Praktisch werk over het onderwerp inverse trigonometrische functies. "inverse trigonometrische functies" - Document

Doel:

Opdracht: Maak een test “Inverse trigonometrische functies”

Internetbronnen

Leveringsdatum - volgens de technische specificaties

Zelfstandig werk nr. 14 (2 uur)

Over het onderwerp: “Uitrekken en samendrukken langs coördinaatassen”

Doel: systematisering en consolidatie van de verworven theoretische kennis en praktische vaardigheden van studenten;

Opdracht: Samenvatting over het onderwerp: “Uitbreiding en compressie langs coördinaatassen”

Literatuur: A.G. Mordkovich “Algebra en het begin van wiskundige analyse” 10e leerjaar

Internetbronnen

Leveringsdatum - volgens de technische specificaties

Zelfstandig werk nr. 15 (1 uur)

Over het onderwerp: “Uitrekken en samendrukken langs coördinaatassen”

Doel: vorming van onafhankelijk denken, vermogen tot zelfontwikkeling, zelfverbetering en zelfrealisatie

Opdracht: presentatie: “Uitbreiding en compressie langs coördinaatassen”

Literatuur: A.G. Mordkovich “Algebra en het begin van wiskundige analyse” 10e leerjaar

Internetbronnen

Leveringsdatum - volgens de technische specificaties

Zelfstandig werk nr. 16 (2 uur)

Over het onderwerp: “Inverse trigonometrische functies, hun eigenschappen en grafieken”

Doel: systematisering en consolidatie van verworven theoretische kennis en praktische vaardigheden van studenten

Formulier voor het voltooien van taken: onderzoekswerk.

Literatuur: A.G. Mordkovich “Algebra en het begin van wiskundige analyse” 10e leerjaar

Internetbronnen

Leveringsdatum - volgens de technische specificaties

Zelfstandig werk nr. 18 (6 uur)

On topic: “Halve argumentformules”

Doel: verdieping en uitbreiding van theoretische kennis

Opdracht: Schrijf een bericht over het onderwerp ‘Formules van een half argument’. Maak een referentietabel voor trigonometrieformules

Literatuur: A.G. Mordkovich “Algebra en het begin van wiskundige analyse” 10e leerjaar

Internetbronnen

Leveringsdatum - volgens de technische specificaties

Voorpagina.

Het werkplan is opgesteld met de titel “Inhoudsopgave”; locatie - in het centrum.

De lijst met bibliografische bronnen vindt u onder het kopje “Literatuur”. De referentielijst moet alle gebruikte bronnen bevatten: informatie over boeken (monografieën, leerboeken, handleidingen, naslagwerken, enz.) moet bevatten: achternaam en initialen van de auteur, titel van het boek, plaats van publicatie, uitgever, jaar van publicatie. Als er drie of meer auteurs zijn, is het toegestaan ​​om alleen de achternaam en de initialen van de eerste auteur aan te geven met de woorden “etc.” De naam van de plaats van publicatie moet volledig worden vermeld in de nominatief: een afkorting van de naam van slechts twee steden is toegestaan: Moskou (M.) en St. Petersburg (SPb.). De geciteerde bibliografische bronnen dienen in alfabetische volgorde en oplopend te worden gesorteerd. De lijst moet uit minimaal drie bronnen bestaan.

Elk nieuw deel van het werk, nieuw hoofdstuk, nieuwe paragraaf begint op de volgende pagina.

De aanvraag wordt op aparte bladen opgesteld, elke aanvraag heeft een volgnummer en een thematische titel. De inscriptie “Bijlage” 1 (2.3...) bevindt zich in de rechterbovenhoek. De titel van de toepassing is opgemaakt als een paragraaftitel.

Het werkvolume bedraagt ​​minimaal 10 pagina's afgedrukt op een computer (typemachine); Inhoudsopgave, bibliografie en bijlagen zijn niet opgenomen in het opgegeven aantal pagina's.

De tekst van het manuscript is gedrukt in lettertype nr. 14, met een interval van 1,5.

Marges: links - 3 cm, rechts - 1 cm, boven en onder - 2 cm.

Rode lijn - 1,5 cm. Alinea-afstand - 1,8.

Na het citaat in de tekst van het werk worden de volgende tekens gebruikt: “...”, waarbij het nummer van de bibliografische bron uit de referentielijst wordt gehaald.

Het beroep op de tekst van de aanvraag is als volgt opgemaakt: (zie bijlage 1).

Ontwerp van algoritmediagrammen, tabellen en formules. Illustraties (grafieken, diagrammen, diagrammen) kunnen in de hoofdtekst van de samenvatting en in de bijlagen staan. Alle illustraties worden tekeningen genoemd. Alle figuren, tabellen en formules zijn genummerd in Arabische cijfers en hebben een doorlopende nummering binnen de applicatie. Elke tekening moet voorzien zijn van een handtekening. Bijvoorbeeld:

Afb. 12. De vorm van het hoofdvenster van het programma.

Alle figuren, tabellen en formules in het werk moeten links hebben in de vorm: “de vorm van het hoofdtoepassingsvenster wordt getoond in Fig. 12."

Figuren en tabellen dienen direct na de pagina te worden geplaatst waarop deze voor het eerst in de tekst van de notitie wordt vermeld. Als de ruimte het toelaat, kan de figuur (tabel) in de tekst worden geplaatst op dezelfde pagina waar de eerste link ernaar wordt gegeven.

Als een tekening meer dan één pagina beslaat, worden alle pagina's behalve de eerste gemarkeerd met het tekeningnummer en het woord 'Vervolg'. Bijvoorbeeld:

Rijst. 12. Vervolg

Tekeningen moeten zo worden geplaatst dat ze kunnen worden bekeken zonder het briefje te draaien. Als een dergelijke plaatsing niet mogelijk is, moeten de tekeningen zo worden geplaatst dat u het werk met de klok mee moet draaien om ze te bekijken.

