Trigonometrische functies voor het oplossen van voorbeelden. Basisformules van trigonometrie

Concept van het oplossen van trigonometrische vergelijkingen.

• Om een ​​goniometrische vergelijking op te lossen, converteert u deze naar een of meer goniometrische basisvergelijkingen. Het oplossen van een goniometrische vergelijking komt uiteindelijk neer op het oplossen van de vier fundamentele goniometrische vergelijkingen.

Bij het oplossen van veel wiskundige problemen , vooral als die plaatsvinden vóór graad 10, is de volgorde van de uitgevoerde acties die tot het doel zullen leiden duidelijk gedefinieerd. Dergelijke problemen omvatten bijvoorbeeld lineaire en kwadratische vergelijkingen, lineaire en kwadratische ongelijkheden, fractionele vergelijkingen en vergelijkingen die tot kwadratische vergelijkingen worden gereduceerd. Het principe van het succesvol oplossen van elk van de genoemde problemen is als volgt: het is noodzakelijk om vast te stellen welk type probleem wordt opgelost, onthoud de noodzakelijke reeks acties die zullen leiden tot het gewenste resultaat, d.w.z. antwoord en volg deze stappen.

Het is duidelijk dat succes of mislukking bij het oplossen van een bepaald probleem voornamelijk afhangt van hoe correct het type vergelijking dat wordt opgelost, wordt bepaald, hoe correct de volgorde van alle fasen van de oplossing ervan wordt gereproduceerd. Natuurlijk is het noodzakelijk om over de vaardigheden te beschikken om te kunnen presteren identiteitstransformaties en computergebruik.

De situatie is anders bij goniometrische vergelijkingen. Het is helemaal niet moeilijk om vast te stellen dat de vergelijking trigonometrisch is. Er doen zich problemen voor bij het bepalen van de volgorde van acties die tot het juiste antwoord zouden leiden.

Door verschijning vergelijking, is het soms moeilijk om het type ervan te bepalen. En zonder het type vergelijking te kennen, is het bijna onmogelijk om de juiste te kiezen uit enkele tientallen trigonometrische formules.

Om een ​​trigonometrische vergelijking op te lossen, moet je het volgende proberen:

1. breng alle functies in de vergelijking onder “dezelfde hoeken”;
2. breng de vergelijking naar “identieke functies”;
3. ontvouwen linkerkant factorvergelijkingen, enz.

Laat ons nadenken basismethoden voor het oplossen van goniometrische vergelijkingen.

I. Reductie tot de eenvoudigste trigonometrische vergelijkingen

Oplossingsdiagram

Stap 1. Druk een goniometrische functie uit in termen van bekende componenten.

Stap 2. Zoek het functieargument met behulp van de formules:

cos x = een; x = ± arccos a + 2πn, n ЄZ.

zonde x = een; x = (-1) n boogsin a + πn, n Є Z.

bruin x = een; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctgx = een; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Stap 3. Zoek de onbekende variabele.

Voorbeeld.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Oplossing.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Ä Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Ä Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Ä Z.

Antwoord: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Variabele vervanging

Oplossingsdiagram

Stap 1. Reduceer de vergelijking tot een algebraïsche vorm met betrekking tot een van de goniometrische functies.

Stap 2. Geef de resulterende functie aan met de variabele t (introduceer indien nodig beperkingen op t).

Stap 3. Schrijf de resulterende algebraïsche vergelijking op en los deze op.

Stap 4. Voer een omgekeerde vervanging uit.

Stap 5. Los de eenvoudigste trigonometrische vergelijking op.

Voorbeeld.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Oplossing.

1) 2(1 – zonde 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Stel sin (x/2) = t, waarbij |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 of e = -3/2, voldoet niet aan de voorwaarde |t| ≤ 1.

4) zonde(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Ä Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Antwoord: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Reductiemethode voor vergelijkingsvolgorde

Oplossingsdiagram

Stap 1. Vervang deze vergelijking door een lineaire vergelijking, met behulp van de formule voor het verminderen van de graad:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Stap 2. Los de resulterende vergelijking op met behulp van methoden I en II.

Voorbeeld.

cos 2x + cos 2x = 5/4.

Oplossing.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Ä Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Antwoord: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogene vergelijkingen

Oplossingsdiagram

Stap 1. Reduceer deze vergelijking tot de vorm

a) a zonde x + b cos x = 0 ( homogene vergelijking eerste graad)

of naar het uitzicht

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (homogene vergelijking van de tweede graad).

