Jakie jest identyczne wyrażenie a b. Identyczne przekształcenia wyrażeń

Po tym jak uporaliśmy się z pojęciem tożsamości, możemy przejść do badania identycznie równych wyrażeń. Celem tego artykułu jest wyjaśnienie, na czym polega i pokazanie na przykładach, które wyrażenia będą identycznie równe innym.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Identycznie równe wyrażenia: definicja

Pojęcie identycznie równych wyrażeń jest zwykle badane w ramach pojęcia samej tożsamości kurs szkolny algebra. Oto podstawowa definicja zaczerpnięta z jednego podręcznika:

Definicja 1

Identycznie równe między sobą będą takie wyrażenia, których wartości będą takie same dla wszelkich możliwych wartości zmiennych wchodzących w ich skład.

Również te wyrażenia liczbowe, które będą odpowiadać tym samym wartościom, są uważane za identyczne.

Jest to dość szeroka definicja, która będzie prawdziwa dla wszystkich wyrażeń całkowitych, których znaczenie nie zmienia się wraz ze zmianą wartości zmiennych. Jednak później trzeba to wyjaśnić tę definicję, ponieważ oprócz liczb całkowitych istnieją inne typy wyrażeń, które nie będą miały sensu, biorąc pod uwagę pewne zmienne. Rodzi to koncepcję dopuszczalności i niedopuszczalności pewnych wartości zmiennych, a także konieczność określenia obszaru dopuszczalne wartości. Sformułujmy wyrafinowaną definicję.

Definicja 2

Identycznie równe wyrażenia– są to wyrażenia, których wartości są sobie równe dla dowolnych dopuszczalnych wartości zmiennych wchodzących w ich skład. Wyrażenia liczbowe będą sobie jednakowo równe pod warunkiem, że będą miały te same wartości.

Wyrażenie „dla dowolnych prawidłowych wartości zmiennych” wskazuje wszystkie te wartości zmiennych, dla których oba wyrażenia będą miały sens. Wyjaśnimy tę kwestię później, gdy podamy przykłady identycznie równych wyrażeń.

Możesz także podać następującą definicję:

Definicja 3

Identycznie równe wyrażenia to wyrażenia znajdujące się w tej samej tożsamości po lewej i prawej stronie.

Przykłady wyrażeń, które są sobie identyczne

Korzystając z definicji podanych powyżej, spójrzmy na kilka przykładów takich wyrażeń.

Zacznijmy od wyrażeń numerycznych.

Przykład 1

Zatem 2 + 4 i 4 + 2 będą sobie identyczne, ponieważ ich wyniki będą równe (6 i 6).

Przykład 2

W ten sam sposób wyrażenia 3 i 30 są identycznie równe: 10, (2 2) 3 i 2 6 (aby obliczyć wartość ostatniego wyrażenia, musisz znać właściwości stopnia).

Przykład 3

Ale wyrażenia 4 - 2 i 9 - 1 nie będą równe, ponieważ ich wartości są różne.

Przejdźmy do przykładów wyrażeń dosłownych. a + b i b + a będą identycznie równe i nie zależy to od wartości zmiennych (równość wyrażeń w tym przypadku zależy od przemienności dodawania).

Przykład 4

Na przykład, jeśli a jest równe 4, a b jest równe 5, wówczas wyniki będą nadal takie same.

Innym przykładem identycznie równych wyrażeń z literami jest 0 · x · y · z i 0 . Niezależnie od wartości zmiennych w tym przypadku, pomnożone przez 0, dadzą 0. Nierówne wyrażenia to 6 · x i 8 · x, ponieważ nie będą one równe dla żadnego x.

W przypadku, gdy obszary dopuszczalnych wartości zmiennych pokrywają się na przykład w wyrażeniach a + 6 i 6 + a lub a · b · 0 i 0 lub x 4 i x, a wartości same wyrażenia są równe dla dowolnych zmiennych, wówczas takie wyrażenia uważa się za identycznie równe. Zatem a + 8 = 8 + a dla dowolnej wartości a oraz a · b · 0 = 0, ponieważ pomnożenie dowolnej liczby przez 0 daje 0. Wyrażenia x 4 i x będą jednakowo równe dla dowolnego x z przedziału [ 0 , + ∞) .

Ale zakres prawidłowych wartości w jednym wyrażeniu może różnić się od zakresu innego.

Przykład 5

Weźmy na przykład dwa wyrażenia: x − 1 i x - 1 · x x. Dla pierwszego z nich zakresem dopuszczalnych wartości x będzie cały zbiór liczb rzeczywistych, a dla drugiego - zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem zera, bo wtedy otrzymamy 0 w mianownik, a taki podział nie jest zdefiniowany. Te dwa wyrażenia mają wspólny zakres wartości utworzony przez przecięcie dwóch oddzielnych zakresów. Możemy stwierdzić, że oba wyrażenia x - 1 · x x i x - 1 będą miały sens dla dowolnych rzeczywistych wartości zmiennych, z wyjątkiem 0.

Podstawowa właściwość ułamka pozwala nam również stwierdzić, że x - 1 · x x i x - 1 będą równe dla każdego x, które nie jest równe 0. Wkrótce obszar ogólny dopuszczalnych wartości, wyrażenia te będą sobie jednakowo równe, a dla dowolnego rzeczywistego x nie da się mówić o identycznej równości.

