Talaan ng mga karaniwang derivatives. Ano ang derivative

Kasama sa kursong video na "Kumuha ng A" ang lahat ng mga paksang kinakailangan upang matagumpay na makapasa sa Unified State Exam sa matematika na may 60-65 puntos. Ganap ang lahat ng mga gawain 1-13 ng Profile Unified State Exam sa matematika. Angkop din para sa pagpasa sa Basic Unified State Examination sa matematika. Kung gusto mong makapasa sa Unified State Exam na may 90-100 points, kailangan mong lutasin ang part 1 sa loob ng 30 minuto at walang pagkakamali!

Kurso sa paghahanda para sa Unified State Exam para sa grade 10-11, gayundin para sa mga guro. Lahat ng kailangan mo para malutas ang Part 1 ng Unified State Exam sa matematika (ang unang 12 problema) at Problema 13 (trigonometry). At ito ay higit sa 70 puntos sa Unified State Exam, at hindi magagawa ng isang 100-point na mag-aaral o ng isang mag-aaral sa humanities kung wala sila.

Lahat ng kinakailangang teorya. Mabilis na solusyon, pitfalls at sikreto ng Pinag-isang State Exam. Ang lahat ng kasalukuyang gawain ng bahagi 1 mula sa FIPI Task Bank ay nasuri. Ang kurso ay ganap na sumusunod sa mga kinakailangan ng Unified State Exam 2018.

Ang kurso ay naglalaman ng 5 malalaking paksa, 2.5 oras bawat isa. Ang bawat paksa ay ibinigay mula sa simula, simple at malinaw.

Daan-daang mga gawain ng Pinag-isang State Exam. Mga problema sa salita at teorya ng posibilidad. Simple at madaling matandaan ang mga algorithm para sa paglutas ng mga problema. Geometry. Teorya, sangguniang materyal, pagsusuri ng lahat ng uri ng mga gawain sa Pinag-isang Estado ng Pagsusuri. Stereometry. Mga nakakalito na solusyon, kapaki-pakinabang na cheat sheet, pagbuo ng spatial na imahinasyon. Trigonometry mula sa simula hanggang sa problema 13. Pag-unawa sa halip na pag-cramming. Malinaw na pagpapaliwanag ng mga kumplikadong konsepto. Algebra. Mga ugat, kapangyarihan at logarithms, function at derivative. Isang batayan para sa paglutas ng mga kumplikadong problema ng Bahagi 2 ng Pinag-isang Pagsusulit ng Estado.

Sa araling ito matututunan natin ang paglalapat ng mga pormula at tuntunin ng pagkakaiba.

Mga halimbawa. Maghanap ng mga derivatives ng mga function.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Paglalapat ng panuntunan ako, mga formula 4, 2 at 1. Nakukuha namin:

y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x 6 -2x+5. Pareho kaming nalulutas, gamit ang parehong mga formula at formula 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

Paglalapat ng panuntunan ako, mga formula 3, 5 At 6 At 1.

Paglalapat ng panuntunan IV, mga formula 5 At 1 .

Sa ikalimang halimbawa, ayon sa tuntunin ako ang derivative ng sum ay katumbas ng sum ng derivatives, at nakita lang namin ang derivative ng 1st term (halimbawa 4 ), samakatuwid, makakahanap tayo ng mga derivatives ika-2 At ika-3 mga tuntunin, at para sa 1st summand maaari naming agad na isulat ang resulta.

Magkaiba tayo ika-2 At ika-3 mga tuntunin ayon sa pormula 4 . Upang gawin ito, binabago natin ang mga ugat ng ikatlo at ikaapat na kapangyarihan sa mga denominador sa mga kapangyarihan na may negatibong exponents, at pagkatapos, ayon sa 4 formula, nakakahanap tayo ng mga derivatives ng mga kapangyarihan.

