Со оглед на функцијата на дистрибуција, пронајдете ја веројатноста. Очекување на континуирана случајна променлива

4. Густина на веројатност на континуирана случајна променлива

Континуирана случајна променлива може да се специфицира со помош на функцијата за дистрибуција Ф(x) . Овој метод на доделување не е единствениот. Континуирана случајна променлива може да се специфицира и со помош на друга функција наречена густина на дистрибуција или густина на веројатност (понекогаш наречена диференцијална функција).

Дефиниција 4.1: Густина на дистрибуција на континуирана случајна променлива Xповикајте ја функцијата ѓ (x) - првиот извод на функцијата на дистрибуција Ф(x) :

ѓ ( x ) = Ф "( x ) .

Од оваа дефиниција произлегува дека функцијата на дистрибуција е антидериват на густината на распределбата. Забележете дека густината на распределбата не е применлива за да се опише распределбата на веројатноста на дискретна случајна променлива.

Веројатност континуирана случајна променлива да падне во даден интервал

Знаејќи ја густината на дистрибуцијата, можете да ја пресметате веројатноста дека континуираната случајна променлива ќе земе вредност што припаѓа на даден интервал.

Теорема: Веројатноста дека континуираната случајна променлива X ќе земе вредности кои припаѓаат на интервалот (а, б), е еднаков на одреден интеграл на густината на дистрибуцијата, земен во опсегот одапредб :

Доказ:Ние го користиме соодносот

П(а ≤ Xб) = Ф(б) – Ф(а).

Според формулата Њутн-Лајбниц,

Така,

.

Бидејќи П(а ≤ X б)= П(а X б) , тогаш конечно добиваме

.

Геометриски, добиениот резултат може да се толкува на следниов начин: веројатноста дека континуираната случајна променлива ќе земе вредност што припаѓа на интервалот (а, б), еднаква на плоштината на криволинеарен трапез ограничен со оскатаВол, крива на дистрибуцијаѓ(x) и директноx = аИx = б.

Коментар:Конкретно, ако ѓ(x) – функцијата е парна, а краевите на интервалот се симетрични во однос на потеклото, тогаш

.

Пример.Дадена е густината на веројатноста на случајна променлива X

Најдете ја веројатноста дека како резултат на тестот Xќе земе вредности кои припаѓаат на интервалот (0,5, 1).

Решение:Потребна веројатност

.

Наоѓање на функцијата на дистрибуција од позната густина на дистрибуција

Познавање на густината на дистрибуција ѓ(x) , можеме да ја најдеме функцијата за дистрибуција Ф(x) според формулата

.

Навистина, Ф(x) = П(X x) = П(-∞ X x) .

Оттука,

.

Така, Знаејќи ја густината на дистрибуцијата, можете да ја најдете функцијата на дистрибуција. Се разбира, од позната дистрибутивна функција може да се најде густината на дистрибуцијата, имено:

ѓ(x) = Ф"(x).

Пример.Најдете ја функцијата за распределба за дадената густина на дистрибуција:

Решение:Ајде да ја користиме формулата

Ако x ≤ а, Тоа ѓ(x) = 0 , оттука, Ф(x) = 0 . Ако а, тогаш f(x) = 1/(b-a),

оттука,

.

Ако x > б, Тоа

.

Значи, потребната дистрибутивна функција

Коментар:Ја добивме функцијата на дистрибуција на рамномерно распределена случајна променлива (види униформа дистрибуција).

Својства на густината на дистрибуцијата

Сопственост 1:Густината на дистрибуција е ненегативна функција:

ѓ ( x ) ≥ 0 .

Сопственост 2:Неправилниот интеграл на густината на дистрибуцијата во опсег од -∞ до ∞ е еднаков на единство:

.

Коментар:Се нарекува графиконот за густина на дистрибуција крива на дистрибуција.

Коментар:Густината на распределбата на континуирана случајна променлива се нарекува и закон за распределба.

Пример.Густината на распределбата на случајната променлива ја има следната форма:

Најдете константен параметар а.

Решение:Густината на дистрибуцијата мора да го задоволува условот, така што ќе бараме еднаквоста да биде исполнета

.

Од тука
. Да го најдеме неопределениот интеграл:

.

Да го пресметаме неправилниот интеграл:

Така, потребниот параметар

.

Веројатно значење на густината на дистрибуцијата

Нека Ф(x) – функција на дистрибуција на континуирана случајна променлива X. Според дефиницијата за густина на дистрибуција, ѓ(x) = Ф"(x) , или

Разлика Ф(x+∆x) -Ф(x) ја одредува веројатноста дека Xќе земе вредност која припаѓа на интервалот (x, x+∆х). Така, границата на соодносот на веројатност дека континуираната случајна променлива ќе земе вредност што припаѓа на интервалот (x, x+∆х), до должината на овој интервал (на ∆х→0) е еднаква на вредноста на густината на распределбата во точката X.

