Teori getaran mekanikal. Asas teori getaran sistem mekanikal

Kami telah melihat asal-usul mekanik klasik, kekuatan bahan dan teori keanjalan. Komponen mekanik yang paling penting juga ialah teori ayunan. Getaran adalah punca utama kemusnahan mesin dan struktur. Menjelang akhir tahun 1950-an. 80% daripada kemalangan peralatan berlaku disebabkan peningkatan getaran. Getaran juga mempunyai kesan berbahaya kepada orang yang terlibat dalam pengendalian peralatan. Mereka juga boleh menyebabkan kegagalan sistem kawalan.

Walaupun semua ini, teori ayunan muncul sebagai sains bebas hanya pada permulaan abad ke-19. Walau bagaimanapun, pengiraan mesin dan mekanisme sehingga permulaan Abad XX telah dijalankan dalam suasana statik. Perkembangan kejuruteraan mekanikal, peningkatan kuasa dan kelajuan enjin stim sambil mengurangkan beratnya pada masa yang sama, kemunculan jenis enjin baru - enjin pembakaran dalaman dan turbin stim - membawa kepada keperluan untuk menjalankan pengiraan kekuatan dengan mengambil kira dinamik. bebanan. Sebagai peraturan, masalah baru dalam teori getaran timbul dalam teknologi di bawah pengaruh kemalangan atau bahkan malapetaka akibat peningkatan getaran.

Ayunan ialah pergerakan atau perubahan keadaan yang mempunyai darjah kebolehulangan yang berbeza-beza.

Teori ayunan boleh dibahagikan kepada empat tempoh.

sayatempoh– kemunculan teori ayunan dalam rangka mekanik teori (akhir abad ke-16 – akhir abad ke-18). Tempoh ini dicirikan oleh kemunculan dan perkembangan dinamik dalam karya Galileo, Huygens, Newton, d'Alembert, Euler, D. Bernoulli dan Lagrange.

Pengasas teori ayunan ialah Leonhard Euler. Pada tahun 1737, L. Euler, bagi pihak Akademi Sains St. Petersburg, memulakan penyelidikan mengenai keseimbangan dan pergerakan kapal, dan pada tahun 1749 bukunya "Sains Kapal" diterbitkan di St. Petersburg. Dalam karya Euler inilah asas-asas teori kestabilan statik dan teori ayunan diletakkan.

Jean Leron d'Alembert, dalam banyak karyanya, meneliti masalah individu, seperti ayunan kecil jasad di sekeliling pusat jisim dan sekitar paksi putaran berkaitan dengan masalah precession dan nutasi Bumi, ayunan bandul. , jasad terapung, spring, dsb. Tetapi teori am d'Alembert tidak menimbulkan sebarang keraguan.

Aplikasi yang paling penting bagi kaedah teori getaran ialah penentuan eksperimen bagi kekukuhan kilasan wayar, yang dijalankan oleh Charles Coulomb. Coulomb juga secara eksperimen menubuhkan sifat isokronisme ayunan kecil dalam masalah ini. Mengkaji redaman getaran, penguji hebat ini membuat kesimpulan bahawa punca utamanya bukanlah rintangan udara, tetapi kerugian daripada geseran dalaman dalam bahan wayar.

Sumbangan besar kepada asas teori ayunan telah dibuat oleh L. Euler, yang meletakkan asas teori kestabilan statik dan teori ayunan kecil, d'Alembert, D. Bernoulli dan Lagrange. Dalam karya mereka, konsep tempoh dan kekerapan ayunan, bentuk ayunan telah terbentuk, dan istilah ayunan kecil mula digunakan, prinsip superposisi penyelesaian telah dirumuskan, dan percubaan telah dibuat untuk mengembangkan penyelesaian kepada siri trigonometri.

Masalah pertama teori ayunan ialah masalah ayunan bandul dan tali. Kami telah bercakap tentang ayunan bandul - hasil praktikal untuk menyelesaikan masalah ini ialah ciptaan jam oleh Huygens.

Bagi masalah getaran tali, ini adalah salah satu masalah terpenting dalam sejarah perkembangan matematik dan mekanik. Mari kita lihat dengan lebih dekat.

Rentetan akustik Ini adalah benang yang ideal, licin, nipis dan fleksibel dengan panjang terhingga yang diperbuat daripada bahan pepejal, diregangkan di antara dua titik tetap. Dalam tafsiran moden, masalah getaran melintang rentetan panjang l berkurang untuk mencari penyelesaian kepada persamaan pembezaan (1) dalam terbitan separa. Di sini x ialah koordinat titik rentetan sepanjang panjang, dan y– anjakan melintangnya; H- ketegangan tali, – berat berjalannya. a ialah kelajuan perambatan gelombang. Persamaan yang sama juga menerangkan getaran membujur lajur udara dalam paip.

Dalam kes ini, taburan awal sisihan titik rentetan dari garis lurus dan halajunya mesti ditentukan, i.e. persamaan (1) mesti memenuhi syarat awal (2) dan syarat sempadan (3).

Kajian eksperimen asas pertama tentang getaran rentetan telah dijalankan oleh ahli matematik dan mekanik Belanda Isaac Beckmann (1614–1618) dan M. Mersenne, yang menubuhkan beberapa ketetapan dan menerbitkan keputusannya pada tahun 1636 dalam “Book of Consonances”:

Undang-undang Mersenne secara teorinya disahkan pada tahun 1715 oleh pelajar Newton Brooke Taylor. Dia menganggap rentetan sebagai sistem titik material dan menerima andaian berikut: semua titik rentetan secara serentak melalui kedudukan keseimbangannya (bertepatan dengan paksi x) dan daya yang bertindak pada setiap titik adalah berkadar dengan sesarannya y relatif kepada paksi x. Ini bermakna ia mengurangkan masalah kepada sistem dengan satu darjah kebebasan - persamaan (4). Taylor dengan betul memperoleh frekuensi semula jadi pertama (nada asas) - (5).

