Apakah maksud tanda f? Tanda dan simbol asas matematik

Setiap daripada kita dari sekolah (atau lebih tepatnya dari gred 1 sekolah rendah) harus biasa dengan simbol matematik yang mudah seperti lebih tanda Dan kurang daripada tanda, dan juga tanda sama.

Walau bagaimanapun, jika agak sukar untuk mengelirukan sesuatu dengan yang terakhir, maka kira-kira Bagaimana dan ke arah manakah lebih besar dan kurang daripada tanda yang ditulis? (tanda kurang Dan tanda atas, seperti yang kadang-kadang dipanggil) ramai sejurus selepas bangku sekolah yang sama lupa, kerana ia jarang digunakan oleh kita dalam kehidupan seharian.

Tetapi hampir semua orang, lambat laun, masih perlu menemui mereka, dan mereka hanya boleh "mengingat" ke arah mana watak yang mereka perlukan ditulis dengan beralih ke enjin carian kegemaran mereka untuk mendapatkan bantuan. Jadi mengapa tidak menjawab soalan ini secara terperinci, pada masa yang sama memberitahu pengunjung ke tapak kami bagaimana untuk mengingati ejaan yang betul bagi tanda-tanda ini untuk masa hadapan?

Tepatnya cara menulis tanda lebih besar dan kurang daripada dengan betul yang kami ingin ingatkan kepada anda dalam nota ringkas ini. Ia juga tidak salah untuk memberitahu anda perkara itu cara menaip tanda lebih besar daripada atau sama pada papan kekunci Dan kurang atau sama, kerana Soalan ini juga sering menyebabkan kesukaran kepada pengguna yang jarang menghadapi tugas sedemikian.

Mari terus ke intinya. Jika anda tidak begitu berminat untuk mengingati semua ini untuk masa hadapan dan lebih mudah untuk "Google" sekali lagi, tetapi kini anda hanya memerlukan jawapan kepada soalan "ke arah mana untuk menulis tanda", maka kami telah menyediakan ringkasan jawapan untuk anda - tanda-tanda untuk lebih dan kurang ditulis seperti ini: seperti yang ditunjukkan dalam imej di bawah.

Sekarang mari beritahu anda sedikit lagi tentang cara memahami dan mengingati perkara ini untuk masa hadapan.

Secara umum, logik pemahaman adalah sangat mudah - mana-mana bahagian (lebih besar atau lebih kecil) tanda ke arah tulisan menghadap ke kiri adalah tanda. Oleh itu, tanda itu kelihatan lebih ke kiri dengan sisi lebarnya - yang lebih besar.

Contoh penggunaan tanda lebih besar daripada:

• 50>10 - nombor 50 lebih besar daripada nombor 10;
• Kehadiran pelajar pada semester ini ialah >90% daripada kelas.

Cara menulis tanda kurang mungkin tidak patut dijelaskan lagi. Tepat sama dengan tanda yang lebih besar. Jika tanda itu menghadap ke kiri dengan sisi sempit - yang lebih kecil, maka tanda di hadapan anda adalah lebih kecil.
Contoh penggunaan tanda kurang daripada:

• 100<500 - число 100 меньше числа пятьсот;
• datang ke mesyuarat<50% депутатов.

Seperti yang anda lihat, semuanya agak logik dan mudah, jadi sekarang anda tidak sepatutnya mempunyai soalan tentang arah mana untuk menulis tanda yang lebih besar dan tanda yang kurang pada masa hadapan.

Lebih besar daripada atau sama dengan/kurang daripada atau sama dengan tanda

Jika anda sudah ingat cara menulis tanda yang anda perlukan, maka tidak sukar untuk anda menambah satu baris dari bawah, dengan cara ini anda akan mendapat tanda "kurang atau sama" atau tandatangan "lebih atau sama".

Walau bagaimanapun, mengenai tanda-tanda ini, sesetengah orang mempunyai soalan lain - bagaimana untuk menaip ikon sedemikian pada papan kekunci komputer? Akibatnya, kebanyakannya meletakkan dua tanda berturut-turut, sebagai contoh, "lebih besar daripada atau sama" yang menandakan sebagai ">=" , yang, pada dasarnya, selalunya agak boleh diterima, tetapi boleh dilakukan dengan lebih cantik dan betul.

Malah, untuk menaip aksara ini, terdapat aksara khas yang boleh dimasukkan pada mana-mana papan kekunci. Setuju, tanda "≤" Dan "≥" kelihatan lebih baik.

Tanda lebih besar daripada atau sama pada papan kekunci

Untuk menulis "lebih besar daripada atau sama dengan" pada papan kekunci dengan satu tanda, anda tidak perlu pergi ke jadual aksara khas - hanya tulis tanda lebih besar daripada sambil menahan kekunci "alt". Oleh itu, kombinasi kunci (dimasukkan dalam susun atur bahasa Inggeris) adalah seperti berikut.

Atau anda boleh menyalin ikon dari artikel ini jika anda hanya perlu menggunakannya sekali sahaja. Ini dia, tolong.

≥

Tanda kurang daripada atau sama pada papan kekunci

Seperti yang anda mungkin sudah meneka, anda boleh menulis "kurang daripada atau sama dengan" pada papan kekunci dengan analogi dengan tanda lebih besar daripada - hanya tulis tanda kurang daripada sambil menahan kekunci "alt". Pintasan papan kekunci yang anda perlu masukkan dalam papan kekunci bahasa Inggeris adalah seperti berikut.

Atau salin sahaja dari halaman ini jika itu memudahkan anda, ini dia.

≤

Seperti yang anda lihat, peraturan untuk menulis lebih besar daripada dan kurang daripada tanda adalah agak mudah untuk diingati, dan untuk menaip lebih besar daripada atau sama dengan dan kurang daripada atau sama dengan simbol pada papan kekunci, anda hanya perlu menekan butang tambahan. kunci - ia mudah.

Tanda-tanda matematik

Infiniti.J. Wallis (1655).

Pertama kali ditemui dalam risalah ahli matematik Inggeris John Valis "On Conic Sections".

Asas logaritma semula jadi. L. Euler (1736).

Pemalar matematik, nombor transendental. Nombor ini kadangkala dipanggil tidak berbulu sebagai penghormatan kepada saintis Scotland Napier, pengarang karya "Penerangan Jadual Logaritma Menakjubkan" (1614). Pemalar pertama kali muncul secara diam-diam dalam lampiran kepada terjemahan bahasa Inggeris karya Napier yang disebutkan di atas, diterbitkan pada tahun 1618. Pemalar itu sendiri pertama kali dikira oleh ahli matematik Switzerland Jacob Bernoulli semasa menyelesaikan masalah nilai mengehadkan pendapatan faedah.

2,71828182845904523…

Penggunaan pertama pemalar ini yang diketahui, di mana ia dilambangkan dengan huruf b, ditemui dalam surat Leibniz kepada Huygens, 1690–1691. surat e Euler mula menggunakannya pada tahun 1727, dan penerbitan pertama dengan surat ini ialah karyanya "Mechanics, or the Science of Motion, Explained Analytically" pada tahun 1736. Masing-masing, e biasa dipanggil Nombor Euler. Mengapa surat itu dipilih? e, betul-betul tidak diketahui. Mungkin ini disebabkan oleh fakta bahawa perkataan itu bermula dengannya eksponen(“indikatif”, “eksponen”). Andaian lain ialah huruf a, b, c Dan d telah digunakan secara meluas untuk tujuan lain, dan e ialah surat "percuma" pertama.

Nisbah lilitan kepada diameter. W. Jones (1706), L. Euler (1736).

Pemalar matematik, nombor tak rasional. Nombor "pi", nama lama ialah nombor Ludolph. Seperti mana-mana nombor tak rasional, π diwakili sebagai pecahan perpuluhan tak berkala tak terhingga:

π=3.141592653589793…

Untuk pertama kalinya, penunjukan nombor ini dengan huruf Yunani π digunakan oleh ahli matematik British William Jones dalam buku "Pengenalan Baru kepada Matematik", dan ia diterima umum selepas karya Leonhard Euler. Penamaan ini berasal dari huruf awal perkataan Yunani περιφερεια - bulatan, pinggir dan περιμετρος - perimeter. Johann Heinrich Lambert membuktikan ketidakrasionalan π pada tahun 1761, dan Adrienne Marie Legendre membuktikan ketidakrasionalan π 2 pada tahun 1774. Legendre dan Euler menganggap bahawa π boleh menjadi transendental, i.e. tidak dapat memenuhi sebarang persamaan algebra dengan pekali integer, yang akhirnya dibuktikan pada tahun 1882 oleh Ferdinand von Lindemann.

Unit khayalan. L. Euler (1777, dalam cetakan - 1794).

Adalah diketahui bahawa persamaan x 2 =1 mempunyai dua akar: 1 Dan –1 . Unit khayalan ialah salah satu daripada dua punca persamaan x 2 =–1, dilambangkan dengan huruf Latin i, akar lain: –i. Penamaan ini dicadangkan oleh Leonhard Euler, yang mengambil huruf pertama perkataan Latin untuk tujuan ini khayalan(khayalan). Beliau juga meluaskan semua fungsi standard kepada domain kompleks, i.e. set nombor boleh diwakili sebagai a+ib, Di mana a Dan b– nombor nyata. Istilah "nombor kompleks" telah diperkenalkan secara meluas oleh ahli matematik Jerman Carl Gauss pada tahun 1831, walaupun istilah itu sebelum ini telah digunakan dalam pengertian yang sama oleh ahli matematik Perancis Lazare Carnot pada tahun 1803.

Vektor unit. W. Hamilton (1853).

Vektor unit sering dikaitkan dengan paksi koordinat sistem koordinat (khususnya, paksi sistem koordinat Cartesan). Vektor unit diarahkan sepanjang paksi X, dilambangkan i, vektor unit diarahkan sepanjang paksi Y, dilambangkan j, dan vektor unit yang diarahkan sepanjang paksi Z, dilambangkan k. vektor i, j, k dipanggil vektor unit, mereka mempunyai modul unit. Istilah "ort" diperkenalkan oleh ahli matematik dan jurutera Inggeris Oliver Heaviside (1892), dan notasi i, j, k- Ahli matematik Ireland William Hamilton.

Bahagian integer nombor, antie. K.Gauss (1808).

Bahagian integer nombor [x] nombor x ialah integer terbesar tidak melebihi x. Jadi, =5, [–3,6]=–4. Fungsi [x] juga dipanggil "antier of x". Simbol fungsi keseluruhan bahagian diperkenalkan oleh Carl Gauss pada tahun 1808. Sesetengah ahli matematik lebih suka menggunakan notasi E(x), yang dicadangkan pada tahun 1798 oleh Legendre.

Sudut selari. N.I. Lobachevsky (1835).

Pada satah Lobachevsky - sudut antara garis lurus b, melalui titik itu TENTANG selari dengan garisan a, tidak mengandungi titik TENTANG, dan berserenjang dari TENTANG pada a. α ialah panjang serenjang ini. Apabila titik itu semakin menjauh TENTANG daripada garis lurus a sudut selari berkurangan daripada 90° kepada 0°. Lobachevsky memberikan formula untuk sudut selari П(α)=2arctg e –α/q , di mana q- beberapa pemalar yang dikaitkan dengan kelengkungan ruang Lobachevsky.

Kuantiti tidak diketahui atau berubah-ubah. R. Descartes (1637).

Dalam matematik, pembolehubah ialah kuantiti yang dicirikan oleh set nilai yang boleh diambilnya. Ini mungkin bermakna kedua-dua kuantiti fizik sebenar, sementara dipertimbangkan secara berasingan daripada konteks fizikalnya, dan beberapa kuantiti abstrak yang tidak mempunyai analog dalam dunia nyata. Konsep pembolehubah timbul pada abad ke-17. pada mulanya di bawah pengaruh tuntutan sains semula jadi, yang membawa ke hadapan kajian pergerakan, proses, dan bukan hanya negeri. Konsep ini memerlukan bentuk baru untuk ekspresinya. Bentuk baharu tersebut ialah algebra huruf dan geometri analisis Rene Descartes. Buat pertama kalinya, sistem koordinat segi empat tepat dan tatatanda x, y telah diperkenalkan oleh Rene Descartes dalam karyanya "Discourse on Method" pada tahun 1637. Pierre Fermat juga menyumbang kepada pembangunan kaedah koordinat, tetapi karyanya pertama kali diterbitkan selepas kematiannya. Descartes dan Fermat menggunakan kaedah koordinat hanya pada satah. Kaedah koordinat untuk ruang tiga dimensi pertama kali digunakan oleh Leonhard Euler pada abad ke-18.

vektor. O. Cauchy (1853).

Sejak awal lagi, vektor difahami sebagai objek yang mempunyai magnitud, arah dan (sebagai pilihan) titik aplikasi. Permulaan kalkulus vektor muncul bersama dengan model geometri nombor kompleks dalam Gauss (1831). Hamilton menerbitkan operasi yang dibangunkan dengan vektor sebagai sebahagian daripada kalkulus kuaternionnya (vektor dibentuk oleh komponen khayalan kuaternion). Hamilton mencadangkan istilah itu vektor(dari perkataan Latin vektor, pembawa) dan menerangkan beberapa operasi analisis vektor. Maxwell menggunakan formalisme ini dalam karyanya tentang elektromagnetisme, dengan itu menarik perhatian saintis kepada kalkulus baru. Tidak lama kemudian Gibbs Elemen Analisis Vektor keluar (1880-an), dan kemudian Heaviside (1903) memberikan analisis vektor rupa modennya. Tanda vektor itu sendiri telah diperkenalkan untuk digunakan oleh ahli matematik Perancis Augustin Louis Cauchy pada tahun 1853.

Penambahan, penolakan. J. Widman (1489).

Tanda tambah dan tolak nampaknya dicipta dalam sekolah matematik Jerman "Kossists" (iaitu, ahli algebra). Ia digunakan dalam buku teks Jan (Johannes) Widmann A Quick and Pleasant Account for All Merchants, diterbitkan pada tahun 1489. Sebelum ini, penambahan dilambangkan dengan surat itu hlm(dari bahasa Latin tambah lagi"lebih") atau perkataan Latin et(kata hubung "dan"), dan penolakan - huruf m(dari bahasa Latin tolak"kurang, kurang") Bagi Widmann, simbol tambah menggantikan bukan sahaja penambahan, tetapi juga kata hubung "dan." Asal usul simbol ini tidak jelas, tetapi kemungkinan besar ia sebelum ini digunakan dalam perdagangan sebagai penunjuk untung dan rugi. Kedua-dua simbol tidak lama kemudian menjadi biasa di Eropah - kecuali Itali, yang terus menggunakan sebutan lama selama kira-kira satu abad.

Pendaraban. W. Outred (1631), G. Leibniz (1698).

Tanda pendaraban dalam bentuk salib serong diperkenalkan pada tahun 1631 oleh orang Inggeris William Oughtred. Sebelumnya, surat itu paling kerap digunakan M, walaupun tatatanda lain turut dicadangkan: simbol segi empat tepat (ahli matematik Perancis Erigon, 1634), asterisk (ahli matematik Switzerland Johann Rahn, 1659). Kemudian, Gottfried Wilhelm Leibniz menggantikan salib dengan titik (akhir abad ke-17) supaya tidak mengelirukan dengan huruf x; sebelum beliau, perlambangan seperti itu ditemui dalam kalangan ahli astronomi dan matematik Jerman Regiomontanus (abad ke-15) dan saintis Inggeris Thomas Herriot (1560–1621).

Bahagian. I.Ran (1659), G.Leibniz (1684).

William Oughtred menggunakan garis miring / sebagai tanda pembahagian. Gottfried Leibniz mula menandakan pembahagian dengan kolon. Sebelum mereka, surat itu juga sering digunakan D. Bermula dengan Fibonacci, garis mendatar pecahan juga digunakan, yang digunakan oleh Heron, Diophantus dan dalam karya Arab. Di England dan Amerika Syarikat, simbol ÷ (obelus), yang dicadangkan oleh Johann Rahn (mungkin dengan penyertaan John Pell) pada tahun 1659, menjadi meluas. Satu percubaan oleh Jawatankuasa Kebangsaan Amerika mengenai Piawaian Matematik ( Jawatankuasa Kebangsaan Keperluan Matematik) untuk mengeluarkan obelus daripada amalan (1923) tidak berjaya.

Peratus. M. de la Porte (1685).

Seperseratus daripada keseluruhan, diambil sebagai satu unit. Perkataan "peratus" itu sendiri berasal dari bahasa Latin "pro centum", yang bermaksud "seratus". Pada tahun 1685, buku "Manual Aritmetik Komersial" oleh Mathieu de la Porte diterbitkan di Paris. Di satu tempat mereka bercakap tentang peratusan, yang kemudiannya dinamakan "cto" (singkatan daripada cento). Walau bagaimanapun, pembuat taip mengira "cto" ini sebagai pecahan dan mencetak "%". Jadi, disebabkan kesilapan menaip, tanda ini mula digunakan.

Darjah. R. Descartes (1637), I. Newton (1676).

Notasi moden untuk eksponen telah diperkenalkan oleh Rene Descartes dalam " Geometri"(1637), walau bagaimanapun, hanya untuk kuasa semula jadi dengan eksponen lebih besar daripada 2. Kemudian, Isaac Newton memperluaskan bentuk tatatanda ini kepada eksponen negatif dan pecahan (1676), tafsiran yang telah dicadangkan pada masa ini: ahli matematik Flemish dan jurutera Simon Stevin, ahli matematik Inggeris John Wallis dan ahli matematik Perancis Albert Girard.

Akar. C. Rudolf (1525), R. Descartes (1637), A. Girard (1629).

akar aritmetik n-kuasa ke- bagi nombor nyata A≥0, – nombor bukan negatif n-darjah ke- yang sama dengan A. Punca aritmetik darjah ke-2 dipanggil punca kuasa dua dan boleh ditulis tanpa menunjukkan darjah: √. Punca aritmetik darjah 3 dipanggil punca kubus. Ahli matematik zaman pertengahan (contohnya, Cardano) menandakan punca kuasa dua dengan simbol R x (daripada bahasa Latin Radix, akar). Notasi moden pertama kali digunakan oleh ahli matematik Jerman Christoph Rudolf, dari sekolah Cossist, pada tahun 1525. Simbol ini berasal daripada huruf pertama yang digayakan bagi perkataan yang sama radix. Pada mulanya tidak ada garis di atas ungkapan radikal; ia kemudiannya diperkenalkan oleh Descartes (1637) untuk tujuan yang berbeza (bukan kurungan), dan ciri ini tidak lama kemudian bergabung dengan tanda akar. Pada abad ke-16, akar kubus dilambangkan seperti berikut: R x .u.cu (dari lat. Radix universalis cubica). Albert Girard (1629) mula menggunakan tatatanda biasa untuk akar darjah sewenang-wenangnya. Format ini ditubuhkan terima kasih kepada Isaac Newton dan Gottfried Leibniz.

Logaritma, logaritma perpuluhan, logaritma asli. I. Kepler (1624), B. Cavalieri (1632), A. Prinsheim (1893).

Istilah "logaritma" dimiliki oleh ahli matematik Scotland John Napier ( "Penerangan tentang jadual logaritma yang menakjubkan", 1614); ia timbul daripada gabungan perkataan Yunani λογος (perkataan, hubungan) dan αριθμος (nombor). Logaritma J. Napier ialah nombor tambahan untuk mengukur nisbah dua nombor. Takrifan moden logaritma pertama kali diberikan oleh ahli matematik Inggeris William Gardiner (1742). Mengikut definisi, logaritma nombor b berdasarkan a (a ≠ 1, a > 0) – eksponen m, yang jumlahnya harus dinaikkan a(dipanggil asas logaritma) untuk mendapatkan b. Ditetapkan log a b. Jadi, m =log a b, Jika a m = b.

Jadual pertama logaritma perpuluhan diterbitkan pada tahun 1617 oleh profesor matematik Oxford Henry Briggs. Oleh itu, di luar negara, logaritma perpuluhan sering dipanggil logaritma Briggs. Istilah "logaritma semulajadi" diperkenalkan oleh Pietro Mengoli (1659) dan Nicholas Mercator (1668), walaupun guru matematik London John Spidell menyusun jadual logaritma semula jadi pada tahun 1619.

Sehingga akhir abad ke-19, tiada tatatanda yang diterima umum untuk logaritma, asas a ditunjukkan di sebelah kiri dan di atas simbol log, kemudian di atasnya. Akhirnya, ahli matematik membuat kesimpulan bahawa tempat yang paling sesuai untuk pangkalan adalah di bawah garis, selepas simbol log. Tanda logaritma - hasil singkatan perkataan "logaritma" - muncul dalam pelbagai bentuk hampir serentak dengan kemunculan jadual pertama logaritma, mis. Log– daripada I. Kepler (1624) dan G. Briggs (1631), log– daripada B. Cavalieri (1632). Jawatan ln kerana logaritma asli telah diperkenalkan oleh ahli matematik Jerman Alfred Pringsheim (1893).

Sinus, kosinus, tangen, kotangen. W. Outred (pertengahan abad ke-17), I. Bernoulli (abad ke-18), L. Euler (1748, 1753).

Singkatan untuk sinus dan kosinus telah diperkenalkan oleh William Oughtred pada pertengahan abad ke-17. Singkatan untuk tangen dan kotangen: tg, ctg diperkenalkan oleh Johann Bernoulli pada abad ke-18, mereka menjadi meluas di Jerman dan Rusia. Di negara lain nama fungsi ini digunakan sawo matang, katil bayi dicadangkan oleh Albert Girard lebih awal lagi, pada awal abad ke-17. Leonhard Euler (1748, 1753) membawa teori fungsi trigonometri ke dalam bentuk modennya, dan kami berhutang kepadanya untuk penyatuan simbolisme sebenar. Istilah "fungsi trigonometri" diperkenalkan oleh ahli matematik dan fizik Jerman Georg Simon Klügel pada tahun 1770.

Ahli matematik India pada asalnya memanggil garis sinus "arha-jiva"("separuh rentetan", iaitu separuh kord), kemudian perkataan "archa" telah dibuang dan garis sinus mula dipanggil ringkas "jiva". Penterjemah bahasa Arab tidak menterjemah perkataan tersebut "jiva" perkataan Arab "vatar", menandakan rentetan dan kord, dan ditranskripsikan dalam huruf Arab dan mula memanggil garis sinus "jiba". Oleh kerana dalam bahasa Arab vokal pendek tidak ditanda, tetapi panjang "i" dalam perkataan "jiba" dilambangkan dengan cara yang sama seperti semivokal "th", orang Arab mula menyebut nama baris sinus "jibe", yang bermaksud "berongga", "resdung". Apabila menterjemah karya Arab ke dalam bahasa Latin, penterjemah Eropah menterjemah perkataan tersebut "jibe" perkataan Latin resdung, mempunyai maksud yang sama. Istilah "tangen" (dari lat. tangen– menyentuh) telah diperkenalkan oleh ahli matematik Denmark Thomas Fincke dalam bukunya “The Geometry of the Round” (1583).

Arcsine. K. Scherfer (1772), J. Lagrange (1772).

Fungsi trigonometri songsang ialah fungsi matematik yang merupakan songsang bagi fungsi trigonometri. Nama fungsi trigonometri songsang dibentuk daripada nama fungsi trigonometri yang sepadan dengan menambahkan awalan "arka" (dari Lat. arka– arka). Fungsi trigonometri songsang biasanya merangkumi enam fungsi: arcsine (arcsin), arccosine (arccos), arctangent (arctg), arccotangent (arcctg), arcsecant (arcsec) dan arccosecant (arccosec). Simbol khas untuk fungsi trigonometri songsang pertama kali digunakan oleh Daniel Bernoulli (1729, 1736). Cara menandakan fungsi trigonometri songsang menggunakan awalan arka(dari lat. arcus, arc) muncul bersama ahli matematik Austria Karl Scherfer dan disatukan terima kasih kepada ahli matematik, astronomi dan mekanik Perancis Joseph Louis Lagrange. Ia bermaksud, sebagai contoh, sinus biasa membolehkan seseorang mencari kord yang menyarikanya sepanjang lengkok bulatan, dan fungsi songsang menyelesaikan masalah yang bertentangan. Sehingga akhir abad ke-19, sekolah matematik Inggeris dan Jerman mencadangkan tatatanda lain: sin –1 dan 1/sin, tetapi ia tidak digunakan secara meluas.

Sinus hiperbolik, kosinus hiperbolik. V. Riccati (1757).

Ahli sejarah menemui penampilan pertama fungsi hiperbola dalam karya ahli matematik Inggeris Abraham de Moivre (1707, 1722). Definisi moden dan kajian terperinci mengenainya telah dijalankan oleh Vincenzo Riccati Itali pada tahun 1757 dalam karyanya "Opusculorum", dia juga mencadangkan sebutan mereka: sh,ch. Riccati bermula daripada mempertimbangkan hiperbola unit. Penemuan bebas dan kajian lanjut tentang sifat-sifat fungsi hiperbolik telah dijalankan oleh ahli matematik, ahli fizik dan ahli falsafah Jerman Johann Lambert (1768), yang menubuhkan keselarian luas rumus trigonometri biasa dan hiperbolik. N.I. Lobachevsky kemudiannya menggunakan paralelisme ini dalam percubaan untuk membuktikan ketekalan geometri bukan Euclidean, di mana trigonometri biasa digantikan dengan yang hiperbolik.

Sama seperti sinus trigonometri dan kosinus ialah koordinat titik pada bulatan koordinat, sinus hiperbolik dan kosinus ialah koordinat titik pada hiperbola. Fungsi hiperbolik dinyatakan dalam bentuk eksponen dan berkait rapat dengan fungsi trigonometri: sh(x)=0.5(ex –e –x) , ch(x)=0.5(e x +e –x). Dengan analogi dengan fungsi trigonometri, tangen hiperbolik dan kotangen ditakrifkan sebagai nisbah sinus hiperbolik dan kosinus, kosinus dan sinus, masing-masing.

Berbeza. G. Leibniz (1675, diterbitkan 1684).

Bahagian utama, linear kenaikan fungsi. Jika fungsi y=f(x) satu pembolehubah x mempunyai pada x=x 0 derivatif, dan kenaikan Δy=f(x 0 +?x)–f(x 0) fungsi f(x) boleh diwakili dalam bentuk Δy=f"(x 0)Δx+R(Δx) , mana istilahnya R sangat kecil berbanding dengan Δx. Ahli pertama dy=f"(x 0)Δx dalam pengembangan ini dan dipanggil pembezaan fungsi f(x) pada titik x 0. Dalam karya Gottfried Leibniz, Jacob dan Johann Bernoulli, perkataan itu "perbezaan" digunakan dalam erti kata "kenaikan", ia dilambangkan oleh I. Bernoulli melalui Δ. G. Leibniz (1675, diterbitkan 1684) menggunakan tatatanda untuk "perbezaan tak terhingga" d– huruf pertama perkataan "perbezaan", dibentuk olehnya daripada "perbezaan".

Kamiran tak tentu. G. Leibniz (1675, diterbitkan 1686).

Perkataan "integral" pertama kali digunakan dalam cetakan oleh Jacob Bernoulli (1690). Mungkin istilah itu berasal dari bahasa Latin integer- keseluruhan. Menurut andaian lain, asasnya ialah perkataan Latin integro- kembalikan ke keadaan sebelumnya, pulihkan. Tanda ∫ digunakan untuk mewakili kamiran dalam matematik dan merupakan perwakilan bergaya bagi huruf pertama perkataan Latin summa - jumlah. Ia pertama kali digunakan oleh ahli matematik Jerman dan pengasas kalkulus pembezaan dan integral, Gottfried Leibniz, pada akhir abad ke-17. Seorang lagi pengasas kalkulus pembezaan dan kamiran, Isaac Newton, tidak mencadangkan simbolisme alternatif untuk kamiran dalam karyanya, walaupun dia mencuba pelbagai pilihan: bar menegak di atas fungsi atau simbol segi empat sama yang berdiri di hadapan fungsi atau bersempadan dengannya. Kamiran tak tentu bagi suatu fungsi y=f(x) ialah set semua antiderivatif bagi fungsi tertentu.

Kamiran pasti. J. Fourier (1819–1822).

Kamiran pasti bagi suatu fungsi f(x) dengan had yang lebih rendah a dan had atas b boleh ditakrifkan sebagai perbezaan F(b) – F(a) = a ∫ b f(x)dx, Di mana F(x)– beberapa antiterbitan fungsi f(x). Kamiran pasti a ∫ b f(x)dx secara berangka sama dengan luas rajah yang dibatasi oleh paksi-x dan garis lurus x=a Dan x=b dan graf bagi fungsi tersebut f(x). Reka bentuk kamiran pasti dalam bentuk yang kita kenali telah dicadangkan oleh ahli matematik dan fizik Perancis Jean Baptiste Joseph Fourier pada awal abad ke-19.

Derivatif. G. Leibniz (1675), J. Lagrange (1770, 1779).

Derivatif ialah konsep asas kalkulus pembezaan, mencirikan kadar perubahan fungsi f(x) apabila hujah berubah x. Ia ditakrifkan sebagai had nisbah kenaikan fungsi kepada kenaikan hujahnya kerana kenaikan hujah cenderung kepada sifar, jika had sedemikian wujud. Fungsi yang mempunyai terbitan terhingga pada satu titik dipanggil boleh dibezakan pada titik itu. Proses pengiraan derivatif dipanggil pembezaan. Proses sebaliknya ialah integrasi. Dalam kalkulus pembezaan klasik, terbitan paling kerap ditakrifkan melalui konsep teori had, tetapi dari segi sejarah teori had muncul kemudian daripada kalkulus pembezaan.

Istilah "derivatif" diperkenalkan oleh Joseph Louis Lagrange pada tahun 1797, denotasi derivatif menggunakan strok adalah sama (1770, 1779), dan dy/dx– Gottfried Leibniz pada tahun 1675. Cara menandakan terbitan masa dengan titik di atas huruf berasal dari Newton (1691). Istilah Rusia "derivatif fungsi" pertama kali digunakan oleh ahli matematik Rusia Vasily Ivanovich Viskovatov (1779–1812).

Derivatif separa. A. Legendre (1786), J. Lagrange (1797, 1801).

Untuk fungsi banyak pembolehubah, derivatif separa ditakrifkan - derivatif berkenaan dengan salah satu hujah, dikira dengan andaian bahawa hujah lain adalah malar. Jawatan ∂f/∂x,∂z/∂y diperkenalkan oleh ahli matematik Perancis Adrien Marie Legendre pada tahun 1786; fx',z x '– Joseph Louis Lagrange (1797, 1801); ∂ 2 z/∂x 2,∂ 2 z/∂x∂y– terbitan separa tertib kedua – ahli matematik Jerman Carl Gustav Jacob Jacobi (1837).

Perbezaan, kenaikan. I. Bernoulli (akhir abad ke-17 - separuh pertama abad ke-18), L. Euler (1755).

Penamaan kenaikan dengan huruf Δ pertama kali digunakan oleh ahli matematik Switzerland Johann Bernoulli. Simbol delta mula digunakan secara umum selepas karya Leonhard Euler pada tahun 1755.

Jumlah. L. Euler (1755).

Jumlah ialah hasil penambahan kuantiti (nombor, fungsi, vektor, matriks, dll.). Untuk menyatakan jumlah n nombor a 1, a 2, …, a n, huruf Yunani “sigma” Σ digunakan: a 1 + a 2 + … + a n = Σ n i=1 a i = Σ n 1 a i. Tanda Σ untuk jumlah telah diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun 1755.

Kerja. K.Gauss (1812).

Hasil darab ialah hasil darab. Untuk menyatakan hasil darab n nombor a 1, a 2, …, a n, huruf Yunani “pi” Π digunakan: a 1 · a 2 · … · a n = Π n i=1 a i = Π n 1 a i. Contohnya, 1 · 3 · 5 · … · 97 · 99 = ? 50 1 (2i–1). Tanda Π untuk produk diperkenalkan oleh ahli matematik Jerman Carl Gauss pada tahun 1812. Dalam kesusasteraan matematik Rusia, istilah "produk" pertama kali ditemui oleh Leonty Filippovich Magnitsky pada tahun 1703.

Faktorial. K. Crump (1808).

Faktorial bagi nombor n (ditandakan n!, disebut “en faktorial”) ialah hasil darab semua nombor asli hingga n termasuk: n! = 1·2·3·…·n. Sebagai contoh, 5! = 1·2·3·4·5 = 120. Mengikut takrifan, 0 diandaikan! = 1. Faktorial ditakrifkan hanya untuk integer bukan negatif. Faktorial bagi n adalah sama dengan bilangan pilih atur bagi n unsur. Sebagai contoh, 3! = 6, sesungguhnya,

– kesemua enam dan hanya enam pilihan untuk pilih atur tiga elemen.

Istilah "faktorial" diperkenalkan oleh ahli matematik dan ahli politik Perancis Louis François Antoine Arbogast (1800), sebutan n! – Ahli matematik Perancis Christian Crump (1808).

Modulus, nilai mutlak. K. Weierstrass (1841).

Modulus, nilai mutlak bagi nombor nyata x, ialah nombor bukan negatif yang ditakrifkan seperti berikut: |x| = x untuk x ≥ 0 dan |x| = –x untuk x ≤ 0. Contohnya, |7| = 7, |– 0.23| = –(–0.23) = 0.23. Modulus bagi nombor kompleks z = a + ib ialah nombor nyata bersamaan dengan √(a 2 + b 2).

Adalah dipercayai bahawa istilah "modul" telah dicadangkan oleh ahli matematik dan ahli falsafah Inggeris, pelajar Newton, Roger Cotes. Gottfried Leibniz juga menggunakan fungsi ini, yang dipanggilnya "modulus" dan dilambangkan: mol x. Notasi yang diterima umum untuk nilai mutlak telah diperkenalkan pada tahun 1841 oleh ahli matematik Jerman Karl Weierstrass. Untuk nombor kompleks, konsep ini telah diperkenalkan oleh ahli matematik Perancis Augustin Cauchy dan Jean Robert Argan pada awal abad ke-19. Pada tahun 1903, saintis Austria Konrad Lorenz menggunakan simbolisme yang sama untuk panjang vektor.

norma. E. Schmidt (1908).

Norma ialah fungsi yang ditakrifkan pada ruang vektor dan menggeneralisasikan konsep panjang vektor atau modulus nombor. Tanda "norma" (dari perkataan Latin "norma" - "peraturan", "corak") diperkenalkan oleh ahli matematik Jerman Erhard Schmidt pada tahun 1908.

Had. S. Lhuillier (1786), W. Hamilton (1853), ramai ahli matematik (sehingga awal abad kedua puluh)

Had adalah salah satu konsep asas analisis matematik, yang bermaksud bahawa nilai pembolehubah tertentu dalam proses perubahannya yang dipertimbangkan selama-lamanya menghampiri nilai tetap tertentu. Konsep had digunakan secara intuitif pada separuh kedua abad ke-17 oleh Isaac Newton, serta oleh ahli matematik abad ke-18 seperti Leonhard Euler dan Joseph Louis Lagrange. Takrifan ketat pertama bagi had jujukan telah diberikan oleh Bernard Bolzano pada tahun 1816 dan Augustin Cauchy pada tahun 1821. Simbol lim (3 huruf pertama dari perkataan Latin limes - border) muncul pada tahun 1787 oleh ahli matematik Switzerland Simon Antoine Jean Lhuillier, tetapi penggunaannya belum lagi menyerupai yang moden. Ungkapan lim dalam bentuk yang lebih dikenali pertama kali digunakan oleh ahli matematik Ireland William Hamilton pada tahun 1853. Weierstrass memperkenalkan sebutan yang hampir dengan yang moden, tetapi bukannya anak panah yang biasa, dia menggunakan tanda yang sama. Anak panah itu muncul pada awal abad ke-20 di kalangan beberapa ahli matematik sekaligus - contohnya, ahli matematik Inggeris Godfried Hardy pada tahun 1908.

Fungsi Zeta, fungsi zeta Riemann. B. Riemann (1857).

Fungsi analisis pembolehubah kompleks s = σ + ia, untuk σ > 1, ditentukan secara mutlak dan seragam oleh siri Dirichlet yang menumpu:

ζ(s) = 1 –s + 2 –s + 3 –s + … .

Untuk σ > 1, perwakilan dalam bentuk produk Euler adalah sah:

ζ(s) = Π p (1–p –s) –s ,

di mana produk diambil alih semua p perdana. Fungsi zeta memainkan peranan yang besar dalam teori nombor. Sebagai fungsi pembolehubah sebenar, fungsi zeta telah diperkenalkan pada tahun 1737 (diterbitkan pada tahun 1744) oleh L. Euler, yang menunjukkan pengembangannya kepada produk. Fungsi ini kemudiannya dipertimbangkan oleh ahli matematik Jerman L. Dirichlet dan, terutamanya berjaya, oleh ahli matematik dan mekanik Rusia P.L. Chebyshev apabila mengkaji hukum taburan nombor perdana. Walau bagaimanapun, sifat paling mendalam bagi fungsi zeta ditemui kemudian, selepas kerja ahli matematik Jerman Georg Friedrich Bernhard Riemann (1859), di mana fungsi zeta dianggap sebagai fungsi pembolehubah kompleks; Beliau juga memperkenalkan nama "fungsi zeta" dan sebutan ζ(s) pada tahun 1857.

Fungsi gamma, fungsi Euler Γ. A. Legendre (1814).

Fungsi Gamma ialah fungsi matematik yang memanjangkan konsep faktorial kepada bidang nombor kompleks. Biasanya dilambangkan dengan Γ(z). Fungsi G pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun 1729; ia ditentukan oleh formula:

Γ(z) = lim n→∞ n!·n z /z(z+1)…(z+n).

Sebilangan besar kamiran, hasil tak terhingga dan hasil tambah siri dinyatakan melalui fungsi G. Digunakan secara meluas dalam teori nombor analisis. Nama "Fungsi Gamma" dan notasi Γ(z) telah dicadangkan oleh ahli matematik Perancis Adrien Marie Legendre pada tahun 1814.

Fungsi beta, fungsi B, fungsi Euler B. J. Binet (1839).

Fungsi dua pembolehubah p dan q, ditakrifkan untuk p>0, q>0 oleh kesamaan:

B(p, q) = 0 ∫ 1 x p–1 (1–x) q–1 dx.

Fungsi beta boleh dinyatakan melalui fungsi Γ: B(p, q) = Γ(p)Г(q)/Г(p+q). Sama seperti fungsi gamma untuk integer ialah generalisasi faktorial, fungsi beta, dalam erti kata lain, generalisasi pekali binomial.

Fungsi beta menerangkan banyak sifat zarah asas yang mengambil bahagian dalam interaksi yang kuat. Ciri ini diperhatikan oleh ahli fizik teori Itali Gabriele Veneziano pada tahun 1968. Ini menandakan permulaan teori rentetan.

Nama "fungsi beta" dan sebutan B(p, q) telah diperkenalkan pada tahun 1839 oleh ahli matematik, mekanik dan astronomi Perancis Jacques Philippe Marie Binet.

Pengendali Laplace, Laplacian. R. Murphy (1833).

Operator pembezaan linear Δ, yang memberikan fungsi φ(x 1, x 2, …, x n) daripada n pembolehubah x 1, x 2, …, x n:

Δφ = ∂ 2 φ/∂х 1 2 + ∂ 2 φ/∂х 2 2 + … + ∂ 2 φ/∂х n 2.

Khususnya, untuk fungsi φ(x) satu pembolehubah, pengendali Laplace bertepatan dengan pengendali terbitan ke-2: Δφ = d 2 φ/dx 2 . Persamaan Δφ = 0 biasanya dipanggil persamaan Laplace; Di sinilah nama "pengendali Laplace" atau "Laplacian" berasal. Penamaan Δ diperkenalkan oleh ahli fizik dan matematik Inggeris Robert Murphy pada tahun 1833.

Pengendali Hamilton, pengendali nabla, Hamiltonian. O. Heaviside (1892).

Pengendali pembezaan vektor bagi bentuk

∇ = ∂/∂x i+ ∂/∂y · j+ ∂/∂z · k,

di mana i, j, Dan k– vektor unit koordinat. Operasi asas analisis vektor, serta pengendali Laplace, dinyatakan secara semula jadi melalui pengendali Nabla.

Pada tahun 1853, ahli matematik Ireland William Rowan Hamilton memperkenalkan pengendali ini dan mencipta simbol ∇ untuknya sebagai huruf Yunani terbalik Δ (delta). Di Hamilton, hujung simbol menunjuk ke kiri; kemudian, dalam karya ahli matematik dan fizik Scotland Peter Guthrie Tate, simbol itu memperoleh bentuk modennya. Hamilton memanggil simbol ini "atled" (perkataan "delta" dibaca ke belakang). Kemudian, sarjana Inggeris, termasuk Oliver Heaviside, mula memanggil simbol ini "nabla", selepas nama huruf ∇ dalam abjad Phoenicia, di mana ia berlaku. Asal usul surat itu dikaitkan dengan alat muzik seperti kecapi, ναβλα (nabla) dalam bahasa Yunani kuno yang bermaksud "kecapi". Pengendali itu dipanggil pengendali Hamilton, atau pengendali nabla.

Fungsi. I. Bernoulli (1718), L. Euler (1734).

Konsep matematik yang menggambarkan hubungan antara unsur-unsur set. Kita boleh mengatakan bahawa fungsi ialah "undang-undang", "peraturan" mengikut mana setiap elemen satu set (dipanggil domain definisi) dikaitkan dengan beberapa elemen set lain (dipanggil domain nilai). Konsep matematik fungsi menyatakan idea intuitif tentang bagaimana satu kuantiti sepenuhnya menentukan nilai kuantiti lain. Selalunya istilah "fungsi" merujuk kepada fungsi berangka; iaitu fungsi yang meletakkan beberapa nombor dalam surat-menyurat dengan yang lain. Untuk masa yang lama, ahli matematik menyatakan hujah tanpa tanda kurung, sebagai contoh, seperti ini - φх. Notasi ini pertama kali digunakan oleh ahli matematik Switzerland Johann Bernoulli pada tahun 1718. Tanda kurung hanya digunakan dalam kes berbilang hujah atau jika hujah itu merupakan ungkapan yang kompleks. Gema pada masa itu adalah rakaman yang masih digunakan hari ini dosa x, log x dll. Tetapi secara beransur-ansur penggunaan kurungan, f(x), menjadi peraturan umum. Dan kredit utama untuk ini adalah milik Leonhard Euler.

Kesaksamaan. R. Rekod (1557).

Tanda sama telah dicadangkan oleh doktor Wales dan ahli matematik Robert Record pada tahun 1557; garis besar simbol adalah lebih panjang daripada yang semasa, kerana ia meniru imej dua segmen selari. Penulis menjelaskan bahawa tidak ada yang lebih sama di dunia daripada dua segmen selari dengan panjang yang sama. Sebelum ini, dalam matematik purba dan zaman pertengahan kesamaan dilambangkan secara lisan (contohnya egale). Pada abad ke-17, Rene Descartes mula menggunakan æ (dari lat. aequalis), dan dia menggunakan tanda sama moden untuk menunjukkan bahawa pekali boleh menjadi negatif. François Viète menggunakan tanda sama untuk menunjukkan penolakan. Simbol Rekod tidak tersebar luas serta-merta. Penyebaran simbol Rekod telah dihalang oleh fakta bahawa sejak zaman purba simbol yang sama digunakan untuk menunjukkan keselarian garis lurus; Pada akhirnya, ia telah memutuskan untuk menjadikan simbol selari menegak. Di benua Eropah, tanda “=” diperkenalkan oleh Gottfried Leibniz hanya pada permulaan abad ke-17–18, iaitu, lebih daripada 100 tahun selepas kematian Robert Record, yang pertama kali menggunakannya untuk tujuan ini.

Lebih kurang sama, lebih kurang sama. A.Gunther (1882).

Tanda "≈" telah diperkenalkan untuk digunakan sebagai simbol untuk hubungan "kira-kira sama" oleh ahli matematik dan fizik Jerman Adam Wilhelm Sigmund Günther pada tahun 1882.

Lebih kurang. T. Harriot (1631).

Kedua-dua tanda ini diperkenalkan untuk digunakan oleh ahli astronomi, ahli matematik, ahli etnografi dan penterjemah Inggeris Thomas Harriot pada tahun 1631; sebelum itu, perkataan "lebih" dan "kurang" digunakan.

Kebolehbandingan. K.Gauss (1801).

Perbandingan ialah hubungan antara dua integer n dan m, bermakna perbezaan n–m nombor ini dibahagikan dengan integer a, dipanggil modulus perbandingan; ia ditulis: n≡m(mod a) dan berbunyi "nombor n dan m adalah mod a setanding." Contohnya, 3≡11(mod 4), kerana 3–11 boleh dibahagi dengan 4; nombor 3 dan 11 adalah modulo sebanding 4. Kongruen mempunyai banyak sifat yang serupa dengan kesamaan. Oleh itu, istilah yang terletak di satu bahagian perbandingan boleh dipindahkan dengan tanda bertentangan ke bahagian lain, dan perbandingan dengan modul yang sama boleh ditambah, ditolak, didarab, kedua-dua bahagian perbandingan boleh didarab dengan nombor yang sama, dsb. . Sebagai contoh,

3≡9+2(mod 4) dan 3–2≡9(mod 4)

- pada masa yang sama perbandingan benar. Dan daripada sepasang perbandingan yang betul 3≡11(mod 4) dan 1≡5(mod 4) perkara berikut:

3+1≡11+5(mod 4)

3–1≡11–5(mod 4)

3·1≡11·5(mod 4)

3 2 ≡11 2 (mod 4)

3·23≡11·23(mod 4)

Teori nombor memperkatakan kaedah untuk menyelesaikan pelbagai perbandingan, i.e. kaedah untuk mencari integer yang memenuhi perbandingan satu jenis atau yang lain. Perbandingan modulo pertama kali digunakan oleh ahli matematik Jerman Carl Gauss dalam buku 1801 Arithmetic Studies. Beliau juga mencadangkan simbolisme untuk perbandingan yang ditubuhkan dalam matematik.

identiti. B. Riemann (1857).

Identiti ialah kesamaan dua ungkapan analitikal, sah untuk sebarang nilai yang dibenarkan bagi huruf yang disertakan di dalamnya. Kesamaan a+b = b+a adalah sah untuk semua nilai berangka a dan b, dan oleh itu adalah identiti. Untuk menulis identiti, dalam beberapa kes, sejak 1857, tanda "≡" (dibaca "sama sama") telah digunakan, yang pengarangnya dalam penggunaan ini ialah ahli matematik Jerman Georg Friedrich Bernhard Riemann. Kita boleh menulis a+b ≡ b+a.

Perpendicularity. P. Erigon (1634).

Perpendicularity ialah kedudukan relatif dua garis lurus, satah, atau garis lurus dan satah, di mana angka yang ditunjukkan membentuk sudut tepat. Tanda ⊥ untuk menandakan perpendicularity telah diperkenalkan pada tahun 1634 oleh ahli matematik dan astronomi Perancis Pierre Erigon. Konsep perpendicularity mempunyai beberapa generalisasi, tetapi semuanya, sebagai peraturan, disertai dengan tanda ⊥.

Paralelisme. W. Outred (edisi anumerta 1677).

Paralelisme ialah hubungan antara angka geometri tertentu; contohnya, lurus. Ditakrifkan secara berbeza bergantung pada geometri yang berbeza; contohnya, dalam geometri Euclid dan dalam geometri Lobachevsky. Tanda paralelisme telah diketahui sejak zaman dahulu, ia digunakan oleh Heron dan Pappus dari Alexandria. Pada mulanya, simbol adalah serupa dengan tanda sama semasa (hanya lebih lanjutan), tetapi dengan kemunculan yang terakhir, untuk mengelakkan kekeliruan, simbol itu dipusing secara menegak ||. Ia muncul dalam bentuk ini buat kali pertama dalam edisi anumerta karya ahli matematik Inggeris William Oughtred pada tahun 1677.

Persimpangan, kesatuan. J. Peano (1888).

Persilangan set ialah set yang mengandungi unsur-unsur itu dan hanya unsur-unsur yang dimiliki secara serentak kepada semua set yang diberikan. Kesatuan set ialah set yang mengandungi semua elemen set asal. Persilangan dan kesatuan juga dipanggil operasi pada set yang menetapkan set baharu kepada set tertentu mengikut peraturan yang dinyatakan di atas. Ditandakan dengan ∩ dan ∪, masing-masing. Sebagai contoh, jika

A=(♠ ♣ ) dan B=(♣ ♦),

Mengandungi, mengandungi. E. Schroeder (1890).

Jika A dan B ialah dua set dan tiada unsur dalam A yang bukan milik B, maka mereka mengatakan bahawa A terkandung dalam B. Mereka menulis A⊂B atau B⊃A (B mengandungi A). Sebagai contoh,

{♠}⊂{♠ ♣}⊂{♠ ♣ ♦}

{♠ ♣ ♦}⊃{ ♦}⊃{♦}

Simbol "mengandungi" dan "mengandungi" muncul pada tahun 1890 oleh ahli matematik dan logik Jerman Ernst Schröder.

Gabungan. J. Peano (1895).

Jika a ialah unsur set A, maka tulis a∈A dan baca “a kepunyaan A.” Jika a bukan unsur set A, tulis a∉A dan baca “a bukan milik A.” Pada mulanya, hubungan "terkandung" dan "kepunyaan" ("adalah unsur") tidak dibezakan, tetapi dari masa ke masa konsep ini memerlukan pembezaan. Simbol ∈ pertama kali digunakan oleh ahli matematik Itali Giuseppe Peano pada tahun 1895. Simbol ∈ berasal daripada huruf pertama perkataan Yunani εστι - menjadi.

Pengkuantiti kesejagatan, pengkuantiti kewujudan. G. Gentzen (1935), C. Pierce (1885).

Pengkuantiti ialah nama umum untuk operasi logik yang menunjukkan domain kebenaran predikat (pernyataan matematik). Ahli falsafah telah lama memberi perhatian kepada operasi logik yang mengehadkan domain kebenaran predikat, tetapi tidak mengenal pasti mereka sebagai kelas operasi yang berasingan. Walaupun pembinaan pengkuantiti-logik digunakan secara meluas dalam ucapan saintifik dan harian, pemformalannya hanya berlaku pada tahun 1879, dalam buku ahli logik, ahli matematik dan ahli falsafah Jerman Friedrich Ludwig Gottlob Frege "The Calculus of Concepts". Notasi Frege kelihatan seperti pembinaan grafik yang menyusahkan dan tidak diterima. Selepas itu, banyak lagi simbol yang berjaya dicadangkan, tetapi notasi yang diterima umum ialah ∃ untuk pengkuantiti wujud (baca "wujud", "ada"), yang dicadangkan oleh ahli falsafah, ahli logik dan ahli matematik Amerika Charles Peirce pada tahun 1885, dan ∀ untuk pengkuantiti universal (baca "mana-mana", "setiap", "semua orang"), dibentuk oleh ahli matematik dan logik Jerman Gerhard Karl Erich Gentzen pada tahun 1935 dengan analogi dengan simbol pengkuantiti kewujudan (huruf pertama terbalik perkataan Inggeris Kewujudan (kewujudan) dan Mana-mana (mana-mana)). Sebagai contoh, rekod

(∀ε>0) (∃δ>0) (∀x≠x 0 , |x–x 0 |<δ) (|f(x)–A|<ε)

berbunyi seperti ini: “untuk mana-mana ε>0 terdapat δ>0 supaya untuk semua x tidak sama dengan x 0 dan memenuhi ketaksamaan |x–x 0 |<δ, выполняется неравенство |f(x)–A|<ε».

Set kosong. N. Bourbaki (1939).

Satu set yang tidak mengandungi satu elemen. Tanda set kosong telah diperkenalkan dalam buku Nicolas Bourbaki pada tahun 1939. Bourbaki ialah nama samaran kolektif sekumpulan ahli matematik Perancis yang dicipta pada tahun 1935. Salah seorang ahli kumpulan Bourbaki ialah Andre Weil, pengarang simbol Ø.

Q.E.D. D. Knuth (1978).

Dalam matematik, pembuktian difahami sebagai urutan penaakulan yang dibina berdasarkan peraturan tertentu, menunjukkan bahawa pernyataan tertentu adalah benar. Sejak Renaissance, penghujung bukti telah dilambangkan oleh ahli matematik dengan singkatan "Q.E.D.", daripada ungkapan Latin "Quod Erat Demonstrandum" - "Apa yang perlu dibuktikan." Semasa mencipta sistem susun atur komputer ΤΕΧ pada tahun 1978, profesor sains komputer Amerika Donald Edwin Knuth menggunakan simbol: persegi yang diisi, yang dipanggil "simbol Halmos", dinamakan sempena ahli matematik Amerika kelahiran Hungary, Paul Richard Halmos. Hari ini, penyiapan bukti biasanya ditunjukkan oleh Simbol Halmos. Sebagai alternatif, tanda-tanda lain digunakan: segi empat sama kosong, segi tiga tepat, // (dua garis miring ke hadapan), serta singkatan Rusia "ch.t.d."

Apabila orang berinteraksi untuk masa yang lama dalam bidang aktiviti tertentu, mereka mula mencari cara untuk mengoptimumkan proses komunikasi. Sistem tanda dan simbol matematik ialah bahasa buatan yang dibangunkan untuk mengurangkan jumlah maklumat yang dihantar secara grafik sambil mengekalkan makna mesej sepenuhnya.

Mana-mana bahasa memerlukan pembelajaran, dan bahasa matematik dalam hal ini tidak terkecuali. Untuk memahami maksud formula, persamaan dan graf, anda perlu mempunyai maklumat tertentu terlebih dahulu, memahami istilah, sistem tatatanda, dll. Jika tiada pengetahuan sedemikian, teks akan dianggap sebagai ditulis dalam bahasa asing yang tidak dikenali.

Selaras dengan keperluan masyarakat, simbol grafik untuk operasi matematik yang lebih mudah (contohnya, tatatanda untuk penambahan dan penolakan) telah dibangunkan lebih awal daripada untuk konsep kompleks seperti kamiran atau pembezaan. Semakin kompleks konsep, semakin kompleks tanda yang biasanya dilambangkan.

Model untuk pembentukan simbol grafik

Pada peringkat awal perkembangan tamadun, orang menghubungkan operasi matematik yang paling mudah dengan konsep biasa berdasarkan persatuan. Sebagai contoh, di Mesir Purba, penambahan dan penolakan ditunjukkan oleh corak kaki berjalan: garis yang diarahkan ke arah bacaan mereka menunjukkan "tambah", dan ke arah yang bertentangan - "tolak".

Nombor, mungkin dalam semua budaya, pada mulanya ditetapkan oleh bilangan baris yang sepadan. Kemudian, notasi konvensional mula digunakan untuk rakaman - masa yang dijimatkan ini, serta ruang pada media fizikal. Huruf sering digunakan sebagai simbol: strategi ini tersebar luas dalam bahasa Yunani, Latin dan banyak bahasa lain di dunia.

Sejarah kemunculan simbol dan tanda matematik mengetahui dua cara yang paling produktif untuk mencipta elemen grafik.

Menukarkan Perwakilan Verbal

Pada mulanya, sebarang konsep matematik dinyatakan dengan perkataan atau frasa tertentu dan tidak mempunyai perwakilan grafiknya sendiri (selain leksikal). Walau bagaimanapun, melakukan pengiraan dan menulis formula dalam perkataan adalah prosedur yang panjang dan mengambil jumlah ruang yang tidak munasabah pada medium fizikal.

Cara biasa untuk mencipta simbol matematik ialah mengubah perwakilan leksikal sesuatu konsep kepada elemen grafik. Dalam erti kata lain, perkataan yang menunjukkan konsep dipendekkan atau diubah dalam beberapa cara lain dari semasa ke semasa.

Sebagai contoh, hipotesis utama untuk asal usul tanda tambah ialah singkatan daripada bahasa Latin et, analognya dalam bahasa Rusia adalah kata hubung "dan". Secara beransur-ansur, huruf pertama dalam tulisan kursif berhenti ditulis, dan t dikurangkan menjadi salib.

Contoh lain ialah tanda "x" untuk yang tidak diketahui, yang pada asalnya merupakan singkatan daripada perkataan Arab untuk "sesuatu". Dalam cara yang sama, tanda-tanda untuk menandakan punca kuasa dua, peratusan, kamiran, logaritma, dsb. muncul. Dalam jadual simbol dan tanda matematik anda boleh menemui lebih daripada sedozen elemen grafik yang muncul dengan cara ini.

Tugasan watak tersuai

Pilihan umum kedua untuk pembentukan tanda dan simbol matematik ialah memberikan simbol secara sewenang-wenangnya. Dalam kes ini, perkataan dan penunjuk grafik tidak berkaitan antara satu sama lain - tanda itu biasanya diluluskan sebagai hasil daripada cadangan salah seorang ahli komuniti saintifik.

Sebagai contoh, tanda-tanda untuk pendaraban, pembahagian, dan kesamaan dicadangkan oleh ahli matematik William Oughtred, Johann Rahn dan Robert Record. Dalam sesetengah kes, beberapa simbol matematik mungkin telah diperkenalkan ke dalam sains oleh seorang saintis. Khususnya, Gottfried Wilhelm Leibniz mencadangkan beberapa simbol, termasuk kamiran, pembezaan dan terbitan.

Operasi paling mudah

Setiap murid sekolah mengetahui tanda-tanda seperti "tambah" dan "tolak", serta simbol untuk pendaraban dan pembahagian, walaupun pada hakikatnya terdapat beberapa tanda grafik yang mungkin untuk dua operasi terakhir yang disebutkan.

Adalah selamat untuk mengatakan bahawa orang tahu cara menambah dan menolak beribu-ribu tahun sebelum era kita, tetapi tanda dan simbol matematik piawai yang menunjukkan tindakan ini dan diketahui oleh kita hari ini hanya muncul pada abad ke-14-15.

Walau bagaimanapun, walaupun penubuhan perjanjian tertentu dalam komuniti saintifik, pendaraban pada zaman kita boleh diwakili oleh tiga tanda yang berbeza (salib pepenjuru, titik, asterisk), dan pembahagian dengan dua (garis mendatar dengan titik di atas dan di bawah. atau garis miring).

surat

Selama berabad-abad, komuniti saintifik secara eksklusif menggunakan bahasa Latin untuk menyampaikan maklumat, dan banyak istilah dan simbol matematik mendapati asal-usulnya dalam bahasa ini. Dalam sesetengah kes, unsur grafik adalah hasil daripada memendekkan perkataan, kurang kerap - perubahan yang disengajakan atau tidak sengaja (contohnya, disebabkan kesilapan menaip).

Peratusan sebutan (“%”) kemungkinan besar berasal daripada salah ejaan singkatan WHO(cento, iaitu "bahagian keseratus"). Dengan cara yang sama, tanda tambah muncul, yang sejarahnya diterangkan di atas.

Banyak lagi yang telah dibentuk dengan sengaja memendekkan perkataan, walaupun ini tidak selalunya jelas. Tidak setiap orang mengenali huruf dalam tanda punca kuasa dua R, iaitu aksara pertama dalam perkataan Radix (“root”). Simbol integral juga mewakili huruf pertama perkataan Summa, tetapi secara intuitif ia kelihatan seperti huruf besar f tanpa garis mendatar. Ngomong-ngomong, dalam penerbitan pertama penerbit membuat kesilapan sedemikian dengan mencetak f dan bukannya simbol ini.

huruf Yunani

Bukan sahaja yang Latin digunakan sebagai tatatanda grafik untuk pelbagai konsep, tetapi juga dalam jadual simbol matematik anda boleh menemui beberapa contoh nama sedemikian.

Nombor Pi, iaitu nisbah lilitan bulatan kepada diameternya, berasal dari huruf pertama perkataan Yunani untuk bulatan. Terdapat beberapa nombor tidak rasional lain yang kurang dikenali, dilambangkan dengan huruf abjad Yunani.

Tanda yang sangat biasa dalam matematik ialah "delta," yang mencerminkan jumlah perubahan dalam nilai pembolehubah. Satu lagi tanda yang biasa digunakan ialah "sigma", yang berfungsi sebagai tanda jumlah.

Lebih-lebih lagi, hampir semua huruf Yunani digunakan dalam matematik dalam satu cara atau yang lain. Walau bagaimanapun, tanda dan simbol matematik ini dan maknanya hanya diketahui oleh orang yang terlibat dalam sains secara profesional. Seseorang tidak memerlukan pengetahuan ini dalam kehidupan seharian.

Tanda-tanda logik

Anehnya, banyak simbol intuitif telah dicipta baru-baru ini.

Khususnya, anak panah mendatar menggantikan perkataan "oleh itu" dicadangkan hanya pada tahun 1922. Pengkuantiti kewujudan dan kesejagatan, iaitu tanda dibaca sebagai: "ada ..." dan "untuk mana-mana ...", diperkenalkan pada tahun 1897 dan 1935 masing-masing.

Simbol dari bidang teori set dicipta pada tahun 1888-1889. Dan bulatan berpalang, yang diketahui oleh mana-mana pelajar sekolah menengah hari ini sebagai tanda set kosong, muncul pada tahun 1939.

Oleh itu, simbol untuk konsep kompleks seperti kamiran atau logaritma telah dicipta berabad-abad lebih awal daripada beberapa simbol intuitif yang mudah dilihat dan dipelajari walaupun tanpa persediaan awal.

Simbol matematik dalam bahasa Inggeris

Disebabkan fakta bahawa sebahagian besar konsep telah diterangkan dalam karya saintifik dalam bahasa Latin, sejumlah nama tanda dan simbol matematik dalam bahasa Inggeris dan Rusia adalah sama. Contohnya: Tambah, Kamiran, Fungsi Delta, Serenjang, Selari, Null.

Beberapa konsep dalam dua bahasa dipanggil secara berbeza: contohnya, pembahagian ialah Pembahagian, pendaraban ialah Pendaraban. Dalam kes yang jarang berlaku, nama Inggeris untuk tanda matematik menjadi agak meluas dalam bahasa Rusia: sebagai contoh, garis miring dalam beberapa tahun kebelakangan ini sering dipanggil "slash".

jadual simbol

Cara termudah dan paling mudah untuk membiasakan diri dengan senarai tanda matematik adalah dengan melihat jadual khas yang mengandungi tanda operasi, simbol logik matematik, teori set, geometri, kombinatorik, analisis matematik dan algebra linear. Jadual ini membentangkan simbol asas matematik dalam bahasa Inggeris.

Simbol matematik dalam penyunting teks

Apabila melakukan pelbagai jenis kerja, selalunya perlu menggunakan formula yang menggunakan aksara yang tiada pada papan kekunci komputer.

Seperti elemen grafik daripada hampir mana-mana bidang pengetahuan, tanda dan simbol matematik dalam Word boleh didapati dalam tab "Sisipkan". Dalam versi program 2003 atau 2007, terdapat pilihan "Sisipkan Simbol": apabila anda mengklik pada butang di sebelah kanan panel, pengguna akan melihat jadual yang membentangkan semua simbol matematik yang diperlukan, huruf kecil Yunani dan huruf besar, pelbagai jenis kurungan dan banyak lagi.

Dalam versi program yang dikeluarkan selepas 2010, pilihan yang lebih mudah telah dibangunkan. Apabila anda mengklik pada butang "Formula", anda pergi ke pembina formula, yang menyediakan penggunaan pecahan, memasukkan data di bawah akar, menukar daftar (untuk menunjukkan kuasa atau nombor siri pembolehubah). Semua tanda dari jadual yang dibentangkan di atas juga boleh didapati di sini.

Adakah berbaloi untuk mempelajari simbol matematik?

Sistem tatatanda matematik adalah bahasa buatan yang hanya memudahkan proses penulisan, tetapi tidak dapat membawa pemahaman subjek kepada pemerhati luar. Oleh itu, menghafal tanda tanpa mempelajari istilah, peraturan, dan hubungan logik antara konsep tidak akan membawa kepada penguasaan bidang pengetahuan ini.

Otak manusia mudah mempelajari tanda, huruf dan singkatan - simbol matematik diingati sendiri apabila mempelajari subjek. Memahami makna setiap tindakan tertentu mencipta tanda-tanda yang kuat sehingga tanda-tanda yang menunjukkan istilah, dan selalunya formula yang dikaitkan dengannya, kekal dalam ingatan selama bertahun-tahun dan bahkan beberapa dekad.

Akhirnya

Memandangkan mana-mana bahasa, termasuk bahasa tiruan, terbuka kepada perubahan dan penambahan, bilangan tanda dan simbol matematik pasti akan bertambah dari semasa ke semasa. Ada kemungkinan bahawa beberapa elemen akan diganti atau diselaraskan, manakala yang lain akan diseragamkan dalam satu-satunya bentuk yang mungkin, yang berkaitan, sebagai contoh, untuk tanda pendaraban atau pembahagian.

Keupayaan untuk menggunakan simbol matematik pada peringkat kursus sekolah penuh secara praktikalnya diperlukan dalam dunia moden. Dalam konteks perkembangan pesat teknologi maklumat dan sains, algoritma dan automasi yang meluas, penguasaan radas matematik harus diambil mudah, dan penguasaan simbol matematik sebagai sebahagian daripadanya.

Memandangkan pengiraan digunakan dalam bidang kemanusiaan, ekonomi, sains semula jadi, dan, sudah tentu, dalam bidang kejuruteraan dan teknologi tinggi, pemahaman konsep matematik dan pengetahuan tentang simbol akan berguna untuk mana-mana pakar.