Algoritmediagrammen moeten worden gemaakt in overeenstemming met de ESPD-standaard. De dikte van de ononderbroken lijn bij het tekenen van algoritmediagrammen moet tussen 0,6 en 1,5 mm liggen. Inscripties op diagrammen moeten in tekenlettertype worden gemaakt. De hoogte van letters en cijfers moet minimaal 3,5 mm zijn.

Het tafelnummer wordt in de rechterbovenhoek boven de tafeltitel geplaatst, als die er is. De titel is, behalve de eerste letter, in kleine letters geschreven. Afkortingen gebruiken alleen hoofdletters. Bijvoorbeeld: PC.

Het formulenummer wordt op formuleniveau tussen haakjes aan de rechterkant van de pagina geplaatst. Bijvoorbeeld: z:=sin(x)+cos(y); (12).

Bijvoorbeeld: de waarden worden berekend met behulp van formule (12).

Nummer de pagina's van het werk volgens de boekversie: in gedrukte cijfers, in de rechter benedenhoek van de pagina, te beginnen met de tekst van de "Inleiding" (p. 3). Het werk is doorlopend genummerd, tot de laatste pagina.

Het woord “hoofdstuk” is geschreven, de hoofdstukken zijn genummerd in Romeinse cijfers, de paragrafen zijn genummerd in het Arabisch, teken; niet geschreven; onderdeel van het werk "Inleiding". “Conclusie” en “Literatuur” zijn niet genummerd.

De titels van hoofdstukken en paragrafen zijn op een rode lijn geschreven.

De kopjes "Inleiding", "Conclusie", "Literatuur" zijn in het midden, bovenaan het blad geschreven, zonder aanhalingstekens, zonder punt.

Het volume van introductie en conclusie van het werk is 1,5-2 pagina's gedrukte tekst.

Het werk moet worden gestikt.

In het werk worden drie soorten lettertypen gebruikt: 1 - om hoofdstuktitels, koppen "Inhoudsopgave", "Literatuur", "Inleiding", "Conclusie" te markeren; 2 - om paragraaftitels te markeren; 3 - voor tekst

Presentatievereisten

De eerste dia bevat:

ü titel van de presentatie;

De tweede dia geeft de inhoud van het werk aan, die het beste wordt gepresenteerd in de vorm van hyperlinks (voor interactiviteit van de presentatie).

De laatste dia bevat een lijst met literatuur die volgens de vereisten is gebruikt; internetbronnen staan ​​als laatste vermeld.

8 Gebruik niet te veel hoofdletters (ze zijn minder leesbaar dan kleine letters).

Manieren om informatie onder de aandacht te brengen

U moet gebruiken: 8 kaders, randen, arcering 8 verschillende lettertypekleuren, arcering, pijlen 8 afbeeldingen, diagrammen, grafieken om de belangrijkste feiten te illustreren

Hoeveelheid informatie

8, moet u niet één dia met te veel informatie vullen: mensen kunnen zich niet meer dan drie feiten, conclusies en definities tegelijk herinneren.

8 wordt de grootste effectiviteit bereikt wanneer de belangrijkste punten één voor één op elke afzonderlijke dia worden weergegeven.

Soorten dia's

Om variatie te garanderen, moet u verschillende soorten dia's gebruiken: met tekst, met tabellen, met diagrammen.

Tijdens het werk:

Het benodigde materiaal bekijken en bestuderen, zowel in hoorcolleges als in aanvullende informatiebronnen;

Maak afzonderlijk een lijst met woorden volgens de aanwijzingen;

Bedenk vragen voor geselecteerde woorden;

Controleer de spelling van de tekst en het voldoen aan de nummering;

Maak een voltooide kruiswoordpuzzel.

Algemene vereisten voor het samenstellen van kruiswoordpuzzels:

De aanwezigheid van “lege cellen” (ongevulde cellen) in het kruiswoordraadselraster is niet toegestaan;

Willekeurige lettercombinaties en kruispunten zijn niet toegestaan;

De verborgen woorden moeten zelfstandige naamwoorden zijn in de nominatief enkelvoud;

Woorden van twee letters moeten twee kruispunten hebben;

Antwoorden worden afzonderlijk gepubliceerd. De antwoorden zijn bedoeld om de juistheid van de oplossing van de kruiswoordpuzzel te controleren en bieden de mogelijkheid om vertrouwd te raken met de juiste antwoorden op de onopgeloste posities van de voorwaarden, wat helpt bij het oplossen van een van de belangrijkste taken van het oplossen van kruiswoordpuzzels: het vergroten van de eruditie en het vergroten van de woordenschat .

Criteria voor het evalueren van voltooide kruiswoordpuzzels:

1. Duidelijkheid van de presentatie van het materiaal, volledigheid van het onderwerponderzoek;

2. Originaliteit van de kruiswoordpuzzel;

3. Praktische betekenis van het werk;

4. Het niveau van stilistische presentatie van het materiaal, de afwezigheid van stilistische fouten;

5. Niveau van werkontwerp, aan- of afwezigheid van grammaticale en interpunctiefouten;

6. Het aantal vragen in de kruiswoordpuzzel, hun correcte presentatie.

Om ervoor te zorgen dat praktische lessen maximaal voordeel opleveren, is het noodzakelijk om te onthouden dat de oefening en oplossing van situationele problemen worden uitgevoerd op basis van materiaal dat in hoorcolleges wordt gelezen en meestal gepaard gaat met een gedetailleerde analyse van individuele kwesties van de hoorcolleges. Benadrukt moet worden dat pas na het beheersen van de lesstof vanuit een bepaald gezichtspunt (namelijk vanuit het gezichtspunt van waaruit het in de hoorcolleges wordt gepresenteerd) deze in de praktijklessen zal worden versterkt, zowel als resultaat van de discussie als van de analyse van de leerstof. lesmateriaal, en door situationele problemen op te lossen. Onder deze omstandigheden beheerst de student de stof niet alleen goed, maar leert hij deze ook in de praktijk toe te passen en krijgt hij bovendien een extra stimulans (en dit is van groot belang) om de hoorcollege actief te bestuderen.