D'Alembert pada tahun 1747 untuk masalah ini menggunakan kaedah mengurangkan masalah dinamik kepada masalah statik (prinsip d'Alembert) dan memperoleh persamaan pembezaan ayunan rentetan homogen dalam derivatif separa (1) - persamaan pertama bagi fizik matematik. Dia mencari penyelesaian kepada persamaan ini dalam bentuk jumlah dua fungsi arbitrari (6)

di mana Dan – fungsi berkala bagi tempoh 2 l. Apabila menjelaskan soalan tentang jenis fungsi Dan d'Alembert mengambil kira syarat sempadan (1.2), dengan mengandaikan bahawa apabila
rentetan itu bertepatan dengan paksi x. Maksudnya ialah
tidak dinyatakan dalam pernyataan masalah.

Euler mempertimbangkan kes khas apabila
rentetan itu dipesongkan daripada kedudukan keseimbangannya dan dilepaskan tanpa kelajuan awal. Perkara penting ialah Euler tidak mengenakan sebarang sekatan pada bentuk awal rentetan, i.e. tidak memerlukan ia boleh dinyatakan secara analitikal dengan mempertimbangkan sebarang lengkung yang "boleh dilukis dengan tangan." Keputusan akhir yang diperolehi oleh pengarang: jika
bentuk rentetan diterangkan oleh persamaan
, maka ayunan kelihatan seperti ini (7). Euler menyemak semula pandangannya tentang konsep fungsi, berbeza dengan idea sebelumnya hanya sebagai ungkapan analitikal. Oleh itu, kelas fungsi yang akan dikaji dalam analisis telah diperluaskan, dan Euler membuat kesimpulan bahawa "memandangkan mana-mana fungsi akan menentukan garis tertentu, sebaliknya adalah benar - garis melengkung boleh dikurangkan kepada fungsi."

Penyelesaian yang diperolehi oleh d'Alembert dan Euler mewakili hukum ayunan tali dalam bentuk dua gelombang yang berjalan ke arah satu sama lain.Walau bagaimanapun, mereka tidak bersetuju dalam persoalan bentuk fungsi yang menentukan garis lentur.

D. Bernoulli mengambil jalan yang berbeza dalam mengkaji getaran rentetan, memecahkan rentetan menjadi titik material, yang bilangannya dianggapnya tidak terhingga. Beliau memperkenalkan konsep ayunan harmonik mudah sistem, i.e. pergerakan sedemikian di mana semua titik sistem bergetar serentak dengan frekuensi yang sama, tetapi amplitud yang berbeza. Eksperimen yang dijalankan dengan badan yang berbunyi membawa D. Bernoulli kepada idea bahawa pergerakan paling umum rentetan terdiri daripada prestasi serentak semua pergerakan yang tersedia untuknya. Ini adalah superposisi penyelesaian yang dipanggil. Oleh itu, pada tahun 1753, berdasarkan pertimbangan fizikal, dia memperoleh penyelesaian umum untuk getaran rentetan, membentangkannya sebagai jumlah penyelesaian separa, untuk setiap satunya rentetan itu membengkok dalam bentuk lengkung ciri (8).

Dalam siri ini, mod ayunan pertama ialah gelombang separuh sinus, yang kedua ialah gelombang sinus keseluruhan, yang ketiga terdiri daripada tiga gelombang separuh sinus, dsb. Amplitud mereka diwakili sebagai fungsi masa dan, pada dasarnya, adalah koordinat umum sistem yang sedang dipertimbangkan. Menurut penyelesaian D. Bernoulli, pergerakan rentetan ialah siri ayunan harmonik yang tidak terhingga dengan tempoh
. Dalam kes ini, bilangan nod (titik tetap) adalah kurang satu daripada bilangan frekuensi semula jadi. Mengehadkan siri (8) kepada bilangan sebutan terhingga, kita memperoleh bilangan persamaan terhingga untuk sistem kontinum.

Walau bagaimanapun, penyelesaian D. Bernoulli mengandungi ketidaktepatan - ia tidak mengambil kira bahawa peralihan fasa setiap harmonik ayunan adalah berbeza.

D. Bernoulli, membentangkan penyelesaian dalam bentuk siri trigonometri, menggunakan prinsip superposisi dan pengembangan penyelesaian ke dalam sistem fungsi yang lengkap. Dia betul-betul percaya bahawa dengan bantuan pelbagai istilah formula (8) adalah mungkin untuk menerangkan nada harmonik yang dikeluarkan oleh rentetan serentak dengan nada asasnya. Dia menganggap ini sebagai undang-undang am, sah untuk mana-mana sistem badan yang melakukan ayunan kecil. Walau bagaimanapun, motivasi fizikal tidak dapat menggantikan bukti matematik, yang tidak dibentangkan pada masa itu. Oleh sebab itu, rakan sekerja tidak memahami penyelesaian D. Bernoulli, walaupun pada tahun 1737 K. A. Clairaut menggunakan siri pengembangan fungsi.

Kehadiran dua cara berbeza untuk menyelesaikan masalah getaran tali menyebabkan kekecohan dalam kalangan saintis terkemuka abad ke-18. perdebatan hangat - "pertikaian rentetan". Pertikaian ini terutamanya membimbangkan soalan tentang bentuk penyelesaian yang boleh diterima untuk masalah itu, tentang perwakilan analisis fungsi, dan sama ada mungkin untuk mewakili fungsi arbitrari dalam bentuk siri trigonometri. Dalam "pertikaian rentetan" salah satu konsep analisis yang paling penting telah dibangunkan - konsep fungsi.

