Apakah luas piramid terpotong? Kalkulator dalam talian untuk mengira luas permukaan piramid terpotong

ialah polihedron yang dibentuk oleh dasar piramid dan bahagian yang selari dengannya. Kita boleh mengatakan bahawa piramid yang dipotong ialah piramid dengan bahagian atasnya dipotong. Angka ini mempunyai banyak sifat unik:

Muka sisi piramid ialah trapezoid;
Tepi sisi piramid terpotong biasa adalah sama panjang dan condong ke tapak pada sudut yang sama;
Tapaknya ialah poligon yang serupa;
Dalam piramid terpotong biasa, muka adalah trapezoid sama kaki yang sama, yang luasnya sama. Mereka juga cenderung ke pangkalan pada satu sudut.

Formula untuk luas permukaan sisi piramid terpotong ialah jumlah luas sisinya:

Memandangkan sisi piramid terpotong ialah trapezoid, untuk mengira parameter anda perlu menggunakan formula kawasan trapezoid. Untuk piramid terpotong biasa, anda boleh menggunakan formula yang berbeza untuk mengira luas. Oleh kerana semua sisi, muka dan sudutnya pada tapak adalah sama, adalah mungkin untuk menggunakan perimeter tapak dan apotema, dan juga memperoleh luas melalui sudut pada tapak.

Jika, mengikut keadaan dalam piramid terpotong biasa, apotema (ketinggian sisi) dan panjang sisi tapak diberi, maka luas itu boleh dikira melalui hasil separuh daripada hasil tambah perimeter bagi asas dan apotema:

Mari kita lihat contoh pengiraan luas permukaan sisi piramid terpotong.
Diberi piramid pentagon biasa. Apothem l= 5 cm, panjang tepi dalam tapak besar ialah a= 6 cm, dan tepi berada di tapak yang lebih kecil b= 4 cm Hitung luas piramid terpotong itu.

Mula-mula, mari kita cari perimeter tapak. Oleh kerana kita diberi piramid segi lima, kita faham bahawa tapaknya adalah pentagon. Ini bermakna tapak mengandungi rajah dengan lima sisi yang sama. Mari cari perimeter tapak yang lebih besar:

Dengan cara yang sama kita dapati perimeter tapak yang lebih kecil:

Sekarang kita boleh mengira luas piramid terpotong biasa. Gantikan data ke dalam formula:

Oleh itu, kami mengira luas piramid terpotong biasa melalui perimeter dan apotema.

Satu lagi cara untuk mengira luas permukaan sisi piramid biasa, inilah formulanya melalui sudut di tapak dan luas tapak ini.

Mari kita lihat contoh pengiraan. Kami ingat itu formula ini hanya terpakai kepada piramid terpotong biasa.

Biarkan piramid segi empat biasa diberikan. Tepi tapak bawah ialah a = 6 cm, dan tepi tapak atas ialah b = 4 cm Sudut dihedral pada tapak ialah β = 60°. Cari luas permukaan sisi piramid terpotong biasa.

Pertama, mari kita hitung luas pangkalan. Oleh kerana piramid adalah sekata, semua tepi tapak adalah sama antara satu sama lain. Memandangkan tapak adalah segiempat, kami faham bahawa ia akan diperlukan untuk mengira luas dataran. Ia adalah produk lebar dan panjang, tetapi apabila kuasa dua nilai ini adalah sama. Mari cari luas pangkalan yang lebih besar:

Sekarang kita menggunakan nilai yang ditemui untuk mengira luas permukaan sisi.

Mengetahui beberapa formula mudah, kami dengan mudah mengira luas trapezoid sisi piramid terpotong menggunakan pelbagai nilai.

Dalam pelajaran ini kita akan melihat piramid terpotong, berkenalan dengan piramid terpotong biasa, dan mengkaji sifatnya.

Mari kita ingat konsep piramid n-gonal menggunakan contoh piramid segi tiga. Segitiga ABC diberi. Di luar satah segi tiga, satu titik P diambil, disambungkan ke bucu segitiga itu. Permukaan polihedral yang terhasil dipanggil piramid (Rajah 1).

nasi. 1. Piramid segi tiga

Mari kita potong piramid dengan satah selari dengan satah asas piramid. Angka yang diperoleh di antara satah ini dipanggil piramid terpotong (Rajah 2).

nasi. 2. Piramid terpotong

Elemen penting:

Pangkalan atas;

tapak bawah ABC;

Muka sisi;

Jika PH ialah ketinggian piramid asal, maka ia adalah ketinggian piramid terpotong.

