Trigonometriske funksjoner hvordan løse eksempler. Grunnleggende formler for trigonometri

Konsept for å løse trigonometriske ligninger.

• For å løse en trigonometrisk ligning, konverter den til en eller flere grunnleggende trigonometriske ligninger. Å løse en trigonometrisk ligning kommer til slutt ned til å løse de fire grunnleggende trigonometriske ligningene.

Når man løser mange matematiske problemer , spesielt de som inntreffer før karakter 10, er rekkefølgen på utførte handlinger som vil føre til målet klart definert. Slike problemer inkluderer for eksempel lineære og andregradsligninger, lineære og kvadratiske ulikheter, brøklikninger og ligninger som reduserer til kvadratiske. Prinsippet for å lykkes med å løse hvert av de nevnte problemene er som følger: det er nødvendig å fastslå hvilken type problem som løses, husk den nødvendige sekvensen av handlinger som vil føre til ønsket resultat, dvs. svar og følg disse trinnene.

Det er åpenbart at suksess eller fiasko i å løse et bestemt problem hovedsakelig avhenger av hvor riktig type ligning som blir løst er bestemt, hvor riktig sekvensen av alle stadier av løsningen er gjengitt. Det er selvfølgelig nødvendig å ha kompetansen for å prestere identitetstransformasjoner og databehandling.

Situasjonen er annerledes med trigonometriske ligninger. Det er slett ikke vanskelig å fastslå at ligningen er trigonometrisk. Det oppstår vanskeligheter når man skal bestemme rekkefølgen av handlinger som vil føre til riktig svar.

Av utseende ligning, er det noen ganger vanskelig å bestemme typen. Og uten å vite hvilken type ligning, er det nesten umulig å velge den rette fra flere dusin trigonometriske formler.

For å løse en trigonometrisk ligning, må du prøve:

1. bringe alle funksjoner inkludert i ligningen til "samme vinkler";
2. bringe ligningen til "identiske funksjoner";
3. utfolde seg venstre side factoring-ligninger osv.

La oss vurdere grunnleggende metoder for å løse trigonometriske ligninger.

I. Reduksjon til de enkleste trigonometriske ligningene

Løsningsdiagram

Trinn 1. Uttrykk en trigonometrisk funksjon i form av kjente komponenter.

Steg 2. Finn funksjonsargumentet ved å bruke formlene:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Trinn 3. Finn den ukjente variabelen.

Eksempel.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Løsning.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Svar: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Variabel utskifting

Løsningsdiagram

Trinn 1. Reduser ligningen til algebraisk form med hensyn til en av de trigonometriske funksjonene.

Steg 2. Angi den resulterende funksjonen med variabelen t (om nødvendig, innfør begrensninger på t).

Trinn 3. Skriv ned og løs den resulterende algebraiske ligningen.

Trinn 4. Gjør en omvendt erstatning.

Trinn 5. Løs den enkleste trigonometriske ligningen.

Eksempel.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Løsning.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) La sin (x/2) = t, hvor |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 eller e = -3/2, tilfredsstiller ikke betingelsen |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Svar: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Reduksjonsmetode for ligningsorden

Løsningsdiagram

Trinn 1. Erstatt denne ligningen med en lineær, ved å bruke formelen for å redusere graden:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Steg 2. Løs den resulterende ligningen ved å bruke metode I og II.

Eksempel.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Løsning.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Svar: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogene ligninger

Løsningsdiagram

Trinn 1. Reduser denne ligningen til formen

a) a sin x + b cos x = 0 ( homogen ligning første grad)

eller til utsikten

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (homogen ligning av andre grad).

Steg 2. Del begge sider av ligningen med

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

og få ligningen for tan x:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Trinn 3. Løs ligningen ved å bruke kjente metoder.

Eksempel.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Løsning.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) La da tg x = t

t2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 eller t = -4, som betyr

tg x = 1 eller tg x = -4.

Fra den første ligningen x = π/4 + πn, n Є Z; fra den andre ligningen x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Svar: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metode for å transformere en ligning ved bruk av trigonometriske formler

Løsningsdiagram

Trinn 1. Bruk alle mulige trigonometriske formler, reduser denne ligningen til en ligning løst med metodene I, II, III, IV.

Steg 2. Løs den resulterende ligningen ved å bruke kjente metoder.

