Harmonic vibrations. Mathematical pendulum: period, acceleration at formula
(lat. malawak- magnitude) ay ang pinakamalaking paglihis ng isang oscillating body mula sa posisyon ng equilibrium nito.
Para sa isang pendulum, ito ang pinakamataas na distansya na inilalayo ng bola mula sa posisyon ng equilibrium nito (larawan sa ibaba). Para sa mga oscillations na may maliliit na amplitude, ang naturang distansya ay maaaring kunin bilang ang haba ng arc 01 o 02, at ang mga haba ng mga segment na ito.
Ang amplitude ng mga oscillations ay sinusukat sa mga yunit ng haba - metro, sentimetro, atbp. Sa oscillation graph, ang amplitude ay tinukoy bilang ang maximum (modulo) ordinate ng sinusoidal curve (tingnan ang figure sa ibaba).
Panahon ng oscillation.
Panahon ng oscillation- ito ang pinakamaikling yugto ng panahon kung saan ang isang sistemang nag-o-oscillating ay bumalik muli sa parehong estado kung saan ito ay sa unang sandali ng oras, pinili nang arbitraryo.
Sa madaling salita, ang oscillation period ( T) ay ang oras kung kailan nangyayari ang isang kumpletong oscillation. Halimbawa, sa figure sa ibaba, ito ang oras na aabutin para lumipat ang pendulum bob mula sa pinakakanang punto hanggang sa punto ng equilibrium. TUNGKOL SA sa dulong kaliwang punto at pabalik sa punto TUNGKOL SA muli sa dulong kanan.
Sa isang buong panahon ng oscillation, ang katawan ay naglalakbay sa isang landas na katumbas ng apat na amplitude. Ang panahon ng oscillation ay sinusukat sa mga yunit ng oras - segundo, minuto, atbp. Ang panahon ng oscillation ay maaaring matukoy mula sa isang kilalang graph ng oscillations (tingnan ang figure sa ibaba).
Ang konsepto ng "panahon ng oscillation", mahigpit na pagsasalita, ay may bisa lamang kapag ang mga halaga ng dami ng oscillating ay eksaktong paulit-ulit pagkatapos ng isang tiyak na tagal ng panahon, i.e. para sa mga harmonic oscillations. Gayunpaman, nalalapat din ang konseptong ito sa mga kaso ng humigit-kumulang umuulit na dami, halimbawa, para sa damped oscillations.
Dalas ng oscillation.
Dalas ng oscillation- ito ang bilang ng mga oscillation na ginawa sa bawat yunit ng oras, halimbawa, sa 1 s.
Ang SI unit ng frequency ay pinangalanan hertz(Hz) bilang parangal sa German physicist na si G. Hertz (1857-1894). Kung ang dalas ng oscillation ( v) ay katumbas ng 1 Hz, nangangahulugan ito na bawat segundo ay mayroong isang oscillation. Ang dalas at panahon ng mga oscillation ay nauugnay sa pamamagitan ng mga relasyon:
Sa teorya ng oscillations ginagamit din nila ang konsepto paikot, o pabilog na dalas ω . Ito ay nauugnay sa normal na dalas v at panahon ng oscillation T ratios:
.
Paikot na dalas ay ang bilang ng mga oscillation na ginawa sa bawat 2π segundo
Oscillatory motion- panaka-nakang o halos pana-panahong paggalaw ng isang katawan, ang coordinate, bilis at acceleration kung saan sa magkaparehong pagitan ng oras ay tumatagal ng humigit-kumulang sa parehong mga halaga.
Ang mga mekanikal na panginginig ng boses ay nangyayari kapag, kapag ang isang katawan ay inalis mula sa isang ekwilibriyo na posisyon, ang isang puwersa ay lilitaw na may posibilidad na ibalik ang katawan pabalik.
Ang displacement x ay ang paglihis ng katawan mula sa posisyon ng ekwilibriyo.
Ang Amplitude A ay ang module ng maximum na displacement ng katawan.
