Chuyển đổi phân số thành quy tắc thập phân. Chuyển đổi số thập phân thành phân số

Phân số thập phân gồm hai phần cách nhau bằng dấu phẩy. Phần đầu là đơn vị nguyên, phần thứ hai là hàng chục (nếu có một số sau dấu thập phân), hàng trăm (hai số sau dấu thập phân, như hai số 0 trong một trăm), phần nghìn, v.v. Hãy xem ví dụ về phân số thập phân: 0, 2; 7, 54; 235.448; 5.1; 6,32; 0,5. Đây đều là các phân số thập phân. Làm thế nào để chuyển một phân số thập phân thành phân số thường?

Ví dụ một

Chúng ta có một phân số, ví dụ: 0,5. Như đã đề cập ở trên, nó bao gồm hai phần. Số đầu tiên, 0, cho biết phân số có bao nhiêu đơn vị. Trong trường hợp của chúng tôi không có. Số thứ hai hiển thị hàng chục. Phân số thậm chí còn ghi 0,5. Số thập phân chuyển sang phân số Bây giờ sẽ không khó nữa, chúng ta sẽ viết 5/10. Nếu bạn thấy rằng những con số có ước số chung, bạn có thể giảm phân số. Chúng ta có số 5 này, chia cả hai vế của phân số cho 5, chúng ta được - 1/2.

Ví dụ hai

Hãy lấy một phần phức tạp hơn - 2,25. Nó đọc như thế này: hai phẩy hai và hai mươi lăm phần trăm. Xin lưu ý - phần trăm, vì có hai số sau dấu thập phân. Bây giờ bạn có thể chuyển đổi sang phân số chung. Chúng tôi viết ra - 2 25/100. Phần nguyên là 2, phần phân số là 25/100. Như trong ví dụ đầu tiên, phần này có thể được rút ngắn. Ước chung của hai số 25 và 100 là số 25. Lưu ý ta luôn chọn ước chung lớn nhất. Chia cả hai vế của phân số cho GCD, ta được 1/4. Vậy 2,25 là 2 1/4.

Ví dụ ba

Và để củng cố tài liệu, hãy lấy phân số thập phân 4.112 - bốn phẩy một và một trăm mười hai phần nghìn. Tại sao phần nghìn, tôi nghĩ, là rõ ràng. Bây giờ chúng ta viết ra 4 112/1000. Sử dụng thuật toán, chúng ta tìm gcd của các số 112 và 1000. Trong trường hợp của chúng ta, đây là số 6. Chúng ta nhận được 4 14/125.

Phần kết luận

  1. Chúng ta chia phân số thành phần nguyên và phần phân số.
  2. Hãy xem có bao nhiêu chữ số sau dấu thập phân. Nếu một là hàng chục, hai là hàng trăm, ba là phần nghìn, v.v.
  3. Ta viết phân số ở dạng thông thường.
  4. Rút gọn tử số và mẫu số của phân số.
  5. Chúng tôi viết ra phần kết quả.
  6. Chúng tôi kiểm tra và chia phần trên cùng phân số xuống dưới cùng. Nếu có phần nguyên thì cộng nó vào phân số thập phân thu được. Phiên bản gốc trở nên tuyệt vời, điều đó có nghĩa là bạn đã làm đúng mọi thứ.

Bằng các ví dụ, tôi đã chỉ ra cách bạn có thể chuyển đổi một phân số thập phân thành một phân số thông thường. Như bạn có thể thấy, việc này rất dễ thực hiện và đơn giản.

Phân số là một số được tạo thành từ một hoặc nhiều đơn vị. Có ba loại phân số trong toán học: phổ biến, hỗn hợp và thập phân.


  • Phân số chung

Một phân số thông thường được viết dưới dạng tỷ lệ trong đó tử số phản ánh số phần được lấy từ số đó và mẫu số cho biết đơn vị đó được chia thành bao nhiêu phần. Nếu tử số nhỏ hơn mẫu số thì ta có một phân số đúng, ví dụ: ½, 3/5, 8/9.


Nếu tử số bằng hoặc lớn hơn mẫu số thì chúng ta đang xử lý một phân số không đúng. Ví dụ: 5/5, 9/4, 5/2 Chia tử số có thể dẫn đến một số hữu hạn. Ví dụ: 40/8 = 5. Do đó, bất kỳ số nguyên nào cũng có thể được viết dưới dạng phân số không chính xác thông thường hoặc một chuỗi các phân số như vậy. Hãy xem xét các mục có cùng số dưới dạng một số số khác nhau.

  • Phân số hỗn hợp

TRONG nhìn chung một phần hỗn hợp có thể được biểu diễn bằng công thức:


Do đó, một phân số hỗn hợp được viết dưới dạng số nguyên và phân số thực thông thường, và ký hiệu như vậy được hiểu là tổng của toàn bộ và phần phân số của nó.

  • Số thập phân

Số thập phân là một loại phân số đặc biệt trong đó mẫu số có thể được biểu diễn dưới dạng lũy ​​thừa của 10. Có số thập phân vô hạn và hữu hạn. Khi viết loại phân số này, phần nguyên được ghi trước, sau đó phần phân số được ghi bằng dấu phân cách (dấu chấm hoặc dấu phẩy).


Ký hiệu của phần phân số luôn được xác định bởi kích thước của nó. Ký hiệu thập phân trông như thế này:

Quy tắc chuyển đổi giữa các loại phân số khác nhau

  • Chuyển phân số hỗn hợp thành phân số chung

Một phân số hỗn hợp chỉ có thể được chuyển đổi thành một phân số không chính xác. Để dịch, cần đưa phần nguyên về cùng mẫu số với phần phân số. Nói chung nó sẽ trông như thế này:
Hãy xem xét việc sử dụng quy tắc này bằng các ví dụ cụ thể:


  • Chuyển phân số chung thành hỗn số

Một phân số không chính xác có thể được chuyển đổi thành một phân số hỗn hợp bằng phép chia đơn giản, thu được phần nguyên và phần còn lại (phần phân số).


Ví dụ: hãy chuyển phân số 439/31 thành hỗn hợp:
​​

  • Chuyển đổi phân số

Trong một số trường hợp, việc chuyển một phân số thành số thập phân khá đơn giản. Trong trường hợp này, tính chất cơ bản của phân số được áp dụng: tử số và mẫu số được nhân với cùng một số để đưa ước số lên lũy thừa 10.


Ví dụ:



Trong một số trường hợp, bạn có thể cần tìm thương bằng cách chia cho các góc hoặc sử dụng máy tính. Và một số phân số không thể rút gọn thành số thập phân cuối cùng. Ví dụ, phân số 1/3 khi chia sẽ không bao giờ cho kết quả cuối cùng.


Trong bài viết này chúng ta sẽ xem xét làm thế nào chuyển phân số thành số thập phân, đồng thời xem xét quá trình ngược lại- Chuyển đổi phân số thập phân thành phân số thường. Ở đây chúng ta sẽ phác thảo các quy tắc chuyển đổi phân số và đưa ra giải pháp chi tiết những ví dụ điển hình.

Điều hướng trang.