D'Alembert dan Euler tidak bersetuju bahawa penyelesaian yang dicadangkan oleh D. Bernoulli boleh menjadi umum. Khususnya, Euler tidak boleh bersetuju bahawa siri ini boleh mewakili sebarang "lengkung yang dilukis secara bebas", kerana dia sendiri kini mentakrifkan konsep fungsi.

Joseph Louis Lagrange, memasuki kontroversi, memecahkan rentetan menjadi lengkok kecil yang sama panjang dengan jisim tertumpu di tengah, dan menyiasat penyelesaian sistem persamaan pembezaan biasa dengan bilangan darjah kebebasan terhingga. Kemudian melepasi had, Lagrange memperoleh keputusan yang serupa dengan keputusan D. Bernoulli, tanpa, walau bagaimanapun, mempostulatkan terlebih dahulu bahawa penyelesaian am mestilah jumlah tak terhingga bagi penyelesaian separa. Pada masa yang sama, dia memperhalusi penyelesaian D. Bernoulli, membentangkannya dalam bentuk (9), dan juga memperoleh formula untuk menentukan pekali siri ini. Walaupun penyelesaian pengasas mekanik analisis tidak memenuhi semua keperluan ketelitian matematik, ia merupakan satu langkah ke hadapan yang penting.

Bagi pengembangan penyelesaian kepada siri trigonometri, Lagrange percaya bahawa di bawah keadaan awal yang sewenang-wenangnya siri itu menyimpang. 40 tahun kemudian, pada tahun 1807, J. Fourier sekali lagi menemui pengembangan fungsi ke dalam siri trigonometri untuk kali ketiga dan menunjukkan bagaimana ini boleh digunakan untuk menyelesaikan masalah, dengan itu mengesahkan ketepatan penyelesaian D. Bernoulli. Bukti analitikal lengkap teorem Fourier mengenai pengembangan fungsi berkala bernilai tunggal ke dalam siri trigonometri telah diberikan dalam kalkulus kamiran Todgönther dan dalam Thomson (Lord Kelvin) dan Risalah Tait tentang Falsafah Alam.

Penyelidikan ke dalam getaran bebas rentetan regangan berterusan selama dua abad, dikira dari kerja Beckmann. Masalah ini berfungsi sebagai rangsangan yang kuat untuk perkembangan matematik. Memandangkan ayunan sistem kontinum, Euler, d'Alembert dan D. Bernoulli mencipta satu disiplin baharu - fizik matematik. Pengmatematikan fizik, iaitu pembentangan melalui analisis baharu, adalah merit terbesar Euler, berkat laluan baharu dalam sains diturap. Perkembangan logik hasil Euler dan Fourier menghasilkan definisi fungsi yang terkenal oleh Lobachevsky dan Lejeune Dirichlet, berdasarkan idea korespondensi satu dengan satu dua set. Dirichlet juga membuktikan kemungkinan mengembangkan fungsi berterusan dan monoton sekeping ke dalam siri Fourier. Persamaan gelombang satu dimensi juga diperoleh dan kesamaan dua penyelesaiannya telah diwujudkan, yang secara matematik mengesahkan hubungan antara getaran dan gelombang. Fakta bahawa rentetan bergetar menjana bunyi mendorong saintis untuk memikirkan tentang identiti proses perambatan bunyi dan proses getaran tali. Peranan sempadan dan keadaan awal yang paling penting dalam masalah sebegini juga didedahkan. Bagi pembangunan mekanik, hasil penting ialah penggunaan d'Alembert's prinsip untuk menulis persamaan pembezaan gerakan, dan untuk teori ayunan masalah ini juga memainkan peranan yang sangat penting, iaitu, prinsip superposisi dan pengembangan penyelesaian dari segi mod semula jadi getaran telah digunakan, konsep asas teori getaran telah dirumuskan - frekuensi semula jadi dan mod getaran.

Keputusan yang diperoleh untuk getaran bebas rentetan berfungsi sebagai asas untuk penciptaan teori getaran sistem kontinum. Kajian lanjut tentang getaran rentetan, membran, dan rod yang tidak homogen memerlukan penemuan kaedah khas untuk menyelesaikan persamaan hiperbolik termudah bagi susunan kedua dan keempat.

Masalah getaran bebas rentetan regangan yang menarik minat saintis, tentu saja, bukan kerana aplikasi praktikalnya; undang-undang getaran ini, pada satu tahap atau yang lain, diketahui oleh tukang yang membuat alat muzik. Ini dibuktikan oleh instrumen rentetan yang tidak dapat ditandingi oleh tuan seperti Amati, Stradivari, Guarneri dan lain-lain, yang karya agungnya dicipta pada abad ke-17. Kepentingan saintis terhebat yang mengusahakan masalah ini kemungkinan besar terletak pada keinginan untuk menyediakan asas matematik bagi undang-undang getaran rentetan yang sedia ada. Dalam perkara ini, laluan tradisional mana-mana sains telah didedahkan, bermula dengan penciptaan teori yang menerangkan fakta yang telah diketahui, untuk kemudian mencari dan mengkaji fenomena yang tidak diketahui.

