Rasjonalt eller irrasjonelt tall. Irrasjonelle tall: hva er de og hva brukes de til

Hva er irrasjonelle tall? Hvorfor heter de det? Hvor brukes de og hva er de? Få mennesker kan svare på disse spørsmålene uten å tenke seg om. Men faktisk er svarene på dem ganske enkle, selv om ikke alle trenger dem og i svært sjeldne situasjoner

Essens og betegnelse

Irrasjonelle tall representere uendelig ikke-periodisk Behovet for å introdusere dette konseptet skyldes det faktum at for å løse nye nye problemer var de tidligere eksisterende konseptene reelle eller reelle, heltall, naturlige og rasjonelle tall ikke lenger tilstrekkelige. For eksempel, for å beregne hvilken mengde som er kvadratet av 2, må du bruke ikke-periodiske uendelige desimaler. I tillegg har mange enkle ligninger heller ingen løsning uten å introdusere begrepet et irrasjonelt tall.

Dette settet er betegnet som I. Og, som allerede er klart, kan disse verdiene ikke representeres som en enkel brøk, hvis teller vil være et heltall, og nevneren vil være

For første gang, på en eller annen måte, møtte indiske matematikere dette fenomenet på 700-tallet da det ble oppdaget at kvadratrøttene til noen størrelser ikke kan angis eksplisitt. Og det første beviset på eksistensen av slike tall tilskrives Pythagoras Hippasus, som gjorde dette i prosessen med å studere likebente høyre trekant. Noen andre forskere som levde før vår tid ga et seriøst bidrag til studiet av dette settet. Innføringen av begrepet irrasjonelle tall innebar en revisjon av det eksisterende matematiske systemet, og det er derfor de er så viktige.

opprinnelse til navnet

Hvis forhold oversatt fra latin er "brøk", "forhold", så prefikset "ir"
gir dette ordet motsatt betydning. Dermed indikerer navnet på settet med disse tallene at de ikke kan korreleres med et heltall eller brøk og har et eget sted. Dette følger av deres essens.

Plasser i den generelle klassifiseringen

Irrasjonelle tall, sammen med rasjonelle tall, tilhører gruppen av reelle eller reelle tall, som igjen tilhører komplekse tall. Det er ingen undergrupper, men det er algebraiske og transcendentale varianter, som vil bli diskutert nedenfor.

Egenskaper

Siden irrasjonelle tall er en del av settet med reelle tall, gjelder alle egenskapene deres som er studert i aritmetikk (de kalles også grunnleggende algebraiske lover).

a + b = b + a (kommutativitet);

(a + b) + c = a + (b + c) (assosiativitet);

a + (-a) = 0 (eksistensen av det motsatte tallet);

ab = ba (kommutativ lov);

(ab)c = a(bc) (fordelingsevne);

a(b+c) = ab + ac (fordelingslov);

a x 1/a = 1 (eksistensen av et gjensidig tall);

Sammenligningen er også foretatt iht generelle mønstre og prinsipper:

Hvis a > b og b > c, så a > c (transitivitet av relasjonen) og. etc.

Selvfølgelig kan alle irrasjonelle tall konverteres ved hjelp av grunnleggende aritmetikk. Ingen spesielle regler samtidig nei.

I tillegg gjelder Arkimedes-aksiomet for irrasjonelle tall. Den sier at for alle to størrelser a og b er det sant at å ta a som et begrep tilstrekkelig mengde ganger, kan overgås b.

Bruk

Til tross for at du ikke møter dem så ofte i hverdagen, kan irrasjonelle tall ikke telles. Det er et stort antall av dem, men de er nesten usynlige. Irrasjonelle tall er rundt oss. Eksempler som er kjent for alle er tallet pi, lik 3.1415926..., eller e, som i hovedsak er basisen til den naturlige logaritmen, 2.718281828... I algebra, trigonometri og geometri må de brukes konstant. Forresten, kjent betydning"gyldent snitt", det vil si forholdet mellom både den større delen og den mindre delen, og omvendt, også

tilhører dette settet. Den mindre kjente "sølv" også.

På talllinjen er de plassert veldig tett, slik at mellom to størrelser som er klassifisert som rasjonelle, vil det garantert oppstå en irrasjonell.