Значи функцијата ѓ(x) ја одредува густината на распределбата на веројатноста за секоја точка X. Од диференцијалното сметање се знае дека зголемувањето на функцијата е приближно еднакво на диференцијалот на функцијата, т.е.

Бидејќи Ф"(x) = ѓ(x) И dx = ∆ x, Тоа Ф(x+∆ x) - Ф(x) ≈ ѓ(x)∆ x.

Веројатното значење на оваа еднаквост е: веројатноста дека случајната променлива ќе земе вредност што припаѓа на интервалот (x, x+∆ x) е приближно еднаков на производот од густината на веројатноста во точката x и должината на интервалот ∆x.

Геометриски, овој резултат може да се толкува на следниов начин: веројатноста дека случајната променлива ќе земе вредност што припаѓа на интервалот (x, x+∆ x) е приближно еднаква на плоштината на правоаголник со основа ∆х и висинаѓ(x).

5. Типични распределби на дискретни случајни променливи

5.1. Бернули дистрибуција

Дефиниција 5.1: Случајна вредност X, земајќи две вредности 1 И 0 со веројатности („успех“) стри („неуспех“) q, повикан Бернулиевскаја:

, Каде к=0,1.

5.2. Биномна дистрибуција

Нека се произведува n независни испитувања, во секоја од кои настанот Аможе или не може да се појави. Веројатноста да се случи настан во сите испитувања е константна и еднаква стр(оттука и веројатноста да не се случи q = 1 - стр).

Размислете за случајната променлива X– број на појави на настанот Аво овие тестови. Случајна вредност Xзема вредности 0,1,2,… nсо веројатности пресметани со формулата Бернули: , Каде к = 0,1,2,… n.

Дефиниција 5.2: Биномсе нарекува распределба на веројатност одредена со формулата на Бернули.

Пример.Во целта се испукани три истрели, а веројатноста за погодување на секој истрел е 0,8. Размислете за случајна променлива X– број на удари на целта. Најдете ја неговата дистрибутивна серија.

Решение:Случајна вредност Xзема вредности 0,1,2,3 со веројатности пресметани со Бернулиевата формула, каде n = 3, стр = 0,8 (веројатност за удар), q = 1 - 0,8 = = 0,2 (веројатност за исчезнати).

Така, серијата на дистрибуција ја има следната форма:

Користете ја формулата на Бернули за големи вредности nприлично тешко, затоа, да се пресметаат соодветните веројатности, користете ја локалната теорема Лапласова, која ви овозможува приближно да ја пронајдете веројатноста за појава на настан точно кеднаш на секои nтестови, доколку бројот на тестови е доволно голем.

Локална Лапласова теорема: Ако веројатноста стрпојава на настан А
дека настанот А ќе се појави во nточно тестови кпати, приближно еднакви (колку попрецизно, толку повеќе n) вредност на функцијата
, Каде
, .

Забелешка 1:Табели кои ги содржат вредностите на функциите
, се дадени во Додаток 1, и
. Функција е густината на стандардната нормална дистрибуција (види нормална дистрибуција).

Пример:Најдете ја веројатноста дека настанот А точно ќе дојде 80 еднаш на секои 400 испитувања доколку веројатноста за појава на овој настан во секое испитување е еднаква на 0,2.

Решение:По услов n = 400, к = 80, стр = 0,2 , q = 0,8 . Ајде да ја пресметаме вредноста одредена од податоците за задачата x:
. Од табелата во Додаток 1 наоѓаме
. Тогаш потребната веројатност ќе биде:

Ако треба да ја пресметате веројатноста дека некој настан Аќе се појави во nтестови не помалку к 1 еднаш и не повеќе к 2 пати, тогаш треба да ја искористите интегралната теорема на Лаплас:

Лапласова интегрална теорема: Ако веројатноста стрпојава на настан Аво секое испитување е константна и различна од нула и еден, тогаш веројатноста дека настанот А ќе се појави во nтестови од к 1 пред к 2 пати, приближно еднаква на одреден интеграл

, Каде
И
.

Со други зборови, веројатноста дека некој настан А ќе се појави во nтестови од к 1 пред к 2 пати, приближно еднакво

Каде
, И .

Забелешка 2:Функција
наречена Лапласова функција (види нормална дистрибуција). Табели кои содржат вредности на функции , се дадени во Додаток 2, и
.

Пример:Најдете ја веројатноста дека меѓу 400 случајно избраните делови ќе испаднат дека се неиспитани од 70 до 100 делови, доколку веројатноста дека делот не ја поминал проверката на контролата на квалитетот е еднаква на 0,2.

Решение:По услов n = 400, стр = 0,2 , q = 0,8, к 1 = 70, к 2 = 100 . Да ги пресметаме долните и горните граници на интеграцијата:

;
.