Tingnan ang halimbawang ito at ang resulta. Nahuli mo ba ang pattern? ayos lang. Nangangahulugan ito na mayroon kaming bagong formula at maaari itong idagdag sa aming talahanayan ng mga derivatives.

Lutasin natin ang ika-anim na halimbawa at kumuha ng isa pang formula.

Gamitin natin ang panuntunan IV at pormula 4 . Bawasan natin ang mga resultang fraction.

Tingnan natin ang function na ito at ang derivative nito. Siyempre, naiintindihan mo ang pattern at handa ka nang pangalanan ang formula:

Pag-aaral ng mga bagong formula!

Mga halimbawa.

1. Hanapin ang increment ng argument at ang increment ng function na y= x 2, kung ang paunang halaga ng argumento ay katumbas ng 4 , at bago - 4,01 .

Solusyon.

Bagong halaga ng argumento x=x 0 +Δx. Palitan natin ang data: 4.01=4+Δх, kaya ang pagtaas ng argumento Δx=4.01-4=0.01. Ang pagtaas ng isang function, sa pamamagitan ng kahulugan, ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng bago at nakaraang mga halaga ng function, i.e. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Since may function kami y=x2, Iyon Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Sagot: pagtaas ng argumento Δx=0.01; pagtaas ng function Δу=0,0801.

Ang pagtaas ng function ay maaaring matagpuan sa ibang paraan: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4.01) -y(4)=4.01 2 -4 2 =16.0801-16=0.0801.

2. Hanapin ang anggulo ng inclination ng tangent sa graph ng function y=f(x) sa punto x 0, Kung f "(x 0) = 1.

Solusyon.

Ang halaga ng derivative sa punto ng tangency x 0 at ang halaga ng tangent ng tangent angle (ang geometric na kahulugan ng derivative). Meron kami: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, kasi tg45°=1.

Sagot: ang tangent sa graph ng function na ito ay bumubuo ng isang anggulo na may positibong direksyon ng Ox axis na katumbas ng 45°.

3. Kunin ang formula para sa derivative ng function y=xn.

Differentiation ay ang aksyon ng paghahanap ng derivative ng isang function.

Kapag naghahanap ng mga derivative, gumamit ng mga formula na hinango batay sa kahulugan ng isang derivative, sa parehong paraan kung paano namin nakuha ang formula para sa derivative degree: (x n)" = nx n-1.

Ito ang mga formula.

Talaan ng mga derivatives Magiging mas madaling kabisaduhin sa pamamagitan ng pagbigkas ng mga verbal formulations:

1. Ang derivative ng isang pare-parehong dami ay zero.

2. Ang X prime ay katumbas ng isa.

3. Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa tanda ng derivative.

4. Ang derivative ng isang degree ay katumbas ng produkto ng exponent ng degree na ito sa isang degree na may parehong base, ngunit ang exponent ay mas mababa ng isa.

5. Ang derivative ng isang ugat ay katumbas ng isa na hinati ng dalawang pantay na ugat.

6. Ang derivative ng isang hinati sa x ay katumbas ng minus one na hinati ng x squared.

7. Ang derivative ng sine ay katumbas ng cosine.

8. Ang derivative ng cosine ay katumbas ng minus sine.

9. Ang derivative ng tangent ay katumbas ng isang hinati sa parisukat ng cosine.

10. Ang derivative ng cotangent ay katumbas ng minus one na hinati sa square ng sine.

Nagtuturo kami mga panuntunan sa pagkakaiba-iba.

1. Ang derivative ng isang algebraic sum ay katumbas ng algebraic sum ng mga derivatives ng mga termino.

2. Ang derivative ng isang produkto ay katumbas ng produkto ng derivative ng unang factor at ang pangalawa kasama ang produkto ng unang factor at ang derivative ng pangalawa.

3. Ang derivative ng "y" na hinati sa "ve" ay katumbas ng isang fraction kung saan ang numerator ay "y prime na pinarami ng "ve" minus "y multiplied sa ve prime", at ang denominator ay "ve squared".