Det er fortsatt mange uløste problemer knyttet til dette settet. Det er kriterier som mål på irrasjonalitet og normaliteten til et tall. Matematikere fortsetter å studere de mest betydningsfulle eksemplene for å finne ut om de tilhører en eller annen gruppe. For eksempel antas det at e er et normalt tall, det vil si at sannsynligheten for at forskjellige sifre vises i notasjonen er den samme. Når det gjelder pi, pågår det fortsatt forskning angående det. Målet på irrasjonalitet er en verdi som viser hvor godt et gitt tall kan tilnærmes med rasjonelle tall.

Algebraisk og transcendental

Som allerede nevnt er irrasjonelle tall konvensjonelt delt inn i algebraiske og transcendentale. Betinget, siden strengt tatt denne klassifiseringen brukes til å dele settet C.

Denne betegnelsen skjuler komplekse tall, som inkluderer reelle eller reelle tall.

Så algebraisk er en verdi som er roten til et polynom som ikke er identisk lik null. For eksempel, Kvadratrot av 2 vil falle inn i denne kategorien fordi det er en løsning på ligningen x 2 - 2 = 0.

Alle andre reelle tall som ikke tilfredsstiller denne betingelsen kalles transcendentale. Denne varianten inkluderer de mest kjente og allerede nevnte eksemplene - tallet pi og basen til den naturlige logaritmen e.

Interessant nok ble verken det ene eller det andre opprinnelig utviklet av matematikere i denne egenskapen; deres irrasjonalitet og transcendens ble bevist mange år etter oppdagelsen. For pi ble beviset gitt i 1882 og forenklet i 1894, og avsluttet en 2500 år lang debatt om problemet med å kvadrere sirkelen. Det er fortsatt ikke fullt ut studert, så moderne matematikere har noe å jobbe med. Forresten, den første ganske nøyaktige beregningen av denne verdien ble utført av Archimedes. Før ham var alle beregninger for omtrentlige.

For e (Eulers eller Napiers nummer) ble bevis på transcendens funnet i 1873. Det brukes til å løse logaritmiske ligninger.

Andre eksempler inkluderer verdiene av sinus, cosinus og tangens for enhver algebraisk verdi som ikke er null.

Abstraktheten til matematiske begreper utstråler noen ganger så mye løsrivelse at tanken ufrivillig oppstår: "Hvorfor er alt dette til?" Men til tross for førsteinntrykket, alle teoremer, aritmetiske operasjoner, funksjoner osv. – ikke annet enn et ønske om å tilfredsstille grunnleggende behov. Dette kan sees spesielt tydelig i eksemplet med utseendet til forskjellige sett.

Det hele startet med utseendet til naturlige tall. Og selv om det er usannsynlig at noen nå vil kunne svare på nøyaktig hvordan det var, vokser bena til vitenskapens dronning mest sannsynlig fra et sted i hulen. Her, ved å analysere antall skinn, steiner og stammemenn, har en person mange "tall å telle." Og det var nok for ham. Inntil et tidspunkt, selvfølgelig.

Så måtte skinn og steiner deles og tas bort. Slik oppsto behovet for aritmetiske operasjoner, og med dem rasjonelle, som kan defineres som en brøk som m/n, hvor for eksempel m er antall skinn, n er antall medstammemenn.

Det ser ut til at det allerede oppdagede matematiske apparatet er ganske nok til å nyte livet. Men det viste seg snart at det er tilfeller der resultatet ikke bare er et heltall, men ikke engang en brøkdel! Og faktisk, kvadratroten av to kan ikke uttrykkes på noen annen måte ved å bruke en teller og en nevner. Eller, for eksempel, det velkjente tallet Pi, oppdaget av den antikke greske vitenskapsmannen Archimedes, er heller ikke rasjonelt. Og over tid ble slike funn så mange at alle tall som ikke kunne "rasjonaliseres" ble kombinert og kalt irrasjonelle.

