Paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation, mga paraan ng solusyon, mga halimbawa. Hanapin ang pangkalahatang solusyon ng system at fsr

Nabigyan ng matrice

Hanapin ang: 1) aA - bB,

Solusyon: 1) Nahanap namin ito nang sunud-sunod, gamit ang mga patakaran ng pagpaparami ng isang matrix sa isang numero at pagdaragdag ng mga matrice.

2. Hanapin ang A*B kung

Solusyon: Ginagamit namin ang matrix multiplication rule

Sagot:

3. Para sa isang ibinigay na matrix, hanapin ang minor M 31 at kalkulahin ang determinant.

Solusyon: Ang Minor M 31 ay ang determinant ng matrix na nakuha mula sa A

pagkatapos tumawid sa linya 3 at hanay 1. Nakikita namin

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

Ibahin natin ang matrix A nang hindi binabago ang determinant nito (gumawa tayo ng mga zero sa row 1)

Ngayon kinakalkula namin ang determinant ng matrix A sa pamamagitan ng pagpapalawak sa hilera 1

Sagot: M 31 = 0, detA = 0

Lutasin gamit ang Gauss method at Cramer method.

2x 1 + x 2 + x 3 = 2

x 1 + x 2 + 3x 3 = 6

2x 1 + x 2 + 2x 3 = 5

Solusyon: Suriin natin

Maaari mong gamitin ang paraan ng Cramer

Solusyon ng system: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3

Ilapat natin ang Gaussian method.

Bawasan natin ang pinahabang matrix ng system sa triangular na anyo.

Para sa kadalian ng pagkalkula, palitan natin ang mga linya:

I-multiply ang 2nd line sa (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) at idagdag sa ika-3:

I-multiply ang 1st line sa (k = -2 / 2 = -1 ) at idagdag sa ika-2:

Ngayon ang orihinal na sistema ay maaaring isulat bilang:

x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)

x 2 = 13 - (6x 3)

Mula sa 2nd line na ipinapahayag namin

Mula sa 1st line ipinapahayag namin

Ang solusyon ay pareho.

Sagot: (2; -5; 3)

Hanapin ang pangkalahatang solusyon ng system at ng FSR

13x 1 – 4x 2 – x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0

11x 1 – 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0

5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0

7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0

Solusyon: Ilapat natin ang Gaussian method. Bawasan natin ang pinahabang matrix ng system sa triangular na anyo.

I-multiply ang 1st line sa (-11). I-multiply ang 2nd line sa (13). Idagdag natin ang 2nd line sa 1st:

I-multiply ang 2nd line sa (-5). I-multiply natin ang ika-3 linya sa (11). Idagdag natin ang ika-3 linya sa ika-2:

I-multiply ang ika-3 linya sa (-7). I-multiply natin ang ika-4 na linya sa (5). Idagdag natin ang ika-4 na linya sa ika-3:

Ang pangalawang equation ay isang linear na kumbinasyon ng iba

Hanapin natin ang ranggo ng matrix.

Ang napiling menor de edad ay may pinakamataas na pagkakasunud-sunod (ng posibleng mga menor de edad) at hindi zero (ito ay katumbas ng produkto ng mga elemento sa reverse diagonal), samakatuwid ang rang(A) = 2.

Basic ang menor de edad na ito. Kabilang dito ang mga coefficient para sa mga hindi alam x 1 , x 2 , na nangangahulugan na ang mga hindi alam x 1 , x 2 ay nakadepende (basic), at ang x 3 , x 4 , x 5 ay libre.

Ang sistema na may mga coefficient ng matrix na ito ay katumbas ng orihinal na sistema at may anyo:

18x 2 = 24x 3 + 18x 4 + 27x 5

7x 1 + 2x 2 = - 5x 3 - 2x 4 - 3x 5

Gamit ang paraan ng pag-aalis ng mga hindi alam, nakita namin karaniwang desisyon:

x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5

x 1 = - 1 / 3 x 3

Nakahanap kami ng isang pangunahing sistema ng mga solusyon (FSD), na binubuo ng (n-r) na mga solusyon. Sa aming kaso, n=5, r=2, samakatuwid, ang pangunahing sistema ng mga solusyon ay binubuo ng 3 solusyon, at ang mga solusyon na ito ay dapat na linearly independyente.