Panahon ng oscillation T - oras ng isang oscillation:
Dalas ng oscillation
Ang bilang ng mga oscillations na ginagawa ng isang katawan sa bawat yunit ng oras: Sa panahon ng oscillations, ang bilis at acceleration ay pana-panahong nagbabago. Sa posisyon ng equilibrium, ang bilis ay pinakamataas at ang acceleration ay zero. Sa mga punto ng maximum na pag-aalis, ang acceleration ay umabot sa isang maximum at ang bilis ay nagiging zero.
HARMONIC VIBRATION SCHEDULE
Harmonic Ang mga vibrations na nangyayari ayon sa batas ng sine o cosine ay tinatawag na:
kung saan ang x(t) ay ang displacement ng system sa oras na t, A ay ang amplitude, ω ay ang cyclic frequency ng oscillations.
Kung ang paglihis ng katawan mula sa posisyon ng balanse ay naka-plot sa kahabaan ng vertical axis, at oras kasama ang pahalang na axis, makakakuha ka ng isang graph ng oscillation x = x(t) - ang pag-asa ng pag-aalis ng katawan sa oras. Para sa libreng harmonic oscillations, ito ay isang sine wave o cosine wave. Ang figure ay nagpapakita ng mga graph ng dependence ng displacement x, projection ng velocity V x at acceleration a x on time.
Tulad ng makikita mula sa mga graph, sa maximum na displacement x, ang bilis ng V ng oscillating body ay zero, ang acceleration a, at samakatuwid ang puwersa na kumikilos sa katawan, ay maximum at nakadirekta sa tapat ng displacement. Sa posisyon ng equilibrium, ang displacement at acceleration ay nagiging zero, at ang bilis ay maximum. Ang acceleration projection ay palaging may kabaligtaran na senyales sa displacement.
ENERHIYA NG VIBRATIONAL MOTION
Ang kabuuang mekanikal na enerhiya ng isang oscillating body ay katumbas ng kabuuan ng kinetic at potensyal na enerhiya nito at, sa kawalan ng friction, ay nananatiling pare-pareho:
Sa sandaling ang pag-aalis ay umabot sa isang maximum na x = A, ang bilis, at kasama nito ang kinetic energy, ay napupunta sa zero.
Sa kasong ito, ang kabuuang enerhiya ay katumbas ng potensyal na enerhiya:
Ang kabuuang mekanikal na enerhiya ng isang oscillating body ay proporsyonal sa parisukat ng amplitude ng mga oscillations nito.
Kapag ang sistema ay pumasa sa equilibrium na posisyon, ang displacement at potensyal na enerhiya ay zero: x = 0, E p = 0. Samakatuwid, ang kabuuang enerhiya ay katumbas ng kinetic energy:
Ang kabuuang mekanikal na enerhiya ng isang oscillating body ay proporsyonal sa parisukat ng bilis nito sa posisyon ng equilibrium. Kaya naman:
MATHEMATICAL PENDULUM
1. Math pendulum ay isang materyal na punto na nasuspinde sa isang walang timbang na hindi mapalawak na sinulid.
Sa posisyon ng balanse, ang puwersa ng grabidad ay binabayaran ng pag-igting ng sinulid. Kung ang pendulum ay pinalihis at pinakawalan, ang mga puwersa ay titigil sa pagbabayad sa isa't isa, at ang isang resultang puwersa ay babangon patungo sa posisyon ng ekwilibriyo. Pangalawang batas ni Newton:
Para sa maliliit na oscillations, kapag ang displacement x ay mas mababa sa l, ang materyal na punto ay lilipat halos kasama ang pahalang na x axis. Pagkatapos ay mula sa tatsulok na MAB nakukuha natin:
kasi kasalanan a = x/l, pagkatapos ay ang projection ng nagresultang puwersa R papunta sa x axis ay katumbas ng
Ang minus sign ay nagpapakita na ang puwersa R ay palaging nakadirekta sa tapat ng displacement x.
2. Kaya, sa panahon ng mga oscillations ng isang mathematical pendulum, pati na rin sa panahon ng oscillations ng isang spring pendulum, ang restoring force ay proporsyonal sa displacement at nakadirekta sa tapat na direksyon.
