ಎರಡು ಅಂಕೆಗಳು ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಏಕತಾನ

ತುಂಬಾ ಪ್ರಮುಖ ಆಸ್ತಿಕಾರ್ಯವು ಅದರ ಏಕತಾನತೆಯಾಗಿದೆ. ವಿವಿಧ ವಿಶೇಷ ಕಾರ್ಯಗಳ ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ವಿವಿಧ ಭೌತಿಕ, ಆರ್ಥಿಕ, ಸಾಮಾಜಿಕ ಮತ್ತು ಇತರ ಹಲವು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.

ಹೈಲೈಟ್ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಕಾರಗಳುಕಾರ್ಯಗಳ ಏಕತಾನತೆ:

1) ಕಾರ್ಯ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಈ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಅಂತಹ . ಆ. ದೊಡ್ಡ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಮೌಲ್ಯವು ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ;

2) ಕಾರ್ಯ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಈ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಅಂತಹ . ಆ. ದೊಡ್ಡ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಮೌಲ್ಯವು ಚಿಕ್ಕ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ;

3) ಕಾರ್ಯ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಈ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಅಂತಹ ;

4) ಕಾರ್ಯ ಹೆಚ್ಚಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಈ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಅಂತಹ .

2. ಮೊದಲ ಎರಡು ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ, "ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಏಕತಾನತೆ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

3. ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಪ್ರಕರಣಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹಲವಾರು ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

4. ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ, ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ನ ಹೆಚ್ಚಳ ಮತ್ತು ಇಳಿಕೆಯನ್ನು ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಬೇರೇನೂ ಅಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ.

2. ಸರಿ ಬೆಸ.

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬೆಸ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ವಾದದ ಚಿಹ್ನೆಯು ಬದಲಾದಾಗ, ಅದು ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರ ಸೂತ್ರವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಎಲ್ಲಾ x ಗಳ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ "ಮೈನಸ್ x" ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿದ ನಂತರ, ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಮೂಲದ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ.

ಬೆಸ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಇತ್ಯಾದಿ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಗ್ರಾಫ್ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಮೂಲದ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ವಾದದ ಚಿಹ್ನೆಯು ಬದಲಾದಾಗ, ಅದು ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಇದರ ಸೂತ್ರವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಎಲ್ಲಾ x ಗಳ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ "ಮೈನಸ್ x" ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿದ ನಂತರ, ಕಾರ್ಯವು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂತಹ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅಕ್ಷದ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ.

ಸಮ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಇತ್ಯಾದಿ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಕ್ಷದ ಬಗ್ಗೆ ಗ್ರಾಫ್ನ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ತೋರಿಸೋಣ:

ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕಾರಕ್ಕೆ ಸೇರಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಸಮ ಅಥವಾ ಬೆಸ ಅಥವಾ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಕಾರ್ಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ನೋಟ . ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳು ಯಾವುದೇ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ಅಂತಹ ಒಂದು ಕಾರ್ಯ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ಪರಿಶೀಲಿಸಿದ್ದೇವೆ ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯವೇಳಾಪಟ್ಟಿಯೊಂದಿಗೆ:

3. ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಶೇಷ ಆಸ್ತಿಯಾಗಿದೆ ಆವರ್ತಕತೆ.

ಸತ್ಯವೆಂದರೆ ಆವರ್ತಕ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾನದಂಡದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಶಾಲಾ ಪಠ್ಯಕ್ರಮ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮಾತ್ರ. ಸಂಬಂಧಿತ ವಿಷಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಅವರ ಬಗ್ಗೆ ವಿವರವಾಗಿ ಮಾತನಾಡಿದ್ದೇವೆ.

ಆವರ್ತಕ ಕಾರ್ಯಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಿರ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವಾದಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಿದಾಗ ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಈ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಾರ್ಯದ ಅವಧಿಮತ್ತು ಪತ್ರದಿಂದ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಇದರ ಸೂತ್ರವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: .

ಸೈನ್ ಗ್ರಾಫ್ನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಕಾರ್ಯಗಳ ಅವಧಿ ಮತ್ತು ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅವಧಿ ಮತ್ತು ಆಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೆನಪಿಸೋಣ.

ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಫಾರ್ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳುಸಂಕೀರ್ಣ ವಾದದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಮಾಣಿತವಲ್ಲದ ಅವಧಿ ಇರಬಹುದು. ಇದರ ಬಗ್ಗೆರೂಪದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ:

ಅವರ ಅವಧಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ:

ಅವರ ಅವಧಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಹೊಸ ಅವಧಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ಪ್ರಮಾಣಿತ ಅವಧಿಯನ್ನು ವಾದದಲ್ಲಿನ ಅಂಶದಿಂದ ಸರಳವಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದು ಕಾರ್ಯದ ಇತರ ಮಾರ್ಪಾಡುಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿಲ್ಲ.

ಮಿತಿಯ.

ಕಾರ್ಯ y=f(x) ಯಾವುದೇ xϵX ಗೆ ಅಸಮಾನತೆ f(x) ಹೊಂದಿರುವಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದ್ದರೆ X⊂D(f) ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಬೌಂಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ< a.

ಕಾರ್ಯ y=f(x) ಯಾವುದೇ хϵХ ಗೆ ಅಸಮಾನತೆ f(x) ಹೊಂದಿರುವಂತಹ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಿದ್ದರೆ X⊂D(f) ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಮೇಲಿನಿಂದ ಮಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ< a.

ಮಧ್ಯಂತರ X ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸದಿದ್ದರೆ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆ ಎರಡೂ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬೌಂಡೆಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಗ್ರಾಫ್‌ನಿಂದ ಓದುವುದು ಸುಲಭ. ನೀವು ಕೆಲವು ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಬಹುದು y=a, ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವು ಈ ರೇಖೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ, ಅದು ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕೆಳಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಪ್ರಕಾರ ಮೇಲೆ. ಕೆಳಗಿರುವ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಗೆಳೆಯರೇ, ಸೀಮಿತ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನೀವೇ ಸೆಳೆಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.

ವಿಷಯ: ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು: ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು; ಅತ್ಯುನ್ನತ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮೌಲ್ಯಗಳು; ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳು (ಸ್ಥಳೀಯ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ), ಕಾರ್ಯದ ಪೀನತೆ.

ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು.

ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳ ಮತ್ತು ಇಳಿಕೆಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ (ಚಿಹ್ನೆಗಳು) ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳ ಮತ್ತು ಇಳಿಕೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ.

ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ:

· ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ y=f(x)ಯಾರಿಗಾದರೂ ಧನಾತ್ಮಕ Xಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ X, ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ X;

· ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ y=f(x)ಯಾರಿಗಾದರೂ ಋಣಾತ್ಮಕ Xಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ X, ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ X.

ಹೀಗಾಗಿ, ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳ ಮತ್ತು ಇಳಿಕೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ಇದು ಅವಶ್ಯಕ:

· ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ;

· ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ;

· ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ;

ಕಾರ್ಯದ ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೀಮಾ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2

ಈ ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆ ಇದ್ದರೆ $x_0$ ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ $f(x)$ $ ಹಿಡಿದಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3

ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಕ್ರಿಯೆಯ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ. ನಾವು ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4

$x_0$ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಕಾರ್ಯ $f(x)$ ವೇಳೆ:

1) $x_0$ - ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ಗಳು;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ.

ತೀವ್ರತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಾಗಿ, ನಾವು ಸಾಕಷ್ಟು ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಬಹುದು ಅಗತ್ಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳುಅವನ ಅಸ್ತಿತ್ವ.

ಪ್ರಮೇಯ 2

ಒಂದು ವಿಪರೀತಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿ

$y=f(x)$ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ $x_0$ ಬಿಂದು ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು $(a,b)$ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ $\ಎಡ(a,x_0\ಬಲ)\ ಮತ್ತು\ (x_0,b)$ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ $f"(x)$ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಲಿ ಮತ್ತು ಸಂರಕ್ಷಿಸಿ ಶಾಶ್ವತ ಚಿಹ್ನೆ. ನಂತರ:

1) $(a,x_0)$ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನವು $f"\left(x\right)>0$ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು $(x_0,b)$ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ $f"\left( x\ಬಲ)

2) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ $(a,x_0)$ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ $f"\left(x\right)0$ ಆಗಿದ್ದರೆ, $x_0$ ಬಿಂದುವು ಈ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

3) ಎರಡೂ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ $(a,x_0)$ ಮತ್ತು $(x_0,b)$ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ $f"\left(x\right) >0$ ಅಥವಾ ಉತ್ಪನ್ನ $f"\left(x \ಬಲ)

ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಚಿತ್ರ 1 ರಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರ 1. ತೀವ್ರತೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿ

ವಿಪರೀತಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು (ಚಿತ್ರ 2).

