1 и 2 прекрасни граници се примери за решенија. Првата извонредна граница: теорија и примери

Постојат неколку извонредни граници, но најпознати се првата и втората извонредна граница. Впечатливото нешто кај овие граници е што тие се широко користени и со нивна помош може да се најдат други граници кои се среќаваат во бројни проблеми. Ова е она што ќе го направиме во практичниот дел од оваа лекција. За да се решат проблемите со нивно намалување на првата или втората извонредна граница, нема потреба да се откриваат несигурностите содржани во нив, бидејќи вредностите на овие граници одамна се заклучени од големи математичари.

Првата извонредна границасе нарекува граница на односот на синусот на бесконечно мал лак на истиот лак, изразена во радијанска мерка:

Ајде да продолжиме кон решавање на проблемите на првата извонредна граница. Забелешка: ако има тригонометриска функција под знакот за граница, ова е речиси сигурен знак дека овој израз може да се сведе на првата забележителна граница.

Пример 1.Најдете ја границата.

Решение. Наместо тоа, замена xнула води до неизвесност:

.

Именителот е синус, затоа изразот може да се доведе до првата забележителна граница. Да ја започнеме трансформацијата:

.

Именителот е синус од три X, но броителот има само еден X, што значи дека треба да добиете три X во броителот. За што? Да се ​​воведе 3 x = аи добијте го изразот.

И доаѓаме до варијација на првата извонредна граница:

затоа што не е важно која буква (променлива) во оваа формула стои наместо X.

Го множиме X со три и веднаш делиме:

.

Во согласност со првата забележителна граница, го заменуваме фракциониот израз:

Сега конечно можеме да го решиме овој лимит:

.

Пример 2.Најдете ја границата.

Решение. Директната замена повторно води до неизвесност „нула поделена со нула“:

.

За да се добие првата забележителна граница, потребно е x под синусниот знак во броителот и само x во именителот да имаат ист коефициент. Нека овој коефициент е еднаков на 2. За да го направите ова, замислете го тековниот коефициент за x како подолу, извршувајќи операции со дропки, добиваме:

.

Пример 3.Најдете ја границата.

Решение. При замена, повторно ја добиваме неизвесноста „нула поделена со нула“:

.

Веројатно веќе разбирате дека од оригиналниот израз можете да ја добиете првата прекрасна граница помножена со првата прекрасна граница. За да го направите ова, квадратите на x во броителот и синусот во именителот ги разложуваме на идентични фактори, а за да ги добиеме истите коефициенти за x и синусот, го делиме x во броителот со 3 и веднаш се множиме со 3. Добиваме:

.

Пример 4.Најдете ја границата.

Решение. Уште еднаш ја добиваме неизвесноста „нула поделена со нула“:

.

Можеме да го добиеме односот на првите две извонредни граници. И броителот и именителот ги делиме со x. Потоа, така што коефициентите за синусите и ксовите се совпаѓаат, го множиме горниот x со 2 и веднаш го делиме со 2, а долниот x го множиме со 3 и веднаш го делиме со 3. Добиваме:

Пример 5.Најдете ја границата.

Решение. И повторно неизвесноста на „нула поделена со нула“:

Од тригонометријата се сеќаваме дека тангентата е односот на синус и косинус, а косинус од нула е еднаков на еден. Ги извршуваме трансформациите и добиваме:

.

Пример 6.Најдете ја границата.

Решение. Тригонометриската функција под знакот на граница повторно сугерира употреба на првата извонредна граница. Го претставуваме како однос на синус и косинус.

Од горната статија можете да дознаете која е границата и со што се јаде - ова е МНОГУ важно. Зошто? Можеби нема да разберете што се детерминанти и успешно да ги решите, можеби воопшто да не разберете што е извод и да ги најдете со „А“. Но, ако не разбирате што е ограничување, тогаш ќе биде тешко да се решаваат практични задачи. Исто така, би било добра идеја да се запознаете со примероците на решенија и моите препораки за дизајн. Сите информации се претставени во едноставна и достапна форма.

И за целите на оваа лекција ќе ни требаат следниве наставни материјали: Прекрасни границиИ Тригонометриски формули. Тие можат да се најдат на страницата. Најдобро е да ги испечатите прирачниците - тоа е многу поудобно, а освен тоа, често ќе треба да се повикувате на нив офлајн.

Што е толку посебно за извонредните граници? Извонредната работа за овие граници е што тие ги докажаа најголемите умови на познатите математичари, а благодарните потомци не мора да страдаат од страшни граници со куп тригонометриски функции, логаритми, моќи. Односно, при наоѓање на границите ќе користиме готови резултати кои се докажани теоретски.

