Invertible matrice. Mas mataas na matematika

Ang paksang ito ay isa sa pinakakinasusuklaman ng mga mag-aaral. Ang mas masahol pa, malamang, ay ang mga kwalipikado.

Ang lansihin ay ang mismong konsepto ng isang kabaligtaran na elemento (at hindi lang ako nagsasalita tungkol sa mga matrice) ay tumutukoy sa atin sa pagpapatakbo ng multiplikasyon. Kahit na sa kurikulum ng paaralan, ang pagpaparami ay itinuturing na isang kumplikadong operasyon, at ang pagpaparami ng mga matrice ay karaniwang isang hiwalay na paksa, kung saan mayroon akong isang buong talata at aralin sa video na nakatuon.

Ngayon hindi kami pupunta sa mga detalye ng mga kalkulasyon ng matrix. Tandaan lamang natin: kung paano itinalaga ang mga matrice, kung paano sila pinaparami, at kung ano ang kasunod nito.

Balik-aral: Matrix Multiplication

Una sa lahat, magkasundo tayo sa notasyon. Ang isang matrix na $A$ na may sukat na $\left[ m\times n \right]$ ay simpleng talahanayan ng mga numero na may eksaktong $m$ na mga hilera at $n$ na mga column:

\=\underbrace(\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ ((( a)_(21)) at ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) at ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(matrix) \kanan])_(n)\]

Upang maiwasan ang hindi sinasadyang paghahalo ng mga hilera at haligi (maniwala ka sa akin, sa isang pagsusulit maaari mong malito ang isa sa dalawa, pabayaan ang ilang mga hilera), tingnan lamang ang larawan:

Anong nangyayari? Kung ilalagay mo ang karaniwang coordinate system na $OXY$ sa kaliwang sulok sa itaas at idirekta ang mga axes upang masakop ng mga ito ang buong matrix, kung gayon ang bawat cell ng matrix na ito ay maaaring natatanging nauugnay sa mga coordinate $\left(x;y \right)$ - ito ang magiging row number at column number.

Bakit nakalagay ang coordinate system sa kaliwang sulok sa itaas? Oo, dahil doon tayo magsisimulang magbasa ng anumang mga teksto. Napakadaling tandaan.

Bakit ang $x$ axis ay nakadirekta pababa at hindi sa kanan? Muli, simple lang ito: kumuha ng karaniwang coordinate system (ang $x$ axis ay papunta sa kanan, ang $y$ axis ay pataas) at i-rotate ito upang masakop nito ang matrix. Ito ay 90 degree clockwise rotation - nakikita natin ang resulta sa larawan.

Sa pangkalahatan, naisip namin kung paano matukoy ang mga indeks ng mga elemento ng matrix. Ngayon tingnan natin ang multiplikasyon.

Kahulugan. Ang mga matrice na $A=\left[ m\times n \right]$ at $B=\left[ n\times k \right]$, kapag ang bilang ng mga column sa una ay tumutugma sa bilang ng mga row sa pangalawa, ay tinatawag na pare-pareho.

Eksakto sa ayos na iyon. Maaaring malito ang isa at sabihin na ang mga matrice na $A$ at $B$ ay bumubuo ng isang nakaayos na pares $\left(A;B \right)$: kung pare-pareho ang mga ito sa pagkakasunud-sunod na ito, kung gayon hindi na kailangan na $B $ at $A$ ang mga iyon. pare-pareho din ang pares na $\left(B;A \right)$.

Ang mga katugmang matrice lamang ang maaaring i-multiply.

Kahulugan. Ang produkto ng mga katugmang matrice na $A=\left[ m\times n \right]$ at $B=\left[ n\times k \right]$ ay ang bagong matrix na $C=\left[ m\times k \right ]$ , ang mga elemento kung saan ang $((c)_(ij))$ ay kinakalkula ayon sa formula:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

Sa madaling salita: para makuha ang elementong $((c)_(ij))$ ng matrix $C=A\cdot B$, kailangan mong kunin ang $i$-row ng unang matrix, ang $j$ -th column ng pangalawang matrix, at pagkatapos ay i-multiply sa mga pares na elemento mula sa row at column na ito. Idagdag ang mga resulta.

Oo, iyon ay isang malupit na kahulugan. Maraming mga katotohanan ang kaagad na sumusunod dito:

1. Ang pagpaparami ng matrix, sa pangkalahatan, ay hindi commutative: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. Gayunpaman, ang multiplikasyon ay nag-uugnay: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
3. At kahit na distributively: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. At muli sa pamamahagi: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

Ang distributivity ng multiplication ay kailangang ilarawan nang hiwalay para sa kaliwa at kanang sum factor nang tumpak dahil sa non-commutativity ng multiplication operation.

Kung ito ay lumabas na $A\cdot B=B\cdot A$, ang mga naturang matrice ay tinatawag na commutative.

Sa lahat ng mga matrice na pinarami ng isang bagay doon, may mga espesyal - yaong, kapag pinarami ng anumang matrix na $A$, muling nagbibigay ng $A$:

Kahulugan. Ang isang matrix na $E$ ay tinatawag na pagkakakilanlan kung $A\cdot E=A$ o $E\cdot A=A$. Sa kaso ng isang square matrix $A$ maaari naming isulat:

Ang identity matrix ay isang madalas na panauhin kapag nilulutas ang mga equation ng matrix. At sa pangkalahatan, isang madalas na panauhin sa mundo ng mga matrice. :)

At dahil dito sa $E$, may nakaisip ng lahat ng kalokohan na susunod na isusulat.

Ano ang isang inverse matrix

Dahil ang matrix multiplication ay isang napaka-labor-intensive na operasyon (kailangan mong i-multiply ang isang bungkos ng mga row at column), ang konsepto ng isang inverse matrix ay lumalabas din na hindi ang pinakawalang halaga. At nangangailangan ng ilang paliwanag.

Pangunahing Kahulugan

Well, oras na para malaman ang totoo.

Kahulugan. Ang isang matrix na $B$ ay tinatawag na kabaligtaran ng isang matrix na $A$ kung

Ang kabaligtaran na matrix ay tinukoy ng $((A)^(-1))$ (hindi dapat malito sa antas!), kaya ang kahulugan ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod:

Tila ang lahat ay napakasimple at malinaw. Ngunit kapag pinag-aaralan ang kahulugan na ito, maraming mga katanungan ang agad na lumitaw:

1. Lagi bang umiiral ang isang inverse matrix? At kung hindi palaging, kung gayon kung paano matukoy: kailan ito umiiral at kailan ito wala?
2. At sino ang nagsabi na mayroong eksaktong isang ganoong matrix? Paano kung para sa ilang paunang matrix na $A$ mayroong isang buong karamihan ng mga inverses?
3. Ano ang hitsura ng lahat ng "reverses" na ito? At paano, eksakto, dapat nating bilangin ang mga ito?

