Dodawanie i odejmowanie ułamków algebraicznych: zasady, przykłady. Dodawanie ułamków algebraicznych

Ułamki zwykłe.

Dodawanie ułamków algebraicznych

Pamiętać!

Możesz dodawać tylko ułamki zwykłe o tych samych mianownikach!

Nie można dodawać ułamków bez konwersji

Można dodawać ułamki

Podczas dodawania ułamków algebraicznych o podobnych mianownikach:

1. licznik pierwszego ułamka dodaje się do licznika drugiego ułamka;
2. mianownik pozostaje taki sam.

Spójrzmy na przykład dodawania ułamków algebraicznych.

Ponieważ mianownikiem obu ułamków jest „2a”, oznacza to, że ułamki można dodać.

Dodajmy licznik pierwszego ułamka do licznika drugiego ułamka, a mianownik pozostawmy bez zmian. Dodając ułamki w otrzymanym liczniku, przedstawiamy podobne.

Odejmowanie ułamków algebraicznych

Podczas odejmowania ułamków algebraicznych o podobnych mianownikach:

1. Licznik drugiego ułamka odejmuje się od licznika pierwszego ułamka.
2. mianownik pozostaje taki sam.

Ważny!

Pamiętaj, aby w nawiasie podać cały licznik ułamka, który odejmujesz.

W przeciwnym razie popełnisz błąd w znakach podczas otwierania nawiasów ułamka, który odejmujesz.

Spójrzmy na przykład odejmowania ułamków algebraicznych.

Ponieważ oba ułamki algebraiczne mają mianownik „2c”, oznacza to, że te ułamki można odjąć.

Odejmij licznik drugiego ułamka „(a - b)” od licznika pierwszego ułamka „(a + d)”. Nie zapomnij umieścić licznika ułamka, który odejmujesz, w nawiasach. Otwierając nawiasy, stosujemy regułę otwierania nawiasów.

Sprowadzanie ułamków algebraicznych do wspólnego mianownika

Spójrzmy na inny przykład. Musisz dodać ułamki algebraiczne.

W tej formie nie można dodawać ułamków zwykłych, ponieważ mają one różne mianowniki.

Przed dodaniem ułamków algebraicznych muszą być doprowadzić do wspólnego mianownika.

Zasady redukcji ułamków algebraicznych do wspólnego mianownika są bardzo podobne do zasad redukcji ułamków zwykłych do wspólnego mianownika.

.

W rezultacie powinniśmy otrzymać wielomian, który zostanie podzielony bez reszty na każdy z poprzednich mianowników ułamków. Do sprowadź ułamki algebraiczne do wspólnego mianownika

1. musisz wykonać następujące czynności.
2. Pracujemy ze współczynnikami numerycznymi. Dla wszystkich współczynników liczbowych wyznaczamy LCM (najmniejszą wspólną wielokrotność).
3. Pracujemy z wielomianami. Definiujemy wszystkie różne wielomiany w największych potęgach.
4. Iloczyn współczynnika liczbowego i wszystkich różnych wielomianów w największych potęgach będzie wspólnym mianownikiem.

Określ, przez co należy pomnożyć każdy ułamek algebraiczny, aby uzyskać wspólny mianownik.

Rozważ mianowniki „15a” i „3” obu ułamków i znajdź dla nich wspólny mianownik.

1. Pracujemy ze współczynnikami numerycznymi. Znajdź LCM (najmniejsza wspólna wielokrotność to liczba, która jest podzielna przez każdy współczynnik liczbowy bez reszty).
2. Dla „15” i „3” jest to „15”.
   Pracujemy z wielomianami. Konieczne jest wypisanie wszystkich wielomianów w największych potęgach.
3. W mianownikach „15a” i „5” są tylko
4. jeden jednomian - „a”.

Pomnóżmy LCM z kroku 1 przez „15” i jednomian „a” z kroku 2. Dostajemy „15a”. To będzie wspólny mianownik.

Dla każdego ułamka zadajemy sobie pytanie: „Przez co należy pomnożyć mianownik tego ułamka, aby otrzymać „15a”?

Spójrzmy na pierwszy ułamek. Ułamek ten ma już mianownik „15a”, co oznacza, że ​​nie trzeba go przez nic mnożyć. Spójrzmy na drugi ułamek. Zadajmy pytanie: „Przez co trzeba pomnożyć „3”, żeby otrzymać „15a”?.

Odpowiedź brzmi „5a”.

Sprowadzając ułamek do wspólnego mianownika, pomnóż przez „5a”

zarówno licznik, jak i mianownik

Skróconą formę redukcji ułamka algebraicznego do wspólnego mianownika można zapisać za pomocą „domów”.

Aby to zrobić, pamiętaj o wspólnym mianowniku. Nad każdym ułamkiem u góry „w domu” piszemy, przez co mnożymy każdy z ułamków.

Teraz, gdy ułamki mają te same mianowniki, można je dodać.