Stap 2. Deel beide zijden van de vergelijking door

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

en verkrijg de vergelijking voor tan x:

a) een kleurtje x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Stap 3. Los de vergelijking op met behulp van bekende methoden.

Voorbeeld.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Oplossing.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Stel dan tg x = t

t2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 of t = -4, wat betekent

tg x = 1 of tg x = -4.

Uit de eerste vergelijking x = π/4 + πn, n Є Z; uit de tweede vergelijking x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Antwoord: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Methode voor het transformeren van een vergelijking met behulp van trigonometrische formules

Oplossingsdiagram

Stap 1. Gebruik alle mogelijke goniometrische formules en reduceer deze vergelijking tot een vergelijking die wordt opgelost met de methoden I, II, III, IV.

Stap 2. Los de resulterende vergelijking op met behulp van bekende methoden.

Voorbeeld.

zonde x + zonde 2x + zonde 3x = 0.

Oplossing.

1) (zonde x + zonde 3x) + zonde 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) zonde 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 of 2cos x + 1 = 0;

Uit de eerste vergelijking 2x = π/2 + πn, n Є Z; uit de tweede vergelijking cos x = -1/2.

We hebben x = π/4 + πn/2, n Є Z; uit de tweede vergelijking x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Als gevolg hiervan is x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Antwoord: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Het vermogen en de vaardigheid om trigonometrische vergelijkingen op te lossen is zeer Belangrijk is dat hun ontwikkeling aanzienlijke inspanningen vergt, zowel van de kant van de leerling als van de kant van de leraar.

Veel problemen op het gebied van stereometrie, natuurkunde, enz. houden verband met het oplossen van trigonometrische vergelijkingen. Het proces van het oplossen van dergelijke problemen belichaamt veel van de kennis en vaardigheden die worden verworven door het bestuderen van de elementen van trigonometrie.

Trigonometrische vergelijkingen nemen belangrijke plek in het proces van het onderwijzen van wiskunde en persoonlijkheidsontwikkeling in het algemeen.

Heeft u nog vragen? Weet u niet hoe u trigonometrische vergelijkingen moet oplossen?
Om hulp te krijgen van een docent -.
De eerste les is gratis!

blog.site is bij het geheel of gedeeltelijk kopiëren van materiaal een link naar de originele bron vereist.

Het waarborgen van uw privacy is belangrijk voor ons. Om deze reden hebben wij een privacybeleid ontwikkeld waarin wordt beschreven hoe wij uw gegevens gebruiken en opslaan. Bekijk onze privacypraktijken en laat het ons weten als u vragen heeft.

Verzameling en gebruik van persoonlijke informatie

Persoonlijke informatie verwijst naar gegevens die kunnen worden gebruikt om een ​​specifieke persoon te identificeren of ermee contact op te nemen.

U kunt op elk moment worden gevraagd om uw persoonlijke gegevens te verstrekken wanneer u contact met ons opneemt.

Hieronder vindt u enkele voorbeelden van de soorten persoonlijke informatie die we kunnen verzamelen en hoe we dergelijke informatie kunnen gebruiken.

Welke persoonlijke informatie verzamelen wij:

• Wanneer u een verzoek indient op de site, kunnen wij gegevens verzamelen diverse informatie, inclusief uw naam, telefoonnummer, adres E-mail enz.

Hoe wij uw persoonlijke gegevens gebruiken:

• De persoonlijke gegevens die wij verzamelen, stellen ons in staat contact met u op te nemen en u hierover te informeren unieke aanbiedingen, promoties en andere evenementen en aankomende evenementen.
• Van tijd tot tijd kunnen we uw persoonlijke gegevens gebruiken om belangrijke mededelingen en mededelingen te verzenden.
• We kunnen persoonlijke informatie ook gebruiken voor interne doeleinden, zoals het uitvoeren van audits, data-analyse en diverse onderzoeken om de diensten die wij leveren te verbeteren en u aanbevelingen te doen met betrekking tot onze diensten.
• Als u deelneemt aan een prijstrekking, wedstrijd of soortgelijke promotie, kunnen wij de door u verstrekte informatie gebruiken om dergelijke programma's te beheren.

Openbaarmaking van informatie aan derden

Wij maken de van u ontvangen gegevens niet bekend aan derden.

Uitzonderingen:

• Indien nodig, in overeenstemming met de wet, gerechtelijke procedure, V proces, en/of op basis van publieke verzoeken of verzoeken van overheidsinstellingen op het grondgebied van de Russische Federatie - geef uw persoonlijke gegevens vrij. We kunnen ook informatie over u vrijgeven als we vaststellen dat een dergelijke openbaarmaking noodzakelijk of gepast is voor veiligheids-, wetshandhavings- of andere doeleinden van openbaar belang.
• In het geval van een reorganisatie, fusie of verkoop kunnen we de persoonlijke informatie die we verzamelen overdragen aan de toepasselijke opvolger van een derde partij.