Tulad ng para sa mga algorithm ng pagkalkula, pag-uusapan natin ito sa ibang pagkakataon. Ngunit sasagutin natin ang natitirang mga katanungan sa ngayon. Buuin natin ang mga ito sa anyo ng magkahiwalay na mga pahayag-lemmas.

Mga pangunahing katangian

Magsimula tayo sa kung paano dapat, sa prinsipyo, ang matrix na $A$, upang magkaroon ng $((A)^(-1))$ para dito. Ngayon ay titiyakin namin na ang parehong mga matrice na ito ay dapat na parisukat, at may parehong laki: $\left[ n\times n \right]$.

Lemma 1. Ibinigay ang isang matrix na $A$ at ang kabaligtaran nito na $((A)^(-1))$. Pagkatapos ang parehong mga matrice na ito ay parisukat, at ng parehong pagkakasunud-sunod $n$.

Patunay. Simple lang. Hayaan ang matrix na $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. Dahil ang produktong $A\cdot ((A)^(-1))=E$ ay umiiral ayon sa kahulugan, ang mga matrice na $A$ at $((A)^(-1))$ ay pare-pareho sa pagkakasunod-sunod na ipinapakita:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( ihanay)\]

Ito ay direktang kinahinatnan ng matrix multiplication algorithm: ang mga coefficient na $n$ at $a$ ay “transit” at dapat ay pantay.

Kasabay nito, ang inverse multiplication ay tinukoy din: $((A)^(-1))\cdot A=E$, samakatuwid ang mga matrice na $((A)^(-1))$ at $A$ ay pare-pareho din sa tinukoy na pagkakasunud-sunod:

\[\begin(align) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( ihanay)\]

Kaya, nang walang pagkawala ng pangkalahatan, maaari nating ipagpalagay na $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. Gayunpaman, ayon sa kahulugan ng $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$, samakatuwid ang mga sukat ng mga matrice ay mahigpit na nagtutugma:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]

Kaya lumalabas na ang lahat ng tatlong matrice - $A$, $((A)^(-1))$ at $E$ - ay mga square matrice na may sukat na $\left[ n\times n \right]$. Ang lemma ay napatunayan.

Buti na lang. Nakikita natin na ang mga square matrice lamang ang invertible. Ngayon, siguraduhin natin na ang inverse matrix ay palaging pareho.

Lemma 2. Ibinigay ang isang matrix na $A$ at ang kabaligtaran nito na $((A)^(-1))$. Kung gayon ang kabaligtaran na matrix na ito ay isa lamang.

Patunay. Sumama sa kontradiksyon: hayaan ang matrix na $A$ na magkaroon ng hindi bababa sa dalawang inverses - $B$ at $C$. Pagkatapos, ayon sa kahulugan, ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay ay totoo:

\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(align)\]

Mula sa Lemma 1, napagpasyahan namin na ang lahat ng apat na matrice - $A$, $B$, $C$ at $E$ - ay mga parisukat ng parehong pagkakasunud-sunod: $\left[ n\times n \right]$. Samakatuwid, ang produkto ay tinukoy:

Dahil ang matrix multiplication ay nag-uugnay (ngunit hindi commutative!), maaari nating isulat ang:

\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Rightarrow B=C. \\ \end(align)\]

Nakuha namin ang tanging posibleng opsyon: dalawang kopya ng inverse matrix ay pantay. Ang lemma ay napatunayan.

Ang mga argumento sa itaas ay inuulit halos verbatim ang patunay ng pagiging natatangi ng kabaligtaran na elemento para sa lahat ng tunay na numero $b\ne 0$. Ang tanging makabuluhang karagdagan ay isinasaalang-alang ang dimensyon ng mga matrice.

Gayunpaman, wala pa rin kaming alam tungkol sa kung ang bawat square matrix ay invertible. Narito ang determinant ay tumulong sa amin - ito ay isang pangunahing katangian para sa lahat ng square matrice.

Lemma 3. Binigyan ng matrix na $A$. Kung ang inverse matrix nito ay $((A)^(-1))$, kung gayon ang determinant ng orihinal na matrix ay nonzero:

\[\kaliwa| A\right|\ne 0\]

Patunay. Alam na natin na ang $A$ at $((A)^(-1))$ ay mga square matrice na may sukat na $\left[ n\times n \right]$. Samakatuwid, para sa bawat isa sa kanila maaari nating kalkulahin ang determinant: $\left| A\kanan|$ at $\kaliwa| ((A)^(-1)) \right|$. Gayunpaman, ang determinant ng isang produkto ay katumbas ng produkto ng mga determinant:

\[\kaliwa| A\cdot B \right|=\left| Isang \kanan|\cdot \kaliwa| B \right|\Rightarrow \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| Isang \kanan|\cdot \kaliwa| ((A)^(-1)) \kanan|\]

Ngunit ayon sa kahulugan, $A\cdot ((A)^(-1))=E$, at ang determinant ng $E$ ay palaging katumbas ng 1, kaya

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \kaliwa| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E\right|; \\ & \kaliwa| Isang \kanan|\cdot \kaliwa| ((A)^(-1)) \right|=1. \\ \end(align)\]

Ang produkto ng dalawang numero ay katumbas ng isa lamang kung ang bawat isa sa mga numerong ito ay hindi zero:

\[\kaliwa| Isang \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \kanan|\ne 0.\]

Kaya lumalabas na $\left| Isang \right|\ne 0$. Ang lemma ay napatunayan.

Sa katunayan, ang pangangailangang ito ay lubos na lohikal. Ngayon ay susuriin natin ang algorithm para sa paghahanap ng inverse matrix - at magiging ganap na malinaw kung bakit, na may zero determinant, walang inverse matrix sa prinsipyo ang maaaring umiral.

Ngunit una, bumalangkas tayo ng isang "auxiliary" na kahulugan:

Kahulugan. Ang singular matrix ay isang square matrix na may sukat na $\left[ n\times n \right]$ na ang determinant ay zero.

Kaya, maaari nating i-claim na ang bawat invertible matrix ay hindi isahan.

