Fibonacci firkanter. Struktur av den gylne ortogonale firkant og spiral

Teksten til verket er lagt ut uten bilder og formler.
Full versjon arbeid er tilgjengelig i fanen "Arbeidsfiler" i PDF-format

DET HØYESTE HENSIKTET MED MATEMATIKK ER Å FINNE DEN SKJULTE ORDEN I KAOSET SOM OMGÅR OSS.

Viner N.

En person streber etter kunnskap hele livet, prøver å studere verden rundt seg. Og i observasjonsprosessen dukker det opp spørsmål som krever svar. Svarene er funnet, men nye spørsmål dukker opp. I arkeologiske funn, i spor etter sivilisasjon, fjernt fra hverandre i tid og rom, finnes ett og samme element – ​​et mønster i form av en spiral. Noen anser det som et symbol på solen og forbinder det med den legendariske Atlantis, men dens sanne betydning er ukjent. Hva har formene til en galakse og en atmosfærisk syklon, arrangementet av blader på en stilk og arrangementet av frø i en solsikke til felles? Disse mønstrene kommer ned til den såkalte "gyldne" spiralen, den fantastiske Fibonacci-sekvensen oppdaget av den store italienske matematikeren på 1200-tallet.

Historien om Fibonacci-tall

For første gang hørte jeg om hva Fibonacci-tall er fra en matematikklærer. Men dessuten visste jeg ikke hvordan sekvensen til disse tallene kom sammen. Det er dette denne sekvensen faktisk er kjent for, hvordan den påvirker en person, vil jeg fortelle deg. Lite er kjent om Leonardo Fibonacci. Ikke engang eksakt dato hans fødsel. Det er kjent at han ble født i 1170 i en handelsfamilie i byen Pisa i Italia. Fibonaccis far besøkte ofte Algerie handelsforhold, og Leonardo studerte matematikk der med arabiske lærere. Deretter skrev han flere matematiske verk, hvorav den mest kjente er "Book of Abacus", som inneholder nesten all den aritmetiske og algebraiske informasjonen fra den tiden. 2

Fibonacci-tall er en rekke tall som har en rekke egenskaper. Fibonacci oppdaget denne nummersekvensen ved et uhell da han prøvde å løse et praktisk problem om kaniner i 1202. «Noen plasserte et par kaniner på et bestemt sted, inngjerdet på alle sider av en vegg, for å finne ut hvor mange kaninpar som ville bli født i løpet av året, hvis kaninene har en slik natur at etter en måned et par kaniner av kaniner føder et annet par, og kaniner føder fra den andre måneden etter fødselen din." Da han løste problemet, tok han hensyn til at hvert par kaniner føder ytterligere to par gjennom hele livet, og dør deretter. Slik så tallrekkefølgen ut: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... I denne sekvensen er hvert neste tall lik summen av de to foregående. Den ble kalt Fibonacci-sekvensen. Matematiske egenskaper for sekvensen

Jeg ønsket å utforske denne sekvensen, og jeg oppdaget noen av egenskapene. Dette mønsteret har veldig viktig. Sekvensen nærmer seg sakte et visst konstant forhold på omtrent 1,618, og forholdet mellom et hvilket som helst tall til det neste er omtrent 0,618.

Du kan legge merke til en rekke interessante egenskaper ved Fibonacci-tall: to nabotall er relativt primtall; hvert tredje tall er partall; hver femtende slutter på null; hver fjerde er et multiplum av tre. Hvis du velger 10 tilstøtende tall fra Fibonacci-sekvensen og legger dem sammen, vil du alltid få et tall som er et multiplum av 11. Men det er ikke alt. Hver sum er lik tallet 11 multiplisert med det syvende leddet i den gitte sekvensen. Her er en annen interessant funksjon. For enhver n vil summen av de første leddene i sekvensen alltid være lik forskjellen mellom (n+ 2) og første ledd i sekvensen. Dette faktum kan uttrykkes med formelen: 1+1+2+3+5+…+an=a n+2 - 1. Nå har vi følgende triks til rådighet: å finne summen av alle ledd

rekkefølge mellom to gitte ledd, er det nok å finne forskjellen på de tilsvarende (n+2)-x leddene. For eksempel, en 26 +...+a 40 = en 42 - en 27. La oss nå se etter sammenhengen mellom Fibonacci, Pythagoras og det "gyldne snittet". Det mest kjente beviset på menneskehetens matematiske geni er Pythagoras teorem: i enhver rettvinklet trekant, kvadratet til hypotenusen lik summen kvadratene på bena: c 2 =b 2 +a 2. MED geometrisk punkt utsikt vi kan se på alle sider høyre trekant, som sidene av tre firkanter bygget på dem. Pythagoras teoremet sier at det totale arealet av kvadrater bygget på sidene av en rettvinklet trekant er lik arealet av kvadratet bygget på hypotenusen. Hvis lengdene på sidene i en rettvinklet trekant er heltall, danner de en gruppe på tre tall som kalles pytagoreiske trillinger. Ved å bruke Fibonacci-sekvensen kan du finne slike trillinger. La oss ta fire påfølgende tall fra rekkefølgen, for eksempel 2, 3, 5 og 8, og konstruere ytterligere tre tall som følger: 1) produktet av de to ekstreme tallene: 2*8=16; av de to tallene i midten: 2* (3*5)=30;3) summen av kvadratene av to gjennomsnittstall: 3 2 +5 2 =34; 34 2 =30 2 +16 2. Denne metoden fungerer for alle fire påfølgende Fibonacci-tall. Alle tre påfølgende tall i Fibonacci-serien oppfører seg på en forutsigbar måte. Hvis du multipliserer de to ekstreme og sammenligner resultatet med kvadratet av gjennomsnittstall, vil resultatet alltid avvike med én. For eksempel, for tallene 5, 8 og 13 får vi: 5*13=8 2 +1. Hvis du ser på denne eiendommen fra et geometrisk synspunkt, vil du legge merke til noe merkelig. Del firkanten

8x8 i størrelse (64 små firkanter totalt) i fire deler, lengden på sidene er lik Fibonacci-tallene. Fra disse delene skal vi bygge et rektangel som måler 5x13. Området er 65 små firkanter. Hvor kommer den ekstra firkanten fra? Saken er at det ikke dannes et ideelt rektangel, men det gjenstår små hull, som totalt gir denne ekstra arealenheten. Pascals trekant har også en sammenheng med Fibonacci-sekvensen. Du trenger bare å skrive linjene i Pascals trekant under hverandre, og deretter legge til elementene diagonalt. Resultatet er Fibonacci-sekvensen.