Para maging linearly independent ang mga row, kinakailangan at sapat na ang ranggo ng matrix na binubuo ng mga elemento ng row ay katumbas ng bilang ng mga row, ibig sabihin, 3.

Ito ay sapat na upang bigyan ang mga libreng hindi alam na x 3 , x 4 , x 5 na mga halaga mula sa mga linya ng 3rd order determinant, non-zero, at kalkulahin ang x 1 , x 2 .

Ang pinakasimpleng non-zero determinant ay ang identity matrix.

Ngunit mas maginhawang dalhin dito

Natagpuan namin ang paggamit ng pangkalahatang solusyon:

a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = -2, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 4 Þ

I desisyon ng FSR: (-2; -4; 6; 0;0)

b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = 0, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 6 Þ

II solusyon sa FSR: (0; -6; 0; 6;0)

c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Þ

III desisyon ng FSR: (0; - 9; 0; 0;6)

Þ FSR: (-2; -4; 6; 0;0), (0; -6; 0; 6;0), (0; - 9; 0; 0;6)

6. Ibinigay: z 1 = -4 + 5i, z 2 = 2 – 4i. Hanapin ang: a) z 1 – 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 /z 2

Solusyon: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

b) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i

Sagot: a) -3i b) 12+26i c) -1.4 – 0.3i

Ang isang homogenous na sistema ay palaging pare-pareho at may maliit na solusyon
. Para umiral ang isang nontrivial na solusyon, kinakailangan na ang ranggo ng matrix ay mas mababa sa bilang ng mga hindi alam:

.

Pangunahing sistema ng mga solusyon homogenous na sistema
tumawag sa isang sistema ng mga solusyon sa anyo ng mga vector ng haligi
, na tumutugma sa kanonikal na batayan, i.e. batayan kung saan ang mga arbitrary na pare-pareho
ay halili na itinakda katumbas ng isa, habang ang iba ay nakatakda sa zero.

Pagkatapos ang pangkalahatang solusyon ng homogenous na sistema ay may anyo:

saan
- di-makatwirang mga pare-pareho. Sa madaling salita, ang pangkalahatang solusyon ay isang linear na kumbinasyon ng pangunahing sistema ng mga solusyon.

Kaya, ang mga pangunahing solusyon ay maaaring makuha mula sa pangkalahatang solusyon kung ang mga libreng hindi alam ay binibigyan ng halaga ng isa, na itinatakda ang lahat ng iba ay katumbas ng zero.

Halimbawa. Maghanap tayo ng solusyon sa sistema

Tanggapin natin , pagkatapos ay makakakuha tayo ng solusyon sa form:

Bumuo tayo ngayon ng isang pangunahing sistema ng mga solusyon:

.

Ang pangkalahatang solusyon ay isusulat bilang:

Ang mga solusyon ng isang sistema ng homogenous na linear equation ay may mga sumusunod na katangian:

Sa madaling salita, ang anumang linear na kumbinasyon ng mga solusyon sa isang homogenous na sistema ay muling solusyon.

Paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation gamit ang Gauss method

Ang paglutas ng mga sistema ng linear equation ay interesado sa mga mathematician sa loob ng ilang siglo. Ang mga unang resulta ay nakuha noong ika-18 siglo. Noong 1750, inilathala ni G. Kramer (1704–1752) ang kanyang mga gawa sa mga determinant ng square matrices at nagmungkahi ng algorithm para sa paghahanap ng inverse matrix. Noong 1809, binalangkas ni Gauss ang isang bagong paraan ng solusyon na kilala bilang paraan ng pag-aalis.