Jeśli zastąpimy jedno wyrażenie innym, które jest mu identyczne, wówczas proces ten nazywa się identyczna transformacja. Ta koncepcja jest bardzo ważna i omówimy ją szczegółowo w osobnym artykule.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

§ 2. Wyrażenia identyczne, tożsamość. Identyczna transformacja wyrażenia. Dowody tożsamości

Znajdźmy wartości wyrażeń 2(x - 1) 2x - 2 dla podanych wartości zmiennej x. Zapiszmy wyniki w tabeli:

Możemy dojść do wniosku, że wartości wyrażeń 2(x - 1) 2x - 2 dla każdego podana wartość zmienne x są sobie równe. Zgodnie z dystrybucyjną właściwością mnożenia względem odejmowania 2(x - 1) = 2x - 2. Zatem dla dowolnej innej wartości zmiennej x wartość wyrażenia 2(x - 1) 2x - 2 będzie również sobie równi. Takie wyrażenia nazywane są identycznie równymi.

Na przykład wyrażenia 2x + 3x i 5x są synonimami, ponieważ dla każdej wartości zmiennej x wyrażenia te uzyskują te same wartości (wynika to z rozdzielnej właściwości mnożenia względem dodawania, ponieważ 2x + 3x = 5x).

Rozważmy teraz wyrażenia 3x + 2y i 5xy. Jeśli x = 1 i b = 1, wówczas odpowiednie wartości tych wyrażeń są sobie równe:

3x + 2y =3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 =5; 5xy = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.

Można jednak określić wartości x i y, dla których wartości tych wyrażeń nie będą sobie równe. Na przykład, jeśli x = 2; y = 0, zatem

3x + 2y = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5xy = 5 ∙ 20 = 0.

W rezultacie istnieją wartości zmiennych, dla których odpowiednie wartości wyrażeń 3x + 2y i 5xy nie są sobie równe. Dlatego wyrażenia 3x + 2y i 5xy nie są jednakowo równe.

W oparciu o powyższe tożsamościami są w szczególności równości: 2(x - 1) = 2x - 2 i 2x + 3x = 5x.

Tożsamość to każda równość opisująca znane właściwości operacji na liczbach. Na przykład,

za + b = b + za; (a + b) + do = za + (b + c); a(b + c) = ab + ac;

ab = ba; (ab)c = a(bc); a(b - c) = ab - ac.

Tożsamości obejmują następujące równości:

za + 0 = za; za ∙ 0 = 0; a ∙ (-b) = -ab;

za + (-a) = 0; za ∙ 1 = za; a ∙ (-b) = ab.

1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

Jeśli połączymy podobne terminy w wyrażeniu -5x + 2x - 9, otrzymamy, że 5x + 2x - 9 = 7x - 9. W tym przypadku mówią, że wyrażenie 5x + 2x - 9 zostało zastąpione identycznym wyrażeniem 7x - 9.

Identyczne przekształcenia wyrażeń ze zmiennymi wykonujemy wykorzystując właściwości operacji na liczbach. W szczególności identyczne przekształcenia z nawiasami otwierającymi, konstruowanie podobnych terminów i tym podobne.

Identycznych przekształceń należy dokonać przy upraszczaniu wyrażenia, czyli zastępowaniu określonego wyrażenia identycznie równym wyrażeniem, co powinno skrócić zapis.

Przykład 1. Uprość wyrażenie:

1) -0,3 m ∙ 5n;

2) 2(3x - 4) + 3(-4x + 7);

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a).

1) -0,3 m ∙ 5n = -0,3 ∙ 5mn = -1,5 mn;

2) 2(3x4) + 3(-4 + 7) = 6 X - 8 - 1 2x+ 21 = 6x + 13;

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a) = 2 + 5a - A + 2 B + 3 B - A= 3a + 5b + 2.

Aby udowodnić, że równość jest tożsamością (innymi słowy, aby udowodnić identyczność, stosuje się identyczne przekształcenia wyrażeń).

Możesz potwierdzić tożsamość na jeden z następujących sposobów:

  • wykonaj identyczne przekształcenia po jego lewej stronie, redukując go w ten sposób do postaci prawej strony;
  • wykonaj identyczne przekształcenia po jego prawej stronie, redukując ją w ten sposób do postaci lewej strony;
  • wykonać identyczne przekształcenia na obu jego częściach, podnosząc w ten sposób obie części do tych samych wyrażeń.

Przykład 2. Udowodnij tożsamość:

1) 2x - (x + 5) - 11 = x - 16;

2) 206 - 4a = 5(2a - 3b) - 7(2a - 5b);

3) 2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 13(2x - 5) + 21.

R a s i z a n i .

1) Przekształć lewa strona biorąc pod uwagę równość:

2x - (x + 5) - 11 = 2x - X- 5 - 11 = x - 16.

Za pomocą przekształceń tożsamościowych wyrażenie po lewej stronie równości zostało sprowadzone do postaci prawej strony i tym samym udowodniono, że ta równość jest tożsamością.