ಚಿತ್ರ 2. ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೀಮ್ಗಾಗಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ನಿಯಮ

2) $f"(x)$ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ;

7) ಪ್ರಮೇಯ 2 ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರತಿ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಮಿನಿಮಾ ಇರುವಿಕೆಯ ಬಗ್ಗೆ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು

ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ನಾವು ಮೊದಲು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5

$X$ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ $y=f(x)$ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ $x_1,x_2\in X$ ನಲ್ಲಿ $x_1 ನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 6

$X$ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ $y=f(x)$ ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ $x_1,x_2\in X$ ನಲ್ಲಿ $x_1f(x_2)$ ಗಾಗಿ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೀವು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬಹುದು.

ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು, ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಮಾಡಬೇಕು:

1) $f(x)$ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ;

2) $f"(x)$ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ;

3) ಸಮಾನತೆ $f"\left(x\right)=0$ ಹೊಂದಿರುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ;

4) $f"(x)$ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ;

5) ಪತ್ತೆಯಾದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಈ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಿ;

6) ಪ್ರತಿ ಫಲಿತಾಂಶದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ $f"(x)$ ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ;

7) ಒಂದು ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ: $f"\ಎಡ(x\ಬಲ)0$ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ.

ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳ ಹೆಚ್ಚಳ, ಇಳಿಕೆ ಮತ್ತು ಉಪಸ್ಥಿತಿಗಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

ಮೊದಲ 6 ಅಂಕಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅವುಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ನಿರ್ವಹಿಸೋಣ.

1) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ - ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು;

2) $f"\ಎಡ(x\ಬಲ)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\ಎಡ(x\ಬಲ)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ;

5) ಸಮನ್ವಯ ರೇಖೆ:

ಚಿತ್ರ 3.

6) ಪ್ರತಿ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ $f"(x)$ ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ:

\\. ಇದು ಗರಿಷ್ಟ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಅಂಕಿ x = b ನಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಂತಿದೆ.

ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲು ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು

ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಕಾರ್ಯವು ಈ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದಾಗ ತೀವ್ರತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಮೊದಲ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ತೀವ್ರತೆಗೆ ಮೊದಲ ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4

x 0 ಬಿಂದುವಿನ ε ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಭೇದಿಸಬಹುದಾದ ಮತ್ತು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಬಿಂದು x 0 ನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ y = f (x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡೋಣ. ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಯಾವಾಗ f " (x) > 0 ಜೊತೆಗೆ x ∈ (x 0 - ε ; x 0) ಮತ್ತು f " (x)< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
ಯಾವಾಗ f "(x)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) ಗೆ 0, ನಂತರ x 0 ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲು ನಾವು ಅವರ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

x 0 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾದಾಗ, ಅದು ಬದಲಾಗುವ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ + ನಿಂದ -, ಅಂದರೆ ಬಿಂದುವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ;
x 0 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾದಾಗ, ಅದು - ಗೆ + ಗೆ ಬದಲಾಗುವ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕನಿಷ್ಠ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ಅವುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು ನೀವು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸಬೇಕು:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ;
ಈ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ;
ಕಾರ್ಯವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಸೊನ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ;
ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು;
ಕಾರ್ಯವು ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ.

ಕ್ರಿಯೆಯ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ y = 2 (x + 1) 2 x - 2 .

ಪರಿಹಾರ

ಈ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ x = 2 ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಮೊದಲಿಗೆ, ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಮತ್ತು ಪಡೆಯೋಣ:

y " = 2 x + 1 2 x - 2 " = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2 ) - (x + 2) 2 (x - 2) 2 = = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2

ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಕಾರ್ಯದ ಸೊನ್ನೆಗಳು x = - 1, x = 5, x = 2 ಎಂದು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಅನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು. ಅದನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಕ್ಷದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಿ ಮತ್ತು ಪಡೆಯೋಣ:

ಈಗ ನಾವು ಪ್ರತಿ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಬದಲಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಂಕಗಳು x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6.

ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

y " (- 2) = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2 x = - 2 = 2 · (- 2 + 1) · (- 2 - 5) (- 2 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0, ಅಂದರೆ ಮಧ್ಯಂತರ - ∞ ; - 1 ಧನಾತ್ಮಕ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಹಾಗೆಯೇ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

y " (0) = 2 · (0 + 1) · 0 - 5 0 - 2 2 = 2 · - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

ಎರಡನೇ ಮಧ್ಯಂತರವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುವುದರಿಂದ, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿನ ಉತ್ಪನ್ನವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದರ್ಥ. ಮೂರನೆಯದು ಮೈನಸ್‌ನೊಂದಿಗೆ, ನಾಲ್ಕನೆಯದು ಪ್ಲಸ್‌ನೊಂದಿಗೆ. ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ನೀವು ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಗೆ ಗಮನ ಕೊಡಬೇಕು; ಅದು ಬದಲಾದರೆ, ಇದು ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.

x = - 1 ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ ಉತ್ಪನ್ನವು + ನಿಂದ - ಗೆ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಚಿಹ್ನೆಯ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು x = - 1 ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಅಂದರೆ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

y m a x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0

ಪಾಯಿಂಟ್ x = 5 ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು - ರಿಂದ + ಗೆ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ x = -1 ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದು, ಮತ್ತು ಅದರ ನಿರ್ಣಯವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

y m i n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24

ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಚಿತ್ರ

ಉತ್ತರ: y m a x = y (- 1) = 0, y m i n = y (5) = 24.

ತೀವ್ರತೆಗೆ ಮೊದಲ ಸಾಕಷ್ಟು ಮಾನದಂಡದ ಬಳಕೆಯು x 0 ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅಗತ್ಯವಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಗಮನ ಕೊಡುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2

y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8 ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಕಾರ್ಯದ ಡೊಮೇನ್ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಇದನ್ನು ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

ನಂತರ ನೀವು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು:

y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 " , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 y " = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

ಪಾಯಿಂಟ್ x = 0 ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

lim y "x → 0 - 0 = lim y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 ಲಿಮ್ y "x → 0 + 0 = ಲಿಮ್ ವೈ x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3

x = 0 ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ನಂತರ ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ

lim y x → 0 - 0 = lim x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 · (0 - 0) 3 - 2 · (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 lim y x → 0 + 0 = lim x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 · (0 + 0) 2 + 22 3 · (0 + 0) - 8 = - 8 y (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 · 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8

ಉತ್ಪನ್ನವಾದಾಗ ವಾದದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮ:

1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0

ಪ್ರತಿ ಮಧ್ಯಂತರದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಎಲ್ಲಾ ಪಡೆದ ಅಂಕಗಳನ್ನು ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರತಿ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು x = - 6, x = - 4, x = - 1, x = 1, x = 4, x = 6 ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಂಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

y " (- 6) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 6 = - 1 2 · - 6 2 - 4 · (- 6) - 22 3 = - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 y " (- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 · (- 1) 2 - 4 · (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 y "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿರುವ ಚಿತ್ರವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ

ಇದರರ್ಥ ನಾವು ತೀವ್ರತೆಯ ಮೊದಲ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಆಶ್ರಯಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಎಂಬ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತೇವೆ. ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ

x = - 4 - 2 3 3, x = 0, x = 4 + 2 3 3, ನಂತರ ಇಲ್ಲಿಂದ ಗರಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳು x = - 4 + 2 3 3, x = 4 - 2 3 3 ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ

ಕನಿಷ್ಠ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3

ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3

ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಚಿತ್ರ

ಉತ್ತರ:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 8 y 27 = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3

f " (x 0) = 0 ಎಂಬ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, f "" (x 0) > 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, f "" (x 0) ಆಗಿದ್ದರೆ x 0 ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದು ಎಂದು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

ಉದಾಹರಣೆ 3

y = 8 x x + 1 ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ

ಮೊದಲಿಗೆ, ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

D(y) : x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಅದರ ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

y " = 8 x x + 1 " = 8 x " (x + 1) - x (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x

x = 1 ನಲ್ಲಿ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಬಿಂದುವು ಸಂಭವನೀಯ ವಿಪರೀತವಾಗಿದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು, ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು x = 1 ನಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 "x + (x + 1) 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1) " x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1 ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 · - 4 8 = - 1< 0

ಇದರರ್ಥ ಒಂದು ತೀವ್ರತೆಗೆ 2 ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು x = 1 ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದು ಎಂದು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಮೂದು y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4 ನಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ.

ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಚಿತ್ರ

ಉತ್ತರ: y m a x = y (1) = 4 ..