Bescherming van persoonlijke informatie

We nemen voorzorgsmaatregelen - inclusief administratieve, technische en fysieke - om uw persoonlijke gegevens te beschermen tegen verlies, diefstal en misbruik, evenals tegen ongeoorloofde toegang, openbaarmaking, wijziging en vernietiging.

Het respecteren van uw privacy op bedrijfsniveau

Om ervoor te zorgen dat uw persoonlijke gegevens veilig zijn, communiceren we privacy- en beveiligingsnormen met onze medewerkers en handhaven we de privacypraktijken strikt.

Vereist kennis van de basisformules van trigonometrie - de som van de kwadraten van sinus en cosinus, de uitdrukking van de raaklijn door sinus en cosinus, en andere. Voor degenen die ze zijn vergeten of niet kennen, raden we aan het artikel "" te lezen.
We kennen dus de basistrigonometrische formules, het is tijd om ze in de praktijk te gebruiken. Trigonometrische vergelijkingen oplossen bij de juiste aanpak- een behoorlijk spannende bezigheid, zoals bijvoorbeeld het oplossen van een Rubiks kubus.

Op basis van de naam zelf is het duidelijk dat een trigonometrische vergelijking een vergelijking is waarin het onbekende onder het teken van de trigonometrische functie staat.
Er zijn zogenaamde eenvoudigste trigonometrische vergelijkingen. Zo zien ze eruit: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Laat ons nadenken hoe dergelijke trigonometrische vergelijkingen op te lossen Voor de duidelijkheid zullen we de reeds bekende trigonometrische cirkel gebruiken.

zonde = een

cos x = een

bruin x = een

kinderbedje x = een

Elke trigonometrische vergelijking wordt in twee fasen opgelost: we reduceren de vergelijking tot de eenvoudigste vorm en lossen deze vervolgens op als een eenvoudige trigonometrische vergelijking.
Er zijn zeven hoofdmethoden waarmee trigonometrische vergelijkingen worden opgelost.

1. Variabele substitutie en substitutiemethode

Los de vergelijking 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0 op

Met behulp van de reductieformules krijgen we:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Vervang cos(x + /6) door y om te vereenvoudigen en de gebruikelijke kwadratische vergelijking te krijgen:

2j 2 – 3j + 1 + 0

De wortels hiervan zijn y 1 = 1, y 2 = 1/2

Laten we nu in omgekeerde volgorde te werk gaan

We vervangen de gevonden waarden van y en krijgen twee antwoordopties:

2. Trigonometrische vergelijkingen oplossen door factorisatie

Hoe de vergelijking sin x + cos x = 1 op te lossen?

Laten we alles naar links verplaatsen, zodat 0 aan de rechterkant blijft:

sin x + cos x – 1 = 0

Laten we de hierboven besproken identiteiten gebruiken om de vergelijking te vereenvoudigen:

zonde x - 2 zonde 2 (x/2) = 0

Laten we factoriseren:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 zonde 2 (x/2) = 0

2zonde(x/2) * = 0

We krijgen twee vergelijkingen

3. Reductie tot een homogene vergelijking

Een vergelijking is homogeen met betrekking tot sinus en cosinus als al zijn termen relatief zijn ten opzichte van de sinus en cosinus van dezelfde macht van dezelfde hoek. Ga als volgt te werk om een ​​homogene vergelijking op te lossen:

a) breng al zijn leden over naar de linkerkant;

b) alles eruit halen veel voorkomende factoren voorbij haakjes;

c) stel alle factoren en haakjes gelijk aan 0;

d) tussen haakjes wordt een homogene vergelijking van een lagere graad verkregen, die op zijn beurt is verdeeld in een sinus of cosinus van een hogere graad;

e) los de resulterende vergelijking voor tg op.

Los de vergelijking 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2 op

Laten we de formule sin 2 x + cos 2 x = 1 gebruiken en de open twee aan de rechterkant wegwerken:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

zonde 2 x + 4 zonde x cos x + 3 cos 2 x = 0

Delen door cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Vervang tan x door y en verkrijg een kwadratische vergelijking:

y 2 + 4y +3 = 0, waarvan de wortels y 1 =1, y 2 = 3 zijn

Vanaf hier vinden we twee oplossingen voor de oorspronkelijke vergelijking:

x 2 = arctan 3 + k

4. Vergelijkingen oplossen via de overgang naar een halve hoek

Los de vergelijking 3sin x – 5cos x = 7 op

Laten we verder gaan met x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Laten we alles naar links verplaatsen:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Delen door cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Introductie van hulphoek

Laten we ter overweging een vergelijking nemen in de vorm: a sin x + b cos x = c,

waarbij a, b, c enkele willekeurige coëfficiënten zijn, en x onbekend is.