Egenskaper

Settene som ble betraktet tidligere tilhører et sett av grunnleggende begreper innen matematikk. Dette betyr at de ikke kan defineres gjennom enklere matematiske objekter. Men dette kan gjøres ved hjelp av kategorier (fra det greske "utsagn") eller postulater. I dette tilfellet var det best å indikere egenskapene til disse settene.

o Irrasjonelle tall definerer Dedekind-kutt i settet av rasjonelle tall som ikke har et største tall i det nedre tallet og ikke har et minste tall i det øvre.

o Hvert transcendentalt tall er irrasjonelt.

o Hvert irrasjonelt tall er enten algebraisk eller transcendentalt.

o Settet med tall er tett overalt på tallinjen: mellom alle er det et irrasjonelt tall.

o Settet er utellelig og er et sett i den andre Baire-kategorien.

o Dette settet er ordnet, det vil si at for hvert to forskjellige rasjonelle tall a og b kan du angi hvilket som er mindre enn det andre.
o Mellom hvert to forskjellige rasjonelle tall er det et annet i det minste en, og derfor et uendelig sett med rasjonelle tall.

o Aritmetiske operasjoner(addisjon, multiplikasjon og divisjon) over to rasjonelle tall er alltid mulig og resulterer i et visst rasjonelt tall. Unntaket er divisjon med null, noe som er umulig.

o Hvert rasjonelt tall kan representeres som desimal(endelig eller uendelig periodisk).

Rasjonalt tall– et tall representert med en vanlig brøk m/n, der telleren m er et heltall, og nevneren n er et naturlig tall. Ethvert rasjonelt tall kan representeres som en periodisk uendelig desimalbrøk. Settet med rasjonelle tall er betegnet med Q.

Hvis et reelt tall ikke er rasjonelt, så er det det irrasjonelt tall. Desimalbrøker som uttrykker irrasjonelle tall er uendelige og ikke-periodiske. Settet med irrasjonelle tall er vanligvis betegnet med stor bokstav I.

Et reelt tall kalles algebraisk, hvis det er roten til et eller annet polynom (ikke-null grad) med rasjonelle koeffisienter. Ethvert ikke-algebraisk tall kalles transcendental.

Noen egenskaper:

Settet med rasjonelle tall er plassert overalt tett på tallaksen: mellom to forskjellige rasjonelle tall er det minst ett rasjonelt tall (og derfor et uendelig sett med rasjonelle tall). Likevel viser det seg at settet med rasjonelle tall Q og settet med naturlige tall N er ekvivalente, det vil si at det kan etableres en-til-en-korrespondanse mellom dem (alle elementer i settet med rasjonelle tall kan omnummereres) .

Settet Q med rasjonelle tall er lukket under addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon, det vil si at summen, differansen, produktet og kvotienten av to rasjonelle tall også er rasjonelle tall.

Alle rasjonelle tall er algebraiske (det motsatte er usant).

Hvert reelt transcendentalt tall er irrasjonelt.

Hvert irrasjonelt tall er enten algebraisk eller transcendentalt.

Settet med irrasjonelle tall er tett overalt på tallinjen: mellom to vilkårlige tall er det et irrasjonelt tall (og derfor et uendelig sett med irrasjonelle tall).

Settet med irrasjonelle tall er utellelig.

Når du løser problemer, er det praktisk, sammen med det irrasjonelle tallet a + b√ c (der a, b er rasjonelle tall, c er et heltall som ikke er kvadratet av et naturlig tall), å vurdere det "konjugerte" tallet a – b√ c: summen og produktet med de opprinnelige – rasjonelle tallene. Så a + b√ c og a – b√ c er røtter kvadratisk ligning med heltallskoeffisienter.

Problemer med løsninger

1. Bevis det

a) nummer √ 7;

b) logg nummer 80;

c) tall √ 2 + 3 √ 3;

er irrasjonell.

a) La oss anta at tallet √ 7 er rasjonelt. Så er det coprime p og q slik at √ 7 = p/q, hvorfra vi får p 2 = 7q 2. Siden p og q er relativt primtall, så er p 2, og derfor p delelig med 7. Da er p = 7k, hvor k er et naturlig tall. Derav q 2 = 7k 2 = pk, noe som motsier det faktum at p og q er coprime.

Så antagelsen er falsk, noe som betyr at tallet √ 7 er irrasjonelt.

b) La oss anta at tallet log 80 er rasjonelt. Så er det naturlige p og q slik at log 80 = p/q, eller 10 p = 80 q, hvorfra vi får 2 p–4q = 5 q–p. Tatt i betraktning at tallene 2 og 5 er relativt prime, finner vi at den siste likheten bare er mulig for p–4q = 0 og q–p = 0. Derfra p = q = 0, noe som er umulig, siden p og q er valgt å være naturlig.