IItempoh - analitikal(akhir abad ke-18 - akhir abad ke-19). Langkah paling penting dalam pembangunan mekanik dicapai oleh Lagrange, yang mencipta sains baru - mekanik analitik. Permulaan tempoh kedua perkembangan teori ayunan dikaitkan dengan kerja Lagrange. Dalam bukunya Analytical Mechanics, diterbitkan di Paris pada tahun 1788, Lagrange merumuskan semua yang telah dilakukan dalam mekanik pada abad ke-18 dan merumuskan pendekatan baru untuk menyelesaikan masalahnya. Dalam doktrin keseimbangan, beliau meninggalkan kaedah geometri statik dan mencadangkan prinsip anjakan yang mungkin (prinsip Lagrange). Dalam dinamik, Lagrange, setelah menggunakan prinsip d'Alembert dan prinsip kemungkinan anjakan secara serentak, memperoleh persamaan variasi umum dinamik, yang juga dipanggil prinsip d'Alembert-Lagrange. Akhirnya, beliau memperkenalkan konsep koordinat umum dan memperoleh persamaan gerakan dalam bentuk yang paling mudah - persamaan Lagrange jenis kedua.

Persamaan ini menjadi asas kepada penciptaan teori ayunan kecil yang diterangkan oleh persamaan pembezaan linear dengan pekali malar. Kelinearan jarang wujud dalam sistem mekanikal, dan dalam kebanyakan kes adalah hasil pemudahannya. Memandangkan ayunan kecil berhampiran kedudukan keseimbangan, yang berlaku pada kelajuan rendah, adalah mungkin untuk membuang sebutan tertib kedua dan lebih tinggi dalam persamaan gerakan berkenaan dengan koordinat dan halaju umum.

Menggunakan persamaan Lagrange jenis kedua untuk sistem konservatif

kita akan dapat sistem s persamaan pembezaan linear tertib kedua dengan pekali malar

, (11)

di mana saya Dan C– masing-masing, matriks inersia dan kekakuan, yang komponennya akan menjadi pekali inersia dan elastik.

Penyelesaian khusus (11) dicari dalam borang

dan menerangkan mod ayunan monoharmonik dengan frekuensi k, sama untuk semua koordinat umum. Membezakan (12) dua kali berkenaan dengan t dan menggantikan hasilnya ke dalam persamaan (11), kita memperoleh sistem persamaan homogen linear untuk mencari amplitud dalam bentuk matriks

. (13)

Oleh kerana apabila sistem berayun, semua amplitud tidak boleh sama dengan sifar, penentu adalah sama dengan sifar

. (14)

Persamaan frekuensi (14) dipanggil persamaan sekular, kerana ia pertama kali dipertimbangkan oleh Lagrange dan Laplace dalam teori gangguan sekular unsur-unsur orbit planet. Ia adalah persamaan s-darjah kerabat , bilangan puncanya adalah sama dengan bilangan darjah kebebasan sistem. Akar-akar ini biasanya disusun dalam susunan menaik, dan ia membentuk spektrum frekuensinya sendiri. Kepada setiap akar sepadan dengan penyelesaian tertentu dalam bentuk (12), set s amplitud mewakili bentuk getaran, dan penyelesaian keseluruhan ialah jumlah penyelesaian ini.

Lagrange memberikan pernyataan D. Bernoulli bahawa gerakan ayunan umum sistem titik diskret terdiri daripada pelaksanaan serentak semua ayunan harmoniknya, bentuk teorem matematik, menggunakan teori penyepaduan persamaan pembezaan dengan pekali malar, dicipta oleh Euler pada 40-an abad ke-18. dan pencapaian d'Alembert, yang menunjukkan bagaimana sistem persamaan tersebut disepadukan.Pada masa yang sama, adalah perlu untuk membuktikan bahawa punca persamaan lama adalah nyata, positif dan tidak sama antara satu sama lain.

Oleh itu, dalam Mekanik Analitik Lagrange memperoleh persamaan frekuensi dalam bentuk umum. Pada masa yang sama, dia mengulangi kesilapan yang dibuat oleh d'Alembert pada tahun 1761, bahawa punca berbilang persamaan sekular sepadan dengan penyelesaian yang tidak stabil, kerana kononnya dalam kes ini istilah sekular atau sekular mengandungi t bukan di bawah tanda sinus atau kosinus. Dalam hal ini, kedua-dua d'Alembert dan Lagrange percaya bahawa persamaan frekuensi tidak boleh mempunyai berbilang punca (paradoks d'Alembert–Lagrange). Sudah cukup bagi Lagrange untuk mempertimbangkan sekurang-kurangnya bandul sfera atau ayunan rod yang keratan rentasnya, sebagai contoh, bulat atau persegi, untuk diyakinkan bahawa berbilang frekuensi mungkin dalam sistem mekanikal konservatif. Kesilapan yang dibuat dalam edisi pertama Mekanik Analitik telah berulang dalam edisi kedua (1812), diterbitkan semasa hayat Lagrange, dan pada edisi ketiga (1853). Kewibawaan saintifik d'Alembert dan Lagrange sangat tinggi sehingga kesilapan ini diulangi oleh kedua-dua Laplace dan Poisson, dan ia telah diperbetulkan hanya hampir 100 tahun kemudian secara bebas antara satu sama lain pada tahun 1858 oleh K. Weierstrass dan pada tahun 1859 oleh Osip Ivanovich Somov , yang memberi sumbangan besar kepada pembangunan teori ayunan sistem diskret.

Oleh itu, untuk menentukan frekuensi dan bentuk ayunan bebas sistem linear tanpa rintangan, adalah perlu untuk menyelesaikan persamaan sekular (13). Walau bagaimanapun, persamaan darjah yang lebih tinggi daripada yang kelima tidak mempunyai penyelesaian analitikal.

Masalahnya bukan sahaja menyelesaikan persamaan sekular, tetapi juga, pada tahap yang lebih besar, menyusunnya, kerana penentu yang diperluaskan (13) telah
istilah, contohnya, untuk sistem dengan 20 darjah kebebasan, bilangan sebutan ialah 2.4 10 18, dan masa untuk mendedahkan penentu sedemikian untuk komputer paling berkuasa pada tahun 1970-an, melakukan 1 juta operasi sesaat, adalah lebih kurang 1.5 juta tahun , dan untuk komputer moden ia "hanya" berusia beberapa ratus tahun.

