Инвертибилни матрици. Виша математика

Оваа тема е една од најомразените меѓу студентите. Полоши, веројатно, се квалификациите.

Трикот е што самиот концепт на инверзен елемент (и не зборувам само за матрици) нè упатува на операцијата на множење. Дури и во училишната програма множењето се смета за сложена операција, а множењето на матрици е генерално посебна тема, на која имам посветено цел пасус и видео лекција.

Денес нема да навлегуваме во деталите за пресметките на матрицата. Само да се потсетиме: како се назначуваат матриците, како се множат и што следи од ова.

Преглед: Множење на матрици

Најпрво, да се договориме за нотација. Матрицата $A$ со големина $\left[ m\times n \десно]$ е едноставно табела со броеви со точно $m$ редови и $n$ колони:

\=\подграда(\лево[ \почеток(матрица) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((а)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\крај (матрица) \десно])_(n)\]

За да избегнете случајно мешање на редови и колони (верувајте ми, на испит можете да помешате еден со два, а камоли некои редови), само погледнете ја сликата:

Што се случува? Ако го поставите стандардниот координатен систем $OXY$ во горниот лев агол и ги насочите оските така што тие ја покриваат целата матрица, тогаш секоја ќелија од оваа матрица може уникатно да се поврзе со координатите $\left(x;y \десно)$ - ова ќе биде бројот на редот и бројот на колоната.

Зошто координатниот систем е поставен во горниот лев агол? Да, затоа што од таму почнуваме да читаме какви било текстови. Многу е лесно да се запамети.

Зошто оската $x$ е насочена надолу, а не надесно? Повторно, едноставно е: земете стандарден координатен систем (оската $x$ оди надесно, оската $y$ оди нагоре) и ротирајте го така што ќе ја покрие матрицата. Ова е ротација од 90 степени во насока на стрелките на часовникот - го гледаме резултатот на сликата.

Во принцип, сфативме како да ги одредиме индексите на елементите на матрицата. Сега да го погледнеме множењето.

Дефиниција. Матриците $A=\left[ m\times n \десно]$ и $B=\left[n\times k \десно]$, кога бројот на колони во првата се совпаѓа со бројот на редови во втората, се наречена конзистентна.

Токму по тој редослед. Може да се збуни и да каже дека матриците $A$ и $B$ формираат подреден пар $\left(A;B \right)$: ако тие се конзистентни во овој редослед, тогаш воопшто не е неопходно $B $ и $A$ тие. парот $\left(B;A \десно)$ е исто така конзистентен.

Може да се множат само соодветните матрици.

Дефиниција. Производот на усогласените матрици $A=\left[ m\times n \right]$ и $B=\left[n\times k \right]$ е новата матрица $C=\left[ m\times k \десно ]$ , чии елементи $((c)_(ij))$ се пресметуваат според формулата:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

Со други зборови: за да го добиете елементот $((c)_(ij))$ од матрицата $C=A\cdot B$, треба да го земете $i$-редот од првата матрица, $j$ -та колона од втората матрица, а потоа множете ги во пар елементи од оваа редица и колона. Соберете ги резултатите.

Да, тоа е толку сурова дефиниција. Од него веднаш произлегуваат неколку факти:

1. Множењето на матрицата, општо земено, е некомутативно: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. Сепак, множењето е асоцијативно: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
3. Па дури и дистрибутивно: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. И уште еднаш дистрибутивно: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

Дистрибутивноста на множењето мораше да се опише посебно за левиот и десниот збирен фактор токму поради некомутативноста на операцијата за множење.

Ако се покаже дека $A\cdot B=B\cdot A$, таквите матрици се нарекуваат комутативни.

Меѓу сите матрици што се множат со нешто таму, има и посебни - оние кои, кога се множат со која било матрица $A$, повторно даваат $A$:

Дефиниција. Матрицата $E$ се нарекува идентитет ако $A\cdot E=A$ или $E\cdot A=A$. Во случај на квадратна матрица $A$ можеме да напишеме:

Матрицата за идентитет е чест гостин при решавање на матрични равенки. И воопшто, чест гостин во светот на матриците. :)

И поради ова $E$, некој ги смисли сите глупости што ќе бидат напишани понатаму.

Што е инверзна матрица

Бидејќи множењето на матрицата е многу трудоинтензивна операција (мора да помножите еден куп редови и колони), концептот на инверзна матрица исто така се покажува дека не е најбанален. И бара некое објаснување.

Клучна дефиниција

Па, време е да ја дознаеме вистината.

Дефиниција. Матрицата $B$ се нарекува инверзна на матрицата $A$ ако

Инверзната матрица е означена со $((A)^(-1))$ (да не се меша со степенот!), па дефиницијата може да се препише на следниов начин:

Се чини дека сè е исклучително едноставно и јасно. Но, кога се анализира оваа дефиниција, веднаш се појавуваат неколку прашања:

1. Дали секогаш постои инверзна матрица? И ако не секогаш, тогаш како да се утврди: кога постои, а кога не?
2. А кој рече дека има точно една таква матрица? Што ако за некоја почетна матрица $A$ има цела толпа од инверзи?
3. Како изгледаат сите овие „риверси“? И како, точно, да ги броиме?

Што се однесува до алгоритмите за пресметка, ќе зборуваме за ова малку подоцна. Но, ние ќе одговориме на преостанатите прашања токму сега. Да ги формулираме во форма на посебни изјави-леми.

Основни својства

Да почнеме со тоа како матрицата $A$, во принцип, треба да изгледа за да постои $((A)^(-1))$ за неа. Сега ќе се погрижиме и двете матрици да бидат квадратни и со иста големина: $\left[ n\times n \десно]$.

Лема 1. Дадена е матрица $A$ и нејзината инверзна $((A)^(-1))$. Тогаш и двете од овие матрици се квадратни и со ист ред $n$.

Доказ. Едноставно е. Нека матрицата $A=\left[ m\times n \десно]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \десно]$. Бидејќи производот $A\cdot ((A)^(-1))=E$ постои по дефиниција, матриците $A$ и $((A)^(-1))$ се конзистентни по прикажаниот редослед:

\[\почеток(порамни) и \лево[ m\пати n \десно]\cdot \лево[ a\times b \десно]=\лево[ m\пати b \десно] \\ & n=a \крај( порамни)\]

Ова е директна последица на алгоритмот за множење на матрицата: коефициентите $n$ и $a$ се „транзитни“ и мора да бидат еднакви.

Истовремено се дефинира и инверзното множење: $((A)^(-1))\cdot A=E$, затоа матриците $((A)^(-1))$ и $A$ се исто така конзистентно во наведениот редослед:

\[\почеток(порамни) и \лево[ a\times b \десно]\cdot \лево[ m\times n \десно]=\лево[ a\times n \десно] \\ & b=m \end( порамни)\]

Така, без губење на општоста, можеме да претпоставиме дека $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[n\times m \десно]$. Сепак, според дефиницијата за $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$, затоа големините на матриците строго се совпаѓаат:

\[\почеток(порамни) и \лево[ m\пати n \десно]=\лево[ n\пати m \десно] \\ & m=n \крај (порамни)\]

Така, излегува дека сите три матрици - $A$, $((A)^(-1))$ и $E$ - се квадратни матрици со големина $\left[ n\times n \десно]$. Лемата е докажана.

Па, тоа е веќе добро. Гледаме дека само квадратните матрици се инверзибилни. Сега да се увериме дека инверзната матрица е секогаш иста.

Лема 2. Дадена е матрица $A$ и нејзината инверзна $((A)^(-1))$. Тогаш оваа инверзна матрица е единствената.

Доказ. Ајде да одиме по контрадикторност: нека матрицата $A$ има најмалку две инверзни - $B$ и $C$. Тогаш, според дефиницијата, следните еднаквости се вистинити:

\[\почеток(порамни) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \крај (порамни)\]

Од Лема 1 заклучуваме дека сите четири матрици - $A$, $B$, $C$ и $E$ - се квадрати со ист ред: $\left[ n\times n \десно]$. Затоа, производот е дефиниран:

Бидејќи множењето на матрицата е асоцијативно (но не и комутативно!), можеме да напишеме:

\[\почеток(порамни) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \десно)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \десно)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Десна стрелка B=C. \\ \крај (порамни)\]

Ја добивме единствената можна опција: две копии од инверзната матрица се еднакви. Лемата е докажана.

Горенаведените аргументи речиси дословно го повторуваат доказот за единственоста на инверзниот елемент за сите реални броеви $b\ne 0$. Единственото значајно додавање е земањето во предвид димензијата на матриците.

Сепак, сè уште не знаеме ништо за тоа дали секоја квадратна матрица е инвертибилна. Овде ни доаѓа одредницата - ова е клучна карактеристика за сите квадратни матрици.

Лема 3. Дадена е матрица $A$. Ако нејзината инверзна матрица $((A)^(-1))$ постои, тогаш детерминантата на оригиналната матрица е ненула:

\[\лево| A\десно|\ne 0\]

Доказ. Веќе знаеме дека $A$ и $((A)^(-1))$ се квадратни матрици со големина $\left[ n\times n \десно]$. Затоа, за секоја од нив можеме да ја пресметаме детерминантата: $\left| A\десно|$ и $\лево| ((A)^(-1)) \десно|$. Меѓутоа, детерминантата на производот е еднаква на производот на детерминантите:

\[\лево| A\cточка B \десно|=\лево| А \десно|\cdot \лево| B \десно|\Десна стрелка \лево| A\cdot ((A)^(-1)) \десно|=\лево| А \десно|\cdot \лево| ((A)^(-1)) \десно|\]

Но, според дефиницијата, $A\cdot ((A)^(-1))=E$, а детерминантата на $E$ е секогаш еднаква на 1, така што

\[\begin(порамни) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \лево| A\cdot ((A)^(-1)) \десно|=\лево| E\десно|; \\ & \лево| А \десно|\cdot \лево| ((A)^(-1)) \десно|=1. \\ \крај (порамни)\]

Производот на два броја е еднаков на еден само ако секој од овие броеви не е нула:

\[\лево| А \десно|\ne 0;\четири \лево| ((A)^(-1)) \десно|\ne 0.\]

Значи, излегува дека $\лево| А \десно|\ne 0$. Лемата е докажана.

Всушност, ова барање е сосема логично. Сега ќе го анализираме алгоритмот за пронаоѓање на инверзна матрица - и ќе стане целосно јасно зошто, со нулта детерминанта, во принцип не може да постои инверзна матрица.

Но, прво, ајде да формулираме „помошна“ дефиниција:

Дефиниција. Единечна матрица е квадратна матрица со големина $\left[n\times n \right]$ чија детерминанта е нула.

Така, можеме да тврдиме дека секоја инвертибилна матрица е неединечна.

Како да се најде инверзна матрица

Сега ќе разгледаме универзален алгоритам за наоѓање инверзни матрици. Во принцип, постојат два општо прифатени алгоритми, а ние исто така ќе го разгледаме вториот денес.

Онаа што ќе се дискутира сега е многу ефикасна за матрици со големина $\left[ 2\times 2 \right]$ и - делумно - големина $\left[ 3\times 3 \десно]$. Но, почнувајќи од големината $\лево[ 4\пати 4 \десно]$ подобро е да не го користите. Зошто - сега сè ќе разберете сами.

Алгебарски дополнувања

Подготви се. Сега ќе има болка. Не, не грижете се: убава медицинска сестра во здолниште, чорапи со чипка нема да ви дојде и да ви даде инјекција во задникот. Сè е многу попрозаично: алгебарски дополнувања и Нејзиното Височество „Матрицата на Унијата“ доаѓаат кај вас.

Да почнеме со главната работа. Нека има квадратна матрица со големина $A=\left[ n\times n \right]$, чии елементи се нарекуваат $((a)_(ij))$. Потоа за секој таков елемент можеме да дефинираме алгебарски комплемент:

Дефиниција. Алгебарски комплемент $((A)_(ij))$ на елементот $((a)_(ij))$ сместен во $i$th ред и $j$th колона од матрицата $A=\left[ n \times n \right]$ е конструкција на формата

\[((A)_(ij))=((\лево(-1 \десно))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

Каде што $M_(ij)^(*)$ е детерминанта на матрицата добиена од оригиналната $A$ со бришење на истиот $i$th ред и $j$th колона.

Повторно. Алгебарскиот комплемент на елементот на матрицата со координати $\left(i;j \right)$ се означува како $((A)_(ij))$ и се пресметува според шемата:

1. Прво, ги бришеме колоните $i$-ред и $j$-th од оригиналната матрица. Добиваме нова квадратна матрица и нејзината детерминанта ја означуваме како $M_(ij)^(*)$.
2. Потоа ја множиме оваа детерминанта со $((\left(-1 \десно))^(i+j))$ - на почетокот овој израз може да изгледа воодушевувачки, но во суштина ние едноставно го откриваме знакот пред $M_(ij)^(*) $.
3. Броиме и добиваме одредена бројка. Оние. алгебарското собирање е точно број, а не некоја нова матрица итн.

Самата матрица $M_(ij)^(*)$ се нарекува дополнителен минор на елементот $((a)_(ij))$. И во оваа смисла, горната дефиниција за алгебарски комплемент е посебен случај на посложена дефиниција - она ​​што го разгледавме во лекцијата за детерминантата.

Важна забелешка. Всушност, во математиката за „возрасни“, алгебарските собирања се дефинираат на следниов начин:

1. Земаме $k$ редови и $k$ колони во квадратна матрица. На нивното вкрстување добиваме матрица со големина $\left[ k\times k \right]$ - нејзината детерминанта се нарекува минор од ред $k$ и се означува $((M)_(k))$.
2. Потоа ги прецртуваме овие „одбрани“ $k$ редови и $k$ колони. Уште еднаш добивате квадратна матрица - нејзината детерминанта се нарекува дополнителен минор и се означува $M_(k)^(*)$.
3. Помножете $M_(k)^(*)$ со $((\left(-1 \десно))^(t))$, каде што $t$ е (внимание сега!) збирот на броевите на сите избрани редови и колони. Ова ќе биде алгебарско собирање.

Погледнете го третиот чекор: всушност има сума од 2 илјади долари термини! Друга работа е што за $k=1$ ќе добиеме само 2 члена - овие ќе бидат исти $i+j$ - „координатите“ на елементот $((a)_(ij))$ за кој сме барајќи алгебарски комплемент.

Така, денес користиме малку поедноставена дефиниција. Но, како што ќе видиме подоцна, тоа ќе биде повеќе од доволно. Следното нешто е многу поважно:

Дефиниција. Сојузната матрица $S$ до квадратната матрица $A=\left[ n\times n \right]$ е нова матрица со големина $\left[ n\times n \right]$, која се добива од $A$ со замена на $(( a)_(ij))$ со алгебарски собирања $((A)_(ij))$:

\\ Десна стрелка S=\лево[ \почеток(матрица) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\крај (матрица) \десно]\]

Првата мисла што се јавува во моментот на реализација на оваа дефиниција е „колку ќе треба да се брои!“ Опуштете се: ќе треба да броите, но не толку. :)

Па, сето ова е многу убаво, но зошто е потребно? Но зошто.

Главна теорема

Да се ​​вратиме малку назад. Запомнете, во Лема 3 беше наведено дека инвертибилната матрица $A$ е секогаш не-единечна (односно, нејзината детерминанта е не-нула: $\left| A \right|\ne 0$).

Значи, спротивното е исто така точно: ако матрицата $A$ не е еднина, тогаш таа е секогаш инвертибилна. Има дури и шема за пребарување за $((A)^(-1))$. Провери го:

Теорема на инверзна матрица. Нека е дадена квадратна матрица $A=\left[ n\times n \right]$, а нејзината детерминанта е ненула: $\left| А \десно|\ne 0$. Тогаш инверзната матрица $((A)^(-1))$ постои и се пресметува со формулата:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\лево| A \десно|)\cdot ((S)^(T))\]

И сега - сè е исто, но со читлив ракопис. За да ја пронајдете инверзната матрица, потребно е:

1. Пресметајте ја детерминантата $\left| А \right|$ и проверете дали е не-нула.
2. Конструирајте ја синдикалната матрица $S$, т.е. изброи 100500 алгебарски собирања $((A)_(ij))$ и поставете ги на местото $((a)_(ij))$.
3. Транспонирајте ја оваа матрица $S$, а потоа помножете ја со некој број $q=(1)/(\left| A \десно|)\;$.

Тоа е се! Пронајдена е инверзната матрица $((A)^(-1))$. Ајде да погледнеме примери:

\[\лево[ \почеток(матрица) 3 и 1 \\ 5 и 2 \\\крај (матрица) \десно]\]

Решение. Ајде да ја провериме реверзибилноста. Да ја пресметаме детерминантата:

\[\лево| A\десно|=\лево| \почеток(матрица) 3 и 1 \\ 5 и 2 \\\крај (матрица) \десно|=3\cточка 2-1\cточка 5=6-5=1\]

Детерминантата е различна од нула. Ова значи дека матрицата е инвертибилна. Ајде да создадеме матрица на унија:

Да ги пресметаме алгебарските собирања:

\[\почеток(порамни) & ((A)_(11))=((\лево(-1 \десно))^(1+1))\cdot \лево| 2 \десно|=2; \\ & ((A)_(12))=((\лево(-1 \десно))^(1+2))\cточка \лево| 5 \десно|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\лево(-1 \десно))^(2+1))\cточка \лево| 1 \десно|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\лево(-1 \десно))^(2+2))\cточка \лево| 3\десно|=3. \\ \крај (порамни)\]

Забележете: детерминантите |2|, |5|, |1| и |3| се детерминанти на матрици со големина $\left[ 1\times 1 \right]$, а не модули. Оние. Ако имало негативни броеви во детерминантите, нема потреба да се отстранува „минусот“.

Севкупно, нашата синдикална матрица изгледа вака:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\лево| A \десно|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\лево[ \почеток(низа)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 и 3 \\\крај (низа) \десно])^(T))=\лево[ \почеток (низа)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\крај (низа) \десно]\]

ОК сега е готово. Проблемот е решен.

Одговори. $\лево[ \почеток(низа)(*(35)(r)) 2 и -1 \\ -5 и 3 \\\крај (низа) \десно]$

Задача. Најдете ја инверзната матрица:

\[\лево[ \почеток(низа)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 и 0 & 1 \\\крај (низа) \десно] \]

Решение. Повторно ја пресметуваме детерминантата:

\[\почеток(порамни) и \лево| \почеток(низа)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\крај (низа) \десно|=\почеток(матрица ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \десно)\cdot \left(-1 \десно)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \десно)- \\ -\лево (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \десно)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \десно)\cточка 0 \десно) \\\крај (матрица)= \ \ & =\лево(2+1+0 \десно)-\лево(4+0+0 \десно)=-1\ne 0. \\ \крај (порамни)\]

Детерминантата е ненула - матрицата е инвертибилна. Но, сега ќе биде навистина тешко: треба да броиме дури 9 (девет, ебам!) алгебарски дополнувања. И секоја од нив ќе ја содржи детерминантата $\left[ 2\times 2 \right]$. Леташе:

\[\begin(матрица) ((A)_(11))=((\left(-1 \десно))^(1+1))\cdot \left| \begin(матрица) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(матрица) \десно|=2; \\ ((A)_(12))=((\лево(-1 \десно))^(1+2))\cdot \лево| \почеток(матрица) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\крај (матрица) \десно|=-1; \\ ((A)_(13))=((\лево(-1 \десно))^(1+3))\cdot \лево| \почеток(матрица) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\крај (матрица) \десно|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\лево(-1 \десно))^(3+3))\cточка \лево| \begin(матрица) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(матрица) \десно|=2; \\ \крај (матрица)\]

Накратко, матрицата на унијата ќе изгледа вака:

Според тоа, инверзната матрица ќе биде:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \лево[ \почеток(матрица) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 и 1 и 2 \\\крај (матрица) \десно]=\лево[ \почеток(низа)(*(35)(r))-2 и -1 и 3 \\ 1 и 1 и -1 \ \2 и 1 и -2 \\\крај (низа) \десно]\]

Тоа е тоа. Еве го одговорот.

Одговори. $\left[ \begin(низа)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end (низа) \десно ]$

Како што можете да видите, на крајот од секој пример извршивме проверка. Во овој поглед, важна забелешка:

Немојте да бидете мрзливи да проверите. Помножете ја оригиналната матрица со пронајдената инверзна матрица - треба да добиете $E$.

Извршувањето на оваа проверка е многу полесно и побрзо отколку да барате грешка во понатамошните пресметки кога, на пример, решавате матрична равенка.

Алтернативен начин

Како што реков, теоремата на инверзната матрица работи одлично за големини $\left[ 2\times 2 \десно]$ и $\left[3\пати 3 \десно]$ (во вториот случај, не е толку „одлично“ " ), но за поголемите матрици започнува тагата.

Но, не грижете се: постои алтернативен алгоритам со кој можете мирно да го пронајдете обратното дури и за матрицата $\left[ 10\пати 10 \десно]$. Но, како што често се случува, за да го разгледаме овој алгоритам ни треба малку теоретска позадина.

Елементарни трансформации

Меѓу сите можни трансформации на матрицата, има неколку посебни - тие се нарекуваат елементарни. Постојат точно три такви трансформации:

1. Множење. Можете да го земете $i$-тиот ред (колона) и да го помножите со кој било број $k\ne 0$;
2. Додаток. Додајте во $i$-th ред (колона) кој било друг $j$-th ред (колона), помножен со кој било број $k\ne 0$ (се разбира, можете да направите $k=0$, но што е поентата? ? Ништо нема да се промени).
3. Преуредување. Земете ги $i$th и $j$th редови (колони) и заменете ги местата.

Зошто овие трансформации се нарекуваат елементарни (за големите матрици не изгледаат толку елементарни) и зошто ги има само три - овие прашања се надвор од опсегот на денешната лекција. Затоа, нема да навлегуваме во детали.

Друга работа е важна: мораме да ги извршиме сите овие перверзии на придружната матрица. Да, да: добро слушнавте. Сега ќе има уште една дефиниција - последната во денешната лекција.

Соодветна матрица

Сигурно на училиште сте решиле системи на равенки користејќи го методот на собирање. Па, таму, одземете друга од една линија, помножете некоја линија со број - тоа е сè.

Значи: сега сè ќе биде исто, но на „возрасен“ начин. Подготвени?

Дефиниција. Нека се дадени матрица $A=\left[ n\times n \десно]$ и идентитетска матрица $E$ со иста големина $n$. Потоа дополнителната матрица $\left[ A\left| Е\ во право. \right]$ е нова матрица со големина $\left[ n\times 2n \right]$ која изгледа вака:

\[\лево[ А\лево| Е\ во право. \десно]=\лево[ \почеток(низа)(rrrr|rrrr)(a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & (a)_(22)) & ... & ((а)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\крај (низа) \десно]\]

Накратко, ја земаме матрицата $A$, десно и ја доделуваме матрицата за идентитет $E$ со потребната големина, ги одделуваме со вертикална лента за убавина - тука го имате придружното. :)

Што е финтата? Еве што:

Теорема. Нека матрицата $A$ е инвертибилна. Размислете за придружната матрица $\left[ A\left| Е\ во право. \десно]$. Доколку се користи елементарни конверзии на низадоведете го во форма $\left[ E\left| B\десно. \десно]$, т.е. со множење, одземање и преуредување на редовите за да се добие од $A$ матрицата $E$ на десната страна, а потоа матрицата $B$ добиена лево е инверзна на $A$:

\[\лево[ А\лево| Е\ во право. \десно]\на \лево[ Е\лево| B\десно. \десно]\Десна стрелка B=((A)^(-1))\]

Тоа е толку едноставно! Накратко, алгоритмот за пронаоѓање на инверзна матрица изгледа вака:

1. Напишете ја придружната матрица $\left[ A\left| Е\ во право. \десно]$;
2. Вршете конверзија на елементарни низи додека не се појави $E$ наместо $A$;
3. Се разбира, нешто ќе се појави и лево - одредена матрица $B$. Ова ќе биде спротивното;
4. ПРОФИТ!:)

Се разбира, ова е многу полесно да се каже отколку да се направи. Значи, ајде да погледнеме неколку примери: за големини $\left[ 3\times 3 \десно]$ и $\left[4\пати 4 \десно]$.

Задача. Најдете ја инверзната матрица:

\[\лево[ \почеток(низа)(*(35)(r)) 1 и 5 и 1 \\ 3 и 2 и 1 \\ 6 & -2 и 1 \\\крај (низа) \десно]\ ]

Решение. Ја креираме придружната матрица:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 и 1 \\\крај (низа) \десно]\]

Бидејќи последната колона од оригиналната матрица е исполнета со оние, одземете го првиот ред од останатите:

\[\ почеток(порамни) и \лево[ \почеток(низа)(rrr|rrr) 1 и 5 и 1 и 1 и 0 и 0 \\ 3 и 2 и 1 и 0 и 1 и 0 \\ 6 & - 2 и 1 и 0 и 0 и 1 \\\крај (низа) \десно]\почеток (матрица) \долу \\ -1 \\ -1 \\\крај (матрица)\до \\ и \налево [ \почеток(низа)(rrr|rrr) 1 и 5 и 1 и 1 и 0 и 0 \\ 2 и -3 и 0 и -1 и 1 и 0 \\ 5 и -7 и 0 и -1 и 0 & 1 \\\крај (низа) \десно] \\ \крај (порамни)\]

Нема повеќе единици, освен првиот ред. Но, ние не го допираме, инаку новоотстранетите единици ќе почнат да се „множат“ во третата колона.

Но, можеме да ја одземеме втората линија двапати од последната - добиваме една во долниот лев агол:

\[\ почеток(порамни) и \лево[ \почеток(низа)(rrr|rrr) 1 и 5 и 1 и 1 и 0 и 0 \\ 2 и -3 и 0 и -1 и 1 и 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\крај (низа) \десно]\почеток (матрица) \ \\ \долно \\ -2 \\\крај (матрица)\до \\ & \лево [ \почеток(низа)(rrr|rrr) 1 и 5 и 1 и 1 и 0 и 0 \\ 2 и -3 и 0 и -1 и 1 и 0 \\ 1 и -1 и 0 и 1 и -2 & 1 \\\крај (низа) \десно] \\ \крај (порамни)\]

Сега можеме да го одземеме последниот ред од првиот и двапати од вториот - на овој начин ја „нуламе“ првата колона:

\[\почеток(порамни) и \лево[ \почеток(низа)(rrr|rrr) 1 и 5 и 1 и 1 и 0 и 0 \\ 2 и -3 и 0 и -1 и 1 и 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\крај (низа) \десно]\почеток (матрица) -1 \\ -2 \\ \upparrow \\\end (матрица)\до \\ & \ до \ лево[ \почеток(низа)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 и 1 \\\крај (низа) \десно] \\ \крај (порамни)\]

Помножете ја втората линија со -1, а потоа одземете ја 6 пати од првата и додадете 1 пат на последната:

\[\почеток(порамни) и \лево[ \почеток(низа)(rrr|rrr) 0 и 6 и 1 и 0 и 2 и -1 \\ 0 и -1 и 0 и -3 и 5 и -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\крај (низа) \десно]\почеток(матрица) \ \\ \лево| \cdot \left(-1 \десно) \десно. \\ \ \\\крај (матрица)\до \\ & \налево[ \почеток(низа)(rrr|rrr) 0 и 6 и 1 и 0 и 2 и -1 \\ 0 и 1 и 0 и 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\крај (низа) \десно]\почеток (матрица) -6 \\ \надолу тесно \\ +1 \\\крај (матрица)\до \\ & \налево[ \почеток(низа)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 и 0 и 0 и 4 и -7 и 3 \\\крај (низа) \десно] \\ \крај (порамни)\]

Останува само да се заменат линиите 1 и 3:

\[\ left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 и 32 и -13 \\\крај (низа) \десно]\]

Подготвени! На десната страна е потребната инверзна матрица.

Одговори. $\left[ \begin(низа)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end (низа) \десно ]$

Задача. Најдете ја инверзната матрица:

\[\лево[ \почеток(матрица) 1 и 4 и 2 и 3 \\ 1 и -2 и 1 и -2 \\ 1 и -1 и 1 и 1 \\ 0 и -10 и -2 и -5 \\\крај (матрица) \десно]\]

Решение. Повторно го составуваме додатокот:

\[\ left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \ 1 и -1 и 1 и 1 и 0 и 0 и 1 и 0 \\ 0 и -10 и -2 и -5 и 0 и 0 и 0 и 1 \\\крај (низа) \десно]\]

Ајде да плачеме малку, да се растажиме колку треба да броиме сега... и да почнеме да броиме. Прво, да ја „нуламе“ првата колона со одземање на редот 1 од редовите 2 и 3:

\[\ почеток(порамни) и \лево[ \почеток(низа)(rrrr|rrrr) 1 и 4 и 2 и 3 и 1 и 0 и 0 и 0 \\ 1 и -2 и 1 и -2 и 0 и 1 и 0 и 0 \\ 1 и -1 и 1 и 1 и 0 и 0 и 1 и 0 \\ 0 и -10 и -2 и -5 и 0 и 0 и 0 и 1 \\\крај (низа) \десно]\почеток (матрица) \долу \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\крај (матрица)\до \\ & \до \лево[ \begin(низа)(rrrr|rrrr) 1 & 4 и 2 и 3 и 1 и 0 и 0 и 0 \\ 0 и -6 и -1 и -5 и -1 и 1 и 0 и 0 \\ 0 и -5 и -1 и -2 и -1 и 0 и 1 и 0 \\ 0 и -10 и -2 и -5 и 0 и 0 и 0 и 1 \\\крај (низа) \десно] \\ \крај (порамни)\]

Гледаме премногу „недостатоци“ во редовите 2-4. Помножете ги сите три редови со -1, а потоа изгорете ја третата колона со одземање на редот 3 од останатите:

\[\почеток(порамни) и \лево[ \почеток(низа)(rrrr|rrrr) 1 и 4 и 2 и 3 и 1 и 0 и 0 и 0 \\ 0 и -6 и -1 и -5 и - 1 и 1 и 0 и 0 \\ 0 и -5 и -1 и -2 и -1 и 0 и 1 и 0 \\ 0 и -10 и -2 и -5 и 0 и 0 и 0 и 1 \\ \end (низа) \десно]\почеток(матрица) \ \\ \лево| \cdot \left(-1 \десно) \десно. \\ \лево| \cdot \left(-1 \десно) \десно. \\ \лево| \cdot \left(-1 \десно) \десно. \\\крај (матрица)\до \\ & \до \лево[ \почеток(низа)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & ​​1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (низа) \десно]\почеток (матрица) -2 \\ -1 \\ \надолу тесно \\ -2 \\\крај (матрица)\до \\ и \налево[ \почеток(низа)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 и 0 и -1 и 0 \\ 0 и 0 и 0 и 1 и -2 и 0 и 2 и -1 \\\крај (низа) \десно] \\ \крај (порамни)\]

Сега е време да се „пржи“ последната колона од оригиналната матрица: одземе линијата 4 од останатите:

\[\почеток(порамни) и \лево[ \почеток(низа)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\крај (низа ) \десно]\почеток(матрица) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \горе \\\крај (матрица)\до \\ & \до \лево[ \begin(низа)(rrrr|rrrr) 1 и -6 и 0 и 0 и -3 и 0 и 4 и -1 \\ 0 и 1 и 0 и 0 и 6 и -1 и -5 и 3 \\ 0 и 5 и 1 и 0 и 5 и 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\крај (низа) \десно] \\ \крај (порамни)\]

Последно фрлање: „изгори“ втората колона со одземање на линијата 2 од линиите 1 и 3:

\[\почеток(порамни) и \лево[ \почеток(низа)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 и 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\крај ( низа) \десно]\почеток(матрица) 6 \\ \горе надолу \\ -5 \\ \ \\\крај (матрица)\до \\ & \до \лево[ \begin(низа)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 и 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\крај (низа) \десно] \\ \крај (порамни)\]

И повторно матрицата за идентитет е лево, што значи дека обратното е десно. :)

Одговори. $\лево[ \почеток(матрица) 33 & -6 & -26 и 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\крај (матрица) \десно]$

Слично на инверзното во многу својства.

Енциклопедиски YouTube

1 / 5

✪ Како да се најде инверзна матрица - безботви

✪ Инверзна матрица (2 начини да се најде)

✪ Инверзна матрица #1

✪ 28.01.2015. Инверзна 3x3 матрица

✪ 27.01.2015. Инверзна матрица 2x2

Преводи

Својства на инверзна матрица

• det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), Каде det (\displaystyle \\det)означува детерминанта.
• (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1))за две квадратни инвертибилни матрици A (\displaystyle A)И B (\displaystyle B).
• (A T) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), Каде (. . .) T (\displaystyle (...)^(T))означува транспонирана матрица.
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\стил на приказ \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1))за кој било коефициент k ≠ 0 (\стил на приказ k\не =0).
• E − 1 = E (\displaystyle \E^(-1)=E).
• Ако е потребно да се реши систем од линеарни равенки, (b е ненулти вектор) каде x (\displaystyle x)е саканиот вектор, и ако A − 1 (\displaystyle A^(-1))постои, тогаш x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). Во спротивно, или димензијата на просторот за решение е поголема од нула, или воопшто нема решенија.

Методи за наоѓање на инверзна матрица

Ако матрицата е инвертибилна, тогаш за да ја пронајдете инверзната матрица можете да користите еден од следниве методи:

Точни (директни) методи

Гаус-Јордан метод

Да земеме две матрици: на Аи сингл Е. Да ја претставиме матрицата Ана идентитетската матрица користејќи го методот Гаус-Јордан, со примена на трансформации долж редовите (може да примените и трансформации по колоните, но не и мешани). Откако ќе ја примените секоја операција на првата матрица, применете ја истата операција на втората. Кога ќе заврши редукцијата на првата матрица во форма на единица, втората матрица ќе биде еднаква на A−1.

Кога се користи Гаусовиот метод, првата матрица ќе се помножи лево со една од елементарните матрици Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(трансвекција или дијагонала матрица со единици на главната дијагонала, освен за една позиција):

Втората матрица по примената на сите операции ќе биде еднаква на Λ (\displaystyle \Lambda), односно ќе биде посакуваниот. Комплексност на алгоритам - O (n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

Користење на матрицата на алгебарскиот комплемент

Матрица инверзна на матрицата A (\displaystyle A), може да се претстави во форма

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

Каде adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- придружна матрица;

Комплексноста на алгоритмот зависи од сложеноста на алгоритмот за пресметување на детерминантата O det и е еднаква на O(n²)·O det.

Користење на LU/LUP распаѓање

Матрична равенка A X = I n (\displaystyle AX=I_(n))за инверзната матрица X (\displaystyle X)може да се смета како колекција n (\displaystyle n)системи на формата A x = b (\displaystyle Ax=b). Да означиме i (\displaystyle i)колона од матрицата X (\displaystyle X)преку X i (\displaystyle X_(i)); Потоа A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n),затоа што i (\displaystyle i)колона од матрицата I n (\displaystyle I_(n))е единичен вектор e i (\displaystyle e_(i)). со други зборови, наоѓањето на инверзната матрица се сведува на решавање на n равенки со иста матрица и различни десни страни. По извршувањето на LUP разложување (O(n³) време), за решавање на секоја од n равенките е потребно O(n²) време, така што овој дел од работата бара и O(n³) време.

Ако матрицата А е неединечна, тогаш за неа може да се пресмета разградувањето на LUP P A = L U (\displaystyle PA=LU). Нека P A = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). Потоа од својствата на инверзната матрица можеме да напишеме: D = U − 1 L − 1 (\приказ D=U^(-1)L^(-1)). Ако ја помножите оваа еднаквост со U и L, можете да добиете две еднаквости на формата U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1))И D L = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Првата од овие еднаквости е систем од n² линеарни равенки за n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2)))од кои се познати десните страни (од својствата на триаголните матрици). Вториот исто така претставува систем од n² линеарни равенки за n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2)))од кои се познати десните страни (исто така и од својствата на триаголните матрици). Заедно тие претставуваат систем на n² еднаквости. Користејќи ги овие еднаквости, можеме рекурзивно да ги одредиме сите n² елементи на матрицата D. Потоа од еднаквоста (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. ја добиваме еднаквоста A − 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

Во случај на користење на распаѓање LU, не е потребна пермутација на колоните од матрицата D, но решението може да се разминува дури и ако матрицата А е несингуларна.

Комплексноста на алгоритмот е O(n³).

Итеративни методи

Шулцови методи

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\приказ (\почеток(случаи)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\збир _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\крај (случаи)))

Проценка на грешка

Избор на првично приближување

Проблемот со изборот на почетната апроксимација во процесите на инверзија на итеративна матрица што се разгледуваат овде не ни дозволува да ги третираме како независни универзални методи кои се натпреваруваат со методите на директна инверзија засновани, на пример, на распаѓањето на LU на матриците. Постојат неколку препораки за избор U 0 (\displaystyle U_(0)), обезбедување на исполнување на условот ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (спектралниот радиус на матрицата е помал од единството), што е неопходно и доволно за конвергенција на процесот. Меѓутоа, во овој случај, прво, потребно е да се знае одозгора проценката за спектарот на инвертибилната матрица А или матрицата A A T (\displaystyle AA^(T))(имено, ако A е симетрична позитивна дефинитивна матрица и ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta ), тогаш можете да земете U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), Каде ; ако A е произволна несингуларна матрица и ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), тогаш тие веруваат U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha)A^(T)), каде исто така α ∈ (0 , 2 β) (\стил на прикажување \алфа \во \лево(0,(\frac (2)(\beta ))\десно)); Можете, се разбира, да ја поедноставите ситуацијата и да го искористите фактот дека ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), стави U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). Второ, при специфицирање на почетната матрица на овој начин, нема гаранција за тоа ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|)ќе биде мал (можеби дури и ќе испадне дека е ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), а висок редослед на стапка на конвергенција нема да се открие веднаш.

Примери

Матрица 2x2

Инверзија на матрица 2x2 е можна само под услов a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).

Матрицата A -1 се нарекува инверзна матрица во однос на матрицата A ако A*A -1 = E, каде што E е идентитетска матрица од n-ти ред. Инверзна матрица може да постои само за квадратни матрици.

Целта на услугата. Користејќи ја оваа услуга на интернет, можете да најдете алгебарски комплементи, транспонирана матрица A T, сојузна матрица и инверзна матрица. Одлуката се спроведува директно на веб-страницата (онлајн) и е бесплатна. Резултатите од пресметката се претставени во извештај во формат Word и Excel (т.е., можно е да се провери решението). види пример за дизајн.

Инструкции. За да се добие решение, потребно е да се одреди димензијата на матрицата. Следно, пополнете ја матрицата А во новиот дијалог прозорец.

Видете исто Инверзна матрица користејќи го Џордано-Гаусовиот метод

Алгоритам за пронаоѓање на инверзна матрица

1. Наоѓање на транспонираната матрица A T.
2. Дефиниција на алгебарски комплементи. Заменете го секој елемент од матрицата со неговиот алгебарски комплемент.
3. Составување инверзна матрица од алгебарски дополнувања: секој елемент од добиената матрица е поделен со детерминантата на оригиналната матрица. Резултирачката матрица е инверзна од оригиналната матрица.

1. Определете дали матрицата е квадратна. Ако не, тогаш не постои инверзна матрица за тоа.
2. Пресметка на детерминантата на матрицата А. Ако не е еднаква на нула, го продолжуваме решението, инаку инверзната матрица не постои.
3. Дефиниција на алгебарски комплементи.
4. Пополнување на синдикалната (заемна, придружна) матрица В.
5. Составување инверзна матрица од алгебарски собирања: секој елемент од придружната матрица C се дели со детерминантата на оригиналната матрица. Резултирачката матрица е инверзна од оригиналната матрица.
6. Тие прават проверка: ги множат оригиналните и добиените матрици. Резултатот треба да биде матрица за идентитет.

Пример бр. 1. Ајде да ја напишеме матрицата во форма:

Друг алгоритам за пронаоѓање на инверзна матрица

1. Најдете ја детерминантата на дадена квадратна матрица А.
2. Наоѓаме алгебарски комплементи на сите елементи на матрицата А.
3. Запишуваме алгебарски собирања на елементи од редови во колони (транспозиција).
4. Секој елемент од добиената матрица го делиме со детерминантата на матрицата А.

Посебен случај: Инверзната на идентитетската матрица Е е идентитетската матрица Е.

Да го продолжиме разговорот за дејствата со матрици. Имено, во текот на изучувањето на ова предавање ќе научите како да ја пронајдете инверзната матрица. Научете. Дури и ако математиката е тешка.

Што е инверзна матрица? Овде можеме да извлечеме аналогија со инверзни броеви: земете го, на пример, оптимистичкиот број 5 и неговиот инверзен број. Производот на овие броеви е еднаков на еден: . Сè е слично со матриците! Производот на матрицата и нејзината инверзна матрица е еднаков на - матрица на идентитет, што е матричен аналог на нумеричката единица. Сепак, прво - прво да решиме едно важно практично прашање, имено, да научиме како да ја најдеме оваа многу инверзна матрица.

Што треба да знаете и да можете да направите за да ја пронајдете инверзната матрица? Мора да можете да одлучите квалификации. Мора да разберете што е тоа матрицаи да може да изврши некои дејствија со нив.

Постојат два главни методи за наоѓање на инверзна матрица:
со користење на алгебарски дополнувањаИ користејќи елементарни трансформации.

Денес ќе го проучуваме првиот, поедноставен метод.

Да почнеме со најстрашното и најнеразбирливото. Ајде да размислиме квадратматрица. Инверзната матрица може да се најде со помош на следнава формула:

Каде е детерминантата на матрицата, дали е транспонираната матрица на алгебарски комплементи на соодветните елементи на матрицата.

Концептот на инверзна матрица постои само за квадратни матрици, матрици „два по два“, „три по три“ итн.

Ознаки: Како што веќе сте забележале, инверзната матрица се означува со надреден знак

Да почнеме со наједноставниот случај - матрица два-по-два. Најчесто, се разбира, се бара „три по три“, но, сепак, силно препорачувам да проучите поедноставна задача за да го разберете општиот принцип на решението.

Пример:

Најдете инверзна матрица

Ајде да одлучиме. Удобно е да се разложи редоследот на дејства точка по точка.

1) Прво ја наоѓаме детерминантата на матрицата.

Ако вашето разбирање за оваа акција не е добро, прочитајте го материјалот Како да се пресмета детерминантата?

Важно!Ако детерминантата на матрицата е еднаква на НУЛА– инверзна матрица НЕ ПОСТОИ.

Во примерот што се разгледува, како што се испостави, , што значи дека сè е во ред.

2) Најдете ја матрицата на малолетни лица.

За да го решиме нашиот проблем, не е неопходно да се знае што е малолетник, сепак, препорачливо е да ја прочитате статијата Како да се пресмета детерминантата.

Матрицата на малолетници ги има истите димензии како и матрицата, односно во овој случај.
Единственото нешто што треба да направите е да пронајдете четири броеви и да ги ставите наместо ѕвездички.

Да се ​​вратиме на нашата матрица
Ајде прво да го погледнеме горниот лев елемент:

Како да го најдете малолетник?
И ова се прави вака: МЕНТАЛНО пречкртајте ги редот и колоната во кои се наоѓа овој елемент:

Преостанатиот број е помал од овој елемент, што го пишуваме во нашата матрица на малолетници:

Размислете за следниов елемент на матрицата:

Ментално прецртајте ги редот и колоната во кои се појавува овој елемент:

Она што останува е минор на овој елемент, кој го пишуваме во нашата матрица:

Слично на тоа, ги разгледуваме елементите од вториот ред и ги наоѓаме нивните мали:


Подготвени.

Едноставно е. Во матрицата на малолетници ви треба ПРОМЕНИ ЗНАЦИдва броја:

Ова се бројките што ги заокружив!

– матрица на алгебарски собирања на соодветните елементи на матрицата.

И само...

4) Најдете ја транспонираната матрица на алгебарски собирања.

– транспонирана матрица на алгебарски комплементи на соодветните елементи на матрицата.

5) Одговори.

Да се ​​потсетиме на нашата формула
Сè е пронајдено!

Значи, инверзната матрица е:

Подобро е да го оставите одговорот како што е. НЕМА ПОТРЕБАподелете го секој елемент од матрицата со 2, бидејќи резултатот е дробни броеви. Оваа нијанса е подетално дискутирана во истата статија. Дејства со матрици.

Како да го проверите решението?

Треба да извршите множење на матрицата или

Испитување:

Добиено веќе споменато матрица на идентитете матрица со оние од главна дијагоналаи нули на други места.

Така, инверзната матрица е пронајдена правилно.

Ако го извршите дејството, резултатот исто така ќе биде матрица на идентитет. Ова е еден од ретките случаи каде што множењето на матрицата е комутативно, повеќе детали можете да најдете во статијата Својства на операции на матрици. Матрични изрази. Исто така, забележете дека за време на проверката, константата (дропка) се носи напред и се обработува на самиот крај - по множењето на матрицата. Ова е стандардна техника.

Ајде да преминеме на почест случај во пракса - матрицата три-по-три:

Пример:

Најдете инверзна матрица

Алгоритмот е сосема ист како и за случајот „два по два“.

Ја наоѓаме инверзната матрица користејќи ја формулата: , каде е транспонираната матрица на алгебарски комплементи на соодветните елементи на матрицата.

1) Најдете ја детерминантата на матрицата.

Овде се открива детерминантата на првата линија.

Исто така, не заборавајте го тоа, што значи дека сè е во ред - постои инверзна матрица.

2) Најдете ја матрицата на малолетни лица.

Матрицата на малолетници има димензија „три на три“ , и треба да најдеме девет броеви.

Ќе разгледам одблизу неколку малолетници:

Размислете за следниов елемент на матрицата:

МЕНТАЛНО прецртај ги редот и колоната во кои се наоѓа овој елемент:

Преостанатите четири броеви ги запишуваме во детерминантата „два по два“.

Оваа детерминанта два-по-два и е минор на овој елемент. Треба да се пресмета:


Тоа е тоа, малолетникот е пронајден, го пишуваме во нашата матрица на малолетници:

Како што веројатно претпоставувате, треба да пресметате девет детерминанти два по два. Процесот, се разбира, е досаден, но случајот не е најтежок, може да биде и полош.

Па, да се консолидираме - наоѓање на уште еден малолетник на сликите:

Обидете се сами да ги пресметате преостанатите малолетници.

Краен резултат:
– матрица на минори на соодветните елементи на матрицата.

Тоа што сите малолетници се покажаа негативни е чисто несреќен случај.

3) Најдете ја матрицата на алгебарски собирања.

Во матрицата на малолетни лица е потребно ПРОМЕНИ ЗНАЦИстрого за следните елементи:

Во овој случај:

Не размислуваме да ја најдеме инверзната матрица за матрицата „четири на четири“, бидејќи таква задача може да даде само садистички наставник (за ученикот да пресмета една детерминанта „четири на четири“ и 16 детерминанти „три на три“ ). Во мојата пракса, имаше само еден таков случај, а клиентот на тестот доста скапо го плати моето мачење =).

Во голем број учебници и прирачници можете да најдете малку поинаков пристап за наоѓање инверзна матрица, но јас препорачувам да го користите алгоритмот за решение наведен погоре. Зошто? Бидејќи веројатноста да се збуните во пресметките и знаците е многу помала.

Вообичаено, инверзните операции се користат за да се поедностават сложените алгебарски изрази. На пример, ако проблемот вклучува операција на делење со дропка, можете да ја замените со операцијата на множење со реципроцитет на дропка, што е инверзна операција. Покрај тоа, матриците не можат да се поделат, така што треба да се множите со инверзната матрица. Пресметувањето на инверзната матрица 3x3 е прилично досадно, но треба да можете да го направите тоа рачно. Можете исто така да го најдете реципрочното користејќи добар графички калкулатор.

Чекори

Користење на придружната матрица

Транспонирајте ја оригиналната матрица.Транспозиција е замена на редови со колони во однос на главната дијагонала на матрицата, односно треба да ги замените елементите (i,j) и (j,i). Во овој случај, елементите на главната дијагонала (започнува во горниот лев агол и завршува во долниот десен агол) не се менуваат.

• За да ги промените редовите во колони, запишете ги елементите од првиот ред во првата колона, елементите од вториот ред во втората колона и елементите од третиот ред во третата колона. Редоследот на промена на положбата на елементите е прикажан на сликата, на која соодветните елементи се заокружени со обоени кругови.