Aká je plocha zrezanej pyramídy? Online kalkulačka na výpočet plochy zrezanej pyramídy

je mnohosten, ktorý je tvorený základňou pyramídy a rezom rovnobežným s ňou. Môžeme povedať, že zrezaná pyramída je pyramída s odrezaným vrcholom. Toto číslo má mnoho jedinečných vlastností:

Bočné steny pyramídy sú lichobežníkové;
Bočné hrany pravidelného zrezaného ihlana sú rovnakej dĺžky a sklonené k základni pod rovnakým uhlom;
Základy sú podobné polygóny;
V pravidelnej skrátenej pyramíde sú tváre identické rovnoramenné lichobežníky, ktorých plocha je rovnaká. Sú tiež naklonené k základni pod jedným uhlom.

Vzorec pre plochu bočného povrchu zrezanej pyramídy je súčtom plôch jej strán:

Keďže strany zrezanej pyramídy sú lichobežníky, na výpočet parametrov budete musieť použiť vzorec lichobežníková oblasť. Pre bežnú skrátenú pyramídu môžete použiť iný vzorec na výpočet plochy. Pretože všetky jeho strany, plochy a uhly na základni sú rovnaké, je možné použiť obvody základne a apotému a tiež odvodiť plochu cez uhol v základni.

Ak je podľa podmienok v pravidelnom zrezanom ihlane daná apotéma (výška strany) a dĺžky strán podstavy, potom je možné plochu vypočítať prostredníctvom polovičného súčinu súčtu obvodov základy a apotéma:

Pozrime sa na príklad výpočtu plochy bočného povrchu zrezanej pyramídy.
Daná pravidelná päťuholníková pyramída. Apothem l= 5 cm, dĺžka okraja vo veľkej základni je a= 6 cm a okraj je na menšej základni b= 4 cm. Vypočítajte plochu zrezanej pyramídy.

Najprv nájdime obvody podstavcov. Keďže sme dostali päťuholníkovú pyramídu, chápeme, že základne sú päťuholníky. To znamená, že základne obsahujú figúrku s piatimi rovnakými stranami. Nájdite obvod väčšej základne:

Rovnakým spôsobom nájdeme obvod menšej základne:

Teraz môžeme vypočítať plochu pravidelnej skrátenej pyramídy. Doplňte údaje do vzorca:

Vypočítali sme teda plochu pravidelnej zrezanej pyramídy cez obvody a apotém.

Ďalší spôsob výpočtu bočného povrchu pravidelná pyramída, toto je vzorec cez uhly na základni a oblasť týchto základov.

Pozrime sa na príklad výpočtu. To si pamätáme tento vzorec platí len pre pravidelnú zrezanú pyramídu.

Nech je daná pravidelná štvoruholníková pyramída. Hrana spodnej základne je a = 6 cm a hrana hornej základne je b = 4 cm, uhol vzpriamenia základne je β = 60°. Nájdite bočnú plochu pravidelnej zrezanej pyramídy.

Najprv vypočítajme plochu základne. Keďže pyramída je pravidelná, všetky hrany podstav sú si navzájom rovné. Vzhľadom na to, že základňa je štvoruholník, chápeme, že bude potrebné vypočítať plocha námestia. Je to súčin šírky a dĺžky, ale pri druhej mocnine sú tieto hodnoty rovnaké. Nájdite oblasť väčšej základne:

Teraz použijeme nájdené hodnoty na výpočet bočného povrchu.

Keď poznáme niekoľko jednoduchých vzorcov, ľahko sme vypočítali plochu bočného lichobežníka zrezanej pyramídy pomocou rôznych hodnôt.

V tejto lekcii sa pozrieme na zrezanú pyramídu, zoznámime sa s bežnou zrezanou pyramídou a preštudujeme si ich vlastnosti.

Pripomeňme si koncept n-gonálnej pyramídy na príklade trojuholníkovej pyramídy. Je daný trojuholník ABC. Mimo roviny trojuholníka sa vezme bod P, spojený s vrcholmi trojuholníka. Výsledná polyedrická plocha sa nazýva pyramída (obr. 1).

Ryža. 1. Trojuholníková pyramída

Rozrežme pyramídu rovinou rovnobežnou s rovinou podstavy pyramídy. Útvar získaný medzi týmito rovinami sa nazýva zrezaný ihlan (obr. 2).