Masalah menentukan frekuensi dan bentuk getaran bebas juga boleh dianggap sebagai masalah algebra linear dan diselesaikan secara berangka. Menulis semula kesamaan (13) dalam bentuk

, (14)

Perhatikan bahawa matriks lajur ialah vektor eigen bagi matriks

, (15)

A makna tersendiri.

Menyelesaikan masalah nilai eigen dan vektor adalah salah satu masalah yang paling menarik dalam analisis berangka. Pada masa yang sama, adalah mustahil untuk mencadangkan satu algoritma untuk menyelesaikan semua masalah yang dihadapi dalam amalan. Pilihan algoritma bergantung pada jenis matriks, serta sama ada perlu untuk menentukan semua nilai eigen atau hanya yang terkecil (terbesar) atau hampir dengan nombor tertentu. Pada tahun 1846, Carl Gustav Jacob Jacobi mencadangkan kaedah putaran berulang untuk menyelesaikan masalah nilai eigen yang lengkap. Kaedah ini adalah berdasarkan urutan tak terhingga bagi putaran asas, yang dalam had mengubah matriks (15) menjadi pepenjuru. Unsur pepenjuru matriks yang terhasil akan menjadi nilai eigen yang dikehendaki. Dalam kes ini, untuk menentukan nilai eigen diperlukan
operasi aritmetik, dan untuk vektor eigen juga
operasi. Dalam hal ini, kaedah pada abad ke-19. tidak menemui permohonan dan dilupakan selama lebih dari seratus tahun.

Langkah penting seterusnya dalam pembangunan teori ayunan ialah karya Rayleigh, terutamanya karya asasnya "The Theory of Sound". Dalam buku ini, Rayleigh mengkaji fenomena ayunan dalam mekanik, akustik dan sistem elektrik dari sudut pandangan yang bersatu. Rayleigh memiliki beberapa teorem asas teori ayunan linear (teorem mengenai pegun dan sifat frekuensi semula jadi). Rayleigh juga merumuskan prinsip timbal balik. Dengan analogi dengan tenaga kinetik dan potensi, beliau memperkenalkan fungsi pelesapan, yang dinamakan Rayleigh dan mewakili separuh daripada kadar pelesapan tenaga.

Dalam The Theory of Sound, Rayleigh juga mencadangkan kaedah anggaran untuk menentukan frekuensi semula jadi pertama sistem konservatif

, (16)

di mana
. Dalam kes ini, untuk mengira nilai maksimum tenaga potensi dan kinetik, bentuk getaran tertentu diambil. Jika ia bertepatan dengan mod ayunan pertama sistem, kita akan memperoleh nilai tepat bagi frekuensi semula jadi pertama, tetapi sebaliknya nilai ini sentiasa ditaksir terlalu tinggi. Kaedah ini memberikan ketepatan yang agak boleh diterima untuk latihan jika ubah bentuk statik sistem diambil sebagai mod getaran pertama.

Oleh itu, pada abad ke-19, dalam karya Somov dan Rayleigh, satu metodologi telah dibentuk untuk membina persamaan pembezaan yang menggambarkan gerakan ayunan kecil sistem mekanikal diskret menggunakan persamaan Lagrange jenis kedua.

di mana dalam daya umum
semua faktor daya mesti disertakan, kecuali faktor elastik dan lesap, dilindungi oleh fungsi R dan P.

Persamaan lagrange (17) dalam bentuk matriks, menerangkan ayunan paksa sistem mekanikal, selepas menggantikan semua fungsi kelihatan seperti ini

. (18)

Di sini ialah matriks redaman, dan
– vektor lajur bagi koordinat umum, halaju dan pecutan masing-masing. Penyelesaian umum persamaan ini terdiri daripada ayunan bebas dan yang disertakan, yang sentiasa dilembapkan, dan ayunan paksa yang berlaku pada frekuensi daya yang mengganggu. Marilah kita mengehadkan diri kita untuk mempertimbangkan hanya penyelesaian tertentu yang sepadan dengan ayunan paksa. Sebagai pengujaan, Rayleigh menganggap daya umum yang berbeza-beza mengikut undang-undang harmonik. Ramai yang mengaitkan pilihan ini dengan kesederhanaan kes yang sedang dipertimbangkan, tetapi Rayleigh memberikan penjelasan yang lebih meyakinkan - pengembangan siri Fourier.

Oleh itu, untuk sistem mekanikal dengan lebih daripada dua darjah kebebasan, menyelesaikan sistem persamaan memberikan kesukaran tertentu, yang meningkat secara eksponen apabila susunan sistem meningkat. Walaupun dengan lima hingga enam darjah kebebasan, masalah ayunan paksa tidak dapat diselesaikan secara manual menggunakan kaedah klasik.

Dalam teori getaran sistem mekanikal, getaran kecil (linear) sistem diskret memainkan peranan khas. Teori spektrum yang dibangunkan untuk sistem linear tidak memerlukan pembinaan persamaan pembezaan, dan untuk mendapatkan penyelesaian seseorang boleh segera menulis sistem persamaan algebra linear. Walaupun pada pertengahan abad ke-19 kaedah telah dibangunkan untuk menentukan vektor eigen dan nilai eigen (Jacobi), serta menyelesaikan sistem persamaan algebra linear (Gauss), aplikasi praktikalnya walaupun untuk sistem dengan bilangan darjah kebebasan yang kecil adalah keluar dari soalan. Oleh itu, sebelum kemunculan komputer yang cukup berkuasa, banyak kaedah yang berbeza telah dibangunkan untuk menyelesaikan masalah ayunan bebas dan paksa sistem mekanikal linear. Ramai saintis cemerlang - ahli matematik dan mekanik - telah menangani masalah ini; mereka akan dibincangkan di bawah. Kemunculan teknologi pengkomputeran yang berkuasa telah membolehkan bukan sahaja untuk menyelesaikan masalah linear berskala besar dalam sepersekian saat, tetapi juga untuk mengautomasikan proses mengarang sistem persamaan.

