ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත පිළිබඳ මාතෘකාව පිළිබඳ ප්‍රායෝගික වැඩ. "ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත" - ලේඛනය

ඉලක්කය:

පැවරුම: "ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත" පරීක්ෂණයක් සාදන්න

අන්තර්ජාල සම්පත්

බෙදා හැරීමේ දිනය - තාක්ෂණික පිරිවිතර අනුව

ස්වාධීන වැඩ අංක 14 (පැය 2)

මාතෘකාව මත: "ඛණ්ඩාංක අක්ෂ ඔස්සේ දිගු කිරීම සහ සම්පීඩනය"

ඉලක්කය:සිසුන්ගේ අත්පත් කරගත් න්‍යායාත්මක දැනුම සහ ප්‍රායෝගික කුසලතා ක්‍රමවත් කිරීම සහ ඒකාබද්ධ කිරීම;

පැවරුම: මාතෘකාව පිළිබඳ සාරාංශය: "ඛණ්ඩාංක අක්ෂ ඔස්සේ දිගු කිරීම සහ සම්පීඩනය"

සාහිත්යය: A.G. Mordkovich "වීජ ගණිතය සහ ගණිතමය විශ්ලේෂණයේ ආරම්භය" 10 වන ශ්රේණිය

අන්තර්ජාල සම්පත්

බෙදා හැරීමේ දිනය - තාක්ෂණික පිරිවිතර අනුව

ස්වාධීන වැඩ අංක 15 (පැය 1)

මාතෘකාව මත: "ඛණ්ඩාංක අක්ෂ ඔස්සේ දිගු කිරීම සහ සම්පීඩනය"

ඉලක්කය:ස්වාධීන චින්තනය ගොඩනැගීම, ස්වයං සංවර්ධනය සඳහා ඇති හැකියාව, ස්වයං-වැඩිදියුණු කිරීම සහ ස්වයං අවබෝධය

පැවරුම: ඉදිරිපත් කිරීම: "ඛණ්ඩාංක අක්ෂ ඔස්සේ දිගු කිරීම සහ සම්පීඩනය"

සාහිත්යය: A.G. Mordkovich "වීජ ගණිතය සහ ගණිතමය විශ්ලේෂණයේ ආරම්භය" 10 වන ශ්රේණිය

අන්තර්ජාල සම්පත්

බෙදා හැරීමේ දිනය - තාක්ෂණික පිරිවිතර අනුව

ස්වාධීන වැඩ අංක 16 (පැය 2)

මාතෘකාව මත: "ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත, ඒවායේ ගුණ සහ ප්‍රස්ථාර"

ඉලක්කය:සිසුන්ගේ අත්පත් කරගත් න්‍යායාත්මක දැනුම සහ ප්‍රායෝගික කුසලතා ක්‍රමවත් කිරීම සහ ඒකාබද්ධ කිරීම

කාර්යය සම්පූර්ණ කිරීමේ පෝරමය: පර්යේෂණ කටයුතු.

සාහිත්යය: A.G. Mordkovich "වීජ ගණිතය සහ ගණිතමය විශ්ලේෂණයේ ආරම්භය" 10 වන ශ්රේණිය

අන්තර්ජාල සම්පත්

බෙදා හැරීමේ දිනය - තාක්ෂණික පිරිවිතර අනුව

ස්වාධීන වැඩ අංක 18 (පැය 6)

මාතෘකාව මත: "අර්ධ තර්ක සූත්ර"

අරමුණ: න්‍යායාත්මක දැනුම ගැඹුරු කිරීම සහ පුළුල් කිරීම

පැවරුම: "අර්ධ තර්කයක සූත්‍ර" යන මාතෘකාව මත පණිවිඩයක් ලියන්න. ත්‍රිකෝණමිතිය සූත්‍ර සඳහා යොමු වගුවක් සාදන්න

සාහිත්යය: A.G. Mordkovich "වීජ ගණිතය සහ ගණිතමය විශ්ලේෂණයේ ආරම්භය" 10 වන ශ්රේණිය

අන්තර්ජාල සම්පත්

බෙදා හැරීමේ දිනය - තාක්ෂණික පිරිවිතර අනුව

මුල් පිටුව.

වැඩ සැලැස්ම "පටුනෙහි" යන මාතෘකාව සමඟ සකස් කර ඇත; ස්ථානය - මධ්යයේ.

ග්‍රන්ථ නාමාවලියේ මූලාශ්‍ර ලැයිස්තුව "සාහිත්‍යය" යන මාතෘකාව යටතේ ඉදිරිපත් කෙරේ. යොමු ලැයිස්තුවේ භාවිතා කරන සියලුම මූලාශ්‍ර ඇතුළත් විය යුතුය: පොත් පිළිබඳ තොරතුරු (මොනොග්‍රැෆ්, පෙළපොත්, අත්පොත්, විමර්ශන පොත්, ආදිය) අඩංගු විය යුතුය: කතුවරයාගේ වාසගම සහ මුලකුරු, පොතේ මාතෘකාව, ප්‍රකාශන ස්ථානය, ප්‍රකාශකයා, ප්‍රකාශන වර්ෂය. කතුවරුන් තිදෙනෙකු හෝ වැඩි ගණනක් සිටී නම්, ඔවුන්ගෙන් පළමුවැන්නාගේ වාසගම සහ මුලකුරු "ආදිය" යන වචන වලින් පමණක් දැක්වීමට අවසර ඇත. ප්‍රකාශන ස්ථානයේ නම නාමික නඩුවේදී සම්පුර්ණයෙන්ම ලබා දිය යුතුය: නගර දෙකක නම පමණක් කෙටි කිරීමට අවසර ඇත: මොස්කව් (එම්.) සහ ශාන්ත පීටර්ස්බර්ග් (එස්පීබී.). උපුටා දක්වන ලද ග්‍රන්ථ නාමාවලියේ මූලාශ්‍ර අකාරාදී පිළිවෙලට ආරෝහණ අනුපිළිවෙලට වර්ග කළ යුතුය. ලැයිස්තුව අවම වශයෙන් මූලාශ්ර තුනකින් සමන්විත විය යුතුය.

කාර්යයේ සෑම නව කොටසක්ම, නව පරිච්ඡේදයක්, නව ඡේදයක් ඊළඟ පිටුවෙන් ආරම්භ වේ.

යෙදුම වෙනම පත්‍ර මත ඇඳ ඇත, සෑම යෙදුමකටම අනුක්‍රමික අංකයක් සහ තේමාත්මක ශීර්ෂයක් ඇත. "උපග්රන්ථය" 1 (2.3...) ශිලා ලිපිය ඉහළ දකුණු කෙළවරේ තබා ඇත. යෙදුම් මාතෘකාව ඡේද මාතෘකාවක් ලෙස හැඩගස්වා ඇත.

වැඩ පරිමාව පරිගණකයක (ටයිප්රයිටර්) මුද්‍රණය කර ඇති පිටු පත්‍ර 10ක් වත්; පටුන, ග්‍රන්ථ නාමාවලිය සහ උපග්‍රන්ථ නිශ්චිත පිටු ගණනට ඇතුළත් නොවේ.

අත්පිටපතෙහි පාඨය 1.5 ක පරතරයක් සහිතව අංක 14 අකුරු වලින් මුද්රණය කර ඇත.

මායිම්: වම් - 3 සෙ.මී., දකුණ - 1 සෙ.මී., ඉහළ සහ පහළ - 2 සෙ.මී.

රතු රේඛාව - 1.5 සෙ.මී. ඡේද පරතරය - 1.8.

කෘතියේ පෙළෙහි උද්ධෘතයෙන් පසුව පහත සඳහන් සලකුණු භාවිතා කරනු ලැබේ: "...", ග්‍රන්ථ නාමාවලියේ ප්‍රභවයේ අංකය යොමු ලැයිස්තුවෙන් ගනු ලැබේ.

යෙදුමේ පෙළට අභියාචනය පහත පරිදි හැඩගස්වා ඇත: (උපග්රන්ථය 1 බලන්න).

ඇල්ගොරිතම රූප සටහන්, වගු සහ සූත්‍ර සැලසුම් කිරීම. නිදර්ශන (ප්‍රස්ථාර, රූප සටහන්, රූප සටහන්) වියුක්තයේ ප්‍රධාන පෙළෙහි සහ උපග්‍රන්ථ කොටසෙහි විය හැකිය. සියලුම නිදර්ශන චිත්‍ර ලෙස හැඳින්වේ. සියලුම රූප, වගු සහ සූත්‍ර අරාබි ඉලක්කම් වලින් අංක කර ඇති අතර යෙදුම තුළ අඛණ්ඩ අංකනය ඇත. සෑම ඇඳීමකටම අත්සනක් තිබිය යුතුය. උදාහරණ වශයෙන්:

රූපය 12. ප්රධාන යෙදුම් කවුළුවේ ආකෘතිය.