4. Isang espesyal na kaso ng formula 3.

Sama-sama tayong matuto!

Pahina 1 ng 1 1

Ang pagkalkula ng derivative ay madalas na matatagpuan sa mga gawain ng Pinag-isang Estado ng Pagsusuri. Ang pahinang ito ay naglalaman ng isang listahan ng mga formula para sa paghahanap ng mga derivatives.

Mga tuntunin ng pagkita ng kaibhan

1. (k⋅ f(x))′=k⋅ f ′(x).
2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
3. (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
4. Derivative ng isang kumplikadong function. Kung y=F(u), at u=u(x), kung gayon ang function na y=f(x)=F(u(x)) ay tinatawag na complex function ng x. Katumbas ng y′(x)=Fu′⋅ ux′.
5. Derivative ng isang implicit function. Ang function na y=f(x) ay tinatawag na implicit function na tinukoy ng ugnayang F(x,y)=0 kung F(x,f(x))≡0.
6. Derivative ng inverse function. Kung g(f(x))=x, kung gayon ang function na g(x) ay tinatawag na inverse function ng function na y=f(x).
7. Derivative ng isang parametrically tinukoy na function. Hayaang tukuyin ang x at y bilang mga function ng variable t: x=x(t), y=y(t). Sinasabi nila na ang y=y(x) ay isang parametrically na tinukoy na function sa interval x∈ (a;b), kung sa interval na ito ang equation na x=x(t) ay maaaring ipahayag bilang t=t(x) at ang function y=y(t(x))=y(x).
8. Derivative ng isang power-exponential function. Natagpuan sa pamamagitan ng pagkuha ng mga logarithm sa base ng natural na logarithm.

Ano ang derivative?

Talaan ng mga derivatives.

Ang derivative ay isa sa mga pangunahing konsepto ng mas mataas na matematika. Sa araling ito ay ipakikilala natin ang konseptong ito. Kilalanin natin ang isa't isa, nang walang mahigpit na mathematical formulations at proofs.

Ang kakilalang ito ay magpapahintulot sa iyo na:

Unawain ang kakanyahan ng mga simpleng gawain na may mga derivatives;

Matagumpay na lutasin ang mga pinakasimpleng gawain;

Maghanda para sa mas seryosong mga aralin sa mga derivatives.

Una - isang maayang sorpresa.)

Ang mahigpit na kahulugan ng derivative ay batay sa teorya ng mga limitasyon at ang bagay ay medyo kumplikado. Nakakainis ito. Ngunit ang praktikal na aplikasyon ng mga derivatives, bilang panuntunan, ay hindi nangangailangan ng ganoong malawak at malalim na kaalaman!

Upang matagumpay na makumpleto ang karamihan sa mga gawain sa paaralan at unibersidad, sapat na upang malaman ilang terms na lang- upang maunawaan ang gawain, at ilang rules lang- upang malutas ito. Iyon lang. Ito ang nagpapasaya sa akin.

Magsimula tayong magkakilala?)

Mga tuntunin at pagtatalaga.

Mayroong maraming iba't ibang mga pagpapatakbo ng matematika sa elementarya na matematika. Pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami, pagpaparami, logarithm, atbp. Kung magdadagdag ka ng isa pang operasyon sa mga operasyong ito, magiging mas mataas ang elementarya na matematika. Ang bagong operasyon na ito ay tinatawag pagkakaiba-iba. Ang kahulugan at kahulugan ng operasyong ito ay tatalakayin sa magkakahiwalay na mga aralin.

Mahalagang maunawaan dito na ang pagkita ng kaibhan ay isang mathematical operation sa function. Nagsasagawa kami ng anumang pag-andar at, ayon sa ilang mga patakaran, binabago ito. Ang resulta ay magiging isang bagong function. Ang bagong function na ito ay tinatawag na: derivative.

Differentiation- aksyon sa isang function.