Så antagelsen er falsk, noe som betyr at tallet lg 80 er irrasjonelt.

c) La oss betegne dette tallet med x.

Deretter (x – √ 2) 3 = 3, eller x 3 + 6x – 3 = √ 2 (3x 2 + 2). Etter å ha kvadreert denne ligningen finner vi at x må tilfredsstille ligningen

x 6 – 6x 4 – 6x 3 + 12x 2 – 36x + 1 = 0.

Dens rasjonelle røtter kan bare være tallene 1 og –1. Kontroll viser at 1 og –1 ikke er røtter.

Så det gitte tallet √ 2 + 3 √ 3 er irrasjonelt.

2. Det er kjent at tallene a, b, √a –√b,– rasjonell. Bevis det √a og √b er også rasjonelle tall.

La oss se på arbeidet

(√ a – √ b)·(√ a + √ b) = a – b.

Antall √a +√b, som er lik forholdet mellom tallene a – b og √a –√b, er rasjonell, siden kvotienten av to rasjonelle tall er et rasjonelt tall. Summen av to rasjonelle tall

½ (√ a + √ b) + ½ (√ a – √ b) = √ a

– et rasjonelt tall, deres forskjell,

½ (√ a + √ b) – ½ (√ a – √ b) = √ b,

er også et rasjonelt tall, som er det som måtte bevises.

3. Bevis at det finnes positive irrasjonelle tall a og b hvor tallet a b er et naturlig tall.

4. Er det rasjonelle tall a, b, c, d som tilfredsstiller likheten

(a + b √ 2 ) 2n + (c + d√ 2 ) 2n = 5 + 4√ 2 ,

hvor n er et naturlig tall?

Hvis likheten gitt i betingelsen er oppfylt, og tallene a, b, c, d er rasjonelle, så er likheten også oppfylt:

(a–b √ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n = 5 – 4√ 2.

Men 5 – 4√ 2 (a – b√ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n > 0. Den resulterende motsigelsen beviser at den opprinnelige likheten er umulig.

Svar: de eksisterer ikke.

5. Hvis segmenter med lengdene a, b, c danner en trekant, så for alle n = 2, 3, 4, . . . segmenter med lengdene n √ a, n √ b, n √ c danner også en trekant. Bevis det.

Hvis segmenter med lengdene a, b, c danner en trekant, gir trekantulikheten

Derfor har vi

(n √ a + n √ b) n > a + b > c = (n √ c) n,

N √ a + n √ b > n √ c.

De resterende tilfellene med å kontrollere trekantens ulikhet vurderes på samme måte, hvorfra konklusjonen følger.

6. Bevis at den uendelige desimalbrøken er 0,1234567891011121314... (etter desimaltegn, alle heltall i rekkefølge) er et irrasjonelt tall.

Som du vet, uttrykkes rasjonelle tall som desimalbrøker, som har en periode som starter fra et visst fortegn. Derfor er det nok å bevise at denne brøken ikke er periodisk i noe tegn. Anta at dette ikke er tilfellet, og en sekvens T med n sifre er perioden for brøken, som starter med mnd desimal. Det er tydelig at blant sifrene etter det m-te tegnet er det ikke-null enere, derfor er det et ikke-null-siffer i sekvensen av sifrene T. Dette betyr at fra det mnde sifferet etter desimaltegnet, blant alle n sifre på rad, er det et ikke-null siffer. Imidlertid må desimalnotasjonen til denne brøken inneholde desimalnotasjonen for tallet 100...0 = 10 k, hvor k > m og k > n. Det er tydelig at denne oppføringen forekommer til høyre for det m-te sifferet og inneholder mer enn n nuller på rad. Dermed får vi en selvmotsigelse som fullfører beviset.

7. Gitt en uendelig desimalbrøk 0,a 1 a 2 ... . Bevis at sifrene i desimalnotasjonen kan omorganiseres slik at den resulterende brøken uttrykker et rasjonelt tall.

