunur və onlar nədir? Az adam bu suallara düşünmədən cavab verə bilər. Ancaq əslində onlara cavablar olduqca sadədir, baxmayaraq ki, hər kəs onlara ehtiyac duymur və çox nadir hallarda

Mahiyyət və təyinat

İrrasional ədədlər sonsuz qeyri-dövri ədədlərdir.Bu anlayışın təqdim edilməsi zərurəti ondan irəli gəlir ki, yaranan yeni məsələlərin həlli üçün əvvəllər mövcud olan həqiqi və ya həqiqi, tam, natural və rasional ədədlər anlayışları artıq kifayət etmirdi. Məsələn, hansı kəmiyyətin 2-nin kvadratı olduğunu hesablamaq üçün dövri olmayan sonsuz onluqlardan istifadə etmək lazımdır. Bundan əlavə, bir çox sadə tənliklərin də irrasional ədəd anlayışını təqdim etmədən həlli yoxdur.

Bu çoxluq I kimi işarələnir. Və artıq aydın olduğu kimi, bu dəyərlər sadə kəsr kimi göstərilə bilməz, onun payı tam, məxrəci isə

İlk dəfə bu və ya digər şəkildə hind riyaziyyatçıları bu hadisə ilə 7-ci əsrdə bəzi kəmiyyətlərin kvadrat köklərinin açıq şəkildə göstərilə bilməyəcəyi aşkar edildikdə qarşılaşdılar. Və bu cür ədədlərin mövcudluğunun ilk sübutu, ikitərəfli düzbucaqlı üçbucağı öyrənərkən bunu edən Pifaqor Hippasına aiddir. Bizim eradan əvvəl yaşamış bəzi digər alimlər də bu toplunun öyrənilməsinə ciddi töhfə vermişlər. İrrasional ədədlər anlayışının tətbiqi mövcud riyazi sistemin yenidən nəzərdən keçirilməsinə səbəb oldu, buna görə də onlar çox vacibdir.

adının mənşəyi

Əgər latın dilindən tərcümə olunan nisbət “kəsr”, “nisbət”dirsə, onda “ir” prefiksi
bu sözə əks məna verir. Beləliklə, bu ədədlərin çoxluğunun adı onların tam və ya kəsrlə əlaqələndirilə bilməyəcəyini və ayrıca yerə malik olduğunu göstərir. Bu, onların mahiyyətindən irəli gəlir.

Ümumi təsnifatda yer

İrrasional ədədlər rasional ədədlərlə yanaşı, öz növbəsində kompleks ədədlərə aid olan həqiqi və ya həqiqi ədədlər qrupuna aiddir. Heç bir alt çoxluq yoxdur, lakin aşağıda müzakirə ediləcək cəbri və transsendental növlər var.

Xüsusiyyətlər

İrrasional ədədlər həqiqi ədədlər çoxluğuna daxil olduğundan onların hesabda öyrənilən bütün xassələri (bunlara əsas cəbr qanunları da deyilir) aiddir.

a + b = b + a (kommutativlik);

(a + b) + c = a + (b + c) (assosiativlik);

a + (-a) = 0 (əks ədədin mövcudluğu);

ab = ba (kommutativ qanun);

(ab)c = a(bc) (paylayıcılıq);

a(b+c) = ab + ac (paylanma qanunu);

a x 1/a = 1 (qarşılıqlı ədədin mövcudluğu);

Müqayisə də uyğun olaraq aparılır ümumi nümunələr və prinsiplər:

Əgər a > b və b > c olarsa, onda a > c (münasibətin keçidi) və. və s.

Əlbəttə ki, bütün irrasional ədədlər əsas arifmetikadan istifadə etməklə çevrilə bilər. Heç biri xüsusi qaydalar eyni zamanda yox.

Bundan əlavə, Arximed aksiomu irrasional ədədlərə aiddir. Burada deyilir ki, hər hansı iki a və b kəmiyyəti üçün a şərt kimi götürülməsi doğrudur kifayət qədər miqdar dəfə keçə bilər b.

İstifadəsi

Gündəlik həyatda onlarla tez-tez qarşılaşmamağınıza baxmayaraq, irrasional rəqəmləri saymaq olmaz. Onların çoxu var, lakin demək olar ki, görünməzdir. İrrasional ədədlər ətrafımızdadır. Hamıya tanış olan misallar 3,1415926...-a bərabər olan pi ədədi və ya mahiyyətcə natural loqarifmin əsasını təşkil edən e, 2,718281828... Cəbr, triqonometriya və həndəsədə onlardan daim istifadə etmək lazımdır. Yeri gəlmişkən, məşhur məna"qızıl nisbət", yəni həm böyük hissənin kiçik hissəyə nisbəti, həm də əksinə

bu dəstəyə aiddir. Daha az tanınan "gümüş" də.

Say xəttində onlar çox sıx yerləşirlər ki, rasional olaraq təsnif edilən hər hansı iki kəmiyyət arasında irrasional kəmiyyət mütləq meydana çıxacaq.