කාර්යයේ ඇති සියලුම රූප, වගු සහ සූත්‍ර පෝරමයේ සබැඳි තිබිය යුතුය: “ප්‍රධාන යෙදුම් කවුළුවේ ස්වරූපය රූපයේ දැක්වේ. 12."

සටහනේ පෙළෙහි පළමු වරට සඳහන් කර ඇති පිටුවෙන් පසු වහාම රූප සහ වගු තැබිය යුතුය. ඉඩ ලබා දෙන්නේ නම්, රූපය (වගුව) එයට පළමු සබැඳිය ලබා දී ඇති පිටුවේම පෙළෙහි තැබිය හැකිය.

චිත්‍රයක් පිටු එකකට වඩා වැඩි නම්, පළමු පිටුව හැර අනෙකුත් සියලුම පිටු චිත්‍ර අංකය සහ “දිගටම” යන වචනයෙන් සලකුණු කර ඇත. උදාහරණ වශයෙන්:

සහල්. 12. දිගටම

නෝට්ටුව හැරවීමකින් තොරව නැරඹිය හැකි වන පරිදි ඇඳීම් තැබිය යුතුය. එවැනි ස්ථානගත කිරීම කළ නොහැකි නම්, චිත්‍ර ස්ථානගත කළ යුතු අතර එමඟින් ඒවා බැලීමට ඔබට කාර්යය දක්ෂිණාවර්තව හැරවිය යුතුය.

ඇල්ගොරිතම රූප සටහන් ESPD ප්‍රමිතියට අනුකූලව සෑදිය යුතුය. ඇල්ගොරිතම රූප සටහන් ඇඳීමේදී ඝන රේඛාවේ ඝණකම 0.6 සිට 1.5 mm දක්වා පරාසයක තිබිය යුතුය. රූප සටහන් මත ශිලා ලේඛන ඇඳීමේ අකුරු වලින් සෑදිය යුතුය. අකුරු සහ අංකවල උස අවම වශයෙන් 3.5 mm විය යුතුය.

වගු අංකයක් තිබේ නම්, මේසයේ මාතෘකාවට ඉහලින් ඉහළ දකුණු කෙළවරේ තබා ඇත. මාතෘකාව, පළමු අකුර හැර, කුඩා අකුරු වලින් ලියා ඇත. කෙටි යෙදුම් භාවිතා කරන්නේ ලොකු අකුරු පමණි. උදාහරණයක් ලෙස: PC.

සූත්‍ර අංකය සූත්‍ර මට්ටමින් වරහන් තුළ පිටුවේ දකුණු පැත්තේ තබා ඇත. උදාහරණයක් ලෙස: z:= sin(x)+cos(y); (12)

උදාහරණයක් ලෙස: සූත්‍රය (12) භාවිතයෙන් අගයන් ගණනය කෙරේ.

පොතේ අනුවාදයට අනුව කාර්යයේ පිටු අංකනය කරන්න: මුද්‍රිත අංක වලින්, පිටුවේ පහළ දකුණු කෙළවරේ, “හැඳින්වීම” (p. 3) පෙළ සමඟ ආරම්භ වේ. කාර්යය අවසාන පිටුව දක්වා අඛණ්ඩව අංකනය කර ඇත.

"පරිච්ඡේදය" යන වචනය ලියා ඇත, පරිච්ඡේද රෝම ඉලක්කම් වලින් අංකනය කර ඇත, ඡේද අරාබි භාෂාවෙන් අංකනය කර ඇත, ලකුණ; ලියා නැත; "හැඳින්වීම" කෘතියේ කොටසක්. "නිගමනය" සහ "සාහිත්‍යය" අංකනය කර නැත.

පරිච්ඡේද සහ ඡේදවල මාතෘකා රතු ඉරක් මත ලියා ඇත.

"හැඳින්වීම", "නිගමනය", "සාහිත්‍යය" යන ශීර්ෂයන් මැද, පත්‍රයේ මුදුනේ, උද්ධෘත ලකුණු නොමැතිව, කාල සීමාවක් නොමැතිව ලියා ඇත.

කෘතියේ හැඳින්වීම සහ නිගමනය පරිමාව මුද්‍රිත පෙළ පිටු 1.5-2 කි.

කාර්යය මැහුම් කළ යුතුය.

කාර්යයේ අකුරු වර්ග තුනක් භාවිතා වේ: 1 - පරිච්ඡේද මාතෘකා ඉස්මතු කිරීමට, “පටුන”, “සාහිත්‍යය”, “හැඳින්වීම”, “නිගමනය”; 2 - ඡේද මාතෘකා ඉස්මතු කිරීමට; 3 - පෙළ සඳහා

ඉදිරිපත් කිරීමේ අවශ්යතා

පළමු විනිවිදකයේ අඩංගු වන්නේ:

ü ඉදිරිපත් කිරීමේ මාතෘකාව;

දෙවන ස්ලයිඩය මඟින් කාර්යයේ අන්තර්ගතය පෙන්නුම් කරයි, එය වඩාත් හොඳින් හයිපර්ලින්ක් ආකාරයෙන් ඉදිරිපත් කෙරේ (ඉදිරිපත් කිරීමේ අන්තර්ක්‍රියාකාරිත්වය සඳහා).

අවසාන විනිවිදකයේ අවශ්‍යතා අනුව භාවිතා කරන ලද සාහිත්‍ය ලැයිස්තුවක් අඩංගු වේ, අන්තර්ජාල සම්පත් අවසන් වරට ලැයිස්තුගත කර ඇත.

8 ඔබ විශාල අකුරු අධික ලෙස භාවිතා නොකළ යුතුය (ඒවා කුඩා අකුරු වලට වඩා අඩුවෙන් කියවිය හැකිය).

තොරතුරු ඉස්මතු කිරීමට මාර්ග

ඔබ භාවිතා කළ යුත්තේ: රාමු 8 ක්, මායිම්, සෙවන 8 විවිධ අකුරු වර්ණ, සෙවන, ඊතල 8 පින්තූර, රූප සටහන්, ප්‍රස්ථාර වඩාත් වැදගත් කරුණු නිදර්ශනය කිරීමට

තොරතුරු පරිමාව

8, ඔබ එක් විනිවිදකයක් ඕනෑවට වඩා තොරතුරු පුරවා නොගත යුතුය: පුද්ගලයන්ට එකවර කරුණු තුනකට වඩා මතක තබා ගත නොහැක, නිගමන සහ නිර්වචන.

8, එක් එක් ස්ලයිඩයේ ප්‍රධාන කරුණු එකින් එක පරාවර්තනය වන විට විශාලතම සඵලතාවය අත්කර ගනී.

ස්ලයිඩ වර්ග

විවිධත්වය සහතික කිරීම සඳහා, ඔබ විවිධ වර්ගයේ විනිවිදක භාවිතා කළ යුතුය: පෙළ සමඟ, වගු, රූප සටහන් සමඟ.

වැඩ අතරතුර, සිසුන්:

දේශනවල සහ අමතර තොරතුරු මූලාශ්‍රවල අවශ්‍ය ද්‍රව්‍ය සමාලෝචනය කිරීම සහ අධ්‍යයනය කිරීම;

දිශාව අනුව වෙන වෙනම වචන ලැයිස්තුවක් සාදන්න;

තෝරාගත් වචන සඳහා ප්රශ්න සාදන්න;

පෙළෙහි අක්ෂර වින්‍යාසය සහ අංකනයට අනුකූල වීම පරීක්ෂා කරන්න;

නිමි හරස්පද ප්‍රහේලිකාවක් සාදන්න.

හරස්පද ප්‍රහේලිකා රචනා කිරීම සඳහා පොදු අවශ්‍යතා:

හරස්පද ප්‍රහේලිකා ජාලයේ “හිස් තැන්” (පිරවා නොගත් සෛල) තිබීමට අවසර නැත;

අහඹු අක්ෂර සංයෝජන සහ මංසන්ධිවලට ඉඩ නොදේ;

සැඟවුණු වචන නාමික ඒකීය නඩුවේ නාම පද විය යුතුය;

අකුරු දෙකේ වචනවලට මංසන්ධි දෙකක් තිබිය යුතුය;

පිළිතුරු වෙන වෙනම පළ කෙරේ. පිළිතුරු හරස්පද ප්‍රහේලිකා විසඳුමේ නිරවද්‍යතාවය පරීක්ෂා කිරීම සහ හරස්පද ප්‍රහේලිකා විසඳීමේ ප්‍රධාන කර්තව්‍යයක් විසඳීමට උපකාරී වන කොන්දේසි වල නොවිසඳුණු ස්ථාන සඳහා නිවැරදි පිළිතුරු හුරු කරවීමට අවස්ථාවක් ලබා දීම - විචක්ෂණභාවය වැඩි කිරීම සහ වචන මාලාව වැඩි කිරීම.