Wanneer u toegewezen problemen zelfstandig oplost, moet u elke actiefase rechtvaardigen op basis van de theoretische principes van de cursus. Als een student verschillende manieren ziet om een ​​probleem (taak) op te lossen, moet hij ze vergelijken en de meest rationele kiezen. Het is nuttig om een ​​kort plan op te stellen voor het oplossen van het probleem (taak) voordat u begint met het oplossen van de problemen. De oplossing voor problematische problemen of voorbeelden moet in detail worden gepresenteerd, vergezeld van opmerkingen, diagrammen, tekeningen en tekeningen, en instructies voor implementatie.

Er moet aan worden herinnerd dat de oplossing voor elk onderwijsprobleem moet worden gebracht tot het uiteindelijke logische antwoord dat door de voorwaarde wordt vereist, en, indien mogelijk, met een conclusie. Het verkregen resultaat moet worden geverifieerd op manieren die voortkomen uit de essentie van de gegeven taak.

· De hoofdtermen van de testtaak moeten duidelijk en expliciet worden gedefinieerd.

· Testtaken moeten pragmatisch correct zijn en ontworpen om het niveau van onderwijsprestaties van studenten op een specifiek kennisgebied te beoordelen.

· Testtaken moeten worden geformuleerd in de vorm van verkorte korte oordelen.

· U moet testonderdelen vermijden waarbij de testpersoon gedetailleerde conclusies moet trekken over de vereisten van de testonderdelen.

· Bij het construeren van testsituaties kunt u verschillende presentatievormen gebruiken, evenals grafische en multimediacomponenten om de inhoud van educatief materiaal rationeel te presenteren.

Het aantal woorden in een testtaak mag niet groter zijn dan 10-12, tenzij dit de conceptuele structuur van de testsituatie verstoort. Het belangrijkste is een heldere en expliciete weergave van de inhoud van een fragment van het vakgebied.

De gemiddelde tijd die een student aan een toetstaak besteedt, mag niet langer zijn dan 1,5 minuut.

Lessen 32-33. Inverse trigonometrische functies

Doel: overweeg inverse goniometrische functies en hun gebruik voor het schrijven van oplossingen voor goniometrische vergelijkingen.

I. Het onderwerp en het doel van de lessen communiceren

II. Nieuw materiaal leren

1. Inverse trigonometrische functies

Laten we onze discussie over dit onderwerp beginnen met het volgende voorbeeld.

Voorbeeld 1

Laten we de vergelijking oplossen: a) zonde x = 1/2; b) zonde x = a.

a) Op de ordinaat zetten we de waarde 1/2 uit en construeren we de hoeken x 1 en x2, waarvoor zonde x = 1/2. In dit geval x1 + x2 = π, dus x2 = π – x 1 . Met behulp van de waardentabel van trigonometrische functies vinden we dan de waarde x1 = π/6Laten we rekening houden met de periodiciteit van de sinusfunctie en de oplossingen voor deze vergelijking opschrijven:waarbij k ∈ Z.

b) Uiteraard het algoritme voor het oplossen van de vergelijking zonde x = a is hetzelfde als in de vorige paragraaf. Natuurlijk wordt nu de waarde a langs de ordinaat uitgezet. Er is behoefte om op de een of andere manier de hoek x1 aan te duiden. We hebben afgesproken om deze hoek aan te duiden met het symbool arcsin A. Vervolgens kunnen de oplossingen voor deze vergelijking in de vorm worden geschrevenDeze twee formules kunnen worden gecombineerd tot één: tegelijkertijd

De overige inverse trigonometrische functies worden op een vergelijkbare manier geïntroduceerd.

Heel vaak is het nodig om de grootte van een hoek te bepalen op basis van de bekende waarde van de goniometrische functie ervan. Een dergelijk probleem heeft meerdere waarden: er zijn talloze hoeken waarvan de trigonometrische functies gelijk zijn aan dezelfde waarde. Daarom worden, gebaseerd op de monotoniciteit van trigonometrische functies, de volgende inverse trigonometrische functies geïntroduceerd om op unieke wijze hoeken te bepalen.

Arcsinus van het getal a (arcsin , waarvan de sinus gelijk is aan a, d.w.z.

Boogcosinus van een getal een(arcos a) is een hoek a vanaf het interval waarvan de cosinus gelijk is aan a, d.w.z.

Boogtangens van een getal een(arctg a) - zo'n hoek a vanaf het intervalwaarvan de tangens gelijk is aan a, d.w.z.tg een = een.

Arccotangens van een getal een(arcctg a) is een hoek a vanaf het interval (0; π), waarvan de cotangens gelijk is aan a, d.w.z. ctg a = een.

Voorbeeld 2

Laten we zoeken:

Rekening houdend met de definities van inverse trigonometrische functies, verkrijgen we:

Voorbeeld 3

Laten we berekenen

Laat hoek a = boogsin 3/5, dan per definitie zonde a = 3/5 en . Daarom moeten we vinden want A. Met behulp van de fundamentele trigonometrische identiteit krijgen we:Er wordt rekening mee gehouden dat cos a ≥ 0. Dus,

Laten we een aantal meer typische voorbeelden geven die verband houden met de definities en basiseigenschappen van inverse trigonometrische functies.