Husk at en brøk uttrykker et rasjonelt tall hvis og bare hvis det er periodisk, med utgangspunkt i et bestemt tegn. Vi deler tallene fra 0 til 9 i to klasser: i den første klassen inkluderer vi tallene som vises i den opprinnelige brøken et endelig antall ganger, i den andre klassen inkluderer vi de som vises i den opprinnelige brøken et uendelig antall av ganger. La oss begynne å skrive ut en periodisk brøk som kan hentes fra originalen ved å omorganisere tallene. Først, etter null og komma, skriver vi i tilfeldig rekkefølge alle tallene fra den første klassen - hver så mange ganger som den vises i notasjonen til den opprinnelige brøken. De første klassesifrene som er registrert vil komme foran punktum i brøkdelen av desimalen. La oss deretter skrive ned tallene fra den andre klassen ett om gangen i en eller annen rekkefølge. Vi vil erklære denne kombinasjonen som en periode og gjenta den et uendelig antall ganger. Dermed har vi skrevet ut den nødvendige periodiske brøken som uttrykker et visst rasjonelt tall.

8. Bevis at i hver uendelig desimalbrøk er det en sekvens av desimalplasser av vilkårlig lengde, som forekommer uendelig mange ganger i dekomponeringen av brøken.

La m være et vilkårlig gitt naturlig tall. La oss dele denne uendelige desimalbrøken i segmenter med m sifre i hver. Det vil være et uendelig antall slike segmenter. På den andre siden, ulike systemer som består av m sifre, er det bare 10 m, dvs. et endelig tall. Følgelig må minst ett av disse systemene gjentas her uendelig mange ganger.

Kommentar. For irrasjonelle tall √ 2, π eller e vi vet ikke engang hvilket siffer som gjentas uendelig mange ganger i de uendelige desimalbrøkene som representerer dem, selv om hvert av disse tallene lett kan bevises å inneholde minst to forskjellige slike sifre.

9. Bevis på en elementær måte at den positive roten til ligningen

er irrasjonell.

For x > 0 venstre side ligningen øker med x, og det er lett å se at ved x = 1,5 er det mindre enn 10, og ved x = 1,6 er det mer enn 10. Derfor ligger den eneste positive roten av ligningen innenfor intervallet (1,5; 1,6 ).

La oss skrive roten som en irreduserbar brøk p/q, der p og q er noen relativt prime naturlige tall. Så ved x = p/q vil ligningen ha følgende form:

p 5 + pq 4 = 10q 5,

hvorfra det følger at p er en divisor av 10, derfor er p lik ett av tallene 1, 2, 5, 10. Men når vi skriver ut brøker med tellerne 1, 2, 5, 10, legger vi umiddelbart merke til at ingen av dem faller innenfor intervallet (1,5; 1,6).

Så den positive roten til den opprinnelige ligningen kan ikke representeres som vanlig brøk, som betyr at det er et irrasjonelt tall.

10. a) Er det tre punkter A, B og C på planet slik at lengden på minst ett av segmentene XA, XB og XC for ethvert punkt X er irrasjonell?

b) Koordinatene til toppunktene i trekanten er rasjonelle. Bevis at koordinatene til midten av dens omkretsirkel også er rasjonelle.

c) Er det en slik sfære som det er nøyaktig ett rasjonelt poeng på? (Et rasjonelt punkt er et punkt der alle de tre kartesiske koordinatene er rasjonelle tall.)

a) Ja, de finnes. La C være midtpunktet av segment AB. Da er XC 2 = (2XA 2 + 2XB 2 – AB 2)/2. Hvis tallet AB 2 er irrasjonelt, kan ikke tallene XA, XB og XC være rasjonelle samtidig.

b) La (a 1 ; b 1), (a 2 ; b 2) og (a 3 ; b 3) være koordinatene til trekantens toppunkter. Koordinatene til sentrum av dens omskrevne sirkel er gitt av et ligningssystem:

(x – a 1) 2 + (y – b 1) 2 = (x – a 2) 2 + (y – b 2) 2,

(x – a 1) 2 + (y – b 1) 2 = (x – a 3) 2 + (y – b 3) 2.