Oleh itu, semasa abad ke-18. dalam teori ayunan kecil sistem dengan bilangan darjah kebebasan terhingga dan ayunan sistem anjal kontinum, skema fizikal asas telah dibangunkan dan prinsip penting untuk analisis matematik masalah dijelaskan. Walau bagaimanapun, untuk mencipta teori getaran mekanikal sebagai sains bebas, terdapat kekurangan pendekatan bersatu untuk menyelesaikan masalah dinamik, dan tidak ada permintaan daripada teknologi untuk pembangunannya yang lebih pantas.

Pertumbuhan industri berskala besar pada akhir abad ke-18 dan permulaan abad ke-19, disebabkan oleh pengenalan meluas enjin stim, membawa kepada pemisahan mekanik gunaan ke dalam disiplin yang berasingan. Tetapi sehingga akhir abad ke-19, pengiraan kekuatan telah dijalankan dalam rumusan statik, kerana mesin masih berkuasa rendah dan bergerak perlahan.

Menjelang akhir abad ke-19, dengan peningkatan kelajuan dan pengurangan dimensi mesin, menjadi mustahil untuk mengabaikan turun naik. Banyak kemalangan yang berlaku disebabkan oleh permulaan resonans atau kegagalan keletihan semasa getaran memaksa jurutera untuk memberi perhatian kepada proses berayun. Antara masalah yang timbul dalam tempoh ini, perkara berikut harus diperhatikan: keruntuhan jambatan dari kereta api yang lalu, getaran kilasan aci dan getaran badan kapal yang teruja oleh daya inersia bahagian bergerak mesin yang tidak seimbang.

IIItempoh– pembentukan dan pembangunan teori ayunan gunaan (1900–1960s). Membangunkan kejuruteraan mekanikal, penambahbaikan lokomotif dan kapal, kemunculan turbin wap dan gas, enjin pembakaran dalaman berkelajuan tinggi, kereta, kapal terbang, dll. menuntut analisis tegasan yang lebih tepat dalam bahagian mesin. Ini ditentukan oleh keperluan untuk penggunaan logam yang lebih ekonomik. Struktur pencerahan telah menimbulkan masalah getaran, yang semakin menjadi penentu dalam hal kekuatan mesin. Pada permulaan abad ke-20, banyak kemalangan secara meyakinkan menunjukkan akibat bencana yang boleh berlaku akibat pengabaian getaran atau ketidaktahuan tentangnya.

Kemunculan teknologi baru, sebagai peraturan, menimbulkan cabaran baru untuk teori ayunan. Jadi dalam 30-an dan 40-an. Masalah baru timbul, seperti gerai berkibar dan berkilauan dalam penerbangan, getaran lentur dan kilasan aci berputar, dsb., yang memerlukan pembangunan kaedah baharu untuk mengira getaran. Pada penghujung tahun 20-an, pertama dalam fizik dan kemudian dalam mekanik, kajian tentang ayunan tak linear bermula. Sehubungan dengan pembangunan sistem kawalan automatik dan keperluan teknikal lain, bermula dari tahun 30-an, teori kestabilan gerakan telah dikembangkan dan diterapkan secara meluas, yang asasnya adalah disertasi kedoktoran A. M. Lyapunov "Masalah Umum Kestabilan Gerakan."

Kekurangan penyelesaian analitikal untuk masalah dalam teori ayunan, walaupun dalam rumusan linear, di satu pihak, dan teknologi komputer, di sisi lain, membawa kepada pembangunan sejumlah besar kaedah berangka yang berbeza untuk menyelesaikannya.

Keperluan untuk menjalankan pengiraan getaran untuk pelbagai jenis peralatan membawa kepada penampilan pada tahun 1930-an kursus latihan pertama dalam teori getaran.

Peralihan kepada IVtempoh(awal 1960-an - sekarang) dikaitkan dengan era revolusi saintifik dan teknologi dan dicirikan oleh kemunculan teknologi baru, terutamanya penerbangan dan angkasa, dan sistem robotik. Di samping itu, pembangunan kejuruteraan kuasa, pengangkutan, dan lain-lain telah membawa masalah kekuatan dinamik dan kebolehpercayaan ke hadapan. Ini dijelaskan oleh peningkatan dalam kelajuan operasi dan pengurangan penggunaan bahan dengan keinginan serentak untuk meningkatkan hayat perkhidmatan mesin. Dalam teori ayunan, semakin banyak masalah sedang diselesaikan dalam rumusan tak linear. Dalam bidang getaran sistem kontinum, di bawah pengaruh permintaan daripada teknologi penerbangan dan ruang angkasa, masalah timbul dalam dinamik plat dan cengkerang.

Pengaruh terbesar terhadap perkembangan teori ayunan dalam tempoh ini adalah disebabkan oleh kemunculan dan perkembangan pesat teknologi komputer elektronik, yang membawa kepada pembangunan kaedah berangka untuk mengira ayunan.