Tenk nå på et gyllent rektangel, hvor den ene siden er 1,618 ganger lengre enn den andre. Ved første øyekast kan det virke som et vanlig rektangel for oss. La oss imidlertid gjøre et enkelt eksperiment med to vanlige bankkort. La oss plassere en av dem horisontalt og den andre vertikalt slik at deres nedre sider er på samme linje. Hvis vi tegner en diagonal linje i et horisontalt kart og utvider det, vil vi se at det vil passere nøyaktig gjennom det øvre høyre hjørnet av det vertikale kartet - en hyggelig overraskelse. Kanskje dette er en ulykke, eller kanskje disse rektanglene og andre geometriske formene som bruker det "gyldne snittet" er spesielt behagelige for øyet. Tenkte Leonardo da Vinci på det gylne snitt mens han jobbet med mesterverket sitt? Dette virker usannsynlig. Det kan imidlertid hevdes at han la stor vekt på sammenhengen mellom estetikk og matematikk.

Fibonacci-tall i naturen

Forbindelsen mellom det gylne snitt og skjønnhet er ikke bare et spørsmål om menneskelig oppfatning. Det ser ut til at naturen selv har tildelt en spesiell rolle til F. Hvis du skriver inn firkanter sekvensielt i et "gyllent" rektangel, og deretter tegner en bue i hver firkant, vil du få en elegant kurve som kalles en logaritmisk spiral. Det er ikke en matematisk kuriositet i det hele tatt. 5

Tvert imot, denne bemerkelsesverdige linjen finnes ofte i den fysiske verden: fra skallet til en nautilus til armene til galakser, og i den elegante spiralen av kronblader til en blomstrende rose. Forbindelsene mellom det gylne snitt og Fibonacci-tall er mange og overraskende. La oss vurdere en blomst som ser veldig annerledes ut enn en rose - en solsikke med frø. Det første vi ser er at frøene er ordnet i to typer spiraler: med klokken og mot klokken. Hvis vi teller spiralene med klokken, får vi to, ser det ut til vanlige tall: 21 og 34. Dette er ikke det eneste eksemplet hvor du kan finne Fibonacci-tall i strukturen til planter.

Naturen gir oss mange eksempler på arrangementet av homogene objekter beskrevet av Fibonacci-tall. I de ulike spiralarrangementene av små plantedeler kan vanligvis to familier av spiraler skjelnes. I en av disse familiene krøller spiralene med klokken, mens de i den andre krøller seg mot klokken. Tallene på spiraler av en og annen type viser seg ofte å være tilstøtende Fibonacci-tall. Så når du tar en ung furukvist, er det lett å legge merke til at nålene danner to spiraler, som går fra nederst til venstre til øverst til høyre. På mange kjegler er frøene ordnet i tre spiraler, som snirkler seg forsiktig rundt stammen på kjeglen. De er plassert i fem spiraler, snirkler seg bratt i motsatt retning. I store kjegler er det mulig å observere 5 og 8, og til og med 8 og 13 spiraler. Fibonacci-spiraler er også godt synlige på en ananas: det er vanligvis 8 og 13 av dem.

Sikoriskuddet gjør et kraftig utkast ut i rommet, stopper, slipper ut et blad, men denne tiden er kortere enn det første, gjør igjen et utkast ut i rommet, men med mindre kraft, slipper ut et blad av enda mindre størrelse og skytes ut igjen . Impulsene til dens vekst avtar gradvis i forhold til den "gyldne" delen. For å sette pris på den enorme rollen til Fibonacci-tall, trenger du bare å se på skjønnheten i naturen rundt oss. Fibonacci-tall kan finnes i mengder

grener på stammen til hver voksende plante og i antall kronblader.

La oss telle kronbladene til noen blomster - iris med sine 3 kronblad, primula med 5 kronblad, ragweed med 13 kronblad, kornblomst med 34 kronblad, aster med 55 kronblad, etc. Er dette en tilfeldighet, eller er det en naturlov? Se på stilkene og blomstene til ryllik. Dermed kan den totale Fibonacci-sekvensen enkelt tolke mønsteret av manifestasjoner av "gyldne" tall som finnes i naturen. Disse lovene fungerer uavhengig av vår bevissthet og ønske om å akseptere dem eller ikke. Mønstrene til "gylden" symmetri manifesteres i energiovergangene til elementærpartikler, i strukturen til noen kjemiske forbindelser, i planetariske og kosmiske systemer, i genstrukturene til levende organismer, i strukturen til individuelle menneskelige organer og kroppen som en helhet, og også manifestere seg i biorytmer og funksjon av hjernen og visuell persepsjon.

Fibonacci-tall i arkitektur

« Gyldent snitt"er manifestert i mange fantastiske arkitektoniske kreasjoner gjennom menneskehetens historie. Det viser seg at gamle greske og gamle egyptiske matematikere kjente disse koeffisientene lenge før Fibonacci og kalte dem det "gyldne snitt". Grekerne brukte prinsippet om det "gyldne snittet" i konstruksjonen av Parthenon, og egypterne brukte Den store pyramiden i Giza. Fremskritt innen konstruksjonsteknologi og utvikling av nye materialer åpnet nye muligheter for arkitekter fra det tjuende århundre. Amerikaneren Frank Lloyd Wright var en av de viktigste talsmennene for organisk arkitektur. Kort før sin død tegnet han Solomon Guggenheim-museet i New York, som er en omvendt spiral, og interiøret i museet minner om et nautilus-skall. Den polsk-israelske arkitekten Zvi Hecker brukte også spiralstrukturer i sin design for Heinz Galinski-skolen i Berlin, ferdigstilt i 1995. Hecker startet med ideen om en solsikke med en sentral sirkel, hvorfra

Alle arkitektoniske elementer er divergerende. Bygget er en kombinasjon

ortogonale og konsentriske spiraler, som symboliserer samspillet mellom begrensede menneskelig kunnskap og kontrollert kaos i naturen. Arkitekturen imiterer en plante som følger solens bevegelse, så klasserommene er opplyst hele dagen.

I Quincy Park, som ligger i Cambridge, Massachusetts (USA), kan man ofte finne den "gyldne" spiralen. Parken ble designet i 1997 av kunstneren David Phillips og ligger i nærheten av Clay Mathematical Institute. Denne institusjonen er et kjent senter for matematisk forskning. I Quincy Park kan du spasere blant de "gyldne" spiralene og metallkurvene, relieffer av to skjell og en stein med et symbol kvadratrot. Skiltet inneholder informasjon om det "gyldne" forholdet. Til og med sykkelparkering bruker F-symbolet.

Fibonacci-tall i psykologi

I psykologien har det blitt lagt merke til vendepunkter, kriser og revolusjoner som markerer transformasjoner i sjelens struktur og funksjoner i en persons livsbane. Hvis en person lykkes med å overvinne disse krisene, blir han i stand til å løse problemer i en ny klasse som han ikke engang hadde tenkt på før.

Tilstedeværelsen av grunnleggende endringer gir grunn til å betrakte levetid som en avgjørende faktor i utviklingen av åndelige egenskaper. Naturen måler tross alt ikke ut tid sjenerøst for oss, «uansett hvor mye det blir, så mye blir det», men akkurat nok til at utviklingsprosessen materialiserer seg:

i kroppsstrukturer;

i følelser, tenkning og psykomotoriske ferdigheter – til de tilegner seg harmoni nødvendig for fremveksten og lanseringen av mekanismen

kreativitet;

i strukturen til menneskelig energipotensial.

