Jakie jest identyczne wyrażenie a b. Przekształcenia identyczne wyrażeń, ich rodzaje

Studiując algebrę, natrafialiśmy na pojęcia wielomianu (na przykład ($y-x$,$\ 2x^2-2x$ itd.) i ułamka algebraicznego (na przykład $\frac(x+5)(x)$ , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\\frac(x-y)(y-x)$ itd.) Podobieństwo tych pojęć polega na tym, że zarówno w wielomianach, jak i ułamkach algebraicznych występują zmienne i wartości liczbowe, są one spełnione działania arytmetyczne: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, potęgowanie. Różnica między tymi pojęciami polega na tym, że w wielomianach nie dokonuje się podziału przez zmienną, lecz w przypadku ułamków algebraicznych można dokonać podziału przez zmienną.

Zarówno wielomiany, jak i ułamki algebraiczne nazywane są w matematyce racjonalnymi wyrażeniami algebraicznymi. Ale wielomiany to całe wyrażenia wymierne i ułamki algebraiczne ułamkowo-racjonalne wyrażenia.

Z wyrażenia ułamkowo-wymiernego można uzyskać całe wyrażenie algebraiczne za pomocą transformacji tożsamości, która w tym przypadku będzie główną właściwością ułamka - redukcją ułamków. Sprawdźmy to w praktyce:

Przykład 1

Konwertuj:$\\frac(x^2-4x+4)(x-2)$

Rozwiązanie: Konwersja podana ułamkowe równanie racjonalne jest to możliwe poprzez wykorzystanie podstawowej właściwości ułamka redukcyjnego, tj. podzielenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę lub wyrażenie inne niż $0$.

Tego ułamka nie można od razu zmniejszyć, licznik należy przeliczyć.

Przekształćmy wyrażenie na licznik ułamka, w tym celu skorzystamy ze wzoru na kwadrat różnicy: $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$

Ułamek wygląda

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\lewy(x-2\prawy)(x-2))(x-2)\]

Teraz widzimy, że w liczniku i mianowniku jest wspólny mnożnik--to jest wyrażenie $x-2$, za pomocą którego zmniejszymy ułamek

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\lewy(x-2\prawy)(x-2))(x-2)=x-2\]

Po redukcji odkryliśmy, że pierwotne ułamkowe wyrażenie wymierne $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ stało się wielomianem $x-2$, tj. całkowicie racjonalne.

Zwróćmy teraz uwagę na fakt, że wyrażenia $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ i $x-2\ $ można uznać za identyczne nie dla wszystkich wartości zmiennej, ponieważ Aby ułamkowe wyrażenie wymierne istniało i mogło być zredukowane przez wielomian $x-2$, mianownik ułamka nie może być równy $0$ (a także współczynnikowi, o który redukujemy. W w tym przykładzie mianownik i mnożnik są takie same, ale nie zawsze tak jest).

Wartości zmiennej, przy której będzie istniał ułamek algebraiczny, nazywane są dopuszczalnymi wartościami zmiennej.

Postawmy warunek na mianowniku ułamka: $x-2≠0$, następnie $x≠2$.

Oznacza to, że wyrażenia $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ i $x-2$ są identyczne dla wszystkich wartości zmiennej z wyjątkiem $2$.

Definicja 1

Identycznie równe wyrażenia to takie, które są równe dla wszystkich prawidłowych wartości zmiennej.

Przekształceniem identycznym jest każde zastąpienie pierwotnego wyrażenia identycznym równym.Przekształcenia te polegają na wykonywaniu czynności: dodawania, odejmowania, mnożenia, umieszczania wspólnego czynnika w nawiasach, redukcji ułamki algebraiczne do wspólnego mianownika, redukując ułamki algebraiczne, redukując podobne wyrazy itp. Należy wziąć pod uwagę, że szereg przekształceń, takich jak redukcja, redukcja podobnych wyrazów, może zmienić dopuszczalne wartości zmiennej.

Techniki stosowane do potwierdzania tożsamości

Ołów lewa strona tożsamości w prawo lub odwrotnie, stosując transformacje tożsamości

Zredukuj obie strony do tego samego wyrażenia, używając identycznych przekształceń

Przenieś wyrażenia z jednej części wyrażenia do drugiej i udowodnij, że wynikowa różnica jest równa $0$

To, którą z powyższych technik zastosować w celu potwierdzenia danej tożsamości, zależy od tożsamości pierwotnej.

Przykład 2

Udowodnij tożsamość $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$

Rozwiązanie: Aby udowodnić tę tożsamość, stosujemy pierwszą z powyższych metod, a mianowicie będziemy przekształcać lewą stronę tożsamości, aż będzie równa prawej.