Sifat-sifat piramid terpenggal timbul daripada kaedah pembinaannya, iaitu dari keselarian satah tapak:

Semua muka sisi piramid terpotong ialah trapezoid. Pertimbangkan, sebagai contoh, tepi. Ia mempunyai sifat satah selari (memandangkan satah selari, ia memotong muka sisi piramid AVR asal di sepanjang garis lurus selari), tetapi pada masa yang sama ia tidak selari. Jelas sekali, segi empat ialah trapezoid, seperti semua muka sisi piramid terpotong.

Nisbah tapak adalah sama untuk semua trapezoid:

Kami mempunyai beberapa pasang segi tiga yang serupa dengan pekali persamaan yang sama. Sebagai contoh, segi tiga dan RAB adalah serupa disebabkan oleh keselarian satah dan , pekali persamaan:

Pada masa yang sama, segi tiga dan RVS adalah serupa dengan pekali persamaan:

Jelas sekali, pekali kesamaan untuk ketiga-tiga pasangan segi tiga yang serupa adalah sama, jadi nisbah tapak adalah sama untuk semua trapezoid.

Piramid terpotong biasa ialah piramid terpotong yang diperolehi dengan memotong piramid biasa dengan satah selari dengan tapak (Rajah 3).

nasi. 3. Piramid terpotong biasa

Definisi.

Piramid dipanggil sekata jika tapaknya ialah n-gon sekata, dan bucunya diunjurkan ke tengah-tengah n-gon ini (pusat bulatan bertulis dan berbatas).

Dalam kes ini, terdapat segi empat sama di dasar piramid, dan bahagian atas diunjurkan pada titik persilangan pepenjurunya. Piramid terpenggal segi empat sekata biasa yang terhasil ABCD mempunyai tapak bawah dan tapak atas. Ketinggian piramid asal ialah RO, piramid yang dipotong ialah (Rajah 4).

nasi. 4. Piramid terpotong segi empat biasa biasa

Definisi.

Ketinggian piramid terpotong ialah serenjang yang dilukis dari mana-mana titik satu tapak ke satah tapak kedua.

Apotema piramid asal ialah RM (M ialah tengah AB), apotema piramid terpotong ialah (Rajah 4).

Definisi.

Apotema piramid terpotong ialah ketinggian mana-mana muka sisi.

Adalah jelas bahawa semua tepi sisi piramid terpotong adalah sama antara satu sama lain, iaitu, muka sisi adalah sama trapezoid sama kaki.

Luas permukaan sisi piramid terpotong sekata adalah sama dengan hasil darab separuh daripada jumlah perimeter tapak dan apotema.

Bukti (untuk piramid terpotong segi empat biasa - Rajah 4):

Jadi, kita perlu membuktikan:

Luas permukaan sisi di sini akan terdiri daripada jumlah kawasan muka sisi - trapezoid. Oleh kerana trapezoid adalah sama, kita mempunyai:

Luas trapezoid isosceles ialah hasil daripada separuh jumlah tapak dan ketinggian apotema ialah ketinggian trapezoid. Kami ada:

Q.E.D.

Untuk piramid n-gonal:

Di mana n ialah bilangan muka sisi piramid, a dan b ialah tapak trapezoid, dan ialah apotema.

Sisi pangkal dipotong biasa piramid segi empat sama dengan 3 cm dan 9 cm, tinggi - 4 cm Cari luas permukaan sisi.

nasi. 5. Ilustrasi untuk masalah 1

Penyelesaian. Mari kita gambarkan keadaan:

Ditanya oleh: , ,

Melalui titik O kita lukis garis lurus MN selari dengan kedua-dua belah tapak bawah, dan begitu juga melalui titik itu kita lukis garis lurus (Rajah 6). Oleh kerana segi empat sama dan binaan di dasar piramid terpotong adalah selari, kita memperoleh trapezoid yang sama dengan muka sisi. Selain itu, sisinya akan melalui bahagian tengah tepi atas dan bawah muka sisi dan akan menjadi apotema piramid terpotong.

nasi. 6. Pembinaan tambahan

Mari kita pertimbangkan trapezoid yang terhasil (Rajah 6). Dalam trapezoid ini, tapak atas, tapak bawah dan ketinggian diketahui. Anda perlu mencari sisi yang merupakan apotema bagi piramid terpotong yang diberikan. Mari kita lukis berserenjang dengan MN. Dari titik kita menurunkan NQ serenjang. Kami mendapati bahawa tapak yang lebih besar dibahagikan kepada segmen tiga sentimeter (). Pertimbangkan segi tiga tepat, kaki di dalamnya diketahui, ini adalah segitiga Mesir, menggunakan teorem Pythagoras kita menentukan panjang hipotenus: 5 cm.