Utviklingen av kroppen kan ikke stoppes: barnet blir voksen. Med mekanismen for kreativitet er ikke alt så enkelt. Utviklingen kan stoppes og retningen endres.

Er det en sjanse til å ta igjen tiden? Utvilsomt. Men for dette må du jobbe mye med deg selv. Det som utvikler seg fritt naturlig, krever ingen spesiell innsats: barnet utvikler seg fritt og legger ikke merke til dette enorme arbeidet, fordi prosessen med fri utvikling skapes uten vold mot seg selv.

Hvordan forstås mening? livsvei i hverdagens bevissthet? Gjennomsnittsmennesket ser det slik: på bunnen er det fødsel, på toppen er det livets beste, og så går alt nedoverbakke.

Vismannen vil si: alt er mye mer komplisert. Han deler oppstigningen inn i stadier: barndom, ungdomstid, ungdom... Hvorfor er det slik? Få er i stand til å svare, selv om alle er sikre på at dette er lukkede, integrerte stadier av livet.

For å finne ut hvordan mekanismen for kreativitet utvikler seg, V.V. Klimenko brukte matematikk, nemlig lovene til Fibonacci-tall og andelen av det "gyldne snittet" - naturlovene og menneskelivet.

Fibonacci-tall deler livene våre inn i stadier i henhold til antall leveår: 0 - begynnelsen av nedtellingen - barnet er født. Han mangler fortsatt ikke bare psykomotoriske ferdigheter, tenkning, følelser, fantasi, men også operasjonelt energipotensial. Han er begynnelsen på et nytt liv, en ny harmoni;

1 - barnet har mestret å gå og mestrer sitt nærmiljø;

2 - forstår tale og handlinger ved å bruke verbale instruksjoner;

3 - handler gjennom ord, stiller spørsmål;

5 - "nådens alder" - harmoni av psykomotorisk, minne, fantasi og følelser, som allerede lar barnet omfavne verden i all sin integritet;

8 - følelser kommer i forgrunnen. De er tjent med fantasi, og tenkning, gjennom sin kritikk, er rettet mot å støtte den indre og ytre harmonien i livet;

13 - talentmekanismen begynner å fungere, rettet mot å transformere materialet som er anskaffet gjennom arveprosessen, utvikle sitt eget talent;

21 - mekanismen for kreativitet har nærmet seg en tilstand av harmoni og det gjøres forsøk på å utføre talentfullt arbeid;

34—harmoni av tenkning, følelser, fantasi og psykomotoriske ferdigheter: evnen til å arbeide genialt er født;

55 - i denne alderen, forutsatt at harmonien mellom sjel og kropp er bevart, er en person klar til å bli en skaper. Og så videre…

Hva er Fibonacci Numbers-serifene? De kan sammenlignes med demninger langs livets vei. Disse demningene venter på hver enkelt av oss. Først av alt må du overvinne hver av dem, og deretter tålmodig heve utviklingsnivået ditt til det en vakker dag faller fra hverandre, og åpner veien til den neste for fri flyt.

Nå som vi forstår betydningen av disse knutepunktene aldersutvikling, la oss prøve å tyde hvordan alt dette skjer.

B1 år barnet mestrer å gå. Før dette opplevde han verden med forsiden av hodet. Nå blir han kjent med verden med hendene – et eksepsjonelt menneskelig privilegium. Dyret beveger seg i rommet, og han, ved å lære, mestrer rommet og mestrer territoriet det bor i.

2 år- forstår ordet og handler i samsvar med det. Det betyr at:

barnet lærer minimal mengde ord - betydninger og handlingsmåter;

har ennå ikke skilt seg fra miljø og smelter sammen til integritet med omgivelsene,

derfor handler han i henhold til andres instruksjoner. I denne alderen er han den mest lydige og hyggelige mot foreldrene sine. Fra en sensuell person blir et barn til en kognitiv person.

3 år- handling ved hjelp av eget ord. Separasjonen av denne personen fra miljøet har allerede skjedd - og han lærer å være en selvstendig handlende person. Herfra han:

motarbeider bevisst miljøet og foreldre, lærere i barnehage etc.;

innser sin suverenitet og kjemper for uavhengighet;

prøver å underlegge nære og kjente mennesker hans vilje.

Nå for et barn er et ord en handling. Det er her den aktive personen begynner.

5 år- "nådens tidsalder." Han er personifiseringen av harmoni. Spill, dans, flinke bevegelser - alt er mettet med harmoni, som en person prøver å mestre med sin egen styrke. Harmonisk psykomotorisk atferd bidrar til å skape en ny tilstand. Derfor er barnet fokusert på psykomotorisk aktivitet og streber etter de mest aktive handlingene.

Materialisering av produktene fra følsomhetsarbeid utføres gjennom:

evnen til å vise omgivelsene og oss selv som en del av denne verden (vi hører, ser, tar på, lukter osv. – alle sanser jobber for denne prosessen);

design evne verden utenfor, inkludert deg selv

(skaping av annen natur, hypoteser - å gjøre begge deler i morgen, å bygge ny bil, løse et problem), av kreftene til kritisk tenkning, følelse og fantasi;

evnen til å skape en andre, menneskeskapt natur, produkter av aktivitet (realisering av planer, spesifikke mentale eller psykomotoriske handlinger med spesifikke objekter og prosesser).

Etter 5 år kommer fantasimekanismen frem og begynner å dominere de andre. Barnet gjør enormt mye arbeid, skaper fantastiske bilder, og lever i eventyrenes og mytenes verden. Den hypertrofierte fantasien til et barn forårsaker overraskelse hos voksne, fordi fantasien ikke samsvarer med virkeligheten.

8 år- følelser kommer til syne og ens egne standarder for følelser (kognitive, moralske, estetiske) oppstår når barnet umiskjennelig:

vurderer det kjente og det ukjente;

skiller moral fra umoralsk, moralsk fra umoralsk;

skjønnhet fra det som truer livet, harmoni fra kaos.

13 år— mekanismen for kreativitet begynner å fungere. Men dette betyr ikke at den fungerer for fullt. Et av elementene i mekanismen kommer i forgrunnen, og alle de andre bidrar til arbeidet. Hvis i denne alderen utviklingsperioden opprettholdes harmoni, som nesten konstant gjenoppbygger strukturen, vil ungdommen smertefritt nå neste demning, ubemerket av seg selv vil overvinne den og leve i en alder av en revolusjonær. I en alder av en revolusjonær må en ungdom ta et nytt skritt fremover: skille seg fra det nærmeste samfunnet og leve i det harmonisk liv og aktiviteter. Ikke alle kan løse dette problemet som dukker opp foran hver enkelt av oss.

