Пресметајте ја плоштината на фигурата ограничена со линиите на чии равенки. Примери

Ајде да продолжиме да ги разгледуваме апликациите на интегралното пресметување. Во оваа лекција ќе го разгледаме типичниот и најчестиот проблем за пресметување на плоштината на рамнината со помош на дефинитивен интеграл. Конечно, нека го најдат сите оние кои бараат смисла во вишата математика. Никогаш не знаеш. Во реалниот живот, ќе мора приближно да ја приближите парцелата за дача користејќи елементарни функции и да ја пронајдете нејзината област користејќи дефинитивен интеграл.

За успешно да го совладате материјалот, мора:

1) Разберете го неопределениот интеграл барем на средно ниво. Така, куклите прво треба да се запознаат со лекцијата на Тој.

2) Да може да ја примени формулата Њутн-Лајбниц и да го пресмета дефинитивниот интеграл. Можете да воспоставите топли пријателски односи со одредени интеграли на страницата Дефинитивен интеграл. Примери на решенија. Задачата „пресметајте ја областа користејќи дефинитивен интеграл“ секогаш вклучува конструирање цртеж, така што вашето знаење и вештини за цртање исто така ќе бидат важен проблем. Во најмала рака, треба да бидете способни да конструирате права линија, парабола и хипербола.

Да почнеме со заоблен трапез. Криви трапезоид е рамна фигура ограничена со графиконот на некоја функција y = ѓ(x), оска Воли линии x = а; x = б.

Областа на криволинеарниот трапезоид е нумерички еднаква на одреден интеграл

Секој дефинитивен интеграл (што постои) има многу добро геометриско значење. На часот Определен интеграл. Примери на решенија што рековме дека дефинитивен интеграл е број. И сега е време да се каже уште еден корисен факт. Од гледна точка на геометријата, дефинитивниот интеграл е област. Тоа е, одреден интегрален (ако постои) геометриски одговара на областа на одредена фигура. Размислете за определениот интеграл

Интегранд

дефинира крива на рамнината (по желба може да се нацрта), а самиот дефинитивен интеграл е нумерички еднаков на плоштината на соодветниот криволинеарен трапез.

Пример 1

, , , .

Ова е типична изјава за задача. Најважната точка во одлуката е изградбата на цртежот. Покрај тоа, цртежот мора да се конструира правилно.

При изградба на цртеж, ја препорачувам следната нарачка: прво, подобро е да се конструираат сите права линии (ако има) и само тогаш - параболи, хиперболи и графикони на други функции. Техниката на точка конструкција може да се најде во референтниот материјал Графикони и својства на елементарните функции. Таму можете да најдете и многу корисен материјал за нашата лекција - како брзо да изградите парабола.

Во овој проблем, решението може да изгледа вака.

Ајде да го направиме цртежот (забележете дека равенката y= 0 ја одредува оската Вол):

Ние нема да го засенчиме заоблениот трапез, овде е очигледно за која област зборуваме. Решението продолжува вака:

На сегментот [-2; 1] графикон на функција y = x 2 + 2 се наоѓа над оската Вол, Затоа:

Одговор:.

Кој има потешкотии со пресметување на определениот интеграл и примена на формулата Њутн-Лајбниц

Погледнете го предавањето Дефинитивен интеграл. Примери на решенија. Откако ќе заврши задачата, секогаш е корисно да го погледнете цртежот и да откриете дали одговорот е реален. Во овој случај, го броиме бројот на ќелии во цртежот „со око“ - добро, ќе има околу 9, се чини дека е точно. Апсолутно е јасно дека ако го добиеме, да речеме, одговорот: 20 квадратни единици, тогаш очигледно е дека некаде е направена грешка - 20 ќелии очигледно не се вклопуваат во дотичната фигура, најмногу десетина. Ако одговорот е негативен, тогаш и задачата е погрешно решена.

Пример 2

Пресметајте ја плоштината на фигурата ограничена со линии xy = 4, x = 2, x= 4 и оска Вол.

Ова е пример за да го решите сами. Целосно решение и одговор на крајот од лекцијата.

Што да направите ако под оската се наоѓа заоблен трапез Вол?

Пример 3

Пресметајте ја плоштината на фигурата ограничена со линии y = е-х, x= 1 и координатни оски.

Решение: Ајде да направиме цртеж:

Ако закривен трапез е целосно лоциран под оската Вол, тогаш неговата површина може да се најде со помош на формулата:

Во овој случај:

Внимание! Двата типа на задачи не треба да се мешаат:

1) Ако од вас е побарано да се реши едноставно дефинитивен интеграл без никакво геометриско значење, тогаш може да биде негативно.

2) Ако од вас е побарано да ја пронајдете областа на фигура користејќи дефинитивен интеграл, тогаш областа е секогаш позитивна! Затоа минус се појавува во формулата штотуку се дискутираше.

Во пракса, најчесто фигурата се наоѓа и во горната и во долната полурамнина и затоа, од наједноставните училишни проблеми преминуваме на позначајни примери.

Пример 4

Пронајдете ја областа на рамнината фигура ограничена со линиите y = 2x – x 2 , y = -x.

Решение: Прво треба да направите цртеж. Кога конструираме цртеж во проблеми со областа, најмногу нè интересираат точките на пресек на правите. Да ги најдеме пресечните точки на параболата y = 2x – x 2 и директно y = -x. Ова може да се направи на два начина. Првиот метод е аналитички. Ја решаваме равенката:

Ова значи дека долната граница на интеграција а= 0, горна граница на интеграција б= 3. Често е попрофитабилно и побрзо да се конструираат линии точка по точка, а границите на интеграцијата стануваат јасни „сами“. Сепак, аналитичкиот метод за наоѓање граници сепак понекогаш треба да се користи ако, на пример, графикот е доволно голем, или деталната конструкција не ги открива границите на интеграцијата (тие можат да бидат фракциони или ирационални). Да се вратиме на нашата задача: порационално е прво да се конструира права линија, а дури потоа парабола. Ајде да го направиме цртежот:

Да повториме дека кога се конструира точка, границите на интеграцијата најчесто се одредуваат „автоматски“.

И сега работната формула:

Ако на сегментот [ а; б] некоја континуирана функција ѓ(x) е поголема или еднаква на некоја континуирана функција е(x), тогаш областа на соодветната фигура може да се најде со помош на формулата:

Овде повеќе не треба да размислувате каде се наоѓа фигурата - над оската или под оската, туку важно е кој график е ПОВИСОК (во однос на друг график) а кој е ПОДОЛ.

Во примерот што се разгледува, очигледно е дека на отсечката параболата се наоѓа над права линија, па затоа од 2 x – x 2 мора да се одземе - x.

Завршеното решение може да изгледа вака:

Посакуваната бројка е ограничена со парабола y = 2x – x 2 одозгора и директно y = -xподолу.

На сегментот 2 x – x 2 ≥ -x. Според соодветната формула:

Одговор:.

Всушност, училишната формула за плоштината на криволинеарен трапез во долната полурамнина (види пример бр. 3) е посебен случај на формулата

Бидејќи оската Волдадена со равенката y= 0, и графикот на функцијата е(x) се наоѓа под оската Вол, Тоа

И сега неколку примери за ваше решение

Пример 5

Пример 6

Најдете ја плоштината на фигурата ограничена со линии

Кога решавате проблеми кои вклучуваат пресметување на плоштина со помош на одреден интеграл, понекогаш се случува смешен инцидент. Цртежот беше правилно завршен, пресметките беа точни, но поради невнимание... беше пронајдена областа на погрешната фигура.

Пример 7

Прво да направиме цртеж:

Фигурата чија површина треба да ја најдеме е засенчена во сино (внимателно погледнете ја состојбата - како е ограничена фигурата!). Но, во пракса, поради невнимание, луѓето често одлучуваат дека треба да ја најдат областа на фигурата што е засенчена во зелено!

Овој пример е исто така корисен затоа што ја пресметува плоштината на фигурата користејќи два дефинитивни интеграли. Навистина:

1) На сегментот [-1; 1] над оската Волграфикот се наоѓа директно y = x+1;

2) На сегмент над оската Волсе наоѓа графикот на хипербола y = (2/x).

Сосема е очигледно дека областите можат (и треба) да се додадат, затоа:

Одговор:

Пример 8

Пресметајте ја областа на бројката ограничена со линиите

Да ги претставиме равенките во „училишна“ форма

и направи цртање точка по точка:

Од цртежот е јасно дека нашата горна граница е „добра“: б = 1.

Но која е долната граница?! Јасно е дека ова не е цел број, но што е тоа?

Можеби, а=(-1/3)? Но, каде е гаранцијата дека цртежот е направен со совршена точност, може и да испадне тоа а= (-1/4). Што ако погрешно го изградивме графикот?

Во такви случаи, треба да потрошите дополнително време и аналитички да ги разјасните границите на интеграцијата.

Ајде да ги најдеме пресечните точки на графиконите

За да го направите ова, ја решаваме равенката:

Оттука, а=(-1/3).

Понатамошното решение е тривијално. Главната работа е да не се мешате во замените и знаците. Пресметките овде не се наједноставни. На сегментот

, ,

според соодветната формула:

Одговор:

За да ја завршиме лекцијата, да погледнеме уште две тешки задачи.

Пример 9

Пресметајте ја областа на бројката ограничена со линиите

Решение: Ајде да ја прикажеме оваа бројка во цртежот.

За да конструирате цртеж точка-по-точка, треба да го знаете изгледот на синусоидот. Во принцип, корисно е да се знаат графиконите на сите елементарни функции, како и некои синусни вредности. Тие можат да се најдат во табелата на вредности на тригонометриски функции. Во некои случаи (на пример, во овој случај), можно е да се изгради шематски цртеж, на кој графиците и границите на интеграцијата треба да бидат фундаментално правилно прикажани.

Тука нема проблеми со границите на интеграција; тие следат директно од состојбата:

– „x“ се менува од нула во „пи“. Ајде да донесеме дополнителна одлука:

На сегмент, графикот на функцијата y= грев 3 xсе наоѓа над оската Вол, Затоа:

(1) Можете да видите како сините и косините се интегрирани во необични сили во интегралите на лекцијата на тригонометриските функции. Ние штипкаме еден синус.

(2) Ние го користиме главниот тригонометриски идентитет во форма

(3) Да ја смениме променливата т=кос x, тогаш: се наоѓа над оската, затоа:

Белешка: Забележете како се зема интегралот на тангента коцка; тука се користи заклучок на основниот тригонометриски идентитет

Како да вметнете математички формули на веб -страница?

Ако некогаш треба да додадете една или две математички формули на веб-страница, тогаш најлесниот начин да го направите тоа е како што е опишано во статијата: математичките формули лесно се вметнуваат на страницата во форма на слики кои автоматски се генерираат од Wolfram Alpha . Покрај едноставноста, овој универзален метод ќе помогне да се подобри видливоста на страницата во пребарувачите. Работи долго време (и, мислам, ќе работи засекогаш), но веќе е морално застарен.

Ако редовно користите математички формули на вашиот сајт, тогаш ви препорачувам да користите MathJax - специјална библиотека JavaScript која прикажува математичка нотација во веб-прелистувачите користејќи ознака MathML, LaTeX или ASCIIMathML.

Постојат два начина да започнете со користење на MathJax: (1) со користење на едноставен код, можете брзо да поврзете MathJax скрипта на вашата веб-локација, која автоматски ќе се вчита од оддалечен сервер во вистинско време (список на сервери); (2) преземете ја скриптата MathJax од оддалечен сервер на вашиот сервер и поврзете ја на сите страници на вашата страница. Вториот метод - покомплексен и одзема многу време - ќе го забрза вчитувањето на страниците на вашата страница, и ако матичниот сервер MathJax поради некоја причина привремено стане недостапен, тоа нема да влијае на вашата веб-страница на кој било начин. И покрај овие предности, го избрав првиот метод бидејќи е поедноставен, побрз и не бара технички вештини. Следете го мојот пример и за само 5 минути ќе можете да ги користите сите карактеристики на MathJax на вашата страница.

Можете да ја поврзете скриптата за библиотека MathJax од оддалечен сервер користејќи две опции за код земени од главната веб-локација на MathJax или на страницата со документација:

Една од овие опции за код треба да се копира и залепи во кодот на вашата веб-страница, по можност помеѓу ознаките и или веднаш по ознаката. Според првата опција, MathJax се вчитува побрзо и помалку ја успорува страницата. Но, втората опција автоматски ги следи и вчитува најновите верзии на MathJax. Ако го вметнете првиот код, тој ќе треба периодично да се ажурира. Ако го вметнете вториот код, страниците ќе се вчитуваат побавно, но нема да треба постојано да ги следите ажурирањата на MathJax.

Најлесен начин за поврзување на MathJax е во Blogger или WordPress: во контролната табла на страницата, додајте графичка контрола дизајнирана за вметнување JavaScript код од трета страна, копирајте ја првата или втората верзија на кодот за преземање претставен погоре во него и поставете го додатокот поблиску до почетокот на шаблонот (патем, ова воопшто не е потребно, бидејќи скриптата MathJax се вчитува асинхроно). Тоа е се. Сега научете ја синтаксата за обележување на MathML, LaTeX и ASCIIMathML и подготвени сте да вметнете математички формули во веб-страниците на вашата страница.

Секој фрактал е конструиран според одредено правило, кое постојано се применува неограничен број пати. Секое такво време се нарекува итерација.

Итеративниот алгоритам за конструирање на сунѓер Менгер е прилично едноставен: оригиналната коцка со страна 1 е поделена со рамнини паралелни на нејзините лица на 27 еднакви коцки. Од него се отстрануваат една централна коцка и 6 коцки во непосредна близина на неа по лицата. Резултатот е сет кој се состои од преостанатите 20 помали коцки. Правејќи го истото со секоја од овие коцки, добиваме сет составен од 400 помали коцки. Продолжувајќи го овој процес бескрајно, добиваме сунѓер Менгер.

Задача бр. 3. Направете цртеж и пресметајте ја плоштината на фигурата ограничена со линиите

Примена на интегралот за решавање на применети проблеми

Пресметка на површина

Дефинитивниот интеграл на континуирана ненегативна функција f(x) е нумерички еднаков на плоштината на криволинеарен трапез ограничен со кривата y = f(x), оската O x и правите x = a и x = б. Во согласност со ова, формулата за површина е напишана на следниов начин:

Ајде да погледнеме неколку примери за пресметување на површините на рамни фигури.

Задача бр. 1. Пресметај ја плоштината ограничена со правите y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Решение.Да конструираме фигура чија површина ќе треба да ја пресметаме.

y = x 2 + 1 е парабола чии гранки се насочени нагоре, а параболата е поместена нагоре за една единица во однос на оската O y (слика 1).

Слика 1. График на функцијата y = x 2 + 1

Задача бр. 2. Пресметај ја плоштината ограничена со правите y = x 2 – 1, y = 0 во опсегот од 0 до 1.

Решение.Графикот на оваа функција е парабола на гранки кои се насочени нагоре, а параболата е поместена во однос на оската O y надолу за една единица (Слика 2).

Слика 2. График на функцијата y = x 2 – 1

Задача бр. 3. Направете цртеж и пресметајте ја плоштината на фигурата ограничена со линиите

y = 8 + 2x – x 2 и y = 2x – 4.

Решение.Првата од овие две прави е парабола со нејзините гранки насочени надолу, бидејќи коефициентот x 2 е негативен, а втората е права линија што ги пресекува двете координатни оски.

За да се конструира парабола, ги наоѓаме координатите на нејзиното теме: y’=2 – 2x; 2 - 2x = 0, x = 1 - abscissa на темето; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 е нејзината ордината, N(1;9) е темето.

Сега да ги најдеме пресечните точки на параболата и правата линија со решавање на системот на равенки:

Изедначување на десните страни на равенката чии леви страни се еднакви.

Добиваме 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 или x 2 – 12 = 0, од каде .

Значи, точките се пресечни точки на парабола и права линија (Слика 1).

Слика 3 Графикони на функции y = 8 + 2x – x 2 и y = 2x – 4

Да конструираме права y = 2x – 4. Таа минува низ точките (0;-4), (2;0) на координатните оски.

За да конструирате парабола, можете да ги користите и нејзините пресечни точки со оската 0x, односно корените на равенката 8 + 2x – x 2 = 0 или x 2 – 2x – 8 = 0. Користејќи ја теоремата на Виета, лесно е да ги пронајде своите корени: x 1 = 2, x 2 = 4.

Слика 3 покажува слика (параболичен сегмент M 1 N M 2) ограничен со овие линии.

Вториот дел од проблемот е да се најде областа на оваа бројка. Неговата површина може да се најде со користење на дефинитивен интеграл според формулата .

Во однос на овој услов, го добиваме интегралот:

2 Пресметка на волуменот на телото на ротација

Волуменот на телото добиен од ротацијата на кривата y = f(x) околу оската O x се пресметува со формулата:

Кога ротирате околу оската O y, формулата изгледа вака:

Задача бр.4. Да се определи волуменот на телото добиен од ротација на заоблен трапез ограничен со прави x = 0 x = 3 и крива y = околу оската O x.

Решение.Ајде да нацртаме слика (Слика 4).

Слика 4. График на функцијата y =

Потребниот волумен е

Задача бр.5. Пресметај го волуменот на телото добиен од ротација на заоблен трапез ограничен со кривата y = x 2 и правите y = 0 и y = 4 околу оската O y.

Решение.Ние имаме:

Прегледајте ги прашањата

Дефинитивен интеграл. Како да се пресмета областа на сликата

Ајде да продолжиме да ги разгледуваме апликациите на интегралното пресметување. Во оваа лекција ќе го анализираме типичниот и најчест проблем - како да се пресмета плоштината на рамнината со помош на дефинитивен интеграл. Конечно, оние кои бараат значење во вишата математика - нека го најдат. Никогаш не знаеш. Во реалниот живот, ќе мора приближно да ја приближите парцелата за дача користејќи елементарни функции и да ја пронајдете нејзината област користејќи дефинитивен интеграл.

За успешно да го совладате материјалот, мора:

1) Разберете го неопределениот интеграл барем на средно ниво. Така, куклите прво треба да се запознаат со лекцијата Не.

2) Бидете во можност да ја примените формулата Newутн-Леибниз и да го пресметате дефинитивниот интеграл. Можете да воспоставите топли пријателски односи со дефинитивни интеграли на дефинитивната интегрална страница. Примери на решенија.

Всушност, за да ја пронајдете плоштината на фигурата, не ви треба толку многу знаење за неопределениот и определениот интеграл. Задачата „пресметајте ја плоштината користејќи дефинитивен интеграл“ секогаш вклучува конструирање цртеж, така што вашето знаење и вештини за конструирање цртежи ќе бидат многу погорливо прашање. Во овој поглед, корисно е да ја освежите вашата меморија на графиконите на основните елементарни функции и, барем, да можете да конструирате права линија, парабола и хипербола. Ова може да се направи (за многумина, тоа е неопходно) со помош на методолошки материјал и статија за геометриски трансформации на графикони.

Всушност, на сите им е позната задачата за наоѓање област со користење на одреден интеграл уште од училиште, и нема да одиме многу подалеку од училишната програма. Овој напис можеби и не постоел, но факт е дека проблемот се јавува во 99 случаи од 100, кога ученикот страда од омразено училиште и со ентузијазам ќе го совлада курсот по виша математика.

Материјалите на оваа работилница се претставени едноставно, детално и со минимум теорија.

Да започнеме со заоблен трапезоид.

Заоблен трапез е рамна фигура ограничена со оска, прави линии и графикот на функцијата континуиран на отсечка која не го менува знакот на овој интервал. Нека се наоѓа оваа бројка не помалку x-оска:

Тогаш површината на криволинеарниот трапез е нумерички еднаква на дефинитивниот интеграл. Секој дефинитивен интеграл (што постои) има многу добро геометриско значење. Во лекцијата е дефинитивен интегрален. Примери на решенија Реков дека определен интеграл е број. И сега е време да се наведе уште еден корисен факт. Од гледна точка на геометријата, определениот интеграл е ПЛОШТИНА.

Односно, одреден интеграл (ако постои) геометриски одговара на површината на одредена фигура. На пример, разгледајте го дефинитивниот интеграл. Интеграндот дефинира крива на рамнината која се наоѓа над оската (оние кои сакаат можат да направат цртеж), а самиот дефинитивен интеграл е нумерички еднаков на плоштината на соодветниот криволинеарен трапез.

Пример 1

Ова е типична изјава за задача. Првата и најважната точка во одлуката е цртање. Покрај тоа, цртежот мора да се конструира правилно.

При конструирање на цртеж, го препорачувам следниов редослед: прво, подобро е да се конструираат сите прави линии (ако ги има) и дури потоа – параболи, хиперболи и графикони на други функции. Поисплатливо е да се конструираат графикони на функции точкести, техниката на конструкција на точки може да се најде во референтниот материјал Графикони и својства на елементарните функции. Таму можете да најдете и многу корисен материјал за нашата лекција - како брзо да изградите парабола.

Во овој проблем, решението може да изгледа вака.
Ајде да го нацртаме цртежот (забележете дека равенката ја дефинира оската):

Нема да го засенчам заоблениот трапез, овде е очигледно за која област зборуваме. Решението продолжува вака:

На сегментот, графикот на функцијата се наоѓа над оската, затоа:

Одговор:

Кој има потешкотии со пресметување на определениот интеграл и примена на формулата Њутн-Лајбниц , погледнете го предавањето Определен интеграл. Примери на решенија.

Откако ќе заврши задачата, секогаш е корисно да го погледнете цртежот и да откриете дали одговорот е реален. Во овој случај, го броиме бројот на ќелии во цртежот „со око“ - добро, ќе има околу 9, се чини дека е точно. Апсолутно е јасно дека ако го добиеме, да речеме, одговорот: 20 квадратни единици, тогаш очигледно е дека некаде е направена грешка - 20 ќелии очигледно не се вклопуваат во дотичната фигура, најмногу десетина. Ако одговорот е негативен, тогаш и задачата е погрешно решена.

Пример 2

Пресметајте ја плоштината на фигурата ограничена со линии, , и оска

Ова е пример за да го решите сами. Целосно решение и одговор на крајот од лекцијата.

Што да направите ако закривен трапез се наоѓа под оската?

Пример 3

Пресметајте ја плоштината на фигурата ограничена со линии и координатни оски.

Решение: Ајде да направиме цртеж:

Ако закривениот трапез се наоѓа под оската (или барем не повисокодадена оска), тогаш нејзината површина може да се најде со помош на формулата:
Во овој случај:

Внимание! Двата типа на задачи не треба да се мешаат:

Пример 4

Најдете ја плоштината на рамна фигура ограничена со линиите, .

Решение: Прво треба да направите цртеж. Општо земено, кога конструираме цртеж во проблеми со областа, најмногу нè интересираат точките на пресек на правите. Да ги најдеме пресечните точки на параболата и правата линија. Ова може да се направи на два начина. Првиот метод е аналитички. Ја решаваме равенката:

Ова значи дека долната граница на интеграција е, горната граница на интеграцијата е.
Подобро е, ако е можно, да не го користите овој метод.

Многу е попрофитабилно и побрзо да се конструираат линии од точка по точка, а границите на интеграција стануваат јасни „сами по себе“. Техниката на градежништвото за разни графикони е детално дискутирана во графиконите за помош и својствата на елементарните функции. Сепак, аналитичкиот метод за наоѓање граници сепак понекогаш треба да се користи ако, на пример, графикот е доволно голем, или деталната конструкција не ги открива границите на интеграцијата (тие можат да бидат фракциони или ирационални). И ние исто така ќе разгледаме таков пример.

Ајде да се вратиме на нашата задача: порационално е прво да се конструира права линија и само тогаш парабола. Ајде да го направиме цртежот:

Повторувам дека при конструирање на точка, границите на интеграција најчесто се откриваат „автоматски“.

И сега работната формула: ако на сегмент некоја континуирана функција е поголема или еднаква на некоја континуирана функција, тогаш површината на фигурата ограничена со графиконите на овие функции и прави линии може да се најде со помош на формулата:

Овде веќе не треба да размислувате каде се наоѓа фигурата - над оската или под оската, и, грубо кажано, важно е кој графикон е ПОВИСОК (во однос на друг графикон), а кој е ПОДОЛ.

Во примерот што се разгледува, очигледно е дека на отсечката параболата се наоѓа над права линија, и затоа е потребно да се одземе од

Завршеното решение може да изгледа вака:

Посакуваната бројка е ограничена со парабола погоре и права линија подолу.
На сегментот, според соодветната формула:

Одговор:

Всушност, училишната формула за плоштината на криволинеарен трапез во долната полурамнина (види едноставен пример бр. 3) е посебен случај на формулата . Бидејќи оската е наведена со равенката, а графиконот на функцијата се наоѓа не повисокосекири, тогаш

И сега неколку примери за ваше решение

Пример 5

Пример 6

Пронајдете ја областа на фигурата ограничена со линиите,.

При решавање на проблеми со пресметување на областа со употреба на дефинитивен интеграл, понекогаш се случува смешен инцидент. Цртежот беше правилно направен, пресметките беа точни, но поради невнимание... беше пронајдена плоштината на погрешната фигура, токму вака вашиот понизен слуга погрешил неколку пати. Еве еден реален животен случај:

Пример 7

Пресметајте ја областа на фигурата ограничена со линиите ,,,.

Решение: Прво, ајде да направиме цртеж:

... Ех, цртежот излезе глупости, но се чини дека сè е читливо.

Фигурата чија површина треба да ја најдеме е засенчена во сино (внимателно погледнете ја состојбата - како е ограничена фигурата!). Но, во пракса, поради невнимание, често се појавува „пропуст“ што треба да ја пронајдете областа на фигурата што е засенчена во зелено!

Овој пример е корисен и по тоа што ја пресметува плоштината на фигурата користејќи два дефинитивни интеграли. Навистина:

1) На отсечката над оската има график на права линија;

2) На отсечката над оската има график на хипербола.

Сосема е очигледно дека областите можат (и треба) да се додадат, затоа:

Одговор:

Ајде да преминеме на друга значајна задача.

Пример 8

Пресметајте ја плоштината на фигурата ограничена со линии,
Да ги прикажеме равенките во „училишна“ форма и да направиме цртеж точка-по-точка:

Од цртежот е јасно дека нашата горна граница е „добра“: .
Но која е долната граница?! Јасно е дека ова не е цел број, но што е тоа? Можеби ? Но, каде е гаранцијата дека цртежот е направен со совршена точност, може да испадне дека ... Или коренот. Што ако погрешно го изградивме графикот?

Да ги најдеме пресечните точки на права линија и парабола.
За да го направите ова, ја решаваме равенката:

,

Навистина,.

Понатамошното решение е тривијално, главната работа е да не се мешате во замени и знаци; пресметките овде не се наједноставни.

На сегментот , според соодветната формула:

Одговор:

Па, за да ја завршиме лекцијата, да погледнеме уште две тешки задачи.

Пример 9

Пресметајте ја плоштината на фигурата ограничена со линиите,

Решение: Ајде да ја прикажеме оваа фигура на цртежот.

По ѓаволите, заборавив да го потпишам распоредот и, извинете, не сакав повторно да ја направам сликата. Не е ден за цртање, накратко, денес е денот =)

За конструкција точка-по-точка, треба да го знаете изгледот на синусоидот (и воопшто корисно е да ги знаете графиконите на сите елементарни функции), како и некои вредности на синусот, тие можат да се најдат во Тригонометриската табела. Во некои случаи (како во овој случај), можно е да се изгради шематски цртеж, на кој графиците и границите на интеграцијата треба да бидат фундаментално правилно прикажани.

Тука нема проблеми со границите на интеграција, тие директно произлегуваат од условот: „x“ се менува од нула во „пи“. Ајде да донесеме дополнителна одлука:

На сегментот, графикот на функцијата се наоѓа над оската, затоа:

Во оваа статија ќе научите како да ја пронајдете областа на фигура ограничена со линии користејќи интегрални пресметки. Формулирањето на ваков проблем за прв пат се среќаваме во гимназијата, кога штотуку го завршивме изучувањето на определените интеграли и време е да започнеме со геометриско толкување на стекнатото знаење во пракса.

Значи, што е потребно за успешно решавање на проблемот со наоѓање на површината на фигурата со помош на интеграли:

Способност да се направат компетентни цртежи;
Способност за решавање на определен интеграл со помош на добро познатата формула Њутн-Лајбниц;
Способноста да се „види“ попрофитабилна опција за решение - т.е. разберете како ќе биде попогодно да се изврши интеграција во еден или друг случај? По x-оската (OX) или y-оската (OY)?
Па, каде би биле ние без точни пресметки?) Ова вклучува разбирање како да се реши тој друг тип на интеграли и точни нумерички пресметки.

Алгоритам за решавање на проблемот со пресметување на плоштината на фигура ограничена со линии:

1. Градиме цртеж. Препорачливо е да го направите ова на кариран лист хартија, во голем обем. Името на оваа функција го потпишуваме со молив над секој графикон. Потпишувањето на графиконите се врши исклучиво за погодност за понатамошни пресметки. Откако ќе добиете графикон на саканата фигура, во повеќето случаи веднаш ќе биде јасно кои граници на интеграција ќе се користат. Така, проблемот го решаваме графички. Сепак, се случува вредностите на границите да бидат фракционо или ирационални. Затоа, можете да направите дополнителни пресметки, одете на чекор два.

2. Ако границите на интеграција не се експлицитно наведени, тогаш ги наоѓаме точките на пресек на графиците меѓу себе и гледаме дали нашето графичко решение се поклопува со аналитичкото.

3. Следно, треба да го анализирате цртежот. Во зависност од тоа како се распоредени графиконите на функциите, постојат различни пристапи за наоѓање на плоштината на фигурата. Ајде да погледнеме различни примери за наоѓање на плоштина на фигура користејќи интеграли.

3.1. Најкласичната и наједноставната верзија на проблемот е кога треба да ја пронајдете областа на заоблен трапез. Што е заоблен трапез? Ова е рамна фигура ограничена со x-оската (y = 0), правите x = a, x = b и која било крива континуирана во интервалот од a до b. Покрај тоа, оваа бројка е не-негативна и се наоѓа не под оската x. Во овој случај, површината на криволинеарниот трапез е нумерички еднаква на одреден интеграл, пресметан со формулата Њутн-Лајбниц:

Пример 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Со кои линии е ограничена фигурата? Имаме парабола y = x2 - 3x + 3, која се наоѓа над оската OX, таа е ненегативна, бидејќи сите точки на оваа парабола имаат позитивни вредности. Следно, дадени се правите x = 1 и x = 3, кои се движат паралелно со оската на оп-засилувачот и се гранични линии на сликата лево и десно. Па, y = 0, што е и x-оската, која ја ограничува фигурата одоздола. Добиената фигура е засенчена, како што може да се види од сликата лево. Во овој случај, можете веднаш да започнете со решавање на проблемот. Пред нас е едноставен пример на заоблен трапез, кој потоа го решаваме користејќи ја формулата Њутн-Лајбниц.

3.2. Во претходниот став 3.1, го испитавме случајот кога закривен трапез се наоѓа над оската x. Сега разгледајте го случајот кога условите на проблемот се исти, освен што функцијата лежи под оската x. Се додава минус на стандардната формула Њутн-Лајбниц. Подолу ќе разгледаме како да решиме таков проблем.

Пример 2. Пресметајте ја плоштината на фигурата ограничена со линиите y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

Во овој пример имаме парабола y = x2 + 6x + 2, која потекнува од под оската OX, прави x = -4, x = -1, y = 0. Тука y = 0 ја ограничува посакуваната фигура одозгора. Правите x = -4 и x = -1 се границите во кои ќе се пресметува определениот интеграл. Принципот на решавање на проблемот со наоѓање на површината на фигурата речиси целосно се совпаѓа со примерот број 1. Единствената разлика е во тоа што дадената функција не е позитивна, а исто така е континуирана на интервалот [-4; -1]. Што сакаш да кажеш не позитивно? Како што може да се види од сликата, фигурата што се наоѓа во дадените x има исклучиво „негативни“ координати, што е она што треба да го видиме и запомниме при решавањето на проблемот. Ја бараме областа на фигурата користејќи ја формулата Њутн-Лајбниц, само со знак минус на почетокот.

Написот не е завршен.