Konvertering av summer av trigonometriske funksjoner til produkter. Leksjon "konvertere summer av trigonometriske funksjoner til produkter"

Nøkkelen til suksess i summering ligger i vår evne til å transformere en sum til en annen – enten forenkle den opprinnelige eller bringe oss nærmere målet. Og ved å lære noen grunnleggende transformasjonsregler og øve på deres anvendelse, kan du enkelt mestre denne evnen.

La K være et begrenset sett med heltall. Summer over elementer av K kan konverteres basert på tre enkle regler:

Fordelingsloven lar en legge inn og fjerne konstanter under og utenfor tegnet. Kombinasjonsloven lar deg dele ett beløp i to eller kombinere to beløp til ett. Den kommutative loven sier at betingelsene for en sum kan omorganiseres i hvilken som helst ønsket rekkefølge; her er noen permutasjon av settet med alle heltall. For eksempel, hvis og hvis, så sier disse tre lovene det

Gauss sitt triks fra Kap. 1 kan sees på som en anvendelse av disse tre grunnleggende lovene. Anta at vi vil

beregne summen aritmetisk progresjon generelt syn

I følge den kommutative loven får vi erstatte k med

Disse to ligningene kan legges til ved hjelp av kombinasjonsloven:

La oss nå bruke fordelingsloven og beregne det trivielle beløpet:

Ved å dele på 2 finner vi ut det

Høyre side kan huskes som gjennomsnittet av første og siste ledd, nemlig multiplisert med antall ledd, dvs.

Det er viktig å huske på at funksjonen i generell form Den kommutative loven (2.17) anses å være en permutasjon av alle heltall. Med andre ord, for hvert heltall må det være nøyaktig ett heltall k slik at . Ellers kan fortrengningsloven ikke oppfylles - eks. 3 er et tydelig eksempel på dette. Konverteringer som c eller hvor c er en heltallskonstant er alltid permutasjoner, så de er fine.

Imidlertid kan vi lempe litt på begrensningen på permutasjonen: det er nok bare at det er nøyaktig ett heltall k slik at når er et element i indekssettet K. Hvis (dvs. hvis ikke tilhører K), så er det ikke signifikant, som ofte er tilfellet sted likestilling siden lignende til ikke deltar i summen. Så det kan man for eksempel hevde

for det er nøyaktig en k slik at når er jevn.

Iversons notasjon, som lar en oppnå 0 eller 1 som verdiene til logiske uttrykk i en bestemt formel, kan brukes sammen med de distributive, assosiative og kommutative lovene for å identifisere tilleggsegenskaper til summer. Her er det f.eks. viktig regel foreninger av forskjellige sett med indekser: hvis er noen sett med heltall, da

Dette følger av de generelle formlene

Regel (2.20) brukes vanligvis enten for å kombinere to nesten usammenhengende indekssett, som i tilfellet

eller å isolere en egen termin av summen, som i tilfellet

Denne operasjonen med å velge et begrep danner grunnlaget for reduksjonsmetoden, som ofte lar en beregne en bestemt sum i lukket form. Essensen av denne metoden er å starte med beløpet som skal beregnes og angi det

(Betegn og erobre.) Vi omskriver deretter på to måter, med vekt på både det siste og det første leddet:

Nå kan vi takle den siste summen og prøve å uttrykke den gjennom Hvis forsøket lykkes, vil vi få en ligning hvis løsning vil være den nødvendige summen.

La oss for eksempel bruke denne tilnærmingen til å finne summen av en geometrisk progresjon av den generelle formen

I henhold til den generelle reduksjonsordningen (2.24) omskrives summen i skjemaet

og summen på høyre side er lik fordelingsloven. Dermed, og løse denne ligningen relativt får vi

(For x = 1 er denne summen selvfølgelig ganske enkelt lik Høyresiden av denne formelen kan huskes som forskjellen mellom de første leddene inkludert og de første leddene som ikke er inkludert i summen, delt på forskjellen mellom 1 og nevneren for progresjonen.

Alt dette var ganske enkelt, så la oss prøve reduksjonsmetoden på en litt vanskeligere sum,

Denne videoleksjonen er laget for elever i 10. klasse. Med dens hjelp vil de kunne studere emnet "Konvertering av produkter av trigonometriske uttrykk til summer." Undervisningsmateriellet er akkompagnert av en rolig mannsstemme. Med dens hjelp kan du gjennomføre en interessant og lærerik leksjon på skolen. Takket være illustrasjoner og definisjoner, som vises i klartekst på skjermen, vil elevene kunne forstå temaet raskere og mer effektivt.