21 år gammel. Hvis en revolusjonær har overvunnet livets første harmoniske høydepunkt, er hans talentmekanisme i stand til å prestere talentfull

arbeid. Følelser (kognitive, moralske eller estetiske) overskygger noen ganger tenkning, men generelt fungerer alle elementer harmonisk: følelser er åpne for verden, og logisk tenkning i stand til å navngi og finne mål på ting fra denne toppen.

Kreativitetsmekanismen, som utvikler seg normalt, når en tilstand som lar den motta visse frukter. Han begynner å jobbe. I denne alderen kommer følelsesmekanismen frem. Ettersom fantasien og dens produkter vurderes av sansene og sinnet, oppstår det motsetninger mellom dem. Følelsene vinner. Denne evnen får gradvis makt, og gutten begynner å bruke den.

34 år- balanse og harmoni, produktiv effektivitet av talent. Harmonien mellom tenkning, følelser og fantasi, psykomotoriske ferdigheter, som fylles opp med optimalt energipotensial, og mekanismen som helhet - muligheten til å utføre strålende arbeid er født.

55 år- en person kan bli en skaper. Den tredje harmoniske toppen av livet: tenkning underkuer følelsenes kraft.

Fibonacci-tall refererer til stadier av menneskelig utvikling. Hvorvidt en person vil gå gjennom denne veien uten å stoppe avhenger av foreldre og lærere, utdannelses system, og deretter - fra seg selv og fra hvordan en person vil lære og overvinne seg selv.

På livets vei oppdager en person 7 forholdsobjekter:

Fra bursdag til 2 år - oppdagelse av den fysiske og objektive verdenen til nærmiljøet.

Fra 2 til 3 år - selvoppdagelse: "Jeg er meg selv."

Fra 3 til 5 år - tale, den aktive verdenen av ord, harmoni og "Jeg - Du" -systemet.

Fra 5 til 8 år - oppdagelse av verden av andres tanker, følelser og bilder - "Jeg - Vi" -systemet.

Fra 8 til 13 år - oppdagelse av en verden av oppgaver og problemer løst av menneskehetens genier og talenter - "I - Spirituality" -systemet.

Fra 13 til 21 år - oppdagelsen av evnen til selvstendig å løse kjente problemer, når tanker, følelser og fantasi begynner å fungere aktivt, oppstår "I - Noosphere" -systemet.

Fra 21 til 34 år - oppdagelse av evnen til å skape ny verden eller dets fragmenter - bevissthet om selvkonseptet "Jeg er skaperen".

Livsveien har en spatiotemporal struktur. Den består av alder og individuelle faser, bestemt av mange livsparametere. En person mestrer til en viss grad omstendighetene i livet sitt, blir skaperen av sin historie og skaperen av samfunnets historie. En virkelig kreativ holdning til livet vises imidlertid ikke umiddelbart og ikke engang hos hver person. Mellom fasene av livets vei er det genetiske forbindelser, og dette bestemmer dens naturlige karakter. Det følger at det i prinsippet er mulig å forutsi fremtidig utvikling på grunnlag av kunnskap om dens tidlige faser.

Fibonacci-tall i astronomi

Fra astronomiens historie er det kjent at I. Titius, en tysk astronom på 1700-tallet, ved hjelp av Fibonacci-serien fant et mønster og rekkefølge i avstandene mellom planetene solsystemet. Men ett tilfelle så ut til å være i strid med loven: det var ingen planet mellom Mars og Jupiter. Men etter Titius død på begynnelsen av 1800-tallet. konsentrert observasjon av denne delen av himmelen førte til oppdagelsen av asteroidebeltet.

Konklusjon

Under forskningen fant jeg ut at Fibonacci-tall ble funnet bred applikasjon i teknisk analyse av aksjekurser. En av de enkleste måtene å bruke Fibonacci-tall på i praksis er å bestemme tidsintervallene etter hvilke en bestemt hendelse vil inntreffe, for eksempel en prisendring. Analytikeren teller et visst antall Fibonacci-dager eller -uker (13,21,34,55, etc.) fra forrige lignende hendelse og lager en prognose. Men dette er fortsatt for vanskelig for meg å finne ut av. Selv om Fibonacci var middelalderens største matematiker, er de eneste monumentene til Fibonacci en statue foran det skjeve tårnet i Pisa og to gater som bærer navnet hans: en i Pisa og den andre i Firenze. Og likevel, i forbindelse med alt jeg har sett og lest, dukker det opp ganske naturlige spørsmål. Hvor kom disse tallene fra? Hvem er denne universets arkitekt som prøvde å gjøre det ideelt? Hva blir det neste? Etter å ha funnet svaret på ett spørsmål, får du det neste. Hvis du løser det, får du to nye. Når du håndterer dem, vil tre til dukke opp. Etter å ha løst dem også, vil du ha fem uløste. Så åtte, tretten osv. Ikke glem at to hender har fem fingre, hvorav to består av to phalanges, og åtte av tre.

Litteratur:

Voloshinov A.V. "Matematikk og kunst", M., Education, 1992.

Vorobyov N.N. "Fibonacci Numbers", M., Nauka, 1984.

Stakhov A.P. "Da Vinci-koden og Fibonacci-serien", St. Petersburg-format, 2006

F. Corvalan «Det gylne snitt. Matematisk språk skjønnhet", M., De Agostini, 2014

Maksimenko S.D. "Sensitive perioder i livet og deres koder."

"Fibonacci-tall". Wikipedia

• Oversettelse

Introduksjon

Koden er ment for Python 3, selv om den også skal fungere med Python 2.

Til å begynne med, la meg minne deg om definisjonen:

F n = F n-1 + F n-2

Og F 1 = F 2 = 1.

Lukket formel

Hva betyr det

Reduser x n-2

Løse den andregradsligningen:

Det er her det "gyldne forholdet" ϕ=(1+√5)/2 vokser. Ved å erstatte de opprinnelige verdiene og gjøre noen flere beregninger, får vi:

Det er det vi bruker til å beregne Fn.

Fra __future__ import divisjon importer matematikk def fib(n): SQRT5 = math.sqrt(5) PHI = (SQRT5 + 1) / 2 return int(PHI ** n / SQRT5 + 0,5)

Flink:
Raskt og enkelt for små n
Det dårlige:
Flytepunktoperasjoner er påkrevd. Stor n vil kreve større presisjon.
Ond:
Å bruke komplekse tall for å beregne F n er vakkert fra et matematisk synspunkt, men stygt fra et datasynspunkt.

Rekursjon

Fib = lambda n: fib(n - 1) + fib(n - 2) hvis n > 2 annet 1

Flink:
En veldig enkel implementering som følger den matematiske definisjonen
Det dårlige:
Eksponentiell utførelsestid. For store n er det veldig tregt
Ond:
Stack Overflow

Utenat

Derfor trenger du bare å huske resultatene for ikke å telle dem igjen. Denne løsningen bruker tid og minne på en lineær måte. Jeg bruker en ordbok i løsningen min, men en enkel matrise kan også brukes.

M = (0: 0, 1: 1) def fib(n): hvis n i M: returner M[n] M[n] = fib(n - 1) + fib(n - 2) returner M[n]

(I Python kan dette også gjøres ved å bruke dekoratoren, functools.lru_cache.)