Ang pamamaraang Gauss, o ang paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam, ay binubuo sa katotohanan na, gamit ang elementarya na pagbabago, ang isang sistema ng mga equation ay binabawasan sa isang katumbas na sistema ng isang hakbang (o tatsulok) na anyo. Ginagawang posible ng mga ganitong sistema na magkakasunod na mahanap ang lahat ng hindi alam sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod.

Ipagpalagay natin na sa system (1)
(na laging posible).

(1)

Pagpaparami ng unang equation nang paisa-isa sa tinatawag na angkop na mga numero

at pagdaragdag ng resulta ng multiplikasyon sa mga katumbas na equation ng system, makakakuha tayo ng katumbas na sistema kung saan sa lahat ng equation maliban sa una ay walang malalaman X 1

(2)

I-multiply natin ngayon ang pangalawang equation ng system (2) sa mga angkop na numero, sa pag-aakalang iyon

,

at pagdaragdag nito sa mga mas mababa, inaalis namin ang variable mula sa lahat ng mga equation, simula sa ikatlo.

Ang pagpapatuloy ng prosesong ito, pagkatapos
hakbang na nakukuha natin:

(3)

Kung hindi bababa sa isa sa mga numero
ay hindi katumbas ng zero, kung gayon ang katumbas na pagkakapantay-pantay ay magkasalungat at ang sistema (1) ay hindi pare-pareho. Sa kabaligtaran, para sa anumang pinagsamang sistema ng numero
ay katumbas ng zero. Numero ay walang iba kundi ang ranggo ng matrix ng system (1).

Ang paglipat mula sa system (1) hanggang (3) ay tinatawag dumiretso Gauss method, at paghahanap ng mga hindi alam mula sa (3) - sa kabaligtaran .

Magkomento : Mas madaling magsagawa ng mga pagbabagong-anyo hindi sa mga equation mismo, ngunit sa pinahabang matrix ng system (1).

Halimbawa. Maghanap tayo ng solusyon sa sistema

.

Isulat natin ang pinahabang matrix ng system:

.

Idagdag natin ang una sa mga linyang 2,3,4, na pinarami ng (-2), (-3), (-2) ayon sa pagkakabanggit:

.

Pagpalitin natin ang row 2 at 3, pagkatapos ay sa resultang matrix idagdag ang row 2 sa row 4, na pinarami ng :

.

Idagdag sa linya 4 na linya 3 na pinarami ng
:

.

Obvious naman yun
, samakatuwid, ang sistema ay pare-pareho. Mula sa nagresultang sistema ng mga equation

mahanap namin ang solusyon sa pamamagitan ng reverse substitution:

,
,
,
.

Halimbawa 2. Maghanap ng solusyon sa system:

.

Obvious naman na inconsistent ang system, kasi
, A
.

Mga kalamangan ng pamamaraang Gauss :

Hindi gaanong labor intensive kaysa sa pamamaraan ni Cramer.

Hindi malabo na itinatatag ang pagiging tugma ng system at nagbibigay-daan sa iyong makahanap ng solusyon.

Ginagawang posible upang matukoy ang ranggo ng anumang mga matrice.

Hayaan M 0 – set ng mga solusyon sa isang homogenous system (4) ng mga linear equation.

Kahulugan 6.12. Mga vector Sa 1 ,Sa 2 , …, may p, na mga solusyon ng isang homogenous na sistema ng mga linear na equation ay tinatawag pangunahing hanay ng mga solusyon(pinaikling FNR), kung

1) mga vector Sa 1 ,Sa 2 , …, may p linearly independent (ibig sabihin, wala sa kanila ang maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng iba);

2) anumang iba pang solusyon sa isang homogenous na sistema ng mga linear equation ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng mga solusyon Sa 1 ,Sa 2 , …, may p.

Tandaan na kung Sa 1 ,Sa 2 , …, may p– anumang f.n.r., pagkatapos ay ang expression k 1× Sa 1 + k 2× Sa 2 + … + k p× may p maaari mong ilarawan ang buong set M 0 solusyon sa system (4), kaya ito ay tinatawag na pangkalahatang pagtingin sa solusyon ng system (4).