Така имаме:

Од табелата во Додаток 2 дознаваме дека
И
. Тогаш потребната веројатност е:

Забелешка 3:Во серија независни испитувања (кога n е големо, p е мало), Поасоновата формула се користи за пресметување на веројатноста некој настан да се случи точно k пати (види Поасонова распределба).

5.3. Поасон дистрибуција

Дефиниција 5.3: Се нарекува дискретна случајна променлива Поасон,ако неговиот закон за распределба ја има следната форма:

, Каде
И
(константна вредност).

Примери на Поасон случајни променливи:

Број на повици до автоматска станица во одреден временски период Т.

Бројот на честички на распаѓање на некоја радиоактивна супстанција во одреден временски период Т.

Број на телевизори кои пристигнуваат на работилницата во одреден временски период Тво големиот град .

Број на автомобили што ќе пристигнат на линијата за застанување на раскрсница во голем град .

Забелешка 1:Посебни табели за пресметување на овие веројатности се дадени во Додаток 3.

Забелешка 2:Во серија независни тестови (кога nодлично, стрне е доволно) точно да се пресмета веројатноста некој настан да се случи кпати користејќи ја Поасоновата формула:
, Каде
, односно просечниот број на појави на настани останува константен.

Забелешка 3:Ако постои случајна променлива која е распределена според законот на Поасон, тогаш нужно постои случајна променлива што е распределена според експоненцијалниот закон и, обратно (види Експоненцијална распределба).

Пример.Фабриката испратена до базата 5000 производи со добар квалитет. Веројатноста дека производот ќе се оштети при транзит е еднаква на 0,0002 . Најдете ја веројатноста дека точно три неупотребливи производи ќе пристигнат во основата.

Решение:По услов n = 5000, стр = 0,0002, к = 3. Ќе најдеме λ: λ = н.п.= 5000·0,0002 = 1.

Според формулата Поасон, саканата веројатност е еднаква на:

, каде е случајната променлива X– број на неупотребливи производи.

5.4. Геометриска дистрибуција

Нека се спроведат независни тестови, од кои секоја е веројатноста да се случи настанот Аеднаква на стр(0 стр

q = 1 - стр. Предизвиците завршуваат веднаш штом се појави настанот А. Така, доколку некој настан Асе појави во к-ти тест, потоа во претходниот к – 1 не се појави на тестовите.

Да означиме со Xдискретна случајна променлива - бројот на испитувања што треба да се спроведат пред првото појавување на настанот А. Очигледно, можните вредности Xсе природни броеви x 1 = 1, x 2 = 2, ...

Прво нека к-1 настан за тестирање Ане дојде, туку во к- се појави тест. Веројатноста за овој „комплексен настан“, според теоремата за множење на веројатностите на независни настани, П (X = к) = q к -1 стр.

Дефиниција 5.4: Дискретна случајна променлива има геометриска дистрибуција, ако неговиот закон за распределба ја има следната форма:

П ( X = к ) = q к -1 стр , Каде
.

Забелешка 1:Верувајќи к = 1,2,… , добиваме геометриска прогресија со првиот член стри именител q (0q. Поради оваа причина, распределбата се нарекува геометриска.

Забелешка 2:Ред
конвергира и неговиот збир е еднаков на еден. Навистина, збирот на серијата е еднаков на
.

Пример.Пиштолот се пука во целта додека не се постигне првиот удар. Веројатност за погодување на целта стр = 0,6 . Најдете ја веројатноста дека ќе се случи удар при третиот истрел.

Решение:По услов стр = 0,6, q = 1 – 0,6 = 0,4, к = 3. Потребната веројатност е:

П (X = 3) = 0,4 2 · 0,6 = 0,096.

5.5. Хипергеометриска дистрибуција

Да го разгледаме следниот проблем. Пуштете ја забавата надвор Ндостапни производи Мстандарден (МН). Случајно земено од серијата nпроизводи (секој производ може да се извлече со иста веројатност), а избраниот производ не се враќа во серијата пред да се избере следниот (затоа, формулата Бернули не е применлива овде).

Да означиме со Xслучајна променлива - број мстандардни производи меѓу nизбрани. Потоа можните вредности Xќе биде 0, 1, 2,…, мин ; Да ги етикетираме и... Од страна навредностите на независната променлива (Fonds) користете го копчето ( поглавје ...

Нумерички карактеристики на континуирани случајни променливи. Нека континуирана случајна променлива X е одредена со функцијата за распределба f(x)

Нека континуирана случајна променлива X е одредена со функцијата за распределба f(x). Да претпоставиме дека сите можни вредности на случајната променлива припаѓаат на сегментот [ а, б].