Постојат неколку прекрасни граници, но во пракса, во 95% од случаите, вонредните студенти имаат две прекрасни граници: Првата прекрасна граница, Втора прекрасна граница. Треба да се напомене дека ова се историски утврдени имиња и кога, на пример, зборуваат за „првата извонредна граница“, тие подразбираат со ова многу специфична работа, а не некоја случајна граница земена од таванот.

Првата прекрасна граница

Размислете за следнава граница: (наместо мајчината буква „тој“ ќе ја користам грчката буква „алфа“, ова е попогодно од гледна точка на презентирање на материјалот).

Според нашето правило за наоѓање граници (види статија Граници. Примери на решенија) се обидуваме да ја замениме нулата во функцијата: во броителот добиваме нула (синус на нула е нула), а во именителот, очигледно, има и нула. Така, се соочуваме со неизвесност на формата, која, за среќа, нема потреба да се обелоденува. Во текот на математичката анализа се докажува дека:

Овој математички факт се нарекува Првата прекрасна граница. Нема да дадам аналитички доказ за границата, но ќе го разгледаме неговото геометриско значење во лекцијата за бесконечно мали функции.

Често во практични задачи функциите може да се подредат поинаку, тоа не менува ништо:

- истата прва прекрасна граница.

Но, не можете сами да ги преуредите броителот и именителот! Ако е дадена граница во формата, тогаш таа мора да се реши во истата форма, без да се преуреди ништо.

Во пракса, не само променлива, туку и елементарна функција или сложена функција може да дејствува како параметар. Единствено важно е дека има тенденција на нула.

Примери:
, , ,

Еве , , , , и сè е добро - првата прекрасна граница е применлива.

Но, следниот запис е ерес:

Зошто? Бидејќи полиномот не се стреми кон нула, тој се стреми кон пет.

Патем, брзо прашање: која е границата? ? Одговорот може да се најде на крајот од лекцијата.

Во пракса, не е сè така мазно; скоро никогаш на студентот не му се нуди да реши бесплатен лимит и да добие лесен пропуст. Хммм... Ги пишувам овие редови и ми падна на ум една многу важна мисла - на крајот на краиштата, подобро е да се сеќавате на „бесплатни“ математички дефиниции и формули напамет, ова може да обезбеди непроценлива помош при тестот, кога прашањето ќе да се одлучи помеѓу „два“ и „три“, а наставникот одлучува да му постави на ученикот едноставно прашање или да му понуди да реши едноставен пример („можеби тој (и) сè уште знае што?!“).

Ајде да продолжиме да разгледуваме практични примери:

Пример 1

Најдете ја границата

Ако забележиме синус во границата, тогаш тоа веднаш треба да не наведе да размислиме за можноста за примена на првата забележителна граница.

Прво, се обидуваме да го замениме 0 во изразот под знакот за граница (ова го правиме ментално или во нацрт):

Значи имаме неизвесност за формата задолжително наведетепри донесување одлука. Изразот под знакот за граница е сличен на првата прекрасна граница, но тоа не е токму тоа, тој е под синус, туку во именителот.

Во такви случаи, треба сами да ја организираме првата извонредна граница, користејќи вештачка техника. Линијата на расудување може да биде како што следува: „под синусот што го имаме , што значи дека треба да го внесеме и именителот“.
И ова е направено многу едноставно:

Односно, именителот во овој случај вештачки се множи со 7 и се дели со истите седум. Сега нашата снимка доби позната форма.
Кога задачата е изготвена рачно, препорачливо е да се означи првата извонредна граница со едноставен молив:

Што се случи? Всушност, нашиот заокружен израз се претвори во единица и исчезна во делото:

Сега останува само да се ослободиме од трикатната фракција:

Кој го заборавил поедноставувањето на дропките на повеќе нивоа, ве молиме освежете го материјалот во референтната книга Жешки формули за училишен курс по математика .

Подготвени. Конечниот одговор:

Ако не сакате да користите ознаки со молив, тогаш решението може да се напише вака:

“

Да ја искористиме првата прекрасна граница

“

Пример 2

Најдете ја границата

Повторно гледаме дропка и синус во границата. Ајде да се обидеме да ја замениме нулата со броителот и именителот:

Навистина, имаме неизвесност и затоа треба да се обидеме да ја организираме првата прекрасна граница. На лекцијата Граници. Примери на решенијаго разгледавме правилото дека кога имаме несигурност треба да ги факторизираме броителот и именителот. Овде е истото, ние ќе ги претставиме степените како производ (множители):

Слично на претходниот пример, цртаме молив околу извонредните граници (тука има две од нив) и укажуваме дека тие се склони кон единство:

Всушност, одговорот е подготвен:

Во следните примери, нема да правам уметност во Paint, мислам како правилно да нацртам решение во тетратка - веќе разбирате.