Til tross for at trigonometri som vitenskap dukket opp for ganske lenge siden, har den ikke mistet sin relevans til i dag. I ulike vitenskaper oppstår det problemer med å løse hvilke skolebarn som må forholde seg til dette området. Av denne grunn må de kunne takle eksempler med varierende kompleksitet, vurdere funksjoner som inneholder sinus, cosinus, tangenter og cotangenter, etc.

Siden trigonometri inneholder stor mengde formler, uten hvilke forenkling av dette eller det uttrykket ville ta enormt lang tid. Derfor er det svært viktig å huske og forstå disse formlene. Hvis du forstår hvordan de er avledet, kan du enkelt huske dem og bruke dem i praksis. For at de skal forbli i minnet i lang tid, er det nødvendig å styrke dem i praksis. Derfor er det nødvendig for lærere å tildele et stort antall trigonometriske uttrykk og ligninger til skolebarn hjemme.

Denne videoopplæringen ble satt sammen av profesjonelle. Den har en konsistent struktur, det er ingen unødvendig eller unødvendig informasjon som avviker fra læreplanen.

Skolebarn vet allerede hvordan de transformerer trigonometriske sumligninger til produkter. Hvordan gjøre det om nødvendig omvendt prosess? Noen ganger vil dette være nødvendig for å forenkle et bestemt uttrykk.

Diskusjonen starter med et eksempel. Produktet av sinusen til noen t og cosinus med samme verdi skrives. Dette uttrykket transformeres gjennom en brøk, der vi i telleren ser summen av sinusen til summen av argumentene og forskjellen, delt på 2.

Produktet av sinusen til noen s og sinusen til t transformeres på samme måte.

For å konsolidere disse uttrykkene i praksis, foreslås det å løse noen eksempler. Den første av dem ber deg finne et numerisk svar for uttrykket, som er produktet av sinusen til 2x og cosinus til 9x. Når man bestemmer seg dette eksemplet den tidligere lærte formelen brukes. Skjermen vises detaljert løsning eksempel viser den også hvilken formel som brukes.

Deretter tar vi for oss et annet eksempel hvor det foreslås å konvertere et produkt til en sum. MED høyre side Alle beregninger og forklaringer vises. Det er ikke så vanskelig å forstå hvordan dette eksemplet er løst, fordi kunngjøreren kommenterer alt i detalj.

Det tredje eksemplet foreslår å forenkle et uttrykk som består av produktet av tre sinus av noen gradsverdier. Ved forenkling brukes formelen for å konvertere produktet av sinus til en sum. Når du løser dette eksemplet, vær oppmerksom på at cosinusfunksjonen er jevn funksjon. Dermed er skiltene korrekt identifisert. Svaret vises. Løsningen er ganske omfangsrik, men hvis du vurderer den steg for steg, vil ingenting uforståelig forbli.

Det fjerde eksemplet inneholder en trigonometrisk ligning, for å løse det er det nødvendig å bruke formlene som er lært, både i denne leksjonen og i tidligere videoer.

Som allerede nevnt, ved hjelp av denne presentasjonen kan du lære en interessant leksjon for tiendeklassinger. Både veiledere og skoleelever kan laste ned materialet. Ved å bruke den kan du visuelt vise eleven en trinn-for-trinn-løsning på eksempler, lik som skolebarn vil komme over, både mens de gjør lekser og på selvstendige og tester På skolen.

TEKSTDEKODING:

Konvertering av produkter av trigonometriske uttrykk til summer

Du vet allerede at noen matematisk formel i praksis brukes den fra høyre til venstre og venstre til høyre. Bruk derfor formelen i motsatt retning, kan vi konvertere produktet av en trigonometrisk funksjon til en sum.

La oss se på et eksempel:

fra formelen for å konvertere summene av sinusene til argumentene ec og te til produktet sin( s +t) + synd( s - t) = 2 synd s cos t

Du kan få en annen formel:

synd s cos t= (produktet av sinusen til argumentet es med cosinus til argumentet te er lik halvparten av summen av sinusen til summen av argumentene es og te og sinusen til differansen mellom argumentene es og te, og forskjellen tas slik at vinkelen under cosinustegnet trekkes fra argumentet under sinustegnet.)

synd( s +t) + synd( s - t) = 2 synd s cos t

synd s cos t =

Tilsvarende, fra formelen for å konvertere summene av cosinus til argumentene ec og te til produktet cos ( s+t)+cos( s - t) =2cos s cos t vi får

cos s cos t= (produktet av cosinusene til argumentene es og te er lik halvparten av summen av cosinus av summen av disse argumentene og cosinus av deres forskjell).