Paano hanapin ang kabaligtaran ng isang matrix

Ngayon ay isasaalang-alang namin ang isang unibersal na algorithm para sa paghahanap ng mga kabaligtaran na matrice. Sa pangkalahatan, mayroong dalawang karaniwang tinatanggap na algorithm, at isasaalang-alang din namin ang pangalawa ngayon.

Ang tatalakayin ngayon ay napakabisa para sa mga matrice na may sukat na $\left[ 2\times 2 \right]$ at - partially - size $\left[ 3\times 3 \right]$. Ngunit simula sa laki na $\left[ 4\times 4 \right]$ mas mabuting huwag na itong gamitin. Bakit - ngayon maiintindihan mo ang lahat sa iyong sarili.

Algebraic na mga karagdagan

Maghanda. Ngayon ay magkakaroon ng sakit. Hindi, huwag mag-alala: isang magandang nars sa isang palda, ang mga medyas na may puntas ay hindi lalapit sa iyo at bibigyan ka ng iniksyon sa puwit. Ang lahat ay mas prosaic: algebraic na mga karagdagan at Her Majesty ang "Union Matrix" ay darating sa iyo.

Magsimula tayo sa pangunahing bagay. Hayaang magkaroon ng square matrix na may sukat na $A=\left[ n\times n \right]$, na ang mga elemento ay tinatawag na $((a)_(ij))$. Pagkatapos para sa bawat naturang elemento maaari nating tukuyin ang isang algebraic na pandagdag:

Kahulugan. Algebraic complement $((A)_(ij))$ sa elementong $((a)_(ij))$ na matatagpuan sa $i$th row at $j$th column ng matrix $A=\left[ n \times n \right]$ ay isang pagbuo ng form

\[((A)_(ij))=((\kaliwa(-1 \kanan))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

Kung saan ang $M_(ij)^(*)$ ay ang determinant ng matrix na nakuha mula sa orihinal na $A$ sa pamamagitan ng pagtanggal ng parehong $i$th row at $j$th column.

muli. Ang algebraic na pandagdag sa isang elemento ng matrix na may mga coordinate na $\left(i;j \right)$ ay tinutukoy bilang $((A)_(ij))$ at kinakalkula ayon sa scheme:

1. Una, tinanggal namin ang $i$-row at $j$-th column mula sa orihinal na matrix. Kumuha kami ng bagong square matrix, at tinutukoy namin ang determinant nito bilang $M_(ij)^(*)$.
2. Pagkatapos ay i-multiply natin ang determinant na ito sa $((\left(-1 \right))^(i+j))$ - sa una ang expression na ito ay maaaring mukhang nakakagulat, ngunit sa esensya ay inaalam lang natin ang sign sa harap ng $M_(ij)^(*) $.
3. Nagbibilang kami at nakakakuha ng partikular na numero. Yung. ang algebraic na karagdagan ay tiyak na isang numero, at hindi ilang bagong matrix, atbp.

Ang matrix na $M_(ij)^(*)$ mismo ay tinatawag na karagdagang minor sa elementong $((a)_(ij))$. At sa ganitong kahulugan, ang kahulugan sa itaas ng isang algebraic na pandagdag ay isang espesyal na kaso ng isang mas kumplikadong kahulugan - kung ano ang aming tiningnan sa aralin tungkol sa determinant.

Mahalagang paalaala. Sa totoo lang, sa "pang-adulto" na matematika, ang mga pagdaragdag ng algebraic ay tinukoy bilang mga sumusunod:

1. Kumuha kami ng $k$ na mga hilera at $k$ na mga hanay sa isang parisukat na matrix. Sa kanilang intersection ay nakakakuha tayo ng matrix na may sukat na $\left[ k\times k \right]$ - ang determinant nito ay tinatawag na minor of order $k$ at ito ay denoted $((M)_(k))$.
2. Pagkatapos ay i-cross out namin ang mga "napiling" $k$ na row at $k$ na column. Muli kang makakuha ng isang parisukat na matrix - ang determinant nito ay tinatawag na isang karagdagang menor at ito ay tinukoy na $M_(k)^(*)$.
3. I-multiply ang $M_(k)^(*)$ sa $((\left(-1 \right))^(t))$, kung saan ang $t$ ay (pansin ngayon!) ang kabuuan ng mga numero ng lahat ng napiling row at mga hanay. Ito ang magiging algebraic na karagdagan.

Tingnan ang pangatlong hakbang: mayroon talagang kabuuan ng $2k$ na termino! Ang isa pang bagay ay para sa $k=1$ makakakuha lamang tayo ng 2 termino - ang mga ito ay magiging pareho $i+j$ - ang “coordinate” ng elementong $((a)_(ij))$ kung saan tayo ay naghahanap ng algebraic complement.

Kaya ngayon gumagamit kami ng bahagyang pinasimple na kahulugan. Ngunit tulad ng makikita natin mamaya, ito ay higit pa sa sapat. Ang sumusunod na bagay ay mas mahalaga:

Kahulugan. Ang allied matrix na $S$ sa square matrix na $A=\left[ n\times n \right]$ ay isang bagong matrix na may sukat na $\left[ n\times n \right]$, na nakuha mula sa $A$ sa pamamagitan ng pagpapalit ng $(( a)_(ij))$ ng mga algebraic na karagdagan $((A)_(ij))$:

\\Rightarrow S=\left[ \begin(matrix) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ ((( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(matrix) \kanan]\]

Ang unang pag-iisip na lumitaw sa sandaling napagtanto ang kahulugan na ito ay "magkano ang kailangang bilangin!" Relax: kailangan mong magbilang, ngunit hindi gaanong. :)

Well, ang lahat ng ito ay napakabuti, ngunit bakit kailangan? Pero bakit.

Pangunahing teorama

Bumalik tayo ng kaunti. Tandaan, sa Lemma 3 sinabi na ang invertible matrix na $A$ ay palaging hindi isahan (iyon ay, ang determinant nito ay non-zero: $\left| A \right|\ne 0$).