Rozważmy lewą stronę tożsamości: $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$ - reprezentuje ona różnicę dwóch wielomianów. W tym przypadku pierwszym wielomianem jest kwadrat sumy trzech wyrazów. Aby podnieść kwadrat sumy kilku wyrazów, używamy wzoru:

\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]

Aby to zrobić, musimy pomnożyć liczbę przez wielomian. Pamiętaj, że w tym celu musimy pomnożyć wspólny czynnik w nawiasach przez każdy wyraz wielomianu w nawiasach. Wtedy otrzymamy:

2 $(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$

Wróćmy teraz do pierwotnego wielomianu, będzie on miał postać:

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$

Należy pamiętać, że przed nawiasem znajduje się znak „-”, co oznacza, że po otwarciu nawiasów wszystkie znaki znajdujące się w nawiasach zmieniają się na przeciwne.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$

Przedstawmy podobne wyrazy, wówczas otrzymamy, że jednomiany $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ i $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ znoszą się wzajemnie, tj. ich suma wynosi 0 $.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$

Oznacza to, że poprzez identyczne przekształcenia otrzymaliśmy identyczne wyrażenie po lewej stronie pierwotnej tożsamości

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$

Należy zauważyć, że powstałe wyrażenie pokazuje, że pierwotna tożsamość jest prawdziwa.

Należy pamiętać, że w pierwotnej tożsamości dozwolone są wszystkie wartości zmiennej, co oznacza, że tożsamość udowodniliśmy za pomocą przekształceń tożsamościowych i jest ona prawdziwa dla wszystkich możliwych wartości zmiennej.

W tym artykule podano punkt wyjścia wyobrażenie o tożsamościach. Tutaj zdefiniujemy tożsamość, przedstawimy zastosowaną notację i oczywiście podamy różne przykłady tożsamości

Nawigacja strony.

Czym jest tożsamość?

Logiczne jest rozpoczęcie prezentacji materiału definicje tożsamości. W podręczniku Makaryczowa Yu. N. „Algebra dla 7. klasy” definicja tożsamości jest podana w następujący sposób:

Definicja.

Tożsamość– jest to równość, która jest prawdziwa dla dowolnych wartości zmiennych; każda prawdziwa równość liczbowa jest również tożsamością.

Jednocześnie autor od razu zastrzega, że w przyszłości definicja ta zostanie doprecyzowana. To wyjaśnienie następuje w ósmej klasie, po zapoznaniu się z definicją dopuszczalne wartości zmienne i ODZ. Definicja staje się:

Definicja.

Tożsamości- są to prawdziwe równości liczbowe, a także równości, które są prawdziwe dla wszystkich dopuszczalnych wartości zmiennych w nich zawartych.

Dlaczego więc definiując tożsamość, w 7. klasie mówimy o dowolnych wartościach zmiennych, a w 8. klasie zaczynamy mówić o wartościach zmiennych z ich DL? Do klasy 8 praca jest wykonywana wyłącznie z całymi wyrażeniami (w szczególności z jednomianami i wielomianami) i mają one sens dla dowolnych wartości zawartych w nich zmiennych. Dlatego w 7. klasie mówimy, że tożsamość to równość, która jest prawdziwa dla dowolnych wartości zmiennych. A w ósmej klasie pojawiają się wyrażenia, które nie mają już sensu nie dla wszystkich wartości zmiennych, ale tylko dla wartości z ich ODZ. Dlatego zaczynamy wywoływać równości, które są prawdziwe dla wszystkich dopuszczalnych wartości zmiennych.

Zatem tożsamość jest szczególny przypadek równość. Oznacza to, że każda tożsamość jest równością. Ale nie każda równość jest tożsamością, ale tylko równość, która jest prawdziwa dla dowolnych wartości zmiennych z ich zakresu dopuszczalnych wartości.

Znak tożsamości

Wiadomo, że przy pisaniu równości używa się znaku równości w postaci „=”, po lewej i prawej stronie którego znajdują się liczby lub wyrażenia. Jeśli dodamy do tego znaku kolejną poziomą linię, otrzymamy znak tożsamości„≡” lub jak to się również nazywa znak równości.

Znaku tożsamości używamy zwykle tylko wtedy, gdy trzeba szczególnie podkreślić, że mamy do czynienia nie tylko z równością, ale z tożsamością. W pozostałych przypadkach zapisy tożsamości nie różnią się wyglądem od równości.

Przykłady tożsamości

Czas przynieść przykłady tożsamości. Pomoże nam w tym definicja tożsamości podana w pierwszym akapicie.

Równości numeryczne 2=2 są przykładami tożsamości, ponieważ te równości są prawdziwe, a każda prawdziwa równość liczbowa jest z definicji tożsamością. Można je zapisać jako 2≡2 i .