2) Przekształć prawa strona biorąc pod uwagę równość:

5(2a - 3b) - 7(2a - 5b) = 10a - 15 B - 14a + 35 B= 20b - 4a.

Za pomocą przekształceń tożsamościowych prawą stronę równości sprowadzono do postaci lewej, udowadniając w ten sposób, że ta równość jest tożsamością.

3) W takim przypadku wygodnie jest uprościć lewą i prawą stronę równości i porównać wyniki:

2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 6x - 16 + 20x- 28 = 26x - 44;

13(2x - 5) + 21 = 26x - 65 + 21 = 26x - 44.

W wyniku identycznych przekształceń lewa i prawa strona równości zostały sprowadzone do tej samej postaci: 26x - 44. Zatem ta równość jest tożsamością.

Jakie wyrażenia nazywane są identycznymi? Podaj przykład identycznych wyrażeń. Jaki rodzaj równości nazywa się tożsamością? Podaj przykład tożsamości. Co nazywa się transformacją tożsamościową wyrażenia? Jak udowodnić tożsamość?

  1. (Ustnie) Lub istnieją wyrażenia, które są identycznie równe:

1) 2a + a i 3a;

2) 7x + 6 i 6 + 7x;

3) x + x + x i x 3 ;

4) 2(x - 2) i 2x - 4;

5) m - n i n - m;

6) 2a ∙ p i 2p ∙ a?

  1. Czy wyrażenia są jednakowo równe:

1) 7x - 2x i 5x;

2) 5a – 4 i 4 – 5a;

3) 4m + n i n + 4m;

4) a + a i a 2;

5) 3(a – 4) i 3a – 12;

6) 5m ∙ n i 5m + n?

  1. (Ustnie) to równość tożsamości Lee:

1) 2a + 106 = 12ab;

2) 7р - 1 = -1 + 7р;

3) 3(x - y) = 3x - 5y?

  1. Rozwiń nawiasy:
  1. Rozwiń nawiasy:
  1. Połącz podobne terminy:
  1. Nazwij kilka wyrażeń identyczne wyrażenia 2a + 3a.
  2. Uprość wyrażenie za pomocą permutacji i właściwości łączące mnożenie:

1) -2,5 x ∙ 4;

2) 4р ∙ (-1,5);

3) 0,2 x ∙ (0,3 g);

4)- x ∙<-7у).

  1. Uprość wyrażenie:

1) -2р ∙ 3,5;

2) 7a ∙ (-1,2);

3) 0,2 x ∙ (-3у);

4) - 1 m ∙ (-3n).

  1. (Ustnie) Uprość wyrażenie:

1) 2x - 9 + 5x;

2) 7a – 3b + 2a + 3b;

4) 4a ∙ (-2b).

  1. Połącz podobne terminy:

1) 56 - 8a + 4b - a;

2) 17 - 2p + 3p + 19;

3) 1,8 a + 1,9 b + 2,8 a - 2,9 b;

4) 5 - 7 s + 1,9 g + 6,9 s - 1,7 g.

1) 4(5x - 7) + 3x + 13;

2) 2(7 - 9a) - (4 - 18a);

3) 3(2р - 7) - 2(r - 3);

4) -(3m - 5) + 2(3m - 7).

  1. Otwórz nawiasy i połącz podobne terminy:

1) 3(8a - 4) + 6a;

2) 7p - 2(3p - 1);

3) 2(3x - 8) - 5(2x + 7);

4) 3(5m - 7) - (15m - 2).

1) 0,6 x + 0,4(x - 20), jeśli x = 2,4;

2) 1,3(2a - 1) - 16,4, jeśli a = 10;

3) 1,2(m - 5) - 1,8(10 - m), jeśli m = -3,7;

4) 2x - 3(x + y) + 4y, jeśli x = -1, y = 1.

  1. Uprość wyrażenie i znajdź jego znaczenie:

1) 0,7 x + 0,3(x - 4), jeśli x = -0,7;

2) 1,7(y - 11) - 16,3, jeśli b = 20;

3) 0,6(2a - 14) - 0,4(5a - 1), jeśli a = -1;

4) 5(m - n) - 4m + 7n, jeśli m = 1,8; n = -0,9.

  1. Udowodnij tożsamość:

1) -(2x - y)=y - 2x;

2) 2(x - 1) - 2x = -2;

3) 2(x - 3) + 3(x + 2) = 5x;

4) do - 2 = 5(c + 2) - 4(c + 3).

  1. Udowodnij tożsamość:

1) -(m - 3n) = 3n - m;

2) 7(2 - p) + 7p = 14;

3) 5a = 3(a - 4) + 2(a + 6);

4) 4(m - 3) + 3(m + 3) = 7m - 3.

  1. Długość jednego z boków trójkąta wynosi 1 cm, a długość każdego z dwóch pozostałych boków jest od niej o 2 cm większa. Zapisz obwód trójkąta jako wyrażenie i uprość wyrażenie.
  2. Szerokość prostokąta wynosi x cm, a długość jest o 3 cm większa od szerokości. Zapisz obwód prostokąta jako wyrażenie i uprość wyrażenie.