Ihambing natin ang mga expression para sa pagpapanumbalik ng puwersa ng mathematical at spring pendulum:
Makikita na ang mg/l ay isang analogue ng k. Ang pagpapalit ng k ng mg/l sa formula para sa panahon ng spring pendulum
nakukuha namin ang formula para sa panahon ng isang mathematical pendulum:
Ang panahon ng maliliit na oscillations ng isang mathematical pendulum ay hindi nakadepende sa amplitude.
Ang isang mathematical pendulum ay ginagamit upang sukatin ang oras at matukoy ang acceleration ng gravity sa isang partikular na lokasyon sa ibabaw ng mundo.
Ang mga libreng oscillations ng isang mathematical pendulum sa maliliit na anggulo ng pagpapalihis ay magkatugma. Nangyayari ang mga ito dahil sa nagreresultang puwersa ng gravity at ang puwersa ng pag-igting ng sinulid, pati na rin ang pagkawalang-kilos ng pagkarga. Ang resulta ng mga puwersang ito ay ang puwersang nagpapanumbalik.
Halimbawa. Tukuyin ang acceleration dahil sa gravity sa isang planeta kung saan ang isang pendulum na 6.25 m ang haba ay may panahon ng libreng oscillation na 3.14 s.
Ang panahon ng oscillation ng isang mathematical pendulum ay depende sa haba ng thread at sa acceleration ng gravity:
Sa pamamagitan ng pag-squaring sa magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay, nakukuha natin ang:
Sagot: ang acceleration ng gravity ay 25 m/s 2 .
Mga problema at pagsubok sa paksang "Topic 4. "Mechanics. Mga oscillations at waves."
- Transverse at longitudinal waves. Haba ng daluyong
Aralin: 3 Takdang-Aralin: 9 Pagsusulit: 1
- Mga sound wave. Bilis ng tunog - Mga mekanikal na panginginig ng boses at alon. Tunog ika-9 na baitang
Math pendulum
Panimula
Panahon ng oscillation
mga konklusyon
Panitikan
Panimula
Ngayon hindi na posible na i-verify ang alamat tungkol sa kung paano si Galileo, na nakatayo sa panalangin sa katedral, ay maingat na pinanood ang pag-indayog ng mga tansong chandelier. Pinagmasdan ko at tinukoy ang oras na ginugol ng chandelier na pabalik-balik. Ang panahong ito ay tinawag na panahon ng oscillation. Walang relo si Galileo, at upang ihambing ang panahon ng oscillation ng mga chandelier na nasuspinde sa mga kadena ng iba't ibang haba, ginamit niya ang dalas ng kanyang pulso.
Ang mga pendulum ay ginagamit upang ayusin ang bilis ng mga orasan, dahil ang anumang pendulum ay may napakaspesipikong panahon ng oscillation. Nakahanap din ang pendulum ng mahahalagang aplikasyon sa paggalugad ng geological. Ito ay kilala na sa iba't ibang lugar sa buong mundo ang mga halaga g ay magkaiba. Ang mga ito ay naiiba dahil ang Earth ay hindi isang ganap na regular na globo. Bilang karagdagan, sa mga lugar kung saan nagaganap ang mga makakapal na bato, tulad ng ilang mga metal ores, ang halaga g abnormal na mataas. Tumpak na mga sukat g sa tulong ng isang mathematical pendulum minsan posible na matukoy ang mga naturang deposito.
Equation ng paggalaw ng isang mathematical pendulum
Ang mathematical pendulum ay isang mabigat na materyal na punto na gumagalaw sa kahabaan ng patayong bilog (flat mathematical pendulum) o kasama ng sphere (spherical pendulum). Sa unang pagtataya, ang isang mathematical pendulum ay maaaring ituring na isang maliit na load na sinuspinde sa isang inextensible flexible thread.
Isaalang-alang natin ang galaw ng isang patag na mathematical pendulum sa isang bilog na radius l nakasentro sa isang punto TUNGKOL SA(Larawan 1). Tutukuyin natin ang posisyon ng punto M(pendulum) anggulo ng deviation j radius OM mula sa patayo. Nagdidirekta ng tangent M t patungo sa positibong anggulo j, bubuo tayo ng natural na equation ng paggalaw. Ang equation na ito ay nabuo mula sa equation of motion
mW=F+N, (1)
saan F ay ang aktibong puwersa na kumikilos sa punto, at N- reaksyon ng komunikasyon.