Voorbeeld 4

Laten we het domein van de definitie van de functie vinden

Om de functie y te definiëren, is het noodzakelijk om aan de ongelijkheid te voldoenwat gelijkwaardig is aan het systeem van ongelijkheidDe oplossing voor de eerste ongelijkheid is het interval x∈ (-∞; +∞), tweede - Dit interval en is een oplossing voor het systeem van ongelijkheid, en dus het domein van de definitie van de functie

Voorbeeld 5

Laten we het veranderingsgebied van de functie vinden

Laten we eens kijken naar het gedrag van de functie z = 2x - x2 (zie afbeelding).

Het is duidelijk dat z ∈ (-∞; 1). Gezien het feit dat het argument z de boogcotangensfunctie varieert binnen de gespecificeerde grenzen, uit de tabelgegevens verkrijgen we datHet gebied van verandering dus

Voorbeeld 6

Laten we bewijzen dat de functie y = boog x vreemd. LatenDan is tg a = -x of x = - tg a = tg (- a), en Daarom is - a = arctg x of a = - arctg X. Zo zien wij datd.w.z. y(x) is een oneven functie.

Voorbeeld 7

Laten we dit uitdrukken via alle inverse trigonometrische functies

Laten Dat is duidelijk Sindsdien sindsdien

Laten we de hoek introduceren Omdat Dat

Zo ook dus En

Dus,

Voorbeeld 8

Laten we een grafiek maken van de functie y = cos(boogsin x).

Laten we dan a = boogsin x aanduiden Laten we er rekening mee houden dat x = sin a en y = cos a, d.w.z. x 2 + y2 = 1, en beperkingen op x (x∈ [-1; 1]) en y (y ≥ 0). Dan de grafiek van de functie y = cos(arcsin x) is een halve cirkel.

Voorbeeld 9

Laten we een grafiek maken van de functie y = arccos (cos x).

Sinds de cos-functie x veranderingen op het interval [-1; 1], dan wordt de functie y gedefinieerd op de gehele numerieke as en varieert deze op het segment . Laten we niet vergeten dat y = arccos(cosx) = x op het segment; de functie y is even en periodiek met periode 2π. Gezien het feit dat de functie deze eigenschappen heeft omdat x Nu is het eenvoudig om een ​​grafiek te maken.

Laten we enkele nuttige gelijkheden opmerken:

Voorbeeld 10

Laten we de kleinste en grootste waarden van de functie vinden Laten we aanduiden Dan Laten we de functie pakken Deze functie heeft op dit punt een minimum z = π/4, en het is gelijk aan De grootste waarde van de functie wordt op het punt bereikt z = -π/2, en het is gelijk Dus, en

Voorbeeld 11

Laten we de vergelijking oplossen

Laten we daar rekening mee houden Dan ziet de vergelijking er als volgt uit:of waar Per definitie van boogtangens krijgen we:

2. Eenvoudige trigonometrische vergelijkingen oplossen

Net als in voorbeeld 1 kunt u oplossingen verkrijgen voor de eenvoudigste trigonometrische vergelijkingen.

Voorbeeld 12

Laten we de vergelijking oplossen

Omdat de sinusfunctie oneven is, schrijven we de vergelijking in de vormOplossingen voor deze vergelijking:waar vinden we het vandaan?

Voorbeeld 13

Laten we de vergelijking oplossen

Met behulp van de gegeven formule schrijven we de oplossingen voor de vergelijking op:en we zullen vinden

Merk op dat in speciale gevallen (a = 0; ±1) bij het oplossen van de vergelijkingen zonde x = a en cos x = en het is gemakkelijker en handiger om geen algemene formules te gebruiken, maar om oplossingen op te schrijven op basis van de eenheidscirkel:

voor de vergelijking sin x = 1 oplossing

voor de vergelijking sin x = 0 oplossingen x = π k;

voor de vergelijking sin x = -1 oplossing

voor de cos-vergelijking x = 1 oplossingen x = 2π k;

voor de vergelijking cos x = 0 oplossing

voor de vergelijking cos x = -1 oplossing

Voorbeeld 14

Laten we de vergelijking oplossen

Omdat er in dit voorbeeld sprake is van een speciaal geval van de vergelijking, schrijven we de oplossing met de juiste formule:waar kunnen we het vinden?

III. Controlevragen (frontale enquête)

1. Definieer en noteer de belangrijkste eigenschappen van inverse trigonometrische functies.

2. Geef grafieken van inverse trigonometrische functies.

3. Eenvoudige trigonometrische vergelijkingen oplossen.

IV. Lesopdracht

§ 15, nr. 3 (a, b); 4 (c, d); 7(a); 8(a); 12 (b); 13(a); 15 (c); 16(a); 18 (a, b); 19 (c); 21;

§ 16, nr. 4 (a, b); 7(a); 8 (b); 16 (a, b); 18(a); 19 (c, d);

§ 17, nr. 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 7 (c, d); 9 (b); 10 (een, c).

V. Huiswerk

§ 15, nr. 3 (c, d); 4 (a, b); 7 (c); 8 (b); 12(a); 13(b); 15 (g); 16 (b); 18 (c, d); 19 (g); 22;

§ 16, nr. 4 (c, d); 7 (b); 8(a); 16 (c, d); 18 (b); 19 (a, b);

§ 17, nr. 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 7 (a, b); 9 (d); 10 (b, d).