Spójrzmy na przykład odejmowania ułamków o różnych mianownikach.

Rozważ mianowniki „(x − y)” i „(x + y)” obu ułamków i znajdź dla nich wspólny mianownik.

Mamy dwa różne wielomiany w mianownikach „(x - y)” i „(x + y)”.

Ich iloczyn będzie wspólnym mianownikiem, tj. „(x − y)(x + y)” jest wspólnym mianownikiem.

Dodawanie i odejmowanie ułamków algebraicznych za pomocą skróconych wzorów na mnożenie
W niektórych przykładach należy zastosować skrócone wzory na mnożenie, aby sprowadzić ułamki algebraiczne do wspólnego mianownika.

Spójrzmy na przykład dodawania ułamków algebraicznych, gdzie będziemy musieli skorzystać ze wzoru na różnicę kwadratów.

Sprzęt: Materiał demonstracyjny.

Zadania aktualizacji wiedzy:

1) +; 2) -;

3) + ; 4) +; 5) -.

1) Algorytm dodawania i odejmowania ułamków zwykłych o różnych mianownikach.

Aby dodać lub odjąć ułamki zwykłe o różnych mianownikach, musisz:

1. Sprowadź te ułamki do najniższego wspólnego mianownika.
2. Dodaj lub odejmij powstałe ułamki.

2) Algorytm sprowadzania ułamków algebraicznych do wspólnego mianownika.

1. Znajdźmy dodatkowe czynniki dla każdego z ułamków: będą to iloczyny tych czynników, które znajdują się we wspólnym (nowym) mianowniku, ale których nie ma w starym mianowniku.

3) Standardy samodzielnej pracy z autotestem:

3) Karta etapu refleksji.

1. Ten temat jest dla mnie jasny.
2. Wiem, jak znaleźć dodatkowe współczynniki dla każdego ułamka.
3. Potrafię znaleźć nowe liczniki dla każdego ułamka.
4. U mnie wszystko się sprawdziło, gdy pracowałem samodzielnie.
5. Udało mi się zrozumieć przyczynę błędu, który popełniłem w samodzielnej pracy.
6. Jestem zadowolony z pracy na zajęciach.

POSTĘP LEKCJI

1. Samostanowienie o działaniu.

Cele etapowe:

1. Włączenie uczniów do działalność edukacyjna: kontynuacja podróży po kraju „Wyrażenia algebraiczne”.
2. Ustalenie treści lekcji: kontynuacja pracy z ułamkami algebraicznymi.

Organizacja procesu edukacyjnego na etapie 1:

Dzień dobry chłopaki! Kontynuujemy naszą ekscytującą podróż po kraju „Wyrażenia algebraiczne”.

Jakich „mieszkańców” kraju spotkaliśmy na poprzednich lekcjach? (Z wyrażeniami algebraicznymi.)

Co możemy zrobić ze znanymi wyrażeniami algebraicznymi? (Dodawanie i odejmowanie.)

Który cecha charakterystyczna ułamki algebraiczne, które już umiemy dodawać i odejmować? (Dodajemy i odejmujemy ułamki zwykłe o tym samym mianowniku.)

Prawidłowy. Ale wszyscy dobrze rozumiemy, że umiejętność wykonywania operacji na ułamkach algebraicznych o tych samych mianownikach nie wystarczy. Jak myślisz, czego jeszcze powinniśmy się nauczyć? (Wykonaj operacje na ułamkach o różnych mianownikach.)

Dobrze zrobiony! Czy w takim razie będziemy kontynuować naszą podróż? (Tak!)

2. Aktualizowanie wiedzy i rejestrowanie trudności w zajęciach.

Cele etapowe:

1. Uaktualnienie wiedzy na temat wykonywania działań na ułamkach o tych samych mianownikach, metody obliczeń myślowych.
2. Zapisz trudność.

Organizacja procesu edukacyjnego na etapie 2:

Na tablicy znajduje się kilka przykładów wykonywania operacji na ułamkach:

5) -=-==.

Uczniowie proszeni są o głośne wyrażanie swoich rozwiązań.

W pierwszym przykładzie chłopaki z łatwością podają poprawną odpowiedź, pamiętając o algorytmie wykonywania działań z ułamkami algebraicznymi o tych samych mianownikach.

Jeżeli komentarz do przykładu nr 2 został już skomentowany, nauczyciel skupia się na przykładzie nr 2:

Chłopaki, spójrzcie, co jest interesujące w przykładzie nr 2? (Nie tylko wykonaliśmy operacje na ułamkach algebraicznych o tych samych mianownikach, ale także zredukowaliśmy powstały ułamek algebraiczny: usunęliśmy znak minus z nawiasów, w liczniku i mianowniku otrzymaliśmy identyczne współczynniki, o które następnie zmniejszyliśmy wynik. )

Bardzo dobrze, że nie zapomniałeś, że podstawowa własność ułamka dotyczy nie tylko ułamków zwykłych, ale także ułamków algebraicznych!