Og fra formelen for å konvertere forskjellen mellom cosinusene til argumentene ec og te til produktet cos ( s+t) -cos( s - t) = - 2sin s synd t vi har

synd s synd t= (produktet av sinusene til argumentene es og te er lik halvforskjellen av cosinus av forskjellen til disse argumentene og cosinus av summen deres).

La oss se på eksempler.

EKSEMPEL 1. Konverter produktet til summen sin2x cos9x.

Løsning. Når vi løser vil vi bruke formelen sin s cos t= , hvor s= 2х, t=9х. Så la oss skrive ned

sin2хcos 9х = = ( vurderer

synd(-у) = -syndy, vi får) = (halv forskjell mellom sinusen til elleve x og sinusen til syv x).

Svar: sin2х cos9х=.

EKSEMPEL 2. Konverter produktet til summen cos(2x - y) cos(x + 4y) (produktet av cosinus til argumentet to x minus y med cosinus til argumentet x pluss fire y).

Løsning. Når vi løser vil vi bruke formelen cos s cos t= , hvor s= (2x-y), t=(x+4y). Deretter

cos(2x - y) cos(x + 4y) = = åpne parentesene = , utfør beregninger og få

= (halve summen av cosinus til argumentet tre x pluss tre y og cosinus til argumentet x minus fem y).

EKSEMPEL 3. Forenkle uttrykket sin20°sin40° sin80°.

Løsning. La oss bruke formelen: synd s synd t= .

sin 20° sin 40° sin 80°= ∙ sin 80°= ∙ sin 80°=

(la oss ta i betraktning at cosinus er en jevn funksjon, som betyr

= ∙ sin 80° Siden cos60°=

= ∙ sin 80°= ∙) ∙ sin 80°=

(merk at sin 80°= sin(90° - 10°)= cos10°, så vi får det)

= ∙) ∙ cos10° = åpne parentesene = ∙ cos10° - ∙ cos10°

(bruk cos-formelen s cos t =)

= ∙ - ∙ cos10°= ∙() - ∙ cos10°=

la oss åpne parentesene

(husk det =)

Svar: sin20°sin40° sin80° = .

EKSEMPEL 4. Løs ligning 2 sin2x cos9x - sin11x =0.

La oss transformere venstre side av ligningen ved å bruke formelen

synd s cos t= , hvor s=2x, og t=9x får vi:

2 ∙ - sin11х = sin11х = .

Så, gitt ligning er ekvivalent med ligningen = 0 (minus sinus syv x er lik null). Dette betyr = πn, hvorav x = , .

I tiende klasse skal elevene ta en del i algebra som trigonometri. Det vil bli studert gjennom stor kvantitet leksjoner.

Trigonometri selv, som en vitenskap, dukket opp for mer enn to tusen år siden. Siden vanlige algebraiske operasjoner ikke ville være tilstrekkelig til å uttrykke trigonometriske funksjoner, måtte forskerne innføre nye notasjoner. Denne vitenskapen studerer forholdet mellom sidene i en trekant og dens vinkler. I mange geometriske og algebraiske problemer er det behov for å håndtere dette området. Fysikkproblemer fører også noen ganger til trigonometriske funksjoner.

Skolebarn har allerede studert de grunnleggende trigonometriske funksjonene, lært å bygge grafene sine, transformere dem, grunnleggende formler i trigonometri, bruke en tabell med verdier av argumenter som ofte finnes i trigonometri, etc. Da de studerte denne videoleksjonen, hadde de allerede mestret stort beløp trigonometriske uttrykk og ligninger.

I noen eksempler blir det nødvendig å konvertere formelen for summen av en trigonometrisk funksjon til et produkt. Ved å bruke denne handlingen kan du redusere og forenkle enorme uttrykk, løse ligninger, ligningssystemer osv.

Video: Konvertering av beløp trigonometriske funksjoner into works" er et utmerket medfølgende materiale når du studerer dette emnet. Lærere kan bruke eksemplene gitt i ressursen, definisjoner og formler. Multimediefilen er av utmerket kvalitet. Det kan spilles i løpet av timen. Dette vil hjelpe elevene til å konsentrere seg om emnet som studeres.

I begynnelsen av videoleksjonen sier kunngjøreren at noen sumformler vil vises på skjermen som vil hjelpe til med å løse trigonometriske ligninger.