Równości liczbowe postaci 2+3=5 i 7−1=2·3 również są tożsamościami, ponieważ te równości są prawdziwe. Oznacza to, że 2+3≡5 i 7−1≡2·3.

Przejdźmy do przykładów tożsamości, które zawierają nie tylko liczby, ale także zmienne.

Rozważmy równość 3·(x+1)=3·x+3. Dla dowolnej wartości zmiennej x zapisana równość jest prawdziwa ze względu na rozdzielność mnożenia względem dodawania, dlatego pierwotna równość jest przykładem tożsamości. Oto kolejny przykład tożsamości: y·(x−1)≡(x−1)·x:x·y 2:y, tutaj zakres dopuszczalnych wartości zmiennych x i y składa się ze wszystkich par (x, y), gdzie x i y są dowolnymi liczbami z wyjątkiem zera.

Ale równości x+1=x−1 i a+2·b=b+2·a nie są tożsamościami, ponieważ istnieją wartości zmiennych, dla których te równości nie będą prawdziwe. Na przykład, gdy x=2, równość x+1=x−1 zamienia się w niepoprawną równość 2+1=2−1. Co więcej, równość x+1=x−1 nie jest w ogóle osiągnięta dla żadnych wartości zmiennej x. A równość a+2·b=b+2·a zamieni się w niepoprawną równość, jeśli którąkolwiek weźmiemy różne znaczenia zmienne aib. Na przykład, mając a=0 i b=1, dojdziemy do błędnej równości 0+2·1=1+2·0. Równość |x|=x, gdzie |x| - zmienna x również nie jest tożsamością, ponieważ nie jest to prawdą dla ujemnych wartości x.

Przykładami najbardziej znanych tożsamości są postaci sin 2 α+cos 2 α=1 i log a b =b.

Podsumowując ten artykuł, chciałbym zauważyć, że studiując matematykę, stale spotykamy się z tożsamościami. Zapisami właściwości działań z liczbami są tożsamości, na przykład a+b=b+a, 1·a=a, 0·a=0 i a+(−a)=0. Są też tożsamości

Liczby i wyrażenia tworzące oryginalne wyrażenie można zastąpić identycznymi wyrażeniami. Taka transformacja pierwotnego wyrażenia prowadzi do wyrażenia, które jest mu identyczne.

Na przykład w wyrażeniu 3+x liczbę 3 można zastąpić sumą 1+2, co da wyrażenie (1+2)+x, które jest identycznie równe pierwotnemu wyrażeniu. Inny przykład: w wyrażeniu 1+a 5 potęgę a 5 można zastąpić identycznie równym iloczynem, na przykład postaci a·a 4. To da nam wyrażenie 1+a·a 4 .

Przekształcenie to ma niewątpliwie charakter sztuczny i stanowi zwykle przygotowanie do dalszych przekształceń. Na przykład w sumie 4 x 3 +2 x 2, biorąc pod uwagę właściwości stopnia, termin 4 x 3 można przedstawić jako iloczyn 2 x 2 2 x. Po tej transformacji oryginalne wyrażenie przyjmie postać 2 x 2 2 x+2 x 2. Oczywiście wyrazy w otrzymanej sumie mają wspólny współczynnik 2 x 2, dlatego możemy wykonać następującą transformację - nawias. Po tym dochodzimy do wyrażenia: 2 x 2 (2 x+1) .

Dodawanie i odejmowanie tej samej liczby

Inną sztuczną transformacją wyrażenia jest dodawanie i jednoczesne odejmowanie tej samej liczby lub wyrażenia. Ta transformacja jest identyczna, ponieważ jest zasadniczo równoważna dodaniu zera, a dodanie zera nie zmienia wartości.

Spójrzmy na przykład. Weźmy wyrażenie x 2 +2·x. Jeśli dodasz do tego jeden i odejmiesz jeden, pozwoli ci to w przyszłości wykonać kolejną identyczną transformację - podnieś dwumian do kwadratu: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.

Bibliografia.

Algebra: podręcznik dla 7 klasy ogólne wykształcenie instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edytowany przez SA Telyakovsky. - wyd. 17. - M.: Edukacja, 2008. - 240 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Algebra: podręcznik dla 8 klasy. ogólne wykształcenie instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edytowany przez SA Telyakovsky. - wyd. 16. - M.: Edukacja, 2008. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A. G. Algebra. 7. klasa. O 14:00 Część 1. Podręcznik dla studentów instytucje edukacyjne/ A. G. Mordkovich. - wyd. XVII, dod. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 s.: il. ISBN 978-5-346-02432-3.