Chuyển phân số thành số thập phân

Chúng ta hãy biểu thị trình tự mà chúng ta sẽ giải quyết chuyển phân số thành số thập phân.

Đầu tiên, chúng ta sẽ xem cách biểu diễn các phân số có mẫu số 10, 100, 1.000, ... dưới dạng số thập phân. Điều này được giải thích là do phân số thập phân thực chất là dạng viết gọn của phân số thông thường với các mẫu số 10, 100, ....

Sau đó, chúng ta sẽ đi xa hơn và chỉ ra cách viết bất kỳ phân số thông thường nào (không chỉ những phân số có mẫu số 10, 100, ...) dưới dạng phân số thập phân. Khi xử lý các phân số thông thường theo cách này, sẽ thu được cả phân số thập phân hữu hạn và phân số thập phân tuần hoàn vô hạn.

Bây giờ hãy nói về mọi thứ theo thứ tự.

Chuyển các phân số thông dụng có mẫu số 10, 100, ... sang số thập phân

Một số phân số thích hợp yêu cầu "chuẩn bị sơ bộ" trước khi chuyển sang số thập phân. Điều này áp dụng cho các phân số thông thường, số chữ số ở tử số nhỏ hơn số chữ số 0 ở mẫu số. Ví dụ: phân số chung 2/100 trước tiên phải được chuẩn bị để chuyển đổi thành phân số thập phân, nhưng phân số 9/10 thì không cần chuẩn bị gì.

“Chuẩn bị sơ bộ” các phân số thông thường thích hợp để chuyển sang phân số thập phân bao gồm việc thêm thật nhiều số 0 vào bên trái tử số sao cho tổng cộng các chữ số trở thành bằng số số 0 ở mẫu số. Ví dụ: một phân số sau khi thêm các số 0 sẽ có dạng .

Sau khi đã chuẩn bị xong một phân số thích hợp, bạn có thể bắt đầu chuyển đổi nó thành số thập phân.

Hãy cung cấp cho quy tắc chuyển một phân số chung có mẫu số 10, 100, 1.000,... thành phân số thập phân. Nó bao gồm ba bước:

  • viết 0;
  • sau đó chúng ta đặt dấu thập phân;
  • Chúng tôi viết số từ tử số (cùng với các số 0 được thêm vào, nếu chúng tôi thêm chúng).

Hãy xem xét việc áp dụng quy tắc này khi giải các ví dụ.

Ví dụ.

Chuyển phân số thích hợp 37/100 thành số thập phân.

Giải pháp.

Mẫu số chứa số 100, có hai số 0. Tử số chứa số 37, ký hiệu của nó có hai chữ số nên không cần chuẩn bị chuyển đổi sang phân số thập phân.

Bây giờ chúng ta viết 0, đặt dấu thập phân và viết số 37 từ tử số và chúng ta nhận được phân số thập phân 0,37.

Trả lời:

0,37 .

Để củng cố kỹ năng chuyển các phân số thông thường có tử số 10, 100,... thành phân số thập phân, chúng ta sẽ phân tích cách giải sang một ví dụ khác.

Ví dụ.

Viết phân số thích hợp 107/10.000.000 dưới dạng số thập phân.

Giải pháp.

Số chữ số ở tử số là 3, số 0 ở mẫu số là 7 nên phân số chung này cần được chuẩn bị để chuyển sang số thập phân. Chúng ta cần thêm 7-3=4 số 0 vào bên trái tử số để tổng số chữ số ở đó bằng số số 0 ở mẫu số. Chúng tôi nhận được.

Tất cả những gì còn lại là tạo phần thập phân cần thiết. Để làm điều này, trước tiên, chúng ta viết 0, thứ hai, chúng ta đặt dấu phẩy, thứ ba, chúng ta viết số từ tử số cùng với các số 0 0000107, kết quả là chúng ta có phân số thập phân 0,0000107.

Trả lời:

0,0000107 .

Phân số không chính xác không cần bất kỳ sự chuẩn bị nào khi chuyển đổi sang số thập phân. Cần tuân thủ những điều sau đây quy tắc chuyển các phân số không đúng mẫu số 10, 100,... thành số thập phân:

  • viết số từ tử số;
  • Chúng ta sử dụng dấu thập phân để phân tách số chữ số bên phải bằng số 0 trong mẫu số của phân số ban đầu.

Hãy xem ứng dụng của quy tắc này khi giải một ví dụ.

Ví dụ.

Chuyển phân số không chính xác 56,888,038,009/100,000 thành số thập phân.

Giải pháp.

Đầu tiên, chúng ta viết số từ tử số 56888038009 và thứ hai, chúng ta tách 5 chữ số ở bên phải bằng dấu thập phân, vì mẫu số của phân số ban đầu có 5 số 0. Kết quả là chúng ta có phân số thập phân 568880.38009.

Trả lời:

568 880,38009 .

Để chuyển một hỗn số thành một phân số thập phân, mẫu số của phần phân số là số 10, hoặc 100, hoặc 1.000, ..., bạn có thể chuyển hỗn số thành phân số thông thường không chính xác, sau đó chuyển đổi kết quả phân số thành phân số thập phân. Nhưng bạn cũng có thể sử dụng như sau quy tắc chuyển các hỗn số có mẫu số phân số là 10, hoặc 100, hoặc 1.000,... thành phân số thập phân:

  • nếu cần thiết, chúng ta thực hiện “chuẩn bị sơ bộ” phần phân số của hỗn số ban đầu bằng cách thêm khối lượng bắt buộc số 0 ở bên trái tử số;
  • viết phần nguyên của hỗn số ban đầu;
  • đặt dấu thập phân;
  • Chúng ta viết số từ tử số cùng với các số 0 được thêm vào.

Hãy xem một ví dụ trong đó chúng ta hoàn thành tất cả các bước cần thiết để biểu diễn một hỗn số dưới dạng phân số thập phân.

Ví dụ.

Chuyển hỗn số thành số thập phân.

Giải pháp.

Mẫu số của phần phân số có 4 số 0 nhưng tử số lại chứa số 17 gồm 2 chữ số nên ta cần cộng hai số 0 vào bên trái tử số để số các chữ số ở đó bằng số số không ở mẫu số. Làm xong việc này, tử số sẽ là 0017.

Bây giờ chúng ta viết phần nguyên của số ban đầu, tức là số 23, đặt dấu thập phân, sau đó chúng ta viết số từ tử số cùng với các số 0 được thêm vào, tức là 0017 và chúng ta có được số thập phân mong muốn phân số 23,0017.

Hãy viết ra toàn bộ giải pháp một cách ngắn gọn: .

Tất nhiên, trước tiên có thể biểu diễn hỗn số dưới dạng phân số không chính xác và sau đó chuyển nó thành phân số thập phân. Với cách tiếp cận này, giải pháp sẽ như sau: .

Trả lời:

23,0017 .

Chuyển đổi phân số thành số thập phân tuần hoàn hữu hạn và vô hạn

Bạn có thể chuyển đổi không chỉ các phân số thông thường có mẫu số 10, 100, ... thành phân số thập phân mà còn có thể chuyển đổi các phân số thông thường có mẫu số khác. Bây giờ chúng ta sẽ tìm hiểu làm thế nào điều này được thực hiện.