VI. Creatieve taken

1. Zoek het domein van de functie:

Antwoorden:

2. Zoek het bereik van de functie:

Antwoorden:

3. Grafiek de functie:

VII. De lessen samengevat

Federaal Agentschap voor Onderwijs van de Russische Federatie

Staatsonderwijsinstelling voor hoger beroepsonderwijs "Mari State University"

Afdeling Wiskunde en MPM

Cursussen

Inverse trigonometrische functies

Voltooid:

student

33 JNF-groepen

Yasjmetova L.N.

Wetenschappelijk begeleider:

Ph.D. universitair hoofddocent

Borodina M.V.

Josjkar-Ola

Inleiding……………………………………………………………………………...3

Hoofdstuk I. Definitie van inverse trigonometrische functies.

1.1. Functie j =arcsin X……………………………………………………........4

1.2. Functie j =Arccos X…………………………………………………….......5

1.3. Functie j =boog X………………………………………………………….6

1.4. Functie j =arcctg X…………………………………………………….......7

Hoofdstuk II. Vergelijkingen oplossen met inverse trigonometrische functies.

Basisrelaties voor inverse trigonometrische functies....8

Vergelijkingen oplossen die inverse goniometrische functies bevatten.............................................................................................................................11

De waarden van inverse trigonometrische functies berekenen...............21

Conclusie…………………………………………………………………………….25

Lijst met referenties……………………………………………………...26

Invoering

Bij veel problemen is het nodig om niet alleen de waarden van trigonometrische functies vanuit een bepaalde hoek te vinden, maar omgekeerd ook een hoek of boog vanuit een gegeven waarde van een bepaalde trigonometrische functie.

Problemen met inverse trigonometrische functies zijn opgenomen in de USE-taken (vooral veel in delen B en C). In deel B van het Unified State Exam was het bijvoorbeeld vereist om de waarde van de sinus (cosinus) te gebruiken om de overeenkomstige waarde van de tangens te vinden of om de waarde te berekenen van een uitdrukking die getabelleerde waarden van inverse trigonometrische functies bevat. Met betrekking tot dit soort taken merken we op dat dergelijke taken in schoolboeken niet voldoende zijn om een ​​sterke vaardigheid in de implementatie ervan te ontwikkelen.

Dat. Het doel van de cursus is om inverse goniometrische functies en hun eigenschappen te beschouwen, en te leren hoe je problemen met inverse goniometrische functies kunt oplossen.

Om het doel te bereiken, moeten we de volgende taken oplossen:

Bestudeer de theoretische grondslagen van inverse trigonometrische functies,

Laat de toepassing van theoretische kennis in de praktijk zien.

HoofdstukI. Definitie van inverse trigonometrische functies

1.1. Functie y =arcsinX

Denk aan de functie,
. (1)

In dit interval is de functie monotoon (neemt toe van -1 naar 1), daarom is er een inverse functie

,
. (2)

Elke gegeven waarde bij(sinuswaarde) uit het interval [-1,1] komt overeen met één goed gedefinieerde waarde X(booggrootte) uit het interval
. Als we verder gaan met de algemeen aanvaarde notatie, krijgen we

Waar
. (3)

Dit is de analytische specificatie van de functie omgekeerd aan functie (1). Functie (3) wordt aangeroepen boogsinus argument . De grafiek van deze functie is een curve die symmetrisch is met de grafiek van de functie, waarbij , relatief ten opzichte van de bissectrice van de I- en III-coördinaathoeken.

Laten we de eigenschappen van de functie presenteren, waarbij .

Eigendom 1. Functiewaardewijzigingsgebied: .

Eigenschap 2. De functie is vreemd, d.w.z.

Eigenschap 3. De functie, waarbij , heeft één wortel
.

Eigenschap 4. Als, dan
; Als , Dat.

Eigenschap 5. De functie is monotoon: naarmate het argument toeneemt van -1 naar 1, neemt de waarde van de functie toe van
naar
.

1.2. Functiej = arMetwantX

Denk aan de functie
, . (4)

In dit interval is de functie monotoon (daalt af van +1 naar -1), wat betekent dat er een inverse functie voor bestaat

, , (5)

die. elke waarde (cosinuswaarden) uit het interval [-1,1] komt overeen met één goed gedefinieerde waarde (boogwaarden) uit het interval . Als we verder gaan met de algemeen aanvaarde notatie, krijgen we

, . (6)

Dit is de analytische specificatie van de functie omgekeerd aan functie (4). Functie (6) wordt aangeroepen boogcosinus argument X. De grafiek van deze functie kan worden geconstrueerd op basis van de eigenschappen van grafieken van onderling inverse functies.

De functie , waar , heeft de volgende eigenschappen.

Eigendom 1. Gebied voor functiewaardewijziging:
.

Eigenschap 2. Hoeveelheden
En
gerelateerd door de relatie

Eigenschap 3. De functie heeft één wortel
.

Eigenschap 4. De functie accepteert geen negatieve waarden.

Eigenschap 5. De functie is monotoon: naarmate het argument toeneemt van -1 naar +1, nemen de functiewaarden af ​​van naar 0.

1.3. Functiej = arctgx

Denk aan de functie
,
. (7)

Merk op dat deze functie is gedefinieerd voor alle waarden die strikt binnen het interval van tot liggen; aan het einde van dit interval bestaat het niet, aangezien de waarden

- raaklijnbreekpunten.

Tussendoor
de functie is monotoon (stijging van -
naar
), daarom is er voor functie (1) een inverse functie:

,
, (8)

die. elke gegeven waarde (tangenswaarde) uit het interval
komt overeen met een zeer specifieke waarde (booggrootte) uit het interval .

Als we verder gaan met de algemeen aanvaarde notatie, krijgen we

,
. (9)

Dit is de analytische specificatie van de inverse functie (7). Functie (9) wordt aangeroepen boogtangens argument X. Houd er rekening mee dat wanneer
functie waarde
, en wanneer

, d.w.z. de grafiek van de functie heeft twee asymptoten:
En.