Eksempel.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Løsning.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 eller 2cos x + 1 = 0;

Fra den første ligningen 2x = π/2 + πn, n Є Z; fra den andre ligningen cos x = -1/2.

Vi har x = π/4 + πn/2, n Є Z; fra den andre ligningen x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Som et resultat, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Svar: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Evnen og ferdigheten til å løse trigonometriske ligninger er svært viktig, deres utvikling krever betydelig innsats, både fra elevens og lærerens side.

Mange problemer med stereometri, fysikk osv. er assosiert med løsning av trigonometriske ligninger.Prosessen med å løse slike problemer legemliggjør mange av kunnskapen og ferdighetene som tilegnes ved å studere elementene i trigonometri.

Trigonometriske ligninger tar viktig sted i ferd med å undervise i matematikk og personlighetsutvikling generelt.

Har du fortsatt spørsmål? Vet du ikke hvordan du løser trigonometriske ligninger?
For å få hjelp fra en veileder -.
Den første leksjonen er gratis!

blog.site, når du kopierer materiale helt eller delvis, kreves en lenke til originalkilden.

Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

• Når du sender inn en forespørsel på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, adresse E-post etc.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

• Personopplysningene vi samler inn gjør at vi kan kontakte deg og informere deg om unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
• Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner.
• Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
• Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Utlevering av informasjon til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

• Om nødvendig, i samsvar med loven, rettslig prosedyre, V prøve, og/eller basert på offentlige forespørsler eller forespørsler fra offentlige etater på den russiske føderasjonens territorium - oppgi din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige viktige formål.
• I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Respekter ditt privatliv på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.

Krever kunnskap om trigonometriens grunnleggende formler - summen av kvadratene av sinus og cosinus, uttrykket for tangent gjennom sinus og cosinus, og andre. For de som har glemt dem eller ikke kjenner dem, anbefaler vi å lese artikkelen "".
Så vi kjenner de grunnleggende trigonometriske formlene, det er på tide å bruke dem i praksis. Løse trigonometriske ligninger på riktig tilnærming- ganske spennende aktivitet, som for eksempel å løse en Rubiks kube.

Basert på selve navnet er det klart at en trigonometrisk likning er en likning der det ukjente står under tegnet til den trigonometriske funksjonen.
Det finnes såkalte enkleste trigonometriske ligninger. Slik ser de ut: sinx = a, cos x = a, tan x = a. La oss vurdere hvordan løse slike trigonometriske ligninger, for klarhet vil vi bruke den allerede kjente trigonometriske sirkelen.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

barneseng x = a

Enhver trigonometrisk likning løses i to trinn: vi reduserer likningen til den enkleste formen og løser den deretter som en enkel trigonometrisk likning.
Det er 7 hovedmetoder for å løse trigonometriske ligninger.

1. Variabel substitusjon og substitusjonsmetode

Løs ligningen 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Ved å bruke reduksjonsformlene får vi:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Erstatt cos(x + /6) med y for å forenkle og få den vanlige andregradsligningen:

2y 2 – 3y + 1 + 0

Røttene er y 1 = 1, y 2 = 1/2

La oss nå gå i omvendt rekkefølge

Vi erstatter de funnet verdiene av y og får to svaralternativer:

2. Løse trigonometriske ligninger gjennom faktorisering

Hvordan løser man ligningen sin x + cos x = 1?

La oss flytte alt til venstre slik at 0 forblir til høyre:

sin x + cos x – 1 = 0

La oss bruke identitetene diskutert ovenfor for å forenkle ligningen:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

La oss faktorisere:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Vi får to ligninger

3. Reduksjon til en homogen ligning

En ligning er homogen med hensyn til sinus og cosinus hvis alle leddene er i forhold til sinus og cosinus med samme potens i samme vinkel. For å løse en homogen ligning, fortsett som følger:

a) overføre alle dens medlemmer til venstre side;

b) ta ut alt felles faktorer utover parentes;

c) sette likhetstegn mellom alle faktorer og parenteser til 0;

d) en homogen ligning av lavere grad oppnås i parentes, som igjen er delt inn i en sinus eller cosinus av en høyere grad;

e) løs den resulterende ligningen for tg.