Trong một số trường hợp, phân số thường ban đầu có thể dễ dàng rút gọn về một trong các mẫu số 10, hoặc 100, hoặc 1.000,... (xem phần đưa phân số thường về mẫu số mới), sau đó không khó để biểu diễn phân số thu được dưới dạng phân số thập phân. Ví dụ, rõ ràng là phân số 2/5 có thể được rút gọn thành một phân số có mẫu số 10, để làm được điều này, bạn cần nhân tử số và mẫu số với 2, sẽ được phân số 4/10, theo công thức các quy tắc được thảo luận ở đoạn trước, có thể dễ dàng chuyển đổi thành phân số thập phân 0, 4 .

Trong các trường hợp khác, bạn phải sử dụng một phương pháp khác để chuyển một phân số thông thường thành số thập phân, bây giờ chúng ta sẽ chuyển sang xem xét phương pháp này.

Để chuyển một phân số thông thường thành phân số thập phân, tử số của phân số được chia cho mẫu số, tử số trước tiên được thay thế bằng một phân số thập phân bằng nhau với bất kỳ số 0 nào sau dấu thập phân (chúng ta đã nói về điều này trong phần bằng và phân số thập phân không bằng nhau). Trong trường hợp này, phép chia được thực hiện giống như phép chia cho một cột số tự nhiên và dấu thập phân được đặt trong thương số khi phép chia toàn bộ phần bị chia kết thúc. Tất cả điều này sẽ trở nên rõ ràng từ các giải pháp cho các ví dụ được đưa ra dưới đây.

Ví dụ.

Chuyển phân số 621/4 thành số thập phân.

Giải pháp.

Hãy biểu thị số trong tử số 621 dưới dạng phân số thập phân, thêm dấu thập phân và một số số 0 sau nó. Đầu tiên, hãy cộng 2 chữ số 0, sau này, nếu cần, chúng ta luôn có thể thêm nhiều số 0 hơn. Vì vậy, chúng ta có 621,00.

Bây giờ hãy chia số 621.000 cho 4 bằng một cột. Ba bước đầu tiên không khác gì chia số tự nhiên cho một cột, sau đó chúng ta có được hình sau:

Đây là cách chúng ta có được dấu thập phân trong số bị chia và phần dư khác 0. Trong trường hợp này, chúng ta đặt dấu thập phân vào thương và tiếp tục chia trong một cột, không chú ý đến dấu phẩy:

Điều này hoàn thành phép chia và kết quả là chúng ta nhận được phân số thập phân 155,25, tương ứng với phân số thông thường ban đầu.

Trả lời:

155,25 .

Để củng cố tài liệu, hãy xem xét giải pháp cho một ví dụ khác.

Ví dụ.

Chuyển phân số 21/800 thành số thập phân.

Giải pháp.

Để chuyển phân số chung này thành phân số thập phân, chúng ta chia một cột có phân số thập phân 21.000... cho 800. Sau bước đầu tiên, chúng ta sẽ phải đặt dấu thập phân vào thương, rồi tiếp tục chia:

Cuối cùng, chúng ta nhận được phần còn lại là 0, việc này hoàn thành việc chuyển đổi phân số chung 21/400 thành phân số thập phân và chúng ta đã thu được phân số thập phân 0,02625.

Trả lời:

0,02625 .

Có thể xảy ra trường hợp khi chia tử số cho mẫu số của một phân số thường ta vẫn không có số dư bằng 0. Trong những trường hợp này, sự phân chia có thể được tiếp tục vô thời hạn. Tuy nhiên, bắt đầu từ một bước nhất định, số dư bắt đầu lặp lại theo chu kỳ và các số trong thương cũng lặp lại. Điều này có nghĩa là phân số ban đầu được chuyển đổi thành phân số thập phân tuần hoàn vô hạn. Hãy chứng minh điều này bằng một ví dụ.

Ví dụ.

Viết phân số 19/44 dưới dạng số thập phân.

Giải pháp.

Để chuyển một phân số thông thường thành số thập phân, hãy thực hiện phép chia theo cột:

Rõ ràng là trong quá trình chia, các số dư 8 và 36 bắt đầu được lặp lại, trong khi ở thương số 1 và 8 được lặp lại. Do đó, phân số chung ban đầu 19/44 được chuyển đổi thành phân số thập phân tuần hoàn 0,43181818...=0,43(18).

Trả lời:

0,43(18) .

Để kết luận điểm này, chúng ta sẽ tìm ra những phân số thông thường nào có thể được chuyển đổi thành phân số thập phân hữu hạn và những phân số nào chỉ có thể được chuyển đổi thành phân số định kỳ.

Chúng ta hãy có một phân số thông thường tối giản trước mặt (nếu phân số có thể rút gọn thì trước tiên chúng ta rút gọn phân số đó) và chúng ta cần tìm ra phân số thập phân nào có thể được chuyển đổi thành - hữu hạn hoặc tuần hoàn.

Rõ ràng là nếu một phân số thông thường có thể được giảm xuống một trong các mẫu số 10, 100, 1.000, ..., thì phân số thu được có thể dễ dàng chuyển đổi thành phân số thập phân cuối cùng theo các quy tắc đã thảo luận ở đoạn trước. Nhưng với các mẫu số 10, 100, 1.000, v.v. Không phải tất cả các phân số thông thường đều được đưa ra. Chỉ những phân số có mẫu số ít nhất là một trong các số 10, 100, ... mới có thể rút gọn về các mẫu số như vậy. Và những số nào có thể là ước của 10, 100, ...? Những con số 10, 100,... sẽ giúp chúng ta trả lời câu hỏi này, chúng như sau: 10 = 2 5, 100 = 2 2 5 5, 1.000 = 2 2 2 5 5 5, .... Theo đó các ước số là 10, 100, 1.000, v.v. Chỉ có thể có những số mà phân tích thành thừa số nguyên tố chỉ chứa các số 2 và (hoặc) 5.

Bây giờ chúng ta có thể đưa ra kết luận chung về việc chuyển phân số thông thường thành số thập phân:

  • nếu trong phân tích mẫu số thành thừa số nguyên tố chỉ có số 2 và (hoặc) 5 thì phân số này có thể chuyển thành phân số thập phân cuối cùng;
  • nếu, ngoài số hai và số năm, còn có số khác trong việc mở rộng mẫu số số nguyên tố, thì phân số này được chuyển thành phân số thập phân tuần hoàn vô hạn.

Ví dụ.

Không chuyển phân số thông thường thành số thập phân, hãy cho tôi biết phân số nào trong số 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 có thể chuyển thành phân số thập phân cuối cùng và phân số nào chỉ có thể chuyển thành phân số tuần hoàn.

Giải pháp.

Mẫu số của phân số 47/20 được phân tích thành thừa số nguyên tố là 20=2·2·5. Trong khai triển này chỉ có hai và năm nên phân số này có thể rút gọn về một trong các mẫu số 10, 100, 1.000, ... (trong ví dụ này là mẫu số 100), do đó, có thể chuyển về dạng thập phân cuối cùng phân số.