Ryža. 2. Zrezaná pyramída

Podstatné prvky:

Horná základňa;

ABC spodná základňa;

Bočná tvár;

Ak je PH výška pôvodnej pyramídy, potom je to výška zrezanej pyramídy.

Vlastnosti zrezaného ihlana vyplývajú zo spôsobu jeho konštrukcie, a to z rovnobežnosti rovín podstav:

Všetky bočné strany zrezanej pyramídy sú lichobežníky. Zoberme si napríklad okraj. Má vlastnosť rovnobežných rovín (keďže sú roviny rovnobežné, prerezávajú bočnú plochu pôvodnej pyramídy AVR pozdĺž rovnobežných priamok), ale zároveň nie sú rovnobežné. Je zrejmé, že štvoruholník je lichobežník, ako všetky bočné strany zrezanej pyramídy.

Pomer základov je rovnaký pre všetky lichobežníky:

Máme niekoľko párov podobných trojuholníkov s rovnakým koeficientom podobnosti. Napríklad trojuholníky a RAB sú podobné kvôli rovnobežnosti rovín a koeficientu podobnosti:

Zároveň sú trojuholníky a RVS podobné s koeficientom podobnosti:

Je zrejmé, že koeficienty podobnosti pre všetky tri páry podobných trojuholníkov sú rovnaké, takže pomer základov je rovnaký pre všetky lichobežníky.

Pravidelný zrezaný ihlan je zrezaný ihlan získaný rezom pravidelného ihlana s rovinou rovnobežnou so základňou (obr. 3).

Ryža. 3. Pravidelná zrezaná pyramída

Definícia.

Pyramída sa nazýva pravidelná, ak jej základňa je pravidelný n-uholník a jej vrchol sa premieta do stredu tohto n-uholníka (stred vpísanej a opísanej kružnice).

V tomto prípade je na základni pyramídy štvorec a vrchol sa premieta do priesečníka jej uhlopriečok. Výsledný pravidelný štvorhranný zrezaný ihlan ABCD má spodnú základňu a hornú základňu. Výška pôvodného ihlana je RO, zrezaného ihlana je (obr. 4).

Ryža. 4. Pravidelný štvorhranný zrezaný ihlan

Definícia.

Výška zrezaného ihlana je kolmica vedená z ktoréhokoľvek bodu jednej základne k rovine druhej základne.

Apotéma pôvodnej pyramídy je RM (M je stred AB), apotéma zrezanej pyramídy je (obr. 4).

Definícia.

Apotémom zrezanej pyramídy je výška ktorejkoľvek bočnej plochy.

Je zrejmé, že všetky bočné hrany zrezanej pyramídy sú si navzájom rovné, to znamená, že bočné steny sú rovnaké rovnoramenné lichobežníky.

Plocha bočného povrchu pravidelnej zrezanej pyramídy sa rovná súčinu polovice súčtu obvodov základní a apotému.

Dôkaz (pre pravidelný štvorhranný zrezaný ihlan - obr. 4):

Musíme teda dokázať:

Plocha bočného povrchu tu bude pozostávať zo súčtu plôch bočných plôch - lichobežníkov. Keďže lichobežníky sú rovnaké, máme:

Plocha rovnoramenného lichobežníka je súčinom polovice súčtu základní a výšky; apotém je výška lichobežníka. Máme:

Q.E.D.

Pre n-gonálnu pyramídu:

Kde n je počet bočných plôch pyramídy, a a b sú základne lichobežníka a je apotém.

Boky základne sú pravidelne zrezané štvorhranná pyramída rovné 3 cm a 9 cm, výška - 4 cm. Nájdite plochu bočného povrchu.

Ryža. 5. Ilustrácia problému 1

Riešenie. Ukážme si stav:

Opýtal sa: , ,

Bodom O vedieme priamku MN rovnobežnú s oboma stranami spodnej základne a podobne bodom vedieme priamku (obr. 6). Keďže štvorce a konštrukcie na základniach zrezaného ihlana sú rovnobežné, získame lichobežník rovný bočným plochám. Okrem toho bude jeho strana prechádzať stredom horného a spodného okraja bočných plôch a bude apotémom zrezaného ihlana.

Ryža. 6. Dodatočné konštrukcie

Uvažujme výsledný lichobežník (obr. 6). V tomto lichobežníku je známa horná základňa, spodná základňa a výška. Musíte nájsť stranu, ktorá je apotémou danej skrátenej pyramídy. Nakreslíme kolmo na MN. Z bodu znížime kolmú NQ. Zistili sme, že väčšia základňa je rozdelená na segmenty po troch centimetroch (). Uvažujme pravouhlý trojuholník, nohy v ňom sú známe, ide o egyptský trojuholník, pomocou Pytagorovej vety určíme dĺžku prepony: 5 cm.