Дефиниција.Математичко очекувањеконтинуирана случајна променлива X, чиишто можни вредности припаѓаат на сегментот, се нарекува дефинитивен интеграл

Ако можните вредности на случајна променлива се земат предвид на целата нумеричка оска, тогаш математичкото очекување се наоѓа со формулата:

Во овој случај, се разбира, се претпоставува дека несоодветниот интеграл конвергира.

Дефиниција.Варијансана континуирана случајна променлива е математичкото очекување на квадратот на неговото отстапување.

По аналогија со варијансата на дискретна случајна променлива, за практично пресметување на варијансата, се користи формулата:

Дефиниција.Стандардна девијацијанаречен квадратен корен на варијансата.

Дефиниција.Мода M 0 на дискретна случајна променлива се нарекува нејзина најверојатна вредност. За континуирана случајна променлива, режимот е вредноста на случајната променлива кај која густината на дистрибуцијата има максимум.

Ако дистрибутивниот полигон за дискретна случајна променлива или кривата на дистрибуција за континуирана случајна променлива има две или повеќе максими, тогаш таквата распределба се нарекува бимодалниили мултимодален. Ако дистрибуцијата има минимум, но нема максимум, тогаш се нарекува антимодални.

Дефиниција.Медијана M D на случајната променлива X е нејзината вредност во однос на која е подеднакво веројатно дека ќе се добие поголема или помала вредност на случајната променлива.

Геометриски, медијаната е апсциса на точката во која областа ограничена со кривата на дистрибуција е поделена на половина. Забележете дека ако распределбата е унимодална, тогаш режимот и медијаната се совпаѓаат со математичкото очекување.

Дефиниција.Почетниот моментсо цел кслучајната променлива X е математичко очекување на вредноста X к.

За дискретна случајна променлива: .

.

Почетниот момент од првиот ред е еднаков на математичкото очекување.

Дефиниција.Централен моментсо цел кслучајната променлива X е математичко очекување на вредноста

За дискретна случајна променлива: .

За континуирана случајна променлива: .

Централниот момент од прв ред е секогаш нула, а централниот момент од вториот ред е еднаков на дисперзијата. Централниот момент од трет ред ја карактеризира асиметријата на распределбата.

Дефиниција. Се нарекува односот на централниот момент од третиот ред до стандардното отстапување до третата моќност коефициент на асиметрија.

Дефиниција. За да се карактеризираат врвноста и плошноста на дистрибуцијата, количина наречена вишок.

Покрај разгледуваните количини, се користат и таканаречените апсолутни моменти:

Апсолутен почетен момент: . Апсолутна централна точка: . Се нарекува апсолутниот централен момент од првиот ред аритметичко средно отстапување.

Пример.За примерот дискутиран погоре, определете ги математичкото очекување и варијансата на случајната променлива X.

Пример.Во една урна има 6 бели и 4 црни топчиња. Пет пати по ред се вади топче од него, и секој пат отстранетото топче се враќа назад и топчињата се мешаат. Земајќи го бројот на извлечени бели топчиња како случајна променлива X, изгответе закон за дистрибуција за оваа вредност, определете го неговото математичко очекување и дисперзија.

Бидејќи топчињата во секој експеримент се враќаат назад и се мешаат, а потоа тестовите може да се сметаат за независни (резултатот од претходниот експеримент не влијае на веројатноста за појава или непојавување на настан во друг експеримент).

Така, веројатноста да се појави бела топка во секој експеримент е константна и еднаква на

Така, како резултат на пет последователни обиди, белата топка може воопшто да не се појави или да се појави еднаш, двапати, три, четири или пет пати. За да подготвите закон за распределба, треба да ги најдете веројатностите на секој од овие настани.

1) Белата топка воопшто не се појави:

2) Белата топка се појави еднаш:

3) Белата топка ќе се појави двапати: .

СЛУЧАЈНИ ПРОМЕНЛИВИ

Пример 2.1.Случајна вредност Xдадена со функцијата на дистрибуција

Најдете ја веројатноста дека како резултат на тестот Xќе ги земе вредностите содржани во интервалот (2,5; 3,6).

Решение: Xво интервалот (2,5; 3,6) може да се одреди на два начина:

Пример 2.2.На кои параметри вредности АИ ВОфункција Ф(x) = A + Be - xможе да биде дистрибутивна функција за ненегативни вредности на случајна променлива X.

Решение:Бидејќи сите можни вредности на случајната променлива Xприпаѓаат на интервалот , тогаш со цел функцијата да биде функција на дистрибуција за X, имотот мора да биде задоволен:

.

Одговор: .

Пример 2.3.Случајната променлива X е специфицирана со функцијата за дистрибуција

Најдете ја веројатноста дека, како резултат на четири независни тестови, вредноста Xточно 3 пати ќе земе вредност што припаѓа на интервалот (0,25;0,75).