De functie , , heeft de volgende eigenschappen.

Eigendom 1. Bereik van verandering van functiewaarden
.

Eigenschap 2. De functie is vreemd, d.w.z. .

Eigenschap 3. De functie heeft één wortel.

Eigenschap 4. Als
, Dat

; Als , Dat
.

Eigenschap 5. De functie is monotoon: naarmate het argument toeneemt van tot, neemt de functiewaarde toe van tot +.

1.4. Functiej = arcctgx

Denk aan de functie
,
. (10)

Deze functie is gedefinieerd voor alle waarden die binnen het bereik van 0 tot ; aan de uiteinden van dit interval bestaat het niet, omdat de waarden en de breekpunten van de cotangens zijn. In het interval (0,) is de functie monotoon (daalt af van tot), daarom is er voor functie (1) een inverse functie

, (11)

die. naar elke gegeven waarde (cotangenswaarde) uit het interval (
) komt overeen met een goed gedefinieerde waarde (booggrootte) uit het interval (0,). Als we verdergaan met algemeen aanvaarde notaties, krijgen we de volgende relatie: Samenvatting >> Wiskunde trigonometrisch functies. NAAR achteruit trigonometrisch functies gewoonlijk zes genoemd functies: boogsinus...

Het laatste werk over het onderwerp "Inverse trigonometrische functies. Problemen met inverse trigonometrische functies" werd voltooid tijdens geavanceerde trainingscursussen.

Bevat kort theoretisch materiaal, gedetailleerde voorbeelden en taken voor een onafhankelijke oplossing voor elke sectie.

Het werk is gericht op middelbare scholieren en docenten.

Downloaden:

Voorbeeld:

AFSTUDEERDE Scriptie

ONDERWERP:

“INVERSE TRIGONOMETRISCHE FUNCTIES.

PROBLEMEN MET INVERSE TRIGONOMETRISCHE FUNCTIES"

Voltooid:

wiskundeleraar

Gemeentelijke onderwijsinstelling middelbare school nr. 5, Lermontov

GORBACHENKO V.I.

Pjatigorsk 2011

INVERSE TRIGONOMETRISCHE FUNCTIES.

PROBLEMEN MET INVERSE TRIGONOMETRISCHE FUNCTIES

1. KORTE THEORETISCHE INFORMATIE

1.1. Oplossingen voor de eenvoudigste vergelijkingen die inverse trigonometrische functies bevatten:

Tabel 1.

1.2. Het oplossen van eenvoudige ongelijkheden waarbij inverse trigonometrische functies betrokken zijn

Tabel 2.

1.3. Enkele identiteiten voor inverse trigonometrische functies

Uit de definitie van inverse trigonometrische functies volgen de identiteiten

, (1)

, (2)

, (3)

, (4)

Bovendien de identiteiten

, (5)

, (6)

, (7)

, (8)

Identiteiten die verband houden met inverse trigonometrische functies

(9)

(10)

2. VERGELIJKINGEN DIE INVERSE TRIGONOMETRISCHE FUNCTIES BEVATTEN

2.1. Vergelijkingen van de vorm enz.

Dergelijke vergelijkingen worden door substitutie gereduceerd tot rationele vergelijkingen.

Voorbeeld.

Oplossing.

Vervanging ( ) reduceert de vergelijking tot een kwadratische vergelijking waarvan de wortels.

Root 3 voldoet niet aan de voorwaarde.

Dan krijgen we de omgekeerde substitutie

Antwoord .

Taken.

2.2. Vergelijkingen van de vorm, Waar - rationele functie.

Om vergelijkingen van dit type op te lossen, is het noodzakelijk om te zetten, los de vergelijking van de eenvoudigste vorm open voer de omgekeerde vervanging uit.

Voorbeeld.

Oplossing .

Laten . Dan

Antwoord . .

Taken.

2.3. Vergelijkingen die verschillende boogfuncties of boogfuncties van verschillende argumenten bevatten.

Als de vergelijking uitdrukkingen bevat die verschillende boogfuncties bevatten, of als deze boogfuncties afhankelijk zijn van verschillende argumenten, wordt de reductie van dergelijke vergelijkingen tot hun algebraïsche consequentie gewoonlijk uitgevoerd door een trigonometrische functie aan beide zijden van de vergelijking te berekenen. De resulterende buitenlandse wortels worden door inspectie gescheiden. Als de tangens of cotangens als directe functie wordt gekozen, kunnen oplossingen die binnen het domein van de definitie van deze functies vallen, verloren gaan. Voordat u de waarde van de raaklijn of cotangens aan beide kanten van de vergelijking berekent, moet u er daarom voor zorgen dat er geen wortels van de oorspronkelijke vergelijking zijn tussen de punten die niet zijn opgenomen in het domein van de definitie van deze functies.

Voorbeeld.

Oplossing .

Laten we een nieuwe afspraak maken naar de rechterkant en bereken de waarde van de sinus aan beide kanten van de vergelijking

Als resultaat van transformaties die we krijgen

De wortels van deze vergelijking

Laten we het controleren

Wanneer we dat hebben gedaan

Dus, is de wortel van de vergelijking.

Vervanging Houd er rekening mee dat de linkerkant van de resulterende relatie positief is en de rechterkant negatief. Dus,- vreemde wortel van de vergelijking.

Antwoord. .

Taken.

2.4. Vergelijkingen die inverse trigonometrische functies van één argument bevatten.

Dergelijke vergelijkingen kunnen tot de eenvoudigste worden herleid met behulp van basisidentiteiten (1) – (10).

Voorbeeld.

Oplossing.

Antwoord.

Taken.