Det er lett å kontrollere at disse ligningene er lineære, noe som betyr at løsningen på ligningssystemet som vurderes er rasjonell.

c) En slik sfære eksisterer. For eksempel en kule med ligningen

(x – √ 2 ) 2 + y 2 + z 2 = 2.

Punkt O med koordinater (0; 0; 0) er et rasjonelt punkt som ligger på denne sfæren. De resterende punktene i sfæren er irrasjonelle. La oss bevise det.

La oss anta det motsatte: la (x; y; z) være et rasjonelt punkt i sfæren, forskjellig fra punktet O. Det er klart at x er forskjellig fra 0, siden for x = 0 er det eneste avgjørelse(0; 0; 0), som ikke er av interesse for oss nå. La oss åpne parentesene og uttrykke √ 2:

x 2 – 2√ 2 x + 2 + y 2 + z 2 = 2

√ 2 = (x 2 + y 2 + z 2)/(2x),

som ikke kan skje med rasjonell x, y, z og irrasjonell √ 2. Så O(0; 0; 0) er det eneste rasjonelle punktet på sfæren som vurderes.

Problemer uten løsninger

1. Bevis at tallet

\[ \sqrt(10+\sqrt(24)+\sqrt(40)+\sqrt(60)) \]

er irrasjonell.

2. For hvilke heltall m og n holder likheten (5 + 3√ 2 ) m = (3 + 5√ 2 ) n?

3. Er det et tall a slik at tallene a – √ 3 og 1/a + √ 3 er heltall?

4. Kan tallene 1, √ 2, 4 være medlemmer (ikke nødvendigvis ved siden av) av en aritmetisk progresjon?

5. Bevis at for et hvilket som helst naturlig tall n har ligningen (x + y√ 3) 2n = 1 + √ 3 ingen løsninger i rasjonelle tall (x; y).

Definisjon av et irrasjonelt tall

Irrasjonelle tall er de tallene som i desimalnotasjon representerer endeløse ikke-periodiske desimalbrøker.

Så, for eksempel, tall oppnådd ved å ta kvadratroten av naturlige tall er irrasjonelle og er ikke kvadrater av naturlige tall. Men ikke alle irrasjonelle tall oppnås ved ekstraksjon kvadratrøtter, fordi tallet "pi" oppnådd ved divisjon også er irrasjonelt, og det er usannsynlig at du får det når du prøver å trekke ut kvadratroten av et naturlig tall.

Egenskaper til irrasjonelle tall

I motsetning til tall skrevet som uendelige desimaler, skrives bare irrasjonelle tall som ikke-periodiske uendelige desimaler.
Summen av to ikke-negative irrasjonelle tall kan ende opp som et rasjonelt tall.
Irrasjonelle tall definerer Dedekind-seksjoner i settet med rasjonelle tall, i den lavere klassen som ikke har stort nummer, og i den øvre er det ikke mindre.
Ethvert reelt transcendentalt tall er irrasjonelt.
Alle irrasjonelle tall er enten algebraiske eller transcendentale.
Settet med irrasjonelle tall på en linje er tett plassert, og mellom to av tallene er det garantert et irrasjonelt tall.
Settet med irrasjonelle tall er uendelig, utellelig og er et sett av den andre kategorien.
Når du utfører en hvilken som helst aritmetisk operasjon på rasjonelle tall, bortsett fra divisjon med 0, vil resultatet være et rasjonelt tall.
Når du legger et rasjonelt tall til et irrasjonelt tall, er resultatet alltid et irrasjonelt tall.
Når vi legger til irrasjonelle tall, kan vi ende opp med et rasjonelt tall.
Settet med irrasjonelle tall er ikke partall.

Tall er ikke irrasjonelle

Noen ganger er det ganske vanskelig å svare på spørsmålet om et tall er irrasjonelt, spesielt i tilfeller der tallet er i form av en desimalbrøk eller i form av et numerisk uttrykk, rot eller logaritme.

Derfor vil det ikke være overflødig å vite hvilke tall som ikke er irrasjonelle. Hvis vi følger definisjonen av irrasjonelle tall, så vet vi allerede at rasjonelle tall ikke kan være irrasjonelle.

Irrasjonelle tall er ikke:

Først alle naturlige tall;
For det andre, heltall;
For det tredje, vanlige brøker;
For det fjerde ulike blandede tall;
For det femte er dette uendelige periodiske desimalbrøker.