Kaya, ang kabaligtaran ay totoo rin: kung ang matrix na $A$ ay hindi isahan, kung gayon ito ay palaging invertible. At mayroong kahit isang scheme ng paghahanap para sa $((A)^(-1))$. Tingnan ito:

Inverse matrix theorem. Hayaang magbigay ng square matrix na $A=\left[ n\times n \right]$, at ang determinant nito ay nonzero: $\left| Isang \right|\ne 0$. Pagkatapos ay umiiral ang inverse matrix na $((A)^(-1))$ at kinakalkula ng formula:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\kaliwa| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]

At ngayon - ang lahat ay pareho, ngunit sa nababasang sulat-kamay. Upang mahanap ang inverse matrix, kailangan mo:

1. Kalkulahin ang determinant na $\left| Isang \right|$ at tiyaking hindi ito zero.
2. Buuin ang union matrix $S$, ibig sabihin. bilangin ang 100500 algebraic na mga karagdagan $((A)_(ij))$ at ilagay ang mga ito sa lugar na $((a)_(ij))$.
3. Ilipat ang matrix na ito $S$, at pagkatapos ay i-multiply ito sa ilang numerong $q=(1)/(\left| A \right|)\;$.

Iyon lang! Ang inverse matrix na $((A)^(-1))$ ay natagpuan. Tingnan natin ang mga halimbawa:

\[\left[ \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right]\]

Solusyon. Suriin natin ang reversibility. Kalkulahin natin ang determinant:

\[\kaliwa| A\kanan|=\kaliwa| \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

Ang determinant ay iba sa zero. Nangangahulugan ito na ang matrix ay invertible. Gumawa tayo ng matrix ng unyon:

Kalkulahin natin ang mga algebraic na karagdagan:

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2 \right|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5 \right|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \right|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\kanan|=3. \\ \end(align)\]

Pakitandaan: ang mga determinant |2|, |5|, |1| at |3| ay mga determinant ng mga matrice na may sukat na $\left[ 1\times 1 \right]$, at hindi mga module. Yung. Kung may mga negatibong numero sa mga determinant, hindi na kailangang alisin ang "minus".

Sa kabuuan, ganito ang hitsura ng aming matrix ng unyon:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]\]

OK tapos na ang lahat Ngayon. Ang problema ay nalutas.

Sagot. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]$

Gawain. Hanapin ang inverse matrix:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \]

Solusyon. Kinakalkula namin muli ang determinant:

\[\begin(align) & \left| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right|=\begin(matrix ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matrix)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

Ang determinant ay nonzero—ang matrix ay invertible. Ngunit ngayon ito ay magiging talagang matigas: kailangan nating magbilang ng kasing dami ng 9 (siyam, motherfucker!) na algebraic na mga karagdagan. At ang bawat isa sa kanila ay maglalaman ng determinant na $\left[ 2\times 2 \right]$. lumipad:

\[\begin(matrix) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matrix) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(matrix) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matrix) \right|=2; \\ \end(matrix)\]

Sa madaling sabi, ang matrix ng unyon ay magiging ganito:

Samakatuwid, ang inverse matrix ay magiging:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end(matrix) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \2 & 1 & -2 \\\end(array) \right]\]

Ayan yun. Narito ang sagot.

Sagot. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right ]$

Tulad ng nakikita mo, sa dulo ng bawat halimbawa nagsagawa kami ng tseke. Sa bagay na ito, isang mahalagang tala:

Huwag tamad mag-check. I-multiply ang orihinal na matrix sa natagpuang inverse matrix - dapat kang makakuha ng $E$.

Ang pagsasagawa ng pagsusuring ito ay mas madali at mas mabilis kaysa sa paghahanap ng error sa karagdagang mga kalkulasyon kapag, halimbawa, nilulutas mo ang isang matrix equation.

Alternatibong paraan

Tulad ng sinabi ko, ang inverse matrix theorem ay gumagana nang mahusay para sa mga sukat na $\left[ 2\times 2 \right]$ at $\left[ 3\times 3 \right]$ (sa huling kaso, hindi ito "mahusay" " ), ngunit para sa mas malalaking matrice nagsisimula ang kalungkutan.

Ngunit huwag mag-alala: mayroong isang alternatibong algorithm kung saan maaari mong mahinahon na mahanap ang inverse kahit para sa matrix na $\left[ 10\times 10 \right]$. Ngunit, tulad ng madalas na nangyayari, upang isaalang-alang ang algorithm na ito kailangan namin ng kaunting teoretikal na panimula.

Mga pagbabago sa elementarya

Sa lahat ng posibleng pagbabagong-anyo ng matrix, mayroong ilang mga espesyal - tinatawag silang elementarya. Mayroong eksaktong tatlong gayong mga pagbabagong-anyo:

1. Pagpaparami. Maaari mong kunin ang $i$th row (column) at i-multiply ito sa anumang numerong $k\ne 0$;
2. Dagdag. Idagdag sa $i$-th row (column) ang anumang iba pang $j$-th row (column), na i-multiply sa anumang numero $k\ne 0$ (magagawa mo, siyempre, gawin ang $k=0$, ngunit ano ang ang punto?? Walang magbabago).
3. Muling pagsasaayos. Kunin ang $i$th at $j$th na row (column) at magpalit ng mga lugar.

Bakit ang mga pagbabagong ito ay tinatawag na elementarya (para sa malalaking matrice ay hindi sila mukhang elementarya) at kung bakit tatlo lamang ang mga ito - ang mga tanong na ito ay lampas sa saklaw ng aralin ngayon. Samakatuwid, hindi na kami magdetalye.

Ang isa pang bagay ay mahalaga: kailangan nating gawin ang lahat ng mga perversion na ito sa magkadugtong na matrix. Oo, oo: tama ang narinig mo. Ngayon ay magkakaroon ng isa pang kahulugan - ang huling isa sa aralin ngayon.

Kadugtong na matris

Tiyak na sa paaralan ay nalutas mo ang mga sistema ng mga equation gamit ang paraan ng pagdaragdag. Well, doon, ibawas ang isa pa mula sa isang linya, i-multiply ang ilang linya sa isang numero - iyon lang.

Kaya: ngayon ang lahat ay magiging pareho, ngunit sa isang "pang-adulto" na paraan. handa na?