Teorama 6.6. Ang anumang hindi tiyak na homogenous na sistema ng mga linear na equation ay may pangunahing hanay ng mga solusyon.

Ang paraan upang mahanap ang pangunahing hanay ng mga solusyon ay ang mga sumusunod:

Maghanap ng isang pangkalahatang solusyon sa isang homogenous na sistema ng mga linear equation;

Build ( n – r) bahagyang mga solusyon ng sistemang ito, habang ang mga halaga ng mga libreng hindi alam ay dapat bumuo ng isang identity matrix;

Isulat ang pangkalahatang anyo ng solusyon na kasama sa M 0 .

Halimbawa 6.5. Maghanap ng pangunahing hanay ng mga solusyon sa sumusunod na sistema:

Solusyon. Maghanap tayo ng pangkalahatang solusyon sa sistemang ito.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ Mayroong limang hindi alam sa sistemang ito ( n= 5), kung saan mayroong dalawang pangunahing hindi alam ( r= 2), mayroong tatlong libreng hindi alam ( n – r), iyon ay, ang pangunahing hanay ng solusyon ay naglalaman ng tatlong mga vector ng solusyon. Buuin natin sila. Meron kami x 1 at x 3 - pangunahing hindi alam, x 2 , x 4 , x 5 – libreng hindi alam

Mga halaga ng mga libreng hindi alam x 2 , x 4 , x 5 bumuo ng identity matrix E ikatlong order. Nakuha na ang mga vectors Sa 1 ,Sa 2 , Sa 3 anyo f.n.r. ng sistemang ito. Kung gayon ang hanay ng mga solusyon ng homogenous system na ito ay magiging M 0 = {k 1× Sa 1 + k 2× Sa 2 + k 3× Sa 3 , k 1 , k 2 , k 3 О R).

Alamin natin ngayon ang mga kondisyon para sa pagkakaroon ng mga nonzero na solusyon ng isang homogenous na sistema ng mga linear na equation, sa madaling salita, ang mga kondisyon para sa pagkakaroon ng isang pangunahing hanay ng mga solusyon.

Ang isang homogenous na sistema ng mga linear equation ay may mga non-zero na solusyon, ibig sabihin, hindi tiyak kung

1) ang ranggo ng pangunahing matrix ng system ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga hindi alam;

2) sa isang homogenous na sistema ng mga linear na equation, ang bilang ng mga equation ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga hindi alam;

3) kung sa isang homogenous na sistema ng mga linear na equation ang bilang ng mga equation ay katumbas ng bilang ng mga hindi alam, at ang determinant ng pangunahing matrix ay katumbas ng zero (i.e. | A| = 0).

Halimbawa 6.6. Sa anong halaga ng parameter a homogenous na sistema ng mga linear na equation may mga non-zero na solusyon?

Solusyon. Buuin natin ang pangunahing matrix ng sistemang ito at hanapin ang determinant nito: = = 1×(–1) 1+1 × = – A– 4. Ang determinant ng matrix na ito ay katumbas ng zero sa a = –4.

Sagot: –4.

7. Arithmetic n-dimensional na espasyo ng vector

Pangunahing Konsepto

Sa mga nakaraang seksyon ay nakatagpo na natin ang konsepto ng isang hanay ng mga tunay na numero na nakaayos sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod. Ito ay isang row matrix (o column matrix) at isang solusyon sa isang sistema ng mga linear equation na may n hindi kilala. Maaaring ibuod ang impormasyong ito.

Kahulugan 7.1. n-dimensional na arithmetic vector tinatawag na isang ordered set ng n tunay na mga numero.

ibig sabihin A= (a 1 , a 2 , …, a n), kung saan a iО R, i = 1, 2, …, n– pangkalahatang view ng vector. Numero n tinawag sukat vectors, at mga numero a i ay tinatawag na kanya mga coordinate.

Halimbawa: A= (1, –8, 7, 4, ) – limang-dimensional na vector.

All set n-dimensional vectors ay karaniwang denoted bilang Rn.