Mẫu số của phân số 7/12 được phân tích thành thừa số nguyên tố là 12=2·2·3. Vì nó chứa hệ số nguyên tố là 3, khác với 2 và 5, nên phân số này không thể được biểu diễn dưới dạng số thập phân hữu hạn, nhưng có thể chuyển đổi thành số thập phân tuần hoàn.

Phân số 21/56 – co lại, sau khi co lại có dạng 3/8. Phân tích mẫu số thành thừa số nguyên tố chứa ba thừa số bằng 2, do đó, phân số chung 3/8 và do đó phân số bằng nhau 21/56 có thể được chuyển đổi thành phân số thập phân cuối cùng.

Cuối cùng, khai triển mẫu số của phân số 31/17 chính là 17, do đó phân số này không thể chuyển thành phân số thập phân hữu hạn, nhưng có thể chuyển thành phân số tuần hoàn vô hạn.

Trả lời:

47/20 và 21/56 có thể được chuyển đổi thành phân số thập phân hữu hạn, nhưng 7/12 và 31/17 chỉ có thể được chuyển đổi thành phân số tuần hoàn.

Phân số thông thường không chuyển đổi thành số thập phân không định kỳ vô hạn

Thông tin trong đoạn trước làm nảy sinh câu hỏi: “Có thể chia tử số của một phân số cho mẫu số để tạo ra một phân số vô hạn không tuần hoàn không?”

Trả lời: không. Khi chuyển đổi một phân số chung, kết quả có thể là phân số thập phân hữu hạn hoặc phân số thập phân tuần hoàn vô hạn. Hãy để chúng tôi giải thích tại sao lại như vậy.

Từ định lý chia hết cho số dư, rõ ràng số dư luôn nhỏ hơn số chia, nghĩa là nếu một số nguyên nào đó chia cho số nguyên q thì số dư chỉ có thể là một trong các số 0, 1, 2 , ..., q−1. Theo đó, sau khi cột hoàn thành việc chia phần nguyên của tử số của một phân số chung cho mẫu số q, không quá q bước sẽ xảy ra một trong hai tình huống sau:

  • hoặc ta sẽ có số dư là 0, phép chia này sẽ kết thúc và ta sẽ có phân số thập phân cuối cùng;
  • hoặc chúng ta sẽ nhận được số dư đã xuất hiện trước đó, sau đó số dư sẽ bắt đầu lặp lại như trong ví dụ trước (vì khi chia các số bằng nhau cho q, thu được các số dư bằng nhau, theo định lý chia hết đã đề cập), điều này sẽ dẫn đến một phân số thập phân định kỳ vô hạn.

Không thể có bất kỳ lựa chọn nào khác, do đó, khi chuyển đổi một phân số thông thường thành một phân số thập phân, không thể thu được một phân số thập phân không định kỳ vô hạn.

Từ lý luận được đưa ra trong đoạn này, cũng có thể suy ra rằng độ dài dấu chấm của một phân số thập phân luôn nhỏ hơn giá trị mẫu số của phân số thường tương ứng.

Chuyển số thập phân thành phân số

Bây giờ chúng ta hãy tìm cách chuyển một phân số thập phân thành một phân số thông thường. Hãy bắt đầu bằng cách chuyển đổi phân số thập phân cuối cùng thành phân số thông thường. Sau đó, chúng ta sẽ xem xét một phương pháp đảo ngược các phân số thập phân tuần hoàn vô hạn. Để kết luận, hãy nói về việc không thể chuyển đổi các phân số thập phân vô hạn không định kỳ thành phân số thông thường.

Chuyển số thập phân cuối thành phân số

Việc lấy một phân số được viết dưới dạng số thập phân cuối cùng khá đơn giản. Quy tắc chuyển phân số thập phân cuối cùng thành phân số chung bao gồm ba bước:

  • đầu tiên, viết phân số thập phân đã cho vào tử số, trước đó đã bỏ dấu thập phân và tất cả các số 0 ở bên trái, nếu có;
  • thứ hai, viết một số vào mẫu số và thêm số 0 vào đó bằng số chữ số sau dấu thập phân trong phân số thập phân ban đầu;
  • thứ ba, nếu cần thiết, giảm phần kết quả.

Hãy xem xét các giải pháp cho các ví dụ.

Ví dụ.

Chuyển số thập phân 3,025 thành phân số.

Giải pháp.

Nếu bỏ dấu thập phân khỏi phân số thập phân ban đầu, chúng ta sẽ có số 3.025. Không có số 0 nào ở bên trái mà chúng ta sẽ loại bỏ. Vì vậy, chúng ta viết 3.025 vào tử số của phân số mong muốn.

Chúng ta viết số 1 vào mẫu số và thêm 3 số 0 vào bên phải của nó, vì trong phân số thập phân ban đầu có 3 chữ số sau dấu thập phân.

Vậy chúng ta có phân số chung là 3,025/1,000. Phân số này có thể giảm đi 25, ta được .

Trả lời:

.

Ví dụ.

Chuyển đổi phân số thập phân 0,0017 thành phân số.

Giải pháp.

Không có dấu thập phân, phân số thập phân ban đầu trông giống như 00017, loại bỏ các số 0 ở bên trái, chúng ta nhận được số 17, là tử số của phân số thông thường mong muốn.

Chúng ta viết một số có bốn số 0 ở mẫu số, vì phân số thập phân ban đầu có 4 chữ số sau dấu thập phân.

Kết quả là chúng ta có phân số thông thường là 17/10.000. Phân số này là tối giản và việc chuyển đổi một phân số thập phân thành một phân số thông thường đã hoàn tất.

Trả lời:

.

Khi phần nguyên của phân số thập phân cuối cùng ban đầu khác 0, nó có thể được chuyển đổi ngay thành số hỗn hợp, bỏ qua phân số chung. Hãy cung cấp cho quy tắc chuyển phân số thập phân cuối cùng thành hỗn số:

  • số trước dấu thập phân phải được viết dưới dạng phần nguyên của hỗn số mong muốn;
  • vào tử số của phần phân số, bạn cần viết số thu được từ phần phân số của phân số thập phân ban đầu sau khi loại bỏ tất cả các số 0 ở bên trái;
  • trong mẫu số của phần phân số, bạn cần viết số 1, số này thêm số 0 vào bên phải bằng số chữ số sau dấu thập phân trong phân số thập phân ban đầu;
  • nếu cần, hãy giảm phần phân số của hỗn số thu được.

Hãy xem một ví dụ về chuyển đổi một phân số thập phân thành một số hỗn hợp.

Ví dụ.