Kini terdapat semua elemen untuk menentukan luas permukaan sisi piramid:

Piramid itu bersilang dengan satah selari dengan tapak. Buktikan, dengan menggunakan contoh piramid segi tiga, bahawa tepi sisi dan ketinggian piramid itu dibahagikan oleh satah ini kepada bahagian berkadar.

Bukti. Mari kita gambarkan:

nasi. 7. Ilustrasi untuk masalah 2

Piramid RABC diberikan. PO - ketinggian piramid. Piramid dipotong oleh satah, piramid yang dipotong diperolehi, dan. Titik - titik persilangan ketinggian RO dengan satah asas piramid terpotong. Ia adalah perlu untuk membuktikan:

Kunci kepada penyelesaian adalah sifat satah selari. Dua satah selari bersilang mana-mana satah ketiga supaya garis persilangan adalah selari. Dari sini: . Keselarian garisan yang sepadan menunjukkan kehadiran empat pasang segi tiga yang serupa:

Daripada kesamaan segi tiga mengikuti kekadaran sisi yang sepadan. Ciri Penting ialah pekali kesamaan bagi segi tiga ini adalah sama:

Q.E.D.

Piramid segi tiga biasa RABC dengan ketinggian dan sisi tapak dibedah oleh satah yang melalui tengah PH ketinggian selari dengan tapak ABC. Cari luas permukaan sisi piramid terpotong yang terhasil.

Penyelesaian. Mari kita gambarkan:

nasi. 8. Ilustrasi untuk masalah 3

ACB ialah segi tiga sekata, H ialah pusat segitiga ini (pusat bulatan bertulis dan berbatas). RM ialah apotema bagi piramid yang diberi. - apotema piramid terpotong. Mengikut sifat satah selari (dua satah selari memotong mana-mana satah ketiga supaya garis persilangan selari), kita mempunyai beberapa pasang segi tiga yang serupa dengan pekali persamaan yang sama. Khususnya, kami berminat dalam hubungan:

Jom cari NM. Ini ialah jejari bulatan yang tertulis di pangkalan; kita tahu formula yang sepadan:

Sekarang dari segi tiga tepat RNM menggunakan teorem Pythagoras kita dapati RM - apotema piramid asal:

Daripada nisbah awal:

Sekarang kita tahu semua elemen untuk mencari luas permukaan sisi piramid terpotong:

Jadi, kami berkenalan dengan konsep piramid terpotong dan piramid terpotong biasa, memberikan definisi asas, memeriksa sifat-sifat, dan membuktikan teorem pada luas permukaan sisi. Pelajaran seterusnya akan memberi tumpuan kepada penyelesaian masalah.

Bibliografi

I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. Geometri. Darjah 10-11: buku teks untuk pelajar institusi pendidikan(asas dan tahap profil) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - ed. ke-5, rev. dan tambahan - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: sakit.
Sharygin I. F. Geometri. Darjah 10-11: Buku teks pendidikan am institusi pendidikan/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 p.: sakit.
E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. Geometri. Gred 10: Buku teks untuk institusi pendidikan am dengan kajian mendalam dan pengkhususan matematik /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - ed. ke-6, stereotaip. - M.: Bustard, 2008. - 233 p.: sakit.

Uztest.ru ().
Fmclass.ru ().
Webmath.exponenta.ru ().

