Најдете ја равенката на правата. Општа равенка на права линија на рамнина

Општа равенка на права линија:

Посебни случаи на општата равенка на права линија:

и ако В= 0, равенката (2) ќе ја има формата

Секира + Од страна на = 0,

а правата дефинирана со оваа равенка минува низ потеклото, бидејќи координатите на потеклото се x = 0, y= 0 ја задоволува оваа равенка.

б) Ако во општата равенка на права линија (2) Б= 0, тогаш равенката добива форма

Секира + СО= 0, или .

Равенката не содржи променлива y, а правата линија дефинирана со оваа равенка е паралелна со оската Ој.

в) Ако во општата равенка на права линија (2) А= 0, тогаш оваа равенка ќе ја добие формата

Од страна на + СО= 0, или ;

равенката не содржи променлива x, а правата линија што ја дефинира е паралелна со оската Вол.

Треба да се запомни: ако права линија е паралелна со некоја координатна оска, тогаш во нејзината равенка не постои термин што содржи координата со истото име како оваа оска.

г) Кога В= 0 и А= 0 Равенката (2) ја зема формата Од страна на= 0, или y = 0.

Ова е равенката на оската Вол.

г) Кога В= 0 и Б= 0 равенката (2) ќе биде напишана во форма Секира= 0 или x = 0.

Ова е равенката на оската Ој.

Релативната положба на линиите на рамнина. Аголот помеѓу прави линии на рамнина. Услов за паралелни прави. Условот на перпендикуларност на правите.

l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

S 2 S 1 Векторите S 1 и S 2 се нарекуваат водилки за нивните линии.

Аголот помеѓу прави линии l 1 и l 2 се одредува со аголот помеѓу векторите на насоката.
Теорема 1: cos на аголот помеѓу l 1 и l 2 = cos(l 1 ; l 2) =

Теорема 2:За да бидат еднакви 2 линии, потребно е и доволно:

Теорема 3:За 2 прави линии да бидат нормални потребно е и доволно:

L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

Општа равенка на рамнина и нејзините посебни случаи. Равенка на рамнина во отсечки.

Општа равенка на рамнина:

Ax + By + Cz + D = 0

Посебни случаи:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 – рамнината минува низ почетокот

2. С=0 Ax+By+D = 0 – рамнина || ОЗ

3. B=0 Ax+Cz+d = 0 – рамнина || OY

4. A=0 By+Cz+D = 0 – рамнина || Вол

5. A=0 и D=0 By+Cz = 0 – рамнината минува низ OX

6. B=0 и D=0 Ax+Cz = 0 – рамнината минува низ OY

7. C=0 и D=0 Ax+By = 0 – рамнината минува низ OZ

Релативната положба на рамнините и правите линии во просторот:

1. Аголот помеѓу прави линии во просторот е аголот помеѓу векторите на нивните правци.

Cos (l 1 ; l 2) = cos (S 1 ; S 2) = =

2. Аголот меѓу рамнините се одредува преку аголот меѓу нивните нормални вектори.

Cos (l 1 ; l 2) = cos (N 1 ; N 2) = =

3. Косинусот на аголот помеѓу правата и рамнината може да се најде преку гревот на аголот помеѓу векторот на насоката на правата и нормалниот вектор на рамнината.

4. 2 прави || во просторот кога нивните || векторски водичи

5. 2 авиони || кога || нормални вектори

6. Слично се воведени концептите за перпендикуларност на правите и рамнините.

Прашање бр.14

Различни видови равенки на права линија на рамнина (равенка на права линија во отсечки, со коефициент на агол итн.)

Равенка на права линија во отсечки:
Да претпоставиме дека во општата равенка на права линија:

1. C = 0 Ах + Ву = 0 – правата линија минува низ потеклото.

2. a = 0 Vu + C = 0 y =

3. b = 0 Ax + C = 0 x =

4. b=C=0 Ax = 0 x = 0

5. a=C=0 Ву = 0 у = 0

Равенка на права линија со наклон:

Секоја права линија што не е еднаква на оската на оп-засилувач (B не = 0) може да се запише во следната линија. форма:

k = tanα α – агол помеѓу права и позитивно насочена права OX

б – точка на пресек на правата линија со оската на оп-засилувачот

Документ:

Ax+By+C = 0

Ву= -Ах-С |:Б

Равенка на права линија заснована на две точки:

Прашање бр.16

Конечна граница на функција во точка и за x→∞

Крајна граница на x0:

Бројот A се нарекува граница на функцијата y = f(x) за x→x 0 ако за кое било E > 0 постои b > 0 така што за x ≠x 0 што ја задоволува неравенката |x – x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

Границата е означена со: = А

Крајна граница во точка +∞:

Бројот A се нарекува граница на функцијата y = f(x) на x → + ∞ , ако за кое било E > 0 постои C > 0 така што за x > C неравенката |f(x) - A|< Е

Границата е означена со: = А

Крајна граница во точка -∞:

Бројот A се нарекува граница на функцијата y = f(x) за x→-∞,ако за некој Е< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

Во оваа статија ќе ја разгледаме општата равенка на права линија на рамнина. Да дадеме примери за конструирање на општа равенка на права ако се познати две точки од оваа права или ако се познати една точка и нормалниот вектор на оваа права. Да ги претставиме методите за трансформирање на равенката во општа форма во канонски и параметарски форми.

Нека е даден произволен Декартов правоаголен координатен систем Окси. Размислете за прв степен или линеарна равенка:

Каде А, Б, Ц− некои константи и барем еден од елементите АИ Бразличен од нула.

Ќе покажеме дека линеарна равенка на рамнина дефинира права линија. Да ја докажеме следната теорема.

Теорема 1. Во произволен Декартов правоаголен координатен систем на рамнина, секоја права линија може да се определи со линеарна равенка. Спротивно на тоа, секоја линеарна равенка (1) во произволен Декартов правоаголен координатен систем на рамнина дефинира права линија.

Доказ. Доволно е да се докаже дека правата линија Лсе определува со линеарна равенка за секој еден Декартов правоаголен координатен систем, бидејќи тогаш ќе се определи со линеарна равенка за секој избор на Декартов правоаголен координатен систем.

Нека се даде права линија на рамнината Л. Дозволете ни да избереме координатен систем така што оската Волсе совпадна со права линија Л, и оската Ојбеше нормално на него. Потоа равенката на правата Лќе ја има следната форма:

Сите точки на линија Лќе ја задоволи линеарната равенка (2), а сите точки надвор од оваа права нема да ја задоволат равенката (2). Првиот дел од теоремата е докажан.

Нека е даден Декартов правоаголен координатен систем и нека е дадена линеарна равенка (1), каде што барем еден од елементите АИ Бразличен од нула. Да го најдеме геометрискиот локус на точки чии координати ја задоволуваат равенката (1). Бидејќи барем еден од коефициентите АИ Бе различна од нула, тогаш равенката (1) има барем едно решение М(x 0 ,y 0). (На пример, кога А≠0, точка М 0 (−C/A, 0) припаѓа на дадениот геометриски локус на точки). Заменувајќи ги овие координати во (1) го добиваме идентитетот

Да го одземеме идентитетот (3) од (1):

Очигледно, равенката (4) е еквивалентна на равенката (1). Затоа, доволно е да се докаже дека (4) дефинира одредена линија.

Бидејќи го разгледуваме Декартов правоаголен координатен систем, од еднаквоста (4) произлегува дека векторот со компоненти ( x−x 0 , y−y 0 ) ортогонално на векторот nсо координати ( А, Б}.

Ајде да разгледаме некоја права линија Л, поминувајќи низ точката М 0 (x 0 , y 0) и нормално на векторот n(сл.1). Нека поентата М(x,y) припаѓа на линијата Л. Потоа векторот со координати x−x 0 , y−y 0 нормално nа равенката (4) е задоволна (скаларен производ на вектори nи еднакво на нула). Спротивно на тоа, ако точка М(x,y) не лежи на линија Л, потоа векторот со координати x−x 0 , y−y 0 не е ортогонална на векторот nа равенката (4) не е задоволна. Теоремата е докажана.

Доказ. Бидејќи линиите (5) и (6) ја дефинираат истата права, тогаш нормалните вектори n 1 ={А 1 ,Б 1) и n 2 ={А 2 ,Б 2) колинеарна. Бидејќи вектори n 1 ≠0, n 2 ≠0, тогаш има таков број λ , Што n 2 =n 1 λ . Од тука имаме: А 2 =А 1 λ , Б 2 =Б 1 λ . Да го докажеме тоа В 2 =В 1 λ . Очигледно, линиите што се совпаѓаат имаат заедничка точка М 0 (x 0 , y 0). Множење на равенката (5) со λ и со одземање на равенката (6) од неа добиваме:

Бидејќи првите две еднаквости од изразите (7) се задоволени, тогаш В 1 λ −В 2 =0. Оние. В 2 =В 1 λ . Забелешката е докажана.