1) x - (x - (2x - 3));

2) 5m - ((n - m) + 3n);

3) 4р - (3р - (2р - (r + 1)));

4) 5x - (2x - ((y - x) - 2y));

5) (6a – b) – (4 a – 33b);

6) - (2,7 m - 1,5 n) + (2n - 0,48 m).

  1. Otwórz nawiasy i uprość wyrażenie:

1) a - (a - (3a - 1));

2) 12m - ((a - m) + 12a);

3) 5 lat - (6 lat - (7 lat - (8 lat - 1)));

6) (2.1 a - 2.8 b) - (1a - 1b).

  1. Udowodnij tożsamość:

1) 10x - (-(5x + 20)) = 5(3x + 4);

2) -(- 3p) - (-(8 - 5p)) = 2(4 - r);

3) 3(a - b - c) + 5(a - b) + 3c = 8(a - b).

  1. Udowodnij tożsamość:

1) 12a - ((8a - 16)) = -4(4 - 5a);

2) 4(x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

  1. Udowodnić, że znaczenie wyrażenia

1,8(m - 2) + 1,4(2 - m) + 0,2(1,7 - 2m) nie zależy od wartości zmiennej.

  1. Udowodnić, że dla dowolnej wartości zmiennej wartość wyrażenia

a - (a - (5a + 2)) - 5(a - 8)

jest tą samą liczbą.

  1. Udowodnić, że suma trzech kolejnych liczb parzystych jest podzielna przez 6.
  2. Udowodnij, że jeśli n jest liczbą naturalną, to wartość wyrażenia -2(2,5 n - 7) + 2 (3n - 6) jest liczbą parzystą.

Ćwiczenia do powtórzenia

  1. Stop o masie 1,6 kg zawiera 15% miedzi. Ile kg miedzi zawiera ten stop?
  2. Jaki procent stanowi liczba 20 z jej:

1) kwadrat;

  1. Turysta chodził przez 2 godziny i jechał na rowerze przez 3 godziny. W sumie turysta pokonał 56 km. Znajdź prędkość, z jaką turysta jechał na rowerze, jeśli jest ona o 12 km/h większa od prędkości, z jaką szedł.

Ciekawe zadania dla leniwych uczniów

  1. W mistrzostwach miasta w piłce nożnej bierze udział 11 drużyn. Każda drużyna gra jeden mecz przeciwko drugiej. Udowodnij, że w dowolnym momencie rozgrywek istnieje drużyna, która w tym momencie rozegrała parzystą liczbę meczów lub jeszcze żadnego nie rozegrała.

Liczby i wyrażenia tworzące oryginalne wyrażenie można zastąpić identycznymi wyrażeniami. Taka transformacja pierwotnego wyrażenia prowadzi do wyrażenia, które jest mu identyczne.

Na przykład w wyrażeniu 3+x liczbę 3 można zastąpić sumą 1+2, co da wyrażenie (1+2)+x, które jest identyczne z wyrażeniem pierwotnym. Inny przykład: w wyrażeniu 1+a 5 potęgę a 5 można zastąpić identycznie równym iloczynem, na przykład postaci a·a 4. To da nam wyrażenie 1+a·a 4 .

Transformacja ta jest niewątpliwie sztuczna i zwykle stanowi przygotowanie do dalszych przekształceń. Na przykład w sumie 4 x 3 +2 x 2, biorąc pod uwagę właściwości stopnia, termin 4 x 3 można przedstawić jako iloczyn 2 x 2 2 x. Po tej transformacji pierwotne wyrażenie przyjmie postać 2 x 2 2 x+2 x 2. Oczywiście wyrazy w otrzymanej sumie mają wspólny współczynnik 2 x 2, dlatego możemy wykonać następującą transformację - nawias. Po tym dochodzimy do wyrażenia: 2 x 2 (2 x+1) .

Dodawanie i odejmowanie tej samej liczby

Inną sztuczną transformacją wyrażenia jest dodawanie i jednoczesne odejmowanie tej samej liczby lub wyrażenia. Ta transformacja jest identyczna, ponieważ jest zasadniczo równoważna dodaniu zera, a dodanie zera nie zmienia wartości.

Spójrzmy na przykład. Weźmy wyrażenie x 2 +2·x. Jeśli dodasz do tego jeden i odejmiesz jeden, pozwoli ci to w przyszłości wykonać kolejną identyczną transformację - podnieś dwumian do kwadratu: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.

Referencje.

  • Algebra: podręcznik dla 7 klasy wykształcenie ogólne instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edytowany przez SA Telyakovsky. - wyd. 17. - M.: Edukacja, 2008. - 240 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019315-3.
  • Algebra: podręcznik dla 8 klasy. wykształcenie ogólne instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edytowany przez SA Telyakovsky. - wyd. 16. - M.: Edukacja, 2008. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Mordkovich A.G. Algebra. 7. klasa. Za 2 godziny Część 1. Podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących / A. G. Mordkovich. - wyd. XVII, dod. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 s.: il. ISBN 978-5-346-02432-3.