Kahulugan 7.2. Dalawang vector A= (a 1 , a 2 , …, a n) At b= (b 1 , b 2 , …, b n) ng parehong dimensyon pantay kung at kung magkapantay lamang ang kanilang mga katumbas na coordinate, i.e. a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= b n.

Kahulugan 7.3.Halaga dalawa n-dimensional na mga vector A= (a 1 , a 2 , …, a n) At b= (b 1 , b 2 , …, b n) ay tinatawag na vector a + b= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, …, a n+b n).

Kahulugan 7.4. Ang trabaho totoong numero k sa vector A= (a 1 , a 2 , …, a n) ay tinatawag na vector k× A = (k×a 1, k×a 2 , …, k×a n)

Kahulugan 7.5. Vector O= (0, 0, …, 0) ay tinatawag sero(o null vector).

Madaling i-verify na ang mga aksyon (operasyon) ng pagdaragdag ng mga vector at pagpaparami ng mga ito sa isang tunay na numero ay may mga sumusunod na katangian: " a, b, c Î Rn, " k, lО R:

1) a + b = b + a;

2) a + (b+ c) = (a + b) + c;

3) a + O = a;

4) a+ (–a) = O;

5) 1× a = a, 1 О R;

6) k×( l× a) = l×( k× a) = (l× k)× a;

7) (k + l)× a = k× a + l× a;

8) k×( a + b) = k× a + k× b.

Kahulugan 7.6. Isang grupo ng Rn sa mga operasyon ng pagdaragdag ng mga vectors at pagpaparami ng mga ito sa isang tunay na numero na ibinigay dito ay tinatawag arithmetic n-dimensional na vector space.

Ang pamamaraang Gaussian ay may ilang mga disadvantages: imposibleng malaman kung ang sistema ay pare-pareho o hindi hanggang ang lahat ng mga pagbabagong kinakailangan sa pamamaraang Gaussian ay naisagawa; Ang pamamaraan ni Gauss ay hindi angkop para sa mga sistemang may mga titik na koepisyent.

Isaalang-alang natin ang iba pang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation. Ginagamit ng mga pamamaraang ito ang konsepto ng ranggo ng matrix at binabawasan ang solusyon ng anumang pare-parehong sistema sa solusyon ng isang sistema kung saan nalalapat ang panuntunan ng Cramer.

Halimbawa 1. Maghanap ng isang pangkalahatang solusyon sa sumusunod na sistema ng mga linear equation gamit ang pangunahing sistema ng mga solusyon sa pinababang homogenous na sistema at isang partikular na solusyon sa inhomogeneous na sistema.

1. Paggawa ng matrix A at pinalawig na system matrix (1)

2. Galugarin ang system (1) para sa pagkakaisa. Upang gawin ito, nakita namin ang mga ranggo ng mga matrice A at https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Kung ito ay lumabas na , pagkatapos ay ang system (1) hindi magkatugma. Kung makuha natin iyon , kung gayon ang sistemang ito ay pare-pareho at malulutas namin ito. (Ang compatibility study ay batay sa Kronecker-Capelli theorem).

a. Nahanap namin rA.

Hanapin rA, isasaalang-alang namin ang sunud-sunod na hindi zero na mga menor de edad ng una, pangalawa, atbp. na mga order ng matrix A at ang mga menor de edad na nakapaligid sa kanila.

M1=1≠0 (kumukuha kami ng 1 mula sa kaliwang sulok sa itaas ng matrix A).

Border kami M1 ang pangalawang row at pangalawang column ng matrix na ito. . Nagpatuloy kami sa hangganan M1 ang pangalawang linya at ang pangatlong column..gif" width="37" height="20 src=">. Ngayon, border namin ang non-zero minor M2′ pangalawang utos.

Meron kami: (dahil ang unang dalawang column ay pareho)

(dahil ang pangalawa at pangatlong linya ay proporsyonal).

Nakikita natin yan rA=2, a ay ang batayang minor ng matrix A.

b. Nahanap namin.

Medyo basic na menor de edad M2′ matrice A border na may column ng mga libreng termino at lahat ng row (mayroon lang kaming huling row).