Забележете дека равенката (4) ја дефинира равенката на правата линија што минува низ точката М 0 (x 0 , y 0) и има нормален вектор n={А, Б). Според тоа, ако се познати нормалниот вектор на правата и точката што припаѓа на оваа права, тогаш општата равенка на правата може да се конструира со помош на равенката (4).

Пример 1. Права линија минува низ точка М=(4,−1) и има нормален вектор n= (3, 5). Конструирај ја општата равенка на права.

Решение. Ние имаме: x 0 =4, y 0 =−1, А=3, Б=5. За да ја конструираме општата равенка на права линија, ги заменуваме овие вредности во равенката (4):

Одговор:

Векторот е паралелен со правата Ли, според тоа, нормално на нормалниот вектор на правата Л. Ајде да конструираме вектор на нормална линија Л, имајќи предвид дека скаларниот производ на вектори nи еднаква на нула. Можеме да напишеме, на пример, n={1,−3}.

За да ја изградиме општата равенка на права линија, ја користиме формулата (4). Да ги замениме координатите на точката во (4) М 1 (можеме да ги земеме и координатите на точката М 2) и нормален вектор n:

Замена на координатите на точките М 1 и М 2 во (9) можеме да се увериме дека правата линија дадена со равенката (9) поминува низ овие точки.

Одговор:

Одземете (10) од (1):

Ја добивме канонската равенка на правата. Вектор q={−Б, А) е векторот на насоката на правата (12).

Видете обратна конверзија.

Пример 3 Права линија на рамнина е претставена со следнава општа равенка:

Да го поместиме вториот член надесно и да ги поделиме двете страни на равенката со 2·5.

Лекција од серијата „Геометриски алгоритми“

Здраво драг читател!

Денес ќе започнеме да учиме алгоритми поврзани со геометријата. Факт е дека има доста олимпијадни проблеми во компјутерската наука поврзани со пресметковната геометрија, а решавањето на таквите проблеми често предизвикува потешкотии.

Во текот на неколку лекции, ќе разгледаме голем број елементарни подзадачи на кои се заснова решавањето на повеќето проблеми во пресметковната геометрија.

Во оваа лекција ќе создадеме програма за наоѓање равенка на права, поминувајќи низ дадена две точки. За да решиме геометриски проблеми, ни треба одредено знаење за пресметковната геометрија. Дел од лекцијата ќе посветиме на запознавање со нив.

Увид од компјутерската геометрија

Пресметувачката геометрија е гранка на компјутерската наука која ги проучува алгоритмите за решавање на геометриски проблеми.

Почетните податоци за ваквите проблеми може да бидат збир точки на рамнина, множество отсечки, многуаголник (наведен, на пример, со список на неговите темиња по редослед на стрелките на часовникот) итн.

Резултатот може да биде или одговор на некое прашање (на пример, дали точката припаѓа на отсечка, дали се сечат две отсечки, ...), или некој геометриски објект (на пример, најмалиот конвексен полигон кој ги поврзува дадените точки, плоштината на многуаголник, итн.) .

Ќе ги разгледаме проблемите на пресметковната геометрија само на рамнината и само во Декартовиот координатен систем.

Вектори и координати

За да се применат методите на пресметковната геометрија, неопходно е геометриските слики да се преведат на јазикот на броевите. Ќе претпоставиме дека на рамнината и е даден Декартов координатен систем, во кој насоката на ротација спротивно од стрелките на часовникот се нарекува позитивна.

Сега геометриските објекти добиваат аналитички израз. Значи, за да се одреди точка, доволно е да се наведат нејзините координати: пар броеви (x; y). Отсечка може да се специфицира со одредување на координатите на нејзините краеви, права линија може да се специфицира со одредување на координатите на пар од нејзините точки.

Но, нашата главна алатка за решавање проблеми ќе бидат вектори. Затоа, дозволете ми да се потсетам на некои информации за нив.

