ምክንያታዊ ወይም ምክንያታዊ ያልሆነ ቁጥር. ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች: ምንድን ናቸው እና ምን ጥቅም ላይ ይውላሉ

ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች ምንድናቸው? ለምን እንዲህ ተባሉ? የት ጥቅም ላይ ይውላሉ እና ምንድ ናቸው? ጥቂት ሰዎች እነዚህን ጥያቄዎች ሳያስቡ ሊመልሱ ይችላሉ. ግን በእውነቱ, ለእነሱ መልሶች በጣም ቀላል ናቸው, ምንም እንኳን ሁሉም ሰው ባይፈልጉም እና በጣም አልፎ አልፎ ባሉ ሁኔታዎች

ማንነት እና ስያሜ

ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮችማለቂያ የሌለውን ጊዜያዊ ያልሆነን ይወክላል ይህንን ጽንሰ-ሀሳብ ማስተዋወቅ ያስፈለገበት ምክንያት አዳዲስ አዳዲስ ችግሮችን ለመፍታት ቀደም ሲል የነበሩት የእውነተኛ ወይም እውነተኛ ፣ ኢንቲጀር ፣ ተፈጥሯዊ እና ምክንያታዊ ቁጥሮች ፅንሰ-ሀሳቦች በቂ ስላልነበሩ ነው። ለምሳሌ፣ የትኛው መጠን የ 2 ካሬ እንደሆነ ለማስላት፣ ወቅታዊ ያልሆኑ ማለቂያ የሌላቸው አስርዮሽዎችን መጠቀም ያስፈልግዎታል። በተጨማሪም ፣ ብዙ ቀላል እኩልታዎች እንዲሁ ምክንያታዊ ያልሆነ ቁጥር ጽንሰ-ሀሳብን ሳያስተዋውቁ ምንም መፍትሄ የላቸውም።

ይህ ስብስብ እንደ I ነው የተገለፀው ። እና ፣ ቀድሞውኑ ግልፅ እንደ ሆነ ፣ እነዚህ እሴቶች እንደ ቀላል ክፍልፋይ ሊወከሉ አይችሉም ፣ የእሱ አሃዛዊ ኢንቲጀር ይሆናል ፣ እና መለያው ይሆናል

ለመጀመሪያ ጊዜ በአንድ ወይም በሌላ መንገድ የህንድ የሂሳብ ሊቃውንት ይህንን ክስተት በ 7 ኛው ክፍለ ዘመን ውስጥ ያጋጠሙት የአንዳንድ መጠኖች ካሬ ስሮች በግልጽ ሊገለጹ እንደማይችሉ ሲታወቅ ነው. እና እንደነዚህ ያሉ ቁጥሮች መኖራቸውን የሚያረጋግጠው የመጀመሪያው ማረጋገጫ ለፒታጎሪያን ሂፕፓሰስ ነው, እሱም ይህን ያደረገው isoscelesን በማጥናት ሂደት ውስጥ ነው. የቀኝ ሶስት ማዕዘን. ከዘመናችን በፊት የኖሩ አንዳንድ ሌሎች ሳይንቲስቶች ለዚህ ስብስብ ጥናት ከፍተኛ አስተዋጽኦ አድርገዋል። ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች ፅንሰ-ሀሳብ ማስተዋወቅ አሁን ያለውን የሂሳብ ስርዓት መከለስ ነበረበት፣ ለዚህም ነው በጣም አስፈላጊ የሆኑት።

የስም አመጣጥ

ሬሾ ከላቲን የተተረጎመ “ክፍልፋይ”፣ “ሬሾ” ከሆነ፣ ከዚያ “ir” የሚለው ቅድመ ቅጥያ
ይህንን ቃል ተቃራኒ ትርጉም ይሰጣል. ስለዚህም የእነዚህ ቁጥሮች ስብስብ ስም ከኢንቲጀር ወይም ክፍልፋይ ጋር ሊጣመሩ እንደማይችሉ እና የተለየ ቦታ እንዳላቸው ያመለክታል. ይህ ከዋናነታቸው የሚከተል ነው።

በአጠቃላይ ምደባ ውስጥ ያስቀምጡ

ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች፣ ከምክንያታዊ ቁጥሮች ጋር፣ የእውነተኛ ወይም እውነተኛ ቁጥሮች ቡድን ናቸው፣ እሱም በተራው ደግሞ ውስብስብ ቁጥሮች ነው። ምንም ንዑስ ስብስቦች የሉም, ግን አልጀብራ እና ተሻጋሪ ዝርያዎች አሉ, ከዚህ በታች ይብራራሉ.

ንብረቶች

ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች የእውነተኛ ቁጥሮች ስብስብ አካል በመሆናቸው፣ በሒሳብ የሚጠኑ ንብረቶቻቸው ሁሉ (መሰረታዊ አልጀብራ ሕጎች ተብለውም ይጠራሉ) በእነሱ ላይ ተፈጻሚ ይሆናሉ።

a + b = b + a (commutativity);

(a + b) + c = a + (b + c) (ተያያዥነት);

a + (-a) = 0 (የተቃራኒው ቁጥር መኖር);

ab = ba (commutative law);

(ab) c = a (bc) (ስርጭት);

a(b+c) = ab + ac (የስርጭት ህግ);

a x 1/a = 1 (የተገላቢጦሽ ቁጥር መኖር);

ንፅፅሩም እንዲሁ በተጠቀሰው መሰረት ነው አጠቃላይ ቅጦችእና መርሆዎች፡-

a > b እና b > c ከሆነ፣ ከዚያም a > c (የግንኙነቱ ሽግግር) እና። ወዘተ.

እርግጥ ነው፣ ሁሉም ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች መሠረታዊ ሂሳብን በመጠቀም ሊለወጡ ይችላሉ። ምንም ልዩ ደንቦችበተመሳሳይ ጊዜ ቁ.

በተጨማሪም, አርኪሜዲስ አክሲየም ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮችን ይመለከታል. ለማንኛውም ሁለት መጠን ሀ እና ለ እውነት መሆኑን ይገልጻል፣ እንደ ቃል መውሰድ በቂ መጠንጊዜ፣ ሊበልጥ ይችላል ለ.

አጠቃቀም

በዕለት ተዕለት ሕይወት ውስጥ ብዙ ጊዜ የማያጋጥሟቸው እውነታዎች ቢኖሩም, ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች ሊቆጠሩ አይችሉም. ከእነሱ ውስጥ በጣም ብዙ ናቸው, ግን እነሱ ከሞላ ጎደል የማይታዩ ናቸው. ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች በዙሪያችን አሉ። ለሁሉም ሰው የሚያውቃቸው ምሳሌዎች ፒ ቁጥር 3.1415926 እኩል ነው...፣ ወይም e በመሠረቱ የተፈጥሮ ሎጋሪዝም መሠረት የሆነው፣ 2.718281828... በአልጀብራ፣ ትሪጎኖሜትሪ እና ጂኦሜትሪ ውስጥ ያለማቋረጥ ጥቅም ላይ መዋል አለባቸው። በነገራችን ላይ, ታዋቂ ትርጉም"ወርቃማ ጥምርታ"፣ ማለትም፣ የሁለቱም ትልቁ ክፍል ጥምርታ ወደ ትንሹ ክፍል፣ እና በተቃራኒው፣ እንዲሁ