Laten we beide zijden van de vergelijking delen door:



Nu hebben de coëfficiënten van de vergelijking, volgens trigonometrische formules, de eigenschappen sin en cos, namelijk: hun modulus is niet meer dan 1 en de som van de kwadraten = 1. Laten we ze respectievelijk aanduiden als cos en sin, waarbij - dit is de zogenaamde hulphoek. Dan zal de vergelijking de vorm aannemen:

cos * zonde x + zonde * cos x = C

of zonde(x + ) = C

De oplossing voor deze eenvoudigste trigonometrische vergelijking is:

x = (-1) k * boogsin C - + k, waarbij



Opgemerkt moet worden dat de notaties cos en sin uitwisselbaar zijn.

Los de vergelijking sin 3x – cos 3x = 1 op

De coëfficiënten in deze vergelijking zijn:

a = , b = -1, dus deel beide zijden door = 2

Les complexe toepassing kennis.

Lesdoelstellingen.

1. Overwegen verschillende methoden trigonometrische vergelijkingen oplossen.
2. Ontwikkeling creativiteit leerlingen door vergelijkingen op te lossen.
3. Studenten aanmoedigen tot zelfcontrole, wederzijdse controle en zelfanalyse van hun onderwijsactiviteiten.

Uitrusting: scherm, projector, referentiemateriaal.

Tijdens de lessen

Inleidend gesprek.

De belangrijkste methode voor het oplossen van goniometrische vergelijkingen is ze terug te brengen tot hun eenvoudigste vorm. In dit geval worden de gebruikelijke methoden gebruikt, bijvoorbeeld factorisatie, evenals technieken die alleen worden gebruikt voor het oplossen van trigonometrische vergelijkingen. Er zijn nogal wat van deze technieken, bijvoorbeeld verschillende trigonometrische substituties, hoektransformaties, transformaties van trigonometrische functies. De willekeurige toepassing van trigonometrische transformaties vereenvoudigt de vergelijking gewoonlijk niet, maar compliceert deze catastrofaal. Om in te sporten algemeen overzicht plan voor het oplossen van de vergelijking, schets een manier om de vergelijking tot de eenvoudigste terug te brengen, je moet eerst de hoeken analyseren - de argumenten van de trigonometrische functies die in de vergelijking zijn opgenomen.

Vandaag zullen we het hebben over methoden voor het oplossen van trigonometrische vergelijkingen. De correct gekozen methode kan de oplossing vaak aanzienlijk vereenvoudigen, dus alle methoden die we hebben bestudeerd moeten altijd in gedachten worden gehouden om goniometrische vergelijkingen op te lossen met de meest geschikte methode.

II. (Met behulp van een projector herhalen we de methoden voor het oplossen van vergelijkingen.)

1. Methode voor het reduceren van een trigonometrische vergelijking tot een algebraïsche vergelijking.

Het is noodzakelijk om alle trigonometrische functies via één uit te drukken, met hetzelfde argument. Dit kan worden gedaan met behulp van de fundamentele trigonometrische identiteit en de gevolgen ervan. We verkrijgen een vergelijking met één goniometrische functie. Door het als een nieuwe onbekende te beschouwen, verkrijgen we een algebraïsche vergelijking. We vinden de wortels ervan en keren terug naar het oude onbekende, waarbij we de eenvoudigste trigonometrische vergelijkingen oplossen.

2. Factorisatiemethode.

Om hoeken te veranderen zijn formules voor reductie, som en verschil van argumenten vaak nuttig, evenals formules voor het omzetten van de som (verschil) van goniometrische functies in een product en vice versa.

zonde x + zonde 3x = zonde 2x + zonde4x

3. Methode voor het introduceren van een extra hoek.

4. Methode voor het gebruik van universele vervanging.

Vergelijkingen van de vorm F(sinx, cosx, tanx) = 0 worden gereduceerd tot algebraïsch met behulp van een universele trigonometrische substitutie

Sinus, cosinus en tangens uitdrukken in termen van tangens halve hoek. Deze techniek kan tot de vergelijking leiden hoge orde. Waarvoor de oplossing moeilijk is.