Konwersje tożsamości to praca, którą wykonujemy z wyrażeniami numerycznymi i dosłownymi, a także z wyrażeniami zawierającymi zmienne. Wszystkie te przekształcenia przeprowadzamy w celu doprowadzenia pierwotnego wyrażenia do formy, która będzie wygodna do rozwiązania problemu. W tym temacie rozważymy główne typy transformacji tożsamości.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Identyczna transformacja wyrażenia. Co to jest?

Po raz pierwszy zetknęliśmy się z koncepcją identycznej transformacji na lekcjach algebry w 7. klasie. Wtedy po raz pierwszy zetknęliśmy się z koncepcją identycznie równych wyrażeń. Rozumiemy pojęcia i definicje, aby ułatwić zrozumienie tematu.

Definicja 1

Identyczna transformacja wyrażenia– są to czynności wykonywane w celu zastąpienia wyrażenia pierwotnego wyrażeniem, które będzie identycznie równe pierwotnemu.

Często definicja ta używana jest w formie skróconej, w której pomija się słowo „identyczny”. Zakłada się, że w każdym przypadku wyrażenie przekształcamy w taki sposób, aby otrzymać wyrażenie identyczne z pierwotnym i nie trzeba tego osobno podkreślać.

Zilustrujmy tę definicję przykładami.

Przykład 1

Jeśli zastąpimy wyrażenie x + 3 - 2 do identycznie równego wyrażenia x+1, wówczas dokonamy identycznej transformacji wyrażenia x + 3 - 2.

Przykład 2

Zastąpienie wyrażenia 2 a 6 wyrażeniem 3 jest transformacją tożsamościową, natomiast zastąpienie wyrażenia X do wyrażenia x 2 nie jest transformacją tożsamości, ponieważ wyrażenia X I x 2 nie są jednakowo równe.

Zwracamy uwagę na formę zapisu wyrażeń przy przeprowadzaniu identycznych przekształceń. Zwykle zapisujemy oryginał i wynikowe wyrażenie jako równość. Zatem zapisanie x + 1 + 2 = x + 3 oznacza, że ​​wyrażenie x + 1 + 2 zostało sprowadzone do postaci x + 3.

Kolejne wykonywanie działań prowadzi nas do łańcucha równości, który składa się z kilku identycznych przekształceń umieszczonych w rzędzie. Zatem zapis x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x rozumiemy jako sekwencyjną realizację dwóch przekształceń: najpierw doprowadzono wyrażenie x + 1 + 2 do postaci x + 3 i doprowadzono do postać 3 + x.

Identyczne przekształcenia i ODZ

Wiele wyrażeń, których zaczynamy się uczyć w 8. klasie, nie ma sensu dla wszystkich wartości zmiennych. Przeprowadzenie identycznych przekształceń w tych przypadkach wymaga od nas zwrócenia uwagi na zakres dopuszczalnych wartości zmiennych (APV). Wykonanie identycznych przekształceń może pozostawić ODZ bez zmian lub go zawęzić.

Przykład 3

Podczas wykonywania przejścia z wyrażenia za + (- b) do wyrażenia a - b zakres dopuszczalnych wartości zmiennych A I B pozostaje taki sam.

Przykład 4

Przejście od wyrażenia x do wyrażenia x 2 x prowadzi do zawężenia zakresu dopuszczalnych wartości zmiennej x ze zbioru wszystkich liczb rzeczywistych do zbioru wszystkich liczb rzeczywistych, z których wykluczono zero.

Przykład 5

Identyczna transformacja wyrażenia x 2 x wyrażenie x prowadzi do rozszerzenia zakresu dopuszczalnych wartości zmiennej x ze zbioru wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem zera do zbioru wszystkich liczb rzeczywistych.

Zawężanie lub rozszerzanie zakresu dopuszczalnych wartości zmiennych podczas przeprowadzania przekształceń tożsamości jest ważne przy rozwiązywaniu problemów, ponieważ może wpływać na dokładność obliczeń i prowadzić do błędów.

Podstawowe przemiany tożsamości

Zobaczmy teraz, czym są transformacje tożsamości i jak się je przeprowadza. Wyróżnijmy te rodzaje przekształceń tożsamości, z którymi mamy do czynienia najczęściej, do grupy podstawowych.

Oprócz głównych przekształceń tożsamości istnieje szereg przekształceń, które odnoszą się do wyrażeń określonego typu. W przypadku ułamków są to techniki redukcji i doprowadzenia do nowego mianownika. W przypadku wyrażeń z pierwiastkami i potęgami wszystkie akcje wykonywane w oparciu o właściwości pierwiastków i potęg. W przypadku wyrażeń logarytmicznych działania są wykonywane w oparciu o właściwości logarytmów. W przypadku wyrażeń trygonometrycznych wszystkie operacje wykorzystujące wzory trygonometryczne. Wszystkie te konkretne transformacje zostały szczegółowo omówione w osobnych tematach, które można znaleźć w naszym zasobie. W związku z tym nie będziemy się nad nimi rozwodzić w tym artykule.

Przejdźmy dalej do rozważenia głównych przemian tożsamościowych.

Zmiana układu terminów i czynników

Zacznijmy od zmiany układu terminów. Z tą identyczną transformacją mamy do czynienia najczęściej. Główną zasadę tutaj można uznać za następujące stwierdzenie: w dowolnej sumie zmiana układu warunków nie ma wpływu na wynik.