Larawan 1
Nakuha namin ang equation (1) ayon sa pangalawang batas ni Newton, na siyang pangunahing batas ng dinamika at nagsasaad na ang derivative ng oras ng momentum ng isang materyal na punto ay katumbas ng puwersang kumikilos dito, i.e.
Kung ipagpalagay na ang masa ay pare-pareho, maaari nating katawanin ang nakaraang equation sa anyo
saan W ay ang acceleration ng point.
Kaya't ang equation (1) sa projection sa t axis ay magbibigay sa atin ng isa sa mga natural na equation para sa paggalaw ng isang punto kasama ang isang naibigay na nakapirming makinis na kurba:
Sa aming kaso, nakukuha namin sa projection papunta sa t axis
,
saan m may masa ng pendulum.
Since or , from here we find
.
Pagbawas ng m at naniniwala
, (3)
magkakaroon tayo ng:
,
,
,
. (4)
Isaalang-alang muna natin ang kaso ng maliliit na oscillation. Hayaan sa unang sandali na ang pendulum ay ilihis mula sa patayo ng isang anggulo j at ibinaba nang walang paunang bilis. Pagkatapos ang mga paunang kondisyon ay:
sa t= 0, 
. (5)
Mula sa integral ng enerhiya:
, (6)
saan V- potensyal na enerhiya, at h ay ang integration constant, ito ay sumusunod na sa ilalim ng mga kundisyong ito sa anumang oras ang anggulo jЈj 0 . Patuloy na halaga h natukoy mula sa paunang data. Ipagpalagay natin na ang anggulo j 0 ay maliit (j 0 Ј1); kung gayon ang anggulo j ay magiging maliit din at maaari naming humigit-kumulang na itakda ang sinj»j. Sa kasong ito, ang equation (4) ay kukuha ng form
. (7)
Ang equation (7) ay ang differential equation ng isang simpleng harmonic oscillation. Ang pangkalahatang solusyon sa equation na ito ay
, (8)
saan A At B o a at ang e ay mga pare-pareho ng pagsasama.
Mula dito ay agad nating nahahanap ang panahon ( T) maliliit na oscillations ng isang mathematical pendulum (panahon - ang tagal ng panahon kung saan ang punto ay bumalik sa dati nitong posisyon sa parehong bilis)
At 
,
kasi ang kasalanan ay may panahon na katumbas ng 2p, pagkatapos ay w T=2p Yu
(9)
Upang mahanap ang batas ng paggalaw sa ilalim ng mga paunang kondisyon (5), kinakalkula namin:
. (10)
Ang pagpapalit ng mga halaga (5) sa mga equation (8) at (10), nakukuha namin:
j 0 = A, 0 = w B,
mga. B=0. Dahil dito, ang batas ng paggalaw para sa maliliit na oscillation sa ilalim ng mga kondisyon (5) ay magiging:
j = j 0 cos wt. (labing isang)
Hanapin natin ngayon ang eksaktong solusyon sa problema ng flat mathematical pendulum. Alamin muna natin ang unang integral ng equation ng paggalaw (4). kasi
,
pagkatapos (4) ay maaaring katawanin bilang
.
Samakatuwid, ang pagpaparami ng magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng d j at pagsasama, nakukuha namin:
. (12)
Ipahiwatig natin dito j 0 ang anggulo ng pinakamataas na pagpapalihis ng pendulum; pagkatapos ay para sa j = j 0 magkakaroon tayo, kung saan C= w 2 cosj 0 . Bilang resulta, ang integral (12) ay nagbibigay ng:
, (13)
kung saan ang w ay tinutukoy ng pagkakapantay-pantay (3).
Ang integral na ito ay ang integral ng enerhiya at maaaring direktang makuha mula sa equation
, (14)
saan ang trabaho sa paglipat M 0 M aktibong puwersa F, kung isasaalang-alang natin iyon sa ating kaso v 0 =0, at (tingnan ang figure).