Пример 3

Најдете ја границата

Ја заменуваме нулата во изразот под знакот за граница:

Добиена е неизвесност што треба да се открие. Ако има тангента во границата, тогаш таа речиси секогаш се претвора во синус и косинус користејќи ја добро познатата тригонометриска формула (патем, тие го прават приближно истото со котангента, види методолошки материјал Топла тригонометриски формулиНа страницата Математички формули, табели и референтни материјали).

Во овој случај:

Косинусот од нула е еднаков на еден и лесно е да се ослободите од него (не заборавајте да означите дека се стреми кон еден):

Така, ако во границата косинусот е МНОЖЕВНИК, тогаш, грубо кажано, треба да се претвори во единица, која исчезнува во производот.

Овде сè излезе поедноставно, без никакви множење и делење. Првата извонредна граница исто така се претвора во една и исчезнува во производот:

Како резултат на тоа, се добива бесконечност, и тоа се случува.

Пример 4

Најдете ја границата

Ајде да се обидеме да ја замениме нулата со броителот и именителот:

Неизвесноста се добива (косинус од нула, како што се сеќаваме, е еднаков на еден)

Ја користиме тригонометриската формула. Забележете! Поради некоја причина, ограничувањата за користење на оваа формула се многу чести.

Дозволете ни да ги преместиме константните фактори надвор од иконата за ограничување:

Ајде да го организираме првиот прекрасен лимит:

Овде имаме само една извонредна граница, која се претвора во една и исчезнува во производот:

Ајде да се ослободиме од трикатната структура:

Границата е всушност решена, укажуваме дека преостанатиот синус се стреми кон нула:

Пример 5

Најдете ја границата

Овој пример е покомплициран, обидете се сами да го сфатите:

Некои ограничувања може да се намалат на првата извонредна граница со промена на променлива, можете да прочитате за ова малку подоцна во статијата Методи за решавање на лимити.

Втора прекрасна граница

Во теоријата на математичката анализа е докажано дека:

Овој факт се нарекува втора прекрасна граница.

Референца: е ирационален број.

Параметарот може да биде не само променлива, туку и сложена функција. Единствено важно е дека се стреми кон бесконечност.

Пример 6

Најдете ја границата

Кога изразот под знакот за граница е во степен, ова е првиот знак дека треба да се обидете да ја примените втората прекрасна граница.

Но, прво, како и секогаш, се обидуваме да замениме бесконечно голем број во изразот, принципот со кој се прави тоа е дискутиран во лекцијата Граници. Примери на решенија.

Лесно е да се забележи дека кога основата на степенот е , а експонентот е , односно, постои несигурност на формата:

Оваа неизвесност е прецизно откриена со помош на втората извонредна граница. Но, како што често се случува, втората прекрасна граница не лежи на сребрен послужавник и треба вештачки да се организира. Може да резонирате на следниов начин: во овој пример параметарот е , што значи дека треба да се организираме и во индикаторот. За да го направите ова, ја подигнуваме основата на моќ, и за да не се промени изразот, ја подигнуваме на моќ:

Кога задачата е завршена со рака, означуваме со молив:

Скоро се е готово, страшната диплома се претвори во убаво писмо:

Во овој случај, ја преместуваме самата икона за ограничување на индикаторот:

Пример 7

Најдете ја границата

Внимание! Овој тип на ограничување се случува многу често, ве молиме проучете го овој пример многу внимателно.

Ајде да се обидеме да замениме бесконечно голем број во изразот под знакот за граница:

Резултатот е неизвесност. Но, втората извонредна граница се однесува на несигурноста на формата. Што да се прави? Треба да ја конвертираме основата на степенот. Расудуваме вака: во именителот имаме , што значи дека и во броителот треба да се организираме.

Сега, со мирна душа, да продолжиме да размислуваме прекрасни граници.
изгледа како .

Наместо променливата x, можат да бидат присутни различни функции, главната работа е што тие имаат тенденција на 0.

Неопходно е да се пресмета границата

Како што можете да видите, оваа граница е многу слична на првата извонредна, но тоа не е сосема точно. Во принцип, ако забележите грев во границата, тогаш веднаш треба да размислите дали е можно да се користи првата извонредна граница.

Според нашето правило бр. 1, заменуваме нула наместо x:

Добиваме неизвесност.

Сега да се обидеме сами да ја организираме првата прекрасна граница. За да го направите ова, ајде да направиме едноставна комбинација:

Значи, ги организираме броителот и именителот за да означат 7x. Сега веќе се појави познатата извонредна граница. Препорачливо е да се истакне кога се одлучува:

Ајде да го замениме решението со првиот извонреден пример и да добиеме:

Поедноставување на дропката:

Одговор: 7/3.