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5

y = f (x) ಕಾರ್ಯವು ε ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ n ನೇ ಕ್ರಮದವರೆಗೆ ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಪಾಯಿಂಟ್ ನೀಡಲಾಗಿದೆ x 0 ಮತ್ತು x 0 ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ n + 1 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದವರೆಗೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ನಂತರ f " (x 0) = f "" (x 0) = f "" " (x 0) = . . . = f n (x 0) = 0 .

n ಸಮಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದಾಗ, x 0 ಅನ್ನು ಇನ್ಫ್ಲೆಕ್ಷನ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, n ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದಾಗ, ನಂತರ x 0 ಒಂದು ತೀವ್ರ ಬಿಂದು, ಮತ್ತು f (n + 1) (x 0) > 0, ನಂತರ x 0 ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ, f (n + 1) (x 0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

ಉದಾಹರಣೆ 4

y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4 ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ

ಮೂಲ ಕಾರ್ಯವು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದರರ್ಥ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

y " = 1 16 x + 1 3 " (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " = = 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7 x - 5)

ಈ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3 ನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಅಂಕಗಳು ಸಂಭವನೀಯ ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿರಬಹುದು. ತೀವ್ರತೆಗೆ ಮೂರನೇ ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಎರಡನೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡನೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅದರ ಸಂಭವನೀಯ ತೀವ್ರತೆಯ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 y "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0

ಇದರರ್ಥ x 2 = 5 7 ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. 3 ನೇ ಸಾಕಷ್ಟು ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು n = 1 ಮತ್ತು f (n + 1) 5 7 ಗಾಗಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ< 0 .

x 1 = - 1, x 3 = 3 ಬಿಂದುಗಳ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಮೂರನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಮತ್ತು ಈ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು. ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

y "" " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " = = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y """ (- 1) = 96 ≠ 0 y "" " (3) = 0

ಇದರರ್ಥ x 1 = - 1 ಕಾರ್ಯದ ವಿಭಕ್ತಿ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ n = 2 ಮತ್ತು f (n + 1) (- 1) ≠ 0. ಪಾಯಿಂಟ್ x 3 = 3 ಅನ್ನು ತನಿಖೆ ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು 4 ನೇ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ:

y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " = = 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0

ಮೇಲೆ ನಿರ್ಧರಿಸಿದ ವಿಷಯದಿಂದ ನಾವು x 3 = 3 ಕಾರ್ಯದ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದು ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಚಿತ್ರ

ಉತ್ತರ: x 2 = 5 7 ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ, x 3 = 3 ನೀಡಿದ ಕಾರ್ಯದ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.

ನೀವು ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ದೋಷವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ಅದನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು Ctrl+Enter ಒತ್ತಿರಿ

ಕಾರ್ಯದ ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೀಮಾ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4

$x_0$ ಅನ್ನು $f(x)$ ಕಾರ್ಯದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

1) $x_0$ - ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನ ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದು;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ.

ತೀವ್ರತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಾಗಿ, ಅದರ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯವಾದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಮೇಲೆ ನಾವು ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಬಹುದು.

ಪ್ರಮೇಯ 2

ಒಂದು ವಿಪರೀತಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿ

$y=f(x)$ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ $x_0$ ಬಿಂದು ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು $(a,b)$ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ $\left(a,x_0\right)\ ಮತ್ತು\ (x_0,b)$ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ $f"(x)$ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ:

ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಚಿತ್ರ 1 ರಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರ 1. ತೀವ್ರತೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿ

ವಿಪರೀತಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು (ಚಿತ್ರ 2).

ಚಿತ್ರ 2. ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೀಮ್ಗಾಗಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ನಿಯಮ

2) $f"(x)$ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ;

ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 6

ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು

1) $f(x)$ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ;

2) $f"(x)$ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ;

3) ಸಮಾನತೆ $f"\left(x\right)=0$ ಹೊಂದಿರುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ;

4) $f"(x)$ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ;

6) ಪ್ರತಿ ಫಲಿತಾಂಶದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ $f"(x)$ ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ;

7) ಒಂದು ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ: $f"\ಎಡ(x\ಬಲ)0$ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ.

ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳ ಹೆಚ್ಚಳ, ಇಳಿಕೆ ಮತ್ತು ಉಪಸ್ಥಿತಿಗಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಮೊದಲ 6 ಅಂಕಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅವುಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ನಿರ್ವಹಿಸೋಣ.

1) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ - ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು;

2) $f"\ಎಡ(x\ಬಲ)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\ಎಡ(x\ಬಲ)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ;

5) ಸಮನ್ವಯ ರೇಖೆ:

ಚಿತ್ರ 3.

6) ಪ್ರತಿ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ $f"(x)$ ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ:

\ \}