የዚህ ስብስብ ነው። ብዙም የታወቀው “ብር” ነው።

በቁጥር መስመር ላይ እነሱ በጣም ጥቅጥቅ ያሉ ናቸው ፣ ስለሆነም በምክንያታዊነት በተመደቡት በሁለት መጠኖች መካከል ፣ ምክንያታዊ ያልሆነ አንድ በእርግጠኝነት ይከሰታል።

ከዚህ ስብስብ ጋር የተያያዙ ብዙ ያልተፈቱ ችግሮች አሁንም አሉ። እንደ ምክንያታዊነት መለኪያ እና የቁጥር መደበኛነት የመሳሰሉ መመዘኛዎች አሉ. የሒሳብ ሊቃውንት የአንድ ቡድን ወይም የሌላ ቡድን አባል መሆናቸውን ለማወቅ በጣም ጠቃሚ ምሳሌዎችን ማጥናታቸውን ቀጥለዋል። ለምሳሌ, e የተለመደ ቁጥር ነው ተብሎ ይታመናል, ማለትም, የተለያዩ አሃዞች በአስተያየቱ ውስጥ የመታየት እድሉ ተመሳሳይ ነው. ስለ ፒ (Pi) በተመለከተ አሁንም ምርምር እየተደረገ ነው። የምክንያታዊነት መለኪያው የተሰጠው ቁጥር ምን ያህል በምክንያታዊ ቁጥሮች ሊጠጋ እንደሚችል የሚያሳይ እሴት ነው።

አልጀብራዊ እና ተሻጋሪ

ቀደም ሲል እንደተጠቀሰው፣ ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች በተለምዶ ወደ አልጀብራ እና ተሻጋሪ ይከፋፈላሉ። በሁኔታዊ ሁኔታ ፣ በጥብቅ አነጋገር ፣ ይህ ምደባ C ስብስብን ለመከፋፈል ጥቅም ላይ ይውላል።

ይህ ስያሜ እውነተኛ ወይም እውነተኛ ቁጥሮችን የሚያካትቱ ውስብስብ ቁጥሮችን ይደብቃል።

ስለዚህ፣ አልጀብራ ከዜሮ ጋር እኩል ያልሆነ የፖሊኖሚል ሥር የሆነ እሴት ነው። ለምሳሌ, ካሬ ሥርየ 2 በዚህ ምድብ ውስጥ ይወድቃል ምክንያቱም ለእኩልታ x 2 - 2 = 0 መፍትሄ ነው።

ይህንን ሁኔታ የማያሟሉ ሌሎች እውነተኛ ቁጥሮች ሁሉ ተሻጋሪ ይባላሉ። ይህ ልዩነት በጣም ዝነኛ እና ቀደም ሲል የተጠቀሱትን ምሳሌዎች ያካትታል - ቁጥር ፒ እና የተፈጥሮ ሎጋሪዝም መሠረት.

የሚገርመው ነገር አንዱም ሆኑ ሌሎች መጀመሪያውኑ በሂሳብ ሊቃውንት ያልዳበሩት በግኝታቸው ከበርካታ ዓመታት በኋላ ነው ። ለፒ፣ ማስረጃው በ1882 ተሰጥቷል እና በ1894 ቀለል ባለ መልኩ የ2,500 ዓመታት ክርክር ተጠናቀቀ። አሁንም ሙሉ በሙሉ አልተጠናም, ስለዚህ የዘመናዊው የሂሳብ ሊቃውንት አንድ ነገር መስራት አለባቸው. በነገራችን ላይ የዚህ ዋጋ የመጀመሪያው ትክክለኛ ትክክለኛ ስሌት በአርኪሜድስ ተካሂዷል. ከእሱ በፊት, ሁሉም ስሌቶች በጣም ግምታዊ ነበሩ.

ለ e (የኡለር ወይም የናፒየር ቁጥር) የመሻገሩ ማረጋገጫ በ1873 ተገኝቷል። የሎጋሪዝም እኩልታዎችን ለመፍታት ጥቅም ላይ ይውላል.

ሌሎች ምሳሌዎች ለማንኛውም አልጀብራ ዜሮ ያልሆነ እሴት የሳይን፣ ኮሳይን እና የታንጀንት እሴቶችን ያካትታሉ።

የሂሳብ ፅንሰ-ሀሳቦች ረቂቅነት አንዳንድ ጊዜ ብዙ መለያየትን ስለሚፈጥር “ይህ ሁሉ ለምንድነው?” የሚለው ሀሳብ ያለፍላጎቱ ይነሳል። ነገር ግን, ምንም እንኳን የመጀመሪያው ግንዛቤ ቢኖርም, ሁሉም ቲዎሬሞች, የሂሳብ ስራዎች, ተግባራት, ወዘተ. - መሠረታዊ ፍላጎቶችን ለማሟላት ከመፈለግ ያለፈ ምንም ነገር የለም. ይህ በተለይ በተለያዩ ስብስቦች ገጽታ ምሳሌ ላይ በግልጽ ይታያል.

ይህ ሁሉ የተጀመረው በተፈጥሮ ቁጥሮች መልክ ነው. እና ምንም እንኳን አሁን ማንም ሰው በትክክል እንዴት እንደነበረ መመለስ የማይመስል ነገር ቢሆንም ፣ ምናልባትም የሳይንስ ንግሥት እግሮች ከዋሻው ውስጥ ከአንድ ቦታ ያድጋሉ ። እዚህ ላይ፣ የቆዳ፣ የድንጋይ እና የጎሳ አባላት ብዛት ሲተነተን አንድ ሰው ብዙ “የሚቆጠሩት ቁጥሮች” አለው። ለእርሱም ይበቃው ነበር። እስከ አንድ ጊዜ ድረስ, በእርግጥ.

ከዚያም ቆዳዎቹና ድንጋዮቹ ተከፋፍለው መወሰድ አለባቸው። ለሂሳብ ስራዎች የሚያስፈልጉት ነገሮች በዚህ መልኩ ነበር እና ከነሱ ጋር ምክንያታዊ የሆኑት እንደ m/n ክፍልፋይ ተብሎ ሊገለጽ ይችላል, ለምሳሌ, m የቆዳዎች ብዛት, n የጎሳዎች ቁጥር ነው.

በህይወት ለመደሰት ቀድሞውኑ የተገኘው የሂሳብ መሳሪያ በጣም በቂ ይመስላል። ግን ብዙም ሳይቆይ ውጤቱ ኢንቲጀር ብቻ ሳይሆን ክፍልፋይም እንኳ የማይሆንባቸው አጋጣሚዎች አሉ! እና፣ በእርግጥ፣ የሁለት ካሬ ሥር በቁጥር እና በቁጥር በመጠቀም በሌላ መንገድ ሊገለጽ አይችልም። ወይም, ለምሳሌ, በጥንታዊው የግሪክ ሳይንቲስት አርኪሜዲስ የተገኘው ታዋቂው ቁጥር Pi, እንዲሁ ምክንያታዊ አይደለም. እና ከጊዜ በኋላ እንደዚህ ያሉ ግኝቶች በጣም ብዙ ከመሆናቸው የተነሳ "ምክንያታዊ" ሊሆኑ የማይችሉ ሁሉም ቁጥሮች ተጣምረው ምክንያታዊ ያልሆኑ ተባሉ.