I tillegg til alt det ovennevnte kan ikke et irrasjonelt tall være en hvilken som helst kombinasjon av rasjonelle tall som utføres av fortegnene til aritmetiske operasjoner, slik som +, -, , :, siden resultatet av to rasjonelle tall i dette tilfellet også vil være et rasjonelt tall.

La oss nå se hvilke tall som er irrasjonelle:

Vet du om eksistensen av en fanklubb der fans av dette mystiske matematiske fenomenet leter etter mer og mer informasjon om Pi, og prøver å avdekke mysteriet? Enhver person som kan et visst antall Pi-tall utenat etter desimaltegn kan bli medlem av denne klubben;

Visste du at i Tyskland, under beskyttelse av UNESCO, er det Castadel Monte-palasset, takket være proporsjonene som du kan beregne Pi. Kong Frederick II dedikerte hele palasset til dette nummeret.

Det viser seg at de prøvde å bruke tallet Pi i konstruksjonen av Babelstårnet. Men dessverre førte dette til kollapsen av prosjektet, siden den nøyaktige beregningen av verdien av Pi på det tidspunktet ikke ble tilstrekkelig studert.

Sangerinnen Kate Bush spilte på sin nye plate inn en sang kalt "Pi", der hundre og tjuefire numre fra den berømte nummerserie 3, 141…..

Materialet i denne artikkelen gir innledende informasjon om irrasjonelle tall. Først vil vi gi definisjonen av irrasjonelle tall og forklare det. Nedenfor gir vi eksempler på irrasjonelle tall. Til slutt, la oss se på noen tilnærminger for å finne ut om et gitt tall er irrasjonelt eller ikke.

Sidenavigering.

Definisjon og eksempler på irrasjonelle tall

Når vi studerte desimaler, vurderte vi separat uendelige ikke-periodiske desimaler. Slike brøker oppstår ved måling av desimallengder av segmenter som er uforenlige med et enhetssegment. Vi la også merke til at uendelige ikke-periodiske desimalbrøker ikke kan konverteres til vanlige brøker (se konvertere vanlige brøker til desimaler og omvendt), derfor er disse tallene ikke rasjonelle tall, de representerer de såkalte irrasjonelle tallene.

Så vi kommer til definisjon av irrasjonelle tall.

Definisjon.

Tall som representerer uendelige ikke-periodiske desimalbrøker i desimalnotasjon kalles irrasjonelle tall.

Den uttrykte definisjonen lar oss gi eksempler på irrasjonelle tall. For eksempel er den uendelige ikke-periodiske desimalbrøken 4.10110011100011110000... (antall enere og nuller øker med én hver gang) et irrasjonelt tall. La oss gi et annet eksempel på et irrasjonelt tall: −22.353335333335... (antallet treere som skiller åttere øker med to hver gang).

Det skal bemerkes at irrasjonelle tall ganske sjelden finnes i form av endeløse ikke-periodiske desimalbrøker. De finnes vanligvis i formen , etc., samt i form av spesielt inntastede bokstaver. De mest kjente eksemplene på irrasjonelle tall i denne notasjonen er den aritmetiske kvadratroten av to, tallet "pi" π=3,141592..., tallet e=2,718281... og gyldne tall.

Irrasjonelle tall kan også defineres i form av reelle tall, som kombinerer rasjonelle og irrasjonelle tall.

Definisjon.

Irrasjonelle tall er reelle tall som ikke er rasjonelle tall.

Er dette tallet irrasjonelt?

Når et tall ikke er gitt som en desimalbrøk, men som en rot, logaritme osv., er det i mange tilfeller ganske vanskelig å svare på spørsmålet om det er irrasjonelt.

Når du svarer på spørsmålet som stilles, er det utvilsomt veldig nyttig å vite hvilke tall som ikke er irrasjonelle. Fra definisjonen av irrasjonelle tall følger det at irrasjonelle tall ikke er rasjonelle tall. Derfor er irrasjonelle tall IKKE:

endelige og uendelige periodiske desimalbrøker.