Решение:Веројатност за постигнување вредност Xво интервалот (0,25; 0,75) наоѓаме користејќи ја формулата:

Пример 2.4.Веројатноста топката да го погоди кошот со еден удар е 0,3. Подгответе закон за распределба за бројот на удари со три фрлања.

Решение:Случајна вредност X– бројот на удари во кошот со три удари – може да ги има следните вредности: 0, 1, 2, 3. Веројатности кои X

X:

Пример 2.5.Двајца стрелци пукаат по еден истрел во цел. Веројатноста првиот стрелец да го погоди е 0,5, вториот - 0,4. Подгответе закон за дистрибуција за бројот на удари на целта.

Решение:Да го најдеме законот за распределба на дискретна случајна променлива X– број на удари на целта. Настанот нека биде првиот стрелец кој ќе ја погоди целта, а вториот стрелец нека ја погоди целта и тоа е нивно промашување, соодветно.

Да го составиме законот за распределба на веројатност на SV X:

Пример 2.6.Се тестираат три елементи, кои работат независно еден од друг. Времетраењето на времето (во часови) на работа без дефект на елементите има функција на густина на дистрибуција: за првото: Ф 1 (т) =1-е- 0,1 т, за второто: Ф 2 (т) = 1-е- 0,2 т, за третото: Ф 3 (т) =1-е- 0,3 т. Најдете ја веројатноста дека во временскиот интервал од 0 до 5 часа: само еден елемент ќе пропадне; само два елементи ќе пропаднат; сите три елементи ќе пропаднат.

Решение:Ајде да ја користиме дефиницијата за функцијата за генерирање на веројатност:

Веројатноста дека во независни испитувања од кои во првата веројатноста да се случи некој настан Аеднакво на , во вториот, итн., настан Асе појавува точно еднаш, еднаков на коефициентот во проширувањето на генерирачката функција во моќи од . Да ги најдеме веројатностите за неуспех и неуспех, соодветно, на првиот, вториот и третиот елемент во временскиот интервал од 0 до 5 часа:

Ајде да создадеме функција за генерирање:

Коефициентот во е еднаков на веројатноста дека настанот Аќе се појави точно три пати, односно веројатноста за неуспех на сите три елементи; коефициентот во е еднаков на веројатноста дека точно два елементи ќе откажат; коефициентот во е еднаков на веројатноста дека само еден елемент ќе пропадне.

Пример 2.7.Со оглед на густината на веројатноста ѓ(x)случајна променлива X:

Најдете ја функцијата за распределба F(x).

Решение:Ја користиме формулата:

.

Така, функцијата за дистрибуција изгледа вака:

Пример 2.8.Уредот се состои од три независни елементи кои работат. Веројатноста за неуспех на секој елемент во еден експеримент е 0,1. Направете закон за дистрибуција за бројот на неуспешни елементи во еден експеримент.

Решение:Случајна вредност X– бројот на елементи кои не успеале во еден експеримент – може да ги земе следните вредности: 0, 1, 2, 3. Веројатности кои Xги зема овие вредности, наоѓаме користејќи ја формулата на Бернули:

Така, го добиваме следниов закон за распределба на веројатност на случајна променлива X:

Пример 2.9.Во серија од 6 делови има 4 стандардни. По случаен избор беа избрани 3 дела. Подгответе закон за распределба за бројот на стандардни делови меѓу избраните.

Решение:Случајна вредност X– бројот на стандардни делови меѓу избраните – може да ги има следните вредности: 1, 2, 3 и има хипергеометриска распределба. Веројатности кои X

Каде -- број на делови во серијата;

-- број на стандардни делови во серија;

– број на избрани делови;

-- број на стандардни делови меѓу избраните.

.

.

.

Пример 2.10.Случајната променлива има густина на дистрибуција

и не се познати, но, а и . Најдете и.

Решение:Во овој случај, случајната променлива Xима триаголна распределба (дистрибуција Симпсон) на интервалот [ а, б]. Нумерички карактеристики X:

Оттука, . Решавајќи го овој систем, добиваме два пара вредности: . Бидејќи според условите на проблемот, конечно имаме: .

Одговор: .

Пример 2.11.Во просек, под 10% од договорите, осигурителната компанија плаќа износи за осигурување во врска со појавата на осигурен случај. Пресметајте го математичкото очекување и дисперзијата на бројот на такви договори меѓу четири случајно избрани.

Решение:Математичкото очекување и варијансата може да се најдат со помош на формулите:

.

Можни вредности на SV (број на договори (од четири) со појава на осигурен случај): 0, 1, 2, 3, 4.

Ја користиме формулата на Бернули за да ги пресметаме веројатностите на различните броеви на договори (од четири) за кои се платени износите на осигурување:

.

Серијата за дистрибуција на ИЦ (бројот на договори со појава на осигурен случај) има форма:

Одговор: ,.