Reguła ta opiera się na przemienności i asocjacji dodawania. Właściwości te pozwalają nam na zmianę układu terminów i uzyskanie wyrażeń identycznych z pierwotnymi. Dlatego przestawianie wyrazów w sumie jest identyczną transformacją.

Przykład 6

Mamy sumę trzech wyrazów 3 + 5 + 7. Jeśli zamienimy wyrazy 3 i 5, wówczas wyrażenie przyjmie postać 5 + 3 + 7. W tym przypadku istnieje kilka możliwości zamiany terminów. Wszystkie prowadzą do wyrażeń identycznych z pierwotnym.

Nie tylko liczby, ale także wyrażenia mogą pełnić rolę terminów w sumie. Można je, podobnie jak liczby, przestawiać bez wpływu na końcowy wynik obliczeń.

Przykład 7

Suma trzech wyrazów 1 a + b, a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 i - 12 a postaci 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 + ( - 12 ) · Terminy można przestawić np. w ten sposób (- 12) · a + 1 a + b + za 2 + 2 · a + 5 + za 7 · za 3 . Z kolei możesz zmienić układ wyrazów w mianowniku ułamka 1 a + b, a ułamek przyjmie postać 1 b + a. I wyrażenie pod znakiem korzenia za 2 + 2 za + 5 jest także sumą, w której warunki mogą zostać zamienione.

Podobnie jak terminy, możesz zamieniać czynniki w oryginalnych wyrażeniach i uzyskiwać identycznie poprawne równania. Działanie to reguluje następująca zasada:

Definicja 2

W produkcie przestawienie współczynników nie ma wpływu na wynik obliczeń.

Reguła ta opiera się na przemienności i kombinacyjności mnożenia, które potwierdzają poprawność identycznego przekształcenia.

Przykład 8

Praca 3 5 7 poprzez przestawienie czynników można je przedstawić w jednej z następujących postaci: 5 3 7, 5 7 3, 7 3 5, 7 5 3 lub 3 7 5.

Przykład 9

Przestawianie czynników w iloczynie x + 1 x 2 - x + 1 x daje x 2 - x + 1 x x + 1

Rozwijanie nawiasów

Nawiasy mogą zawierać wyrażenia numeryczne i zmienne. Wyrażenia te można przekształcić w identycznie równe wyrażenia, w których nawiasów nie będzie w ogóle lub będzie ich mniej niż w wyrażeniach oryginalnych. Ta metoda przekształcania wyrażeń nazywana jest rozszerzaniem nawiasów.

Przykład 10

Wykonajmy operacje na nawiasach w wyrażeniu postaci 3 + x - 1 x w celu uzyskania identycznie poprawnego wyrażenia 3 + x - 1 x.

Wyrażenie 3 x - 1 + - 1 + x 1 - x można przekształcić w identycznie równe wyrażenie bez nawiasów 3 x - 3 - 1 + x 1 - x.

Zasady konwersji wyrażeń w nawiasach szczegółowo omówiliśmy w temacie „Rozszerzanie nawiasów”, który znajduje się w naszym zasobie.

Grupowanie terminów, czynniki

W przypadkach, gdy mamy do czynienia z trzema lub większą liczbą terminów, możemy odwołać się do tego typu przekształceń tożsamości jako terminów grupujących. Ta metoda transformacji polega na połączeniu kilku terminów w grupę poprzez zmianę ich układu i umieszczenie ich w nawiasach.

Podczas grupowania terminy są zamieniane w taki sposób, że zgrupowane terminy znajdują się obok siebie w rekordzie wyrażenia. Można je wówczas ująć w nawiasy.

Przykład 11

Weźmy wyrażenie 5 + 7 + 1 . Jeśli zgrupujemy pierwszy wyraz z trzecim, otrzymamy (5 + 1) + 7 .

Grupowanie czynników odbywa się analogicznie do grupowania terminów.

Przykład 12

W pracy 2 3 4 5 możemy zgrupować pierwszy czynnik z trzecim, a drugi z czwartym i dochodzimy do wyrażenia (2 4) (3 5). A gdybyśmy zgrupowali pierwszy, drugi i czwarty czynnik, otrzymalibyśmy wyrażenie (2 3 5) 4.

Pogrupowane terminy i czynniki można przedstawić za pomocą prostych liczb lub wyrażeń. Zasady grupowania zostały szczegółowo omówione w temacie „Dodatki i czynniki grupowania”.

Zastępowanie różnic sumami, iloczynami cząstkowymi i odwrotnie

Zastępowanie różnic sumami stało się możliwe dzięki znajomości liczb przeciwnych. Teraz odejmowanie od liczby A takty muzyczne B można uznać za dodatek do liczby A takty muzyczne - b. Równość a - b = za + (- b) można uznać za sprawiedliwe i na jej podstawie zastąpić różnice sumami.

Przykład 13

Weźmy wyrażenie 4 + 3 − 2 , w którym różnica liczb 3 − 2 możemy to zapisać jako sumę 3 + (− 2) . Dostajemy 4 + 3 + (− 2) .