. Sinusundan nito iyon M3′′ nananatiling pangunahing minor ng matrix https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

kasi M2′- batayang minor ng matrix A mga sistema (2) , kung gayon ang sistemang ito ay katumbas ng sistema (3) , na binubuo ng unang dalawang equation ng system (2) (para sa M2′ ay nasa unang dalawang hanay ng matrix A).

(3)

Dahil ang pangunahing menor de edad https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

Sa sistemang ito mayroong dalawang libreng hindi alam ( x2 At x4 ). kaya lang FSR mga sistema (4) ay binubuo ng dalawang solusyon. Upang mahanap ang mga ito, nagtatalaga kami ng mga libreng hindi alam sa (4) mga halaga muna x2=1 , x4=0 , at pagkatapos - x2=0 , x4=1 .

Sa x2=1 , x4=0 makuha namin:

.

Ang sistemang ito ay mayroon na ang tanging bagay solusyon (matatagpuan ito gamit ang panuntunan ng Cramer o anumang iba pang pamamaraan). Ang pagbabawas ng una mula sa pangalawang equation, nakukuha natin:

Ang magiging solusyon niya x1= -1 , x3=0 . Ibinigay ang mga halaga x2 At x4 , na idinagdag namin, nakukuha namin ang unang pangunahing solusyon ng system (2) : .

Ngayon naniniwala kami sa (4) x2=0 , x4=1 . Nakukuha namin:

.

Niresolba namin ang sistemang ito gamit ang teorema ng Cramer:

.

Nakukuha namin ang pangalawang pangunahing solusyon ng system (2) : .

Mga solusyon β1 , β2 at make up FSR mga sistema (2) . Kung gayon ang pangkalahatang solusyon nito ay

γ= C1 β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Dito C1 , C2 – di-makatwirang mga pare-pareho.

4. Maghanap tayo ng isa pribado solusyon heterogenous na sistema(1) . Tulad ng sa talata 3 , sa halip na ang sistema (1) Isaalang-alang natin ang isang katumbas na sistema (5) , na binubuo ng unang dalawang equation ng system (1) .

(5)

Ilipat natin ang mga libreng hindi alam sa kanang bahagi x2 At x4.

(6)

Bigyan natin ng libreng mga hindi kilala x2 At x4 mga arbitrary na halaga, halimbawa, x2=2 , x4=1 at ilagay ang mga ito sa (6) . Kunin natin ang sistema

Ang sistemang ito ay may natatanging solusyon (dahil ang determinant nito M2′0). Ang paglutas nito (gamit ang Cramer's theorem o Gauss's method), makuha natin x1=3 , x3=3 . Ibinigay ang mga halaga ng mga libreng hindi alam x2 At x4 , nakukuha namin partikular na solusyon ng isang inhomogeneous system(1)α1=(3,2,3,1).

5. Ngayon ang natitira na lang ay isulat ito pangkalahatang solusyon α ng isang inhomogeneous system(1) : ito ay katumbas ng kabuuan pribadong solusyon ang sistemang ito at pangkalahatang solusyon ng pinababang homogenous na sistema nito (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Ibig sabihin nito: (7)

6. Pagsusulit. Upang suriin kung nalutas mo nang tama ang system (1) , kailangan namin ng pangkalahatang solusyon (7) kapalit sa (1) . Kung ang bawat equation ay nagiging pagkakakilanlan ( C1 At C2 dapat sirain), kung gayon ang solusyon ay matatagpuan nang tama.

Papalitan natin (7) halimbawa, ang huling equation lamang ng system (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Nakukuha namin ang: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Saan –1=–1. Nagkaroon kami ng pagkakakilanlan. Ginagawa namin ito sa lahat ng iba pang mga equation ng system (1) .