Линиски сегмент АБ, која има точка Асе смета за почеток (точка на примена), а точка ВО– крај, наречен вектор АБи се означува со или или со задебелена мала буква, на пример А .

За да ја означиме должината на векторот (односно должината на соодветниот сегмент), ќе го користиме симболот на модулот (на пример, ).

Произволен вектор ќе има координати еднакви на разликата помеѓу соодветните координати на неговиот крај и почеток:

,

еве ги точките АИ Б имаат координати соодветно.

За пресметки ќе го користиме концептот ориентиран агол, односно агол кој ја зема предвид релативната положба на векторите.

Ориентиран агол помеѓу вектори а И б позитивно ако ротацијата е од векторот а до вектор б се изведува во позитивна насока (спротивно од стрелките на часовникот), а во другиот случај негативен. Види Сл.1а, Сл.1б. Се вели и дека пар вектори а И б позитивно (негативно) ориентиран.

Така, вредноста на ориентираниот агол зависи од редоследот по кој се наведени векторите и може да земаат вредности во интервалот.

Многу проблеми во пресметковната геометрија го користат концептот на векторски (искривени или псевдоскаларни) производи на вектори.

Векторскиот производ на векторите a и b е производ од должините на овие вектори и синусот на аголот меѓу нив:

.

Вкрстен производ на вектори во координати:

Изразот на десната страна е детерминанта од втор ред:

За разлика од дефиницијата дадена во аналитичката геометрија, таа е скаларна.

Знакот на векторскиот производ ја одредува позицијата на векторите во однос на едни со други:

а И б позитивно ориентирани.

Ако вредноста е , тогаш пар вектори а И б негативно ориентирана.

Вкрстениот производ на ненулта вектори е нула ако и само ако се колинеарни ( ). Тоа значи дека лежат на иста линија или на паралелни линии.

Ајде да погледнеме неколку едноставни проблеми кои се неопходни при решавање на посложени.

Да ја одредиме равенката на права линија од координатите на две точки.

Равенка на права што минува низ две различни точки одредени со нивните координати.

Нека се дадени две точки кои не се совпаѓаат на права линија: со координати (x1; y1) и со координати (x2; y2). Според тоа, вектор со почеток во точка и крај во точка има координати (x2-x1, y2-y1). Ако P(x, y) е произволна точка на нашата права, тогаш координатите на векторот се еднакви на (x-x1, y – y1).

Користејќи го векторскиот производ, условот за колинеарност на вектори и може да се запише на следниов начин:

Оние. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1 (y1-y2) + y1 (x2-x1) = 0

Последната равенка ја препишуваме на следниов начин:

секира + со + c = 0, (1)

c = x1 (y1-y2) + y1 (x2-x1)

Значи, правата линија може да се определи со равенка од формата (1).

Задача 1. Дадени се координатите на две точки. Најдете го неговото претставување во форма ax + by + c = 0.

Во оваа лекција научивме некои информации за пресметковната геометрија. Ја решивме задачата да најдеме равенка на права од координати на две точки.

Во следната лекција, ќе создадеме програма за наоѓање на пресечната точка на две прави дадени со нашите равенки.

Својства на права линија во Евклидовата геометрија.

Низ која било точка може да се повлече бесконечен број прави линии.

Низ кои било две точки кои не се совпаѓаат може да се повлече една права линија.

Две дивергентни прави во рамнината или се сечат во една точка или се

паралелно (следи од претходниот).

Во тридимензионалниот простор, постојат три опции за релативна положба на две линии:

• линиите се сечат;

• линиите се паралелни;

• права линии се сечат.

Директно линија— алгебарска крива од прв ред: права линија во Декартовиот координатен систем

се дава на рамнината со равенка од прв степен (линеарна равенка).

Општа равенка на права линија.

Дефиниција. Секоја права линија на рамнината може да се определи со равенка од прв ред

Секира + Ву + С = 0,

и постојана А, Бне се еднакви на нула во исто време. Оваа равенка од прв ред се нарекува општо

равенка на права линија.Во зависност од вредностите на константите А, БИ СОСледниве посебни случаи се можни:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- низ потеклото минува права линија

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- права линија паралелна на оската О

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- права линија паралелна на оската ОУ

. B = C = 0, A ≠0- правата линија се совпаѓа со оската ОУ

. A = C = 0, B ≠0- правата линија се совпаѓа со оската О

Равенката на права линија може да биде претставена во различни форми во зависност од даденото

почетни услови.