Kto skomentuje rozwiązanie poniższych trzech przykładów dla wszystkich?

Najprawdopodobniej znajdzie się uczeń, który z łatwością rozwiąże przykład nr 3.

Czego użyłeś do rozwiązania przykładu nr 3? (Pomógł mi algorytm dodawania i odejmowania ułamków zwykłych o różnych mianownikach.)

Jak dokładnie się zachowałeś? (Zredukowałem ułamki algebraiczne do najniższego wspólnego mianownika 15, a następnie je dodałem.)

Niesamowity! Jak sobie radzimy z dwoma ostatnimi przykładami?

Jeśli chodzi o kolejne dwa przykłady, chłopaki (każdy dla siebie) naprawiają powstałą trudność.

Słowa uczniów brzmią mniej więcej tak:

Trudno mi dokończyć przykłady 4–5, ponieważ przede mną są ułamki algebraiczne, a nie o „identycznych” mianownikach, a w tych różnych mianownikach znajdują się zmienne (nr 4), a w nr 5 znajdują się wyrażenia dosłowne w mianowniki!..”

Nie otrzymano odpowiedzi na zadania 4–5.

3. Identyfikacja lokalizacji i przyczyn trudności oraz ustalenie celów działania.

Cele etapowe:

1. Zapisz cechę charakterystyczną własność pracy co powodowało trudności w działalności edukacyjnej.
2. Sformułuj cel i temat lekcji.

Organizacja procesu edukacyjnego na etapie 3:

Chłopaki? Gdzie pojawiła się trudność? (W przykładach 4–5.)

Dlaczego rozwiązując je, nie jesteś gotowy, aby omówić decyzję i udzielić odpowiedzi? (Ponieważ zaproponowane w tych zadaniach ułamki algebraiczne mają różne mianowniki, a znany jest nam algorytm wykonywania operacji na ułamkach algebraicznych, które mają te same mianowniki.

Co jeszcze musimy umieć? (Musisz nauczyć się dodawać i odejmować ułamki zwykłe o różnych mianownikach.)

Zgadzam się z tobą. Jak możemy sformułować temat naszej dzisiejszej lekcji? (Dodawanie i odejmowanie ułamków algebraicznych o różnych mianownikach.)

Temat lekcji jest zapisywany w zeszytach.

4. Budowa projektu wyjścia z trudności.

Cel sceny:

1. Dziecięca konstrukcja nowego sposobu działania.
2. Utrwalenie algorytmu sprowadzania ułamków algebraicznych do wspólnego mianownika.

Organizacja procesu edukacyjnego na etapie 4:

Jaki cel postawimy sobie dzisiaj na zajęciach? (Naucz się dodawać i odejmować ułamki algebraiczne o różnych mianownikach.)

Jak to możliwe? (Aby to zrobić, musimy zbudować algorytm dalszej pracy z ułamkami algebraicznymi.)

Co musimy wymyślić, aby osiągnąć cel lekcji? (Algorytm sprowadzania ułamków algebraicznych do wspólnego mianownika, dzięki czemu możemy następnie pracować zgodnie ze zwykłą zasadą dodawania i odejmowania ułamków o tych samych mianownikach.)

Pracę można zorganizować w grupach, każda grupa otrzymuje kartkę papieru i marker. Studenci mogą zaproponować własne wersje algorytmu w formie listy kroków. Na pracę przeznaczono 5 minut. Grupy publikują swoje opcje algorytmu lub reguły, a następnie każda opcja jest analizowana.

Najprawdopodobniej jeden z uczniów na pewno narysuje analogię swojego algorytmu do algorytmu dodawania i odejmowania ułamków zwykłych o różnych mianownikach: najpierw sprowadza ułamki do wspólnego mianownika za pomocą odpowiednich dodatkowych współczynników, a następnie dodaje i odejmuje powstałe ułamki o tych samych mianownikach.

Następnie wyświetlana jest pojedyncza opcja. Może być tak:

1. Uwzględniamy wszystkie mianowniki.
2. Z pierwszego mianownika wypisujemy iloczyn wszystkich jego czynników, z pozostałych mianowników przypisujemy do tego iloczynu brakujące czynniki. Powstały produkt będzie wspólnym (nowym) mianownikiem.
3. Znajdźmy dodatkowe czynniki dla każdego z ułamków: będą to iloczyny tych czynników, które znajdują się w nowym mianowniku, ale których nie ma w starym mianowniku.
4. Znajdźmy nowy licznik dla każdego ułamka: będzie to iloczyn starego licznika i dodatkowego czynnika.
5. Zapiszmy każdy ułamek z nowym licznikiem i wspólnym (nowym) mianownikiem.

Cóż, zastosujmy naszą regułę do uzupełnienia nierozwiązanych zaproponowanych zadań. Każde zadanie (4, 5) jest wypowiadane po kolei przez kilku uczniów w klasie, a nauczyciel zapisuje rozwiązanie na tablicy.