ንብረቶች

ቀደም ብለው የተገለጹት ስብስቦች የመሠረታዊ የሂሳብ ጽንሰ-ሐሳቦች ስብስብ ናቸው። ይህ ማለት በቀላል የሂሳብ ዕቃዎች ሊገለጹ አይችሉም ማለት ነው. ነገር ግን ይህ በምድቦች እርዳታ (ከግሪክ "መግለጫዎች") ወይም በፖስታዎች እርዳታ ሊከናወን ይችላል. በዚህ ሁኔታ, የእነዚህን ስብስቦች ባህሪያት ማመልከት የተሻለ ነበር.

o ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች Dedekind በምክንያታዊ ቁጥሮች ስብስብ ውስጥ ትልቅ ቁጥር የሌላቸው እና በላይኛው ትንሽ ቁጥር የሌላቸውን ይገልፃሉ።

o እያንዳንዱ ተሻጋሪ ቁጥር ምክንያታዊነት የጎደለው ነው።

o ማንኛውም ምክንያታዊ ያልሆነ ቁጥር ወይ አልጀብራ ወይም ተሻጋሪ ነው።

o የቁጥሮች ስብስብ በቁጥር መስመር ላይ በሁሉም ቦታ ጥቅጥቅ ያለ ነው፡ በማናቸውም መካከል ምክንያታዊ ያልሆነ ቁጥር አለ።

o ስብስቡ የማይቆጠር እና የሁለተኛው ባይሬ ምድብ ስብስብ ነው።

o ይህ ስብስብ የታዘዘ ነው፣ ማለትም፣ ለእያንዳንዱ ሁለት የተለያዩ ምክንያታዊ ቁጥሮች ሀ እና ለ፣ የትኛው ከሌላው እንደሚያንስ ማመልከት ይችላሉ።
o በየሁለት የተለያዩ ምክንያታዊ ቁጥሮች መካከል ሌላ አለ። ቢያንስአንድ, እና ስለዚህ ማለቂያ የሌለው ምክንያታዊ ቁጥሮች ስብስብ.

ኦ የሂሳብ ስራዎች(መደመር ፣ ማባዛት እና ማካፈል) በማንኛውም ሁለት ምክንያታዊ ቁጥሮች ሁል ጊዜ ይቻላል እና የተወሰነ ምክንያታዊ ቁጥር ያስገኛሉ። ልዩነቱ በዜሮ መከፋፈል ነው, ይህም የማይቻል ነው.

o እያንዳንዱ ምክንያታዊ ቁጥር እንደ ሊወከል ይችላል አስርዮሽ(የተወሰነ ወይም ማለቂያ የሌለው ወቅታዊ)።

ምክንያታዊ ቁጥር- በመደበኛ ክፍልፋይ m/n የሚወከለው ቁጥር፣ አሃዛዊው m ኢንቲጀር ነው፣ እና መለያው n የተፈጥሮ ቁጥር ነው። ማንኛውም ምክንያታዊ ቁጥር እንደ ወቅታዊ ማለቂያ የሌለው የአስርዮሽ ክፍልፋይ ሊወከል ይችላል። የምክንያታዊ ቁጥሮች ስብስብ በኪ.

እውነተኛ ቁጥር ምክንያታዊ ካልሆነ, ያ ነው ምክንያታዊ ያልሆነ ቁጥር. ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮችን የሚገልጹ የአስርዮሽ ክፍልፋዮች ማለቂያ የሌላቸው እና ወቅታዊ ያልሆኑ ናቸው። ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች ስብስብ ብዙውን ጊዜ በካፒታል ፊደል I ይገለጻል።

እውነተኛ ቁጥር ይባላል አልጀብራ, የአንዳንድ ፖሊኖሚል (ዜሮ-ዲግሪ ያልሆኑ) ከምክንያታዊ ቅንጅቶች ጋር ሥር ከሆነ. ማንኛውም አልጀብራዊ ያልሆነ ቁጥር ይባላል ተሻጋሪ.

አንዳንድ ንብረቶች፡-

የምክንያታዊ ቁጥሮች ስብስብ በየቦታው በቁጥር ዘንግ ላይ ጥቅጥቅ ብሎ ይገኛል፡በየትኛውም ሁለት የተለያዩ ምክንያታዊ ቁጥሮች መካከል ቢያንስ አንድ ምክንያታዊ ቁጥር አለ (ስለዚህም ማለቂያ የሌለው የምክንያታዊ ቁጥሮች ስብስብ)። ሆኖም ፣ የምክንያታዊ ቁጥሮች ስብስብ Q እና የተፈጥሮ ቁጥሮች ስብስብ N እኩል ናቸው ፣ ማለትም ፣ የአንድ ለአንድ ደብዳቤ በመካከላቸው ሊመሰረት ይችላል (ሁሉም የምክንያታዊ ቁጥሮች ስብስብ ንጥረ ነገሮች እንደገና ሊቆጠሩ ይችላሉ) .

የምክንያታዊ ቁጥሮች ስብስብ Q በመደመር ፣ በመቀነስ ፣ በማባዛት እና በማካፈል ይዘጋል ፣ ማለትም ፣ የሁለት ምክንያታዊ ቁጥሮች ድምር ፣ ልዩነት ፣ ምርት እና ጥቅስ እንዲሁ ምክንያታዊ ቁጥሮች ናቸው።

ሁሉም ምክንያታዊ ቁጥሮች አልጀብራ ናቸው (ተቃራኒው ውሸት ነው)።

እያንዳንዱ እውነተኛ ተሻጋሪ ቁጥር ምክንያታዊ አይደለም።

እያንዳንዱ ምክንያታዊ ያልሆነ ቁጥር አልጀብራ ወይም ተሻጋሪ ነው።

ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች ስብስብ በቁጥር መስመር ላይ በሁሉም ቦታ ጥቅጥቅ ያለ ነው፡ በሁለቱም ቁጥሮች መካከል ምክንያታዊ ያልሆነ ቁጥር አለ (እና ስለዚህ ማለቂያ የሌለው የቁጥር ብዛት)።

ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች ስብስብ ሊቆጠር የማይችል ነው.

ችግሮችን በሚፈታበት ጊዜ ፣ከምክንያታዊ ያልሆነው ቁጥር ሀ + b√ ሐ (ሀ ፣ b ምክንያታዊ ቁጥሮች ፣ ሐ የተፈጥሮ ቁጥር ካሬ ያልሆነ ኢንቲጀር ከሆነ) ጋር ፣ “conjugate” ቁጥር ሀ የሚለውን ግምት ውስጥ ማስገባት ምቹ ነው ። - b√ ሐ፡ ድምር እና ምርቱ ከዋናው ጋር - ምክንያታዊ ቁጥሮች። ስለዚህ a + b√ c እና a - b√ c ሥር ናቸው። ኳድራቲክ እኩልታከኢንቲጀር ኮፊሸንስ ጋር።

በመፍትሔዎች ላይ ችግሮች

1. ያንን አረጋግጥ

ሀ) ቁጥር ​​√ 7;

ለ) የምዝግብ ማስታወሻ ቁጥር 80;

ሐ) ቁጥር ​​√ 2 + 3 √ 3;

ምክንያታዊነት የጎደለው ነው.