Løs ligningen 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

La oss bruke formelen sin 2 x + cos 2 x = 1 og bli kvitt de to åpne til høyre:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Del på cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Erstatt tan x med y og få en andregradsligning:

y 2 + 4y +3 = 0, hvis røtter er y 1 =1, y 2 = 3

Herfra finner vi to løsninger på den opprinnelige ligningen:

x 2 = arktan 3 + k

4. Løse ligninger gjennom overgangen til en halv vinkel

Løs ligningen 3sin x – 5cos x = 7

La oss gå videre til x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

La oss flytte alt til venstre:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Del på cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Innføring av hjelpevinkel

For vurdering, la oss ta en ligning av formen: a sin x + b cos x = c,

hvor a, b, c er noen vilkårlige koeffisienter, og x er en ukjent.

La oss dele begge sider av ligningen med:



Nå har koeffisientene til ligningen, i henhold til trigonometriske formler, egenskapene sin og cos, nemlig: deres modul er ikke mer enn 1 og summen av kvadrater = 1. La oss betegne dem som henholdsvis cos og sin, hvor - dette er den såkalte hjelpevinkelen. Deretter vil ligningen ha formen:

cos * sin x + sin * cos x = C

eller sin(x + ) = C

Løsningen på denne enkleste trigonometriske ligningen er

x = (-1) k * arcsin C - + k, hvor



Det skal bemerkes at notasjonene cos og sin er utskiftbare.

Løs ligningen sin 3x – cos 3x = 1

Koeffisientene i denne ligningen er:

a = , b = -1, så del begge sider med = 2

Lekse kompleks applikasjon kunnskap.

Leksjonens mål.

1. Ta i betraktning ulike metoder løse trigonometriske ligninger.
2. Utvikling kreativitet elever ved å løse likninger.
3. Oppmuntre elever til selvkontroll, gjensidig kontroll og selvanalyse av deres pedagogiske aktiviteter.

Utstyr: lerret, projektor, referansemateriale.

I løpet av timene

Innledende samtale.

Hovedmetoden for å løse trigonometriske ligninger er å redusere dem til deres enkleste form. I dette tilfellet brukes de vanlige metodene, for eksempel faktorisering, samt teknikker som bare brukes for å løse trigonometriske ligninger. Det er ganske mange av disse teknikkene, for eksempel forskjellige trigonometriske substitusjoner, vinkeltransformasjoner, transformasjoner av trigonometriske funksjoner. Den vilkårlige anvendelsen av trigonometriske transformasjoner forenkler vanligvis ikke ligningen, men kompliserer den katastrofalt. Å trene i generell disposisjon plan for å løse ligningen, skisser en måte å redusere ligningen til den enkleste, du må først analysere vinklene - argumentene til de trigonometriske funksjonene som er inkludert i ligningen.

I dag skal vi snakke om metoder for å løse trigonometriske ligninger. Den riktig valgte metoden kan ofte forenkle løsningen betydelig, så alle metodene vi har studert bør alltid huskes for å løse trigonometriske ligninger med den mest hensiktsmessige metoden.

II. (Ved hjelp av en projektor gjentar vi metodene for å løse ligninger.)

1. Metode for å redusere en trigonometrisk ligning til en algebraisk.

Det er nødvendig å uttrykke alle trigonometriske funksjoner gjennom en, med samme argument. Dette kan gjøres ved å bruke den grunnleggende trigonometriske identiteten og dens konsekvenser. Vi får en ligning med én trigonometrisk funksjon. Tar vi det som en ny ukjent, får vi en algebraisk ligning. Vi finner røttene og går tilbake til det gamle ukjente, og løser de enkleste trigonometriske ligningene.

2. Faktoriseringsmetode.

For å endre vinkler er ofte formler for reduksjon, sum og forskjell av argumenter nyttige, samt formler for å konvertere summen (forskjellen) av trigonometriske funksjoner til et produkt og omvendt.

sin x + sin 3x = sin 2x + sin4x

3. Metode for å introdusere en ekstra vinkel.

4. Metode for bruk av universell substitusjon.

Ligninger av formen F(sinx, cosx, tanx) = 0 reduseres til algebraisk ved bruk av en universell trigonometrisk substitusjon

Uttrykker sinus, cosinus og tangens i form av tangens halv vinkel. Denne teknikken kan føre til ligningen høy orden. Løsningen som er vanskelig.