Ty i ja jesteśmy po prostu geniuszami! Zbudowaliśmy algorytm dodawania i odejmowania ułamków algebraicznych o różnych mianownikach. Wspólnymi wysiłkami wyeliminowaliśmy tę trudność, ponieważ mamy teraz przed sobą prawdziwy „przewodnik” (algorytm) po nieznanym kraju „Ułamków algebraicznych”!

5. Pierwotna konsolidacja w mowie zewnętrznej.

Cel sceny:

1. Trenuj umiejętność sprowadzania ułamków algebraicznych do wspólnego mianownika.
2. Uporządkuj wymowę badanej treści algorytmu reguł w mowie zewnętrznej.

Organizacja procesu edukacyjnego na etapie 5:

Kochani, wszyscy doskonale wiemy, że samo obejrzenie i poznanie „mapy okolicy” nie jest podróżą. Co zrobić, żeby głębiej zagłębić się w świat ułamków algebraicznych? (Musimy rozwiązywać przykłady i ogólnie ćwiczyć rozwiązywanie przykładów, aby skonsolidować nasz nowy algorytm.)

Absolutnie racja. Dlatego proponuję rozpocząć nasze badania.

Uczeń ustnie przedstawia plan swojego rozwiązania, nauczyciel koryguje w przypadku popełnienia nieścisłości.

Brzmi to mniej więcej tak:

Musimy wybrać liczbę podzielną zarówno przez 2, jak i 5. To jest liczba 10. Następnie wybieramy zmienne w takim stopniu, jaki potrzebujemy. Zatem naszym nowym mianownikiem będzie 10xy. Wybieramy dodatkowe mnożniki. Do pierwszej frakcji: 5 lat, do drugiej: 2x. Wybrane dodatkowe współczynniki mnożymy przez każdy stary licznik. Otrzymujemy ułamki algebraiczne o identycznych mianownikach i odejmujemy według znanej nam już zasady.

jestem szczęśliwy. A teraz nasz duży zespół podzieli się na pary i będziemy kontynuować naszą interesującą ścieżkę.

Nr 133 (a, d). Uczniowie pracują w parach, omawiając między sobą rozwiązanie:

a) +=+= =;

d) +=+= =.

6. Niezależna praca z autotestem.

Cele etapowe:

1. Wykonuj samodzielną pracę.
2. Przeprowadź autotest korzystając z gotowego standardu autotestu.
3. Uczniowie będą rejestrować trudności, identyfikować przyczyny błędów i poprawiać błędy.

Organizacja procesu edukacyjnego na etapie 6:

Uważnie obserwowałem Twoją pracę i doszedłem do wniosku, że każdy z Was jest gotowy samodzielnie przemyśleć sposoby i znaleźć rozwiązania na przykładach na nasz dzisiejszy temat. Dlatego oferuję Ci małą samodzielną pracę, po której ukończeniu otrzymasz standard z prawidłowym rozwiązaniem i odpowiedzią.

Nr 134 (a, b): wykonywać pracę według opcji.

Po zakończeniu pracy przeprowadzana jest standardowa kontrola. Podczas sprawdzania rozwiązań uczniowie zaznaczają „+” przy właściwym rozwiązaniu, „?” nie jest to właściwa decyzja. Wskazane jest, aby uczniowie, którzy popełnili błędy, wyjaśnili powód, dla którego wykonali zadanie nieprawidłowo.

Błędy są analizowane i korygowane.

Jakie więc trudności napotkałeś po drodze? (Popełniłem błąd przy rozwijaniu nawiasów, które są poprzedzone znakiem minus.)

Jaki jest tego powód? (To tylko przez nieostrożność, ale w przyszłości będę bardziej ostrożny!)

Co jeszcze wydawało się trudne? (Czy trudno było mi znaleźć dodatkowe czynniki dla ułamków?)

Zdecydowanie musisz dokładniej przestudiować punkt 3 algorytmu, aby taki problem nie pojawił się w przyszłości!

Czy były jeszcze jakieś trudności? (I po prostu nie przyniosłem takich warunków).

I to można naprawić. Kiedy już zrobiłeś wszystko, co możliwe, korzystając z nowego algorytmu, musisz przypomnieć sobie materiał, którego uczyłeś się dawno temu. W szczególności sprowadzanie podobnych terminów lub redukowanie ułamków itp.

7. Włączenie nowej wiedzy do systemu wiedzy.

Cel etapu: powtórzenie i utrwalenie algorytmu dodawania i odejmowania ułamków algebraicznych o różnych mianownikach poznanego na lekcji.

8. Refleksja nad lekcją.

Cel etapu: nagranie nowych treści, ocena własnych działań.

Organizacja procesu edukacyjnego na etapie 8:

Jaki cel postawiliśmy sobie na początku lekcji? (Naucz się dodawać i odejmować ułamki zwykłe o różnych mianownikach.)