Derivative- ang resulta ng pagkilos na ito.

Tulad na lang, halimbawa, sum- ang resulta ng karagdagan. O kaya pribado- ang resulta ng paghahati.

Ang pag-alam sa mga termino, maaari mong maunawaan ang mga gawain.) Ang mga pormulasyon ay ang mga sumusunod: hanapin ang derivative ng isang function; kunin ang derivative; pag-iba-iba ang pag-andar; kalkulahin ang derivative at iba pa. Ito lang pareho. Siyempre, mayroon ding mas kumplikadong mga gawain, kung saan ang paghahanap ng derivative (differentiation) ay isa lamang sa mga hakbang sa paglutas ng problema.

Ang derivative ay ipinahiwatig ng isang gitling sa kanang tuktok ng function. Ganito: y" o f"(x) o S"(t) at iba pa.

Nagbabasa igrek stroke, ef stroke mula sa x, es stroke mula sa te, well, naiintindihan mo...)

Maaari ding ipahiwatig ng prime ang derivative ng isang partikular na function, halimbawa: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" atbp. Kadalasan ang mga derivative ay tinutukoy gamit ang mga kaugalian, ngunit hindi namin isasaalang-alang ang gayong notasyon sa araling ito.

Ipagpalagay natin na natutunan nating maunawaan ang mga gawain. Ang natitira na lang ay upang matutunan kung paano lutasin ang mga ito.) Paalalahanan kita muli: ang paghahanap ng derivative ay pagbabago ng isang function ayon sa ilang mga patakaran. Nakapagtataka, napakakaunti sa mga panuntunang ito.

Upang mahanap ang derivative ng isang function, kailangan mo lamang malaman ang tatlong bagay. Tatlong haligi kung saan nakatayo ang lahat ng pagkakaiba-iba. Narito ang tatlong haliging ito:

1. Talaan ng mga derivatives (mga formula ng differentiation).

3. Derivative ng isang kumplikadong function.

Magsimula tayo sa pagkakasunud-sunod. Sa araling ito ay titingnan natin ang talahanayan ng mga derivatives.

Talaan ng mga derivatives.

Mayroong walang katapusang bilang ng mga function sa mundo. Kabilang sa set na ito ay may mga function na pinakamahalaga para sa praktikal na paggamit. Ang mga tungkuling ito ay matatagpuan sa lahat ng batas ng kalikasan. Mula sa mga function na ito, tulad ng mula sa mga brick, maaari mong gawin ang lahat ng iba pa. Ang klase ng mga function na ito ay tinatawag mga pag-andar ng elementarya. Ang mga pag-andar na ito ay pinag-aaralan sa paaralan - linear, quadratic, hyperbola, atbp.

Ang pagkita ng kaibhan ng mga function "mula sa simula", i.e. Batay sa kahulugan ng derivative at ang teorya ng mga limitasyon, ito ay isang bagay na medyo labor-intensive. At ang mga mathematician ay tao rin, oo, oo!) Kaya pinasimple nila ang kanilang (at tayo) na buhay. Kinakalkula nila ang mga derivatives ng elementary functions bago sa amin. Ang resulta ay isang talahanayan ng mga derivatives, kung saan handa na ang lahat.)

Narito ito, ang plato na ito para sa pinakasikat na mga pag-andar. Sa kaliwa ay isang elementary function, sa kanan ay ang derivative nito.

	Function y	Derivative ng function y y"
1	C (pare-parehong halaga)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n - anumang numero)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	kasalanan x	(kasalanan x)" = cosx
	kasi x	(cos x)" = - kasalanan x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctan x
	arcctg x
4	a x
	e x
5	log a x
	ln x ( a = e)

Inirerekomenda ko ang pagbibigay pansin sa ikatlong pangkat ng mga function sa talahanayan ng mga derivatives na ito. Ang derivative ng isang power function ay isa sa mga pinakakaraniwang formula, kung hindi ang pinakakaraniwan! Nakukuha mo ba ang pahiwatig?) Oo, ipinapayong malaman ang talahanayan ng mga derivatives sa pamamagitan ng puso. Sa pamamagitan ng paraan, ito ay hindi kasing mahirap na tila. Subukang lutasin ang higit pang mga halimbawa, ang talahanayan mismo ay maaalala!)