Kahulugan. Hayaan ang isang matrix na $A=\left[ n\times n \right]$ at isang identity matrix na $E$ na may parehong laki na $n$. Pagkatapos ay ang magkadugtong na matrix na $\left[ A\left| Tama. \right]$ ay isang bagong matrix na may sukat na $\left[ n\times 2n \right]$ na ganito ang hitsura:

\[\left[ A\left| Tama. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(array) \kanan]\]

Sa madaling salita, kinukuha namin ang matrix na $A$, sa kanan ay itinatalaga namin dito ang identity matrix na $E$ ng kinakailangang laki, pinaghihiwalay namin ang mga ito gamit ang isang vertical na bar para sa kagandahan - narito mayroon kang magkadugtong. :)

Ano ang catch? Narito kung ano:

Teorama. Hayaang ang matrix na $A$ ay mababaligtad. Isaalang-alang ang magkadugtong na matrix na $\left[ A\left| Tama. \tama]$. Kung gumagamit mga conversion ng elementarya na string dalhin ito sa form na $\left[ E\left| Maliwanag. \right]$, ibig sabihin. sa pamamagitan ng pagpaparami, pagbabawas at muling pagsasaayos ng mga hilera upang makuha mula sa $A$ ang matrix na $E$ sa kanan, pagkatapos ang matrix na $B$ na nakuha sa kaliwa ay ang kabaligtaran ng $A$:

\[\left[ A\left| Tama. \right]\sa \left[ E\left| Maliwanag. \right]\Rightarrow B=((A)^(-1))\]

Ganyan kasimple! Sa madaling salita, ang algorithm para sa paghahanap ng inverse matrix ay ganito ang hitsura:

1. Isulat ang magkadugtong na matrix na $\left[ A\left| Tama. \right]$;
2. Magsagawa ng mga elementary string conversion hanggang sa lumitaw ang $E$ sa halip na $A$;
3. Siyempre, may lalabas din sa kaliwa - isang tiyak na matrix na $B$. Ito ang magiging kabaligtaran;
4. KITA! :)

Siyempre, ito ay mas madaling sabihin kaysa gawin. Kaya tingnan natin ang ilang halimbawa: para sa mga sukat na $\left[ 3\times 3 \right]$ at $\left[ 4\times 4 \right]$.

Gawain. Hanapin ang inverse matrix:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\ ]

Solusyon. Lumilikha kami ng magkadugtong na matrix:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 at 1 \\\end(array) \right]\]

Dahil ang huling haligi ng orihinal na matrix ay puno ng mga, ibawas ang unang hilera mula sa iba:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end(matrix)\to \\ & \to \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Wala nang mga unit, maliban sa unang linya. Ngunit hindi namin ito hinawakan, kung hindi, ang mga bagong tinanggal na yunit ay magsisimulang "mag-multiply" sa ikatlong hanay.

Ngunit maaari nating ibawas ang pangalawang linya nang dalawang beses mula sa huli - makakakuha tayo ng isa sa ibabang kaliwang sulok:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \downarrow \\ -2 \\\end(matrix)\to \\ & \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Ngayon ay maaari nating ibawas ang huling hilera mula sa una at dalawang beses mula sa pangalawa - sa ganitong paraan ay "zero" natin ang unang hanay:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \ sa \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

I-multiply ang pangalawang linya sa −1, at pagkatapos ay ibawas ito ng 6 na beses mula sa una at magdagdag ng 1 beses sa huli:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\\end (matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Ang natitira na lang ay ang magpalit ng mga linya 1 at 3:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\end(array) \right]\]

handa na! Sa kanan ay ang kinakailangang inverse matrix.

Sagot. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(array) \right ]$

Gawain. Hanapin ang inverse matrix:

\[\left[ \begin(matrix) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\end(matrix) \right]\]

Solusyon. Binubuo namin muli ang magkadugtong:

\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\]

Umiyak tayo ng kaunti, malungkot sa dami ng dapat nating bilangin ngayon... at magsimulang magbilang. Una, "zero out" natin ang unang column sa pamamagitan ng pagbabawas ng row 1 sa row 2 at 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Masyadong maraming "cons" ang nakikita natin sa mga linya 2-4. I-multiply ang lahat ng tatlong row sa −1, at pagkatapos ay sunugin ang ikatlong column sa pamamagitan ng pagbabawas ng row 3 mula sa iba pa:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \kaliwa| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \kaliwa| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & ​​​​1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (array) \right]\begin(matrix) -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Ngayon na ang oras upang "iprito" ang huling hanay ng orihinal na matrix: ibawas ang linya 4 mula sa natitira:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array ) \right]\begin(matrix) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Panghuling paghagis: "i-burn out" ang pangalawang column sa pamamagitan ng pagbabawas ng linya 2 mula sa linya 1 at 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end( array) \right]\begin(matrix) 6 \\ \updownarrow \\ -5 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

At muli ang identity matrix ay nasa kaliwa, na nangangahulugang ang kabaligtaran ay nasa kanan. :)

Sagot. $\left[ \begin(matrix) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\end(matrix) \right]$

Katulad ng inverse sa maraming katangian.

Encyclopedic YouTube

1 / 5

✪ Paano hanapin ang kabaligtaran ng isang matrix - bezbotvy

✪ Inverse matrix (2 paraan upang mahanap)

✪ Inverse matrix #1

✪ 2015-01-28. Baliktad na 3x3 matrix

✪ 2015-01-27. Inverse matrix 2x2

Mga subtitle

Mga katangian ng isang inverse matrix

• det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), Saan det (\displaystyle \\det ) nagsasaad ng determinant.
• (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)) para sa dalawang square invertible matrice A (\displaystyle A) At B (\displaystyle B).
• (A T) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), Saan (. . .) T (\displaystyle (...)^(T)) nagsasaad ng transposed matrix.
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1)) para sa anumang koepisyent k ≠ 0 (\displaystyle k\not =0).
• E − 1 = E (\displaystyle \E^(-1)=E).
• Kung ito ay kinakailangan upang malutas ang isang sistema ng mga linear equation, (b ay isang non-zero vector) kung saan x (\displaystyle x) ay ang nais na vector, at kung A − 1 (\displaystyle A^(-1)) umiiral, kung gayon x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). Kung hindi, alinman sa dimensyon ng espasyo ng solusyon ay mas malaki kaysa sa zero, o walang mga solusyon sa lahat.

Mga pamamaraan para sa paghahanap ng inverse matrix

Kung ang matrix ay invertible, pagkatapos ay upang mahanap ang inverse matrix maaari mong gamitin ang isa sa mga sumusunod na pamamaraan:

Eksaktong (direktang) pamamaraan

Gauss-Jordan na pamamaraan

Kumuha tayo ng dalawang matrice: ang A at single E. Ipakita natin ang matrix A sa matrix ng pagkakakilanlan gamit ang pamamaraang Gauss-Jordan, na naglalapat ng mga pagbabago sa kahabaan ng mga hilera (maaari mo ring ilapat ang mga pagbabago sa kahabaan ng mga column, ngunit hindi pinaghalo). Pagkatapos ilapat ang bawat operasyon sa unang matrix, ilapat ang parehong operasyon sa pangalawa. Kapag ang pagbawas ng unang matrix sa unit form ay nakumpleto, ang pangalawang matrix ay magiging katumbas ng A−1.