Teraz existujú všetky prvky na určenie plochy bočného povrchu pyramídy:

Pyramídu pretína rovina rovnobežná so základňou. Na príklade trojuholníkovej pyramídy dokážte, že bočné hrany a výška pyramídy sú rozdelené touto rovinou na proporcionálne časti.

Dôkaz. Poďme na ilustráciu:

Ryža. 7. Ilustrácia k problému 2

Je daná pyramída RABC. PO - výška pyramídy. Pyramída je rezaná rovinou, získa sa zrezaná pyramída a. Bod - priesečník výšky RO s rovinou základne zrezaného ihlana. Je potrebné preukázať:

Kľúčom k riešeniu je vlastnosť rovnobežných rovín. Dve rovnobežné roviny pretínajú akúkoľvek tretiu rovinu tak, že priesečníky sú rovnobežné. Odtiaľ: . Rovnobežnosť zodpovedajúcich čiar znamená prítomnosť štyroch párov podobných trojuholníkov:

Z podobnosti trojuholníkov vyplýva proporcionalita zodpovedajúcich strán. Dôležitá vlastnosť je, že koeficienty podobnosti týchto trojuholníkov sú rovnaké:

Q.E.D.

Pravidelný trojuholníkový ihlan RABC s výškou a stranou podstavy je členený rovinou prechádzajúcou stredom výšky PH rovnobežnou so základňou ABC. Nájdite plochu bočného povrchu výslednej skrátenej pyramídy.

Riešenie. Poďme na ilustráciu:

Ryža. 8. Ilustrácia k problému 3

ACB je pravidelný trojuholník, H je stred tohto trojuholníka (stred vpísanej a opísanej kružnice). RM je apotém danej pyramídy. - apotém zrezanej pyramídy. Podľa vlastnosti rovnobežných rovín (dve rovnobežné roviny pretínajú ľubovoľnú tretiu rovinu tak, že priesečníky sú rovnobežné), máme niekoľko párov podobných trojuholníkov s rovnakým koeficientom podobnosti. Zaujíma nás najmä vzťah:

Poďme nájsť NM. Toto je polomer kruhu vpísaného do základne; poznáme zodpovedajúci vzorec:

Teraz od správny trojuholník RNM pomocou Pytagorovej vety nájdeme RM - apotém pôvodnej pyramídy:

Z počiatočného pomeru:

Teraz poznáme všetky prvky na nájdenie plochy bočného povrchu zrezanej pyramídy:

Zoznámili sme sa teda s pojmami zrezaná pyramída a pravidelná zrezaná pyramída, dali sme základné definície, preskúmali vlastnosti a dokázali vetu o ploche bočného povrchu. Ďalšia lekcia bude zameraná na riešenie problémov.

Bibliografia

I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. Geometria. Ročníky 10-11: učebnica pre žiakov vzdelávacie inštitúcie(základné a úrovne profilu) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. vydanie, rev. a dodatočné - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: chor.
Sharygin I. F. Geometria. 10-11 ročník: Učebnica pre všeobecné vzdelávanie vzdelávacie inštitúcie/ Sharygin I.F. - M.: Drop, 1999. - 208 s.: ill.
E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. Geometria. 10. ročník: Učebnica pre všeobecnovzdelávacie inštitúcie s prehlbovacím a špecializačným štúdiom matematiky /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. vyd., stereotyp. - M.: Drop, 2008. - 233 s.: chor.

Uztest.ru ().
Fmclass.ru ().
Webmath.exponenta.ru ().