සම්පුර්ණ කරන ලද හරස්පද ප්‍රහේලිකා ඇගයීම සඳහා වන නිර්ණායක:

1. ද්රව්යයේ ඉදිරිපත් කිරීමේ පැහැදිලිකම, මාතෘකා පර්යේෂණයේ සම්පූර්ණත්වය;

2. හරස්පද ප්‍රහේලිකාවේ සම්භවය;

3. කාර්යයේ ප්රායෝගික වැදගත්කම;

4. ද්රව්යයේ ශෛලීය ඉදිරිපත් කිරීමේ මට්ටම, ශෛලීය දෝෂ නොමැති වීම;

5. වැඩ සැලසුම් මට්ටම, ව්‍යාකරණ සහ විරාම ලකුණු දෝෂ තිබීම හෝ නොමැති වීම;

6. හරස්පද ප්‍රහේලිකාවේ ඇති ප්‍රශ්න ගණන, ඒවායේ නිවැරදි ඉදිරිපත් කිරීම.

ප්‍රායෝගික පන්ති මගින් උපරිම ප්‍රතිලාභ ලබා ගැනීම සඳහා, දේශනවල කියවන ලද ද්‍රව්‍ය මත අභ්‍යාස සහ තත්ත්‍ව ගැටලු විසඳීම සිදු කරන අතර සාමාන්‍යයෙන් දේශන පා course මාලාවේ තනි ගැටළු පිළිබඳ සවිස්තරාත්මක විශ්ලේෂණයක් සමඟ සම්බන්ධ වන බව මතක තබා ගත යුතුය. දේශන ද්‍රව්‍ය යම් දෘෂ්ටිකෝණයකින් ප්‍රගුණ කිරීමෙන් පසුව පමණක් (එනම්, එය දේශනවල ඉදිරිපත් කරන ලද එකකින්) එය ප්‍රායෝගික පන්තිවලදී ශක්තිමත් කරනු ලබන්නේ, සාකච්ඡාවේ සහ විශ්ලේෂණයේ ප්‍රතිඵලයක් ලෙස බව අවධාරණය කළ යුතුය. දේශන ද්‍රව්‍ය, සහ තත්ත්‍ව ගැටලු විසඳීමෙන්. මෙම කොන්දේසි යටතේ, ශිෂ්යයා ද්රව්යය හොඳින් ප්රගුණ කරනවා පමණක් නොව, එය ප්රායෝගිකව යෙදීමට ඉගෙන ගනු ඇති අතර, දේශනය ක්රියාශීලීව අධ්යයනය කිරීම සඳහා අමතර දිරිගැන්වීමක් (සහ මෙය ඉතා වැදගත් වේ) ලැබෙනු ඇත.

පවරා ඇති ගැටළු ස්වාධීනව විසඳන විට, ඔබ පාඨමාලාවේ න්යායික මූලධර්ම මත පදනම්ව ක්රියා කිරීමේ එක් එක් අදියර සාධාරණීකරණය කළ යුතුය. ශිෂ්‍යයෙකු ගැටලුවක් (කාර්යයක්) විසඳීමට ක්‍රම කිහිපයක් දකින්නේ නම්, ඔහු ඒවා සංසන්දනය කර වඩාත් තාර්කික එකක් තෝරා ගත යුතුය. ගැටළු විසඳීම ආරම්භ කිරීමට පෙර ගැටළුව (කාර්යය) විසඳීම සඳහා කෙටි සැලැස්මක් සකස් කිරීම ප්රයෝජනවත් වේ. ගැටළු සහගත ගැටළු හෝ උදාහරණ සඳහා විසඳුම විස්තරාත්මකව ඉදිරිපත් කළ යුතු අතර, අදහස්, රූප සටහන්, ඇඳීම් සහ ඇඳීම් සහ ක්රියාත්මක කිරීම සඳහා උපදෙස්.

එක් එක් අධ්‍යාපනික ගැටලුවට විසඳුම කොන්දේසියට අවශ්‍ය අවසාන තාර්කික පිළිතුර වෙත ගෙන යා යුතු බවත්, හැකි නම්, නිගමනයක් ඇති බවත් මතක තබා ගත යුතුය. ලබා ගත් ප්‍රති result ලය ලබා දී ඇති කාර්යයේ සාරය අනුව පැන නගින ආකාරවලින් සත්‍යාපනය කළ යුතුය.

· පරීක්ෂණ කාර්යයේ ප්‍රධාන නියමයන් පැහැදිලිව සහ පැහැදිලිව නිර්වචනය කළ යුතුය.

· පරීක්ෂණ කාර්යයන් ප්‍රායෝගිකව නිවැරදි විය යුතු අතර නිශ්චිත දැනුමේ ක්ෂේත්‍රයක සිසුන්ගේ අධ්‍යාපනික ජයග්‍රහණ මට්ටම තක්සේරු කිරීමට සැලසුම් කළ යුතුය.

· පරීක්ෂණ කාර්යයන් සංක්ෂිප්ත කෙටි විනිශ්චයන් ආකාරයෙන් සකස් කළ යුතුය.

· පරීක්‍ෂක අයිතමවල අවශ්‍යතා පිළිබඳ සවිස්තරාත්මක නිගමනවලට පරීක්‍ෂා කරන්නාට අවශ්‍ය වන පරීක්‍ෂණ අයිතමවලින් ඔබ වැළකී සිටිය යුතුය.

· පරීක්ෂණ තත්වයන් ගොඩනඟන විට, අධ්‍යාපනික ද්‍රව්‍යවල අන්තර්ගතය තාර්කිකව ඉදිරිපත් කිරීම සඳහා ඔබට ඔවුන්ගේ ඉදිරිපත් කිරීමේ විවිධ ආකාර මෙන්ම ග්‍රැෆික් සහ බහුමාධ්‍ය සංරචක භාවිතා කළ හැකිය.

මෙය පරීක්ෂණ තත්වයේ සංකල්පීය ව්‍යුහය විකෘති කරන්නේ නම් මිස, පරීක්ෂණ කාර්යයක වචන ගණන 10-12 නොඉක්මවිය යුතුය. ප්රධාන දෙය නම් විෂය ක්ෂේත්රයේ කොටසක අන්තර්ගතය පැහැදිලිව හා පැහැදිලිව පිළිබිඹු කිරීමයි.

ශිෂ්‍යයෙකු පරීක්ෂණ කාර්යයක් සඳහා ගත කරන සාමාන්‍ය කාලය විනාඩි 1.5 නොඉක්මවිය යුතුය.

32-33 පාඩම්. ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත

ඉලක්කය: ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත සහ ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ සඳහා විසඳුම් ලිවීම සඳහා ඒවායේ භාවිතය සලකා බලන්න.

I. පාඩම් වල මාතෘකාව සහ අරමුණ සන්නිවේදනය කිරීම

II. නව ද්රව්ය ඉගෙනීම

1. ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත

මෙම මාතෘකාව පිළිබඳ අපගේ සාකච්ඡාව පහත උදාහරණයෙන් ආරම්භ කරමු.

උදාහරණ 1

අපි සමීකරණය විසඳමු: a) sin x = 1/2; b) sin x = a.

අ) ආදි අක්ෂය මත අපි 1/2 අගය සැලසුම් කර කෝණ ගොඩනඟමු x 1 සහ x2, ඒ සඳහාපාපය x = 1/2. මෙම අවස්ථාවේදී x1 + x2 = π, කොතැනක සිට x2 = π – x 1 . ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල අගයන් වගුව භාවිතා කරමින්, අපි x1 = π/6 අගය සොයා ගනිමු.සයින් ශ්‍රිතයේ ආවර්තිතා සැලකිල්ලට ගෙන මෙම සමීකරණයට විසඳුම් ලියන්න:මෙහි k ∈ Z.

b) පැහැදිලිවම, සමීකරණය විසඳීම සඳහා ඇල්ගොරිතමපව් x = a පෙර ඡේදයේ සමාන වේ. ඇත්ත වශයෙන්ම, දැන් a අගය ordinate අක්ෂය දිගේ සැලසුම් කර ඇත. x1 කෝණය කෙසේ හෝ නියම කිරීමට අවශ්‍ය වේ. මෙම කෝණය සංකේතය සමඟ දැක්වීමට අපි එකඟ විය arcsin ඒ. එවිට මෙම සමීකරණයට විසඳුම් පෝරමයේ ලිවිය හැකියමෙම සූත්‍ර දෙක එකකට ඒකාබද්ධ කළ හැකිය:එම අවස්ථාවේදී ම

ඉතිරිව ඇති ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත ද ඒ හා සමාන ආකාරයකින් හඳුන්වා දෙනු ලැබේ.