Flink:
Bare gjør rekursjon til en minneløsning. Konverterer eksponentiell utførelsestid til lineær utførelse, som bruker mer minne.
Det dårlige:
Kaster bort mye minne
Ond:
Mulig stabeloverløp, akkurat som rekursjon

Dynamisk programmering

Denne løsningen blir ofte nevnt som et eksempel på dynamisk programmering.

Def fib(n): a = 0 b = 1 for __ i område(n): a, b = b, a + b returnerer a

Flink:
Fungerer raskt for liten n, enkel kode
Det dårlige:
Fortsatt lineær utførelsestid
Ond:
Ikke noe spesielt.

Matrise algebra

Og en generalisering av dette sier det

De to verdiene for x som vi fikk tidligere, hvorav den ene var det gylne snitt, er egenverdier matriser. Derfor er en annen måte å utlede en lukket formel på å bruke matriseligning og lineær algebra.

Så hvorfor er denne formuleringen nyttig? Fordi eksponentiering kan gjøres i logaritmisk tid. Dette gjøres gjennom kvadrering. Poenget er det

Der det første uttrykket brukes for partall A, det andre for oddetall. Alt som gjenstår er å organisere matrisemultiplikasjonene, og alt er klart. Dette resulterer i følgende kode. Jeg opprettet en rekursiv implementering av pow fordi det er lettere å forstå. Se den iterative versjonen her.

Def pow(x, n, I, mult): """ Returnerer x i potensen av n. Antar at I er identitetsmatrisen som multipliseres med mult og n er et positivt heltall """ hvis n == 0: return I elif n == 1: return x else: y = pow(x, n // 2, I, mult) y = mult(y, y) if n % 2: y = mult(x, y) return y def identity_matrix (n): """Returnerer en n for n identitetsmatrise""" r = liste(område(n)) returner [ for j i r] def matrix_multiply(A, B): BT = list(zip(*B) ) returner [ for rad_a i A] def fib(n): F = pow([, ], n, identitetsmatrise(2), matrisemultipliker) returner F

Flink:
Fast minnestørrelse, logaritmisk tid
Det dårlige:
Koden er mer komplisert
Ond:
Du må jobbe med matriser, selv om de ikke er så ille

Sammenligning av ytelse

N=10**6
Beregner fib_matrise: fib(n) har bare 208988 sifre, beregningen tok 0,24993 sekunder.
Beregner fib_dynamic: fib(n) har bare 208988 sifre, beregningen tok 11,83377 sekunder.

Teoretiske notater

La oss telle antall baner med lengde n fra A til B. For eksempel, for n = 1 har vi en bane, 1. For n = 2 har vi igjen en bane, 01. For n = 3 har vi to baner, 001 og 101 Det kan ganske enkelt vises at antall baner med lengde n fra A til B er nøyaktig lik F n. Etter å ha skrevet ned tilgrensningsmatrisen for grafen, får vi den samme matrisen som ble beskrevet ovenfor. Det er et velkjent resultat fra grafteori at, gitt en tilstøtende matrise A, er forekomster i A n antall baner med lengde n i grafen (ett av problemene nevnt i filmen Good Will Hunting).

Hvorfor er det slike merker på ribbeina? Det viser seg at når du vurderer en uendelig sekvens av symboler på en tur-retur uendelig sekvens av stier på en graf, får du noe som kalles "finite type subshifts", som er en type symbolsk dynamikksystem. Denne spesielle subshiften av en endelig type er kjent som "det gylne forholdsskiftet", og er spesifisert av et sett med "forbudte ord" (11). Med andre ord vil vi få binære sekvenser som er uendelige i begge retninger og ingen par av dem vil være tilstøtende. Den topologiske entropien til dette dynamiske systemet er lik det gylne forholdet ϕ. Det er interessant hvordan dette tallet vises med jevne mellomrom ulike områder matematikk.

Tags: Legg til tagger

Dette er imidlertid ikke alt som kan gjøres med det gylne snitt. Hvis vi deler en på 0,618, får vi 1,618, får vi 2,618, får vi 4,236. Dette er Fibonacci-ekspansjonsforholdene. Det eneste tallet som mangler her er 3236, som ble foreslått av John Murphy.

Hva mener eksperter om konsistens?

Noen vil kanskje si at disse tallene allerede er kjent fordi de brukes i tekniske analyseprogrammer for å bestemme omfanget av korreksjoner og utvidelser. I tillegg spiller de samme seriene en viktig rolle i Eliots bølgeteori. De er dens numeriske grunnlag.

Vår ekspert Nikolay er en velprøvd porteføljeforvalter i investeringsselskapet Vostok.

• — Nikolay, tror du at forekomsten av Fibonacci-tall og deres deriverte på diagrammene til forskjellige instrumenter er tilfeldig? Og kan vi si: «Fibonacci-serien praktisk bruk" inntreffer?
• — Jeg har en dårlig holdning til mystikk. Og enda mer på børsdiagrammer. Alt har sine grunner. i boken «Fibonacci Levels» beskrev han vakkert hvor det gylne snitt vises, at han ikke var overrasket over at det dukket opp på børskursdiagrammer. Men til ingen nytte! I mange av eksemplene han ga, vises tallet Pi ofte. Men av en eller annen grunn er det ikke inkludert i prisforholdene.
• — Så du tror ikke på effektiviteten til Eliots bølgeprinsipp?
• – Nei, det er ikke poenget. Bølgeprinsipp- det er én ting. Det numeriske forholdet er annerledes. Og årsakene til deres opptreden på prisdiagrammer er den tredje
• — Hva er etter din mening årsakene til at det gylne snitt dukker opp på aksjediagrammer?
• — Det riktige svaret på dette spørsmålet kan kanskje tjene Nobel pris i økonomi. Mens vi bare kan gjette sanne grunner. De er tydeligvis ikke i harmoni med naturen. Det finnes mange modeller for byttepriser. De forklarer ikke det utpekte fenomenet. Men å ikke forstå et fenomens natur bør ikke fornekte fenomenet som sådan.
• — Og hvis denne loven noen gang åpnes, vil den da kunne ødelegge utvekslingsprosessen?
• — Som den samme bølgeteorien viser, er loven om endringer i aksjekurser ren psykologi. Det virker for meg som om kunnskap om denne loven ikke vil endre noe og ikke vil kunne ødelegge børsen.

Materiale levert av bloggen til webmaster Maxim.

Sammenfallet mellom de grunnleggende prinsippene for matematikk i en rekke teorier virker utrolig. Kanskje det er fantasi eller tilpasset for det endelige resultatet. Vent og se. Mye av det som tidligere ble ansett som uvanlig eller ikke var mulig: Romutforskning er for eksempel blitt vanlig og overrasker ingen. Dessuten vil bølgeteorien, som kan være uforståelig, bli mer tilgjengelig og forståelig over tid. Det som tidligere var unødvendig vil bli i hendene på en erfaren analytiker kraftig verktøy forutsi fremtidig atferd.