Biểu thị phân số thập phân 152.06005 dưới dạng hỗn số

Điều xảy ra là để thuận tiện cho việc tính toán, bạn cần chuyển một phân số thông thường thành số thập phân và ngược lại. Chúng tôi sẽ nói về cách thực hiện điều này trong bài viết này. Chúng ta hãy xem các quy tắc chuyển đổi phân số thông thường thành số thập phân và ngược lại, đồng thời đưa ra ví dụ.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Chúng ta sẽ xem xét việc chuyển các phân số thông thường thành số thập phân, theo một trình tự nhất định. Trước tiên, chúng ta hãy xem cách các phân số thông thường có mẫu số là bội số của 10 được chuyển đổi thành số thập phân: 10, 100, 1000, v.v. Các phân số có mẫu số như vậy trên thực tế là một ký hiệu phức tạp hơn của phân số thập phân.

Tiếp theo, chúng ta sẽ xem cách chuyển các phân số thông thường với bất kỳ mẫu số nào, không chỉ bội số của 10, thành phân số thập phân. Lưu ý rằng khi chuyển đổi các phân số thông thường thành số thập phân, không chỉ thu được số thập phân hữu hạn mà còn thu được các phân số thập phân tuần hoàn vô hạn.

Bắt đầu nào!

Dịch các phân số thông thường có mẫu số 10, 100, 1000, v.v. đến số thập phân

Trước hết, giả sử rằng một số phân số cần chuẩn bị trước khi chuyển sang dạng thập phân. Nó là gì? Trước số ở tử số, bạn cần thêm thật nhiều số 0 sao cho số chữ số ở tử số bằng số chữ số 0 ở mẫu số. Ví dụ, đối với phân số 3100, số 0 phải được thêm một lần vào bên trái số 3 ở tử số. Phân số 610 theo nguyên tắc nêu trên không cần sửa đổi.

Hãy xem xét một ví dụ khác, sau đó chúng ta sẽ xây dựng một quy tắc đặc biệt thuận tiện để sử dụng lúc đầu, trong khi chưa có nhiều kinh nghiệm trong việc chuyển đổi phân số. Vì vậy, phân số 1610000 sau khi thêm các số 0 vào tử số sẽ có dạng 001510000.

Cách chuyển đổi một phân số chung có mẫu số 10, 100, 1000, v.v. sang số thập phân?

Quy tắc chuyển phân số thông thường thành số thập phân

  1. Viết số 0 và đặt dấu phẩy sau nó.
  2. Chúng tôi viết số từ tử số thu được sau khi thêm số không.

Bây giờ hãy chuyển sang các ví dụ.

Ví dụ 1: Chuyển phân số thành số thập phân

Hãy chuyển phân số 39.100 thành số thập phân.

Đầu tiên, chúng ta xem xét phân số và thấy rằng không cần phải thực hiện bất kỳ hành động chuẩn bị nào - số chữ số trong tử số trùng với số 0 trong mẫu số.

Theo quy tắc, chúng ta viết số 0, đặt dấu thập phân sau số đó và viết số từ tử số. Chúng tôi nhận được phần thập phân 0,39.

Hãy xem giải pháp cho một ví dụ khác về chủ đề này.

Ví dụ 2: Chuyển phân số thành số thập phân

Hãy viết phân số 105 10000000 dưới dạng số thập phân.

Số chữ số 0 ở mẫu số là 7, tử số chỉ có 3 chữ số. Hãy thêm 4 số 0 nữa trước số trong tử số:

0000105 10000000

Bây giờ chúng ta viết số 0, đặt dấu thập phân sau số đó và viết số từ tử số. Chúng tôi nhận được phần thập phân 0,0000105.

Các phân số được xem xét trong tất cả các ví dụ đều là phân số thực sự thông thường. Nhưng làm cách nào để chuyển một phân số không chính xác thành số thập phân? Hãy để chúng tôi nói ngay rằng không cần phải chuẩn bị thêm số 0 cho các phân số như vậy. Hãy xây dựng một quy tắc.

Quy tắc chuyển các phân số thông thường thành số thập phân

  1. Viết số có ở tử số.
  2. Chúng ta sử dụng dấu thập phân để phân tách số chữ số bên phải bằng số 0 trong mẫu số của phân số ban đầu.

Dưới đây là một ví dụ về cách sử dụng quy tắc này.

Ví dụ 3. Chuyển phân số thành số thập phân

Hãy chuyển phân số 56888038009 100000 từ phân số bất quy tắc thông thường thành phân số thập phân.

Đầu tiên, hãy viết số từ tử số:

Bây giờ, ở bên phải, chúng ta phân tách năm chữ số bằng dấu thập phân (số số 0 trong mẫu số là năm). Chúng tôi nhận được:

Câu hỏi tiếp theo tự nhiên nảy sinh là: làm thế nào để chuyển một hỗn số thành phân số thập phân nếu mẫu số của phần phân số của nó là số 10, 100, 1000, v.v. Để chuyển một số như vậy thành phân số thập phân, bạn có thể sử dụng quy tắc sau.

Quy tắc chuyển hỗn số thành số thập phân

  1. Chúng tôi chuẩn bị phần phân số của số, nếu cần.
  2. Chúng ta viết toàn bộ phần của số ban đầu và đặt dấu phẩy sau nó.
  3. Chúng ta viết số từ tử số của phần phân số cùng với các số 0 được thêm vào.

Hãy xem một ví dụ.

Ví dụ 4: Chuyển hỗn số thành số thập phân

Hãy chuyển hỗn số 23 17 10000 thành phân số thập phân.

Trong phần phân số chúng ta có biểu thức 17 10000. Hãy chuẩn bị và thêm hai số 0 nữa vào bên trái tử số. Chúng tôi nhận được: 0017 10000.

Bây giờ chúng ta viết toàn bộ phần của số và đặt dấu phẩy sau nó: 23, . .

Sau dấu thập phân, viết số từ tử số cùng với số không. Chúng tôi nhận được kết quả:

23 17 10000 = 23 , 0017

Chuyển đổi các phân số thông thường thành các phân số định kỳ hữu hạn và vô hạn

Tất nhiên, bạn có thể chuyển đổi sang số thập phân và phân số thông thường có mẫu số không bằng 10, 100, 1000, v.v.

Thông thường, một phân số có thể dễ dàng rút gọn thành mẫu số mới và sau đó sử dụng quy tắc nêu trong đoạn đầu tiên của bài viết này. Ví dụ, chỉ cần nhân tử số và mẫu số của phân số 25 với 2 là đủ và chúng ta thu được phân số 410, dễ dàng chuyển đổi sang dạng thập phân 0,4.

Tuy nhiên, không phải lúc nào cũng có thể sử dụng phương pháp chuyển phân số thành số thập phân này. Dưới đây chúng tôi sẽ xem xét những việc cần làm nếu không thể áp dụng phương pháp được xem xét.

Về cơ bản cách mới việc chuyển đổi một phân số thông thường thành số thập phân được rút gọn thành chia tử số cho mẫu số và một cột. Thao tác này rất giống với việc chia số tự nhiên cho một cột nhưng có những đặc điểm riêng.

Khi chia, tử số được biểu diễn dưới dạng phân số thập phân - dấu phẩy được đặt ở bên phải chữ số cuối cùng của tử số và các số 0 được thêm vào. Trong thương số kết quả, một dấu thập phân được đặt khi phép chia phần nguyên của tử số kết thúc. Cách thức hoạt động chính xác của phương pháp này sẽ trở nên rõ ràng sau khi xem các ví dụ.