බොහෝ විට කෝණයක විශාලත්වය එහි ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතයේ දන්නා අගයෙන් තීරණය කිරීම අවශ්‍ය වේ. එවැනි ගැටළුවක් බහු අගයක් ඇත - ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත එකම අගයට සමාන වන අසංඛ්‍යාත කෝණ තිබේ. එබැවින්, ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල ඒකාකාරී බව මත පදනම්ව, කෝණ අනන්‍ය ලෙස නිර්ණය කිරීම සඳහා පහත ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත හඳුන්වා දෙනු ලැබේ.

a අංකයේ Arcsine (arcsin , එහි සයිනය a ට සමාන වේ, i.e.

අංකයක චාප කෝසයිනය a(ආර්කෝස් a) යනු කෝසයින් a ට සමාන වන පරතරයේ සිට a කෝණයකි, i.e.

සංඛ්‍යාවක ආක්ටෙන්ජන්ට් a(arctg a) - එවැනි කෝණයක් පරතරය සිට aඑහි ස්පර්ශකය a ට සමාන වේ, i.e.tg a = a.

සංඛ්‍යාවක චාප ස්පර්ශක a(arcctg a) යනු අන්තරයේ සිට a කෝණයකි (0; π), එහි කෝටැන්ජන්ට් a ට සමාන වේ, i.e. ctg a = a.

උදාහරණය 2

අපි සොයා ගනිමු:

ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල අර්ථ දැක්වීම් සැලකිල්ලට ගනිමින්, අපි ලබා ගන්නේ:

උදාහරණය 3

අපි ගණනය කරමු

කෝණය a = arcsin කරමු 3/5, පසුව නිර්වචනය අනුව sin a = 3/5 සහ . ඒ නිසා අපි සොයා ගත යුතුයි cos ඒ. මූලික ත්‍රිකෝණමිතික අනන්‍යතාවය භාවිතා කරමින්, අපට ලැබෙන්නේ:එය ≥ 0 බව සැලකිල්ලට ගනී. එබැවින්,

ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල නිර්වචන සහ මූලික ගුණාංගවලට අදාළ වඩාත් සාමාන්‍ය උදාහරණ ගණනාවක් දෙමු.

උදාහරණය 4

ශ්‍රිතයේ අර්ථ දැක්වීමේ වසම සොයා ගනිමු

y ශ්‍රිතය අර්ථ දැක්වීමට නම් අසමානතාවය තෘප්තිමත් කිරීම අවශ්‍ය වේඅසමානතා පද්ධතියට සමාන වේපළමු අසමානතාවයට විසඳුම x පරතරයයි∈ (-∞; +∞), දෙවන -මෙම විරාමය සහ අසමානතා පද්ධතියට විසඳුමක් වන අතර, එබැවින් ශ්රිතයේ නිර්වචනයේ වසම වේ

උදාහරණ 5

කාර්යය වෙනස් වන ප්රදේශය සොයා ගනිමු

කාර්යයේ හැසිරීම සලකා බලමු z = 2x - x2 (පින්තූරය බලන්න).

z ∈ බව පැහැදිලිය (-∞; 1]. තර්කය සැලකිල්ලට ගනිමින් z චාප කෝටැන්ජන්ට් ශ්‍රිතය නිශ්චිත සීමාවන් තුළ වෙනස් වේ, අපි එය ලබා ගන්නා වගු දත්ත වලින්මේ අනුව, වෙනස් වන ප්රදේශය

උදාහරණය 6

y = ශ්‍රිතය බව ඔප්පු කරමු arctg x ඔත්තේ. ඉඩ දෙන්නඑවිට tg a = -x හෝ x = - tg a = tg (- a), සහ එබැවින්, - a = arctg x හෝ a = - arctg X. මේ අනුව, අපි එය දකිමුඑනම් y(x) යනු ඔත්තේ ශ්‍රිතයකි.

උදාහරණ 7

අපි සියලුම ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත හරහා ප්‍රකාශ කරමු

ඉඩ දෙන්න ඒක පැහැදිලියි ඊට පස්සේ ඉඳන්

අපි කෝණය හඳුන්වා දෙමු මොකද ඒ

ඒ හා සමානව එබැවින් සහ

ඉතින්,

උදාහරණ 8

y = ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරයක් ගොඩනගමු cos(arcsin x).

අපි a = arcsin x සඳහන් කරමු, එවිට අපි සැලකිල්ලට ගනිමු x = sin a සහ y = cos a, i.e x 2 + y2 = 1, සහ x මත සීමා කිරීම් (x∈ [-1; 1]) සහ y (y ≥ 0). එවිට y = ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය cos(arcsin x) යනු අර්ධ වෘත්තාකාරයකි.

උදාහරණ 9

y = ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරයක් ගොඩනගමුආර්කෝස් (cos x ).

cos කාර්යයේ සිට x පරතරය මත වෙනස්කම් [-1; 1], එවිට y ශ්‍රිතය සම්පූර්ණ සංඛ්‍යාත්මක අක්ෂය මත අර්ථ දක්වා ඇති අතර ඛණ්ඩය මත වෙනස් වේ. y = බව මතක තබා ගනිමු arccos (cosx) = x කොටසෙහි; y ශ්‍රිතය ඉරට්ටේ සහ ආවර්තිතා 2π සමග වේ. ශ්රිතයට මෙම ගුණාංග ඇති බව සලකන විට cos x දැන් ප්‍රස්ථාරයක් නිර්මාණය කිරීම පහසුය.

අපි ප්රයෝජනවත් සමානතා කිහිපයක් සටහන් කරමු:

උදාහරණ 10

ශ්‍රිතයේ කුඩාම සහ විශාලතම අගයන් සොයා ගනිමුඅපි සටහන් කරමු එතකොට අපි කාර්යය ලබා ගනිමු මෙම ශ්‍රිතයට ලක්ෂ්‍යයේ අවම අගයක් ඇත z = π/4, සහ එය සමාන වේ කාර්යයේ ශ්රේෂ්ඨතම අගය ලක්ෂ්යයේ දී සාක්ෂාත් කරගනු ලැබේ z = -π/2, සහ එය සමාන වේ මේ අනුව, සහ

උදාහරණ 11

අපි සමීකරණය විසඳමු

අපි එය සැලකිල්ලට ගනිමු එවිට සමීකරණය පෙනෙන්නේ:හෝ කොහෙද ආක්ටෙන්ජන්ට් අර්ථ දැක්වීම අනුව අපට ලැබෙන්නේ:

2. සරල ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳීම

උදාහරණ 1 ට සමානව, ඔබට සරලම ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ සඳහා විසඳුම් ලබා ගත හැක.

උදාහරණ 12

අපි සමීකරණය විසඳමු

සයින් ශ්‍රිතය ඔත්තේ බැවින්, අපි සමීකරණය පෝරමයේ ලියන්නෙමුමෙම සමීකරණයට විසඳුම්:අපි එය සොයා ගන්නේ කොහෙන්ද?

උදාහරණ 13

අපි සමීකරණය විසඳමු

ලබා දී ඇති සූත්‍රය භාවිතා කරමින්, අපි සමීකරණයට විසඳුම් ලියන්නෙමු:සහ අපි සොයා ගන්නෙමු

සමීකරණ විසඳන විට විශේෂ අවස්ථා (a = 0; ±1) බව සලකන්න sin x = a සහ cos x = සහ සාමාන්‍ය සූත්‍ර භාවිතා කිරීම පහසු සහ පහසු නොවේ, නමුත් ඒකක කවය මත පදනම්ව විසඳුම් ලිවීමට:

sin x = 1 විසඳුම සමීකරණය සඳහා

sin x = 0 විසඳුම් x = π k සමීකරණය සඳහා;

sin x = -1 විසඳුම සමීකරණය සඳහා

cos සමීකරණය සඳහා x = 1 විසඳුම් x = 2π k ;

cos x = 0 විසඳුම සමීකරණය සඳහා

cos x = -1 විසඳුම සමීකරණය සඳහා

උදාහරණ 14

අපි සමීකරණය විසඳමු

මෙම උදාහරණයේ සමීකරණයේ විශේෂ අවස්ථාවක් ඇති බැවින්, අපි සුදුසු සූත්‍රය භාවිතා කර විසඳුම ලියන්නෙමු:අපට එය සොයාගත හැක්කේ කොතැනින්ද?

III. පාලන ප්‍රශ්න (ඉදිරිපස සමීක්ෂණය)

1. ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල ප්‍රධාන ගුණාංග නිර්වචනය කර ලැයිස්තුගත කරන්න.

2. ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල ප්‍රස්තාර දෙන්න.

3. සරල ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳීම.