Po tym jak uporaliśmy się z pojęciem tożsamości, możemy przejść do badania identycznie równych wyrażeń. Celem tego artykułu jest wyjaśnienie, na czym polega i pokazanie na przykładach, które wyrażenia będą identycznie równe innym.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Identycznie równe wyrażenia: definicja

Pojęcie identycznie równych wyrażeń jest zwykle badane w ramach pojęcia samej tożsamości kurs szkolny algebra. Oto podstawowa definicja zaczerpnięta z jednego podręcznika:

Definicja 1

Identycznie równe między sobą będą takie wyrażenia, których wartości będą takie same dla wszelkich możliwych wartości zmiennych wchodzących w ich skład.

Również te wyrażenia liczbowe, którym będą odpowiadać te same wartości, są uważane za identyczne.

Jest to dość szeroka definicja, która będzie prawdziwa dla wszystkich wyrażeń całkowitych, których znaczenie nie zmienia się wraz ze zmianą wartości zmiennych. Jednak później konieczne staje się wyjaśnienie tej definicji, ponieważ oprócz liczb całkowitych istnieją inne typy wyrażeń, które nie będą miały sensu w przypadku niektórych zmiennych. Rodzi to pojęcie dopuszczalności i niedopuszczalności pewnych wartości zmiennych, a także konieczność określenia zakresu wartości dopuszczalnych. Sformułujmy wyrafinowaną definicję.

Definicja 2

Identycznie równe wyrażenia– są to wyrażenia, których wartości są sobie równe dla dowolnych dopuszczalnych wartości zmiennych wchodzących w ich skład. Wyrażenia numeryczne będą sobie jednakowo równe pod warunkiem, że wartości będą takie same.

Wyrażenie „dla dowolnych prawidłowych wartości zmiennych” wskazuje wszystkie te wartości zmiennych, dla których oba wyrażenia będą miały sens. Wyjaśnimy tę kwestię później, gdy podamy przykłady identycznie równych wyrażeń.

Możesz także podać następującą definicję:

Definicja 3

Identycznie równe wyrażenia to wyrażenia znajdujące się w tej samej tożsamości po lewej i prawej stronie.

Przykłady wyrażeń, które są sobie identyczne

Korzystając z definicji podanych powyżej, spójrzmy na kilka przykładów takich wyrażeń.

Zacznijmy od wyrażeń numerycznych.

Przykład 1

Zatem 2 + 4 i 4 + 2 będą sobie identyczne, ponieważ ich wyniki będą równe (6 i 6).

Przykład 2

W ten sam sposób wyrażenia 3 i 30 są identycznie równe: 10, (2 2) 3 i 2 6 (aby obliczyć wartość ostatniego wyrażenia, musisz znać właściwości stopnia).

Przykład 3

Ale wyrażenia 4 - 2 i 9 - 1 nie będą równe, ponieważ ich wartości są różne.

Przejdźmy do przykładów wyrażeń dosłownych. a + b i b + a będą identycznie równe i nie zależy to od wartości zmiennych (równość wyrażeń w tym przypadku zależy od przemienności dodawania).

Przykład 4

Na przykład, jeśli a jest równe 4, a b jest równe 5, wówczas wyniki będą nadal takie same.

Innym przykładem identycznie równych wyrażeń z literami jest 0 · x · y · z i 0 . Niezależnie od wartości zmiennych w tym przypadku, pomnożone przez 0, dadzą 0. Nierówne wyrażenia to 6 · x i 8 · x, ponieważ nie będą one równe dla żadnego x.

W przypadku, gdy obszary dopuszczalnych wartości zmiennych pokrywają się na przykład w wyrażeniach a + 6 i 6 + a lub a · b · 0 i 0 lub x 4 i x, a wartości same wyrażenia są równe dla dowolnych zmiennych, wówczas takie wyrażenia uważa się za identycznie równe. Zatem a + 8 = 8 + a dla dowolnej wartości a oraz a · b · 0 = 0, ponieważ pomnożenie dowolnej liczby przez 0 daje 0. Wyrażenia x 4 i x będą jednakowo równe dla dowolnego x z przedziału [ 0 , + ∞) .

Ale zakres prawidłowych wartości w jednym wyrażeniu może różnić się od zakresu innego.

Przykład 5

Weźmy na przykład dwa wyrażenia: x − 1 i x - 1 · x x. Dla pierwszego z nich zakresem dopuszczalnych wartości x będzie cały zbiór liczb rzeczywistych, a dla drugiego - zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem zera, bo wtedy otrzymamy 0 w mianownik, a taki podział nie jest zdefiniowany. Te dwa wyrażenia mają wspólny zakres wartości utworzony przez przecięcie dwóch oddzielnych zakresów. Możemy stwierdzić, że oba wyrażenia x - 1 · x x i x - 1 będą miały sens dla dowolnych rzeczywistych wartości zmiennych, z wyjątkiem 0.