Domáca úloha

29.05.2016
Oscilačný obvod - elektrický obvod obsahujúci tlmivku, kondenzátor a zdroj elektrická energia. Keď sú prvky obvodu zapojené do série, oscilačný obvod sa nazýva sériový a pri paralelnom zapojení sa nazýva paralelný. Oscilačný obvod je najjednoduchší systém, v ktorom môže dochádzať k voľným elektromagnetickým osciláciám. Rezonančná frekvencia obvodu je určená takzvaným Thomsonovým vzorcom: ƒ = 1/(2π√(LC)) Pre ...
20.09.2014
Prijímač je určený na príjem signálov v rozsahu DV (150 kHz…300 kHz). Hlavná prednosť prijímač v anténe, ktorá má väčšiu indukčnosť ako bežná magnetická anténa. To umožňuje využiť kapacitu ladiaceho kondenzátora v rozsahu 4...20 pF a taktiež má takýto prijímač prijateľnú citlivosť a mierny zisk vo VF ceste. Prijímač funguje pre slúchadlá (slúchadlá), je napájaný...
24.09.2014
Toto zariadenie je určené na monitorovanie hladiny kvapaliny v nádržiach hneď, ako kvapalina vystúpi stanovenú úroveň Keď hladina kvapaliny dosiahne hladinu, zariadenie začne nepretržite pípať kritická úroveň Zariadenie začne vydávať prerušovaný signál. Indikátor sa skladá z 2 generátorov, sú riadené senzorovým prvkom E. Je umiestnený v nádrži na úrovni do ...
22.09.2014
KR1016VI1 je digitálny multiprogramový časovač navrhnutý pre prácu s indikátorom ILC3-5\7. Poskytuje počítanie a zobrazenie aktuálneho času v hodinách a minútach, dňa v týždni a čísla riadiaceho kanálu (9 alarmov). Obvod budíka je znázornený na obrázku. Mikroobvod je taktovaný. rezonátor Q1 na 32768Hz. jedlo je negatívne, celkové plus ide do...

Pyramída. Skrátená pyramída

Pyramída je mnohosten, ktorého jedna plocha je mnohouholník ( základňu ) a všetky ostatné plochy sú trojuholníky so spoločným vrcholom ( bočné steny ) (obr. 15). Pyramída je tzv správne , ak je jeho základňa pravidelný mnohouholník a vrchol pyramídy sa premieta do stredu základne (obr. 16). Trojuholníková pyramída so všetkými rovnakými okrajmi sa nazýva štvorsten .

Bočné rebro pyramídy je strana bočnej steny, ktorá nepatrí k základni Výška pyramída je vzdialenosť od jej vrcholu k rovine základne. Všetky bočné hrany pravidelnej pyramídy sú si navzájom rovné, všetky bočné steny sú rovnaké rovnoramenné trojuholníky. Výška bočnej plochy pravidelnej pyramídy vytiahnutej z vrcholu sa nazýva apotéma . Diagonálny rez sa nazýva rez pyramídy rovinou prechádzajúcou dvoma bočnými hranami, ktoré nepatria k tej istej ploche.

Bočný povrch pyramída je súčet plôch všetkých bočných stien. Oblasť celoplošný sa nazýva súčet plôch všetkých bočných plôch a základne.

Vety

1. Ak sú v pyramíde všetky bočné hrany rovnako naklonené k rovine podstavy, potom sa vrchol pyramídy premieta do stredu kružnice opísanej v blízkosti podstavy.

2. Ak v pyramíde majú všetky bočné hrany rovnaké dĺžky, potom sa vrchol pyramídy premietne do stredu kružnice opísanej blízko základne.

3. Ak sú všetky steny pyramídy rovnako naklonené k rovine základne, potom sa vrchol pyramídy premieta do stredu kruhu vpísaného do základne.

Na výpočet objemu ľubovoľnej pyramídy je správny vzorec:

Kde V- objem;

S základňa– základná plocha;

H- výška pyramídy.

Pre pravidelnú pyramídu sú správne nasledujúce vzorce:

Kde p– obvod základne;

h a– apotéma;

H- výška;

S plný

S strana

S základňa– základná plocha;

V– objem pravidelnej pyramídy.

Skrátená pyramída nazývaná časť pyramídy uzavretá medzi základňou a reznou rovinou rovnobežnou so základňou pyramídy (obr. 17). Pravidelná zrezaná pyramída nazývaná časť pravidelnej pyramídy uzavretá medzi základňou a reznou rovinou rovnobežnou so základňou pyramídy.

Dôvody zrezaná pyramída - podobné mnohouholníky. Bočné plochy – lichobežníky. Výška zrezanej pyramídy je vzdialenosť medzi jej základňami. Uhlopriečka zrezaný ihlan je segment spájajúci jeho vrcholy, ktoré neležia na rovnakej ploche. Diagonálny rez je rez zrezaného ihlana rovinou prechádzajúcou dvoma bočnými hranami, ktoré nepatria k tej istej ploche.