IV. පාඩම පැවරීම

§ 15, අංක 3 (a, b); 4 (c, d); 7(අ); 8(අ); 12 (ආ); 13(අ); 15 (ඇ); 16(අ); 18 (a, b); 19 (ඇ); 21;

§ 16, අංක 4 (a, b); 7(අ); 8 (ආ); 16 (a, b); 18(අ); 19 (c, d);

§ 17, අංක 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 7 (c, d); 9 (ආ); 10 (a, c).

V. ගෙදර වැඩ

§ 15, අංක 3 (c, d); 4 (a, b); 7 (ඇ); 8 (ආ); 12(අ); 13(ආ); 15 (ග්රෑම්); 16 (ආ); 18 (c, d); 19 (ග්රෑම්); 22;

§ 16, අංක 4 (c, d); 7 (ආ); 8(අ); 16 (c, d); 18 (ආ); 19 (a, b);

§ 17, අංක 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 7 (a, b); 9 (d); 10 (ආ, ඈ).

VI නිර්මාණාත්මක කාර්යයන්

1. ශ්‍රිතයේ වසම සොයන්න:

පිළිතුරු:

2. ශ්‍රිතයේ පරාසය සොයන්න:

පිළිතුරු:

3. කාර්යය ප්‍රස්ථාරගත කරන්න:

VII. පාඩම් සාරාංශ කිරීම

රුසියානු සමූහාණ්ඩුවේ අධ්යාපනය සඳහා ෆෙඩරල් ඒජන්සිය

උසස් වෘත්තීය අධ්‍යාපන රාජ්‍ය අධ්‍යාපන ආයතනය "මාරි රාජ්‍ය විශ්වවිද්‍යාලය"

ගණිත අංශය සහ එම්.පී.එම්

පාඨමාලා වැඩ

ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත

සම්පූර්ණ කරන ලදී:

ශිෂ්යයා

JNF කණ්ඩායම් 33ක්

යෂ්මෙටෝවා එල්.එන්.

විද්යාත්මක අධීක්ෂක:

ආචාර්ය උපාධිය සහායක මාහාචාර්ය

බොරෝඩිනා එම්.වී.

යොෂ්කර්-ඕලා

හැඳින්වීම ……………………………………………………………………………………………………………………………………

පරිච්ඡේදය I. ප්රතිලෝම ත්රිකෝණමිතික ශ්රිතවල අර්ථ දැක්වීම.

1.1 කාර්යය y =arcsin x……………………………………………………........4

1.2 කාර්යය y =ආර්කෝස් x…………………………………………………….......5

1.3 කාර්යය y =arctg x………………………………………………………….6

1.4 කාර්යය y =arcctg x…………………………………………………….......7

II පරිච්ඡේදය. ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත සමඟ සමීකරණ විසඳීම.

ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත සඳහා මූලික සම්බන්ධතා....8

ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත අඩංගු සමීකරණ විසඳීම.

ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල අගයන් ගණනය කිරීම............21

නිගමනය ……………………………………………………………………………… 25

යොමු ලැයිස්තුව …………………………………………………………………… 26

හැඳින්වීම

බොහෝ ගැටළු වලදී, දී ඇති කෝණයකින් ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල අගයන් පමණක් නොව, අනෙක් අතට, යම් ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතයක දී ඇති අගයකින් කෝණයක් හෝ චාපයක් සොයා ගැනීමට අවශ්‍ය වේ.

ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතයන් සමඟ ගැටලු USE කාර්යයන් තුළ අන්තර්ගත වේ (විශේෂයෙන් බොහෝ කොටස් B සහ C). උදාහරණයක් ලෙස, ඒකාබද්ධ රාජ්‍ය විභාගයේ B කොටසෙහි ස්පර්ශකයේ අනුරූප අගය සොයා ගැනීමට හෝ ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල වගුගත අගයන් අඩංගු ප්‍රකාශනයක අගය ගණනය කිරීමට සයින් (කොසයින්) අගය භාවිතා කිරීම අවශ්‍ය විය. මෙම ආකාරයේ කාර්යයන් සම්බන්ධයෙන්, පාසල් පෙළපොත්වල එවැනි කාර්යයන් ක්රියාත්මක කිරීමේදී ශක්තිමත් කුසලතාවයක් වර්ධනය කිරීමට ප්රමාණවත් නොවන බව අපි සටහන් කරමු.

ඒ. පාඨමාලා කාර්යයේ අරමුණ වන්නේ ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත සහ ඒවායේ ගුණ සලකා බැලීම සහ ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත සමඟ ගැටලු විසඳන ආකාරය ඉගෙන ගැනීමයි.

ඉලක්කය සපුරා ගැනීම සඳහා, අපි පහත සඳහන් කාර්යයන් විසඳීමට අවශ්ය වනු ඇත:

ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල න්‍යායික පදනම් අධ්‍යයනය කරන්න,

ප්‍රායෝගිකව න්‍යායික දැනුම යෙදීම පෙන්වන්න.

පරිච්ඡේදයඅයි. ප්රතිලෝම ත්රිකෝණමිතික ශ්රිතවල අර්ථ දැක්වීම

1.1 ශ්‍රිතය y =arcsinx

කාර්යය සලකා බලන්න,
. (1)

මෙම කාල පරතරය තුළ ශ්‍රිතය ඒකාකාරී වේ (-1 සිට 1 දක්වා වැඩි වේ), එබැවින් ප්‍රතිලෝම ශ්‍රිතයක් ඇත

,
. (2)

ලබා දී ඇති එක් එක් අගය දී(සයින් අගය) පරතරය [-1,1] සිට හොඳින් අර්ථ දක්වා ඇති අගයකට අනුරූප වේ X(චාප විශාලත්වය) පරතරය සිට
. සාමාන්යයෙන් පිළිගත් අංකනය වෙත ගමන් කිරීම, අපි ලබා ගනිමු

කොහෙද
. (3)

මෙය ශ්‍රිතයේ ප්‍රතිලෝම ශ්‍රිතයේ විශ්ලේෂණාත්මක පිරිවිතරයයි (1). ශ්රිතය (3) ලෙස හැඳින්වේ arcsineතර්කය . මෙම ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරයට සමමිතික වක්‍රයකි, එහිදී , I සහ III ඛණ්ඩාංක කෝණවල ද්වි අංශයට සාපේක්ෂව.

අපි ශ්රිතයේ ගුණාංග ඉදිරිපත් කරමු, කොහෙද .

දේපල 1.ක්‍රියාකාරී අගය වෙනස් කිරීමේ ප්‍රදේශය: .

දේපල 2.කාර්යය අමුතුයි, i.e.

දේපල 3.ශ්‍රිතයට තනි මූලයක් ඇත
.

දේපල 4.එසේ නම්
; නම් , ඒ.

දේපල 5.ශ්‍රිතය ඒකාකාරී වේ: තර්කය -1 සිට 1 දක්වා වැඩි වන විට, ශ්‍රිතයේ අගය වැඩි වේ
දක්වා
.

1.2 කාර්යයy = arසමඟcosx

කාර්යය සලකා බලන්න
, . (4)

මෙම විරාමයේදී ශ්‍රිතය ඒකාකාරී වේ (+1 සිට -1 දක්වා අඩු වේ), එයින් අදහස් වන්නේ ඒ සඳහා ප්‍රතිලෝම ශ්‍රිතයක් පවතින බවයි.

, , (5)

ඒවා. එක් එක් අගය (කොසයින් අගයන්) පරතරය [-1,1] සිට විරාමයේ සිට හොඳින් අර්ථ දක්වා ඇති එක් අගයකට (චාප අගයන්) අනුරූප වේ. සාමාන්යයෙන් පිළිගත් අංකනය වෙත ගමන් කිරීම, අපි ලබා ගනිමු

, . (6)

මෙය ශ්‍රිතයේ ප්‍රතිලෝම ශ්‍රිතයේ විශ්ලේෂණාත්මක පිරිවිතරයයි (4). ශ්රිතය (6) ලෙස හැඳින්වේ චාප කෝසයින්තර්කය X. මෙම ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය අන්‍යෝන්‍ය ප්‍රතිලෝම ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාරවල ගුණ මත පදනම්ව ගොඩනැගිය හැක.

ශ්රිතය , එහිදී , පහත ගුණාංග ඇත.

දේපල 1.ක්‍රියාකාරී අගය වෙනස් කිරීමේ ප්‍රදේශය:
.

දේපල 2.ප්රමාණ
සහ
සම්බන්ධය මගින් සම්බන්ධයි

දේපල 3.ශ්‍රිතයට තනි මූලයක් ඇත
.

දේපල 4.කාර්යය සෘණ අගයන් පිළිගන්නේ නැත.

දේපල 5.ශ්‍රිතය ඒකාකාරී ය: තර්කය -1 සිට +1 දක්වා වැඩි වන විට, ශ්‍රිත අගයන් 0 සිට 0 දක්වා අඩු වේ.