ሀ) ቁጥሩ √ 7 ምክንያታዊ ነው ብለን እናስብ። ከዚያም, coprime p እና q አሉ √ 7 = p/q, ከዚያም p 2 = 7q 2 እናገኛለን. p እና q በአንፃራዊነት ፕራይም ስለሆኑ፣ ከዚያም p 2፣ እና ስለዚህ p በ 7 ይከፈላል። ከዚያም p = 7k፣ እሱም k የተወሰነ የተፈጥሮ ቁጥር ነው። ስለዚህም q 2 = 7k 2 = pk, እሱም p እና q ኮፕሪም ናቸው የሚለውን እውነታ ይቃረናል.

ስለዚህ, ግምቱ ውሸት ነው, ይህም ማለት ቁጥር √ 7 ምክንያታዊ ያልሆነ ነው.

ለ) ቁጥር ​​መዝገብ 80 ምክንያታዊ ነው ብለን እናስብ. ከዚያም የተፈጥሮ p እና q እንደዚህ ያሉ ሎግ 80 = p/q, ወይም 10 p = 80 q, ከ 2 p–4q = 5 q–p እናገኛለን. ቁጥሮች 2 እና 5 በአንጻራዊነት ዋና ዋና መሆናቸውን ከግምት ውስጥ በማስገባት የመጨረሻው እኩልነት የሚቻለው p–4q = 0 እና q–p = 0. ከየት ነው p = q = 0, ይህም የማይቻል ነው, ምክንያቱም p እና q ተመርጠዋል. ተፈጥሯዊ መሆን.

ስለዚህ, ግምቱ ውሸት ነው, ይህም ማለት ቁጥር lg 80 ምክንያታዊ ያልሆነ ነው.

ሐ) ይህንን ቁጥር በ x እንጥቀስ።

ከዚያም (x – √ 2) 3 = 3፣ ወይም x 3 + 6x – 3 = √ 2 (3x 2 + 2)። ይህንን እኩልታ ካጠጋን በኋላ፣ x እኩልቱን ማርካት እንዳለበት እናገኘዋለን

x 6 – 6x 4 – 6x 3 + 12x 2 – 36x + 1 = 0።

የእሱ ምክንያታዊ ሥሮቹ ቁጥሮች 1 እና -1 ብቻ ሊሆኑ ይችላሉ. ማጣራት 1 እና -1 ሥሮች እንዳልሆኑ ያሳያል።

ስለዚህ፣ የተሰጠው ቁጥር √ 2 + 3 √ 3 ​​ኢ-ምክንያታዊ ነው።

2. ቁጥሮች a, b, እንደሆኑ ይታወቃል. √a -√b- ምክንያታዊ. ያንን አረጋግጡ √ሀ እና √bምክንያታዊ ቁጥሮችም ናቸው።

ስራውን እንይ

(√ ሀ - √ ለ) · (√ a + √ ለ) = a - ለ.

ቁጥር √a +√b፣ከቁጥሮች ጥምርታ ጋር እኩል የሆነ - b እና √a -√bየሁለት ምክንያታዊ ቁጥሮች ጥቅስ ምክንያታዊ ቁጥር ስለሆነ ምክንያታዊ ነው። የሁለት ምክንያታዊ ቁጥሮች ድምር

½ (√ a + √ ለ) + ½ (√ a – √ ለ) = √ ሀ

- ምክንያታዊ ቁጥር, ልዩነታቸው,

½ (√ a + √ ለ) - ½ (√ a - √ ለ) = √ ለ፣

በተጨማሪም ምክንያታዊ ቁጥር ነው, ይህም እኛ ለማረጋገጥ የሚያስፈልገንን ነው.

3. አወንታዊ ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች ሀ እና ለ መኖራቸውን ያረጋግጡ ለዚህም ቁጥሩ a b የተፈጥሮ ቁጥር ነው።

4. እኩልነትን የሚያረኩ ምክንያታዊ ቁጥሮች a, b, c, d አሉ?

(a + b √ 2 ) 2n + (c +d√ 2 ) 2n = 5 + 4√ 2 ፣

n የተፈጥሮ ቁጥር የት ነው?

በሁኔታው ውስጥ የተሰጠው እኩልነት ከተሟላ እና ቁጥሮች a, b, c, d ምክንያታዊ ከሆኑ እኩልነት እንዲሁ ይረካል.

(ሀ–ቢ √ 2 ) 2n + (ሐ – መ√ 2 ) 2n = 5 – 4√ 2.

ነገር ግን 5 - 4√ 2 (ሀ - b√ 2) 2n + (ሐ - d√ 2 ) 2n> 0. የተፈጠረው ተቃርኖ የቀደመው እኩልነት የማይቻል መሆኑን ያረጋግጣል።

መልስ፡ አይኖሩም።

5. a, b, c ርዝመቶች ያላቸው ክፍሎች ሶስት ማዕዘን ከፈጠሩ, ከዚያ ለሁሉም n = 2, 3, 4,. . . ርዝመቶች ያላቸው ክፍሎች n √ a, n √ b, n √ c እንዲሁም ትሪያንግል ይመሰርታሉ. አረጋግጥ.

a, b, c ርዝመቶች ያላቸው ክፍሎች ሶስት ማዕዘን ከፈጠሩ, የሶስት ማዕዘን እኩልነት ይሰጣል

ስለዚህም አለን።

(n √ a + n √ ለ) n > a + b > c = (n √ ሐ) n፣

N √ a + n √ b > n √ ሐ .

የሶስት ማዕዘኑ አለመመጣጠን የቀሩት ጉዳዮች በተመሳሳይ ሁኔታ ይቆጠራሉ ፣ ከዚያ መደምደሚያው ይከተላል።

6. ማለቂያ የሌለው የአስርዮሽ ክፍልፋይ 0.1234567891011121314 መሆኑን ያረጋግጡ...(ከአስርዮሽ ነጥብ በኋላ፣ ሁሉም ኢንቲጀሮችበቅደም ተከተል) ምክንያታዊ ያልሆነ ቁጥር ነው.

እንደሚያውቁት፣ ምክንያታዊ ቁጥሮች እንደ አስርዮሽ ክፍልፋዮች ተገልጸዋል፣ እነዚህም ከተወሰነ ምልክት ጀምሮ ጊዜ አላቸው። ስለዚህ, ይህ ክፍልፋይ በማንኛውም ምልክት ወቅታዊ አለመሆኑን ማረጋገጥ በቂ ነው. ይህ አይደለም እንበል፣ እና አንዳንድ ተከታታይ ቲ የ n አሃዞች የክፍልፋይ ጊዜ ነው፣ በ mth አስርዮሽ ቦታ ይጀምራል። ከ m-th ምልክት በኋላ ባሉት አሃዞች መካከል ዜሮ ያልሆኑ ዜሮዎች እንዳሉ ግልፅ ነው ፣ ስለሆነም በቲ አሃዞች ቅደም ተከተል ዜሮ ያልሆነ አሃዝ አለ። ይህ ማለት ከአስርዮሽ ነጥብ በኋላ ከ mth አሃዝ ጀምሮ፣ በአንድ ረድፍ ውስጥ ካሉት n አሃዞች መካከል ዜሮ ያልሆነ አሃዝ አለ። ሆኖም የዚህ ክፍልፋይ የአስርዮሽ ምልክት የቁጥር 100...0 = 10 ኪ፣ k > m እና k > n የያዘ መሆን አለበት። ይህ ግቤት ከ m-th አሃዝ በስተቀኝ እንደሚከሰት እና በተከታታይ ከ n ዜሮዎች በላይ እንደሚይዝ ግልጽ ነው። ስለዚህ, ማስረጃውን የሚያጠናቅቅ ተቃርኖ እናገኛለን.