Først av alt vurderes summen av sines. Det første uttrykket er summen av sinusen til summen av to argumenter og sinusen til differansen til de samme argumentene. Hvert medlem er skrevet i henhold til formlene studert tidligere. De vises på høyre side av skjermen for å minne elevene på.

Med fullstendig opptak, åpning av parentes og forenkling, får vi produktet. Variabler erstattes. X-ohm angir summen av argumentene, y-ohm - forskjellen. Ved å erstatte det resulterende uttrykket får vi den første formelen for å konvertere summer til produkter i trigonometri.

For at skoleelever skal huske formelen, er det ikke nok å vise hvordan man får den. Du må prøve å løse det med et eksempel. Summen av sinusene til noen verdier er gitt. Konvertert ved formel til et produkt.

Den andre formelen, hvis utledning vil bli vist trinnvis, er forskjellen av sinus. For ikke å gå gjennom flere tidligere trinn, kan du bruke den allerede oppnådde formelen for beløpet. Det er nødvendig å huske at sinus er en odde funksjon. Hvis vi skriver differansen som en sum og erstatter minus i formelen for summen, får vi en ny regel for å konvertere differansen til et produkt.

Et eksempel er gitt på lignende måte. Melderen forklarer sin avgjørelse i detalj.

Summen og differansen av cosinus med eksempler er gitt i samme rekkefølge. Tidligere studerte formler brukes på lignende måte, erstatningen er gitt og resultatet vises. Når du skal utlede forskjellsformelen, kan du ty til det faktum at cosinus er en jevn funksjon.

Når du løser ligningen venstre side forvandlet til et verk. Som du vet vil det være lik null når noen av faktorene også er lik null. Derfor vil konverteringen til et verk være svært nyttig.

Til slutt gis et annet eksempel, mer komplekst. Du kan peke elevene i riktig retning, og de vil takle eksemplet på egenhånd hvis de forstår prinsippet som helhet.

Videoen vil være svært nyttig for studenter som studerer hjemme. Med dens hjelp kan du mestre viktige formler, uten hvilke det vil være vanskelig og noen ganger umulig å løse trigonometriske ligninger.

TEKSTDEKODING:

Konvertering av summer av trigonometriske funksjoner til produkter

I dag skal vi se på flere trigonometriske formler som gjør at summen (forskjellen) av sinus eller cosinus kan faktoriseres. Disse formlene vil være nyttige for deg når du løser trigonometriske ligninger.

Den første formelen er SUM AV SINER.

Tenk på uttrykket sin(s + t) + sin(s - t), der s og t er argumentene til trigonometriske funksjoner.

La oss bruke de allerede kjente formlene: sinus av summen og sinus av forskjellen:

sin(x - y) = sin xcos y - cos xsin y,

så uttrykket synd( s +t) vil ha formen sin s cos t+cos s synd t

og uttrykket synd(e - t) vil se ut som synd s cos t-cos s synd t,

da får vi:

synd( s +t) + synd( s - t) = (synd s cos t+cos s synd t) + (synd s cos t-cos s synd t)

Utvide parentesene:

synd s cos t+cos s synd t+ synd s cos t-cos s synd t

Vi utfører beregningene:

cos s synd t-cos s synd t=0

synd s cos t+ synd s cos t= 2 synd s cos t.

synd( s +t) + synd( s - t) = (synd s cos t+cos s synd t) + (synd s cos t-cos s synd t)=synd s cos t+cos s synd t+ synd s cos t-cos s synd t=2 synd s cos t.

Dermed får vi at uttrykket sin(s + t) + sin(s - t)= 2 sin s cos t.

La oss introdusere nye variabler x=s +t Og y=s- t.

La oss legge til disse likestillingene termin for termin, vi får

x + y= s +t + s- t.

x + y= 2s

La oss finne verdiens

s= .

I det andre tilfellet trekker vi disse likhetene termin for termin og får

X - på= s +t- (s - t)

X - på= s +t- s + t

x - y= 2t

La oss finne verdient

I uttrykket sin(s + t) + sin(s - t)= 2 sin s cos t

vi vil erstatte s og t til de nye variablene vi introduserte:

s +terstatte med x

s- t erstatte den med på

spå

tpå.

Da får vi:

sinх + sinу= 2 sincos

(summen av sinusene til to argumenter er lik to ganger produktet av sinusen til halvsummen av disse argumentene og cosinus av deres halve forskjell).

sin 7х + sin3х =2 sin cos =2 sin5x cos2x.

Den andre formelen er FORSKJELL AV SINER.