1.3 කාර්යයy = arctgx

කාර්යය සලකා බලන්න
,
. (7)

දක්වා පරතරය තුළ දැඩි ලෙස පිහිටා ඇති සියලුම අගයන් සඳහා මෙම ශ්‍රිතය අර්ථ දක්වා ඇති බව සලකන්න; අගයන් බැවින් මෙම කාල පරතරය අවසානයේ එය නොපවතී

- ස්පර්ශක බිඳීම් ලකුණු.

අතරේ
ශ්‍රිතය ඒකාකාරී වේ (වැඩි වේ -
දක්වා
), එබැවින්, ශ්‍රිතය (1) සඳහා ප්‍රතිලෝම ශ්‍රිතයක් ඇත:

,
, (8)

ඒවා. ලබා දී ඇති එක් එක් අගය (ස්පර්ශක අගය) පරතරයේ සිට
විරාමයේ සිට එක් විශේෂිත අගයකට (චාප ප්‍රමාණය) අනුරූප වේ.

සාමාන්යයෙන් පිළිගත් අංකනය වෙත ගමන් කිරීම, අපි ලබා ගනිමු

,
. (9)

ප්‍රතිලෝම ශ්‍රිතයේ (7) විශ්ලේෂණාත්මක පිරිවිතර මෙයයි. ශ්රිතය (9) ලෙස හැඳින්වේ ආක්ටෙන්ජන්ට්තර්කය X. කවදාද යන්න සටහන් කරන්න
කාර්යය අගය
, සහ කවදාද

, i.e. ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරයට අසමමිතික දෙකක් ඇත:
සහ.

ශ්රිතය , පහත ගුණාංග ඇත.

දේපල 1.ශ්‍රිත අගයන් වෙනස් කිරීමේ පරාසය
.

දේපල 2.කාර්යය අමුතුයි, i.e. .

දේපල 3.ශ්‍රිතයට තනි මූලයක් ඇත.

දේපල 4.නම්
, ඒ

; නම් , ඒ
.

දේපල 5.ශ්‍රිතය ඒකාකාරී ය: තර්කය සිට දක්වා වැඩි වන විට, ශ්‍රිත අගය සිට + දක්වා වැඩි වේ.

1.4 කාර්යයy = arcctgx

කාර්යය සලකා බලන්න
,
. (10)

0 සිට පරාසය තුළ ඇති සියලුම අගයන් සඳහා මෙම ශ්‍රිතය අර්ථ දක්වා ඇත; අගයන් සහ කෝටැන්ජන්ට් හි බිඳුම් ලක්ෂ්‍ය වන බැවින් මෙම පරතරයේ කෙළවරේ එය නොපවතී. අන්තරය තුළ (0,) ශ්‍රිතය ඒකාකාරී වේ (සිට දක්වා අඩු වේ), එබැවින් (1) ශ්‍රිතය සඳහා ප්‍රතිලෝම ශ්‍රිතයක් ඇත.

, (11)

ඒවා. ලබා දී ඇති එක් එක් අගයට (cotangent අගය) පරතරය සිට (
) පරතරය (0,) සිට හොඳින් අර්ථ දක්වා ඇති එක් අගයකට (චාප ප්‍රමාණය) අනුරූප වේ. සාමාන්‍යයෙන් පිළිගත් අංක වෙත ගමන් කිරීමෙන්, අපි පහත සම්බන්ධය ලබා ගනිමු: වියුක්ත >> ගණිතය ත්‍රිකෝණමිතික කාර්යයන්. TO ආපසු හැරවීම ත්රිකෝණමිතික කාර්යයන්සාමාන්යයෙන් හය ලෙස හැඳින්වේ කාර්යයන්: ආර්ක්සීන්...

"ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත අඩංගු ගැටළු" යන මාතෘකාව පිළිබඳ අවසන් වැඩ කටයුතු උසස් පුහුණු පාඨමාලා වලදී නිම කරන ලදී.

එක් එක් කොටස සඳහා ස්වාධීන විසඳුමක් සඳහා කෙටි න්යායික ද්රව්ය, සවිස්තරාත්මක උදාහරණ සහ කාර්යයන් අඩංගු වේ.

කාර්යය උසස් පාසල් සිසුන් සහ ගුරුවරුන් වෙත යොමු කෙරේ.

බාගත:

පෙරදසුන:

උපාධි නිබන්ධනය

මාතෘකාව:

“ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත.

ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත අඩංගු ගැටළු"

සම්පූර්ණ කරන ලදී:

ගණිත ගුරුවරයා

නාගරික අධ්යාපනික ආයතනය ද්විතීයික පාසල අංක 5, ලර්මොන්ටොව්

GORBACHENKO V.I.

Pyatigorsk 2011

ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත.

ප්රතිලෝම ත්රිකෝණමිතික කාර්යයන් අඩංගු ගැටළු

1. සංක්ෂිප්ත න්යායික තොරතුරු

1.1 ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත අඩංගු සරලම සමීකරණවල විසඳුම්:

වගුව 1.

1.2 ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත ඇතුළත් සරල අසමානතා විසඳීම

වගුව 2.

1.3 ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත සඳහා සමහර අනන්‍යතා

ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල නිර්වචනයේ සිට අනන්‍යතා අනුගමනය කරයි

, (1)

, (2)

, (3)

, (4)

එපමණක් නොව, අනන්යතා

, (5)

, (6)

, (7)

, (8)

ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත මෙන් නොව සම්බන්ධ අනන්‍යතා

(9)

(10)

2. ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත අඩංගු සමීකරණ

2.1 පෝරමයේ සමීකරණආදිය

එවැනි සමීකරණ ආදේශ කිරීම මගින් තාර්කික සමීකරණ දක්වා අඩු වේ.

උදාහරණය.

විසඳුම.

ආදේශ කිරීම ( ) සමීකරණය මූලයන් ඇති චතුරස්රාකාර සමීකරණයකට අඩු කරයි.

Root 3 කොන්දේසිය තෘප්තිමත් නොවේ.

එවිට අපට ප්‍රතිලෝම ආදේශනය ලැබේ

පිළිතුර .

කාර්යයන්.

2.2 පෝරමයේ සමීකරණ, කොහෙද - තාර්කික කාර්යය.

මෙම වර්ගයේ සමීකරණ විසඳීම සඳහා එය තැබිය යුතුය, සරලම ආකෘතියේ සමීකරණය විසඳන්නසහ ප්‍රතිලෝම ආදේශනය කරන්න.

උදාහරණය.

විසඳුම .

ඉඩ දෙන්න . එතකොට

පිළිතුර . .

කාර්යයන්.

2.3 විවිධ තර්කවල විවිධ චාප ශ්‍රිත හෝ චාප ශ්‍රිත අඩංගු සමීකරණ.

සමීකරණයේ විවිධ චාප ශ්‍රිත අඩංගු ප්‍රකාශන තිබේ නම්, හෝ මෙම චාප ශ්‍රිත විවිධ තර්ක මත රඳා පවතී නම්, එවැනි සමීකරණ ඒවායේ වීජීය ප්‍රතිවිපාකවලට අඩු කිරීම සාමාන්‍යයෙන් සිදු කරනු ලබන්නේ සමීකරණයේ දෙපස යම් ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතයක් ගණනය කිරීමෙනි. ප්රතිඵලයක් වශයෙන් විදේශීය මූලයන් පරීක්ෂා කිරීම මගින් වෙන් කරනු ලැබේ. ස්පර්ශක හෝ කෝටැන්ජන්ට් සෘජු ශ්‍රිතයක් ලෙස තෝරා ගන්නේ නම්, මෙම ශ්‍රිතවල නිර්වචන වසමෙහි ඇතුළත් විසඳුම් නැති විය හැක. එබැවින්, සමීකරණයේ දෙපැත්තේ සිට ස්පර්ශකයේ හෝ කෝටැන්ජන්ට් වල අගය ගණනය කිරීමට පෙර, මෙම ශ්‍රිතයන් නිර්වචනය කිරීමේ වසමෙහි ඇතුළත් නොවන ලක්ෂ්‍ය අතර මුල් සමීකරණයේ මූලයන් නොමැති බවට ඔබ සහතික විය යුතුය.

උදාහරණය.

විසඳුම .

අපි නැවත කාලසටහන් කරමු දකුණු පැත්තට සහ සමීකරණයේ දෙපැත්තේ සිට සයින් අගය ගණනය කරන්න

පරිවර්තනවල ප්‍රතිඵලයක් ලෙස අපට ලැබෙනවා

මෙම සමීකරණයේ මූලයන්

අපි පරීක්ෂා කරමු

අපට ඇති විට

මේ අනුව, සමීකරණයේ මුල වේ.

ආදේශ කරනවා , ප්රතිඵලයක් වශයෙන් සම්බන්ධතාවයේ වම් පැත්ත ධනාත්මක වන අතර දකුණු පැත්ත ඍණාත්මක බව සලකන්න. මේ අනුව,- සමීකරණයේ බාහිර මූලය.