Magkomento. Ang tseke ay kadalasang medyo mahirap. Maaaring irekomenda ang sumusunod na "partial check": sa pangkalahatang solusyon ng system (1) magtalaga ng ilang mga halaga sa mga di-makatwirang constant at palitan ang nagresultang bahagyang solusyon lamang sa mga itinapon na equation (ibig sabihin, sa mga equation na iyon mula sa (1) , na hindi kasama sa (5) ). Kung nakakuha ka ng mga pagkakakilanlan, kung gayon parang, solusyon ng system (1) natagpuan nang tama (ngunit ang naturang tseke ay hindi nagbibigay ng kumpletong garantiya ng kawastuhan!). Halimbawa, kung sa (7) ilagay C2=- 1 , C1=1, pagkatapos ay makukuha natin ang: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Ang pagpapalit sa huling equation ng system (1), mayroon tayong: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , ibig sabihin, –1=–1. Nagkaroon kami ng pagkakakilanlan.

Halimbawa 2. Maghanap ng isang pangkalahatang solusyon sa isang sistema ng mga linear equation (1) , na nagpapahayag ng mga pangunahing hindi alam sa mga tuntunin ng mga libre.

Solusyon. Tulad ng sa halimbawa 1, bumuo ng mga matrice A at https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> ng mga matrice na ito. Ngayon, iiwan na lang namin ang mga equation ng system (1) , ang mga coefficient nito ay kasama sa pangunahing minor na ito (i.e., mayroon tayong unang dalawang equation) at isaalang-alang ang isang sistemang binubuo ng mga ito, katumbas ng system (1).

Ilipat natin ang mga libreng hindi alam sa kanang bahagi ng mga equation na ito.

sistema (9) Nilulutas namin ang pamamaraang Gaussian, isinasaalang-alang ang kanang bahagi bilang mga libreng termino.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Opsyon 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Opsyon 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Opsyon 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Opsyon 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Ang isang sistema ng mga linear na equation kung saan ang lahat ng mga libreng termino ay katumbas ng zero ay tinatawag homogenous :

Ang anumang homogenous na sistema ay palaging pare-pareho, dahil palagi itong mayroon sero (walang kuwenta ) solusyon. Ang tanong ay bumangon sa ilalim ng kung anong mga kundisyon ang isang homogenous na sistema ay magkakaroon ng isang nontrivial na solusyon.

Teorama 5.2.Ang isang homogenous na sistema ay may isang nontrivial na solusyon kung at kung ang ranggo ng pinagbabatayan na matrix ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga hindi alam nito.

Bunga. Ang isang square homogeneous system ay may nontrivial solution kung at kung ang determinant ng pangunahing matrix ng system ay hindi katumbas ng zero.

Halimbawa 5.6. Tukuyin ang mga halaga ng parameter l kung saan ang sistema ay may mga hindi kabuluhang solusyon, at hanapin ang mga solusyong ito:

Solusyon. Ang sistemang ito ay magkakaroon ng isang non-trivial na solusyon kapag ang determinant ng pangunahing matrix ay katumbas ng zero:

Kaya, ang sistema ay hindi mahalaga kapag l=3 o l=2. Para sa l=3, ang ranggo ng pangunahing matrix ng system ay 1. Pagkatapos, iiwan lamang ang isang equation at ipagpalagay na y=a At z=b, nakukuha namin x=b-a, ibig sabihin.

Para sa l=2, ang ranggo ng pangunahing matrix ng system ay 2. Pagkatapos, ang pagpili ng menor bilang batayan:

nakakakuha tayo ng pinasimpleng sistema

Mula dito makikita natin iyan x=z/4, y=z/2. Naniniwala z=4a, nakukuha namin

Ang hanay ng lahat ng mga solusyon ng isang homogenous na sistema ay may napakahalaga linear na ari-arian : kung ang mga hanay X 1 at X 2 - mga solusyon sa isang homogenous na sistema AX = 0, pagkatapos ay anumang linear na kumbinasyon ng mga ito a X 1 + b X 2 magiging solusyon din sa sistemang ito. Sa katunayan, mula noong AX 1 = 0 At AX 2 = 0 , Iyon A(a X 1 + b X 2) = a AX 1 + b AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Dahil sa katangiang ito na kung ang isang linear system ay may higit sa isang solusyon, magkakaroon ng walang katapusang bilang ng mga solusyong ito.