Kerja rumah

29.05.2016
Litar berayun - litar elektrik yang mengandungi induktor, kapasitor dan sumber tenaga elektrik. Apabila elemen litar disambung secara bersiri, litar berayun dipanggil bersiri, dan apabila disambung secara selari, ia dipanggil selari. Litar berayun ialah sistem paling mudah di mana ayunan elektromagnet bebas boleh berlaku. Kekerapan resonans litar ditentukan oleh formula Thomson yang dipanggil: ƒ = 1/(2π√(LC)) Untuk ...
20.09.2014
Penerima direka bentuk untuk menerima isyarat dalam julat DV (150 kHz...300 kHz). ciri utama penerima dalam antena yang mempunyai kearuhan yang lebih besar daripada antena magnet konvensional. Ini memungkinkan untuk menggunakan kapasitansi kapasitor penalaan dalam julat 4...20 pF, dan juga penerima sedemikian mempunyai sensitiviti yang boleh diterima dan sedikit keuntungan dalam laluan RF. Penerima berfungsi untuk fon kepala (fon kepala), dikuasakan...
24.09.2014
Peranti ini direka untuk memantau paras cecair dalam tangki sebaik sahaja cecair meningkat tahap yang ditetapkan Peranti akan mula berbunyi secara berterusan apabila paras cecair mencapai tahap kritikal Peranti akan mula mengeluarkan isyarat terputus-putus. Penunjuk terdiri daripada 2 penjana, ia dikawal oleh elemen sensor E. Ia diletakkan di dalam tangki pada tahap sehingga ...
22.09.2014
KR1016VI1 ialah pemasa berbilang program digital yang direka bentuk untuk berfungsi dengan penunjuk ILC3-5\7. Ia menyediakan pengiraan dan paparan masa semasa dalam jam dan minit, hari dalam seminggu dan nombor saluran kawalan (9 penggera). Litar jam penggera ditunjukkan dalam rajah. Litar mikro di jam. resonator Q1 pada 32768Hz. makanan adalah negatif, jumlah tambah pergi ke ...

Piramid. Piramid terpotong

Piramid ialah polihedron, salah satu mukanya ialah poligon ( asas ), dan semua muka lain ialah segi tiga dengan bucu sepunya ( muka sebelah ) (Gamb. 15). Piramid dipanggil betul , jika tapaknya ialah poligon sekata dan bahagian atas piramid diunjurkan ke tengah tapak (Gamb. 16). Piramid segi tiga dengan semua tepi sama dipanggil tetrahedron .

Tulang rusuk sisi piramid ialah sisi muka sisi yang bukan milik tapak Ketinggian piramid ialah jarak dari atasnya ke satah tapak. Semua tepi sisi piramid biasa adalah sama antara satu sama lain, semua muka sisi adalah segi tiga sama kaki sama. Ketinggian muka sisi piramid sekata yang dilukis daripada bucu dipanggil apotema . Bahagian pepenjuru dipanggil bahagian piramid oleh satah yang melalui dua tepi sisi yang tidak tergolong dalam muka yang sama.

Luas permukaan sisi piramid ialah jumlah luas semua muka sisi. Kawasan permukaan penuh dipanggil jumlah luas semua muka sisi dan tapak.

Teorem

1. Jika dalam piramid semua tepi sisi adalah sama condong ke satah tapak, maka bahagian atas piramid itu diunjurkan ke tengah bulatan yang dihadkan berhampiran tapak.

2. Jika dalam piramid semua tepi sisi mempunyai sama panjang, kemudian bahagian atas piramid diunjurkan ke tengah bulatan yang dihadkan berhampiran pangkalan.

3. Jika semua muka dalam piramid adalah sama condong ke satah tapak, maka bahagian atas piramid itu diunjurkan ke tengah bulatan yang tertulis di tapak.

Untuk mengira isipadu piramid arbitrari, formula yang betul ialah:

di mana V- isipadu;

pangkalan S– kawasan asas;

H– ketinggian piramid.

Untuk piramid biasa, formula berikut adalah betul:

di mana hlm– perimeter asas;

h a– apotema;

H- ketinggian;

S penuh

S sebelah

pangkalan S– kawasan asas;

V– isipadu piramid biasa.

Piramid terpotong dipanggil bahagian piramid yang tertutup di antara tapak dan satah pemotongan selari dengan tapak piramid (Rajah 17). Piramid terpotong biasa dipanggil bahagian piramid sekata yang tertutup di antara tapak dan satah pemotong yang selari dengan tapak piramid.

alasan piramid terpotong - poligon serupa. Muka sisi – trapezoid. Ketinggian piramid terpotong ialah jarak antara tapaknya. pepenjuru piramid terpotong ialah segmen yang menghubungkan bucunya yang tidak terletak pada muka yang sama. Bahagian pepenjuru ialah bahagian piramid terpotong oleh satah yang melalui dua tepi sisi yang tidak tergolong dalam muka yang sama.

Untuk piramid terpotong, formula berikut adalah sah:

(4)

di mana S 1 , S 2 - kawasan pangkalan atas dan bawah;

S penuh– jumlah luas permukaan;

S sebelah– luas permukaan sisi;

H- ketinggian;

V– isipadu piramid terpotong.