Kapag ginagamit ang Gaussian method, ang unang matrix ay pararamihin sa kaliwa ng isa sa mga elementary matrice. Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(transvection o diagonal matrix na may mga unit sa pangunahing dayagonal, maliban sa isang posisyon):

Ang pangalawang matrix pagkatapos ilapat ang lahat ng mga operasyon ay magiging katumbas ng Λ (\displaystyle \Lambda), ibig sabihin, ito ang magiging ninanais. Ang pagiging kumplikado ng algorithm - O (n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

Gamit ang algebraic complement matrix

Matrix kabaligtaran ng matrix A (\displaystyle A), ay maaaring katawanin sa anyo

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

saan adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- magkadugtong na matris;

Ang pagiging kumplikado ng algorithm ay nakasalalay sa pagiging kumplikado ng algorithm para sa pagkalkula ng determinant na O det at katumbas ng O(n²)·O det.

Gamit ang LU/LUP Decomposition

Matrix equation A X = I n (\displaystyle AX=I_(n)) para sa inverse matrix X (\displaystyle X) maaaring ituring bilang isang koleksyon n (\displaystyle n) mga sistema ng anyo A x = b (\displaystyle Ax=b). Tukuyin natin ako (\displaystyle i) ika-kolumna ng matris X (\displaystyle X) sa pamamagitan ng X i (\displaystyle X_(i)); Pagkatapos A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n), dahil ang ako (\displaystyle i) ika-kolumna ng matris I n (\displaystyle I_(n)) ay ang unit vector e i (\displaystyle e_(i)). sa madaling salita, ang paghahanap ng inverse matrix ay bumababa sa paglutas ng n equation na may parehong matrix at magkaibang kanang bahagi. Pagkatapos isagawa ang LUP decomposition (O(n³) time), ang paglutas sa bawat n equation ay tumatagal ng O(n²) na oras, kaya ang bahaging ito ng trabaho ay nangangailangan din ng O(n³) na oras.

Kung ang matrix A ay di-isahan, kung gayon ang LUP decomposition ay maaaring kalkulahin para dito P A = L U (\displaystyle PA=LU). Hayaan P A = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). Pagkatapos mula sa mga katangian ng inverse matrix maaari nating isulat: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Kung i-multiply mo ang pagkakapantay-pantay na ito sa U at L, maaari kang makakuha ng dalawang pagkakapantay-pantay ng form U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1)) At D L = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Ang una sa mga pagkakapantay-pantay na ito ay isang sistema ng n² linear equation para sa n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2))) mula sa kung saan ang mga kanang bahagi ay kilala (mula sa mga katangian ng triangular matrice). Ang pangalawa ay kumakatawan din sa isang sistema ng n² linear equation para sa n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2))) mula sa kung saan ang mga kanang bahagi ay kilala (mula rin sa mga katangian ng mga triangular na matrice). Magkasama silang kumakatawan sa isang sistema ng n² pagkakapantay-pantay. Gamit ang mga pagkakapantay-pantay na ito, maaari nating recursively matukoy ang lahat ng n² elemento ng matrix D. Pagkatapos ay mula sa pagkakapantay-pantay (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. makuha natin ang pagkakapantay-pantay A − 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

Sa kaso ng paggamit ng LU decomposition, walang permutation ng mga column ng matrix D ang kinakailangan, ngunit ang solusyon ay maaaring mag-diverge kahit na ang matrix A ay nonsingular.

Ang pagiging kumplikado ng algorithm ay O(n³).

Mga pamamaraang umuulit

Mga pamamaraan ng Schultz

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(cases)))

Error sa pagtatantya

Pagpili ng Initial Approximation

Ang problema sa pagpili ng paunang pagtatantya sa mga proseso ng pagbabalik-tanaw ng matrix na isinasaalang-alang dito ay hindi nagpapahintulot sa amin na ituring ang mga ito bilang mga independiyenteng unibersal na pamamaraan na nakikipagkumpitensya sa mga direktang pamamaraan ng pagbabaligtad na batay, halimbawa, sa LU decomposition ng mga matrice. Mayroong ilang mga rekomendasyon para sa pagpili U 0 (\displaystyle U_(0)), tinitiyak ang katuparan ng kondisyon ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (Ang spectral radius ng matrix ay mas mababa sa pagkakaisa), na kinakailangan at sapat para sa convergence ng proseso. Gayunpaman, sa kasong ito, una, kinakailangan na malaman mula sa itaas ang pagtatantya para sa spectrum ng invertible matrix A o ang matrix A AT (\displaystyle AA^(T))(ibig sabihin, kung ang A ay isang simetriko positibong tiyak na matris at ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta ), pagkatapos ay maaari mong kunin U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), Saan ; kung ang A ay isang arbitrary na non-singular matrix at ρ (A AT) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), pagkatapos ay naniniwala sila U 0 = α AT (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), saan din α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\kanan)); Maaari mong, siyempre, pasimplehin ang sitwasyon at samantalahin ang katotohanang iyon ρ (A AT) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), ilagay U 0 = A T ‖ A AT ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). Pangalawa, kapag tinukoy ang paunang matrix sa ganitong paraan, walang garantiya na ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|) ay magiging maliit (marahil ito ay magiging ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), at ang mataas na pagkakasunud-sunod ng rate ng convergence ay hindi agad ipapakita.

Mga halimbawa

Matrix 2x2

Ang pagbabaligtad ng isang 2x2 matrix ay posible lamang sa ilalim ng kondisyon na a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).

Ang matrix A -1 ay tinatawag na inverse matrix na may paggalang sa matrix A kung A*A -1 = E, kung saan ang E ay ang identity matrix ng nth order. Ang isang inverse matrix ay maaari lamang umiral para sa mga square matrice.

Layunin ng serbisyo. Gamit ang serbisyong ito online makakahanap ka ng algebraic complements, transposed matrix AT, allied matrix at inverse matrix. Ang desisyon ay direktang isinasagawa sa website (online) at libre. Ang mga resulta ng pagkalkula ay ipinakita sa isang ulat sa Word at Excel na format (ibig sabihin, posibleng suriin ang solusyon). tingnan ang halimbawa ng disenyo.

Mga tagubilin. Upang makakuha ng isang solusyon, kinakailangan upang tukuyin ang sukat ng matrix. Susunod, punan ang matrix A sa bagong dialog box.