Co wymyśliliśmy, żeby osiągnąć cel? (Algorytm dodawania i odejmowania ułamków algebraicznych o różnych mianownikach.)

Czego jeszcze do tego użyliśmy? (Rozważyliśmy mianowniki, wybraliśmy LCM dla współczynników i dodatkowe współczynniki dla liczników.)

Teraz weź kolorowy długopis lub pisak i zaznacz znakiem „+” te stwierdzenia, z którymi się zgadzasz:

Każdy uczeń ma kartę ze zwrotami. Dzieci zaznaczają i pokazują nauczycielowi.

Dobrze zrobiony!

Praca domowa: akapit 4 (podręcznik); Nr 126, 127 (książka problemowa).

W tym artykule przeanalizujemy szczegółowo dodawanie i odejmowanie ułamków algebraicznych. Zacznijmy od dodawania i odejmowania ułamków algebraicznych o podobnych mianownikach. Następnie zapisujemy odpowiednią regułę dla ułamków o różnych mianownikach. Podsumowując, pokażemy, jak dodać ułamek algebraiczny za pomocą wielomianu i jak go odjąć. Tradycyjnie wszystkie informacje przekażemy wraz z typowymi przykładami objaśniającymi każdy etap procesu rozwiązania.

Nawigacja strony.

Gdy mianowniki są takie same

Zasady można przenieść na ułamki algebraiczne. Wiemy, że dodając i odejmując ułamki zwykłe o jednakowych mianownikach, ich liczniki są dodawane lub odejmowane, ale mianownik pozostaje ten sam. Na przykład i .

Sformułowane podobnie zasada dodawania i odejmowania ułamków algebraicznych o jednakowych mianownikach: Aby dodać lub odjąć ułamki algebraiczne o podobnych mianownikach, należy odpowiednio dodać lub odjąć liczniki ułamków, pozostawiając mianownik bez zmian.

Z tej reguły wynika, że ​​w wyniku dodawania lub odejmowania ułamków algebraicznych otrzymuje się nowy ułamek algebraiczny (w konkretnym przypadku wielomian, jednomian lub liczbę).

Podajmy przykład zastosowania podanej zasady.

Przykład.

Znajdź sumę ułamków algebraicznych I .

Rozwiązanie.

Musimy dodać ułamki algebraiczne o takich samych mianownikach. Reguła mówi nam, że musimy dodać liczniki tych ułamków, ale pozostawić mianownik bez zmian. Zatem dodajemy wielomiany znalezione w licznikach: x 2 +2·x·y−5+3−x·y= x 2 +(2 x y−x y)−5+3=x 2 +x y−2. Dlatego suma pierwotnych ułamków jest równa .

W praktyce rozwiązanie zwykle zapisuje się w skrócie w postaci łańcucha równości odzwierciedlającego wszystkie wykonane działania. W naszym przypadku krótka wersja rozwiązania to:

Odpowiedź:

.

Należy pamiętać, że jeśli w wyniku dodawania lub odejmowania ułamków algebraicznych otrzyma się ułamek redukowalny, wówczas wskazane jest jego zmniejszenie.

Przykład.

Odejmij ułamki zwykłe od ułamków algebraicznych.

Rozwiązanie.

Ponieważ mianowniki ułamków algebraicznych są równe, należy odjąć licznik drugiego od licznika pierwszego ułamka i pozostawić mianownik taki sam: .

Łatwo zauważyć, że można skrócić ułamek algebraiczny. Aby to zrobić, przekształcamy jego mianownik, stosując wzór na różnicę kwadratową. Mamy.

Odpowiedź:

.

Trzy i trzy dodaje się lub odejmuje dokładnie w ten sam sposób. więcej Ułamki algebraiczne o podobnych mianownikach. Na przykład, .

Dodawanie i odejmowanie ułamków algebraicznych o różnych mianownikach

Przypomnijmy, jak wykonujemy dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych o różnych mianownikach: najpierw sprowadzamy je do wspólnego mianownika, a następnie dodajemy te ułamki o tych samych mianownikach. Na przykład, Lub .

Jest podobny zasada dodawania i odejmowania ułamków algebraicznych o różnych mianownikach:

• po pierwsze, wszystkie ułamki sprowadza się do wspólnego mianownika;
• po czym dodaje się i odejmuje powstałe ułamki o tych samych mianownikach.

Dla udana aplikacja zgodnie z podaną zasadą musisz dobrze rozumieć sprowadzanie ułamków algebraicznych do wspólnego mianownika. To właśnie zrobimy.

Sprowadzanie ułamków algebraicznych do wspólnego mianownika.