Како што можете да видите, сè е многу едноставно.

Изгледа како , каде што e = 2,718281828... е ирационален број.

Може да бидат присутни различни функции наместо променливата x, главната работа е што тие имаат тенденција да .

Неопходно е да се пресмета границата

Овде гледаме присуство на степен под знакот на граница, што значи дека е можно да се користи втора извонредна граница.

Како и секогаш, ќе го користиме правилото бр. 1 - замени x наместо:

Се гледа дека на x основата на степенот е , а експонентот е 4x > , т.е. добиваме несигурност на формата:

Ајде да ја искористиме втората прекрасна граница за да ја откриеме нашата неизвесност, но прво треба да ја организираме. Како што можете да видите, треба да постигнеме присуство во индикаторот, за што ја подигнуваме основата на јачина од 3x, а во исто време на моќност од 1/3x, за да не се промени изразот:

Не заборавајте да ја истакнете нашата прекрасна граница:

Тоа е она што тие навистина се прекрасни граници!
Ако сè уште имате какви било прашања за првата и втората прекрасна граница, тогаш слободно прашајте ги во коментар.
Ќе одговориме на сите колку што е можно повеќе.

Можете исто така да работите со наставник на оваа тема.
Со задоволство ви нудиме услуги за избор на квалификуван учител во вашиот град. Нашите партнери брзо ќе изберат добар учител за вас под поволни услови.

Немате доволно информации? - Ти можеш !

Можете да пишувате математички пресметки во тетратки. Многу попријатно е да се пишува поединечно во тетратки со лого (http://www.blocnot.ru).

Првата извонредна граница е следнава еднаквост:

\почеток(равенка)\lim_(\алфа\до(0))\frac(\sin\алфа)(\алфа)=1 \крај (равенка)

Бидејќи за $\alpha\to(0)$ имаме $\sin\alpha\to(0)$, тие велат дека првата извонредна граница открива несигурност на формата $\frac(0)(0)$. Општо земено, во формулата (1), наместо променливата $\alpha$, секој израз може да се стави под синусниот знак и во именителот, се додека се исполнети два услови:

1. Изразите под синусниот знак и во именителот истовремено тежнеат кон нула, т.е. постои несигурност на формата $\frac(0)(0)$.
2. Изразите под синусниот знак и во именителот се исти.

Често се користат и последиците од првата извонредна граница:

\почеток(равенка) \lim_(\алфа\до(0))\frac(\tg\алфа)(\алфа)=1 \крај (равенка) \почеток(равенка) \lim_(\алфа\до(0) )\frac(\arcsin\алфа)(\алфа)=1 \крај(равенка) \почеток(равенка) \lim_(\алфа\до(0))\frac(\arctg\алфа)(\алфа)=1 \крај (равенка)

Единаесет примери се решени на оваа страница. Примерот бр. 1 е посветен на докажувањето на формулите (2)-(4). Примерите бр. 2, бр. 3, бр. 4 и бр. 5 содржат решенија со детални коментари. Примерите бр. 6-10 содржат решенија без практично никакви коментари, бидејќи во претходните примери беа дадени детални објаснувања. Решението користи некои тригонометриски формули што може да се најдат.

Дозволете ми да забележам дека присуството на тригонометриски функции заедно со неизвесноста $\frac (0) (0)$ не мора да значи примена на првата извонредна граница. Понекогаш едноставни тригонометриски трансформации се доволни - на пример, види.

Пример бр. 1

Докажете дека $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\алфа)=1$, $\lim_(\алфа\до(0))\frac(\arctg\алфа)(\алфа)=1$.

а) Бидејќи $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, тогаш:

$$ \lim_(\алфа\до(0))\frac(\tg(\алфа))(\алфа)=\лево|\frac(0)(0)\десно| =\lim_(\алфа\до(0))\frac(\sin(\алфа))(\алфа\cos(\алфа)) $$

Бидејќи $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ и $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$, Тоа:

$$ \lim_(\алфа\до(0))\frac(\sin(\алфа))(\алфа\cos(\алфа)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\алфа))(\алфа))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

б) Да ја направиме промената $\alpha=\sin(y)$. Бидејќи $\sin(0)=0$, тогаш од условот $\alpha\to(0)$ имаме $y\to(0)$. Дополнително, постои соседство од нула во кое $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, значи:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\десно| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Еднаквоста $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ е докажана.