උත්තර දෙන්න. .

කාර්යයන්.

2.4 එක් තර්කයක ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත අඩංගු සමීකරණ.

එවැනි සමීකරණ මූලික අනන්‍යතා (1) - (10) භාවිතයෙන් සරලම දක්වා අඩු කළ හැකිය.

උදාහරණය.

විසඳුම.

උත්තර දෙන්න.

කාර්යයන්.

3. ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත අඩංගු අසමානතා

3.1 සරලම අසමානතා.

සරලම අසමානතා සඳහා විසඳුම 2 වගුවේ ඇති සූත්රවල යෙදීම මත පදනම් වේ.

උදාහරණය.

විසඳුම.

මොකද , එවිට අසමානතාවයට විසඳුම අන්තරයයි.

පිළිතුර .

කාර්යයන්.

3.2 පෝරමයේ අසමානතා, - යම් තාර්කික කාර්යයක්.

පෝරමයේ අසමානතා, යම් තාර්කික කාර්යයක් වන අතර, සහ- ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත වලින් එකක් අදියර දෙකකින් විසඳනු ලැබේ - පළමුව, නොදන්නා දේ සම්බන්ධයෙන් අසමානතාවය විසඳනු ලැබේ, පසුව ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතය අඩංගු සරලම අසමානතාවය.

උදාහරණය.

විසඳුම.

ඒක එහෙම වෙන්න දෙන්න

අසමානතා සඳහා විසඳුම්

මුල් නොදන්නා දේ වෙත ආපසු යාම, මුල් අසමානතාවය සරලම දෙකක් දක්වා අඩු කළ හැකි බව අපට පෙනී යයි

මෙම විසඳුම් ඒකාබද්ධ කිරීම, අපි මුල් අසමානතාවයට විසඳුම් ලබා ගනිමු

පිළිතුර .

කාර්යයන්.

3.3 විවිධ තර්කවල ප්‍රතිවිරුද්ධ චාප ශ්‍රිත හෝ චාප ශ්‍රිත අඩංගු අසමානතා.

විවිධ ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල අගයන් සම්බන්ධ කරන අසමානතා විසඳීමට හෝ අසමානතාවයේ දෙපැත්තෙන් සමහර ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතයක අගයන් ගණනය කිරීමෙන් විවිධ තර්ක වලින් ගණනය කරන ලද එක් ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතයක අගයන් සම්බන්ධ කිරීම පහසුය. එහි ප්‍රතිඵලය වන අසමානතාවය මුල් එකට සමාන වන බව මතක තබා ගත යුත්තේ මුල් අසමානතාවයේ දකුණු සහ වම් පැතිවල අගයන් සමූහය මෙම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතයේ එකම ඒකාකාරී කාල පරතරයට අයත් වන්නේ නම් පමණි.

උදාහරණය.

විසඳුම.

බහු වලංගු අගයන්අසමානතාවයට ඇතුළත් වේ:. දී . එබැවින්, අගයන්අසමානතාවයට විසඳුම් නොවේ.

දී අසමානතාවයේ දකුණු පැත්ත සහ වම් පැත්ත යන දෙකෙහිම පරතරයට අයත් අගයන් ඇත. මොකද අතරසයින් ශ්‍රිතය ඒකාකාරී ලෙස වැඩි වේ, එවිට කවදාදමුල් අසමානතාවය සමාන වේ

අවසාන අසමානතාවය විසඳීම

පරතරයක් සහිතව තරණය කිරීම, අපි විසඳුමක් ලබා ගනිමු

උත්තර දෙන්න.

අදහස් දක්වන්න. භාවිතයෙන් විසඳාගත හැක

කාර්යයන්.

3.4 පෝරමයේ අසමානතාවය, කොහෙද - ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත වලින් එකක්,- තාර්කික කාර්යය.

එවැනි අසමානතාවයන් ආදේශනය භාවිතයෙන් විසඳනු ලැබේසහ වගුව 2 හි සරලම අසමානතාවයට අඩු කිරීම.

උදාහරණය.

විසඳුම.

ඒක එහෙම වෙන්න දෙන්න

රිවර්ස් ආදේශනය කරලා සිස්ටම් එක ගමු

පිළිතුර .

කාර්යයන්.

ගණිතයේ ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාගය සඳහා සූදානම් වීම

අත්හදා බැලීම

පාඩම 9. ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත.

පුරුදු කරන්න

පාඩම් සාරාංශය

ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ සහ අසමානතා විසඳීමේදී චාප ශ්‍රිත සමඟ වැඩ කිරීමේ හැකියාව අපට ප්‍රධාන වශයෙන් අවශ්‍ය වේ.

අපි දැන් සලකා බලන කාර්යයන් වර්ග දෙකකට බෙදා ඇත: ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල අගයන් සහ මූලික ගුණාංග භාවිතයෙන් ඒවායේ පරිවර්තනයන් ගණනය කිරීම.

චාප ශ්රිතවල අගයන් ගණනය කිරීම

චාප ශ්‍රිතවල අගයන් ගණනය කිරීමෙන් ආරම්භ කරමු.

කාර්ය අංක 1. ගණනය කරන්න.

අපට පෙනෙන පරිදි, චාප ශ්‍රිතවල සියලුම තර්ක ධනාත්මක සහ වගු වේ, එයින් අදහස් කරන්නේ අපට කෝණ සඳහා ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල අගයන් වගුවේ පළමු කොටසෙන් කෝණවල අගය ප්‍රතිස්ථාපනය කළ හැකි බවයි. මෙම කෝණ පරාසය එක් එක් චාප ශ්‍රිතයේ අගයන් පරාසයට ඇතුළත් වේ, එබැවින් අපි සරලව වගුව භාවිතා කර, එහි ඇති ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතයේ අගය සොයාගෙන එය අනුරූප වන කෝණය ප්‍රතිස්ථාපනය කරමු.

A)

b)

V)

G)

උත්තර දෙන්න. .

කාර්ය අංක 2. ගණනය කරන්න

.

මෙම උදාහරණයේ දී අපි දැනටමත් සෘණ තර්ක දකිමු. මෙම නඩුවේ සාමාන්‍ය වැරැද්දක් වන්නේ ශ්‍රිතයට යටින් ඇති අඩුපාඩුව සරලව ඉවත් කර කාර්යය පෙර එකට අඩු කිරීමයි. කෙසේ වෙතත්, මෙය සෑම අවස්ථාවකදීම සිදු කළ නොහැකිය. පාඩමේ න්‍යායාත්මක කොටසේදී අපි සියලු චාප ශ්‍රිතවල සමානාත්මතාවය සාකච්ඡා කළ ආකාරය අපි මතක තබා ගනිමු. ඔත්තේ ඒවා arcsine සහ arctangent වේ, එනම්, ඍණ ඔවුන්ගෙන් ඉවත් කර ඇත, සහ arccosine සහ arccotangent යනු තර්කයේ අඩුවීම සරල කිරීම සඳහා පොදු ස්වරූපයක කාර්යයන් වේ, ඒවාට විශේෂ සූත්ර ඇත. ගණනය කිරීමෙන් පසු, දෝෂ වළක්වා ගැනීම සඳහා, ප්රතිඵලය අගයන් පරාසය තුළ ඇති බව අපි පරීක්ෂා කරමු.

ශ්‍රිත තර්ක ධනාත්මක ස්වරූපයට සරල කළ විට, අපි වගුවෙන් අනුරූප කෝණ අගයන් ලියන්නෙමු.

ප්‍රශ්නය මතු විය හැකිය: උදාහරණයක් ලෙස, වගුවෙන් කෙලින්ම අනුරූප කෝණයේ අගය ලියන්නේ නැත්තේ ඇයි? පළමුව, පෙර වගුව පෙරට වඩා මතක තබා ගැනීමට අපහසු නිසාත්, දෙවනුව, සයින් හි සෘණ අගයන් එහි නොමැති නිසාත්, ස්පර්ශකයේ සෘණ අගයන් වගුවට අනුව වැරදි කෝණයක් ලබා දෙනු ඇත. විවිධ ප්‍රවේශයන් සමඟ ව්‍යාකූල වීමට වඩා විසඳුම සඳහා විශ්වීය ප්‍රවේශයක් තිබීම වඩා හොඳය.

කාර්යය අංක 3. ගණනය කරන්න.