Sprowadzanie ułamków algebraicznych do wspólnego mianownika jest identyczną transformacją ułamków pierwotnych, po czym mianowniki wszystkich ułamków stają się takie same. Wygodne jest użycie poniższych algorytm sprowadzania ułamków algebraicznych do wspólnego mianownika:

• Najpierw znajduje się wspólny mianownik ułamków algebraicznych;
• Następnie dla każdego z ułamków wyznaczane są dodatkowe współczynniki, dla których wspólny mianownik jest dzielony przez mianowniki ułamków wyjściowych;
• na koniec liczniki i mianowniki pierwotnych ułamków algebraicznych są mnożone przez odpowiednie dodatkowe współczynniki.

Przykład.

Podaj ułamki algebraiczne I do wspólnego mianownika.

Rozwiązanie.

Najpierw określmy wspólny mianownik ułamków algebraicznych. Aby to zrobić, rozłóż mianowniki wszystkich ułamków: 2 za 3 -4 za 2 =2 za 2 (a-2), 3 za 2 −6 a=3 za (a−2) i 4 za 5 −16 za 3 =4 za 3 (a−2) (a+2). Stąd znajdujemy wspólny mianownik 12·a 3 ·(a−2)·(a+2) .

Teraz zacznijmy znajdować dodatkowe czynniki. Aby to zrobić, dzielimy wspólny mianownik przez mianownik pierwszego ułamka (wygodnie jest przyjąć jego rozwinięcie), mamy 12 za 3 (a-2) (a+2):(2 za 2 (a-2))=6 za (a+2). Zatem dodatkowy współczynnik dla pierwszego ułamka wynosi 6·a·(a+2) . Podobnie znajdujemy dodatkowe czynniki dla drugiego i trzeciego ułamka: 12 za 3 (a-2) (a+2):(3 a (a-2))=4 za 2 (a+2) I 12 za 3 (a-2) (a+2):(4 za 3 (a-2) (a+2))=3.

Pozostaje pomnożyć liczniki i mianowniki pierwotnych ułamków przez odpowiednie dodatkowe czynniki:

To kończy redukcję pierwotnych ułamków algebraicznych do wspólnego mianownika. W razie potrzeby powstałe ułamki można przekształcić do postaci ułamków algebraicznych, mnożąc wielomiany i jednomiany w licznikach i mianownikach.

Zajęliśmy się więc redukcją ułamków algebraicznych do wspólnego mianownika. Jesteśmy teraz przygotowani do wykonywania dodawania i odejmowania ułamków algebraicznych o różnych mianownikach. Tak, prawie zapomnieliśmy Cię ostrzec: wygodnie jest pozostawić wspólny mianownik przedstawiony w postaci iloczynu do ostatniej chwili - być może będziesz musiał zmniejszyć ułamek uzyskany po dodaniu lub odjęciu.

Przykład.

Wykonaj dodawanie ułamków algebraicznych i .

Rozwiązanie.

Oczywiście oryginalne ułamki mają różne mianowniki, więc aby je dodać, musisz najpierw sprowadzić je do wspólnego mianownika. Aby to zrobić, rozłóż na czynniki mianowniki: x 2 +x=x·(x+1) i x 2 +3·x+2=(x+1)·(x+2) , ponieważ pierwiastki trójmianu kwadratowego x 2 + 3 x+2 to liczby –1 i –2. Stąd znajdujemy wspólny mianownik, ma on postać x·(x+1)·(x+2) . Wtedy dodatkowym współczynnikiem pierwszego ułamka będzie x+2, a drugiego ułamka będzie x.

Więc i.

Pozostaje tylko dodać ułamki zredukowane do wspólnego mianownika:

Powstałą frakcję można zmniejszyć. Rzeczywiście, jeśli weźmiesz dwa z nawiasów w liczniku, zobaczysz wspólny mnożnik x+1, o który zmniejsza się ułamek: .

Na koniec wynikowy ułamek przedstawiamy jako ułamek algebraiczny, dla którego iloczyn w mianowniku zastępujemy wielomianem: .

Sformułujmy krótkie rozwiązanie, które uwzględnia wszystkie nasze rozumowania:

Odpowiedź:

.

I jeszcze jedna kwestia: przed dodaniem lub odjęciem ułamków algebraicznych wskazane jest najpierw ich przekształcenie w celu uproszczenia (jeśli oczywiście istnieje taka możliwość).

Przykład.

Wykonaj odejmowanie ułamków algebraicznych i .

Rozwiązanie.

Dokonajmy pewnych przekształceń ułamków algebraicznych, być może uproszczą one proces rozwiązania. Na początek weźmy z nawiasów współczynniki liczbowe zmiennych w mianowniku: I . To już interesujące - wspólny czynnik mianowników ułamków stał się widoczny.