Mula sa equation (13) malinaw na kapag gumagalaw ang pendulum, magbabago ang anggulo j sa pagitan ng mga halaga +j 0 at -j 0 (|j|Јj 0, since), i.e. ang pendulum ay magsasagawa ng oscillating motion. Magkasundo tayo na magbilang ng oras t mula sa sandaling dumaan ang pendulum sa patayo O.A. kapag lumipat ito sa kanan (tingnan ang figure). Pagkatapos ay magkakaroon tayo ng paunang kondisyon:
sa t=0, j=0. (15)
Bilang karagdagan, kapag lumilipat mula sa isang punto A kalooban ; pagkuha ng square root mula sa magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay (13), makuha natin ang:
.
Ang paghihiwalay ng mga variable dito, mayroon kaming:
. (16)
, 
,
yun
.
Ang pagpapalit ng resultang ito sa equation (16), makuha namin.
Ang panahon ng oscillation ng isang mathematical pendulum ay depende sa haba ng thread: habang bumababa ang haba ng thread, bumababa ang panahon ng oscillation
Para sa isang mathematical pendulum, nasiyahan ang ilang batas:
1 batas. Kung, habang pinapanatili ang parehong haba ng pendulum, sinuspinde namin ang iba't ibang mga pag-load (halimbawa, 5 kg at 100 kg), kung gayon ang panahon ng oscillation ay magiging pareho, kahit na ang mga masa ng mga load ay ibang-iba. Ang panahon ng isang mathematical pendulum ay hindi nakadepende sa masa ng load.
ika-2 batas. Kung ang pendulum ay pinalihis ng iba't ibang ngunit maliliit na anggulo, pagkatapos ay mag-oscillate ito sa parehong panahon, kahit na may iba't ibang mga amplitude. Hangga't maliit ang amplitude ng pendulum, ang mga oscillations sa kanilang anyo ay magiging katulad ng mga harmonic, at pagkatapos ay ang panahon ng mathematical pendulum ay hindi nakasalalay sa amplitude ng mga oscillations. Ang katangiang ito ay tinatawag na isochronism.
Kunin natin ang formula para sa panahon ng isang mathematical pendulum.
Ang load m ng isang mathematical pendulum ay ginagampanan ng puwersa ng gravity mg at ng elastic force ng thread na Fynp. Idirekta natin ang 0X axis sa kahabaan ng tangent patungo sa pataas na trajectory ng paggalaw. Isulat natin ang pangalawang batas ni Newton para sa kasong ito:
Ipinapalabas namin ang lahat sa axis ng OX:
Sa maliliit na anggulo
Pagkatapos gumawa ng mga pagpapalit at maliliit na pagbabago, nakuha namin na ang equation ay mukhang:
Ang paghahambing ng nagresultang expression sa equation ng harmonic vibrations, nakukuha natin:
Mula sa equation makikita na ang cyclic frequency ng spring pendulum ay magkakaroon ng form:
Kung gayon ang panahon ng mathematical pendulum ay magiging katumbas ng:
Ang panahon ng isang mathematical pendulum ay nakasalalay lamang sa acceleration ng gravity g at sa haba ng pendulum l. Mula sa nagresultang pormula ay sumusunod na ang panahon ng pendulum ay hindi nakasalalay sa masa at amplitude nito (sa kondisyon na ito ay sapat na maliit). Nagtatag din kami ng isang quantitative na relasyon sa pagitan ng panahon ng pendulum, ang haba nito at ang acceleration ng gravity. Ang panahon ng isang mathematical pendulum ay proporsyonal sa square root ng ratio ng haba ng pendulum sa acceleration ng gravity. Ang proportionality factor ay 2p
Mayroon ding:
Panahon ng isang spring pendulum
Panahon ng isang pisikal na pendulum 
Panahon ng isang torsion pendulum
Bilang isang konkretong halimbawa ng isang katawan na umiikot sa paligid ng isang axis, isaalang-alang ang paggalaw ng mga pendulum.
Ang pisikal na pendulum ay isang matibay na katawan na may pahalang na axis ng pag-ikot sa paligid kung saan ito ay nagsasagawa ng mga oscillatory na paggalaw sa ilalim ng impluwensya ng bigat nito (Larawan 119).