Bu dəstlə bağlı hələ də çoxlu həll edilməmiş problemlər var. İrrasionallıq ölçüsü və ədədin normallığı kimi meyarlar var. Riyaziyyatçılar bu və ya digər qrupa aid olub-olmadığını müəyyən etmək üçün ən əhəmiyyətli nümunələri öyrənməyə davam edirlər. Məsələn, e-nin normal bir ədəd olduğuna inanılır, yəni onun qeydində müxtəlif rəqəmlərin görünmə ehtimalı eynidir. Pi-yə gəlincə, bununla bağlı araşdırmalar hələ də davam edir. İrrasionallıq ölçüsü verilmiş ədədin rasional ədədlərlə nə qədər yaxınlaşdırıla biləcəyini göstərən dəyərdir.

Cəbri və transsendental

Artıq qeyd edildiyi kimi, irrasional ədədlər şərti olaraq cəbri və transsendental bölünür. Şərti olaraq, ciddi şəkildə desək, bu təsnifat C çoxluğunu bölmək üçün istifadə olunur.

Bu təyinat həqiqi və ya həqiqi ədədləri ehtiva edən mürəkkəb ədədləri gizlədir.

Deməli, cəbri sıfıra bərabər olmayan çoxhədlinin kökü olan qiymətdir. Misal üçün, Kvadrat kök 2-nin bu kateqoriyasına daxil olardı, çünki o, x 2 - 2 = 0 tənliyinin həllidir.

Bu şərti təmin etməyən bütün digər həqiqi ədədlər transsendental adlanır. Bu müxtəlifliyə ən məşhur və artıq qeyd olunan nümunələr daxildir - pi sayı və təbii loqarifmin əsası e.

Maraqlıdır ki, nə biri, nə də digəri ilkin olaraq riyaziyyatçılar tərəfindən bu keyfiyyətdə inkişaf etdirilməyib, onların irrasionallığı və transsendentliyi kəşflərindən illər sonra sübuta yetirilib. Pi üçün sübut 1882-ci ildə verildi və 1894-cü ildə sadələşdirildi və dairənin kvadratlaşdırılması problemi ilə bağlı 2500 illik mübahisə sona çatdı. Hələ də tam öyrənilməmişdir, ona görə də müasir riyaziyyatçıların üzərində işləmək üçün bir şey var. Yeri gəlmişkən, bu dəyərin ilk kifayət qədər dəqiq hesablanması Arximed tərəfindən aparılmışdır. Ondan əvvəl bütün hesablamalar çox təxmini idi.

e (Euler və ya Napier nömrəsi) üçün onun transsendensiyasının sübutu 1873-cü ildə tapıldı. Loqarifmik tənliklərin həllində istifadə olunur.

Digər misallara hər hansı cəbri sıfırdan fərqli dəyər üçün sinus, kosinus və tangens dəyərləri daxildir.

Riyazi anlayışların mücərrədliyi bəzən o qədər təcrid yaradır ki, istər-istəməz belə bir fikir yaranır: “Bütün bunlar nə üçündür?” Ancaq ilk təəssüratlara baxmayaraq, bütün teoremlər, hesab əməliyyatları, funksiyalar və s. - əsas ehtiyacları ödəmək arzusundan başqa bir şey deyil. Bunu müxtəlif dəstlərin görünüşü timsalında xüsusilə aydın görmək olar.

Hamısı natural ədədlərin meydana çıxması ilə başladı. Və çətin ki, indi kimsə bunun necə dəqiq olduğunu cavablandıra bilsin, çox güman ki, elmlər kraliçasının ayaqları mağaranın bir yerindən böyüyür. Burada dərilərin, daşların və qəbilələrin sayını təhlil edən bir insanın çoxlu "saymaq üçün nömrələri" var. Və bu onun üçün kifayət idi. Təbii ki, müəyyən vaxta qədər.

Sonra dəriləri və daşları bölmək və götürmək lazım idi. Hesab əməliyyatlarına və onlarla birlikdə m/n kimi kəsr kimi təyin oluna bilən rasional əməliyyatlara ehtiyac belə yarandı, burada, məsələn, m dərilərin sayı, n həmcinslərinin sayıdır.

Görünür, artıq kəşf edilmiş riyazi aparat həyatdan həzz almaq üçün kifayətdir. Ancaq tezliklə məlum oldu ki, nəticə nəinki tam deyil, hətta kəsr də deyil! Və həqiqətən də, ikinin kvadrat kökünü pay və məxrəcdən istifadə edərək başqa cür ifadə etmək olmaz. Yaxud, məsələn, qədim yunan alimi Arximed tərəfindən kəşf edilən məşhur Pi rəqəmi də rasional deyil. Və zaman keçdikcə bu cür kəşflər o qədər çoxaldı ki, "rasionallaşdırıla" bilməyən bütün nömrələr birləşdirildi və irrasional adlandırıldı.