W tej lekcji omówimy dodawanie i odejmowanie ułamków algebraicznych o podobnych mianownikach. Wiemy już, jak dodawać i odejmować ułamki zwykłe o podobnych mianownikach. Okazuje się, że ułamki algebraiczne podlegają tym samym zasadom. Jedną z nich jest umiejętność pracy z ułamkami zwykłymi o podobnych mianownikach kamienie węgielne w poznaniu zasad pracy z ułamkami algebraicznymi. W szczególności zrozumienie tego tematu ułatwi opanowanie więcej trudny temat- dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach. W ramach lekcji przestudiujemy zasady dodawania i odejmowania ułamków algebraicznych o podobnych mianownikach, a także przeanalizujemy szereg typowych przykładów

Zasada dodawania i odejmowania ułamków algebraicznych o podobnych mianownikach

Sfor-mu-li-ru-em pra-vi-lo slo-zhe-niya (you-chi-ta-niya) al-geb-ra-i-che-skih ułamki od jeden na ciebie -mi know-me-na-te-la-mi (zbiega się to z analogiczną zasadą dla zwykłych uderzeń strzałowych): Czyli do dodawania lub obliczania ułamków al-geb-ra-i-che-skih z jeden do ciebie know-me-on-the-la-mi konieczne -ho-di-mo-kompiluj odpowiednią al-geb-ra-i-che-sumę liczb, a znak-me-na-tel wyjdź bez żadnych.

Rozumiemy tę zasadę zarówno na przykładzie zwykłych losowań ven, jak i na przykładzie trafienia al-geb-ra-i-che-dres.

Przykłady zastosowania reguły dla ułamków zwykłych

Przykład 1. Dodaj ułamki: .

Rozwiązanie

Dodajmy liczbę ułamków i zostawmy znak bez zmian. Następnie rozkładamy liczbę i podpisujemy na proste wielokrotności i kombinacje. Weźmy to: .

Uwaga: standardowy błąd dozwolony przy rozwiązywaniu podobnych typów przykładów dla -klu-cha-et-sya w następującym możliwym rozwiązaniu: . Jest to rażący błąd, ponieważ znak pozostaje taki sam, jak w pierwotnych ułamkach.

Przykład 2. Dodaj ułamki: .

Rozwiązanie

Ten nie różni się niczym od poprzedniego: .

Przykłady zastosowania reguły dla ułamków algebraicznych

Od zwykłych dro-beatów przechodzimy do al-geb-ra-i-che-skim.

Przykład 3. Dodaj ułamki: .

Rozwiązanie: jak już wspomniano powyżej, skład frakcji al-geb-ra-i-che w niczym nie różni się od słowa to samo, co zwykłe strzelaniny. Dlatego metoda rozwiązania jest taka sama: .

Przykład 4. Jesteś ułamkiem: .

Rozwiązanie

You-chi-ta-nie frakcji al-geb-ra-i-che-skih z dodawania tylko przez fakt, że w liczbie pi-sy-va-et-sya różnica w liczbie użytych frakcji. Dlatego.

Przykład 5. Jesteś ułamkiem: .

Rozwiązanie: .

Przykład 6. Uprość: .

Rozwiązanie: .

Przykłady zastosowania reguły, po której następuje redukcja

W ułamku, który w wyniku składania lub obliczania ma to samo znaczenie, możliwe są kombinacje nia. Ponadto nie należy zapominać o ODZ frakcji al-geb-ra-i-che-skih.

Przykład 7. Uprość: .

Rozwiązanie: .

Naraz. Ogólnie rzecz biorąc, jeśli ODZ początkowych ułamków pokrywa się z ODZ całości, to można go pominąć (w końcu ułamek będący w odpowiedzi również nie będzie istniał z odpowiednimi znaczącymi zmianami). Ale jeśli ODZ użytych frakcji i odpowiedź nie pasują, należy wskazać ODZ.

Przykład 8. Uprość: .

Rozwiązanie: . Jednocześnie y (ODZ frakcji początkowych nie pokrywa się z ODZ wyniku).

Dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach

Aby dodać i odczytać ułamki al-geb-ra-i-che z różnymi know-me-on-la-mi, wykonujemy ana-lo -giyu z ułamkami zwykłymi-ven-ny i przenosimy je do al-geb -ra-i-che-ułamki.

Spójrzmy na najprostszy przykład dla ułamków zwykłych.

Przykład 1. Dodaj ułamki: .

Rozwiązanie:

Pamiętajmy o zasadach dodawania ułamków zwykłych. Na początek ułamek należy doprowadzić do wspólnego znaku. W roli znaku ogólnego dla ułamków zwykłych działasz najmniejsza wspólna wielokrotność(NOK) znaki początkowe.

Definicja

Najmniejsza liczba, która jest jednocześnie podzielona na liczby i.

Aby znaleźć NOC, należy rozbić wiedzę na proste zbiory, a następnie wybrać wszystko, czego jest wiele, co wchodzi w zakres podziału obu znaków.

; . Następnie LCM liczb musi zawierać dwie dwójki i dwie trójki: .

Po znalezieniu wiedzy ogólnej konieczne jest, aby każdy z ułamków znalazł pełnego rezydenta krotności (w rzeczywistości wylał wspólny znak na znak odpowiedniego ułamka).