Pergerakan berayun Sebarang pergerakan atau perubahan keadaan dipanggil, dicirikan oleh satu atau satu lagi tahap kebolehulangan dalam masa nilai kuantiti fizik yang menentukan pergerakan atau keadaan ini. Ayunan adalah ciri semua fenomena semula jadi: sinaran bintang berdenyut; planet-planet sistem suria berputar dengan tahap berkala yang tinggi; angin merangsang getaran dan ombak di permukaan air; Di dalam mana-mana organisma hidup, pelbagai proses berulang secara berirama berterusan berlaku, contohnya, jantung manusia berdegup dengan kebolehpercayaan yang menakjubkan.

Ayunan menonjol dalam fizik mekanikal Dan elektromagnet. Melalui penyebaran turun naik mekanikal dalam ketumpatan dan tekanan udara, yang kami anggap sebagai bunyi, serta turun naik yang sangat cepat dalam medan elektrik dan magnet, yang kami anggap sebagai cahaya, kami menerima sejumlah besar maklumat langsung tentang dunia di sekeliling kita. Contoh-contoh gerakan berayun dalam mekanik termasuk ayunan bandul, rentetan, jambatan, dsb.

Ayunan dipanggil berkala, jika nilai kuantiti fizik yang berubah semasa ayunan diulang pada selang masa yang tetap. Jenis ayunan berkala yang paling mudah ialah ayunan harmonik. Ayunan harmonik ialah ayunan yang kuantiti turun naik berubah mengikut masa mengikut hukum sinus (atau kosinus):

di mana x ialah sesaran daripada kedudukan keseimbangan;

A – amplitud ayunan – anjakan maksimum daripada kedudukan keseimbangan;

- kekerapan kitaran;

- fasa awal ayunan;

- fasa ayunan; ia menentukan anjakan pada bila-bila masa, i.e. menentukan keadaan sistem ayunan.

Dalam kes ayunan harmonik dengan magnitud A, Dan jangan bergantung pada masa.

Kekerapan kitaran dikaitkan dengan tempoh T ayunan dan kekerapan nisbah:

(2)

Tempoh T ayunan ialah tempoh masa terpendek selepas itu nilai semua kuantiti fizik yang mencirikan ayunan diulang.

Kekerapan ayunan ialah bilangan ayunan lengkap yang dilakukan setiap unit masa, diukur dalam hertz (1 Hz = 1
).

Kekerapan kitaran secara berangka sama dengan bilangan ayunan yang diselesaikan dalam 2 detik

Ayunan yang berlaku dalam sistem yang tidak tertakluk kepada tindakan daya luaran yang berubah-ubah, akibat daripada sebarang sisihan awal sistem ini daripada keadaan keseimbangan yang stabil, dipanggil percuma(atau anda sendiri).

Jika sistem konservatif, maka tiada pelesapan tenaga berlaku semasa ayunan. Dalam kes ini, getaran percuma dipanggil tidak lembap.

Kelajuan Kami mentakrifkan ayunan titik sebagai terbitan sesaran dalam masa:

(3)

Pecutan titik ayunan adalah sama dengan terbitan kelajuan berkenaan dengan masa:

(4)

Persamaan (4) menunjukkan bahawa pecutan semasa ayunan harmonik adalah berubah, oleh itu, ayunan disebabkan oleh tindakan daya berubah.

Hukum kedua Newton membolehkan kita menulis secara umum hubungan antara daya F dan pecutan untuk ayunan harmonik rectilinear bagi titik material dengan jisim
:

di mana
, (6)

k – pekali keanjalan.

Oleh itu, daya yang menyebabkan getaran harmonik adalah berkadar dengan anjakan dan diarahkan terhadap anjakan. Dalam hal ini, kita boleh memberikan definisi dinamik ayunan harmonik: harmonik ialah ayunan yang disebabkan oleh daya yang berkadar terus dengan anjakan x dan diarahkan terhadap anjakan.

Daya pemulihan boleh, sebagai contoh, daya kenyal. Daya yang mempunyai sifat yang berbeza daripada daya kenyal, tetapi juga memenuhi keadaan (5), dipanggil separa anjal.

Dalam kes ayunan rectilinear sepanjang paksi x, pecutan sama dengan:

.

Menggantikan ungkapan ini dengan pecutan dan erti kekuatan
ke dalam hukum kedua Newton, kita dapat persamaan asas ayunan harmonik rectilinear:

atau
(7)

Penyelesaian kepada persamaan ini ialah persamaan (1).

Teori program kursus tentang ayunan untuk pelajar 4 Kursus FACI

Disiplin ini berdasarkan keputusan disiplin seperti algebra am klasik, teori persamaan pembezaan biasa, mekanik teori, dan teori fungsi pembolehubah kompleks. Satu ciri kajian disiplin ialah penggunaan kerap radas analisis matematik dan disiplin matematik lain yang berkaitan, penggunaan contoh praktikal penting dari bidang subjek mekanik teori, fizik, kejuruteraan elektrik, dan akustik.

1. Analisis kualitatif gerakan dalam sistem konservatif dengan satu darjah kebebasan

• Kaedah satah fasa
• Kebergantungan tempoh ayunan pada amplitud. Sistem lembut dan keras

2. Persamaan Duffing

• Ungkapan untuk penyelesaian umum persamaan Duffing dalam fungsi elips

3. Sistem kuasilinear

• Pembolehubah Van der Pol
• Kaedah purata

4. Ayunan relaksasi

• Persamaan Van der Pol
• Sistem persamaan pembezaan yang terganggu secara tunggal

5. Dinamik sistem autonomi tak linear bentuk umum dengan satu darjah kebebasan

• Konsep "kekasaran" sistem dinamik
• Pembelahan sistem dinamik

6. Unsur-unsur teori Floquet

• Penyelesaian normal dan pengganda sistem linear persamaan pembezaan dengan pekali berkala
• Resonans parametrik

7. persamaan Hill

• Analisis tingkah laku penyelesaian kepada persamaan jenis Bukit sebagai ilustrasi aplikasi teori Floquet pada sistem Hamiltonian linear dengan pekali berkala
• Persamaan Mathieu sebagai kes khas persamaan jenis Hill. Gambar rajah Ines-Stret

8. Ayunan paksa dalam sistem dengan daya pemulihan tak linear

• Hubungan antara amplitud ayunan dan magnitud daya penggerak yang digunakan pada sistem
• Menukar mod pemanduan apabila menukar kekerapan daya penggerak. Konsep histeresis "dinamik".