Podstawowa właściwość ułamka pozwala nam również stwierdzić, że x - 1 · x x i x - 1 będą równe dla każdego x, które nie jest równe 0. Wkrótce obszar ogólny dopuszczalnych wartości, wyrażenia te będą sobie jednakowo równe, a dla dowolnego rzeczywistego x nie da się mówić o identycznej równości.

Jeśli zastąpimy jedno wyrażenie innym, które jest mu identyczne, wówczas proces ten nazywa się transformacją tożsamości. Ta koncepcja jest bardzo ważna i omówimy ją szczegółowo w osobnym materiale.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Transformacje tożsamości reprezentują pracę, którą wykonujemy z wyrażeniami numerycznymi i dosłownymi, a także wyrażeniami zawierającymi zmienne. Wszystkie te przekształcenia przeprowadzamy w celu doprowadzenia pierwotnego wyrażenia do formy, która będzie wygodna do rozwiązania problemu. W tym temacie rozważymy główne typy transformacji tożsamości.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Identyczna transformacja wyrażenia. Co to jest?

Po raz pierwszy zetknęliśmy się z koncepcją identycznej transformacji na lekcjach algebry w 7. klasie. Wtedy po raz pierwszy zetknęliśmy się z koncepcją identycznie równych wyrażeń. Rozumiemy pojęcia i definicje, aby ułatwić zrozumienie tematu.

Definicja 1

Identyczna transformacja wyrażenia– są to czynności wykonywane w celu zastąpienia wyrażenia pierwotnego wyrażeniem, które będzie identycznie równe pierwotnemu.

Często definicja ta używana jest w formie skróconej, w której pomija się słowo „identyczny”. Zakłada się, że w każdym przypadku wyrażenie przekształcamy w taki sposób, aby otrzymać wyrażenie identyczne z pierwotnym i nie trzeba tego osobno podkreślać.

Zilustrujmy tę definicję przykłady.

Przykład 1

Jeśli zastąpimy wyrażenie x + 3 - 2 do identycznie równego wyrażenia x+1, wówczas dokonamy identycznej transformacji wyrażenia x + 3 - 2.

Przykład 2

Zastąpienie wyrażenia 2 a 6 wyrażeniem 3 jest transformacją tożsamościową, natomiast zastąpienie wyrażenia X do wyrażenia x 2 nie jest transformacją tożsamości, ponieważ wyrażenia X I x 2 nie są jednakowo równe.

Zwracamy uwagę na formę zapisu wyrażeń przy przeprowadzaniu identycznych przekształceń. Zwykle zapisujemy oryginał i wynikowe wyrażenie jako równość. Zatem zapisanie x + 1 + 2 = x + 3 oznacza, że wyrażenie x + 1 + 2 zostało sprowadzone do postaci x + 3.

Kolejne wykonywanie działań prowadzi nas do łańcucha równości, który reprezentuje kilka identycznych przekształceń umieszczonych w rzędzie. Zatem zapis x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x rozumiemy jako sekwencyjną realizację dwóch przekształceń: najpierw doprowadzono wyrażenie x + 1 + 2 do postaci x + 3 i doprowadzono do postać 3 + x.

Identyczne przekształcenia i ODZ

Wiele wyrażeń, których zaczynamy się uczyć w 8. klasie, nie ma sensu dla wszystkich wartości zmiennych. Przeprowadzenie identycznych przekształceń w tych przypadkach wymaga od nas zwrócenia uwagi na zakres dopuszczalnych wartości zmiennych (APV). Wykonanie identycznych przekształceń może pozostawić ODZ bez zmian lub go zawęzić.

Przykład 3

Podczas wykonywania przejścia z wyrażenia za + (- b) do wyrażenia a - b zakres dopuszczalnych wartości zmiennych A I B pozostaje takie samo.

Przykład 4

Przejście od wyrażenia x do wyrażenia x 2 x prowadzi do zawężenia zakresu dopuszczalnych wartości zmiennej x ze zbioru wszystkich liczb rzeczywistych do zbioru wszystkich liczb rzeczywistych, z których wykluczono zero.

Przykład 5

Identyczna transformacja wyrażenia x 2 x wyrażenie x prowadzi do rozszerzenia zakresu dopuszczalnych wartości zmiennej x ze zbioru wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem zera do zbioru wszystkich liczb rzeczywistych.

Zawężanie lub rozszerzanie zakresu dopuszczalnych wartości zmiennych podczas przeprowadzania przekształceń tożsamości jest ważne przy rozwiązywaniu problemów, ponieważ może wpływać na dokładność obliczeń i prowadzić do błędów.