Ví dụ 5. Chuyển phân số thành số thập phân

Hãy chuyển phân số chung 621 4 sang dạng thập phân.

Hãy biểu thị số 621 từ tử số dưới dạng phân số thập phân, thêm một vài số 0 sau dấu thập phân. 621 = 621,00

Bây giờ hãy chia 621,00 cho 4 bằng một cột. Ba bước chia đầu tiên sẽ giống như khi chia số tự nhiên và ta sẽ được.

Khi đến dấu thập phân ở số bị chia và số dư khác 0, chúng ta đặt dấu thập phân vào thương và tiếp tục chia, không còn chú ý đến dấu phẩy ở số bị chia nữa.

Kết quả ta được phân số thập phân 155, 25 là kết quả của việc đảo ngược phân số chung 621 4

621 4 = 155 , 25

Hãy xem một ví dụ khác để củng cố tài liệu.

Ví dụ 6. Chuyển phân số thành số thập phân

Hãy đảo ngược phân số chung 21 800.

Để làm điều này, hãy chia phân số 21.000 thành một cột cho 800. Việc chia toàn bộ phần sẽ kết thúc ở bước đầu tiên nên ngay sau đó chúng ta đặt dấu thập phân vào thương và tiếp tục chia, không chú ý đến dấu phẩy ở số bị chia cho đến khi có số dư bằng 0.

Kết quả là chúng ta nhận được: 21.800 = 0,02625.

Nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu khi chia, chúng ta vẫn không có số dư bằng 0. Trong những trường hợp như vậy, phép chia có thể được tiếp tục vô thời hạn. Tuy nhiên, bắt đầu từ một bước nhất định, dư lượng sẽ được lặp lại theo định kỳ. Theo đó, các số trong thương sẽ được lặp lại. Điều này có nghĩa là một phân số thông thường được chuyển đổi thành một phân số thập phân tuần hoàn vô hạn. Hãy để chúng tôi minh họa điều này bằng một ví dụ.

Ví dụ 7. Chuyển phân số thành số thập phân

Hãy chuyển phân số chung 19 44 thành số thập phân. Để làm điều này, chúng tôi thực hiện chia theo cột.

Chúng ta thấy rằng trong quá trình chia, dư lượng 8 và 36 được lặp lại. Trong trường hợp này, số 1 và 8 được lặp lại trong thương số. Đây là khoảng thời gian trong phần thập phân. Khi ghi, những số này được đặt trong ngoặc.

Do đó, phân số thông thường ban đầu được chuyển đổi thành phân số thập phân tuần hoàn vô hạn.

19 44 = 0 , 43 (18) .

Chúng ta hãy có một phân số thông thường không thể rút gọn. Nó sẽ có hình thức gì? Những phân số thông thường nào được chuyển đổi thành số thập phân hữu hạn và phân số nào được chuyển đổi thành số thập phân vô hạn?

Đầu tiên, giả sử rằng nếu một phân số có thể được rút gọn thành một trong các mẫu số 10, 100, 1000..., thì nó sẽ có dạng phân số thập phân cuối cùng. Để một phân số quy gọn về một trong các mẫu số này thì mẫu số của nó phải là ước số của ít nhất một trong các số 10, 100, 1000, v.v. Từ quy tắc phân tích số thành thừa số nguyên tố, ước số của các số là 10, 100, 1000, v.v. khi phân tích thành thừa số nguyên tố thì chỉ chứa các số 2 và 5.

Hãy tóm tắt những gì đã được nói:

  1. Một phân số chung có thể được rút gọn thành số thập phân cuối cùng nếu mẫu số của nó có thể được phân tích thành thừa số nguyên tố là 2 và 5.
  2. Nếu ngoài số 2 và 5 còn có các số nguyên tố khác trong khai triển mẫu số thì phân số đó được rút gọn về dạng phân số thập phân tuần hoàn vô hạn.

Hãy đưa ra một ví dụ.

Ví dụ 8. Chuyển phân số thành số thập phân

Phân số nào trong số 47 20, 7 12, 21 56, 31 17 được chuyển đổi thành phân số thập phân cuối cùng và phân số nào - chỉ thành phân số định kỳ. Hãy trả lời câu hỏi này mà không trực tiếp chuyển một phân số thành số thập phân.

Dễ thấy, phân số 47 20 bằng cách nhân tử số và mẫu số với 5 sẽ được rút gọn thành mẫu số mới 100.

47 20 = 235 100. Từ đó chúng ta kết luận rằng phân số này được chuyển đổi thành phân số thập phân cuối cùng.

Phân tích mẫu số của phân số 7 12 thành nhân tử ta có 12 = 2 2 3. Vì thừa số nguyên tố 3 khác với 2 và 5 nên phân số này không thể được biểu diễn dưới dạng phân số thập phân hữu hạn mà sẽ có dạng phân số tuần hoàn vô hạn.

Phân số 21 56 trước hết cần phải rút gọn. Sau khi giảm đi 7, chúng ta thu được phân số tối giản 3 8, mẫu số của nó được phân tích thành thừa số để cho 8 = 2 · 2 · 2. Do đó, nó là một phân số thập phân hữu hạn.

Trong trường hợp phân số 31 17, phân tích mẫu số là số nguyên tố 17. Theo đó, phân số này có thể được chuyển đổi thành phân số thập phân tuần hoàn vô hạn.

Một phân số thông thường không thể chuyển đổi thành phân số thập phân vô hạn và không tuần hoàn

Ở trên chúng ta chỉ nói về các phân số tuần hoàn hữu hạn và vô hạn. Nhưng bất kỳ phân số thông thường nào cũng có thể được chuyển đổi thành một phân số vô hạn không tuần hoàn?

Chúng tôi trả lời: không!

Quan trọng!

Khi dịch phân số cuối cùngđến số thập phân bạn nhận được số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân tuần hoàn vô hạn.

Số dư của phép chia luôn nhỏ hơn số chia. Nói cách khác, theo định lý chia hết, nếu chúng ta chia một số số tự nhiên với số q thì phần dư của phép chia trong mọi trường hợp không được lớn hơn q-1. Sau khi phân chia xong, có thể xảy ra một trong các trường hợp sau:

  1. Chúng ta có số dư là 0 và đây là lúc phép chia kết thúc.
  2. Chúng ta nhận được số dư, số dư này được lặp lại trong phép chia tiếp theo, dẫn đến một phân số tuần hoàn vô hạn.

Không thể có bất kỳ lựa chọn nào khác khi chuyển một phân số thành số thập phân. Giả sử độ dài của dấu chấm (số chữ số) trong một phân số tuần hoàn vô hạn luôn nhỏ hơn số chữ số ở mẫu số của phân số thường tương ứng.

Chuyển số thập phân thành phân số

Bây giờ là lúc xem xét quá trình ngược lại của việc chuyển một phân số thập phân thành một phân số chung. Chúng ta hãy xây dựng một quy tắc dịch bao gồm ba giai đoạn. Làm thế nào để chuyển một phân số thập phân thành phân số chung?