7. ማለቂያ የሌለው የአስርዮሽ ክፍልፋይ 0፣a 1 a 2... የተሰጠ። የተገኘው ክፍልፋይ ምክንያታዊ ቁጥርን እንዲገልጽ በእሱ የአስርዮሽ ኖት ውስጥ ያሉት አሃዞች እንደገና ሊደራጁ እንደሚችሉ ያረጋግጡ።

አንድ ክፍልፋይ ከተወሰነ ምልክት ጀምሮ ወቅታዊ ከሆነ እና ወቅታዊ ከሆነ ብቻ ምክንያታዊ ቁጥርን እንደሚገልጽ ያስታውሱ። ቁጥሮቹን ከ 0 ወደ 9 በሁለት ክፍሎች እንከፍላለን-በመጀመሪያው ክፍል ውስጥ በዋናው ክፍልፋይ ውስጥ የሚገኙትን ቁጥሮች ጥቂት ጊዜ እናካትታለን ፣ በሁለተኛው ክፍል ደግሞ በዋናው ክፍልፋይ ውስጥ የሚገኙትን እናጨምራለን - ማለቂያ የሌለው ጊዜያት. ቁጥሮቹን በማስተካከል ከዋናው ሊገኝ የሚችለውን ወቅታዊ ክፍልፋይ መፃፍ እንጀምር። በመጀመሪያ ፣ ከዜሮ እና ከኮማ በኋላ ፣ ከመጀመሪያው ክፍል ያሉትን ሁሉንም ቁጥሮች በዘፈቀደ ቅደም ተከተል እንጽፋለን - እያንዳንዳቸው በዋናው ክፍልፋይ ማስታወሻ ላይ እንደሚታየው ብዙ ጊዜ። የመጀመሪያው ክፍል አሃዞች የተመዘገቡት በአስርዮሽ ክፍልፋይ ክፍል ውስጥ ካለው ጊዜ ይቀድማሉ። በመቀጠል፣ ከሁለተኛው ክፍል ያሉትን ቁጥሮች በቅደም ተከተል አንድ በአንድ እንፃፍ። ይህንን ጥምረት ክፍለ ጊዜ እንደሆነ እናውጀዋለን እና ማለቂያ የሌለውን ጊዜ እንደግመዋለን። ስለዚህ፣ የተወሰነ ምክንያታዊ ቁጥርን የሚገልጽ አስፈላጊውን ወቅታዊ ክፍልፋይ ጽፈናል።

8. በእያንዳንዱ ማለቂያ በሌለው የአስርዮሽ ክፍልፋይ ውስጥ የዘፈቀደ ርዝመት ያላቸው የአስርዮሽ ቦታዎች ቅደም ተከተል እንዳለ ያረጋግጡ ፣ ይህም ክፍልፋዩ በሚበሰብስበት ጊዜ ወሰን በሌለው ሁኔታ ብዙ ጊዜ ይከሰታል።

በዘፈቀደ የተሰጠ የተፈጥሮ ቁጥር ይሁን። ይህንን ማለቂያ የሌለው የአስርዮሽ ክፍልፋይ በእያንዳንዱ ውስጥ m አሃዞችን ወደ ክፍልፋዮች እንከፋፍል። የዚህ አይነት ክፍሎች ማለቂያ የሌለው ቁጥር ይኖራል። በሌላ በኩል, የተለያዩ ስርዓቶች m አሃዞችን ያቀፈ ፣ 10 ሜትር ብቻ ነው ፣ ማለትም የተወሰነ ቁጥር። ስለዚህ፣ ከእነዚህ ስርዓቶች ውስጥ ቢያንስ አንዱ እዚህ ላልተወሰነ ጊዜ ብዙ ጊዜ መደገም አለበት።

አስተያየት. ምክንያታዊ ላልሆኑ ቁጥሮች √ 2፣ π ወይም ሠእነሱን በሚወክሉት ማለቂያ በሌለው የአስርዮሽ ክፍልፋዮች ውስጥ የትኛው አሃዝ ብዙ ጊዜ ላልተወሰነ ጊዜ እንደሚደጋገም እንኳን አናውቅም፣ ምንም እንኳን እነዚህ ቁጥሮች እያንዳንዳቸው ቢያንስ ሁለት የተለያዩ አሃዞችን እንደያዙ በቀላሉ ማረጋገጥ ይቻላል።

9. የእኩልታው አወንታዊ ሥር መሆኑን በአንደኛ ደረጃ አረጋግጥ

ምክንያታዊነት የጎደለው ነው.

ለ x > 0 ግራ ጎንእኩልታ በ x ይጨምራል ፣ እና በ x = 1.5 ከ 10 በታች ፣ እና በ x = 1.6 ከ 10 በላይ እንደሆነ ለመረዳት ቀላል ነው። ).

ሥሩን እንደ የማይቀለበስ ክፍልፋይ p/q እንጽፈው፣ p እና q አንዳንድ በአንጻራዊነት ዋና የተፈጥሮ ቁጥሮች ናቸው። ከዚያም በ x = p/q ሒሳቡ የሚከተለውን ቅጽ ይወስዳል።

p 5 + pq 4 = 10q 5,

ከዚህ በመቀጠል p የ 10 አካፋይ ነው, ስለዚህ, p ከቁጥር 1, 2, 5, 10 ጋር እኩል ነው. ነገር ግን ክፍልፋዮችን በቁጥር 1, 2, 5, 10 ስንጽፍ, ወዲያውኑ እናስተውላለን. አንዳቸውም በክፍተቱ ውስጥ አይወድቁም (1.5፤ 1.6)።

ስለዚህ የዋናው እኩልታ አወንታዊ ስር እንደ ሊወከል አይችልም። የጋራ ክፍልፋይ, ይህም ማለት ምክንያታዊ ያልሆነ ቁጥር ነው.

10. ሀ) በአውሮፕላኑ ላይ ሦስት ነጥቦች A፣ B እና C አሉ፣ ይህም ለማንኛውም ነጥብ X ቢያንስ የአንዱ ክፍል XA፣ XB እና XC ርዝማኔ ምክንያታዊ ያልሆነ ነው?

ለ) የሶስት ማዕዘን ጫፎች መጋጠሚያዎች ምክንያታዊ ናቸው. የክበቡ መሃል መጋጠሚያዎችም ምክንያታዊ መሆናቸውን ያረጋግጡ።

ሐ) በትክክል አንድ ምክንያታዊ ነጥብ ያለበት እንደዚህ ያለ ሉል አለ? (ምክንያታዊ ነጥብ ሦስቱም የካርቴሲያን መጋጠሚያዎች ምክንያታዊ ቁጥሮች የሆኑበት ነጥብ ነው።)

ሀ) አዎ አሉ ። ሐ የክፍል AB መካከለኛ ነጥብ ይሁን። ከዚያም XC 2 = (2XA 2 + 2XB 2 - AB 2)/2. AB 2 ቁጥሩ ኢ-ምክንያታዊ ከሆነ፣ XA፣ XB እና XC ቁጥሮች በተመሳሳይ ጊዜ ምክንያታዊ ሊሆኑ አይችሉም።

ለ) (a 1; b 1), (a 2; b 2) እና (a 3; b 3) የሶስት ማዕዘን ጫፎች መጋጠሚያዎች ይሁኑ. የተከበበው የክበብ መሃል መጋጠሚያዎች የተሰጡት በእኩልታዎች ስርዓት ነው፡-

(x – a 1) 2 + (y – b 1) 2 = (x – a 2) 2 + (y – b 2) 2፣

(x – a 1) 2 + (y – b 1) 2 = (x – a 3) 2 + (y – b 3) 2.