Tingnan din ang Inverse matrix gamit ang Jordano-Gauss method

Algorithm para sa paghahanap ng inverse matrix

1. Paghahanap ng transposed matrix A T .
2. Kahulugan ng algebraic complements. Palitan ang bawat elemento ng matrix ng algebraic complement nito.
3. Pag-compile ng inverse matrix mula sa mga algebraic na pagdaragdag: ang bawat elemento ng resultang matrix ay hinati sa determinant ng orihinal na matrix. Ang resultang matrix ay ang kabaligtaran ng orihinal na matrix.

1. Tukuyin kung ang matrix ay parisukat. Kung hindi, walang inverse matrix para dito.
2. Pagkalkula ng determinant ng matrix A. Kung hindi ito katumbas ng zero, ipagpatuloy namin ang solusyon, kung hindi man ay wala ang inverse matrix.
3. Kahulugan ng algebraic complements.
4. Pagpuno sa unyon (mutual, adjoint) matrix C .
5. Pag-compile ng inverse matrix mula sa algebraic na mga karagdagan: ang bawat elemento ng magkadugtong na matrix C ay hinati sa determinant ng orihinal na matrix. Ang resultang matrix ay ang kabaligtaran ng orihinal na matrix.
6. Gumagawa sila ng tseke: pinaparami nila ang orihinal at ang mga resultang matrice. Ang resulta ay dapat na isang identity matrix.

Halimbawa Blg. 1. Isulat natin ang matrix sa form:

Isa pang algorithm para sa paghahanap ng inverse matrix

1. Hanapin ang determinant ng isang ibinigay na square matrix A.
2. Nakakita kami ng mga algebraic na pandagdag sa lahat ng elemento ng matrix A.
3. Nagsusulat kami ng mga algebraic na pagdaragdag ng mga elemento ng hilera sa mga haligi (transposisyon).
4. Hinahati namin ang bawat elemento ng nagresultang matrix sa pamamagitan ng determinant ng matrix A.

Isang espesyal na kaso: Ang kabaligtaran ng identity matrix E ay ang identity matrix E.

Ipagpatuloy natin ang pag-uusap tungkol sa mga aksyon na may mga matrice. Ibig sabihin, sa panahon ng pag-aaral ng panayam na ito matututunan mo kung paano hanapin ang inverse matrix. Matuto. Kahit mahirap ang math.

Ano ang isang inverse matrix? Dito maaari tayong gumuhit ng isang pagkakatulad sa mga kabaligtaran na numero: isaalang-alang, halimbawa, ang optimistikong numero 5 at ang kabaligtaran na numero nito. Ang produkto ng mga numerong ito ay katumbas ng isa: . Ang lahat ay katulad sa matrices! Ang produkto ng isang matrix at ang inverse matrix nito ay katumbas ng - matrix ng pagkakakilanlan, na siyang matrix analogue ng numerical unit. Gayunpaman, una sa lahat - lutasin muna natin ang isang mahalagang praktikal na isyu, ibig sabihin, alamin kung paano hanapin ang napakabaligtad na matrix na ito.

Ano ang kailangan mong malaman at magagawa upang mahanap ang inverse matrix? Dapat marunong kang magdesisyon mga kwalipikasyon. Dapat mong maunawaan kung ano ito matris at makapagsagawa ng ilang mga aksyon sa kanila.

Mayroong dalawang pangunahing pamamaraan para sa paghahanap ng inverse matrix:
sa pamamagitan ng paggamit algebraic na mga karagdagan At gamit ang elementarya na pagbabago.

Ngayon ay pag-aaralan natin ang una, mas simpleng paraan.

Magsimula tayo sa pinaka-kahila-hilakbot at hindi maintindihan. Isaalang-alang natin parisukat matris. Ang inverse matrix ay matatagpuan gamit ang sumusunod na formula:

Saan ang determinant ng matrix, ay ang transposed matrix ng algebraic complements ng mga kaukulang elemento ng matrix.

Ang konsepto ng isang inverse matrix ay umiiral lamang para sa mga square matrice, matrice "dalawa sa dalawa", "tatlo sa tatlo", atbp.

Mga pagtatalaga: Tulad ng maaaring napansin mo na, ang inverse matrix ay tinutukoy ng isang superscript

Magsimula tayo sa pinakasimpleng kaso - isang two-by-two matrix. Kadalasan, siyempre, kinakailangan ang "tatlo sa tatlo", ngunit, gayunpaman, masidhi kong inirerekumenda ang pag-aaral ng isang mas simpleng gawain upang maunawaan ang pangkalahatang prinsipyo ng solusyon.

Halimbawa:

Hanapin ang kabaligtaran ng isang matrix

Magdesisyon tayo. Ito ay maginhawa upang masira ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon point sa punto.

1) Una naming mahanap ang determinant ng matrix.

Kung ang iyong pag-unawa sa aksyon na ito ay hindi maganda, basahin ang materyal Paano makalkula ang determinant?

Mahalaga! Kung ang determinant ng matrix ay katumbas ng ZERO– baligtad na matris WALA NA.

Sa halimbawang isinasaalang-alang, tulad ng nangyari, , na nangangahulugan na ang lahat ay nasa ayos.

2) Hanapin ang matrix ng mga menor de edad.

Upang malutas ang aming problema, hindi kinakailangang malaman kung ano ang isang menor de edad, gayunpaman, ipinapayong basahin ang artikulo Paano makalkula ang determinant.

Ang matrix ng mga menor de edad ay may parehong mga sukat ng matrix, iyon ay, sa kasong ito.
Ang tanging bagay na natitira upang gawin ay maghanap ng apat na numero at ilagay ang mga ito sa halip na mga asterisk.

Bumalik tayo sa ating matrix
Tingnan muna natin ang itaas na kaliwang elemento:

Paano ito mahahanap menor de edad?
At ito ay ginagawa tulad nito: MENTALly i-cross out ang row at column kung saan matatagpuan ang elementong ito:

Ang natitirang numero ay minor ng elementong ito, na isinusulat namin sa aming matrix ng mga menor de edad:

Isaalang-alang ang sumusunod na elemento ng matrix:

Itawid sa isip ang row at column kung saan lumalabas ang elementong ito:

Ang natitira ay ang menor de edad ng elementong ito, na isinusulat namin sa aming matrix:

Katulad nito, isinasaalang-alang namin ang mga elemento ng pangalawang hilera at hinahanap ang kanilang mga menor de edad:


handa na.

Simple lang. Sa matrix ng mga menor de edad na kailangan mo PAGBABAGO NG MGA ALAMAT dalawang numero:

Ito ang mga numero na inikot ko!