Przykład 14

Wszystkie różnice w wyrazie 5 + 2 x - x 2 - 3 x 3 - 0 , 2 można zastąpić kwotami takimi jak 5 + 2 x + (− x 2) + (− 3 x 3) + (− 0, 2).

Możemy przystąpić do sumowania dowolnych różnic. W ten sam sposób możemy dokonać odwrotnego podstawienia.

Zastąpienie dzielenia mnożeniem przez odwrotność dzielnika staje się możliwe dzięki koncepcji liczb odwrotnych. Transformację tę można zapisać jako za: b = za (b - 1).

Reguła ta była podstawą reguły dzielenia ułamków zwykłych.

Przykład 15

Prywatny 1 2: 3 5 można zastąpić iloczynem postaci 1 2 5 3.

Podobnie, przez analogię, dzielenie można zastąpić mnożeniem.

Przykład 16

W przypadku wyrażenia 1 + 5: x: (x + 3) zastąp dzielenie przez X można pomnożyć przez 1 x. Podział przez x+3 możemy zastąpić mnożąc przez 1x + 3. Transformacja pozwala otrzymać wyrażenie identyczne z oryginałem: 1 + 5 · 1 x · 1 x + 3.

Zamiana mnożenia na dzielenie odbywa się zgodnie ze schematem a · b = a: (b - 1).

Przykład 17

W wyrażeniu 5 x x 2 + 1 - 3 mnożenie można zastąpić dzieleniem w postaci 5: x 2 + 1 x - 3.

Robienie rzeczy z liczbami

Wykonywanie operacji na liczbach podlega zasadzie kolejności wykonywania czynności. Najpierw przeprowadzane są operacje na potęgach liczb i pierwiastkach liczb. Następnie zastępujemy logarytmy, funkcje trygonometryczne i inne ich wartościami. Następnie wykonywane są czynności podane w nawiasach. Następnie możesz wykonać wszystkie inne czynności od lewej do prawej. Ważne jest, aby pamiętać, że mnożenie i dzielenie poprzedzają dodawanie i odejmowanie.

Operacje na liczbach umożliwiają przekształcenie pierwotnego wyrażenia na identyczne i mu równe.

Przykład 18

Przekształćmy wyrażenie 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x wykonując wszystkie możliwe operacje na liczbach.

Rozwiązanie

Przede wszystkim zwróćmy uwagę na stopień 2 3 i pierwiastek 4 i oblicz ich wartości: 2 3 = 8 i 4 = 2 2 = 2 .

Podstawmy otrzymane wartości do pierwotnego wyrażenia i otrzymajmy: 3 · (8 - 1) · a + 2 · (x 2 + 5 · x) .

Wykonajmy teraz kroki podane w nawiasach: 8 − 1 = 7 . I przejdźmy do wyrażenia 3 · 7 · a + 2 · (x 2 + 5 · x) .

Wszystko, co musimy zrobić, to pomnożyć liczby 3 I 7 . Otrzymujemy: 21 · a + 2 · (x 2 + 5 · x) .

Odpowiedź: 3 2 3 - 1 za + 4 x 2 + 5 x = 21 za + 2 (x 2 + 5 x)

Operacje na liczbach mogą być poprzedzone innymi rodzajami przekształceń tożsamości, takimi jak grupowanie liczb lub nawiasy otwierające.

Przykład 19

Weźmy wyrażenie 3 + 2 (6:3) x (y 3 4) - 2 + 11.

Rozwiązanie

Przede wszystkim zamieńmy iloraz w nawiasach 6: 3 na jego znaczeniu 2 . Otrzymujemy: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11.

Rozwińmy nawiasy: 3 + 2 2 x (y 3 4) - 2 + 11 = 3 + 2 2 x y 3 4 - 2 + 11.

Pogrupujmy czynniki liczbowe w iloczynie, a także terminy będące liczbami: (3 - 2 + 11) + (2 2 4) x y 3.

Wykonajmy kroki w nawiasach: (3 - 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 = 12 + 16 x y 3

Odpowiedź:3 + 2 (6:3) x (y 3 4) - 2 + 11 = 12 + 16 x y 3

Jeśli pracujemy z wyrażeniami liczbowymi, celem naszej pracy będzie znalezienie wartości wyrażenia. Jeśli dokonamy transformacji wyrażeń ze zmiennymi, to celem naszych działań będzie uproszczenie wyrażenia.

Ujmując w nawias wspólny czynnik

W przypadkach, gdy wyrazy w wyrażeniu mają ten sam współczynnik, możemy wyjąć ten wspólny czynnik z nawiasów. Aby to zrobić, musimy najpierw przedstawić oryginalne wyrażenie jako iloczyn wspólnego czynnika i wyrażenia w nawiasach, które składa się z oryginalnych terminów bez wspólnego czynnika.

Przykład 20

Liczebnie 2 7 + 2 3 możemy usunąć wspólny czynnik 2 poza nawiasami i uzyskać identycznie poprawne wyrażenie formy 2 (7 + 3).

Możesz odświeżyć pamięć o zasadach umieszczania wspólnego czynnika w nawiasach w odpowiedniej sekcji naszego zasobu. W materiale szczegółowo omówiono zasady usuwania wspólnego czynnika z nawiasów i podano liczne przykłady.