እነዚህ እኩልታዎች መስመራዊ መሆናቸውን ለመፈተሽ ቀላል ነው, ይህም ማለት ከግምት ውስጥ የሚገቡት የእኩልታዎች ስርዓት መፍትሄ ምክንያታዊ ነው.

ሐ) እንዲህ ዓይነቱ ሉል አለ. ለምሳሌ፣ ከሒሳብ ጋር አንድ ሉል

(x – √ 2) 2 + y 2 + z 2 = 2።

ነጥብ O ከመጋጠሚያዎች ጋር (0; 0; 0) በዚህ ሉል ላይ የተኛ ምክንያታዊ ነጥብ ነው። የተቀሩት የሉል ነጥቦች ምክንያታዊ ያልሆኑ ናቸው። እናረጋግጠው።

ተቃራኒውን እናስብ፡- (x; y; z) ከነጥብ O የተለየ የሉል ምክንያታዊ ነጥብ ይሁን። ውሳኔ ብቻ(0; 0; 0), ይህም አሁን ለእኛ ፍላጎት አይደለም. ቅንፍቹን ከፍተን √ 2ን እንግለጽ፡-

x 2 – 2√ 2 x + 2 + y 2 + z 2 = 2

√ 2 = (x 2 + y 2 + z 2)/(2x)፣

በምክንያታዊ x፣ y፣ z ሊከሰት የማይችል እና ምክንያታዊ ያልሆነ √ 2። ስለዚህ፣ ኦ(0፤ 0፤ 0) ከግምት ውስጥ በገባበት ሉል ላይ ብቸኛው ምክንያታዊ ነጥብ ነው።

መፍትሄዎች ሳይኖሩ ችግሮች

1. ቁጥሩ መሆኑን ያረጋግጡ

\[ \sqrt(10+\sqrt(24)+\sqrt(40)+\sqrt(60)) \]

ምክንያታዊነት የጎደለው ነው.

2. ለየትኛው ኢንቲጀር m እና n እኩልነት (5 + 3√ 2) m = (3 + 5√ 2) n ይይዛል?

3. ቁጥሮች ሀ - 3 እና 1/a + 3 ኢንቲጀር የሚሆኑበት ቁጥር አለ?

4. ቁጥሮች 1, √ 2, 4 የሂሳብ እድገት አባላት (በግድ አጠገብ አይደሉም) ሊሆኑ ይችላሉ?

5. ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር n ቀመር (x + y√ 3) 2n = 1 + √ 3 በምክንያታዊ ቁጥሮች (x; y) ምንም መፍትሄዎች እንደሌለው ያረጋግጡ።

ምክንያታዊ ያልሆነ ቁጥር ፍቺ

ኢ-ምክንያታዊ ቁጥሮች በአስርዮሽ ኖታ ማለቂያ የሌላቸውን የአስርዮሽ ክፍልፋዮችን የሚወክሉ ቁጥሮች ናቸው።

ስለዚህ, ለምሳሌ, የተፈጥሮ ቁጥሮችን ካሬ ሥር በመውሰድ የተገኙ ቁጥሮች ምክንያታዊ ያልሆኑ እና የተፈጥሮ ቁጥሮች ካሬ አይደሉም. ነገር ግን ሁሉም ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች በማውጣት የተገኙ አይደሉም ካሬ ስሮችምክንያቱም በመከፋፈል የተገኘው “pi” ቁጥርም ምክንያታዊነት የጎደለው ነው፣ እና የተፈጥሮ ቁጥርን ካሬ ስር ለማውጣት ሲሞክሩ ሊያገኙት አይችሉም።

ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች ባህሪያት

እንደ ማለቂያ የሌላቸው አስርዮሽ ተብለው ከተፃፉ ቁጥሮች በተለየ፣ ያለጊዜያዊ ማለቂያ የሌላቸው አስርዮሽ ቁጥሮች ብቻ ይፃፋሉ።
የሁለት አሉታዊ ያልሆኑ ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች ድምር ምክንያታዊ ቁጥር ሊሆን ይችላል።
ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች Dedekind ክፍሎችን በምክንያታዊ ቁጥሮች ስብስብ ውስጥ ይገልፃሉ ፣ በታችኛው ክፍል ውስጥ ትልቅ ቁጥር, እና በላይኛው ውስጥ ምንም ያነሰ የለም.
ማንኛውም እውነተኛ ተሻጋሪ ቁጥር ምክንያታዊ አይደለም።
ሁሉም ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች አልጀብራዊ ወይም ተሻጋሪ ናቸው።
በመስመር ላይ ያሉት ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች ስብስብ ጥቅጥቅ ባለ ቦታ ላይ ነው፣ እና በሁለቱ ቁጥሮች መካከል በእርግጠኝነት ምክንያታዊ ያልሆነ ቁጥር አለ።
ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች ስብስብ ማለቂያ የሌለው, የማይቆጠር እና የ 2 ኛ ምድብ ስብስብ ነው.
በ 0 ከመከፋፈል በስተቀር ማንኛውንም የሂሳብ አሠራር በምክንያታዊ ቁጥሮች ላይ ሲያከናውን ውጤቱ ምክንያታዊ ቁጥር ይሆናል።
ምክንያታዊ ቁጥርን ወደ ምክንያታዊ ያልሆነ ቁጥር ሲጨምሩ ውጤቱ ሁልጊዜ ምክንያታዊ ያልሆነ ቁጥር ነው.
ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮችን ስንጨምር, ምክንያታዊ ቁጥርን እንጨርሰዋለን.
ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች ስብስብ እኩል አይደለም.

ቁጥሮች ምክንያታዊ አይደሉም

አንዳንድ ጊዜ ቁጥሩ ኢ-ምክንያታዊ ነው ለሚለው ጥያቄ መልስ መስጠት በጣም ከባድ ነው፣ በተለይ ቁጥሩ በአስርዮሽ ክፍልፋይ ወይም በቁጥር አገላለጽ፣ ስር ወይም ሎጋሪዝም መልክ ከሆነ።

ስለዚህ, የትኞቹ ቁጥሮች ምክንያታዊ እንዳልሆኑ ማወቅ ከመጠን በላይ አይሆንም. ምክንያታዊ ያልሆኑ የቁጥሮች ፍቺን ከተከተልን, ያኔ ምክንያታዊ ቁጥሮች ምክንያታዊ ሊሆኑ እንደማይችሉ አስቀድመን እናውቃለን.

ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች አይደሉም፡-

በመጀመሪያ, ሁሉም የተፈጥሮ ቁጥሮች;
በሁለተኛ ደረጃ, ኢንቲጀሮች;
ሦስተኛ, ተራ ክፍልፋዮች;
በአራተኛ ደረጃ, የተለያዩ ድብልቅ ቁጥሮች;
አምስተኛ፣ እነዚህ ማለቂያ የሌላቸው ወቅታዊ የአስርዮሽ ክፍልፋዮች ናቸው።

ከላይ ከተጠቀሱት ሁሉ በተጨማሪ ምክንያታዊ ያልሆነ ቁጥር እንደ +, -, , : ባሉ የሂሳብ ስራዎች ምልክቶች የሚከናወኑ ምክንያታዊ ቁጥሮች ጥምረት ሊሆን አይችልም, ምክንያቱም በዚህ ሁኔታ የሁለት ምክንያታዊ ቁጥሮች ውጤትም እንዲሁ ይሆናል. ምክንያታዊ ቁጥር.

አሁን የትኞቹ ቁጥሮች ምክንያታዊ ያልሆኑ እንደሆኑ እንይ

የዚህ ሚስጥራዊ የሂሳብ ክስተት አድናቂዎች ምስጢሩን ለመፍታት እየሞከሩ ስለ ፒ ብዙ እና የበለጠ መረጃ የሚሹበት የደጋፊ ክበብ እንዳለ ያውቃሉ? ከአስርዮሽ ነጥብ በኋላ የተወሰኑ የፒ ቁጥሮችን በልቡ የሚያውቅ ማንኛውም ሰው የዚህ ክለብ አባል ሊሆን ይችላል።

በጀርመን ውስጥ በዩኔስኮ ጥበቃ ሥር የፒአይን ማስላት ለሚችሉት መጠን ምስጋና ይግባውና ካስታዴል ሞንቴ ቤተ መንግሥት እንዳለ ያውቃሉ። ንጉሥ ፍሬድሪክ ዳግማዊ ለዚህ ቁጥር ቤተ መንግሥቱን በሙሉ ሰጠ።

በባቤል ግንብ ግንባታ ላይ ፓይ የሚለውን ቁጥር ለመጠቀም ሞክረዋል ። ግን በሚያሳዝን ሁኔታ, ይህ የፕሮጀክቱን ውድቀት አስከትሏል, ምክንያቱም በዚያን ጊዜ የ Pi ዋጋ ትክክለኛ ስሌት በበቂ ሁኔታ አልተጠናም.

ዘፋኟ ኬት ቡሽ በአዲሱ ዲስክዋ ውስጥ አንድ መቶ ሃያ አራት ቁጥሮች ከታዋቂዎች የተውጣጡበትን "Pi" የተሰኘ ዘፈን ቀርጿል. ተከታታይ ቁጥር 3, 141…..

በዚህ ጽሑፍ ውስጥ ያለው ቁሳቁስ ስለ መጀመሪያ መረጃ ይሰጣል ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች. በመጀመሪያ ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮችን ፍቺ እንሰጣለን እና እንገልፃለን. ከዚህ በታች ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች ምሳሌዎችን እንሰጣለን. በመጨረሻም፣ የተወሰነ ቁጥር ኢ-ምክንያታዊ ነው ወይስ አይደለም የሚለውን ለማወቅ አንዳንድ አቀራረቦችን እንመልከት።

የገጽ አሰሳ።

ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች ፍቺ እና ምሳሌዎች

አስርዮሽ ስናጠና፣ ማለቂያ የሌላቸውን በየጊዜው ያልሆኑ አስርዮሽዎችን ለይተናል። እንደነዚህ ያሉት ክፍልፋዮች ከአንድ ክፍል ጋር የማይነፃፀሩ ክፍሎችን የአስርዮሽ ርዝማኔዎችን ሲለኩ ይነሳሉ. በተጨማሪም ማለቂያ የሌላቸው የአስርዮሽ ክፍልፋዮች ወደ ተራ ክፍልፋዮች ሊለወጡ እንደማይችሉ አስተውለናል (ተራ ክፍልፋዮችን ወደ አስርዮሽ መቀየር እና በተቃራኒው ይመልከቱ)፣ ስለዚህ እነዚህ ቁጥሮች ምክንያታዊ ቁጥሮች አይደሉም፣ እነሱ ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች የሚባሉትን ይወክላሉ።

ስለዚህ እንመጣለን ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች ፍቺ.

ፍቺ

በአስርዮሽ አጻጻፍ ውስጥ ማለቂያ የሌላቸውን ወቅታዊ ያልሆኑ የአስርዮሽ ክፍልፋዮችን የሚወክሉ ቁጥሮች ተጠርተዋል። ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች.

የተገለጸው ትርጉም እንድንሰጥ ያስችለናል። ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች ምሳሌዎች. ለምሳሌ የማያልቅ የአስርዮሽ ክፍልፋይ 4.1011001100011110000...(የአንድ እና ዜሮዎች ቁጥር በአንድ ጊዜ ይጨምራል) ምክንያታዊ ያልሆነ ቁጥር ነው። ኢ-22.353335333335...(ስምንትን የሚለያዩት ሶስቱ ቁጥር በእያንዳንዱ ጊዜ በሁለት ይጨምራል)።

ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች ማለቂያ በሌላቸው የአስርዮሽ ክፍልፋዮች መልክ በጣም አልፎ አልፎ እንደሚገኙ ልብ ሊባል ይገባል። ብዙውን ጊዜ በቅጹ ውስጥ ይገኛሉ, ወዘተ, እንዲሁም በተለየ የገቡ ፊደሎች መልክ. በዚህ ማስታወሻ ውስጥ በጣም የታወቁት ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች ምሳሌዎች የሁለት ስሌት ካሬ ሥር፣ ቁጥሩ “pi” π=3.141592...፣ ቁጥሩ e=2.718281... እና ወርቃማ ቁጥር.

ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮችም ምክንያታዊ እና ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮችን በሚያዋህዱ እውነተኛ ቁጥሮች ሊገለጹ ይችላሉ።

ፍቺ

ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮችምክንያታዊ ቁጥሮች ያልሆኑ እውነተኛ ቁጥሮች ናቸው።

ይህ ቁጥር ምክንያታዊ ያልሆነ ነው?

ቁጥሩ በአስርዮሽ ክፍልፋይ ሳይሆን በአንዳንድ ሥር፣ ሎጋሪዝም፣ ወዘተ ሲሰጥ፣ ያኔ ምክንያታዊ አይደለም ለሚለው ጥያቄ መልስ መስጠት በብዙ ሁኔታዎች በጣም ከባድ ነው።

ያለምንም ጥርጥር, ለተነሳው ጥያቄ መልስ ሲሰጥ, የትኞቹ ቁጥሮች ምክንያታዊ እንዳልሆኑ ማወቅ በጣም ጠቃሚ ነው. ከምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች ፍቺ ስንመለከት ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች ምክንያታዊ ቁጥሮች አይደሉም። ስለዚህ፣ ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች የሚከተሉት አይደሉም

• ውስን እና ማለቂያ የሌለው ወቅታዊ የአስርዮሽ ክፍልፋዮች።

እንዲሁም፣ ማንኛውም የምክንያታዊ ቁጥሮች ቅንብር በሂሳብ ስራዎች ምልክቶች (+, -, ·, :) የተገናኘ ምክንያታዊ ያልሆነ ቁጥር አይደለም. ምክንያቱም የሁለት ምክንያታዊ ቁጥሮች ድምር፣ ልዩነት፣ ምርት እና ጥቅስ ምክንያታዊ ቁጥር ነው። ለምሳሌ ፣ የመግለጫዎች እሴቶች እና ምክንያታዊ ቁጥሮች ናቸው። እዚህ ላይ እንደዚህ ያሉ አገላለጾች ከምክንያታዊ ቁጥሮች መካከል አንድ ነጠላ ምክንያታዊ ያልሆነ ቁጥር ካካተቱ የጠቅላላው አገላለጽ ዋጋ ምክንያታዊ ያልሆነ ቁጥር እንደሚሆን እናስተውላለን። ለምሳሌ, በአገላለጹ ውስጥ ቁጥሩ ምክንያታዊ ያልሆነ ነው, እና የተቀሩት ቁጥሮች ምክንያታዊ ናቸው, ስለዚህም ምክንያታዊ ያልሆነ ቁጥር ነው. ምክንያታዊ ቁጥር ቢሆን ኖሮ የቁጥሩ ምክንያታዊነት ይከተላል, ግን ምክንያታዊ አይደለም.