Ang posisyon ng pendulum ay ganap na tinutukoy ng anggulo ng paglihis nito mula sa posisyon ng ekwilibriyo, at samakatuwid, upang matukoy ang batas ng paggalaw ng pendulum, sapat na upang mahanap ang pagtitiwala ng anggulong ito sa oras.
Equation ng form:
ay tinatawag na equation (batas) ng paggalaw ng isang pendulum. Depende ito sa mga paunang kondisyon, ibig sabihin, sa anggulo at angular na bilis. Kaya,
Ang limiting case ng isang physical Pendulum ay isang mathematical pendulum, na kumakatawan (tulad ng naunang sinabi - Kabanata 2, § 3) isang materyal na punto na konektado sa pahalang na axis sa paligid kung saan ito umiikot sa pamamagitan ng isang matibay na walang timbang na baras (Fig. 120). Ang distansya ng isang materyal na punto mula sa axis ng pag-ikot ay tinatawag na haba ng isang mathematical pendulum.
Mga equation ng motion ng physical at mathematical pendulum
Pumili tayo ng isang sistema ng mga coordinate axes upang ang xy plane ay dumaan sa gitna ng gravity ng katawan C at tumutugma sa swing plane ng pendulum, tulad ng ipinapakita sa drawing (Fig. 119). Idirekta natin ang axis na patayo sa drawing plane patungo sa amin. Pagkatapos, batay sa mga resulta ng nakaraang talata, isinusulat namin ang equation ng paggalaw ng isang pisikal na pendulum sa anyo:
kung saan ang through ay tumutukoy sa sandali ng pagkawalang-galaw ng pendulum na may kaugnayan sa axis ng pag-ikot nito at
Kaya maaari kang sumulat:
Ang aktibong puwersa na kumikilos sa pendulum ay ang bigat nito, ang sandali kung saan nauugnay sa axis ng timbang ay:
saan ang distansya mula sa axis ng pag-ikot ng pendulum hanggang sa sentro ng mass C.
Dahil dito, dumating tayo sa sumusunod na equation ng paggalaw ng isang pisikal na pendulum:
Dahil ang isang mathematical pendulum ay isang espesyal na kaso ng isang pisikal, ang differential equation na nakasulat sa itaas ay valid din para sa isang mathematical pendulum. Kung ang haba ng isang mathematical pendulum ay katumbas ng at ang bigat nito, ang moment of inertia na nauugnay sa axis ng pag-ikot ay katumbas ng
Dahil ang distansya ng center of gravity ng isang mathematical pendulum mula sa axis ay pantay, ang huling differential equation ng paggalaw ng isang mathematical pendulum ay maaaring isulat sa anyo:
Pinababang haba ng isang pisikal na pendulum
Paghahambing ng mga equation (16.8) at (16.9), maaari nating tapusin na kung ang mga parameter ng pisikal at mathematical na pendulum ay nauugnay sa kaugnayan
pagkatapos ay ang mga batas ng paggalaw ng pisikal at matematikal na mga pendulum ay pareho (sa ilalim ng parehong mga paunang kondisyon).
Ang huling kaugnayan ay nagpapahiwatig ng haba na dapat taglayin ng isang mathematical pendulum upang makagalaw sa parehong paraan tulad ng katumbas na pisikal na pendulum. Ang haba na ito ay tinatawag na pinababang haba ng pisikal na pendulum. Ang kahulugan ng konseptong ito ay ang pag-aaral ng paggalaw ng isang pisikal na pendulum ay maaaring mapalitan ng pag-aaral ng paggalaw ng isang mathematical pendulum, na isang simpleng mekanikal na circuit.
Unang integral ng equation of motion ng isang pendulum
Ang mga equation ng paggalaw ng pisikal at mathematical na mga pendulum ay may parehong anyo, samakatuwid, ang equation ng kanilang paggalaw ay magiging
Dahil ang tanging puwersa na isinasaalang-alang sa equation na ito ay ang puwersa ng grabidad na kabilang sa potensyal na patlang ng puwersa, ang batas ng konserbasyon ng mekanikal na enerhiya ay humahawak.