в) Да ја направиме замената $\alpha=\tg(y)$. Бидејќи $\tg(0)=0$, тогаш условите $\alpha\to(0)$ и $y\to(0)$ се еквивалентни. Покрај тоа, постои соседство на нула во кое $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, според тоа, врз основа на резултатите од точката а), ќе имаме:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\десно| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Еднаквоста $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ е докажана.

Равенките а), б), в) често се користат заедно со првата извонредна граница.

Пример бр. 2

Пресметајте ја границата $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\десно))(\frac(x^2-4) ( x + 7)) $.

Бидејќи $\lim_(x\to (2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ и $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, т.е. а и броителот и именителот на дропката истовремено тежнеат кон нула, тогаш овде имаме работа со несигурност од формата $\frac(0)(0)$, т.е. направено. Покрај тоа, јасно е дека изразите под синусниот знак и во именителот се совпаѓаат (т.е. и е задоволен):

Значи, двата услови наведени на почетокот на страницата се исполнети. Од ова произлегува дека формулата е применлива, т.е. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\десно))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.

Одговори: $\lim_(x\to (2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\десно))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.

Пример бр. 3

Најдете $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.

Бидејќи $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ и $\lim_(x\to(0))x=0$, тогаш имаме работа со неизвесност од формата $\frac (0)(0)$, т.е. направено. Меѓутоа, изразите под синусниот знак и во именителот не се совпаѓаат. Овде треба да го прилагодите изразот во именителот на саканата форма. Ни треба изразот $9x$ да биде во именителот, тогаш тој ќе стане вистинит. Во суштина, ни недостасува фактор од 9$ во именителот, што не е толку тешко да се внесе - само помножете го изразот во именителот со 9$. Секако, за да се компензира множењето со 9$, ќе мора веднаш да се подели со 9$:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\лево|\frac(0)(0)\десно| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$

Сега изразите во именителот и под синусниот знак се совпаѓаат. Двата услови за лимитот $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ се задоволени. Затоа, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. А ова значи дека:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

Одговори: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

Пример бр. 4

Најдете $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.

Бидејќи $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ и $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, овде имаме работа со несигурност на формата $\frac(0)(0)$. Сепак, формата на првата извонредна граница е нарушена. Броител што содржи $\sin(5x)$ бара именител од $5x$. Во оваа ситуација, најлесниот начин е да се подели броителот со $5x$ и веднаш да се помножи со $5x$. Дополнително, ќе извршиме слична операција со именителот, множејќи и делејќи $\tg(8x)$ со $8x$:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\лево|\frac(0)(0)\десно| =\lim_(x\до (0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

Намалувајќи за $x$ и земајќи ја константата $\frac(5)(8)$ надвор од знакот за ограничување, добиваме:

$$ \lim_(x\до (0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

Забележете дека $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ целосно ги задоволува барањата за првата извонредна граница. За да го пронајдете $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ следнава формула е применлива:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Одговори: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

Пример бр. 5

Најдете $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.

Бидејќи $\lim_(x\to (0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (запомнете дека $\cos(0)=1$) и $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, тогаш имаме работа со несигурност на формата $\frac(0)(0)$. Меѓутоа, за да ја примените првата извонредна граница, треба да се ослободите од косинусот во броителот, преминувајќи на синусите (за потоа да ја примените формулата) или тангентите (за потоа да ја примените формулата). Ова може да се направи со следнава трансформација:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\десно)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\десно)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Да се ​​вратиме на лимитот:

$$ \lim_(x\до (0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\лево|\frac(0)(0)\десно| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\десно) $$

Дропката $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ е веќе блиску до формата потребна за првата извонредна граница. Ајде да работиме малку со дропката $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, прилагодувајќи ја на првата забележителна граница (забележете дека изразите во броителот и под синусот мора да се совпаѓаат):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\десно)^2$$

Да се ​​вратиме на границата за која станува збор:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\десно) =\lim_(x\to(0 ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\десно)^2\десно)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\десно)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$

Одговори: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

Пример бр. 6

Најдете го лимитот $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.

Бидејќи $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ и $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, тогаш имаме работа со неизвесност $\frac(0)(0)$. Дозволете ни да го откриеме со помош на првата извонредна граница. За да го направите ова, да преминеме од косинус на синус. Бидејќи $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, тогаш:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

Премин на синусите во дадената граница, ќе имаме:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\лево|\frac(0)(0)\десно| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))(3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\лево(\ frac(\sin(3x))(3x)\десно)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\десно)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\десно)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\десно)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Одговори: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

Пример бр. 7

Пресметајте го лимитот $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ предмет на $\alpha\neq \ бета$.