Quy tắc chuyển phân số thập phân thành phân số thường

  1. Trong tử số, chúng ta viết số từ phân số thập phân ban đầu, loại bỏ dấu phẩy và tất cả các số 0 ở bên trái, nếu có.
  2. Trong mẫu số, chúng ta viết một số theo sau là số 0 bằng số chữ số sau dấu thập phân trong phân số thập phân ban đầu.
  3. Nếu cần thiết, giảm phần thông thường kết quả.

Hãy xem xét ứng dụng của quy tắc này với các ví dụ.

Ví dụ 8. Chuyển phân số thập phân thành phân số thường

Hãy tưởng tượng số 3,025 là một phân số thông thường.

  1. Chúng ta viết phần thập phân vào tử số, bỏ dấu phẩy: 3025.
  2. Trong mẫu số, chúng ta viết một và sau nó là ba số 0 - đây chính xác là số chữ số được chứa trong phân số ban đầu sau dấu thập phân: 3025 1000.
  3. Phân số thu được 3025 1000 có thể giảm đi 25, thu được: 3025 1000 = 121 40.

Ví dụ 9. Chuyển phân số thập phân thành phân số thường

Hãy chuyển đổi phân số 0,0017 từ số thập phân sang số thường.

  1. Ở tử số, chúng ta viết phân số 0, 0017, bỏ dấu phẩy và số 0 ở bên trái. Hóa ra là 17.
  2. Chúng ta viết một vào mẫu số và sau đó chúng ta viết bốn số không: 17 10000. Phân số này không thể giảm được.

Nếu một phân số thập phân có phần nguyên thì phân số đó có thể được chuyển ngay thành hỗn số. Làm thế nào để làm nó?

Hãy xây dựng thêm một quy tắc nữa.

Quy tắc chuyển số thập phân thành hỗn số.

  1. Số trước dấu thập phân trong phân số được viết dưới dạng phần nguyên của hỗn số.
  2. Trong tử số, chúng ta viết số sau dấu thập phân trong phân số, loại bỏ các số 0 ở bên trái nếu có.
  3. Trong mẫu số của phần phân số, chúng ta thêm một và số 0 bằng số chữ số sau dấu thập phân trong phần phân số.

Hãy lấy một ví dụ

Ví dụ 10. Chuyển số thập phân thành hỗn số

Hãy tưởng tượng phân số 155, 06005 là một hỗn số.

  1. Chúng ta viết số 155 dưới dạng phần nguyên.
  2. Trong tử số, chúng ta viết các số sau dấu thập phân, bỏ số 0.
  3. Chúng tôi viết một và năm số không trong mẫu số

Cùng học hỗn số: 155 6005 100000

Phần phân số có thể giảm đi 5. Chúng tôi rút ngắn nó và nhận được kết quả cuối cùng:

155 , 06005 = 155 1201 20000

Chuyển đổi số thập phân tuần hoàn vô hạn thành phân số

Hãy xem các ví dụ về cách chuyển đổi phân số thập phân định kỳ thành phân số thông thường. Trước khi bắt đầu, hãy làm rõ: bất kỳ phân số thập phân định kỳ nào cũng có thể được chuyển đổi thành phân số thông thường.

Trường hợp đơn giản nhất là giai đoạn phân số bằng 0. Một phân số tuần hoàn có dấu chấm bằng 0 được thay thế bằng phân số thập phân cuối cùng và quá trình đảo ngược phân số đó được rút gọn thành đảo ngược phân số thập phân cuối cùng.

Ví dụ 11. Chuyển một phân số thập phân tuần hoàn thành phân số chung

Chúng ta hãy đảo ngược phân số tuần hoàn 3, 75 (0).

Loại bỏ các số 0 ở bên phải, ta được phân số thập phân cuối cùng là 3,75.

Chuyển đổi phân số này thành phân số thông thường bằng thuật toán được thảo luận trong các đoạn trước, chúng ta thu được:

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

Điều gì sẽ xảy ra nếu chu kỳ của phân số khác 0? Phần tuần hoàn nên được coi là tổng của các số hạng của cấp số nhân giảm dần. Hãy giải thích điều này bằng một ví dụ:

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

Có một công thức tính tổng các số hạng của một cấp số nhân giảm vô hạn. Nếu số hạng đầu tiên của cấp số là b và mẫu số q sao cho 0< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

Hãy xem xét một vài ví dụ sử dụng công thức này.

Ví dụ 12. Chuyển một phân số thập phân tuần hoàn thành phân số chung

Giả sử chúng ta có một phân số tuần hoàn 0, (8) và chúng ta cần chuyển nó thành phân số thông thường.

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

Ở đây chúng ta có một mức giảm vô hạn cấp số nhân với số hạng đầu tiên là 0, 8 và mẫu số là 0, 1.

Hãy áp dụng công thức:

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

Đây là phần thông thường cần thiết.

Để củng cố tài liệu, hãy xem xét một ví dụ khác.

Ví dụ 13. Chuyển một phân số thập phân tuần hoàn thành phân số chung

Hãy đảo ngược phân số 0, 43 (18).

Đầu tiên chúng ta viết phân số dưới dạng tổng vô hạn:

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

Chúng ta hãy xem xét các điều khoản trong ngoặc. Sự tiến triển hình học này có thể được biểu diễn như sau:

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

Chúng ta cộng kết quả vào phân số cuối cùng 0, 43 = 43 100 và nhận được kết quả:

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

Sau khi cộng và giảm các phân số này, chúng ta có câu trả lời cuối cùng:

0 , 43 (18) = 19 44

Để kết thúc bài viết này, chúng tôi sẽ nói rằng các phân số thập phân vô hạn không tuần hoàn không thể chuyển đổi thành phân số thông thường.

Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter

Có vẻ như việc chuyển một phân số thập phân thành một phân số thông thường là một chủ đề tiểu học nhưng nhiều học sinh lại không hiểu nó! Do đó, hôm nay chúng ta sẽ xem xét chi tiết một số thuật toán cùng một lúc, với sự trợ giúp của chúng, bạn sẽ hiểu bất kỳ phân số nào chỉ trong một giây.

Hãy để tôi nhắc bạn rằng có ít nhất hai dạng viết cùng một phân số: chung và thập phân. Phân số thập phân là tất cả các loại công trình có dạng 0,75; 1,33; và thậm chí −7,41. Dưới đây là ví dụ về các phân số thông thường biểu thị cùng một số:

Bây giờ chúng ta cùng tìm hiểu: làm thế nào để chuyển từ ký hiệu thập phân sang ký hiệu thông thường? Và quan trọng nhất: làm thế nào để thực hiện việc này nhanh nhất có thể?

Thuật toán cơ bản

Trong thực tế, có ít nhất hai thuật toán. Và bây giờ chúng ta sẽ xem xét cả hai. Hãy bắt đầu với cái đầu tiên - đơn giản và dễ hiểu nhất.