Enhver sammensetning av rasjonelle tall forbundet med tegnene til aritmetiske operasjoner (+, −, ·, :) er heller ikke et irrasjonelt tall. Dette er fordi summen, differansen, produktet og kvotienten av to rasjonelle tall er et rasjonelt tall. For eksempel er verdiene til uttrykk og rasjonelle tall. Her legger vi merke til at hvis slike uttrykk inneholder ett enkelt irrasjonelt tall blant de rasjonelle tallene, vil verdien av hele uttrykket være et irrasjonelt tall. For eksempel, i uttrykket er tallet irrasjonelt, og de resterende tallene er rasjonelle, derfor er det et irrasjonelt tall. Hvis det var et rasjonelt tall, ville rasjonaliteten til tallet fulgt, men det er ikke rasjonelt.

Hvis uttrykket som spesifiserer tallet inneholder flere irrasjonelle tall, rottegn, logaritmer, trigonometriske funksjoner, tall π, e, etc., så er det nødvendig å bevise irrasjonaliteten eller rasjonaliteten til et gitt tall i hver konkret tilfelle. Det er imidlertid en rekke resultater som allerede er oppnådd som kan brukes. La oss liste opp de viktigste.

Det er bevist at en kth rot av et heltall er et rasjonelt tall bare hvis tallet under roten er den kth potensen til et annet heltall; i andre tilfeller spesifiserer en slik rot et irrasjonelt tall. For eksempel er tallene og irrasjonelle, siden det ikke er noe heltall hvis kvadrat er 7, og det er ikke noe heltall hvis heving til femte potens gir tallet 15. Og tallene er ikke irrasjonelle, siden og .

Når det gjelder logaritmer, er det noen ganger mulig å bevise deres irrasjonalitet ved å bruke metoden for selvmotsigelse. Som et eksempel, la oss bevise at log 2 3 er et irrasjonelt tall.

La oss anta at log 2 3 er et rasjonelt tall, ikke et irrasjonelt, det vil si at det kan representeres som en vanlig brøk m/n. og la oss skrive følgende kjede av likheter: . Den siste likheten er umulig, siden på sin venstre side oddetall, og på høyre side – til og med. Så vi kom til en selvmotsigelse, som betyr at vår antagelse viste seg å være feil, og dette beviste at log 2 3 er et irrasjonelt tall.

Merk at lna for alle positive og ikke-en rasjonelle a er et irrasjonelt tall. For eksempel og er irrasjonelle tall.

Det er også bevist at tallet e a for enhver ikke-null rasjonal a er irrasjonell, og at tallet π z for ethvert ikke-null heltall z er irrasjonal. For eksempel er tall irrasjonelle.

Irrasjonelle tall er også de trigonometriske funksjonene sin, cos, tg og ctg for enhver rasjonell og ikke-null verdi av argumentet. For eksempel er sin1 , tan(−4) , cos5,7 irrasjonelle tall.

Det er andre dokumenterte resultater, men vi vil begrense oss til de som allerede er oppført. Det skal også sies at når man beviser resultatene ovenfor, er teorien knyttet til algebraiske tall Og transcendentale tall.

Avslutningsvis merker vi at vi ikke bør gjøre forhastede konklusjoner angående irrasjonaliteten til de gitte tallene. For eksempel virker det åpenbart at et irrasjonelt tall i irrasjonell grad er et irrasjonelt tall. Dette er imidlertid ikke alltid tilfelle. For å bekrefte det oppgitte faktum presenterer vi graden. Det er kjent at - er et irrasjonelt tall, og det er også bevist at - er et irrasjonelt tall, men er et rasjonelt tall. Du kan også gi eksempler på irrasjonelle tall, hvor sum, differanse, produkt og kvotient er rasjonelle tall. Dessuten er rasjonaliteten eller irrasjonaliteten til tallene π+e, π−e, π·e, π π, π e og mange andre ennå ikke bevist.

Bibliografi.

Matematikk. 6. klasse: lærerikt. for allmennutdanning institusjoner / [N. Ya. Vilenkin og andre]. - 22. utgave, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
Algebra: lærebok for 8. klasse. allmennutdanning institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigert av S. A. Telyakovsky. - 16. utg. - M.: Utdanning, 2008. - 271 s. : jeg vil. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematikk (en manual for de som går inn på tekniske skoler): Proc. godtgjørelse.- M.; Høyere skole, 1984.-351 s., ill.