Fibonacci-tall i naturen.

Se

La oss nå snakke om hvordan du kan tilbakevise det faktum at den digitale Fibonacci-serien er involvert i alle mønstre i naturen.

La oss ta to andre tall og bygge en sekvens med samme logikk som Fibonacci-tallene. Det vil si at neste medlem av sekvensen er lik summen av de to foregående. La oss for eksempel ta to tall: 6 og 51. Nå skal vi bygge en sekvens som vi skal komplettere med to tall 1860 og 3009. Legg merke til at når vi deler disse tallene, får vi et tall nær det gylne snitt.

Samtidig reduserte tallene som ble oppnådd ved å dele andre par fra det første til det siste, noe som lar oss si at hvis denne serien fortsetter på ubestemt tid, vil vi få et tall som er lik det gylne snitt.

Dermed skiller ikke Fibonacci-tall seg ut på noen måte. Det er andre tallsekvenser, som det er et uendelig antall av, som er resultatet av de samme operasjonene gyldne tall fi.

Fibonacci var ingen esoteriker. Han ønsket ikke å legge mystikk inn i tallene, han løste rett og slett et vanlig problem om kaniner. Og han skrev en tallsekvens som fulgte av problemet hans, i den første, andre og andre månedene, hvor mange kaniner det ville være etter avl. I løpet av et år mottok han den samme sekvensen. Og jeg hadde ikke et forhold. Det var ikke snakk om noen gylden proporsjon eller guddommelig forhold. Alt dette ble oppfunnet etter ham under renessansen.

Sammenlignet med matematikk er fordelene med Fibonacci enorme. Han adopterte tallsystemet fra araberne og beviste dets gyldighet. Det var en hard og lang kamp. Fra det romerske tallsystemet: tungt og upraktisk å telle. Den forsvant etter den franske revolusjonen. Fibonacci har ingenting med det gylne snitt å gjøre.

Det er et uendelig antall spiraler, de mest populære er: den naturlige logaritmespiralen, Archimedes-spiralen og den hyperbolske spiralen.

La oss nå ta en titt på Fibonacci-spiralen. Denne stykkevis sammensatte enheten består av flere kvartsirkler. Og det er ikke en spiral, som sådan.

Konklusjon

Uansett hvor lenge vi ser etter bekreftelse eller tilbakevisning av anvendeligheten til Fibonacci-serien på børsen, eksisterer en slik praksis.

Enorme mengder mennesker handler i henhold til Fibonacci-linjen, som finnes i mange brukerterminaler. Derfor, enten vi liker det eller ikke: Fibonacci-tall påvirker, og vi kan dra nytte av denne innflytelsen.

I påbudt, bindende Les artikkelen - .

I I det siste, mens jeg jobbet i individuelle og gruppeprosesser med mennesker, vendte jeg tilbake til tankene om å kombinere alle prosesser (karmiske, mentale, fysiologiske, åndelige, transformasjonsmessige, etc.) til én.

Venner bak sløret avslørte i økende grad bildet av en flerdimensjonal mann og sammenkoblingen av alt i alt.

En indre trang fikk meg til å gå tilbake til gamle studier med tall og nok en gang se gjennom boken til Drunvalo Melchizedek " Eldgammelt mysterie livets blomst."

På dette tidspunktet ble filmen «Da Vinci-koden» vist på kino. Det er ikke min intensjon å diskutere kvaliteten, verdien eller sannheten til denne filmen. Men øyeblikket med koden, da tallene begynte å rulle raskt, ble et av nøkkeløyeblikkene i denne filmen for meg.

Min intuisjon fortalte meg at det var verdt å ta hensyn til Fibonacci-nummersekvensen og det gylne snittet. Hvis du ser på Internett for å finne noe om Fibonacci, vil du bli bombardert med informasjon. Du vil lære at denne sekvensen har vært kjent til enhver tid. Det er representert i natur og rom, i teknologi og vitenskap, i arkitektur og maleri, i musikk og proporsjoner i menneskekroppen, i DNA og RNA. Mange forskere av denne sekvensen har kommet til den konklusjon at viktige hendelser i livet til en person, stat og sivilisasjon også er underlagt loven om det gylne snitt.

Det ser ut til at mennesket har fått et grunnleggende hint.

Da oppstår tanken om at en person bevisst kan anvende prinsippet om det gylne snitt for å gjenopprette helse og riktig skjebne, dvs. effektivisere pågående prosesser i ens eget univers, utvide bevisstheten, gå tilbake til Velvære.

La oss huske Fibonacci-sekvensen sammen:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025…

Hvert etterfølgende nummer dannes ved å legge til de to foregående:

1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, osv.

Nå foreslår jeg å redusere hvert tall i serien til ett siffer: 1, 1, 2, 3, 5, 8,

13=1+3(4), 21=2+1(3), 34=3+4(7), 55=5+5(1), 89= 8+9(8), 144=1+4+4(9)…

Her er hva vi fikk:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9, 8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 2, 8, 1, 9…1, 1, 2…

en sekvens på 24 tall som gjentas fra den 25.:

75025=7+5+0+2+5=19=1+0=1, 121393=1+2+1+3+9+3=19=1+0=1…

Virker det ikke rart eller naturlig for deg det

• det er 24 timer i døgnet,
• romhus - 24,
• DNA-tråder - 24,
• 24 eldste fra Gud-stjernen Sirius,
• Den repeterende sekvensen i Fibonacci-serien er på 24 sifre.

Hvis den resulterende sekvensen er skrevet som følger,

1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9

8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 2, 8, 1, 9

9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9,

da vil vi se at 1. og 13. nummer i sekvensen, 2. og 14., 3. og 15., 4. og 16.... det 12. og 24. summerer seg til 9 .

3 3 6 9 6 6 3 9

Når vi testet disse nummerseriene, fikk vi:

• Barneprinsipp;
• Faderlig prinsipp;
• Mors prinsipp;
• Enhetsprinsippet.

Golden Ratio Matrix

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

2 2 4 6 1 7 8 6 5 2 7 9 7 7 5 3 8 2 1 3 4 7 2 9

4 4 8 3 2 5 7 3 1 4 5 9 5 5 1 6 7 4 2 6 8 5 4 9

3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9

8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9

8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9

7 7 5 3 8 2 1 3 4 7 2 9 2 2 4 6 1 7 8 6 5 2 7 9

4 4 8 3 2 5 7 3 1 4 5 9 5 5 1 6 7 4 2 6 8 5 4 9

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

5 5 1 6 7 4 2 6 8 5 4 9 4 4 8 3 2 5 7 3 1 4 5 9

6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9

2 2 4 6 1 7 8 6 5 2 7 9 7 7 5 3 8 2 1 3 4 7 2 9

8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

Praktisk bruk av Fibonacci-serien

En av vennene mine uttrykte sin intensjon om å jobbe individuelt med ham med temaet å utvikle hans evner og evner.

Helt uventet, helt i begynnelsen, kom Sai Baba inn i prosessen og inviterte meg til å følge ham.

Vi begynte å reise oss i den guddommelige monaden til vår venn, og etter å ha forlatt den gjennom kausalkroppen, befant vi oss i en annen virkelighet på nivået til det kosmiske huset.

De som har studert verkene til Mark og Elizabeth Claire Prophets kjenner læren om den kosmiske klokken som Moder Maria formidlet til dem.

På nivået til det kosmiske huset så Yuri en sirkel med et indre senter med 12 piler.

Den eldste som møtte oss på dette nivået sa at foran oss representerer den guddommelige klokken og 12 visere 12 (24) manifestasjoner av guddommelige aspekter... (muligens skapere).

Når det gjelder den kosmiske klokken, var de plassert under den guddommelige klokken i henhold til prinsippet om energien åtte.

— I hvilken modus er de guddommelige klokkene i forhold til deg?

— Klokkeviserne står stille, det er ingen bevegelse.Nå kommer tankene til meg om at jeg for mange evigheter siden forlot den guddommelige bevisstheten og fulgte en annen vei, magikerens vei. Alle mine magiske gjenstander og amuletter, som jeg har og har samlet i meg gjennom mange inkarnasjoner, ser på dette nivået ut som babyrangler. På i en subtil forstand de representerer et bilde av magiske energiklær.

— Fullført.Imidlertid velsigner jeg min magiske opplevelse.Å etterleve denne opplevelsen motiverte meg virkelig til å gå tilbake til kilden, til helhet.De tilbyr meg å ta av meg de magiske gjenstandene mine og stå i midten av klokken.

— Hva må gjøres for å aktivere den guddommelige klokken?

— Sai Baba dukket opp igjen og tilbyr å uttrykke intensjonen om å koble sølvstrengen med klokken. Han sier også at du har en slags tallserie. Han er nøkkelen til aktivering. Bildet av Leonard da Vincis mann dukker opp foran ditt sinns øye.

- 12 ganger.

— Jeg ber deg om å Gud-sentrere hele prosessen og styre energiens handling nummerserie for å aktivere de guddommelige timene.

Les høyt 12 ganger

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9…

I ferd med å lese, beveget viserne på klokken seg.

Energi strømmet langs sølvstrengen og koblet sammen alle nivåer av Yurinas Monade, så vel som jordiske og himmelske energier ...

Det mest uventede i denne prosessen var at fire Entiteter dukket opp på klokken, som er noen deler av Den Ene Helheten med Yura.

Under kommunikasjonen ble det klart at en gang var det en deling av den sentrale sjelen, og hver del valgte sitt eget område i universet for implementering.

Beslutningen ble tatt om å integrere, noe som skjedde på Divine Hours-senteret.

Resultatet av denne prosessen var opprettelsen av den vanlige krystallen på dette nivået.

Etter dette husket jeg at Sai Baba en gang snakket om en bestemt plan, som innebærer først å koble to essenser til en, deretter fire, og så videre i henhold til det binære prinsippet.

Denne tallserien er selvsagt ikke et universalmiddel. Dette er bare et verktøy som lar deg raskt utføre det nødvendige arbeidet med en person, for å justere ham vertikalt med forskjellige vesennivåer.

Leonardo Fibonacci er en av middelalderens største matematikere. I et av verkene hans, "The Book of Calculations", beskrev Fibonacci det indo-arabiske beregningssystemet og fordelene ved bruken av det fremfor det romerske.

Definisjon
Fibonacci-tall eller Fibonacci-sekvens – nummerrekkefølge, som har en rekke egenskaper. For eksempel gir summen av to tilstøtende tall i en sekvens verdien av det neste (for eksempel 1+1=2; 2+3=5, etc.), som bekrefter eksistensen av de såkalte Fibonacci-koeffisientene , dvs. konstante forhold.

Fibonacci-sekvensen starter slik: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233...

2.

Fullstendig definisjon av Fibonacci-tall

3.


Egenskaper til Fibonacci-sekvensen

4.

1. Forholdet mellom hvert tall og det neste tenderer mer og mer til 0,618 etter hvert som det øker serienummer. Forholdet mellom hvert tall og det forrige har en tendens til 1,618 (omvendt av 0,618). Tallet 0,618 kalles (FI).

2. Når du deler hvert tall med det som følger etter det, er tallet etter ett 0,382; tvert imot – henholdsvis 2.618.

3. Ved å velge forholdene på denne måten får vi hovedsettet med Fibonacci-forhold: ... 4,235, 2,618, 1,618, 0,618, 0,382, 0,236.

5.


Forbindelsen mellom Fibonacci-sekvensen og det "gyldne snittet"

6.

Fibonacci-sekvensen asymptotisk (nærmer seg langsommere og langsommere) har en tendens til et konstant forhold. Imidlertid er dette forholdet irrasjonelt, det vil si at det representerer et tall med en uendelig, uforutsigbar sekvens av desimaler i brøkdelen. Det er umulig å uttrykke det nøyaktig.

Hvis et medlem av Fibonacci-sekvensen er delt med forgjengeren (for eksempel 13:8), vil resultatet være en verdi som svinger rundt den irrasjonelle verdien 1,61803398875... og noen ganger overskrider den, noen ganger ikke når den. Men selv etter å ha brukt Eternity på dette, er det umulig å finne ut forholdet nøyaktig, ned til siste desimal. For korthets skyld vil vi presentere det i form av 1.618. Spesielle navn dette forholdet begynte å bli gitt selv før Luca Pacioli (middelaldermatematiker) kalte det den guddommelige proporsjonen. Blant de moderne navnene er Golden Ratio, Golden Average og forholdet mellom roterende firkanter. Kepler kalte dette forholdet en av "geometriens skatter." I algebra er det generelt akseptert å være betegnet med den greske bokstaven phi

La oss forestille oss det gylne snitt ved å bruke eksemplet på et segment.

Tenk på et segment med ender A og B. La punkt C dele segmentet AB slik at,

AC/CB = CB/AB eller

AB/CB = CB/AC.

Du kan forestille deg det omtrent slik: A-–C--–B

7.

Det gylne snitt er en proporsjonal inndeling av et segment i ulik deler, der hele segmentet er relatert til den større delen slik det er. mest av refererer til den mindre; eller med andre ord, det mindre segmentet er til det større som det større er for helheten.

8.

Segmenter av den gylne proporsjon uttrykkes som en uendelig irrasjonell brøk 0,618..., hvis AB tas som én, AC = 0,382.. Som vi allerede vet, er tallene 0,618 og 0,382 koeffisientene til Fibonacci-sekvensen.

9.

Fibonacci-proporsjoner og det gylne snitt i natur og historie

10.


Det er viktig å merke seg at Fibonacci så ut til å minne menneskeheten om sekvensen hans. Det var kjent for de gamle grekerne og egypterne. Og faktisk siden da i naturen, arkitektur, kunst, matematikk, fysikk, astronomi, biologi og mange andre felt, ble mønstre beskrevet av Fibonacci-koeffisienter funnet. Det er utrolig hvor mange konstanter som kan beregnes ved hjelp av Fibonacci-sekvensen, og hvordan termene vises i et stort antall kombinasjoner. Det er imidlertid ingen overdrivelse å si at dette ikke bare er et spill med tall, men det viktigste matematiske uttrykket for naturfenomener som noen gang er oppdaget.

11.

Eksemplene nedenfor viser noen interessante anvendelser av denne matematiske sekvensen.

12.

1. Vasken er vridd i en spiral. Bretter du den ut får du en lengde litt kortere enn lengden på slangen. Det lille ti-centimeters skallet har en spiral på 35 cm. Formen på det spiralkrøllede skallet tiltrakk seg oppmerksomheten til Archimedes. Faktum er at forholdet mellom dimensjonene til skallkrøllene er konstant og lik 1,618. Arkimedes studerte spiralen av skjell og utledet ligningen for spiralen. Spiralen tegnet i henhold til denne ligningen kalles ved hans navn. Økningen i trinnet hennes er alltid jevn. For tiden er Archimedes-spiralen mye brukt i teknologi.

2. Planter og dyr. Goethe la også vekt på naturens tendens til spiralitet. Det spiralformede og spiralformede arrangementet av blader på tregrener ble lagt merke til for lenge siden. Spiralen ble sett i arrangementet av solsikkefrø, kongler, ananas, kaktus, etc. Botanikernes og matematikernes felles arbeid kaster lys over disse fantastiske fenomener natur. Det viste seg at i arrangementet av blader på en gren av solsikkefrø og furukongler manifesterer Fibonacci-serien seg, og derfor manifesterer loven om det gylne snitt seg. Edderkoppen vever nettet i et spiralmønster. En orkan snurrer som en spiral. En skremt reinflokk sprer seg i en spiral. DNA-molekylet er vridd i en dobbel helix. Goethe kalte spiralen «livets kurve».

Blant urtene langs veien vokser en umerkelig plante - sikori. La oss se nærmere på det. Et skudd har dannet seg fra hovedstammen. Det første bladet lå akkurat der. Skuddet gjør et kraftig utkast ut i rommet, stopper, slipper et blad, men denne gangen er det kortere enn det første, gjør igjen et utkast ut i rommet, men med mindre kraft, slipper ut et blad av en enda mindre størrelse og skytes ut igjen . Hvis det første utslippet tas som 100 enheter, er det andre lik 62 enheter, det tredje - 38, det fjerde - 24, etc. Lengden på kronbladene er også underlagt den gyldne proporsjonen. I å vokse og erobre plass opprettholdt planten visse proporsjoner. Vekstimpulsene avtok gradvis i forhold til det gylne snitt.

Øglen er viviparøs. Ved første øyekast har øglen proporsjoner som er behagelige for øynene våre - lengden på halen er relatert til lengden på resten av kroppen, som 62 til 38.

Både i plante- og dyreverdenen bryter naturens dannelsestendens vedvarende gjennom - symmetri om vekstretning og bevegelsesretning. Her vises det gylne snitt i proporsjonene av deler vinkelrett på vekstretningen. Naturen har utført inndeling i symmetriske deler og gylne proporsjoner. Delene avslører en repetisjon av strukturen i helheten.

Pierre Curie formulerte på begynnelsen av dette århundret en rekke dyptgripende ideer om symmetri. Han hevdet at man ikke kan vurdere symmetrien til noen kropp uten å ta hensyn til miljøets symmetri. Lovene om gylden symmetri manifesteres i energiovergangene til elementærpartikler, i strukturen til noen kjemiske forbindelser, i planetariske og kosmiske systemer, i genstrukturene til levende organismer. Disse mønstrene, som angitt ovenfor, eksisterer i strukturen til individuelle menneskelige organer og kroppen som helhet, og manifesterer seg også i biorytmene og funksjonen til hjernen og visuell persepsjon.

3. Plass. Fra astronomiens historie er det kjent at I. Titius, en tysk astronom på 1700-tallet, ved hjelp av denne serien (Fibonacci) fant et mønster og rekkefølge i avstandene mellom planetene i solsystemet

Men ett tilfelle som så ut til å motsi loven: det var ingen planet mellom Mars og Jupiter. Fokusert observasjon av denne delen av himmelen førte til oppdagelsen av asteroidebeltet. Dette skjedde etter Titius død på begynnelsen av 1800-tallet.

Fibonacci-serien er mye brukt: den brukes til å representere arkitekturen til levende vesener, menneskeskapte strukturer og strukturen til galakser. Disse fakta er bevis på uavhengigheten til tallserien fra betingelsene for dens manifestasjon, som er et av tegnene på dens universalitet.

4. Pyramider. Mange har forsøkt å avdekke hemmelighetene til pyramiden i Giza. I motsetning til andre egyptiske pyramider er ikke dette en grav, men snarere et uløselig puslespill av tallkombinasjoner. Den bemerkelsesverdige oppfinnsomheten, dyktigheten, tiden og arbeidet som pyramidens arkitekter brukte for å konstruere det evige symbolet indikerer den ekstreme viktigheten av budskapet de ønsket å formidle til fremtidige generasjoner. Deres epoke var preliterate, prehieroglyfiske, og symboler var det eneste middelet til å registrere funn. Nøkkelen til den geometrisk-matematiske hemmeligheten til Pyramiden i Giza, som hadde vært et mysterium for menneskeheten så lenge, ble faktisk gitt til Herodot av tempelprestene, som informerte ham om at pyramiden ble bygget slik at området til hver av dens ansikter var lik kvadratet av dens høyde.

Arealet av en trekant

356 x 440 / 2 = 78320

Firkantet område

280 x 280 = 78400

Lengden på kanten av bunnen av pyramiden ved Giza er 783,3 fot (238,7 m), høyden på pyramiden er 484,4 fot (147,6 m). Lengden på grunnkanten delt på høyden fører til forholdet Ф=1,618. Høyden på 484,4 fot tilsvarer 5813 tommer (5-8-13) - dette er tallene fra Fibonacci-sekvensen. Disse interessante observasjonene antyder at utformingen av pyramiden er basert på andelen Ф=1,618. Noen moderne lærde er tilbøyelige til å tolke at de gamle egypterne bygde det utelukkende med det formål å formidle kunnskap som de ønsket å bevare for fremtidige generasjoner. Intensive studier av pyramiden i Giza viste hvor omfattende kunnskapen om matematikk og astrologi var på den tiden. I alle indre og ytre proporsjoner av pyramiden spiller tallet 1.618 en sentral rolle.

Pyramider i Mexico. Ikke bare ble de egyptiske pyramidene bygget i samsvar med de perfekte proporsjoner av det gylne snitt, det samme fenomenet ble funnet i de meksikanske pyramidene. Ideen oppstår at både de egyptiske og meksikanske pyramidene ble reist på omtrent samme tid av mennesker av felles opprinnelse.