Xüsusiyyətlər

Daha əvvəl nəzərdən keçirilən çoxluqlar riyaziyyatın fundamental anlayışlar toplusuna aiddir. Bu o deməkdir ki, onlar daha sadə riyazi obyektlər vasitəsilə müəyyən edilə bilməz. Ancaq bu, kateqoriyaların (yunan "bəyanatlarından") və ya postulatların köməyi ilə edilə bilər. Bu vəziyyətdə, bu dəstlərin xüsusiyyətlərini göstərmək daha yaxşıdır.

o İrrasional ədədlər rasional ədədlər toplusunda kiçik ədəddə ən böyük ədədi olmayan və yuxarıda ən kiçik ədədi olmayan Dedekind kəsimlərini müəyyən edir.

o Hər transsendental ədəd irrasionaldır.

o Hər bir irrasional ədəd ya cəbr, ya da transsendentaldır.

o Ədədlər çoxluğu say xəttinin hər yerində sıxdır: hər birinin arasında irrasional ədəd var.

o Dəst saysızdır və ikinci Baire kateqoriyasının dəstidir.

o Bu çoxluq sıralanır, yəni hər iki müxtəlif a və b rasional ədədi üçün hansının digərindən kiçik olduğunu göstərə bilərsiniz.
o Hər iki fərqli rasional ədəd arasında başqa bir ədəd var ən azı bir və buna görə də sonsuz rasional ədədlər toplusu.

o Arifmetik əməliyyatlarİstənilən iki rasional ədəd üzərində (toplama, vurma və bölmə) həmişə mümkündür və müəyyən rasional ədədlə nəticələnir. İstisna sıfıra bölməkdir, bu mümkün deyil.

o Hər bir rasional ədəd kimi təmsil oluna bilər onluq(sonlu və ya sonsuz dövri).

Tam ədədlər

Natural ədədlərin tərifi müsbət tam ədədlərdir. Natural ədədlər cisimləri saymaq üçün və bir çox başqa məqsədlər üçün istifadə olunur. Bunlar rəqəmlərdir:

Bu təbii nömrələr seriyasıdır.
Sıfır natural ədəd? Xeyr, sıfır natural ədəd deyil.
Neçə natural ədəd var? Sonsuz sayda natural ədədlər var.
Ən kiçik natural ədəd nədir? Biri ən kiçik natural ədəddir.
Ən böyük natural ədəd hansıdır? Onu dəqiqləşdirmək mümkün deyil, çünki sonsuz sayda natural ədədlər var.

Natural ədədlərin cəmi natural ədəddir. Beləliklə, a və b natural ədədlərini əlavə edirik:

Natural ədədlərin hasili natural ədəddir. Beləliklə, a və b natural ədədlərinin hasili:

c həmişə natural ədəddir.

Natural ədədlərin fərqi Həmişə natural ədəd olmur. Əgər minuend çıxarılandan böyükdürsə, natural ədədlərin fərqi natural ədəddir, əks halda belə deyil.

Natural ədədlərin nisbəti həmişə natural ədəd olmur. a və b natural ədədləri üçün

burada c natural ədəddir, bu o deməkdir ki, a b-yə bölünür. Bu misalda a dividend, b bölən, c bölmədir.

Natural ədədin bölməsi birinci ədədin tam bölündüyü natural ədəddir.

Hər bir natural ədəd birə və özünə bölünür.

Sadə natural ədədlər yalnız birə və özlərinə bölünür. Burada tamamilə bölünməyi nəzərdə tuturuq. Məsələn, rəqəmlər 2; 3; 5; 7 yalnız birinə və özünə bölünür. Bunlar sadə natural ədədlərdir.

Biri sadə ədəd hesab edilmir.

Birdən böyük olan və sadə olmayan ədədlərə mürəkkəb ədədlər deyilir. Kompozit ədədlərə nümunələr:

Biri kompozit nömrə hesab edilmir.

Natural ədədlər çoxluğu birdir, sadə ədədlər və mürəkkəb ədədlər.

Natural ədədlər çoxluğu latın hərfi N ilə işarələnir.

Natural ədədlərin toplanması və vurulmasının xassələri:

əlavənin kommutativ xassəsi

əlavənin assosiativ xassəsi

(a + b) + c = a + (b + c);

vurmanın kommutativ xassəsi

vurmanın assosiativ xassəsi

(ab) c = a (bc);

vurmanın paylayıcı xassəsi

A (b + c) = ab + ac;

Tam ədədlər

Tam ədədlər natural ədədlər, sıfır və natural ədədlərin əksləridir.

Natural ədədlərin əksi olan ədədlər tam ədədlərdir mənfi ədədlər, Misal üçün:

1; -2; -3; -4;...

Tam ədədlər çoxluğu latın Z hərfi ilə işarələnir.

Rasional ədədlər

Rasional ədədlər tam ədədlər və kəsrlərdir.

İstənilən rasional ədəd dövri kəsr kimi təqdim edilə bilər. Nümunələr:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Nümunələrdən aydın olur ki, istənilən tam ədəd sıfır dövrü olan dövri kəsrdir.

İstənilən rasional ədəd m/n kəsr kimi göstərilə bilər, burada m tam, n natural ədəd. Əvvəlki misaldakı 3,(6) rəqəmini belə kəsr kimi təsəvvür edək.