Детални објаснувања беа дадени претходно, но овде едноставно забележуваме дека повторно постои неизвесност $\frac(0)(0)$. Ајде да преминеме од косинус на синус користејќи ја формулата

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

Користејќи ја оваа формула, добиваме:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\алфа(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\лево|\frac(0)( 0)\десно| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\алфа(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\алфа(x)-\ бета(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\алфа+\бета )(2)\десно)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\алфа-\бета)(2)\десно))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\алфа+\бета)(2)\десно))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\алфа-\бета)(2)\десно))(x)\десно)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x \cdot\frac(\алфа+\бета)(2)\десно))(x\cdot\frac(\алфа+\бета)(2))\cdot\frac(\алфа+\бета)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\алфа-\бета)(2)\десно))(x\cdot\frac(\алфа-\бета)(2))\cdot\frac(\алфа- \бета)(2)\десно)=\\ =-\frac((\алфа+\бета)\cdot(\алфа-\бета))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\алфа+\бета)(2)\десно))(x\cdot\frac(\алфа+\бета)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\алфа-\бета)(2)\десно))(x\cdot\frac(\алфа-\бета)(2)) =-\frac(\ алфа^2-\бета^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\бета^2-\алфа^2)(2). $$

Одговори: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\алфа(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ алфа^2)(2)$.

Пример бр. 8

Најдете ја границата $\lim_(x\to (0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.

Бидејќи $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (запомнете дека $\sin(0)=\tg(0)=0$) и $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, тогаш овде имаме работа со несигурност на формата $\frac(0)(0)$. Ајде да го разложиме на следниов начин:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\лево|\frac(0)(0)\десно| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\десно))(x^3) =\lim_(x\до(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\десно))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\десно)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\десно) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$

Одговори: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

Пример бр. 9

Најдете го лимитот $\lim_(x\до (3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.

Бидејќи $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ и $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, тогаш постои несигурност на формата $\frac(0)(0)$. Пред да продолжите со нејзиното проширување, погодно е да се изврши промена на променливата на таков начин што новата променлива ќе се стреми кон нула (забележете дека во формулите променливата $\alpha \до 0$). Најлесен начин е да се воведе променливата $t=x-3$. Сепак, заради погодност за понатамошни трансформации (оваа придобивка може да се види во текот на решението подолу), вреди да се направи следната замена: $t=\frac(x-3)(2)$. Забележувам дека и двете замени се применливи во овој случај, само што втората замена ќе ви овозможи помалку да работите со фракции. Од $x\to(3)$, потоа $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to (3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\лево|\frac (0)(0)\десно| =\лево|\почеток(порамнет)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\до(0)\крај (порамнет)\десно| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ до (0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\десно) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Одговори: $\lim_(x\to (3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

Пример бр. 10

Најдете ја границата $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\десно)^ 2) $.

Уште еднаш се занимаваме со неизвесност $\frac(0)(0)$. Пред да продолжите со нејзиното проширување, погодно е да се направи промена на променливата на таков начин што новата променлива ќе се стреми кон нула (забележете дека во формулите променливата е $\alpha\to(0)$). Најлесен начин е да се воведе променливата $t=\frac(\pi)(2)-x$. Бидејќи $x\to\frac(\pi)(2)$, тогаш $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\десно)^2) =\лево|\frac(0)(0)\десно| =\лево|\почеток(порамнет)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\до(0)\крај (порамнет)\десно| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\десно))(t^2) =\lim_(t\to(0 ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\десно)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

Одговори: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\десно)^2) =\frac(1)(2)$.

Пример бр. 11

Најдете ги границите $\lim_(x\to\frac(\pi)(2)\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2 \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

Во овој случај, не мора да ја користиме првата прекрасна граница. Ве молиме имајте предвид дека и првата и втората граница содржат само тригонометриски функции и броеви. Често во примери од овој вид е можно да се поедностави изразот лоциран под знакот за граница. Притоа, по претходно споменатото поедноставување и намалување на некои фактори, неизвесноста исчезнува. Овој пример го дадов само со една цел: да покажам дека присуството на тригонометриски функции под знакот за граница не мора да значи употреба на првата забележителна граница.

Бидејќи $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (запомнете дека $\sin\frac(\pi)(2)=1$) и $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (да ве потсетам дека $\cos\frac(\pi)(2)=0$), тогаш имаме справување со несигурноста на формата $\frac(0)(0)$. Сепак, тоа не значи дека ќе треба да ја искористиме првата прекрасна граница. За да се открие неизвесноста, доволно е да се земе предвид дека $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\лево|\frac(0)(0)\десно| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