Podstawowe przemiany tożsamości

Zobaczmy teraz, czym są transformacje tożsamości i jak się je przeprowadza. Wyróżnijmy te rodzaje przekształceń tożsamości, z którymi mamy do czynienia najczęściej, do grupy podstawowych.

Oprócz głównych przekształceń tożsamości istnieje szereg przekształceń, które odnoszą się do wyrażeń określonego typu. W przypadku ułamków są to techniki redukcji i doprowadzenia do nowego mianownika. W przypadku wyrażeń z pierwiastkami i potęgami wszystkie akcje wykonywane w oparciu o właściwości pierwiastków i potęg. W przypadku wyrażeń logarytmicznych: działania wykonywane w oparciu o właściwości logarytmów. W przypadku wyrażeń trygonometrycznych wszystkie operacje wykorzystujące wzory trygonometryczne. Wszystkie te konkretne transformacje zostały szczegółowo omówione w osobnych tematach, które można znaleźć w naszym zasobie. W związku z tym nie będziemy się nad nimi rozwodzić w tym artykule.

Przejdźmy dalej do rozważenia głównych przemian tożsamościowych.

Zmiana układu terminów i czynników

Zacznijmy od zmiany układu terminów. Z tą identyczną transformacją mamy do czynienia najczęściej. Główną zasadę tutaj można uznać za następujące stwierdzenie: w dowolnej sumie zmiana układu warunków nie ma wpływu na wynik.

Reguła ta opiera się na przemienności i asocjacji dodawania. Właściwości te pozwalają nam na zmianę układu terminów i uzyskanie wyrażeń identycznych z pierwotnymi. Dlatego przestawianie wyrazów w sumie jest transformacją tożsamości.

Przykład 6

Mamy sumę trzech wyrazów 3 + 5 + 7. Jeśli zamienimy wyrazy 3 i 5, wówczas wyrażenie przyjmie postać 5 + 3 + 7. W tym przypadku istnieje kilka możliwości zamiany terminów. Wszystkie prowadzą do wyrażeń identycznych z pierwotnym.

Nie tylko liczby, ale także wyrażenia mogą pełnić rolę terminów w sumie. Można je, podobnie jak liczby, przestawiać bez wpływu na końcowy wynik obliczeń.

Przykład 7

Suma trzech wyrazów 1 a + b, a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 i - 12 a postaci 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 + ( - 12 ) · Terminy można przestawić np. w ten sposób (- 12) · a + 1 a + b + za 2 + 2 · a + 5 + za 7 · za 3 . Z kolei możesz zmienić układ wyrazów w mianowniku ułamka 1 a + b, a ułamek przyjmie postać 1 b + a. I wyrażenie pod znakiem korzenia za 2 + 2 za + 5 jest także sumą, w której warunki mogą zostać zamienione.

Podobnie jak terminy, możesz zamieniać czynniki w oryginalnych wyrażeniach i uzyskiwać identycznie poprawne równania. Działanie to reguluje następująca zasada:

Definicja 2

W produkcie przestawianie współczynników nie ma wpływu na wynik obliczeń.

Reguła ta opiera się na przemienności i kombinacyjności mnożenia, które potwierdzają poprawność identycznego przekształcenia.

Przykład 8

Praca 3 5 7 poprzez zmianę układu czynników można przedstawić je w jednym z następujące typy: 5 3 7, 5 7 3, 7 3 5, 7 5 3 lub 3 7 5.

Przykład 9

Przestawianie czynników w iloczynie x + 1 x 2 - x + 1 x daje x 2 - x + 1 x x + 1

Rozwijanie nawiasów

Nawiasy mogą zawierać wyrażenia numeryczne i zmienne. Wyrażenia te można przekształcić w identycznie równe wyrażenia, w których nawiasów nie będzie w ogóle lub będzie ich mniej niż w wyrażeniach oryginalnych. Ta metoda przekształcania wyrażeń nazywana jest rozszerzaniem nawiasów.

Przykład 10

Wykonajmy operacje na nawiasach w wyrażeniu postaci 3 + x - 1 x w celu uzyskania identycznie poprawnego wyrażenia 3 + x - 1 x.

Wyrażenie 3 x - 1 + - 1 + x 1 - x można przekształcić w identycznie równe wyrażenie bez nawiasów 3 x - 3 - 1 + x 1 - x.

Zasady konwersji wyrażeń w nawiasach szczegółowo omówiliśmy w temacie „Rozszerzanie nawiasów”, który znajduje się w naszym zasobie.

Grupowanie terminów, czynniki

W przypadkach, gdy mamy do czynienia z trzema i duża ilość terminów, możemy odwołać się do tego typu przekształceń tożsamości w postaci grupowania terminów. Ta metoda transformacji polega na połączeniu kilku terminów w grupę poprzez zmianę ich układu i umieszczenie ich w nawiasach.