Để chuyển đổi một số thập phân thành một phân số, bạn cần làm theo ba bước:

Lưu ý quan trọng về số âm. Nếu trong ví dụ ban đầu có dấu trừ ở phía trước phân số thập phân, thì trong kết quả đầu ra cũng phải có dấu trừ ở phía trước phân số thông thường. Dưới đây là một số ví dụ:

Ví dụ về chuyển đổi từ ký hiệu thập phân của phân số sang ký hiệu thông thường

Tôi muốn đặc biệt chú ý đến ví dụ cuối cùng. Như bạn có thể thấy, phân số 0,0025 chứa nhiều số 0 sau dấu thập phân. Vì điều này, bạn phải nhân tử số và mẫu số với 10 tới bốn lần. Có thể bằng cách nào đó đơn giản hóa thuật toán trong trường hợp này không?

Tất nhiên bạn có thể. Và bây giờ chúng ta sẽ xem xét một thuật toán thay thế - nó khó hiểu hơn một chút, nhưng sau khi thực hành một chút, nó hoạt động nhanh hơn nhiều so với thuật toán tiêu chuẩn.

Cách nhanh hơn

Thuật toán này cũng có 3 bước. Để có được phân số thông thường từ số thập phân, bạn cần làm như sau:

  1. Đếm xem có bao nhiêu chữ số sau dấu thập phân. Ví dụ: phân số 1,75 có hai chữ số như vậy và 0,0025 có bốn chữ số. Hãy biểu thị số lượng này bằng chữ $n$.
  2. Viết lại số ban đầu dưới dạng một phân số có dạng $\frac(a)(((10)^(n)))$, trong đó $a$ là tất cả các chữ số của phân số ban đầu (không có số 0 “bắt đầu” trên trái, nếu có) và $n$ là cùng số chữ số sau dấu thập phân mà chúng ta đã tính ở bước đầu tiên. Nói cách khác, bạn cần chia các chữ số của phân số ban đầu cho một, theo sau là $n$ số 0.
  3. Nếu có thể, hãy giảm phần kết quả.

Đó là tất cả! Thoạt nhìn, sơ đồ này phức tạp hơn sơ đồ trước. Nhưng trên thực tế nó vừa đơn giản vừa nhanh hơn. Phán xét cho chính mình:

Như bạn có thể thấy, trong phân số 0,64 có hai chữ số sau dấu thập phân - 6 và 4. Do đó $n=2$. Nếu chúng ta loại bỏ dấu phẩy và số 0 ở bên trái (trong trường hợp này, chỉ một số 0), chúng ta sẽ có số 64. Hãy chuyển sang bước thứ hai: $((10)^(n))=((10)^ (2))=100$, Do đó, mẫu số chính xác là một trăm. Chà, tất cả những gì còn lại là giảm tử số và mẫu số :)

Một ví dụ nữa:

Ở đây mọi thứ phức tạp hơn một chút. Thứ nhất, đã có 3 số sau dấu thập phân, tức là. $n=3$, vì vậy bạn phải chia cho $((10)^(n))=((10)^(3))=1000$. Thứ hai, nếu chúng ta xóa dấu phẩy khỏi ký hiệu thập phân, chúng ta sẽ nhận được kết quả này: 0,004 → 0004. Hãy nhớ rằng các số 0 ở bên trái phải được loại bỏ, vì vậy trên thực tế chúng ta có số 4. Khi đó mọi thứ rất đơn giản: chia, giảm và nhận câu trả lời.

Cuối cùng, ví dụ cuối cùng:

Điểm đặc biệt của phần này là sự hiện diện của toàn bộ phần. Do đó, kết quả chúng ta nhận được là một phần không chính xác của 47/25. Tất nhiên, bạn có thể thử chia 47 cho 25 với số dư và do đó một lần nữa cô lập toàn bộ phần. Nhưng tại sao lại làm phức tạp cuộc sống của bạn nếu điều này có thể được thực hiện ở giai đoạn chuyển đổi? Vâng, hãy tìm ra nó.

Phải làm gì với toàn bộ phần

Trên thực tế, mọi thứ rất đơn giản: nếu chúng ta muốn có được một phân số thích hợp, thì chúng ta cần loại bỏ toàn bộ phần đó khỏi nó trong quá trình chuyển đổi, và sau đó, khi nhận được kết quả, hãy cộng lại vào bên phải trước dòng phân số. .

Ví dụ, hãy xem xét cùng một số: 1,88. Hãy chấm điểm một (toàn bộ phần) và xem phân số 0,88. Nó có thể được chuyển đổi dễ dàng:

Sau đó, chúng ta nhớ về đơn vị “bị mất” và thêm nó vào phía trước:

\[\frac(22)(25)\to 1\frac(22)(25)\]

Đó là tất cả! Câu trả lời hóa ra giống như sau khi chọn toàn bộ phần lần trước. Một vài ví dụ nữa:

\[\begin(align)& 2.15\to 0.15=\frac(15)(100)=\frac(3)(20)\to 2\frac(3)(20); \\& 13.8\to 0.8=\frac(8)(10)=\frac(4)(5)\to 13\frac(4)(5). \\\end(căn chỉnh)\]

Đây là vẻ đẹp của toán học: cho dù bạn đi theo hướng nào, nếu tất cả các phép tính được thực hiện chính xác thì câu trả lời sẽ luôn giống nhau :)

Để kết luận, tôi muốn xem xét thêm một kỹ thuật có thể giúp ích cho nhiều người.

Biến đổi bằng tai

Chúng ta hãy nghĩ xem số thập phân chẵn là gì. Chính xác hơn là cách chúng ta đọc nó. Ví dụ: số 0,64 - chúng ta đọc nó là "điểm 0 64 phần trăm", phải không? Chà, hay chỉ là “64 phần trăm”. Từ khóa ở đây là “phần trăm”, tức là số 100.

Còn 0,004 thì sao? Đây là “không điểm 4 phần nghìn” hay đơn giản là “bốn phần nghìn”. Dù sao, từ khóa- “phần nghìn”, tức là 1000.

Vậy thỏa thuận lớn nào? Và thực tế là những con số này cuối cùng sẽ “xuất hiện” trong mẫu số ở giai đoạn thứ hai của thuật toán. Những thứ kia. 0,004 là “bốn phần nghìn” hoặc “4 chia cho 1000”:

Hãy cố gắng tự luyện tập - nó rất đơn giản. Điều chính là đọc chính xác phần gốc. Ví dụ: 2,5 là “2 nguyên, 5 phần mười”, vậy

Và một số 1,125 là “1 số nguyên, 125 phần nghìn”, vậy

Tất nhiên, trong ví dụ cuối cùng, sẽ có người phản đối rằng không phải học sinh nào cũng thấy rõ rằng 1000 chia hết cho 125. Nhưng ở đây bạn cần nhớ rằng 1000 = 10 3 và 10 = 2 ∙ 5, do đó

\[\begin(align)& 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\ cdot 5\cdot 5=8\cdot 125\end(căn chỉnh)\]

Do đó, bất kỳ lũy thừa nào của mười chỉ bị phân hủy thành thừa số 2 và 5 - chính những thừa số này cần được tìm trong tử số, để cuối cùng mọi thứ đều giảm đi.

Điều này kết thúc bài học. Hãy chuyển sang thao tác đảo ngược phức tạp hơn - xem "