3. ONGELIJKHEDEN DIE INVERSE TRIGONOMETRISCHE FUNCTIES BEVATTEN

3.1. De eenvoudigste ongelijkheden.

De oplossing voor de eenvoudigste ongelijkheden is gebaseerd op de toepassing van de formules in Tabel 2.

Voorbeeld.

Oplossing.

Omdat , dan is de oplossing voor de ongelijkheid het interval.

Antwoord .

Taken.

3.2. Ongelijkheden van de vorm, - een of andere rationele functie.

Ongelijkheden van de vorm, is een rationele functie, en- een van de inverse trigonometrische functies wordt in twee fasen opgelost - eerst wordt de ongelijkheid met betrekking tot het onbekende opgelost, en dan de eenvoudigste ongelijkheid die de inverse trigonometrische functie bevat.

Voorbeeld.

Oplossing.

Laat het dan zo zijn

Oplossingen voor ongelijkheid

Als we terugkeren naar het oorspronkelijke onbekende, ontdekken we dat de oorspronkelijke ongelijkheid kan worden teruggebracht tot twee eenvoudigste

Door deze oplossingen te combineren, verkrijgen we oplossingen voor de oorspronkelijke ongelijkheid

Antwoord .

Taken.

3.3. Ongelijkheden die tegengestelde boogfuncties of boogfuncties van verschillende argumenten bevatten.

Het is handig om ongelijkheden op te lossen die de waarden van verschillende inverse trigonometrische functies verbinden, of de waarden van één trigonometrische functie berekend op basis van verschillende argumenten, door de waarden van een bepaalde trigonometrische functie aan beide kanten van de ongelijkheden te berekenen. Er moet aan worden herinnerd dat de resulterende ongelijkheid alleen gelijkwaardig zal zijn aan de oorspronkelijke ongelijkheid als de reeks waarden van de rechter- en linkerkant van de oorspronkelijke ongelijkheid tot hetzelfde monotoniciteitsinterval van deze trigonometrische functie behoort.

Voorbeeld.

Oplossing.

Meerdere geldige waardenopgenomen in de ongelijkheid:. Bij . Daarom de waardenzijn geen oplossingen voor de ongelijkheid.

Bij zowel de rechterkant als de linkerkant van de ongelijkheid hebben waarden die bij het interval horen. Omdat tusseninde sinusfunctie neemt monotoon toe, en dan wanneerde oorspronkelijke ongelijkheid is gelijkwaardig

De laatste ongelijkheid oplossen

Oversteken met een gat, wij krijgen een oplossing

Antwoord.

Opmerking. Kan opgelost worden met

Taken.

3.4. Ongelijkheid van de vorm, Waar - een van de inverse trigonometrische functies,- rationele functie.

Dergelijke ongelijkheden worden opgelost door middel van substitutieen reductie tot de eenvoudigste ongelijkheid in Tabel 2.

Voorbeeld.

Oplossing.

Laat het dan zo zijn

Laten we de omgekeerde vervanging doen en het systeem krijgen

Antwoord .

Taken.

Voorbereiding op het Unified State Examen in de wiskunde

Experiment

Les 9. Inverse trigonometrische functies.

Oefening

Samenvatting van de les

We zullen vooral de mogelijkheid nodig hebben om met boogfuncties te werken bij het oplossen van goniometrische vergelijkingen en ongelijkheden.

De taken die we nu zullen overwegen, zijn onderverdeeld in twee typen: het berekenen van de waarden van inverse trigonometrische functies en hun transformaties met behulp van basiseigenschappen.

Berekening van waarden van boogfuncties

Laten we beginnen met het berekenen van de waarden van de boogfuncties.

Taak nr. 1. Berekenen.

Zoals we zien zijn alle argumenten van boogfuncties positief en tabelvormig, wat betekent dat we de waarde van hoeken kunnen herstellen uit het eerste deel van de tabel met waarden van trigonometrische functies voor hoeken van tot . Dit bereik van hoeken is opgenomen in het waardenbereik van elk van de boogfuncties, dus we gebruiken eenvoudigweg de tabel, vinden de waarde van de trigonometrische functie daarin en herstellen met welke hoek deze overeenkomt.

A)

B)

V)

G)

Antwoord. .

Taak nr. 2. Berekenen

.

In dit voorbeeld zien we al negatieve argumenten. Een typische fout in dit geval is om simpelweg de min onder de functie te verwijderen en de taak eenvoudigweg terug te brengen naar de vorige. Dit kan echter niet in alle gevallen worden gedaan. Laten we ons herinneren hoe we in het theoretische deel van de les de pariteit van alle boogfuncties bespraken. De oneven zijn boogsinus en boogtangens, dat wil zeggen dat de min eruit wordt gehaald, en arccosinus en boogcotangens zijn functies van een algemene vorm, ze hebben speciale formules. Om fouten te voorkomen controleren we na de berekening of het resultaat binnen het bereik van de waarden ligt.

Wanneer de functieargumenten worden vereenvoudigd tot een positieve vorm, schrijven we de overeenkomstige hoekwaarden uit de tabel.

De vraag kan rijzen: waarom noteert u niet de waarde van de hoek die bijvoorbeeld rechtstreeks uit de tabel correspondeert? Ten eerste omdat de tabel ervoor moeilijker te onthouden is dan voorheen, en ten tweede omdat er geen negatieve waarden van de sinus in zitten, en negatieve waarden van de raaklijn volgens de tabel de verkeerde hoek zullen opleveren. Het is beter om een ​​universele benadering van een oplossing te hebben, dan in de war te raken door veel verschillende benaderingen.