Untuk piramid terpotong biasa formulanya betul:

di mana hlm 1 , hlm 2 - perimeter pangkalan;

h a– apotema piramid biasa dipotong.

Contoh 1. Di sebelah kanan piramid segi tiga sudut dihedral pada tapak ialah 60º. Cari tangen bagi sudut tunduk rusuk sisi ke satah asas.

Penyelesaian. Mari buat lukisan (Gamb. 18).

Piramid adalah sekata, yang bermaksud bahawa di pangkalan terdapat segi tiga sama sisi dan semua muka sisi adalah segi tiga sama kaki. Sudut dihedral pada tapak ialah sudut kecondongan muka sisi piramid kepada satah tapak. Sudut linear akan ada sudut a antara dua serenjang: dsb. Bahagian atas piramid diunjurkan di tengah segi tiga (tengah bulatan dan bulatan bertulis segitiga ABC). Sudut kecondongan tepi sisi (contohnya S.B.) ialah sudut antara tepi itu sendiri dan unjurannya pada satah tapak. Untuk tulang rusuk S.B. sudut ini akan menjadi sudut SBD. Untuk mencari tangen anda perlu mengetahui kaki JADI Dan O.B.. Biarkan panjang segmen BD sama dengan 3 A. titik TENTANG segmen garisan BD dibahagikan kepada bahagian: dan Daripada kita dapati JADI: Daripada kami dapati:

Jawapan:

Contoh 2. Cari isipadu piramid segi empat tepat terpotong sekata jika pepenjuru tapaknya adalah sama dengan cm dan cm, dan tingginya ialah 4 cm.

Penyelesaian. Untuk mencari isipadu piramid terpotong, kami menggunakan formula (4). Untuk mencari luas tapak, anda perlu mencari sisi petak tapak, mengetahui pepenjurunya. Sisi tapak adalah sama dengan 2 cm dan 8 cm, ini bermakna luas tapak dan Menggantikan semua data ke dalam formula, kami mengira isipadu piramid terpotong.

Jawapan: 112 cm 3.

Contoh 3. Cari luas muka sisi piramid terpotong segi tiga sekata, sisi tapaknya ialah 10 cm dan 4 cm, dan tinggi piramid itu ialah 2 cm.

Penyelesaian. Mari buat lukisan (Gamb. 19).

Muka sisi piramid ini ialah trapezoid sama kaki. Untuk mengira luas trapezoid, anda perlu mengetahui tapak dan ketinggian. Tapak diberi mengikut keadaan, hanya ketinggiannya yang tidak diketahui. Kita akan cari dia dari mana A 1 E serenjang dari satu titik A 1 pada satah pangkalan bawah, A 1 D– berserenjang dari A 1 setiap AC. A 1 E= 2 cm, kerana ini ialah ketinggian piramid. Untuk mencari DE Mari buat lukisan tambahan yang menunjukkan paparan atas (Gamb. 20). titik TENTANG– unjuran pusat pangkalan atas dan bawah. sejak (lihat Rajah 20) dan Sebaliknya okey– jejari tertera dalam bulatan dan OM– jejari tertera dalam bulatan:

MK = DE.

Mengikut teorem Pythagoras daripada

Kawasan muka sisi:

Jawapan:

Contoh 4. Di dasar piramid terletak trapezoid sama kaki, yang tapaknya A Dan b (a> b). Setiap muka sisi membentuk sudut yang sama dengan satah tapak piramid j. Cari jumlah luas permukaan piramid itu.

Penyelesaian. Mari buat lukisan (Gamb. 21). Jumlah luas permukaan piramid SABCD sama dengan jumlah luas dan luas trapezoid ABCD.

Mari kita gunakan pernyataan bahawa jika semua muka piramid adalah sama condong ke satah tapak, maka bucu diunjurkan ke tengah bulatan yang tertulis di tapak. titik TENTANG– unjuran puncak S di dasar piramid. Segi tiga SOD ialah unjuran ortogon bagi segi tiga CSD ke satah pangkalan. Menggunakan teorem pada luas unjuran ortogon suatu rajah satah, kita memperoleh:

Begitu juga maksudnya Oleh itu, masalah dikurangkan kepada mencari luas trapezoid ABCD. Mari kita lukis trapezoid ABCD secara berasingan (Rajah 22). titik TENTANG– pusat bulatan yang ditulis dalam trapezium.

Oleh kerana bulatan boleh ditulis dalam trapezium, maka atau Daripada teorem Pythagoras kita ada