Pre skrátenú pyramídu platia nasledujúce vzorce:

(4)

Kde S 1 , S 2 – plochy hornej a dolnej podstavy;

S plný– celková plocha;

S strana- bočný povrch;

H- výška;

V– objem zrezanej pyramídy.

Pre pravidelnú skrátenú pyramídu je vzorec správny:

Kde p 1 , p 2 – obvody podstavcov;

h a– apotéma pravidelného zrezaného ihlana.

Príklad 1 V pravo trojuholníková pyramída uhol vzpriamenia pri základni je 60º. Nájdite tangens uhla sklonu bočné rebro do základnej roviny.

Riešenie. Urobme si nákres (obr. 18).

Pyramída je pravidelná, čo znamená, že na základni je rovnostranný trojuholník a všetky bočné strany sú rovnaké rovnoramenné trojuholníky. Dihedrálny uhol pri základni je uhol sklonu bočnej plochy pyramídy k rovine základne. Lineárny uhol bude tam uhol a medzi dvoma kolmicami: atď. Vrchol pyramídy sa premieta do stredu trojuholníka (stred opísanej kružnice a vpísanej kružnice trojuholníka ABC). Uhol sklonu bočnej hrany (napr S.B.) je uhol medzi samotnou hranou a jej priemetom do roviny základne. Pre rebro S.B. tento uhol bude uhol SBD. Ak chcete nájsť dotyčnicu, musíte poznať nohy SO A O.B.. Nechajte dĺžku segmentu BD rovná sa 3 A. Bodka Oúsečka BD sa delí na časti: a Od nachádzame SO: Z toho nájdeme:

odpoveď:

Príklad 2 Nájdite objem pravidelného zrezaného štvorbokého ihlana, ak sú uhlopriečky jeho podstav rovné cm a cm a jeho výška je 4 cm.

Riešenie. Na zistenie objemu zrezanej pyramídy použijeme vzorec (4). Ak chcete nájsť oblasť základní, musíte nájsť strany základných štvorcov a poznať ich uhlopriečky. Strany podstav sa rovnajú 2 cm a 8 cm. To znamená plochy podstav a Nahradením všetkých údajov do vzorca vypočítame objem zrezanej pyramídy:

odpoveď: 112 cm 3.

Príklad 3 Nájdite plochu bočnej steny pravidelnej trojuholníkovej zrezanej pyramídy, ktorej strany základne sú 10 cm a 4 cm a výška pyramídy je 2 cm.

Riešenie. Urobme si nákres (obr. 19).

Bočná strana tejto pyramídy je rovnoramenný lichobežník. Na výpočet plochy lichobežníka potrebujete poznať základňu a výšku. Základy sú dané podľa stavu, neznáma ostáva len výška. Odkiaľ ju nájdeme A 1 E kolmo od bodu A 1 v rovine spodnej základne, A 1 D– kolmo od A 1 os AC. A 1 E= 2 cm, keďže toto je výška pyramídy. Nájsť DE Urobme si dodatočný nákres zobrazujúci pohľad zhora (obr. 20). Bodka O– premietanie stredov hornej a dolnej základne. keďže (pozri obr. 20) a Na druhej strane OK– polomer vpísaný do kruhu a OM- polomer vpísaný do kruhu:

MK = DE.

Podľa Pytagorovej vety z

Oblasť bočnej tváre:

odpoveď:

Príklad 4. Na základni pyramídy leží rovnoramenný lichobežník, ktorého základy A A b (a> b). Každá bočná plocha zviera uhol rovný rovine základne pyramídy j. Nájdite celkovú plochu pyramídy.

Riešenie. Urobme si nákres (obr. 21). Celková plocha pyramídy SABCD rovná súčtu plôch a plochy lichobežníka A B C D.

Použime tvrdenie, že ak sú všetky steny pyramídy rovnako naklonené k rovine podstavy, potom sa vrchol premieta do stredu kružnice vpísanej do podstavy. Bodka O– vrcholová projekcia S na základni pyramídy. Trojuholník SOD je ortogonálny priemet trojuholníka CSD do roviny základne. Pomocou vety o oblasti ortogonálnej projekcie rovinného útvaru získame:

Rovnako to znamená Problém sa teda zmenšil na nájdenie oblasti lichobežníka A B C D. Nakreslíme lichobežník A B C D samostatne (obr. 22). Bodka O– stred kruhu vpísaného do lichobežníka.

Keďže kruh môže byť vpísaný do lichobežníka, potom alebo Z Pytagorovej vety máme