For at vi skal kunne bruke den allerede utledede formelen for summen av sinusene til to argumenter sinх + sinу = 2 sincos

La oss dra nytte av at sinus er en oddetallsfunksjon, dvs. - sinу = synd(- у),

sinx - sinу = sinx + sin(- y)

Nå bruker vi formelen for summen av sinus, vi får

2 synd cos = 2 synd cos.

sin x - sin y = sin x + sin(- y) = 2 sin cos = 2 synd cos.

Følgelig fikk vi formelen for forskjellen av sinus:

sinх - sinу =2 synd cos (forskjellen mellom sinusene til to argumenter er lik to ganger produktet av sinusen til halvforskjellen til disse argumentene og cosinus til halvsummen deres).

Eksempel. Forenkle uttrykket sin 77° - sin 17°.

sin 77° - sin 17° =2 sin cos = 2 synd koster 47º.

(siden sin 30º= , da)= 2 ∙ ∙ cos= cos.

Den tredje formelen er SUM AV COSINES.

For uttrykket cos (s + t) + cos (s - t), bruker vi formlene som allerede er kjent for oss: cosinus av summen og cosinus av forskjellen:

cos (x - y) = cos xcos y + sin x sin y,

Vi erstatter verdiene fra formlene i uttrykket cos (s + t) + cos (s - t) og får:

cos( s+t)+cos( s - t) = cos s cos t-synd s synd t+cos s cos t+ synd s synd t=2cos s cos t

Meancos ( s+t)+cos( s - t) =2cos s cos t

La oss introdusere nye variabler x=s +t Og y=s - t. Som ved å utlede formelen for SUM AV SINER.

s +terstatte med x

s- t erstatte den med på

spå

tpå.

Og vi får formelen for summen av cosinus

cos x+ cosу =2 cos cos

(summen av cosinusene til to argumenter er lik to ganger produktet av cosinus av halvsummen av disse argumentene og cosinus av deres halve forskjell).

Eksempel. Forenkle uttrykket cos(x+2y) + cos(3x - 2y).

cos(x+2y) + cos(3x - 2y) = 2 coscos =

2cos 2x cos(- x + 2y)= 2cos 2x cos(-(x - 2y)) (og siden cos(- t) = kostnad, da)=

2cos2x cos(x - 2y).

Den fjerde formelen er FORSKJELLEN AV COSINES.

For å uttrykke cos (s + t) - cos (s - t), bruker vi formlene som allerede er kjent for oss: cosinus av summen og cosinus av forskjellen:

cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y

cos (x - y) = cos xcos y + sin x sin y, får vi

cos( s+t) -cos( s - t) = cos s cos t-synd s synd t-cos s cos t-synd s synd t= - 2sin s synd t. La oss introdusere nye variabler X= s +t Og på= s - t, Midler, s = Og t =. Å erstatte de introduserte notasjonene i formelen:

cos( s+t) -cos( s - t) = - 2sin s synd t, får vi formelen for forskjellen av cosinus:

cosх - cosу = -2sin sin (forskjellen mellom cosinusene til to argumenter er lik dobbeltproduktet av sinusen til halvsummen av disse argumentene og sinusen til deres halve forskjell, tatt med et minustegn).

Eksempel. Forenkle uttrykket cos - cos.

cos - cos = - 2sin synd = - 2 synd synd (siden sin = , da) =

2 ∙ ∙ synd = - synd.

EKSEMPEL 1. Løs ligningen cos6x + cos2x =0.

Løsning. Ved å konvertere summen av cosinus til et produkt ved å bruke formelen:

(cos x + cosу = 2 cos cos,

vi får 2cos4x cos2x = 0. Denne ligningen blir til en sann likhet hvis

EKSEMPEL 2. Løs ligningen sin7х + sin3х - sin5х =0.

Løsning. For summen av det første og andre leddet bruker vi formelsummen av sinus

sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y

(sin7х + sin3х) - sin5х =0

2 sincos - sin5х =0

sin5x(2 cos2x - 1) = 0.

sin5х = 0 eller 2 cos2х - 1 = 0,

Løsningen til ligningen sint = a er tatt for a=0:

sint = 0 ved t = πk,

så får vi

x = , (pi en delt på fem)

Ved hjelp av Tabellverdier cosinus og bestemme løsningen til ligningen kostnad = a, hvor (| a | 1) skriver i generell form:

t = arccos EN+ 2πk

den andre ligningen cos2x= har følgende løsninger

2х= arccos + 2πn,

(pluss minus pi med seks pluss pi en).