Redukcja podobnych terminów

Przejdźmy teraz do sum zawierających podobne terminy. Istnieją dwie możliwości: sumy zawierające identyczne terminy i sumy, których wyrazy różnią się współczynnikiem liczbowym. Operacje na sumach zawierających podobne wyrazy nazywane są redukcją podobnych wyrazów. Robi się to w następujący sposób: wyciągamy z nawiasów wspólną część literową i obliczamy sumę współczynników liczbowych w nawiasach.

Przykład 21

Rozważ wyrażenie 1 + 4 x - 2 x. Możemy wyjąć dosłowną część x z nawiasów i otrzymać wyrażenie 1 + x (4 - 2). Obliczmy wartość wyrażenia w nawiasach i uzyskajmy sumę w postaci 1 + x · 2.

Zastępowanie liczb i wyrażeń identycznymi wyrażeniami

Liczby i wyrażenia tworzące oryginalne wyrażenie można zastąpić identycznymi wyrażeniami. Taka transformacja pierwotnego wyrażenia prowadzi do wyrażenia, które jest mu identyczne.

Przykład 22 Przykład 23

Rozważ wyrażenie 1 + 5, w którym stopień a 5 możemy zastąpić iloczynem identycznie mu równym, na przykład postaci a · 4. To da nam wyrażenie 1 + a · a 4.

Dokonana transformacja jest sztuczna. Ma to sens jedynie w przygotowaniu na inne zmiany.

Przykład 24

Rozważmy przekształcenie sumy 4x3 + 2x2. Tutaj termin 4x3 możemy sobie wyobrazić jako dzieło 2x2 2x. W rezultacie oryginalne wyrażenie przyjmuje formę 2 x 2 2 x + 2 x 2. Teraz możemy wyizolować wspólny czynnik 2x2 i usuń to z nawiasów: 2 x 2 (2 x + 1).

Dodawanie i odejmowanie tej samej liczby

Jednoczesne dodawanie i odejmowanie tej samej liczby lub wyrażenia jest sztuczną techniką przekształcania wyrażeń.

Przykład 25

Rozważ wyrażenie x 2 + 2 x. Możemy do niego dodać lub odjąć jeden, co pozwoli nam później przeprowadzić kolejną identyczną transformację - wyodrębnić kwadrat dwumianu: x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1 - 1 = (x + 1) 2 - 1.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Rozważmy dwie równości:

1. za 12 * za 3 = za 7 * za 8

Ta równość będzie obowiązywać dla dowolnych wartości zmiennej a. Zakresem dopuszczalnych wartości dla tej równości będzie cały zbiór liczb rzeczywistych.

2. za 12: za 3 = za 2 * za 7 .

Ta nierówność będzie prawdziwa dla wszystkich wartości zmiennej a, z wyjątkiem równej zero. Zakresem dopuszczalnych wartości dla tej nierówności będzie cały zbiór liczb rzeczywistych z wyjątkiem zera.

Dla każdej z tych równości można argumentować, że będzie ona prawdziwa dla dowolnych dopuszczalnych wartości zmiennych a. Takie równości w matematyce nazywane są tożsamości.

Pojęcie tożsamości

Tożsamość to równość, która jest prawdziwa dla dowolnych dopuszczalnych wartości zmiennych. Jeśli zamiast zmiennych podstawisz do tej równości jakiekolwiek prawidłowe wartości, powinieneś otrzymać poprawną równość liczbową.

Warto zauważyć, że prawdziwe równości liczbowe są także tożsamościami. Tożsamościami będą na przykład właściwości działań na liczbach.

3. a + b = b + a;

4. a + (b + c) = (a + b) + do;

6. a*(b*c) = (a*b)*c;

7. a*(b + c) = a*b + a*c;

11. a*(-1) = -a.

Jeśli dwa wyrażenia dla dowolnych dopuszczalnych zmiennych są odpowiednio równe, wówczas wywoływane są takie wyrażenia identycznie równe. Poniżej znajduje się kilka przykładów identycznie równych wyrażeń:

1. (a 2) 4 i a 8 ;

2. a*b*(-a^2*b) i -a 3 *b 2 ;

3. ((x 3 * x 8)/x) i x 10.

Zawsze możemy zastąpić jedno wyrażenie dowolnym innym wyrażeniem identycznym z pierwszym. Taka wymiana będzie transformacją tożsamości.

Przykłady tożsamości

Przykład 1: czy następujące równości są identyczne:

1. za + 5 = 5 + za;

2. a*(-b) = -a*b;

3. 3*a*3*b = 9*a*b;

Nie wszystkie wyrażenia przedstawione powyżej będą tożsamościami. Spośród tych równości tylko 1, 2 i 3 są tożsamościami. Bez względu na to, jakie liczby w nich podstawimy, zamiast zmiennych a i b i tak otrzymamy prawidłowe równości liczbowe.

Ale 4 równość nie jest już tożsamością. Ponieważ ta równość nie będzie obowiązywać dla wszystkich prawidłowych wartości. Na przykład przy wartościach a = 5 i b = 2 uzyskany zostanie następujący wynik:

Ta równość nie jest prawdziwa, ponieważ liczba 3 nie jest równa liczbie -3.