Następnie każdy ułamek jest mnożony przez półpełny współczynnik. Znajdźmy kilka ułamków zwykłych, które znamy, dodajmy je i odczytajmy – omówiliśmy to na poprzednich lekcjach.

Zjedzmy: .

Odpowiedź:.

Przyjrzyjmy się teraz składowi ułamków al-geb-ra-i-che o różnych znakach. Teraz spójrzmy na ułamki i zobaczmy, czy są jakieś liczby.

Dodawanie i odejmowanie ułamków algebraicznych o różnych mianownikach

Przykład 2. Dodaj ułamki: .

Rozwiązanie:

Al-go-rytm decyzji abs-so-lyut-ale ana-lo-gi-chen do poprzedniego przykładu. Łatwo jest wziąć wspólny znak danych ułamków: i dodatkowe mnożniki dla każdego z nich.

.

Odpowiedź:.

A więc formujmy al-go-rytm składu i obliczanie al-geb-ra-i-che-ułamków o różnych znakach:

1. Znajdź najmniejszy wspólny znak ułamka.

2. Znajdź dodatkowe mnożniki dla każdego z ułamków (w rzeczywistości podany jest wspólny znak znaku -ty ułamek).

3. Liczby do wielu na odpowiadających im wielokrotnościach do pełnych.

4. Dodawaj lub obliczaj ułamki, korzystając ze zdrowego dodawania i obliczania ułamków, mając tę ​​samą wiedzę -me-na-te-la-mi.

Spójrzmy teraz na przykład z ułamkami zwykłymi, w znaku których znajdują się litery ty -nia.

Pomoce rozwojowe i edukacyjne w sklepie internetowym „Integral”
Podręcznik do podręcznika Muravin G.K.   

Podręcznik do podręcznika Makaryczowa Yu.N.

Co to jest ułamek algebraiczny?.

Ułamek algebraiczny jest wyrażeniem w postaci: $\frac(P)(Q)$
Gdzie:
P jest licznikiem ułamka algebraicznego.

Q jest mianownikiem ułamka algebraicznego.

Oto przykłady ułamków algebraicznych:

$\frac(a)(b)$, $\frac(12)(q-p)$, $\frac(7y-4)(y)$.

Zarówno licznik, jak i mianownik ułamka można pomnożyć przez tę samą liczbę (jednomian lub wielomian). W rezultacie otrzymamy ten sam ułamek, ale przedstawiony w innej formie. Transformacja ta nazywana jest inaczej identyczny

$\frac(a)(4b^2)=\frac(a*3b)(4b^2*3b)=\frac(3ab)(12b^3)$.

$\frac(a^2)(6b^3)=\frac(a^2*2)(6b^3*2)=\frac(2a^2)(12b^3)$.

Własność 2.
Zarówno licznik, jak i mianownik ułamka można podzielić przez tę samą liczbę (jednomian lub wielomian). W rezultacie otrzymamy ten sam ułamek, ale przedstawiony w innej formie.

Podobnie jak w przypadku mnożenia, to identyczna transformacja uciekaj się do reprezentowania ułamka w większej liczbie w prostej formie i ułatwiają pracę.

Dodawanie i odejmowanie ułamków algebraicznych o podobnych mianownikach

Ogólna zasada:

$\frac(a)(d)+\frac(b)(d)-\frac(c)(d)=\frac(a+b-c)(d)$.

Uprość wyrażenie:

$\frac(2a^2+5)(a^2-ab)+\frac(2ab+b)(a^2-ab)-\frac(b+5)(a^2-ab)$.

Korzystamy z opisanej powyżej zasady dodawania ułamków, czyli dodajemy liczniki i zapisujemy wspólny mianownik.

$\frac(2a^2+5)(a^2-ab)+\frac(2ab+b)(a^2-ab)-\frac(b+5)(a^2-ab)=\frac ((2a^2+5)+(2ab+b)-(b+5))(a^2-ab)$.

$(2a^2+5)+(2ab+b)-(b+5)=$
$2a^2+5+2ab+b-b-5=2a^2+2ab$.

$\frac(2a^2+2ab)(a^2-ab)$.

$\frac(2a^2+2ab)(a^2-ab)=\frac(2a(a+b))(a(a-b))=\frac(2(a+b))(a-b)=\ frac(2a+2b)(a-b)$.

Dodawanie i odejmowanie ułamków algebraicznych o różnych mianownikach

Przykład.
Obliczać:

$\frac(a)(4b^2)+\frac(a^2)(6b^3)$.

$\frac(a)(4b^2)+\frac(a^2)(6b^3)=\frac(3ab)(12b^3)+\frac(2a^2)(12b^3)=
\frac(3ab+2a^2)(12b^3)$.

Pamiętać!
Dla dwóch ułamków algebraicznych możesz wybrać dowolną liczbę wspólnych mianowników. Ale aby uprościć obliczenia, musisz wybrać najprostszy możliwy.