Слично решение има и во книгата за решенија на Демидович (бр. 475). Што се однесува до втората граница, како и во претходните примери во овој дел, имаме несигурност на формата $\frac(0)(0)$. Зошто се појавува? Настанува затоа што $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ и $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Ги користиме овие вредности за да ги трансформираме изразите во броителот и именителот. Целта на нашите акции е да го запишеме збирот во броителот и именителот како производ. Патем, често во сличен тип е погодно да се смени променлива, направена на таков начин што новата променлива се стреми кон нула (види, на пример, примери бр. 9 или бр. 10 на оваа страница). Меѓутоа, во овој пример нема смисла да се замени, иако ако сакате, заменувањето на променливата $t=x-\frac(2\pi)(3)$ не е тешко да се имплементира.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ до\frac(2\pi)(3)\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\десно )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\лево(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\десно))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \лево(x-\frac(2\pi)(3)\десно))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\лево(x-\frac(2\pi)(3)\десно))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2 \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\десно)\cdot\left( -\frac(1)(2)\десно)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$

Како што можете да видите, не моравме да ја примениме првата прекрасна граница. Се разбира, можете да го направите ова ако сакате (видете ја белешката подолу), но тоа не е неопходно.

Кое е решението со користење на првата извонредна граница? покаже/скриј

Користејќи ја првата извонредна граница, добиваме:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\десно))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ десно))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\десно) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\десно)\cdot\left(-\frac(1)(2)\десно)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

Одговори: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3)\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3)) $.

Доказ:

Прво да ја докажеме теоремата за случајот на низата

Според биномната формула на Њутн:

Под претпоставка дека ќе добиеме

Од оваа еднаквост (1) произлегува дека како што се зголемува n, се зголемува и бројот на позитивни членови на десната страна. Покрај тоа, како што се зголемува n, бројот се намалува, па и вредностите се зголемуваат. Затоа низата се зголемува, и (2)*Покажуваме дека е ограничен. Секоја заграда од десната страна на еднаквоста заменете ја со една, десната страна ќе се зголеми и ќе ја добиеме неравенката

Да ја зајакнеме добиената неравенка, да го замениме 3,4,5, ..., стои во именителот на дропките, со бројот 2: Го наоѓаме збирот во загради користејќи ја формулата за збир на членовите на геометриска прогресија: Затоа (3)*

Значи, низата е ограничена одозгора, а неравенките (2) и (3) се задоволени: Затоа, врз основа на теоремата на Вајерштрас (критериум за конвергенција на низа), низата монотоно се зголемува и се ограничува, што значи дека има граница, означена со буквата е. Оние.

Знаејќи дека втората извонредна граница е вистинита за природните вредности на x, ја докажуваме втората забележителна граница за реалниот x, односно докажуваме дека . Да разгледаме два случаи:

1. Секоја вредност на x нека биде затворена помеѓу два позитивни цели броеви: , каде е целиот дел од x. => =>

Ако , тогаш Затоа, според границата Ние имаме

Врз основа на критериумот (за границата на средна функција) на постоење на граници

2. Нека . Ајде да ја направиме замената − x = t, тогаш

Од овие два случаи произлегува дека за вистински х.

Последици:

9 .) Споредба на бесконечно мали. Теоремата за замена на бесконечно малите со еквивалентни во границата и теоремата за главниот дел од бесконечно малите.

Нека функциите a( x) и б ( x) – б.м. на x ® x 0 .

ДЕФИНИЦИИ.

1)а( x) повикани бесконечно мал повисок ред од б (x) Ако

Запиши: а( x) = о (б ( x)) .

2)а( x) Иб( x)се нарекуваат бесконечно малици од ист ред, Ако

каде што ЦÎℝ и В¹ 0 .

Запиши: а( x) = О(б( x)) .

3)а( x) Иб( x) се нарекуваат еквивалент , Ако

Запиши: а( x) ~ б( x).

4)а( x) наречен бесконечно мало од ред k релативна
апсолутно бесконечно малоб( x), ако е бесконечно малоа ( x)И(б( x)) к имаат ист редослед, т.е. Ако

каде што ЦÎℝ и В¹ 0 .

ТЕОРЕМА 6 (за замена на бесконечно мали со еквивалентни).

Некаа ( x), б( x), а 1 ( x), б 1 ( x)– б.м. на x ® x 0 . Акоа ( x) ~ а 1 ( x), б( x) ~ b 1 ( x),

Тоа

Доказ: Нека ( x) ~ а 1 ( x), б( x) ~ b 1 ( x), Потоа

ТЕОРЕМА 7 (околу главниот дел од бесконечното мало).

Некаа ( x)Иб( x)– б.м. на x ® x 0 , иб( x)– б.м. повисок ред ода ( x).

= , a бидејќи b( x) – повисок ред од a( x), тогаш, т.е. од јасно е дека ( x) + б( x) ~ а ( x)

10) Континуитет на функција во точка (на јазикот на ипсилон-делта, геометриски граници) Едностран континуитет. Континуитет на интервал, на сегмент. Својства на континуирани функции.