Ang huli ay maaaring makuha sa isang simpleng paraan, ibig sabihin, pinarami natin ang equation (16.10) noon.
Ang pagsasama ng equation na ito, nakukuha namin
Ang pagtukoy sa pare-pareho ng pagsasama ng Cu mula sa mga paunang kondisyon, nakita namin
Paglutas ng huling equation para sa kamag-anak na nakukuha namin
Ang kaugnayang ito ay kumakatawan sa unang integral ng differential equation (16.10).
Pagpapasiya ng mga reaksyon ng suporta ng mga pisikal at matematikal na pendulum
Ang unang integral ng mga equation ng paggalaw ay nagpapahintulot sa amin na matukoy ang mga reaksyon ng suporta ng mga pendulum. Tulad ng ipinahiwatig sa nakaraang talata, ang mga reaksyon ng suporta ay tinutukoy mula sa mga equation (16.5). Sa kaso ng isang pisikal na pendulum, ang mga bahagi ng aktibong puwersa kasama ang mga coordinate axes at ang mga sandali nito na nauugnay sa mga axes ay magiging:
Ang mga coordinate ng sentro ng masa ay tinutukoy ng mga formula:
Pagkatapos ang mga equation para sa pagtukoy ng mga reaksyon ng suporta ay nasa anyo:
Ang mga sentripugal na sandali ng pagkawalang-kilos ng katawan at ang mga distansya sa pagitan ng mga suporta ay dapat malaman ayon sa mga kondisyon ng problema. Ang angular acceleration b at angular velocity с ay tinutukoy mula sa mga equation (16.9) at (16.4) sa anyo:
Kaya, ang mga equation (16.12) ay ganap na tinutukoy ang mga bahagi ng suportang reaksyon ng isang pisikal na pendulum.
Ang mga equation (16.12) ay higit na pinasimple kung isasaalang-alang natin ang isang mathematical pendulum. Sa katunayan, dahil ang materyal na punto ng isang mathematical pendulum ay matatagpuan sa eroplano, at Bilang karagdagan, dahil ang isang punto ay naayos, kung gayon, ang mga equation (16.12) ay nagiging mga equation ng anyo:
Mula sa mga equation (16.13) gamit ang equation (16.9) sumusunod na ang reaksyon ng suporta ay nakadirekta sa thread I (Fig. 120). Ang huli ay isang malinaw na resulta. Dahil dito, i-project ang mga bahagi ng equalities (16.13) sa direksyon ng thread, nakahanap kami ng equation para sa pagtukoy ng reaksyon ng suporta ng form (Fig. 120):
Ang pagpapalit ng halaga dito at isinasaalang-alang ang isinusulat namin:
Tinutukoy ng huling kaugnayan ang dynamic na tugon ng isang mathematical pendulum. Tandaan na ang static na reaksyon nito ay magiging
Kwalitatibong pag-aaral ng kalikasan ng paggalaw ng isang pendulum
Ang unang integral ng equation of motion ng isang pendulum ay nagpapahintulot sa amin na magsagawa ng isang husay na pag-aaral ng likas na katangian ng paggalaw nito. Ibig sabihin, isinusulat namin ang integral na ito (16.11) sa anyo:
Sa panahon ng paggalaw, ang radikal na pagpapahayag ay dapat maging positibo o maglaho sa ilang mga punto. Ipagpalagay natin na ang mga paunang kondisyon ay ganoon
Sa kasong ito, ang radikal na pagpapahayag ay hindi naglalaho kahit saan. Dahil dito, kapag gumagalaw, ang pendulum ay dadaan sa lahat ng mga halaga ng anggulo at ang angular velocity mula sa pendulum ay may parehong sign, na tinutukoy ng direksyon ng paunang angular velocity, o ang anggulo ay tataas ang lahat ng oras o pagbaba sa lahat ng oras, ibig sabihin, ang pendulum ay iikot sa isang gilid.
Ang mga direksyon ng paggalaw ay tumutugma sa isa o ibang palatandaan sa expression (16.11). Ang isang kinakailangang kondisyon para sa pagpapatupad ng naturang paggalaw ay ang pagkakaroon ng isang paunang bilis ng anggular, dahil malinaw mula sa hindi pagkakapantay-pantay (16.14) na imposibleng makuha ang gayong paggalaw ng pendulum sa anumang paunang anggulo ng pagpapalihis.