ቁጥሩን የሚገልጸው አገላለጽ ብዙ ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች፣ ሥር ምልክቶች፣ ሎጋሪዝም፣ ትሪግኖሜትሪክ ተግባራትቁጥሮች π፣ e ወዘተ.፣ ከዚያም በእያንዳንዱ ውስጥ የተሰጠውን ቁጥር ምክንያታዊነት ወይም ምክንያታዊነት ማረጋገጥ ያስፈልጋል። የተወሰነ ጉዳይ. ይሁን እንጂ ጥቅም ላይ ሊውሉ የሚችሉ በርካታ ውጤቶች ተገኝተዋል. ዋና ዋናዎቹን እንዘርዝር።

የ kth የኢንቲጀር ሥር ምክንያታዊ ቁጥር እንደሆነ የተረጋገጠው ከሥሩ ስር ያለው ቁጥር የሌላ ኢንቲጀር ኃይል ከሆነ ብቻ ነው ። ለምሳሌ ቁጥሮቹ እና ምክንያታዊ ያልሆኑ ናቸው, ምክንያቱም ካሬው 7 የሆነ ኢንቲጀር ስለሌለ እና ወደ አምስተኛው ስልጣን ማሳደግ 15 ቁጥርን ይሰጣል. እና ቁጥሮች ምክንያታዊ አይደሉም, ጀምሮ እና.

ሎጋሪዝምን በተመለከተ አንዳንድ ጊዜ የግጭት ዘዴን በመጠቀም ምክንያታዊነታቸውን ማረጋገጥ ይቻላል. እንደ ምሳሌ፣ ሎግ 2 3 ምክንያታዊ ያልሆነ ቁጥር መሆኑን እናረጋግጥ።

ሎግ 2 3 ምክንያታዊ ቁጥር እንጂ ምክንያታዊ ያልሆነ ቁጥር እንደሆነ እናስብ፣ ማለትም፣ እንደ ተራ ክፍልፋይ m/n ሊወከል ይችላል። እና የሚከተለውን የእኩልነት ሰንሰለት ለመጻፍ ፍቀድ. በግራ በኩል ስለሆነ የመጨረሻው እኩልነት የማይቻል ነው ኢተጋማሽ ቁጥር, እና በቀኝ በኩል - እንኳን. ስለዚህ ወደ ተቃርኖ ደርሰናል፣ ይህም ማለት የእኛ ግምት የተሳሳተ ሆኖ ተገኘ ማለት ነው፣ ይህ ደግሞ ምዝግብ ማስታወሻ 2 3 ምክንያታዊ ያልሆነ ቁጥር መሆኑን አረጋግጧል።

ለማንኛውም አዎንታዊ እና አንድ ያልሆነ ምክንያታዊ a ምክንያታዊ ያልሆነ ቁጥር መሆኑን ልብ ይበሉ። ለምሳሌ, እና ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች ናቸው.

እንዲሁም ለማንኛውም ዜሮ ያልሆነ ምክንያታዊ a ቁጥሩ ኢ-ምክንያታዊ እንደሆነ እና π z ለማንኛውም ዜሮ ያልሆነ ኢንቲጀር z ቁጥር ምክንያታዊ እንዳልሆነ ተረጋግጧል። ለምሳሌ, ቁጥሮች ምክንያታዊ አይደሉም.

ኢ-ምክንያታዊ ቁጥሮች እንዲሁም ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት sin፣ cos፣ tg እና ctg ለማንኛውም ምክንያታዊ እና ዜሮ ያልሆነ የመከራከሪያ እሴት ናቸው። ለምሳሌ፣ sin1፣ tan(-4)፣ cos5,7 ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች ናቸው።

ሌሎች የተረጋገጡ ውጤቶች አሉ, ግን እራሳችንን ቀደም ብለን በተዘረዘሩት ላይ እንገድባለን. በተጨማሪም ከላይ የተገለጹትን ውጤቶች ሲያረጋግጡ, ከ ጋር የተያያዘው ጽንሰ-ሐሳብ ሊባል ይገባል አልጀብራ ቁጥሮችእና ተሻጋሪ ቁጥሮች.

በማጠቃለያው, የተሰጡትን ቁጥሮች ምክንያታዊነት የጎደለው ነገርን በተመለከተ በችኮላ መደምደሚያ መስጠት እንደሌለብን እናስተውላለን. ለምሳሌ፡- ኢ-ምክንያታዊ ቁጥር ወደ ኢ-ምክንያታዊ ዲግሪ ኢ-ምክንያታዊ ቁጥር እንደሆነ ግልጽ ነው። ይሁን እንጂ ይህ ሁልጊዜ አይደለም. የተገለፀውን እውነታ ለማረጋገጥ, ዲግሪውን እናቀርባለን. እንደሚታወቀው - ምክንያታዊ ያልሆነ ቁጥር ነው, እና እንደዚሁም ተረጋግጧል - ምክንያታዊ ያልሆነ ቁጥር ነው, ግን ምክንያታዊ ቁጥር ነው. እንዲሁም ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች፣ ድምር፣ ልዩነት፣ ምርት እና ጥቅማቸው ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች ምሳሌዎችን መስጠት ይችላሉ። ከዚህም በላይ የቁጥሮች π+e፣ π-e፣ πe፣ π π, π e እና ሌሎች የቁጥሮች ምክንያታዊነት ወይም ምክንያታዊነት ገና አልተረጋገጠም።

መጽሃፍ ቅዱስ።

• ሒሳብ. 6 ኛ ክፍል: ትምህርታዊ. ለአጠቃላይ ትምህርት ተቋማት / [N. ያ. ቪሌንኪን እና ሌሎች]. - 22ኛ እትም, ራእ. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: የታመመ. ISBN 978-5-346-00897-2.
• አልጀብራ፡የመማሪያ መጽሐፍ ለ 8 ኛ ክፍል. አጠቃላይ ትምህርት ተቋማት / [ዩ. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; የተስተካከለው በ ኤስ.ኤ. ቴላኮቭስኪ. - 16 ኛ እትም. - ኤም.: ትምህርት, 2008. - 271 p. የታመመ። - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V.A.፣ Mordkovich A.G.ሒሳብ (የቴክኒክ ትምህርት ቤቶች ለሚገቡ ሰዎች መመሪያ): Proc. አበል.- M.; ከፍ ያለ ትምህርት ቤት, 1984.-351 p., የታመመ.