Равенка на права линија од точка и нормален вектор.

Дефиниција. Во Декартов правоаголен координатен систем, вектор со компоненти (А, Б)

нормално на правата дадена со равенката

Секира + Ву + С = 0.

Пример. Најдете ја равенката на права што минува низ точка A(1, 2)нормално на векторот (3, -1).

Решение. Со A = 3 и B = -1, да ја составиме равенката на права линија: 3x - y + C = 0. Да се ​​најде коефициентот C

Да ги замениме координатите на дадената точка А во добиениот израз.Добиваме: 3 - 2 + C = 0, значи

C = -1. Вкупно: потребната равенка: 3x - y - 1 = 0.

Равенка на права што минува низ две точки.

Нека се дадени две точки во просторот M 1 (x 1 , y 1 , z 1)И M2 (x 2, y 2, z 2),Потоа равенка на права,

поминувајќи низ овие точки:

Ако некој од именителот е нула, соодветниот броител треба да се постави еднаков на нула. На

рамнина, равенката на правата линија напишана погоре е поедноставена:

Ако x 1 ≠ x 2И x = x 1, Ако x 1 = x 2 .

Дропка = kповикани наклон директно.

Пример. Најдете ја равенката на правата што минува низ точките A(1, 2) и B(3, 4).

Решение. Применувајќи ја формулата напишана погоре, добиваме:

Равенка на права линија со помош на точка и наклон.

Ако општата равенка на правата Секира + Ву + С = 0води до:

и назначи , тогаш се нарекува добиената равенка

равенка на права линија со наклон k.

Равенка на права линија од точка и вектор на насока.

По аналогија со точката што ја разгледува равенката на права линија низ нормалниот вектор, можете да ја внесете задачата

права линија низ точка и насочен вектор на права линија.

Дефиниција. Секој вектор без нула (α 1 , α 2), чии компоненти ја задоволуваат состојбата

Aα 1 + Bα 2 = 0повикани насочувачки вектор на права линија.

Секира + Ву + С = 0.

Пример. Најдете ја равенката на права линија со вектор на насока (1, -1) и минува низ точката A(1, 2).

Решение. Равенката на саканата линија ќе ја бараме во форма: Ax + By + C = 0.Според дефиницијата,

коефициентите мора да ги исполнуваат следниве услови:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = Б.

Тогаш равенката на права линија има форма: Ax + Ay + C = 0,или x + y + C / A = 0.

на x = 1, y = 2добиваме C/A = -3, т.е. потребна равенка:

x + y - 3 = 0

Равенка на права линија во отсечки.

Ако во општата равенка на права линија Ах + Ву + С = 0 С≠0, тогаш, делејќи се со -С, добиваме:

или каде

Геометриското значење на коефициентите е дека коефициентот a е координата на пресечната точка

право со оска О,А б- координата на точката на пресек на правата со оската ОУ.

Пример. Дадена е општата равенка на права линија x - y + 1 = 0.Најдете ја равенката на оваа права во отсечки.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Нормална равенка на права.

Ако двете страни на равенката Секира + Ву + С = 0подели со број кој се нарекува

нормализирачки фактор, тогаш добиваме

xcosφ + ysinφ - p = 0 -нормална равенка на права.

Знакот ± на нормализирачкиот фактор мора да биде избран така што μ*C< 0.

Р- должината на нормалната спуштена од почеток до права линија,

А φ - аголот формиран од оваа нормална со позитивната насока на оската О.

Пример. Дадена е општата равенка на правата 12x - 5y - 65 = 0. Потребно е за пишување различни типови равенки

оваа права линија.

Равенката на оваа права во отсечки:

Равенката на оваа линија со наклонот: (поделете со 5)

Равенка на права:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Треба да се забележи дека не секоја права линија може да биде претставена со равенка во отсечки, на пример, прави линии,

паралелно со оските или минува низ потеклото.

Аголот помеѓу прави линии на рамнина.

Дефиниција. Ако се дадени два реда y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, потоа акутниот агол помеѓу овие линии

ќе се дефинира како

Две прави се паралелни ако k 1 = k 2. Две прави се нормални

Ако k 1 = -1 / k 2 .

Теорема.

Директно Секира + Ву + С = 0И A 1 x + B 1 y + C 1 = 0паралелно кога коефициентите се пропорционални

A 1 = λA, B 1 = λB. Ако исто така С 1 = λС, тогаш линиите се совпаѓаат. Координати на точката на пресек на две прави

се наоѓаат како решение на системот равенки на овие прави.

Равенката на права што минува низ дадена точка нормална на дадена права.

Дефиниција. Линија што минува низ точка M 1 (x 1, y 1)и нормално на правата y = kx + b

претставено со равенката:

Растојание од точка до права.

Теорема. Ако се даде поен M(x 0, y 0),потоа растојанието до права линија Секира + Ву + С = 0дефинирано како:

Доказ. Нека поентата M 1 (x 1, y 1)- основата на перпендикулар падна од точка Мза дадено

директно. Потоа растојанието помеѓу точките МИ М 1:

(1)

Координати x 1И во 1може да се најде како решение за системот на равенки:

Втората равенка на системот е равенката на права линија што минува низ дадена точка M 0 нормално

дадена права линија. Ако ја трансформираме првата равенка на системот во форма:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Со 0 + C = 0,

тогаш, решавајќи, добиваме:

Заменувајќи ги овие изрази во равенката (1), наоѓаме:

Теоремата е докажана.

Нека правата поминува низ точките M 1 (x 1; y 1) и M 2 (x 2; y 2). Равенката на права линија што минува низ точката M 1 има форма y-y 1 = к (x - x 1), (10,6)

Каде к - сеуште непознат коефициент.

Бидејќи правата линија минува низ точката M 2 (x 2 y 2), координатите на оваа точка мора да ја задоволат равенката (10.6): y 2 -y 1 = к (x 2 - x 1).

Од тука наоѓаме Замена на пронајдената вредност к во равенката (10.6), ја добиваме равенката на права линија што минува низ точките M 1 и M 2:

Се претпоставува дека во оваа равенка x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Ако x 1 = x 2, тогаш правата линија што минува низ точките M 1 (x 1,y I) и M 2 (x 2,y 2) е паралелна со оската на ординатите. Нејзината равенка е x = x 1 .

Ако y 2 = y I, тогаш равенката на правата може да се запише како y = y 1, правата линија M 1 M 2 е паралелна со оската на апсцисата.

Равенка на права во отсечки

Нека правата ја пресекува оската Ox во точката M 1 (a;0), и оската Oy во точката M 2 (0;b). Равенката ќе ја има формата:
тие.
. Оваа равенка се нарекува равенка на права линија во отсечки, бидејќи броевите a и b покажуваат кои отсечки ги отсекува правата на координатните оски.

Равенка на права што минува низ дадена точка нормална на даден вектор

Да ја најдеме равенката на права линија што минува низ дадена точка Mo (x O; y o) нормална на даден вектор кој не е нула n = (A; B).

Да земеме произволна точка M(x; y) на правата и да го разгледаме векторот M 0 M (x - x 0; y - y o) (види слика 1). Бидејќи векторите n и M o M се нормални, нивниот скаларен производ е еднаков на нула: т.е.

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Се повикува равенката (10.8). равенка на права линија што минува низ дадена точка нормална на даден вектор .

Векторот n= (A; B), нормално на правата, се нарекува нормален нормален вектор на оваа линија .

Равенката (10.8) може да се преработи како Ах + Ву + С = 0 , (10.9)

каде A и B се координатите на нормалниот вектор, C = -Ax o - Vu o е слободниот член. Равенка (10.9) е општата равенка на правата(види Сл. 2).

Сл.1 Сл.2

Канонски равенки на правата

,

Каде
- координати на точката низ која минува правата и
- вектор на насока.

Криви од втор ред Круг

Круг е збир на сите точки на рамнината еднакво оддалечени од дадена точка, која се нарекува центар.

Канонска равенка на круг со радиус Р центриран во точка
:

Особено, ако центарот на влогот се совпаѓа со потеклото на координатите, тогаш равенката ќе изгледа вака:

Елипса

Елипса е збир на точки на рамнина, збир на растојанија од кои секоја до две дадени точки И , кои се нарекуваат фокуси, е константна количина
, поголемо од растојанието помеѓу фокусите
.

Канонската равенка на елипса чии фокуси лежат на оската Ox, а потеклото на координатите во средината помеѓу фокусите има форма
Г деа должина на полуглавна оска;б – должина на полуминорната оска (сл. 2).