Ang paghahanap ng halaga ng talahanayan ng derivative, tulad ng naiintindihan mo, ay hindi ang pinakamahirap na gawain. Samakatuwid, napakadalas sa gayong mga gawain ay may mga karagdagang chips. Alinman sa mga salita ng gawain, o sa orihinal na function, na tila wala sa talahanayan...

Tingnan natin ang ilang halimbawa:

1. Hanapin ang derivative ng function na y = x 3

Walang ganoong function sa talahanayan. Ngunit mayroong isang derivative ng isang function ng kapangyarihan sa pangkalahatang anyo (ikatlong pangkat). Sa aming kaso n=3. Kaya't pinapalitan namin ang tatlo sa halip na n at maingat na isulat ang resulta:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Ayan yun.

Sagot: y" = 3x 2

2. Hanapin ang halaga ng derivative ng function na y = sinx sa puntong x = 0.

Ang gawaing ito ay nangangahulugan na kailangan mo munang hanapin ang derivative ng sine, at pagkatapos ay palitan ang halaga x = 0 sa napaka derivative na ito. Eksakto sa ayos na iyon! Kung hindi man, nangyayari na agad nilang pinapalitan ang zero sa orihinal na function... Hinihiling sa amin na hanapin hindi ang halaga ng orihinal na function, ngunit ang halaga hinango nito. Ang derivative, hayaan mong ipaalala ko sa iyo, ay isang bagong function.

Gamit ang tablet nahanap namin ang sine at ang kaukulang derivative:

y" = (sin x)" = cosx

Pinapalitan namin ang zero sa derivative:

y"(0) = cos 0 = 1

Ito ang magiging sagot.

3. Pag-iba-iba ang function:

Ano, nakaka-inspire ba?) Walang ganoong function sa table ng derivatives.

Hayaan mong ipaalala ko sa iyo na ang pag-iiba ng isang function ay ang paghahanap lamang ng derivative ng function na ito. Kung nakalimutan mo ang elementarya na trigonometrya, ang paghahanap ng derivative ng aming function ay medyo mahirap. Hindi nakakatulong ang mesa...

Ngunit kung makikita natin na ang ating tungkulin ay double angle cosine, pagkatapos ay bubuti kaagad ang lahat!

Oo Oo! Tandaan na ang pagbabago ng orihinal na function bago ang pagkita ng kaibhan medyo katanggap-tanggap! At nangyayari ito upang gawing mas madali ang buhay. Gamit ang double angle cosine formula:

Yung. ang aming nakakalito na function ay walang iba kundi y = cosx. At ito ay isang function ng talahanayan. Nakuha namin kaagad:

Sagot: y" = - kasalanan x.

Halimbawa para sa mga advanced na nagtapos at mga mag-aaral:

4. Hanapin ang derivative ng function:

Walang ganoong function sa derivatives table, siyempre. Ngunit kung naaalala mo ang elementarya na matematika, mga operasyong may kapangyarihan... Kung gayon, posible na gawing simple ang pagpapaandar na ito. Ganito:

At ang x sa kapangyarihan ng isang ikasampu ay isa nang table function! Ikatlong pangkat, n=1/10. Sumulat kami nang direkta ayon sa formula:

Iyon lang. Ito ang magiging sagot.

Umaasa ako na ang lahat ay malinaw sa unang haligi ng pagkita ng kaibhan - ang talahanayan ng mga derivatives. Ito ay nananatiling upang harapin ang dalawang natitirang mga balyena. SA susunod na aralin Kabisaduhin natin ang mga patakaran ng pagkita ng kaibhan.