Podczas grupowania terminy są zamieniane w taki sposób, że zgrupowane terminy znajdują się obok siebie w rekordzie wyrażenia. Można je wówczas ująć w nawiasy.

Przykład 11

Weźmy wyrażenie 5 + 7 + 1 . Jeśli zgrupujemy pierwszy wyraz z trzecim, otrzymamy (5 + 1) + 7 .

Grupowanie czynników odbywa się analogicznie do grupowania terminów.

Przykład 12

W pracy 2 3 4 5 możemy zgrupować pierwszy czynnik z trzecim, a drugi z czwartym i dochodzimy do wyrażenia (2 4) (3 5). A gdybyśmy zgrupowali pierwszy, drugi i czwarty czynnik, otrzymalibyśmy wyrażenie (2 3 5) 4.

Terminy i czynniki, które są zgrupowane, można przedstawić jako liczby pierwsze i wyrażenia. Zasady grupowania zostały szczegółowo omówione w temacie „Dodatki i czynniki grupowania”.

Zastępowanie różnic sumami, iloczynami cząstkowymi i odwrotnie

Zastępowanie różnic sumami stało się możliwe dzięki znajomości liczb przeciwnych. Teraz odejmowanie od liczby A liczby B można uznać za dodatek do liczby A liczby - b. Równość a - b = za + (- b) można uznać za sprawiedliwe i na tej podstawie zastąpić różnice kwotami.

Przykład 13

Weźmy wyrażenie 4 + 3 − 2 , w którym różnica liczb 3 − 2 możemy to zapisać jako sumę 3 + (− 2) . Dostajemy 4 + 3 + (− 2) .

Przykład 14

Wszystkie różnice w wyrazie 5 + 2 x - x 2 - 3 x 3 - 0 , 2 można zastąpić kwotami takimi jak 5 + 2 x + (− x 2) + (− 3 x 3) + (− 0, 2).

Możemy przystąpić do sumowania dowolnych różnic. W ten sam sposób możemy dokonać odwrotnego podstawienia.

Zastąpienie dzielenia mnożeniem przez odwrotność dzielnika staje się możliwe dzięki koncepcji liczb odwrotnych. Transformację tę można zapisać jako za: b = za (b - 1).

Reguła ta była podstawą reguły dzielenia ułamków zwykłych.

Przykład 15

Prywatny 1 2: 3 5 można zastąpić iloczynem postaci 1 2 5 3.

Podobnie, przez analogię, dzielenie można zastąpić mnożeniem.

Przykład 16

W przypadku wyrażenia 1 + 5: x: (x + 3) zastąp dzielenie przez X można pomnożyć 1 x. Podział przez x+3 możemy zastąpić mnożąc przez 1x + 3. Transformacja pozwala otrzymać wyrażenie identyczne z oryginałem: 1 + 5 · 1 x · 1 x + 3.

Zamiana mnożenia na dzielenie odbywa się zgodnie ze schematem a · b = a: (b - 1).

Przykład 17

W wyrażeniu 5 x x 2 + 1 - 3 mnożenie można zastąpić dzieleniem w postaci 5: x 2 + 1 x - 3.

Robienie rzeczy z liczbami

Wykonywanie operacji na liczbach podlega zasadzie kolejności wykonywania czynności. Najpierw przeprowadzane są operacje na potęgach liczb i pierwiastkach liczb. Następnie zastępujemy logarytmy, funkcje trygonometryczne i inne ich wartościami. Następnie wykonywane są czynności podane w nawiasach. Następnie możesz wykonać wszystkie inne czynności od lewej do prawej. Należy pamiętać, że mnożenie i dzielenie poprzedzają dodawanie i odejmowanie.

Operacje na liczbach umożliwiają przekształcenie pierwotnego wyrażenia na identyczne i mu równe.

Przykład 18

Przekształćmy wyrażenie 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x , uzupełniając wszystko możliwe działania z liczbami.

Rozwiązanie

Przede wszystkim zwróćmy uwagę na stopień 2 3 i pierwiastek 4 i oblicz ich wartości: 2 3 = 8 i 4 = 2 2 = 2 .

Podstawmy uzyskane wartości do pierwotnego wyrażenia i otrzymajmy: 3 · (8 - 1) · a + 2 · (x 2 + 5 · x) .

Wykonajmy teraz kroki podane w nawiasach: 8 − 1 = 7 . I przejdźmy do wyrażenia 3 · 7 · a + 2 · (x 2 + 5 · x) .

Wszystko, co musimy zrobić, to pomnożyć liczby 3 I 7 . Otrzymujemy: 21 · a + 2 · (x 2 + 5 · x) .

Odpowiedź: 3 2 3 - 1 za + 4 x 2 + 5 x = 21 za + 2 (x 2 + 5 x)

Operacje na liczbach mogą być poprzedzone innymi rodzajami przekształceń tożsamości, takimi jak grupowanie liczb lub nawiasy otwierające.

Przykład 19

Weźmy wyrażenie 3 + 2 (6:3) x (y 3 4) - 2 + 11.

Rozwiązanie

Przede wszystkim zastąpimy iloraz w nawiasach 6: 3 na jego znaczeniu 2 . Otrzymujemy: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11.

Rozwińmy nawiasy: 3 + 2 2 x (y 3 4) - 2 + 11 = 3 + 2 2 x y 3 4 - 2 + 11.

Pogrupujmy czynniki liczbowe w iloczynie, a także terminy będące liczbami: (3 - 2 + 11) + (2 2 4) x y 3.

Wykonajmy kroki w nawiasach: (3 - 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 = 12 + 16 x y 3

Odpowiedź:3 + 2 (6:3) x (y 3 4) - 2 + 11 = 12 + 16 x y 3

Jeśli pracujemy z wyrażeniami liczbowymi, celem naszej pracy będzie znalezienie wartości wyrażenia. Jeśli dokonamy transformacji wyrażeń ze zmiennymi, to celem naszych działań będzie uproszczenie wyrażenia.

Ujmując w nawias wspólny czynnik

W przypadkach, gdy wyrazy w wyrażeniu mają ten sam współczynnik, możemy wyjąć ten wspólny czynnik z nawiasów. Aby to zrobić, musimy najpierw przedstawić oryginalne wyrażenie jako iloczyn wspólnego czynnika i wyrażenia w nawiasach, które składa się z oryginalnych terminów bez wspólnego czynnika.

Przykład 20

Liczebnie 2 7 + 2 3 możemy usunąć wspólny czynnik 2 poza nawiasami i uzyskać identycznie poprawne wyrażenie formy 2 (7 + 3).

Możesz odświeżyć pamięć o zasadach umieszczania wspólnego czynnika w nawiasach w odpowiedniej sekcji naszego zasobu. W materiale szczegółowo omówiono zasady usuwania wspólnego czynnika z nawiasów i podano liczne przykłady.

Redukcja podobnych terminów

Przejdźmy teraz do sum zawierających podobne terminy. Istnieją dwie możliwości: sumy zawierające identyczne terminy i sumy, których wyrazy różnią się współczynnikiem liczbowym. Operacje na sumach zawierających podobne wyrazy nazywane są redukcją podobnych wyrazów. Robi się to w następujący sposób: wyciągamy z nawiasów wspólną część literową i obliczamy sumę współczynników liczbowych w nawiasach.

Przykład 21

Rozważ wyrażenie 1 + 4 x - 2 x. Możemy wyjąć część dosłowną x z nawiasów i otrzymać wyrażenie 1 + x (4 - 2). Obliczmy wartość wyrażenia w nawiasach i uzyskajmy sumę w postaci 1 + x · 2.

Zastępowanie liczb i wyrażeń identycznymi wyrażeniami

Liczby i wyrażenia tworzące oryginalne wyrażenie można zastąpić identycznymi wyrażeniami. Taka transformacja pierwotnego wyrażenia prowadzi do wyrażenia, które jest mu identyczne.

Przykład 22 Przykład 23

Rozważ wyrażenie 1 + 5, w którym stopień a 5 możemy zastąpić iloczynem identycznie mu równym, na przykład postaci a · 4. To da nam wyrażenie 1 + a · a 4.

Dokonana transformacja jest sztuczna. Ma to sens jedynie w przygotowaniu na inne zmiany.

Przykład 24

Rozważmy przekształcenie sumy 4x3 + 2x2. Tutaj termin 4x3 możemy sobie wyobrazić jako dzieło 2x2 2x. W rezultacie oryginalne wyrażenie przyjmuje formę 2 x 2 2 x + 2 x 2. Teraz możemy wyizolować wspólny czynnik 2x2 i usuń to z nawiasów: 2 x 2 (2 x + 1).

Dodawanie i odejmowanie tej samej liczby

Jednoczesne dodawanie i odejmowanie tej samej liczby lub wyrażenia jest sztuczną techniką przekształcania wyrażeń.

Przykład 25

Rozważ wyrażenie x 2 + 2 x. Możemy do niego dodać lub odjąć jeden, co pozwoli nam później przeprowadzić kolejną identyczną transformację - wyodrębnić kwadrat dwumianu: x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1 - 1 = (x + 1) 2 - 1.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter