Rationeel of irrationeel getal. Irrationele getallen: wat zijn ze en waarvoor worden ze gebruikt

Wat zijn irrationele getallen? Waarom worden ze zo genoemd? Waar worden ze gebruikt en wat zijn ze? Weinig mensen kunnen deze vragen beantwoorden zonder na te denken. Maar in feite zijn de antwoorden daarop vrij eenvoudig, hoewel niet iedereen ze nodig heeft en in zeer zeldzame situaties

Essentie en aanduiding

Irrationele nummers vertegenwoordigen oneindige niet-periodieke getallen. De noodzaak om dit concept te introduceren is te wijten aan het feit dat om nieuwe opkomende problemen op te lossen de eerder bestaande concepten van reële of reële, gehele, natuurlijke en rationale getallen niet langer voldoende waren. Om bijvoorbeeld te berekenen welke grootheid het kwadraat van 2 is, moet u niet-periodieke oneindige decimalen gebruiken. Bovendien hebben veel eenvoudige vergelijkingen ook geen oplossing zonder het concept van een irrationeel getal te introduceren.

Deze set wordt aangeduid als I. En zoals al duidelijk is, kunnen deze waarden niet worden weergegeven als een eenvoudige breuk, waarvan de teller een geheel getal zal zijn en de noemer zal zijn

Voor het eerst kwamen Indiase wiskundigen op de een of andere manier in aanraking met dit fenomeen in de 7e eeuw, toen werd ontdekt dat de vierkantswortels van sommige grootheden niet expliciet kunnen worden aangegeven. En het eerste bewijs van het bestaan van dergelijke getallen wordt toegeschreven aan de Pythagoras Hippasus, die dit deed tijdens het bestuderen van de gelijkbenige getallen. rechthoekige driehoek. Enkele andere wetenschappers die vóór onze jaartelling leefden, hebben een serieuze bijdrage geleverd aan de studie van deze set. De introductie van het concept van irrationele getallen bracht een herziening van het bestaande wiskundige systeem met zich mee, en daarom zijn ze zo belangrijk.

oorsprong van de naam

Als de verhouding vertaald uit het Latijn “breuk”, “verhouding” is, dan is het voorvoegsel “ir”
geeft dit woord de tegenovergestelde betekenis. De naam van de reeks van deze getallen geeft dus aan dat ze niet kunnen worden gecorreleerd met een geheel getal of breuk en dat ze een aparte plaats hebben. Dit volgt uit hun essentie.

Plaats in het algemeen klassement

Irrationele getallen behoren, samen met rationale getallen, tot de groep van reële of reële getallen, die op hun beurt tot complexe getallen behoren. Er zijn geen subsets, maar er zijn algebraïsche en transcendentale varianten, die hieronder zullen worden besproken.

Eigenschappen

Omdat irrationele getallen deel uitmaken van de verzameling reële getallen, zijn al hun eigenschappen die in de rekenkunde worden bestudeerd (ze worden ook wel fundamentele algebraïsche wetten genoemd) daarop van toepassing.

a + b = b + a (commutativiteit);

(a + b) + c = a + (b + c) (associativiteit);

a + (-a) = 0 (bestaan van het tegenovergestelde getal);

ab = ba (commutatieve wet);

(ab)c = a(bc) (distributiviteit);

a(b+c) = ab + ac (verdelingswet);

a x 1/a = 1 (bestaan van een omgekeerd getal);

De vergelijking wordt ook gemaakt in overeenstemming met algemene patronen en principes:

Als a > b en b > c, dan a > c (transitiviteit van de relatie) en. enz.

Natuurlijk kunnen alle irrationele getallen worden geconverteerd met behulp van eenvoudige rekenkunde. Geen speciale regels tegelijkertijd nr.

Bovendien is het axioma van Archimedes van toepassing op irrationele getallen. Er wordt gesteld dat het voor elke twee grootheden a en b waar is, als we a als term nemen voldoende hoeveelheid keer, kan worden overtroffen b.

Gebruik

Ondanks dat je ze in het dagelijks leven niet zo vaak tegenkomt, zijn irrationele getallen niet te tellen. Er zijn er enorm veel, maar ze zijn bijna onzichtbaar. Irrationele getallen zijn overal om ons heen. Voorbeelden die iedereen bekend zijn, zijn het getal pi, gelijk aan 3,1415926..., of e, dat in wezen de basis is van de natuurlijke logaritme, 2,718281828... In de algebra, trigonometrie en meetkunde moeten ze constant worden gebruikt. Trouwens, beroemde betekenis"gulden snede", dat wil zeggen de verhouding van zowel het grotere deel als het kleinere deel, en ook omgekeerd

hoort bij deze set. Ook de minder bekende ‘zilveren’.

Op de getallenlijn bevinden ze zich zeer dicht bij elkaar, zodat er tussen twee willekeurige grootheden die als rationeel worden geclassificeerd, zeker een irrationele zal voorkomen.

Er zijn nog steeds veel onopgeloste problemen verbonden aan deze set. Er zijn criteria zoals de mate van irrationaliteit en de normaliteit van een getal. Wiskundigen blijven de belangrijkste voorbeelden bestuderen om te bepalen of ze tot de ene of de andere groep behoren. Er wordt bijvoorbeeld aangenomen dat e een normaal getal is, dat wil zeggen dat de kans dat verschillende cijfers in de notatie voorkomen hetzelfde is. Wat pi betreft, er wordt nog steeds onderzoek naar gedaan. De maatstaf voor irrationaliteit is een waarde die laat zien hoe goed een bepaald getal kan worden benaderd door rationale getallen.

Algebraïsch en transcendentaal

Zoals reeds vermeld, worden irrationele getallen conventioneel onderverdeeld in algebraïsch en transcendentaal. Voorwaardelijk, aangezien deze classificatie strikt genomen wordt gebruikt om de verzameling C te verdelen.

Deze aanduiding verbergt complexe getallen, waaronder reële of reële getallen.

Algebraïsch is dus een waarde die de wortel is van een polynoom die niet identiek gelijk is aan nul. Bijvoorbeeld, Vierkantswortel van 2 zou in deze categorie vallen omdat het een oplossing is voor de vergelijking x 2 - 2 = 0.

Alle andere reële getallen die niet aan deze voorwaarde voldoen, worden transcendentaal genoemd. Deze variëteit omvat de meest bekende en reeds genoemde voorbeelden: het getal pi en de basis van de natuurlijke logaritme e.

Interessant is dat noch het een noch het ander oorspronkelijk in deze hoedanigheid door wiskundigen werd ontwikkeld; hun irrationaliteit en transcendentie werden vele jaren na hun ontdekking bewezen; Voor pi werd het bewijs geleverd in 1882 en vereenvoudigd in 1894, waarmee een einde kwam aan een 2500 jaar durend debat over het probleem van het kwadrateren van de cirkel. Het is nog steeds niet volledig bestudeerd, dus moderne wiskundigen hebben iets om aan te werken. Trouwens, de eerste redelijk nauwkeurige berekening van deze waarde werd uitgevoerd door Archimedes. Vóór hem waren alle berekeningen te bij benadering.

Voor e (het getal van Euler of Napier) werd in 1873 een bewijs van de transcendentie ervan gevonden. Het wordt gebruikt bij het oplossen van logaritmische vergelijkingen.

Andere voorbeelden zijn de waarden van sinus, cosinus en tangens voor elke algebraïsche waarde die niet nul is.

De abstractheid van wiskundige concepten straalt soms zoveel onthechting uit dat onwillekeurig de gedachte opkomt: “Waarom is dit allemaal?” Maar ondanks de eerste indruk zijn alle stellingen, rekenkundige bewerkingen, functies, enz. - niets meer dan een verlangen om in basisbehoeften te voorzien. Dit is vooral duidelijk te zien in het voorbeeld van het uiterlijk van verschillende sets.

Het begon allemaal met het verschijnen van natuurlijke getallen. En hoewel het onwaarschijnlijk is dat nu iemand zal kunnen antwoorden hoe het precies was, groeien de benen van de koningin der wetenschappen hoogstwaarschijnlijk ergens in de grot. Hier, bij het analyseren van het aantal huiden, stenen en stamleden, heeft een persoon veel ‘getallen om te tellen’. En dat was genoeg voor hem. Tot een bepaald punt natuurlijk.

Vervolgens moesten de huiden en stenen worden verdeeld en afgevoerd. Zo ontstond de behoefte aan rekenkundige bewerkingen, en daarmee aan rationele, die kunnen worden gedefinieerd als een breuk zoals m/n, waarbij bijvoorbeeld m het aantal huiden is en n het aantal stamgenoten.

Het lijkt erop dat het reeds ontdekte wiskundige apparaat voldoende is om van het leven te genieten. Maar al snel bleek dat er gevallen zijn waarin het resultaat niet alleen geen geheel getal is, maar zelfs geen breuk! En inderdaad, de vierkantswortel van twee kan op geen enkele andere manier worden uitgedrukt met behulp van een teller en een noemer. Of bijvoorbeeld het bekende getal Pi, ontdekt door de oude Griekse wetenschapper Archimedes, is ook niet rationeel. En in de loop van de tijd werden dergelijke ontdekkingen zo talrijk dat alle getallen die niet ‘gerationaliseerd’ konden worden, werden gecombineerd en irrationeel werden genoemd.

Eigenschappen

De eerder besproken sets behoren tot een reeks fundamentele concepten van de wiskunde. Dit betekent dat ze niet kunnen worden gedefinieerd via eenvoudigere wiskundige objecten. Maar dit kan gedaan worden met behulp van categorieën (van het Griekse ‘uitspraken’) of postulaten. In dit geval was het het beste om de eigenschappen van deze sets aan te geven.

o Irrationele getallen definiëren Dedekind-uitsnijdingen in de reeks rationale getallen die niet het grootste getal in het onderste getal hebben en niet het kleinste getal in het bovenste getal.

o Elk transcendentaal getal is irrationeel.

o Elk irrationaal getal is algebraïsch of transcendentaal.

o De reeks getallen is overal op de getallenlijn compact: tussen alle getallen bevindt zich een irrationeel getal.

o De set is ontelbaar en behoort tot de tweede Baire-categorie.

o Deze verzameling is geordend, dat wil zeggen dat je voor elke twee verschillende rationale getallen a en b kunt aangeven welke kleiner is dan de andere.
o Tussen elke twee verschillende rationale getallen zit er nog een ten minsteéén, en dus een oneindige reeks rationale getallen.

O Rekenkundige bewerkingen(optellen, vermenigvuldigen en delen) over twee willekeurige rationale getallen zijn altijd mogelijk en resulteren in een bepaald rationeel getal. De uitzondering is delen door nul, wat onmogelijk is.

o Elk rationaal getal kan worden weergegeven als decimale(eindig of oneindig periodiek).

Rationaal getal– een getal dat wordt weergegeven door een gewone breuk m/n, waarbij de teller m een geheel getal is en de noemer n een natuurlijk getal. Elk rationaal getal kan worden weergegeven als een periodieke oneindige decimale breuk. De verzameling rationale getallen wordt aangegeven met Q.

Als een reëel getal niet rationeel is, dan is het dat wel irrationeel nummer. Decimale breuken die irrationele getallen uitdrukken zijn oneindig en niet-periodiek. De reeks irrationele getallen wordt meestal aangegeven met de hoofdletter I.

Er wordt een echt nummer gebeld algebraïsch, als het de wortel is van een polynoom (niet-nul graad) met rationale coëfficiënten. Elk niet-algebraïsch getal wordt genoemd transcendentaal.

Enkele eigenschappen:

De reeks rationale getallen bevindt zich overal dicht op de getallenas: tussen twee verschillende rationale getallen bevindt zich minstens één rationaal getal (en dus een oneindige reeks rationale getallen). Niettemin blijkt dat de reeks rationale getallen Q en de reeks natuurlijke getallen N equivalent zijn, dat wil zeggen dat er een één-op-één-correspondentie tussen hen kan worden vastgesteld (alle elementen van de reeks rationale getallen kunnen opnieuw worden genummerd) .

De verzameling Q van rationale getallen is gesloten onder optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen, dat wil zeggen dat de som, het verschil, het product en het quotiënt van twee rationale getallen ook rationale getallen zijn.

Alle rationale getallen zijn algebraïsch (het omgekeerde is onwaar).

Elk reëel transcendentaal getal is irrationeel.

Elk irrationeel getal is algebraïsch of transcendentaal.

De reeks irrationele getallen is overal op de getallenlijn compact: tussen twee willekeurige getallen bevindt zich een irrationeel getal (en dus een oneindige reeks irrationele getallen).

De reeks irrationele getallen is ontelbaar.

Bij het oplossen van problemen is het handig om, samen met het irrationele getal a + b√ c (waarbij a, b rationale getallen zijn, c een geheel getal is dat niet het kwadraat is van een natuurlijk getal), het "geconjugeerde" getal a te beschouwen – b√ c: de som en het product met de oorspronkelijke – rationale getallen. Dus a + b√ c en a – b√ c zijn wortels kwadratische vergelijking met gehele coëfficiënten.

Problemen met oplossingen

1. Bewijs dat

a) aantal √ 7;

b) lognummer 80;

c) aantal √ 2 + 3 √ 3;

is irrationeel.

a) Laten we aannemen dat het getal √ 7 rationeel is. Dan zijn er coprime p en q zodanig dat √ 7 = p/q, waaruit we p 2 = 7q 2 verkrijgen. Omdat p en q relatief priem zijn, is p 2, en daarom is p deelbaar door 7. Dan is p = 7k, waarbij k een natuurlijk getal is. Vandaar dat q 2 = 7k 2 = pk, wat in tegenspraak is met het feit dat p en q coprime zijn.

De aanname is dus onjuist, wat betekent dat het getal √ 7 irrationeel is.

b) Laten we aannemen dat de getallenlog 80 rationeel is. Dan zijn er natuurlijke p en q zodat log 80 = p/q, of 10 p = 80 q, waaruit we 2 p–4q = 5 q–p verkrijgen. Gezien het feit dat de getallen 2 en 5 relatief priemgetallen zijn, ontdekken we dat de laatste gelijkheid alleen mogelijk is voor p–4q = 0 en q–p = 0. Vandaar p = q = 0, wat onmogelijk is, aangezien p en q zijn gekozen natuurlijk zijn.

De aanname is dus onjuist, wat betekent dat het getal LG 80 irrationeel is.

c) Laten we dit getal aangeven met x.

Dan (x – √ 2) 3 = 3, of x 3 + 6x – 3 = √ 2 (3x 2 + 2). Na het kwadrateren van deze vergelijking vinden we dat x aan de vergelijking moet voldoen

x 6 – 6x 4 – 6x 3 + 12x 2 – 36x + 1 = 0.

De rationele wortels kunnen alleen de getallen 1 en –1 zijn. Bij controle blijkt dat 1 en –1 geen wortels zijn.

Het gegeven getal √ 2 + 3 √ 3 is dus irrationeel.

2. Het is bekend dat de getallen a, b, √a –√b,– rationeel. Bewijs dat √a en √b zijn ook rationale getallen.

Laten we naar het werk kijken

(√ een – √ b)·(√ een + √ b) = een – b.

Nummer √a +√b, wat gelijk is aan de verhouding van de getallen a – b en √a –√b, is rationeel, aangezien het quotiënt van twee rationale getallen een rationaal getal is. Som van twee rationale getallen

½ (√ een + √ b) + ½ (√ een – √ b) = √ een

– een rationaal getal, hun verschil,

½ (√ een + √ b) – ½ (√ een – √ b) = √ b,

is ook een rationaal getal, en dat is wat bewezen moest worden.

3. Bewijs dat er positieve irrationele getallen a en b zijn waarvoor het getal a b een natuurlijk getal is.

4. Zijn er rationale getallen a, b, c, d die aan de gelijkheid voldoen?

(een + b √ 2 ) 2n + (c + d√ 2 ) 2n = 5 + 4√ 2 ,

waarbij n een natuurlijk getal is?

Als aan de gelijkheid gegeven in de voorwaarde is voldaan, en de getallen a, b, c, d rationeel zijn, dan is ook aan de gelijkheid voldaan:

(a-b √ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n = 5 – 4√ 2.

Maar 5 – 4√ 2 (a – b√ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n > 0. De resulterende tegenstrijdigheid bewijst dat de oorspronkelijke gelijkheid onmogelijk is.

Antwoord: ze bestaan niet.

5. Als segmenten met lengtes a, b, c een driehoek vormen, dan geldt voor alle n = 2, 3, 4, . . . segmenten met lengtes n √ a, n √ b, n √ c vormen ook een driehoek. Bewijs het.

Als segmenten met lengtes a, b, c een driehoek vormen, geeft dit de driehoeksongelijkheid

Daarom hebben wij

(n √ een + n √ b) n > een + b > c = (n √ c) n,

N √ een + n √ b > n √ c.

De overige gevallen waarin de driehoeksongelijkheid wordt gecontroleerd, worden op dezelfde manier beschouwd, waaruit de conclusie volgt.

6. Bewijs dat de oneindige decimale breuk 0,1234567891011121314 is... (na de komma, alle gehele getallen in volgorde) is een irrationeel getal.

Zoals u weet, worden rationale getallen uitgedrukt als decimale breuken, die een punt hebben vanaf een bepaald teken. Daarom is het voldoende om te bewijzen dat deze breuk in geen enkel teken periodiek is. Stel dat dit niet het geval is, en dat een reeks T van n cijfers de periode van de breuk is, beginnend op de maand na de komma. Het is duidelijk dat er tussen de cijfers na het m-de teken niet-nul zijn, daarom is er een niet-nul cijfer in de reeks van cijfers T. Dit betekent dat er, beginnend bij het m-de cijfer na de komma, onder alle n cijfers op rij een cijfer niet nul staat. De decimale notatie van deze breuk moet echter de decimale notatie van het getal 100...0 = 10 k bevatten, waarbij k > m en k > n. Het is duidelijk dat deze invoer rechts van het m-de cijfer plaatsvindt en meer dan n nullen op rij bevat. Zo verkrijgen we een tegenspraak die het bewijs compleet maakt.

7. Gegeven een oneindige decimale breuk 0,a 1 a 2 ... . Bewijs dat de cijfers in de decimale notatie opnieuw kunnen worden gerangschikt, zodat de resulterende breuk een rationeel getal uitdrukt.

Bedenk dat een breuk een rationaal getal uitdrukt als en slechts als het periodiek is, beginnend bij een bepaald teken. We verdelen de getallen van 0 tot en met 9 in twee klassen: in de eerste klasse nemen we de getallen op die een eindig aantal keren in de oorspronkelijke breuk voorkomen, in de tweede klasse nemen we de getallen op die in de oorspronkelijke breuk voorkomen een oneindig aantal keren. keer. Laten we beginnen met het opschrijven van een periodieke breuk die uit het origineel kan worden verkregen door de getallen te herschikken. Eerst schrijven we na nul en komma in willekeurige volgorde alle getallen uit de eerste klasse - elk zo vaak als het voorkomt in de notatie van de oorspronkelijke breuk. De geregistreerde cijfers van de eerste klasse gaan vooraf aan de punt in het fractionele deel van het decimaalteken. Laten we vervolgens de getallen uit de tweede klas één voor één in een bepaalde volgorde opschrijven. We verklaren deze combinatie als een punt en herhalen dit een oneindig aantal keren. We hebben dus de vereiste periodieke breuk uitgeschreven die een bepaald rationeel getal uitdrukt.

8. Bewijs dat er in elke oneindige decimale breuk een reeks decimalen van willekeurige lengte bestaat, die oneindig vaak voorkomt bij de ontbinding van de breuk.

Laat m een willekeurig gegeven natuurlijk getal zijn. Laten we deze oneindige decimale breuk verdelen in segmenten met elk m cijfers. Er zullen een oneindig aantal van dergelijke segmenten zijn. Aan de andere kant, diverse systemen bestaande uit m cijfers, zijn er slechts 10 m, dat wil zeggen een eindig getal. Bijgevolg moet minstens één van deze systemen hier oneindig vaak worden herhaald.

Opmerking. Voor irrationele getallen √ 2, π of e we weten niet eens welk cijfer oneindig vaak wordt herhaald in de oneindige decimale breuken die ze vertegenwoordigen, hoewel gemakkelijk kan worden bewezen dat elk van deze getallen minstens twee verschillende van dergelijke cijfers bevat.

9. Bewijs op een elementaire manier dat de positieve wortel van de vergelijking

is irrationeel.

Voor x > 0 linkerkant De vergelijking neemt toe met x, en het is gemakkelijk in te zien dat deze bij x = 1,5 kleiner is dan 10, en bij x = 1,6 meer dan 10. Daarom ligt de enige positieve wortel van de vergelijking binnen het interval (1,5; 1,6). ).

Laten we de wortel schrijven als een onherleidbare breuk p/q, waarbij p en q enkele relatief priemgetallen zijn. Dan zal bij x = p/q de vergelijking de volgende vorm aannemen:

p5 + pq4 = 10q5,

waaruit volgt dat p een deler is van 10, dus p is gelijk aan een van de getallen 1, 2, 5, 10. Bij het uitschrijven van breuken met de tellers 1, 2, 5, 10 merken we echter meteen dat geen van deze valt binnen het interval (1,5; 1,6).

De positieve wortel van de oorspronkelijke vergelijking kan dus niet worden weergegeven als gemeenschappelijke fractie, wat betekent dat het een irrationeel getal is.

10. a) Zijn er drie punten A, B en C in het vlak zodat voor elk punt X de lengte van ten minste één van de segmenten XA, XB en XC irrationeel is?

b) De coördinaten van de hoekpunten van de driehoek zijn rationeel. Bewijs dat de coördinaten van het middelpunt van de omgeschreven cirkel ook rationeel zijn.

c) Bestaat er zo'n sfeer waarop precies één rationeel punt bestaat? (Een rationeel punt is een punt waarvoor alle drie de cartesiaanse coördinaten rationale getallen zijn.)

a) Ja, ze bestaan. Laat C het middelpunt van segment AB zijn. Dan XC 2 = (2XA 2 + 2XB 2 – AB 2)/2. Als het getal AB 2 irrationeel is, kunnen de getallen XA, XB en XC niet tegelijkertijd rationeel zijn.

b) Laat (a 1 ; b 1), (a 2 ; b 2) en (a 3 ; b 3) de coördinaten zijn van de hoekpunten van de driehoek. De coördinaten van het middelpunt van de omgeschreven cirkel worden gegeven door een stelsel van vergelijkingen:

(x – een 1) 2 + (y – b 1) 2 = (x – een 2) 2 + (y – b 2) 2,

(x – een 1) 2 + (y – b 1) 2 = (x – een 3) 2 + (y – b 3) 2.

Het is gemakkelijk om te controleren of deze vergelijkingen lineair zijn, wat betekent dat de oplossing van het beschouwde stelsel vergelijkingen rationeel is.

c) Zo'n sfeer bestaat. Bijvoorbeeld een bol met de vergelijking

(x – √ 2 ) 2 + y 2 + z 2 = 2.

Punt O met coördinaten (0; 0; 0) is een rationeel punt dat op deze bol ligt. De overige punten van de bol zijn irrationeel. Laten we het bewijzen.

Laten we het tegenovergestelde aannemen: laat (x; y; z) een rationeel punt van de bol zijn, verschillend van punt O. Het is duidelijk dat x verschillend is van 0, aangezien er voor x = 0 enige beslissing(0; 0; 0), wat voor ons nu niet interessant is. Laten we de haakjes openen en √ 2 uitdrukken:

x 2 – 2√ 2 x + 2 + y 2 + z 2 = 2

√ 2 = (x 2 + y 2 + z 2)/(2x),

wat niet kan gebeuren met rationele x, y, z en irrationeel √ 2. O(0; 0; 0) is dus het enige rationele punt op de beschouwde bol.

Problemen zonder oplossingen

1. Bewijs dat het getal

\[ \sqrt(10+\sqrt(24)+\sqrt(40)+\sqrt(60)) \]

is irrationeel.

2. Voor welke gehele getallen m en n geldt de gelijkheid (5 + 3√ 2 ) m = (3 + 5√ 2 ) n?

3. Bestaat er een getal a waarbij de getallen a – √ 3 en 1/a + √ 3 gehele getallen zijn?

4. Kunnen de getallen 1, √ 2, 4 leden zijn (niet noodzakelijkerwijs aangrenzend) van een rekenkundige reeks?

5. Bewijs dat voor elk natuurlijk getal n de vergelijking (x + y√ 3) 2n = 1 + √ 3 geen oplossingen heeft in rationale getallen (x; y).

Definitie van een irrationeel getal

Irrationele getallen zijn getallen die in decimale notatie eindeloze niet-periodieke decimale breuken vertegenwoordigen.

Getallen die worden verkregen door de wortel uit natuurlijke getallen te nemen, zijn dus bijvoorbeeld irrationeel en geen kwadraten van natuurlijke getallen. Maar niet alle irrationele getallen worden verkregen door extractie wortels, omdat het getal “pi” dat wordt verkregen door deling ook irrationeel is, en het is onwaarschijnlijk dat je het krijgt als je probeert de vierkantswortel uit een natuurlijk getal te extraheren.

Eigenschappen van irrationele getallen

In tegenstelling tot getallen die als oneindige decimalen worden geschreven, worden alleen irrationele getallen als niet-periodieke oneindige decimalen geschreven.
De som van twee niet-negatieve irrationele getallen kan uiteindelijk een rationeel getal worden.
Irrationele getallen definiëren Dedekind-secties in de reeks rationale getallen, in de lagere klasse die de groot nummer, en in het bovenste is er niet minder.
Elk reëel transcendentaal getal is irrationeel.
Alle irrationele getallen zijn algebraïsch of transcendentaal.
De reeks irrationele getallen op een lijn bevindt zich dicht bij elkaar, en tussen twee willekeurige getallen bevindt zich zeker een irrationeel getal.
De reeks irrationele getallen is oneindig, ontelbaar en behoort tot de 2e categorie.
Wanneer u een rekenkundige bewerking uitvoert op rationale getallen, behalve delen door 0, is het resultaat een rationaal getal.
Wanneer je een rationeel getal optelt bij een irrationaal getal, is het resultaat altijd een irrationeel getal.
Als we irrationele getallen optellen, kunnen we eindigen met een rationaal getal.
De reeks irrationele getallen is niet even.

Cijfers zijn niet irrationeel

Soms is het behoorlijk moeilijk om de vraag te beantwoorden of een getal irrationeel is, vooral in gevallen waarin het getal de vorm heeft van een decimale breuk of in de vorm van een numerieke uitdrukking, wortel of logaritme.

Daarom is het niet overbodig om te weten welke getallen niet irrationeel zijn. Als we de definitie van irrationele getallen volgen, weten we al dat rationale getallen niet irrationeel kunnen zijn.

Irrationele getallen zijn niet:

Ten eerste alle natuurlijke getallen;
Ten tweede gehele getallen;
Ten derde, gewone breuken;
Ten vierde verschillende gemengde cijfers;
Ten vijfde zijn dit oneindige periodieke decimale breuken.

Naast al het bovenstaande kan een irrationeel getal geen enkele combinatie van rationale getallen zijn die wordt uitgevoerd door de tekens van rekenkundige bewerkingen, zoals +, -, , :, aangezien in dit geval het resultaat van twee rationale getallen ook zal zijn een rationeel getal.

Laten we nu eens kijken welke getallen irrationeel zijn:

Kent u het bestaan van een fanclub waar fans van dit mysterieuze wiskundige fenomeen op zoek zijn naar steeds meer informatie over Pi, in een poging het mysterie ervan te ontrafelen? Iedereen die een bepaald aantal Pi-getallen achter de komma uit zijn hoofd kent, kan lid worden van deze club;

Wist je dat er in Duitsland, onder de bescherming van UNESCO, het Castadel Monte-paleis staat, dankzij de verhoudingen waarvan je Pi kunt berekenen. Koning Frederik II wijdde het hele paleis aan dit nummer.

Het blijkt dat ze bij de bouw van de Toren van Babel het getal Pi probeerden te gebruiken. Maar helaas leidde dit tot de ineenstorting van het project, omdat de exacte berekening van de waarde van Pi op dat moment niet voldoende was bestudeerd.

Zangeres Kate Bush nam op haar nieuwe schijf een nummer op genaamd "Pi", waarin honderdvierentwintig nummers van de beroemde nummers staan nummerreeks 3, 141…..

Het materiaal in dit artikel biedt initiële informatie over irrationele nummers. Eerst zullen we de definitie van irrationele getallen geven en deze uitleggen. Hieronder geven we voorbeelden van irrationele getallen. Laten we tot slot eens kijken naar enkele manieren om uit te zoeken of een bepaald getal irrationeel is of niet.

Paginanavigatie.

Definitie en voorbeelden van irrationele getallen

Bij het bestuderen van decimalen hebben we afzonderlijk rekening gehouden met oneindige niet-periodieke decimalen. Dergelijke breuken ontstaan bij het meten van decimale lengtes van segmenten die niet vergelijkbaar zijn met een eenheidssegment. We hebben ook opgemerkt dat oneindige niet-periodieke decimale breuken niet kunnen worden omgezet in gewone breuken (zie gewone breuken omzetten in decimalen en vice versa). Daarom zijn deze getallen geen rationale getallen, maar vertegenwoordigen ze de zogenaamde irrationele getallen.

Dus wij komen definitie van irrationele getallen.

Definitie.

Getallen die oneindige niet-periodieke decimale breuken in decimale notatie vertegenwoordigen, worden genoemd irrationele nummers.

De genoemde definitie stelt ons in staat te geven voorbeelden van irrationele getallen. De oneindige niet-periodieke decimale breuk 4.10110011100011110000... (het aantal enen en nullen neemt elke keer met één toe) is bijvoorbeeld een irrationeel getal. Laten we nog een voorbeeld geven van een irrationeel getal: −22,353335333335... (het aantal drieën dat achten scheidt, neemt elke keer met twee toe).

Opgemerkt moet worden dat irrationele getallen vrij zelden worden aangetroffen in de vorm van eindeloze niet-periodieke decimale breuken. Ze zijn meestal te vinden in de vorm enz., maar ook in de vorm van speciaal ingevoerde letters. De bekendste voorbeelden van irrationele getallen in deze notatie zijn de rekenkundige vierkantswortel van twee, het getal “pi” π=3,141592..., het getal e=2,718281... en gouden nummer.

Irrationele getallen kunnen ook worden gedefinieerd in termen van reële getallen, die rationale en irrationele getallen combineren.

Definitie.

Irrationele nummers zijn reële getallen die geen rationale getallen zijn.

Is dit getal irrationeel?

Wanneer een getal niet als decimale breuk wordt gegeven, maar als een wortel, logaritme, enz., dan is het in veel gevallen behoorlijk moeilijk om de vraag te beantwoorden of het irrationeel is.

Bij het beantwoorden van de gestelde vraag is het ongetwijfeld erg nuttig om te weten welke getallen niet irrationeel zijn. Uit de definitie van irrationele getallen volgt dat irrationele getallen geen rationale getallen zijn. Irrationele getallen zijn dus NIET:

eindige en oneindige periodieke decimale breuken.

Bovendien is elke samenstelling van rationale getallen die verbonden zijn door de tekens van rekenkundige bewerkingen (+, −, ·, :) geen irrationeel getal. Dit komt omdat de som, het verschil, het product en het quotiënt van twee rationale getallen een rationaal getal is. De waarden van uitdrukkingen zijn bijvoorbeeld rationale getallen. Hier merken we op dat als dergelijke uitdrukkingen één enkel irrationeel getal onder de rationale getallen bevatten, de waarde van de gehele uitdrukking een irrationeel getal zal zijn. In de uitdrukking is het getal bijvoorbeeld irrationeel en zijn de overige getallen rationeel, daarom is het een irrationeel getal. Als het een rationeel getal zou zijn, zou de rationaliteit van het getal volgen, maar het is niet rationeel.

Als de uitdrukking die het getal specificeert meerdere irrationele getallen, worteltekens, logaritmen, trigonometrische functies, getallen π, e, etc., dan is het nodig om de irrationaliteit of rationaliteit van een bepaald getal in elk getal te bewijzen. specifiek geval. Er zijn echter al een aantal resultaten behaald die gebruikt kunnen worden. Laten we de belangrijkste opsommen.

Het is bewezen dat een k-de wortel van een geheel getal alleen een rationaal getal is als het getal onder de wortel de k-de macht is van een ander geheel getal; De getallen en zijn bijvoorbeeld irrationeel, aangezien er geen geheel getal is waarvan het kwadraat 7 is, en er geen geheel getal is waarvan het verheffen tot de vijfde macht het getal 15 oplevert. En de cijfers zijn niet irrationeel, aangezien en .

Wat logaritmen betreft, is het soms mogelijk om hun irrationaliteit te bewijzen met behulp van de methode van tegenspraak. Laten we als voorbeeld bewijzen dat log 2 3 een irrationeel getal is.

Laten we aannemen dat log 2 3 een rationeel getal is, en niet een irrationeel getal, dat wil zeggen dat het kan worden weergegeven als een gewone breuk m/n. en stellen ons in staat de volgende keten van gelijkheden te schrijven: De laatste gelijkheid is onmogelijk, omdat deze aan de linkerkant ligt oneven nummer, en aan de rechterkant – zelfs. We kwamen dus tot een tegenstrijdigheid, wat betekent dat onze aanname onjuist bleek te zijn, en dit bewees dat log 2 3 een irrationeel getal is.

Merk op dat lna voor elke positieve en niet-één rationele a een irrationeel getal is. En zijn bijvoorbeeld irrationele getallen.

Het is ook bewezen dat het getal ea voor elk rationaal getal dat niet nul is, irrationeel is, en dat het getal π z voor elk geheel getal z dat niet nul is, irrationeel is. Cijfers zijn bijvoorbeeld irrationeel.

Irrationele getallen zijn ook de trigonometrische functies sin, cos, tg en ctg voor elke rationale en niet-nulwaarde van het argument. sin1 , tan(−4) , cos5,7 zijn bijvoorbeeld irrationele getallen.

Er zijn nog andere bewezen resultaten, maar we zullen ons beperken tot de reeds genoemde. Er moet ook worden gezegd dat bij het bewijzen van de hierboven genoemde resultaten de theorie ermee samenhangt algebraïsche getallen En transcendentale getallen.

Concluderend merken we op dat we geen overhaaste conclusies moeten trekken over de irrationaliteit van de gegeven cijfers. Het lijkt bijvoorbeeld voor de hand te liggen dat een irrationeel getal in zekere zin ook een irrationeel getal is. Dit is echter niet altijd het geval. Om het genoemde feit te bevestigen, presenteren we het diploma. Het is bekend dat - een irrationeel getal is, en het is ook bewezen dat - een irrationeel getal is, maar het is een rationaal getal. Je kunt ook voorbeelden geven van irrationele getallen, waarvan de som, het verschil, het product en het quotiënt rationale getallen zijn. Bovendien is de rationaliteit of irrationaliteit van de getallen π+e, π−e, π·e, π π, π e en vele andere nog niet bewezen.

Bibliografie.

Wiskunde. 6e leerjaar: leerzaam. voor algemeen vormend onderwijs instellingen / [N. Ja. Vilenkin en anderen]. - 22e druk, herz. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
Algebra: leerboek voor groep 8. algemene educatie instellingen / [Ju. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; bewerkt door S. A. Teljakovski. - 16e druk. - M.: Onderwijs, 2008. - 271 p. : ziek. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Wiskunde (een handleiding voor degenen die naar een technische school gaan): Proc. toelage.- M.; Hoger school, 1984.-351 p., ill.