1. Основни дефиниции

Нека ѓ(x) се дефинира во некое соседство на точката x 0 .

ДЕФИНИЦИЈА 1. Функција f(x) повикани континуирано во една точка x 0 ако еднаквоста е вистина

Белешки.

1) Врз основа на теорема 5 §3, еднаквоста (1) може да се запише во форма

Состојба (2) - дефиниција на континуитет на функција во точка во јазикот на еднострани граници.

2) Равенството (1) може да се запише и како:

Велат: „ако функцијата е континуирана во точка x 0, тогаш знакот на границата и функцијата може да се заменат."

ДЕФИНИЦИЈА 2 (на јазик е-д).

Функција f(x) повикани континуирано во една точка x 0 Ако"e>0 $d>0 такви, Што

ако xОУ( x 0 , г) (т.е. | x – x 0 | < d),

потоа ѓ(x)ÎU( ѓ(x 0), д) (т.е. | ѓ(x) – ѓ(x 0) | < e).

Нека x, x 0 Î Д(ѓ) (x 0 - фиксна, x -произволно)

Да означиме: Д x= x – x 0 – зголемување на аргументот

Д ѓ(x 0) = ѓ(x) – ѓ(x 0) – зголемување на функцијата во точкаx 0

ДЕФИНИЦИЈА 3 (геометриски).

Функција f(x) на повикани континуирано во една точка x 0 ако во овој момент бесконечно мало зголемување во аргументот одговара на бесконечно мало зголемување во функцијата, т.е.

Нека функцијата ѓ(x) се дефинира на интервалот [ x 0 ; x 0 + г) (на интервалот ( x 0 – d; x 0 ]).

ДЕФИНИЦИЈА. Функција f(x) повикани континуирано во една точка x 0 десно (лево ), ако еднаквоста е вистина

Очигледно е дека ѓ(x) е континуирано во точката x 0 Û ѓ(x) е континуирано во точката x 0 десно и лево.

ДЕФИНИЦИЈА. Функција f(x) повикани континуирано за интервал e ( а; б) ако е континуиран во секоја точка од овој интервал.

Функција f(x) се нарекува континуирано на сегментот [а; б] ако е континуирано на интервалот (а; б) и има еднонасочен континуитет на граничните точки(т.е. континуирано во точката ана десната страна, на точката б- лево).

11) Точки на прекин, нивна класификација

ДЕФИНИЦИЈА. Ако функцијата f(x) дефинирано во некое соседство на точката x 0 , но не е континуиран во овој момент, тогаш ѓ(x) наречена дисконтинуирана во точката x 0 , и самата поента x 0 наречена точка на прекин функции ѓ(x) .

Белешки.

1) ѓ(x) може да се дефинира во нецелосно соседство на точката x 0 .

Потоа разгледајте го соодветниот едностран континуитет на функцијата.

2) Од дефиницијата на Þ точка x 0 е точката на прекин на функцијата ѓ(x) во два случаи:

а) U( x 0 , г)О Д(ѓ) , но за ѓ(x) еднаквоста не важи

б) U * ( x 0 , г)О Д(ѓ) .

За елементарни функции, можен е само случајот б).

Нека x 0 – точка на прекин на функцијата ѓ(x) .

ДЕФИНИЦИЈА. Точка x 0 повикани точка на прекин Јас на некој начин ако функцијата f(x)има конечни граници лево и десно во оваа точка.

Ако овие граници се еднакви, тогаш точката x 0 повикани отстранлива точка на прекин , инаку - скок точка .

ДЕФИНИЦИЈА. Точка x 0 повикани точка на прекин II на некој начин ако барем една од едностраните граници на функцијата f(x)во овој момент е еднаков¥ или не постои.

12) Својства на функциите континуирани на интервал (теореми на Вајерштрас (без доказ) и Коши

Вајерштрасова теорема

Нека функцијата f(x) е континуирана на интервалот, тогаш

1)f(x)е ограничено на

2) f(x) ја зема својата најмала и најголема вредност на интервалот

Дефиниција: Вредноста на функцијата m=f се нарекува најмала ако m≤f(x) за било кој x€ D(f).

Вредноста на функцијата m=f се вели дека е најголема ако m≥f(x) за кој било x € D(f).

Функцијата може да ја земе најмалата/најголемата вредност на неколку точки од сегментот.

f(x 3)=f(x 4)=макс

Теорема на Коши.

Нека функцијата f(x) е непрекината на отсечката и x е бројот содржан помеѓу f(a) и f(b), тогаш има барем една точка x 0 € таква што f(x 0)= g