9. Invarian adiabatik

• Pembolehubah Sudut Tindakan
• Pemuliharaan invarian adiabatik dengan perubahan kualitatif dalam sifat gerakan

10. Dinamik sistem dinamik pelbagai dimensi

• Konsep ergodikti dan percampuran dalam sistem dinamik
• Peta Poincaré

11. persamaan Lorentz. Penarik pelik

• Persamaan Lorentz sebagai model termokonveksi
• Pencawanan penyelesaian kepada persamaan Lorentz. Peralihan kepada huru-hara
• Struktur fraktal penarik aneh

12. Paparan satu dimensi. Fleksibiliti Feigenbaum

• Pemetaan kuadratik - pemetaan tak linear yang paling mudah
• Orbit berkala pemetaan. Pembelahan orbit berkala

Sastera (utama)

1. Moiseev N.N. Kaedah asymptotic mekanik tak linear. – M.: Nauka, 1981.

2. Rabinovich M.I., Trubetskov D.I. Pengenalan kepada teori ayunan dan gelombang. Ed. ke-2. Pusat Penyelidikan "Dinamik Biasa dan Kelam kabut", 2000.

3. Bogolyubov N.N., Mitropolsky Yu.A. Kaedah asymptotic dalam teori ayunan tak linear. – M.: Nauka, 1974.

4. Butenin N.V., Neimark Yu.I., Fufaev N.A. Pengenalan kepada teori ayunan tak linear. – M.: Nauka, 1987.

5. Loskutov A.Yu., Mikhailov A.S. Pengenalan kepada sinergi. – M.: Nauka, 1990.

6. Karlov N.V., Kirichenko N.A. Ayunan, gelombang, struktur.. - M.: Fizmatlit, 2003.

Kesusasteraan (tambahan)

7. Zhuravlev V.F., Klimov D.M. Kaedah yang digunakan dalam teori getaran. Rumah penerbitan "Sains", 1988.

8. Stocker J. Ayunan tak linear dalam sistem mekanikal dan elektrik. – M.: Kesusasteraan asing, 1952.

9. Starzhinsky V.M., Kaedah gunaan ayunan tak linear. – M.: Nauka, 1977.

10. Hayashi T. Ayunan tak linear dalam sistem fizikal. – M.: Mir, 1968.

11. Andronov A.A., Witt A.A., Khaikin S.E. Teori ayunan. – M.: Fizmatgiz, 1959.

Buku ini memperkenalkan pembaca kepada sifat umum proses berayun yang berlaku dalam kejuruteraan radio, optik dan sistem lain, serta pelbagai kaedah kualitatif dan kuantitatif untuk mengkajinya. Perhatian yang besar diberikan kepada pertimbangan parametrik, ayunan diri dan sistem ayunan tak linear yang lain.
Kajian tentang sistem dan proses berayun di dalamnya yang diterangkan dalam buku ini dibentangkan menggunakan kaedah teori ayunan yang terkenal tanpa pembentangan terperinci dan justifikasi kaedah itu sendiri. Perhatian utama diberikan untuk menjelaskan ciri asas model ayunan yang dikaji bagi sistem sebenar menggunakan kaedah analisis yang paling mencukupi.

Ayunan bebas dalam litar dengan kearuhan tak linear.
Sekarang mari kita pertimbangkan satu lagi contoh sistem konservatif tak linear elektrik, iaitu, litar dengan kearuhan bergantung kepada arus yang mengalir melaluinya. Kes ini tidak mempunyai analog mekanikal bukan relativistik yang jelas dan mudah, kerana pergantungan aruhan diri pada arus adalah bersamaan untuk mekanik dengan kes pergantungan jisim pada halaju.

Kami menghadapi sistem elektrik jenis ini apabila teras yang diperbuat daripada bahan feromagnetik digunakan dalam induktansi. Dalam kes sedemikian, bagi setiap teras yang diberikan adalah mungkin untuk mendapatkan hubungan antara medan magnet dan fluks aruhan magnet. Lengkung yang menggambarkan pergantungan ini dipanggil lengkung magnetisasi. Jika kita mengabaikan fenomena histerisis, maka perjalanan anggarannya boleh diwakili oleh graf yang ditunjukkan dalam Rajah. 1.13. Oleh kerana magnitud medan H adalah berkadar dengan arus yang mengalir dalam gegelung, arus boleh diplot terus pada skala yang sesuai di sepanjang paksi absis.

Muat turun e-buku secara percuma dalam format yang mudah, tonton dan baca:
Muat turun buku Fundamentals of the Theory of Oscillations, Migulin V.V., Medvedev V.I., Mustel E.R., Parygin V.N., 1978 - fileskachat.com, muat turun pantas dan percuma.

• Prinsip fizik teori, Mekanik, teori medan, unsur mekanik kuantum, Medvedev B.V., 2007
• Kursus fizik, Ershov A.P., Fedotovich G.V., Kharitonov V.G., Pruuel E.R., Medvedev D.A.
• Termodinamik teknikal dengan asas pemindahan haba dan hidraulik, Lashutina N.G., Makashova O.V., Medvedev R.M., 1988