අ) මෙම නඩුවේ සාමාන්‍ය වැරැද්දක් නම් අඩුවක් ඉවත් කර යමක් සරල කිරීමයි. අවධානයට ලක්විය යුතු පළමු දෙය නම් චාප තර්කය විෂය පථයේ නොමැති බවයි

එබැවින්, මෙම ප්රවේශය කිසිදු අර්ථයක් නොමැති අතර, ආර්ක්සීන් ගණනය කළ නොහැක.

b) මෙම නඩුවේ සම්මත වැරැද්ද නම් ඔවුන් තර්කයේ සහ ශ්‍රිතයේ අගයන් ව්‍යාකූල කර පිළිතුර ලබා දීමයි. මෙය සත්ය නොවේ! ඇත්ත වශයෙන්ම, සිතුවිල්ල පැන නගින්නේ වගුවේ ඇති අගය කොසයිනයට අනුරූප වන නමුත් මෙම අවස්ථාවේ දී ව්‍යාකූලත්වයට පත් වී ඇත්තේ චාප ශ්‍රිත ගණනය කරනු ලබන්නේ කෝණවලින් නොව ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල අගයන් මගිනි. එනම්, නොවේ.

මීට අමතරව, චාප කෝසයිනයේ තර්කය කුමක්දැයි අපි හරියටම සොයාගෙන ඇති බැවින්, එය අර්ථ දැක්වීමේ වසම තුළ ඇතුළත් කර ඇත්දැයි පරීක්ෂා කිරීම අවශ්ය වේ. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි එය මතක තබා ගනිමු , එනම්, ආර්කෝසීන් අර්ථවත් නොවන අතර ගණනය කළ නොහැක.

මාර්ගය වන විට, උදාහරණයක් ලෙස, ප්‍රකාශනය අර්ථවත් කරයි, නමුත් සමාන කෝසයිනයේ අගය වගු නොවන බැවින්, වගුව භාවිතයෙන් චාප කෝසයිනය ගණනය කළ නොහැක.

උත්තර දෙන්න. ප්‍රකාශනවල තේරුමක් නැහැ.

මෙම උදාහරණයේ දී, අපි arctangent සහ arccotangent ලෙස සලකන්නේ නැත, මන්ද ඒවායේ අර්ථ දැක්වීමේ වසම සීමිත නොවන අතර ශ්‍රිත අගයන් ඕනෑම තර්කයක් සඳහා වනු ඇත.

කාර්ය අංක 4. ගණනය කරන්න .

සාරාංශයක් ලෙස, කාර්යය පළමු එකට පැමිණේ, අපට අවශ්‍ය වන්නේ ශ්‍රිත දෙකේ අගයන් වෙන වෙනම ගණනය කර ඒවා මුල් ප්‍රකාශනයට ආදේශ කිරීමයි.

ආක්ටෙන්ජන්ට් තර්කය වගු වන අතර ප්‍රතිඵලය අගයන් පරාසයට අයත් වේ.

arccosine තර්කය වගු නොවේ, නමුත් මෙය අපව බිය ගැන්විය යුතු නැත, මන්ද arccosine සමාන වන්නේ කුමක් වුවත්, එහි අගය ශුන්‍යයෙන් ගුණ කළ විට ශුන්‍ය වේ. එක් වැදගත් සටහනක් ඉතිරිව ඇත: ආර්කෝසීන් තර්කය අර්ථ දැක්වීමේ වසමට අයත් දැයි පරීක්ෂා කිරීම අවශ්‍ය වේ, මන්ද මෙය එසේ නොවේ නම්, එහි ශුන්‍යයෙන් ගුණ කිරීම අඩංගු වුවද, සම්පූර්ණ ප්‍රකාශනය අර්ථවත් නොවේ. . නමුත්, එබැවින්, එය අර්ථවත් බව අපට පැවසිය හැකි අතර පිළිතුරේ ශුන්ය වේ.

එක් චාප ශ්‍රිතයක අගය දැන ගනිමින් එක් චාප ශ්‍රිතයක් ගණනය කිරීමට අවශ්‍ය වන තවත් උදාහරණයක් අපි දෙමු.

ගැටලුව #5. එය දන්නේ නම් ගණනය කරන්න.

පෙන්වා ඇති සමීකරණයෙන් x හි අගය මුලින්ම ගණනය කිරීම අවශ්‍ය බව පෙනේ, පසුව එය අපේක්ෂිත ප්‍රකාශනයට ආදේශ කරන්න, එනම් ප්‍රතිලෝම ස්පර්ශකයට, නමුත් මෙය අවශ්‍ය නොවේ.

මෙම කාර්යයන් එකිනෙක සම්බන්ධ වන සූත්‍රය අපි මතක තබා ගනිමු:

අපට අවශ්‍ය දේ එයින් ප්‍රකාශ කරමු:

සහතික වීමට, ප්‍රතිඵලය චාප කෝටැන්ජන්ට් පරාසය තුළ ඇති බව ඔබට පරීක්ෂා කළ හැක.

ඒවායේ මූලික ගුණාංග භාවිතා කරමින් චාප ශ්රිතවල පරිවර්තනයන්

දැන් අපි චාප ශ්‍රිතවල මූලික ගුණාංග භාවිතා කරමින් පරිවර්තනයන් භාවිතා කිරීමට සිදුවන කාර්යයන් මාලාවකට යමු.

ගැටලුව #6. ගණනය කරන්න .

විසඳීම සඳහා, අපි සඳහන් කර ඇති චාප ශ්‍රිතවල මූලික ගුණාංග භාවිතා කරන්නෙමු, අනුරූප සීමාවන් පරීක්ෂා කිරීමට පමණක් වග බලා ගන්න.

A)

b) .

උත්තර දෙන්න. A) ; ආ) .

ගැටලුව අංක 7. ගණනය කරන්න.

මෙම නඩුවේ සාමාන්‍ය වැරැද්දක් නම්, අපි පෙර උදාහරණයේ සඳහන් කළ පරිදි, චාප ශ්‍රිතවල මූලික ගුණාංග භාවිතා කිරීම සඳහා, ප්‍රතිචාර වශයෙන් 4 ක් වහාම ලිවීමයි, ඒවායේ තර්කයට අදාළ සීමාවන් පරීක්ෂා කිරීම අවශ්‍ය වේ. අපි දේපල සමඟ කටයුතු කරන්නෙමු:

දී

නමුත් . තීරණයෙහි මෙම අදියරෙහි ප්රධානතම දෙය වන්නේ නිශ්චිත ප්රකාශනය අර්ථවත් නොවන අතර ගණනය කළ නොහැකි බව සිතීම නොවේ. සියල්ලට පසු, ස්පර්ශයේ කාල සීමාව අඩු කිරීමෙන් අපට ස්පර්ශයේ තර්කය වන හතර අඩු කළ හැකි අතර මෙය ප්‍රකාශනයේ අගයට බලපාන්නේ නැත. මෙම පියවරයන් සිදු කිරීමෙන් පසු, නිශ්චිත පරාසය තුළට වැටෙන ලෙස තර්කය අඩු කිරීමට අපට අවස්ථාවක් ලැබෙනු ඇත.

මක්නිසාද යත්, එබැවින්, , මොකද .

ගැටලුව අංක 8. ගණනය කරන්න.

ඉහත උදාහරණයේ දී, අපි arcsine හි මූලික ගුණයට සමාන ප්‍රකාශනයක් සමඟ කටයුතු කරමු, නමුත් එහි අඩංගු වන්නේ cofunctions පමණි. එය arcsine වලින් sine හෝ arccosine වලින් cosine ආකාරයෙන් අඩු කළ යුතුය. ප්‍රතිලෝම ඒවාට වඩා සෘජු ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත පරිවර්තනය කිරීම පහසු බැවින්, "ත්‍රිකෝණමිතික ඒකක" සූත්‍රය භාවිතයෙන් සයින් සිට කොසයින් දක්වා ගමන් කරමු.

අපි දැනටමත් දන්නා පරිදි:

අපගේ නඩුවේදී, භූමිකාව තුළ. අපි මුලින්ම පහසුව සඳහා ගණනය කරමු .

එය සූත්‍රයට ආදේශ කිරීමට පෙර, එහි ලකුණ, එනම් මුල් සයින් ලකුණ සොයා බලමු. අපි sine ගණනය කළ යුත්තේ arccosine අගයෙන්, මෙම අගය කුමක් වුවත්, එය පරාසය තුළ පවතින බව අපි දනිමු. මෙම පරාසය සයින් ධනාත්මක වන පළමු සහ දෙවන කාර්තුවල කෝණවලට අනුරූප වේ (මෙය ත්‍රිකෝණමිතික කවයක් භාවිතයෙන් ඔබම පරීක්ෂා කරන්න).

අද ප්‍රායෝගික පාඩමෙන් අපි බැලුවේ ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත අඩංගු ප්‍රකාශන ගණනය කිරීම සහ පරිවර්තනය කිරීම

ව්යායාම උපකරණ සමඟ ද්රව්ය ශක්තිමත් කරන්න

පුහුණුකරු 1 පුහුණුකරු 2 පුහුණුකරු 3 පුහුණුකරු 4 පුහුණුකරු 5