Пример 2.12.Од петте рози, две се бели. Направете закон за распределба на случајна променлива што го изразува бројот на бели рози меѓу две истовремено земени.

Решение:Во изборот од две рози, може или да нема бела роза, или може да има една или две бели рози. Затоа, случајната променлива Xможе да земе вредности: 0, 1, 2. Веројатности кои Xги зема овие вредности, го наоѓаме користејќи ја формулата:

Каде -- број на рози;

-- број на бели рози;

– број на рози земени во исто време;

-- бројот на бели рози меѓу земените.

.

.

.

Тогаш законот за распределба на случајната променлива ќе биде како што следува:

Пример 2.13.Меѓу 15-те собрани единици, 6 бараат дополнително подмачкување. Подгответе закон за распределба за бројот на единици на кои им е потребно дополнително подмачкување меѓу пет случајно избрани од вкупниот број.

Решение:Случајна вредност X– бројот на единици за кои е потребно дополнително подмачкување меѓу петте избрани – може да ги има следните вредности: 0, 1, 2, 3, 4, 5 и има хипергеометриска распределба. Веројатности кои Xги зема овие вредности, го наоѓаме користејќи ја формулата:

Каде -- број на собрани единици;

-- бројот на единици за кои е потребно дополнително подмачкување;

– број на избрани единици;

-- бројот на единици кои бараат дополнително подмачкување меѓу избраните.

.

.

.

.

.

.

Тогаш законот за распределба на случајната променлива ќе биде како што следува:

Пример 2.14.Од 10-те часовници добиени за поправка, 7 бараат општо чистење на механизмот. Часовниците не се подредени по вид на поправка. Мајсторот, сакајќи да најде часовници на кои им е потребно чистење, ги испитува еден по еден и, откако ги нашол таквите часовници, престанува да ги гледа понатаму. Најдете ги математичкото очекување и варијансата на бројот на гледани часови.

Решение:Случајна вредност X– бројот на единици на кои им е потребно дополнително подмачкување меѓу петте избрани – може да ги има следните вредности: 1, 2, 3, 4. Веројатности кои Xги зема овие вредности, го наоѓаме користејќи ја формулата:

.

.

.

.

Тогаш законот за распределба на случајната променлива ќе биде како што следува:

Сега да ги пресметаме нумеричките карактеристики на количината:

Одговор: ,.

Пример 2.15.Претплатникот ја заборавил последната цифра од телефонскиот број што му треба, но се сеќава дека е непарен. Најдете ги математичкото очекување и варијансата на бројот на пати кога бирал телефонски број пред да го достигне саканиот број, ако ја бира последната цифра по случаен избор и последователно не ја бира бираната цифра.

Решение:Случајната променлива може да ги земе следните вредности: . Бидејќи претплатникот не ја бира бираната цифра во иднина, веројатноста за овие вредности се еднакви.

Ајде да составиме дистрибутивна серија на случајна променлива:

Да го пресметаме математичкото очекување и варијансата на бројот на обиди за бирање:

Одговор: ,.

Пример 2.16.Веројатноста за неуспех при тестирање на доверливост за секој уред од серијата е еднаква на стр. Определете го математичкото очекување на бројот на уреди кои не успеале доколку биле тестирани Нуреди.

Решение:Дискретна случајна променлива X е бројот на неуспешни уреди во Ннезависни тестови, од кои секоја веројатност за неуспех е еднаква стр,распоредени според биномниот закон. Математичкото очекување на биномна распределба е еднакво на бројот на испитувања помножен со веројатноста да се случи настан во едно испитување:

Пример 2.17.Дискретна случајна променлива Xзема 3 можни вредности: со веројатност ; со веројатност и со веројатност. Најдете и, знаејќи дека М( X) = 8.

Решение:Ги користиме дефинициите за математичко очекување и законот за распределба на дискретна случајна променлива:

Ние најдовме: .

Пример 2.18.Одделот за техничка контрола ги проверува производите за стандардност. Веројатноста дека производот е стандарден е 0,9. Секоја серија содржи 5 производи. Најдете го математичкото очекување на случајна променлива X– бројот на серии, од кои секоја содржи точно 4 стандардни производи, доколку 50 серии се предмет на проверка.

Решение:Во овој случај, сите спроведени експерименти се независни, а веројатностите дека секоја серија содржи точно 4 стандардни производи се исти, затоа, математичкото очекување може да се одреди со формулата:

,

каде е бројот на партии;

Веројатноста дека една серија содржи точно 4 стандардни производи.

Ја наоѓаме веројатноста користејќи ја формулата на Бернули:

Одговор: .

Пример 2.19.Најдете ја варијансата на случајна променлива X– број на појави на настанот Аво две независни испитувања, доколку веројатностите за појава на настан во овие испитувања се исти и се знае дека М(X) = 0,9.

Решение:Проблемот може да се реши на два начина.