Taak nr. 3. Berekenen.

a) Een typische fout in dit geval is om een ​​minpunt te verwijderen en iets te vereenvoudigen. Het eerste dat opvalt is dat het arcsine-argument niet binnen de reikwijdte valt van

Daarom heeft deze invoer geen betekenis en kan de boogsinus niet worden berekend.

b) De standaardfout in dit geval is dat ze de waarden van het argument en de functie verwarren en het antwoord geven. Dit is niet waar! Natuurlijk ontstaat de gedachte dat de waarde in de tabel overeenkomt met de cosinus, maar wat in dit geval verward is, is dat boogfuncties niet worden berekend op basis van hoeken, maar op basis van de waarden van trigonometrische functies. Dat wil zeggen: niet.

Omdat we hebben ontdekt wat precies het argument van de boogcosinus is, is het bovendien noodzakelijk om te controleren of deze is opgenomen in het domein van de definitie. Om dit te doen, laten we dat onthouden , dat wil zeggen, wat betekent dat arccosinus geen zin heeft en niet kan worden berekend.

Trouwens, de uitdrukking is bijvoorbeeld logisch, omdat , maar aangezien de waarde van de cosinus gelijk niet in tabelvorm is, het onmogelijk is om de boogcosinus met behulp van de tabel te berekenen.

Antwoord. De uitdrukkingen slaan nergens op.

In dit voorbeeld houden we geen rekening met boogtangens en boogcotangens, omdat hun definitiedomein niet beperkt is en de functiewaarden voor alle argumenten gelden.

Taak nr. 4. Berekenen .

In wezen komt de taak neer op de allereerste: we hoeven alleen maar de waarden van de twee functies afzonderlijk te berekenen en deze vervolgens in de oorspronkelijke uitdrukking te vervangen.

Het arctangens-argument is in tabelvorm en het resultaat behoort tot het bereik van waarden.

Het arccosinus-argument is niet in tabelvorm, maar dit hoeft ons niet bang te maken, want ongeacht waar de arccosinus gelijk aan is, zal de waarde ervan, vermenigvuldigd met nul, resulteren in nul. Er is nog één belangrijke opmerking: het is noodzakelijk om te controleren of het arccosinus-argument tot het domein van de definitie behoort, want als dit niet het geval is, zal de hele uitdrukking geen betekenis hebben, ongeacht het feit dat deze een vermenigvuldiging met nul bevat. . Maar daarom kunnen we zeggen dat het logisch is en krijgen we nul als antwoord.

Laten we nog een voorbeeld geven waarin het nodig is om de ene boogfunctie te kunnen berekenen, terwijl je de waarde van een andere kent.

Probleem #5. Bereken of dit bekend is.

Het lijkt misschien dat het nodig is om eerst de waarde van x uit de aangegeven vergelijking te berekenen en deze vervolgens in de gewenste uitdrukking te vervangen, dat wil zeggen in de inverse tangens, maar dit is niet nodig.

Laten we de formule onthouden waarmee deze functies aan elkaar gerelateerd zijn:

En laten we daaruit uitdrukken wat we nodig hebben:

Om zeker te zijn, kunt u controleren of het resultaat in het boogcotangensbereik ligt.

Transformaties van boogfuncties met behulp van hun basiseigenschappen

Laten we nu verder gaan met een reeks taken waarin we transformaties van boogfuncties zullen moeten gebruiken met behulp van hun basiseigenschappen.

Probleem #6. Berekenen .

Om dit op te lossen, zullen we de basiseigenschappen van de aangegeven boogfuncties gebruiken, waarbij we er alleen voor zorgen dat we de bijbehorende beperkingen controleren.

A)

B) .

Antwoord. A) ; B) .

Probleem nr. 7. Berekenen.

Een typische fout in dit geval is om onmiddellijk 4 als antwoord te schrijven. Zoals we in het vorige voorbeeld hebben aangegeven, is het voor het gebruik van de basiseigenschappen van boogfuncties noodzakelijk om de overeenkomstige beperkingen van hun argument te controleren. We hebben te maken met het onroerend goed:

bij

Maar . Het belangrijkste in deze fase van de beslissing is om niet te denken dat de opgegeven uitdrukking niet logisch is en niet kan worden berekend. We kunnen de vier, wat het argument van de raaklijn is, immers verkleinen door de periode van de raaklijn af te trekken, en dit heeft geen invloed op de waarde van de uitdrukking. Nadat we deze stappen hebben uitgevoerd, hebben we de kans om het argument te verkleinen zodat het binnen het opgegeven bereik valt.

Omdat, daarom, , omdat .

Probleem nr. 8. Berekenen.

In het bovenstaande voorbeeld hebben we te maken met een uitdrukking die vergelijkbaar is met de basiseigenschap van de boogsinus, maar alleen cofuncties bevat. Het moet worden teruggebracht tot de vorm sinus van boogsinus of cosinus van arccosinus. Omdat het gemakkelijker is om directe trigonometrische functies te transformeren dan inverse functies, gaan we van sinus naar cosinus met behulp van de formule 'trigonometrische eenheid'.

Zoals we al weten:

In ons geval in de rol. Laten we voor het gemak eerst een berekening maken .

Voordat we het in de formule vervangen, gaan we eerst kijken naar het teken ervan, d.w.z. het teken van de oorspronkelijke sinus. We moeten de sinus berekenen uit de arccosinuswaarde. Wat deze waarde ook is, we weten dat deze binnen het bereik ligt. Dit bereik komt overeen met de hoeken van het eerste en tweede kwartier, waarin de sinus positief is (controleer dit zelf met een goniometrische cirkel).

In de praktijkles van vandaag hebben we gekeken naar de berekening en transformatie van uitdrukkingen die inverse trigonometrische functies bevatten

Versterk het materiaal met oefenapparatuur

Trainer 1 Trainer 2 Trainer 3 Trainer 4 Trainer 5