Mga linearly independent na column E 1 , E 2 , Ek, na mga solusyon ng isang homogenous na sistema, ay tinatawag pangunahing sistema ng mga solusyon homogenous na sistema ng mga linear equation kung ang pangkalahatang solusyon ng sistemang ito ay maaaring isulat bilang isang linear na kumbinasyon ng mga column na ito:

Kung ang isang homogenous na sistema ay may n mga variable, at ang ranggo ng pangunahing matrix ng system ay katumbas ng r, Iyon k = n-r.

Halimbawa 5.7. Hanapin ang pangunahing sistema ng mga solusyon sa sumusunod na sistema ng mga linear equation:

Solusyon. Hanapin natin ang ranggo ng pangunahing matrix ng system:

Kaya, ang hanay ng mga solusyon sa sistemang ito ng mga equation ay bumubuo ng isang linear na subspace ng dimensyon n-r= 5 - 2 = 3. Piliin natin ang menor de edad bilang batayan

.

Pagkatapos, iiwan lamang ang mga pangunahing equation (ang natitira ay magiging isang linear na kumbinasyon ng mga equation na ito) at ang mga pangunahing variable (ginagalaw namin ang natitira, ang tinatawag na mga libreng variable sa kanan), nakakakuha kami ng isang pinasimple na sistema ng mga equation:

Naniniwala x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, nahanap namin

, .

Naniniwala a= 1, b = c= 0, nakuha namin ang unang pangunahing solusyon; naniniwala b= 1, a = c= 0, nakuha namin ang pangalawang pangunahing solusyon; naniniwala c= 1, a = b= 0, nakukuha namin ang ikatlong pangunahing solusyon. Bilang resulta, ang normal na pangunahing sistema ng mga solusyon ay magkakaroon ng anyo

Gamit ang pangunahing sistema, ang pangkalahatang solusyon ng isang homogenous na sistema ay maaaring isulat bilang

X = aE 1 + bE 2 + cE 3. a

Tandaan natin ang ilang mga katangian ng mga solusyon sa isang hindi magkakatulad na sistema ng mga linear na equation AX=B at ang kanilang kaugnayan sa kaukulang homogenous na sistema ng mga equation AX = 0.

Pangkalahatang solusyon ng isang inhomogeneous systemay katumbas ng kabuuan ng pangkalahatang solusyon ng kaukulang homogenous system na AX = 0 at isang arbitrary na partikular na solusyon ng hindi homogenous na sistema. Sa katunayan, hayaan Y 0 ay isang di-makatwirang partikular na solusyon ng isang hindi magkakatulad na sistema, i.e. AY 0 = B, At Y- pangkalahatang solusyon ng isang heterogenous system, i.e. AY=B. Ang pagbabawas ng isang pagkakapantay-pantay mula sa isa, nakukuha natin
A(Y-Y 0) = 0, ibig sabihin. Y-Y Ang 0 ay ang pangkalahatang solusyon ng kaukulang homogenous system AX=0. Kaya naman, Y-Y 0 = X, o Y=Y 0 + X. Q.E.D.

Hayaang ang inhomogeneous system ay may anyo na AX = B 1 + B 2 . Kung gayon ang pangkalahatang solusyon ng naturang sistema ay maaaring isulat bilang X = X 1 + X 2 , kung saan si AX 1 = B 1 at AX 2 = B 2. Ang property na ito ay nagpapahayag ng isang unibersal na pag-aari ng anumang mga linear system sa pangkalahatan (algebraic, differential, functional, atbp.). Sa physics tinatawag ang property na ito prinsipyo ng superposisyon, sa electrical at radio engineering - prinsipyo ng superposisyon. Halimbawa, sa teorya ng mga linear na electrical circuit, ang kasalukuyang sa anumang circuit ay maaaring makuha bilang algebraic na kabuuan ng mga alon na dulot ng bawat pinagmumulan ng enerhiya nang hiwalay.