– matrix ng mga algebraic na pagdaragdag ng mga kaukulang elemento ng matrix.

At basta...

4) Hanapin ang transposed matrix ng mga algebraic na karagdagan.

– transposed matrix ng algebraic complements ng mga kaukulang elemento ng matrix.

5) Sagot.

Tandaan natin ang ating formula
Nahanap na ang lahat!

Kaya ang inverse matrix ay:

Ito ay mas mahusay na iwanan ang sagot bilang ay. HINDI NA KAILANGAN hatiin ang bawat elemento ng matrix ng 2, dahil ang resulta ay mga fractional na numero. Ang nuance na ito ay tinalakay nang mas detalyado sa parehong artikulo. Mga aksyon na may mga matrice.

Paano suriin ang solusyon?

Kailangan mong magsagawa ng matrix multiplication o

Pagsusuri:

Natanggap na nabanggit na matrix ng pagkakakilanlan ay isang matrix na may mga by pangunahing dayagonal at mga sero sa ibang mga lugar.

Kaya, ang inverse matrix ay matatagpuan nang tama.

Kung gagawin mo ang aksyon, ang resulta ay isang identity matrix din. Ito ay isa sa ilang mga kaso kung saan ang matrix multiplication ay commutative, higit pang mga detalye ay matatagpuan sa artikulo Mga katangian ng pagpapatakbo sa mga matrice. Mga Ekspresyon ng Matrix. Tandaan din na sa panahon ng tseke, ang pare-pareho (fraction) ay dinadala at pinoproseso sa pinakadulo - pagkatapos ng pagpaparami ng matrix. Ito ay isang karaniwang pamamaraan.

Lumipat tayo sa isang mas karaniwang kaso sa pagsasanay - ang three-by-three matrix:

Halimbawa:

Hanapin ang kabaligtaran ng isang matrix

Ang algorithm ay eksaktong kapareho ng para sa "dalawa sa dalawa" na kaso.

Nahanap namin ang inverse matrix gamit ang formula: , Nasaan ang transposed matrix ng algebraic complements ng mga kaukulang elemento ng matrix.

1) Hanapin ang determinant ng matrix.

Dito ipinahayag ang determinant sa unang linya.

Gayundin, huwag kalimutan iyon, na nangangahulugan na ang lahat ay maayos - umiiral ang inverse matrix.

2) Hanapin ang matrix ng mga menor de edad.

Ang matrix ng mga menor de edad ay may sukat na "tatlo sa tatlo" , at kailangan nating maghanap ng siyam na numero.

Titingnan ko nang detalyado ang ilang menor de edad:

Isaalang-alang ang sumusunod na elemento ng matrix:

MENTAL na i-cross out ang row at column kung saan matatagpuan ang elementong ito:

Isinulat namin ang natitirang apat na numero sa determinant na "dalawa sa dalawa".

Itong two-by-two determinant at ay ang menor de edad ng elementong ito. Kailangan itong kalkulahin:


Iyon lang, natagpuan ang menor de edad, isinulat namin ito sa aming matrix ng mga menor de edad:

Tulad ng malamang na nahulaan mo, kailangan mong kalkulahin ang siyam na dalawa-sa-dalawang determinant. Ang proseso, siyempre, ay nakakapagod, ngunit ang kaso ay hindi ang pinakamalubha, maaari itong maging mas masahol pa.

Well, para pagsama-samahin – paghahanap ng isa pang menor de edad sa mga larawan:

Subukang kalkulahin ang natitirang mga menor de edad.

Panghuling resulta:
– matrix ng mga menor de edad ng mga kaukulang elemento ng matrix.

Ang katotohanan na ang lahat ng mga menor de edad ay naging negatibo ay isang aksidente lamang.

3) Hanapin ang matrix ng mga algebraic na karagdagan.

Sa matrix ng mga menor de edad ito ay kinakailangan PAGBABAGO NG MGA ALAMAT mahigpit para sa mga sumusunod na elemento:

Sa kasong ito:

Hindi namin isinasaalang-alang ang paghahanap ng inverse matrix para sa isang "four by four" na matrix, dahil ang ganitong gawain ay maaari lamang ibigay ng isang sadistic na guro (para makalkula ng estudyante ang isang "four by four" determinant at 16 "three by three" determinants ). Sa aking pagsasanay, mayroon lamang isang ganoong kaso, at ang customer ng pagsubok ay nagbayad ng medyo mahal para sa aking paghihirap =).

Sa isang bilang ng mga aklat-aralin at manwal maaari kang makahanap ng isang bahagyang naiibang diskarte sa paghahanap ng inverse matrix, ngunit inirerekumenda ko ang paggamit ng algorithm ng solusyon na nakabalangkas sa itaas. Bakit? Dahil ang posibilidad na malito sa mga kalkulasyon at mga palatandaan ay mas mababa.

Karaniwan, ang mga inverse na operasyon ay ginagamit upang gawing simple ang mga kumplikadong algebraic na expression. Halimbawa, kung ang problema ay nagsasangkot ng operasyon ng paghahati sa isang fraction, maaari mong palitan ito ng operasyon ng multiply sa pamamagitan ng reciprocal ng isang fraction, na kung saan ay ang kabaligtaran na operasyon. Bukod dito, hindi mahahati ang mga matrice, kaya kailangan mong i-multiply sa inverse matrix. Ang pagkalkula ng kabaligtaran ng isang 3x3 matrix ay medyo nakakapagod, ngunit kailangan mong magawa ito nang manu-mano. Maaari mo ring mahanap ang reciprocal gamit ang isang mahusay na graphing calculator.

Mga hakbang

Gamit ang magkadugtong na matrix

Ilipat ang orihinal na matrix. Ang transposisyon ay ang pagpapalit ng mga hilera na may mga haligi na nauugnay sa pangunahing dayagonal ng matrix, iyon ay, kailangan mong palitan ang mga elemento (i,j) at (j,i). Sa kasong ito, ang mga elemento ng pangunahing dayagonal (nagsisimula sa kaliwang sulok sa itaas at nagtatapos sa kanang sulok sa ibaba) ay hindi nagbabago.

• Upang baguhin ang mga row sa mga column, isulat ang mga elemento ng unang row sa unang column, ang mga elemento ng pangalawang row sa pangalawang column, at ang mga elemento ng ikatlong row sa ikatlong column. Ang pagkakasunud-sunod ng pagbabago ng posisyon ng mga elemento ay ipinapakita sa figure, kung saan ang mga kaukulang elemento ay binilog na may mga kulay na bilog.