1) Можни вредности на SV X: 0, 1, 2. Користејќи ја формулата Бернули, ги одредуваме веројатностите на овие настани:

, , .

Потоа законот за распределба Xима форма:

Од дефиницијата за математичко очекување, ја одредуваме веројатноста:

Да ја најдеме дисперзијата на СВ X:

.

2) Можете да ја користите формулата:

.

Одговор: .

Пример 2.20.Очекување и стандардно отстапување на нормално распределена случајна променлива Xсоодветно еднакво на 20 и 5. Најдете ја веројатноста дека како резултат на тестот Xќе ја земе вредноста содржана во интервалот (15; 25).

Решение:Веројатност да се погоди нормална случајна променлива Xна делот од до се изразува преку функцијата Лапласова:

Пример 2.21.Дадена функција:

Со која вредност на параметарот Воваа функција е густина на дистрибуција на некоја континуирана случајна променлива X? Најдете ги математичкото очекување и варијансата на случајна променлива X.

Решение:За да може функцијата да биде густина на дистрибуција на некоја случајна променлива, таа мора да биде ненегативна и мора да го задоволува својството:

.

Оттука:

Ајде да го пресметаме математичкото очекување користејќи ја формулата:

.

Ајде да ја пресметаме варијансата користејќи ја формулата:

Т е еднаков стр. Неопходно е да се најде математичкото очекување и варијансата на оваа случајна променлива.

Решение:Законот за распределба на дискретна случајна променлива X - бројот на појавувања на настан во независни испитувања, во секое од кои веројатноста да се случи настанот е еднаква на , се нарекува бином. Математичкото очекување на биномната распределба е еднакво на производот од бројот на испитувања и веројатноста за појава на настанот А во едно испитување:

.

Пример 2.25.Во целта се испукани три независни истрели. Веројатноста да се погоди секој истрел е 0,25. Определете го стандардното отстапување на бројот на удари со три истрели.

Решение:Бидејќи се вршат три независни испитувања, а веројатноста за појава на настанот А (погодок) во секое испитување е иста, ќе претпоставиме дека дискретната случајна променлива X - бројот на удари на целта - е распределена според биномниот закон.

Варијансата на биномната распределба е еднаква на производот од бројот на испитувања и веројатноста за појава и непојавување на настан во едно испитување:

Пример 2.26.Просечниот број на клиенти кои посетуваат осигурителна компанија за 10 минути е три. Најдете ја веројатноста дека барем еден клиент ќе пристигне во следните 5 минути.

Просечен број на клиенти кои пристигнуваат за 5 минути: . .

Пример 2.29.Времето на чекање за апликација во редот на процесорот го почитува законот за експоненцијална дистрибуција со просечна вредност од 20 секунди. Најдете ја веројатноста следното (случајно) барање да чека на процесорот повеќе од 35 секунди.

Решение:Во овој пример, математичкото очекување , а стапката на неуспех е еднаква на .

Тогаш саканата веројатност:

Пример 2.30.Група од 15 студенти одржува состанок во сала со 20 редови од по 10 седишта. Секој ученик зазема место во салата по случаен избор. Колкава е веројатноста дека на седмото место од редот нема повеќе од три лица?

Решение:

Пример 2.31.

Потоа, според класичната дефиниција за веројатност:

Каде -- број на делови во серијата;

-- број на нестандардни делови во серијата;

– број на избрани делови;

-- број на нестандардни делови меѓу избраните.

Тогаш законот за распределба на случајната променлива ќе биде како што следува.

За разлика од дискретна случајна променлива, континуираните случајни променливи не можат да се наведат во форма на табела на нејзиниот закон за дистрибуција бидејќи е невозможно да се наведат и да се запишат сите нејзини вредности во одредена низа. Еден можен начин да се специфицира континуирана случајна променлива е да се користи функцијата за дистрибуција.

ДЕФИНИЦИЈА. Функцијата за распределба е функција која ја одредува веројатноста случајната променлива да ја земе вредноста што е претставена на бројната оска со точка која лежи лево од точката x, т.е.

Понекогаш наместо терминот „Дистрибутивна функција“ се користи терминот „Интегрална функција“.

Својства на дистрибутивната функција:

1. Вредностите на функцијата за дистрибуција припаѓаат на сегментот: 0F(x)1
2. F(x) е функција која не се намалува, т.е. F(x 2)F(x 1), ако x 2 >x 1

Заклучок 1. Веројатноста дека случајната променлива ќе добие вредност содржана во интервалот (a,b) е еднаква на зголемувањето на функцијата на дистрибуција во текот на овој интервал:

P(aX

Пример 9. Случајната променлива X е дадена со функцијата за распределба:

Најдете ја веројатноста дека како резултат на тестот X ќе земе вредност што припаѓа на интервалот (0;2): P(0

Решение: бидејќи на интервалот (0;2) по услов, F(x)=x/4+1/4, тогаш F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0 /4+1/4)=1/2. Значи P(0

Заклучок 2. Веројатноста дека континуираната случајна променлива X ќе земе една специфична вредност е нула.

Заклучок 3. Ако се можни вредностите на случајната променлива припаѓаат на интервалот (a;b), тогаш: 1) F(x)=0 за xa; 2) F(x)=1 на xb.
Валидни се следните гранични односи:

Графикот на функцијата на дистрибуција се наоѓа во опсегот ограничен со правите y=0, y=1 (прво својство). Како што x се зголемува во интервалот (a;b), кој ги содржи сите можни вредности на случајната променлива, графикот „се крева“. Кај xa, ординатите на графикот се еднакви на нула; на xb, ординатите на графикот се еднакви на една:

Слика 1

Пример 10. Дискретна случајна променлива X е дадена со табела за распределба:

Најдете ја функцијата за распределба и нацртајте ја.
Решение: Функцијата за дистрибуција може да се запише аналитички на следниов начин:

Слика-2

ДЕФИНИЦИЈА: Густината на распределбата на веројатноста на континуирана случајна променлива X е функцијата f(x) - првиот извод на функцијата за распределба F(x): f(x)=F"(x)

Од оваа дефиниција произлегува дека функцијата на дистрибуција е антидериват на густината на распределбата.

Теорема. Веројатноста дека континуираната случајна променлива X ќе земе вредност што припаѓа на интервалот (a;b) е еднаква на одреден интеграл од густината на распределбата, земен во опсег од a до b:

(8)

Својства на дистрибуција на густина на веројатност:

1. Густината на веројатноста е ненегативна функција: f(x)0.
2. Дефинитивниот интеграл од -∞ до +∞ на густината на веројатноста на непрекината случајна променлива е еднаков на 1: f(x)dx=1.
3. Дефинитивниот интеграл од -∞ до x на густината на веројатноста на непрекината случајна променлива е еднаков на функцијата за распределба на оваа променлива: f(x)dx=F(x)

Пример 11. Дадена е густината на распределбата на веројатноста на случајна променлива X

Најдете ја веројатноста дека како резултат на тестот X ќе земе вредност што припаѓа на интервалот (0,5;1).

Решение: Потребна веројатност:

Да ја прошириме дефиницијата за нумерички карактеристики на дискретни величини на континуирани величини. Нека континуирана случајна променлива X е специфицирана со густината на распределбата f(x).

ДЕФИНИЦИЈА. Математичкото очекување на континуирана случајна променлива X, чиишто можни вредности припаѓаат на сегментот, се нарекува дефинитивен интеграл:

M(x)=xf(x)dx (9)

Ако можните вредности припаѓаат на целата оска Ox, тогаш:

M(x)=xf(x)dx (10)

Режимот M 0 (X) на континуирана случајна променлива X е нејзината можна вредност на која одговара локалниот максимум на густината на дистрибуцијата.

Медијаната M e (X) на континуирана случајна променлива X е нејзината можна вредност, која се определува со еднаквоста:

P(X e (X)) = P(X>M e (X))

ДЕФИНИЦИЈА. Варијансата на континуирана случајна променлива е математичко очекување на квадратот на нејзиното отстапување. Ако можните вредности на X припаѓаат на сегментот, тогаш:

D(x)= 2 f(x)dx (11)
или
D(x)=x 2 f(x)dx- 2 (11*)

Ако можните вредности припаѓаат на целата оска x, тогаш.

Дисперзијаконтинуирана случајна променлива X, чиишто можни вредности припаѓаат на целата оска Ox, се определува со еднаквоста:

Цел на услугата. Онлајн калкулаторот е дизајниран да решава проблеми во кои или густина на дистрибуција f(x) или дистрибутивна функција F(x) (види пример). Обично во такви задачи треба да најдете математичко очекување, стандардно отстапување, графички функции f(x) и F(x).

Инструкции. Изберете го типот на изворните податоци: густина на дистрибуција f(x) или функција на дистрибуција F(x).

Густината на распределбата f(x) е дадена:

Функцијата за распределба F(x) е дадена:

Континуирана случајна променлива е одредена со густина на веројатност
(Рејлиевиот закон за дистрибуција - се користи во радио инженерството). Најдете M(x) , D(x) .

Се повикува случајната променлива X континуирано , ако неговата дистрибутивна функција F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Функцијата за распределба на континуирана случајна променлива се користи за пресметување на веројатноста случајната променлива да падне во даден интервал:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
Покрај тоа, за континуирана случајна променлива, не е важно дали нејзините граници се вклучени во овој интервал или не:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Густина на дистрибуција континуирана случајна променлива се нарекува функција
f(x)=F’(x) , извод на функцијата распределба.

Својства на густината на дистрибуцијата