Hayaan ngayon ang mga paunang kondisyon ay ganoon
Sa kasong ito, mayroong dalawang ganoong mga halaga ng anggulo kung saan ang radikal na expression ay nagiging zero. Hayaan silang tumugma sa mga anggulo na tinukoy ng pagkakapantay-pantay
Bukod dito, ito ay nasa isang lugar sa hanay mula 0 hanggang . Dagdag pa, ito ay malinaw na kapag
ang radikal na expression (16.11) ay magiging positibo at para sa di-makatwirang paglampas nito ay magiging negatibo.
Dahil dito, kapag gumagalaw ang pendulum, nagbabago ang anggulo nito sa hanay:
Kapag ang angular velocity ng pendulum ay napunta sa zero at ang anggulo ay nagsimulang bumaba sa halaga. Sa kasong ito, magbabago ang sign ng angular velocity o ang sign sa harap ng radical sa expression (16.11). Kapag ang angular velocity ng pendulum ay umabot muli sa zero at ang anggulo ay muling nagsimulang tumaas sa halaga
Kaya, ang pendulum ay gagawa ng mga oscillatory na paggalaw
Amplitude ng pendulum oscillations
Kapag nag-oscillate ang pendulum, ang pinakamataas na halaga ng paglihis nito mula sa vertical ay tinatawag na amplitude ng oscillation. Ito ay katumbas ng kung saan ay tinutukoy mula sa pagkakapantay-pantay
Tulad ng sumusunod mula sa huling formula, ang amplitude ng oscillation ay nakasalalay sa paunang data ng mga pangunahing katangian ng pendulum o ang pinababang haba nito.
Sa partikular na kaso, kapag ang pendulum ay pinalihis mula sa posisyon ng balanse at inilabas nang walang paunang bilis, kung gayon ito ay magiging katumbas ng , samakatuwid, ang amplitude ay hindi nakasalalay sa pinababang haba.
Equation ng paggalaw ng isang pendulum sa huling anyo
Hayaang maging zero ang paunang bilis ng pendulum, kung gayon ang unang integral ng equation ng paggalaw nito ay:
Ang pagsasama ng equation na ito, nakita namin
Magbibilang kami ng oras mula sa posisyon ng pendulum, na katumbas noon
Ibahin natin ang integrand gamit ang formula:
Pagkatapos makuha namin:
Ang resultang integral ay tinatawag na elliptic integral ng unang uri. Hindi ito maaaring ipahayag gamit ang isang may hangganang bilang ng elementarya na pag-andar.
Ang inversion ng elliptic integral (16.15) na may paggalang sa itaas na limitasyon nito ay kumakatawan sa equation ng paggalaw ng pendulum:
Ito ang magiging mahusay na pinag-aralan na Jacobi elliptic function.
Panahon ng pendulum oscillation
Ang oras na kinuha para sa isang kumpletong oscillation ng isang pendulum ay tinatawag na period of oscillation nito. Tukuyin natin itong T. Dahil ang oras ng paggalaw ng pendulum mula sa posisyon patungo sa posisyon ay kapareho ng oras ng paggalaw mula noon T ay matutukoy ng formula:
Gumawa tayo ng pagbabago ng mga variable sa pamamagitan ng paglalagay
Kapag nag-iiba mula 0 hanggang 0 ay magbabago mula 0 hanggang . Dagdag pa,
at samakatuwid
Ang huling integral ay tinatawag na isang kumpletong elliptic integral ng unang uri (ang mga halaga nito ay ibinibigay sa mga espesyal na talahanayan).
Kapag ang integrand ay may kaugaliang pagkakaisa at .
Tinatayang mga formula para sa maliliit na oscillations ng isang pendulum
Sa kaso kapag ang mga oscillations ng pendulum ay may maliit na amplitude (halos hindi dapat lumagpas sa 20°), maaari mong ilagay
Pagkatapos ang differential equation ng paggalaw ng pendulum ay tumatagal ng anyo:
