Lời giải 9 của nhiệm vụ kỳ thi. Mã hóa thông tin đồ họa

Giáo dục phổ thông trung học

Đường dây UMK G.K. Muravina. Đại số và sự khởi đầu của phân tích toán học (10-11) (sâu)

Dòng UMK Merzlyak. Đại số và sự khởi đầu của phân tích (10-11) (U)

toán học

Chuẩn bị cho kỳ thi môn toán (cấp độ hồ sơ): nhiệm vụ, giải pháp và lời giải

Phần thi cấp hồ sơ kéo dài 3 giờ 55 phút (235 phút).

Ngưỡng tối thiểu- 27 điểm.

Đề thi gồm hai phần khác nhau về nội dung, độ phức tạp và số lượng nhiệm vụ.

Đặc điểm nổi bật của từng phần công việc là hình thức của các nhiệm vụ:

• phần 1 gồm 8 nhiệm vụ (task 1-8) với câu trả lời ngắn gọn dưới dạng số nguyên hoặc phân số thập phân cuối cùng;
• phần 2 gồm 4 nhiệm vụ (nhiệm vụ 9-12) với câu trả lời ngắn gọn dưới dạng số nguyên hoặc phân số thập phân cuối cùng và 7 nhiệm vụ (nhiệm vụ 13-19) có đáp án chi tiết (ghi lại đầy đủ quyết định kèm theo lý do các hành động đã thực hiện).

Panova Svetlana Anatolievna, giáo viên dạy Toán thuộc loại cao nhất của trường, kinh nghiệm làm việc 20 năm:

“Để nhận được chứng chỉ của trường, một sinh viên tốt nghiệp phải vượt qua hai kỳ thi bắt buộc dưới hình thức Kỳ thi Thống nhất Quốc gia, một trong số đó là toán học. Theo quan điểm phát triển giáo dục toán học ở Liên bang Nga, Kỳ thi thống nhất về toán học được chia thành hai cấp độ: cơ bản và chuyên biệt. Hôm nay chúng ta sẽ xem xét các tùy chọn cho cấp độ hồ sơ.

Nhiệm vụ số 1- kiểm tra khả năng của những người tham gia SỬ DỤNG trong việc áp dụng các kỹ năng thu được ở lớp 5-9 môn toán tiểu học vào các hoạt động thực tiễn. Người tham gia phải có kỹ năng tính toán, khả năng làm việc với các số hữu tỉ, có thể làm tròn các phân số thập phân, có thể chuyển đổi đơn vị đo này sang đơn vị đo khác.

ví dụ 1 Trong căn hộ nơi Petr sống, một đồng hồ (đồng hồ) nước lạnh đã được lắp đặt. Vào ngày đầu tháng 5, công-tơ-mét cho thấy mức tiêu thụ 172 phân khối. m nước, và vào ngày đầu tiên của tháng 6 - 177 mét khối. m. Peter phải trả bao nhiêu tiền cho nước lạnh cho tháng Năm, nếu giá của 1 cu. m của nước lạnh là 34 rúp 17 kopecks? Đưa ra câu trả lời của bạn bằng đồng rúp.

Quyết định:

1) Tìm lượng nước chi tiêu mỗi tháng:

177 - 172 = 5 (cu m)

2) Tìm bao nhiêu tiền sẽ được trả cho lượng nước đã tiêu:

34,17 5 = 170,85 (chà)

Trả lời: 170,85.

Nhiệm vụ số 2- là một trong những nhiệm vụ đơn giản nhất của kỳ thi. Phần lớn sinh viên tốt nghiệp đối phó thành công với nó, điều này cho thấy sự sở hữu của định nghĩa về khái niệm chức năng. Nhiệm vụ loại 2 theo hệ thống mã hóa yêu cầu là nhiệm vụ sử dụng kiến ​​thức và kỹ năng thu được vào các hoạt động thực tiễn và cuộc sống hàng ngày. Nhiệm vụ số 2 bao gồm mô tả, sử dụng các hàm, các mối quan hệ thực tế khác nhau giữa các đại lượng và giải thích đồ thị của chúng. Nhiệm vụ số 2 kiểm tra khả năng trích xuất thông tin được trình bày dưới dạng bảng, biểu đồ, đồ thị. Sinh viên tốt nghiệp cần có khả năng xác định giá trị của một hàm số bằng giá trị của đối số với nhiều cách khác nhau để xác định hàm số và mô tả hành vi và tính chất của hàm số theo đồ thị của nó. Cũng cần có khả năng tìm được giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất từ ​​đồ thị hàm số và xây dựng đồ thị của các hàm số đã học. Những sai lầm mắc phải có tính chất ngẫu nhiên trong việc đọc điều kiện của bài toán, đọc sơ đồ.

# ADVERTISING_INSERT #

Ví dụ 2 Hình này cho thấy sự thay đổi giá trị trao đổi của một cổ phiếu của một công ty khai thác trong nửa đầu tháng 4 năm 2017. Ngày 7/4, vị doanh nhân này đã mua 1.000 cổ phiếu của công ty này. Vào ngày 10 tháng 4, anh ta bán 3/4 số cổ phiếu đã mua và vào ngày 13 tháng 4 anh ta bán tất cả những cổ phiếu còn lại. Doanh nhân đã mất bao nhiêu do kết quả của các hoạt động này?

Quyết định:

2) 1000 3/4 = 750 (cổ phiếu) - chiếm 3/4 tổng số cổ phiếu đã mua.

6) 247500 + 77500 = 325000 (rúp) - doanh nhân nhận được sau khi bán 1000 cổ phiếu.

7) 340.000 - 325.000 = 15.000 (rúp) - doanh nhân bị thua lỗ do tất cả các hoạt động kinh doanh.

Trả lời: 15000.

Nhiệm vụ số 3- là một nhiệm vụ thuộc mức độ cơ bản của phần thứ nhất, nó kiểm tra khả năng thực hiện các hành động với các hình dạng hình học theo nội dung của môn học "Phép đo phẳng". Nhiệm vụ 3 kiểm tra khả năng tính diện tích của một hình trên giấy kẻ ô vuông, khả năng tính toán số đo độ của các góc, tính chu vi, v.v.

Ví dụ 3 Tìm diện tích hình chữ nhật được vẽ trên giấy kẻ ô vuông có kích thước ô là 1 cm x 1 cm (xem hình vẽ). Đưa ra câu trả lời của bạn theo đơn vị cm vuông.

Quyết định:Để tính diện tích của hình này, bạn có thể sử dụng công thức Đỉnh:

Để tính diện tích của hình chữ nhật này, chúng ta sử dụng công thức Peak:

Ví dụ 4 Có 5 chấm đỏ và 1 chấm xanh trên hình tròn. Xác định đa giác nào lớn hơn: đa giác có tất cả các đỉnh màu đỏ hoặc đa giác có một trong các đỉnh màu xanh lam. Trong câu trả lời của bạn, hãy cho biết có bao nhiêu cái hơn cái kia.

Quyết định: 1) Chúng tôi sử dụng công thức cho số lượng kết hợp từ N các yếu tố của k:

tất cả các đỉnh có màu đỏ.

3) Một ngũ giác có tất cả các đỉnh màu đỏ.

4) 10 + 5 + 1 = 16 đa giác có tất cả các đỉnh màu đỏ.

có đỉnh màu đỏ hoặc với một đỉnh màu xanh lam.

có đỉnh màu đỏ hoặc với một đỉnh màu xanh lam.

8) Một hình lục giác có đỉnh màu đỏ và một đỉnh màu xanh.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 đa giác có tất cả các đỉnh màu đỏ hoặc một đỉnh màu xanh.

10) 42 - 16 = 26 đa giác sử dụng dấu chấm màu xanh lam.

11) 26 - 16 = 10 đa giác - có bao nhiêu đa giác, trong đó một trong các đỉnh là chấm xanh, nhiều hơn đa giác, trong đó tất cả các đỉnh chỉ có màu đỏ.

Trả lời: 10.

Nhiệm vụ số 5- Mức độ cơ bản của phần đầu kiểm tra khả năng giải các phương trình đơn giản nhất (vô tỉ, hàm mũ, lượng giác, logarit).

Ví dụ 5 Giải phương trình 2 3 + x= 0,4 5 3 + x .

Quyết định. Chia cả hai vế của phương trình này cho 5 3 + X≠ 0, chúng tôi nhận được

khi nào nó theo sau rằng 3 + x = 1, x = –2.

Trả lời: –2.

Nhiệm vụ số 6 trong phép đo planimetry để tìm các đại lượng hình học (độ dài, góc, diện tích), mô hình hóa các tình huống thực tế bằng ngôn ngữ hình học. Nghiên cứu các mô hình được xây dựng bằng cách sử dụng các khái niệm và định lý hình học. Nguồn gốc của những khó khăn, như một quy luật, là sự thiếu hiểu biết hoặc áp dụng sai các định lý cần thiết của phép đối xứng.

Diện tích hình tam giác ABC bằng 129. DE- đường trung tuyến song song với bên AB. Tìm diện tích của hình thang CÁI GIƯỜNG.

Quyết định. Tam giác CDE tương tự như một hình tam giác TAXIở hai góc, vì góc ở đỉnh C chung, góc CDE bằng góc TAXI như các góc tương ứng tại DE || ABđương căt AC. Như DE là đường trung trực của tam giác theo điều kiện thì theo tính chất của đường trung trực | DE = (1/2)AB. Vậy hệ số tương đồng là 0,5. Diện tích của các hình tương tự có liên quan với nhau như bình phương của hệ số tương tự, vì vậy

Vì thế, S ABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Nhiệm vụ số 7- Kiểm tra ứng dụng của đạo hàm vào việc nghiên cứu hàm số. Để thực hiện thành công, việc sở hữu khái niệm đạo hàm có ý nghĩa, không chính thức là cần thiết.

Ví dụ 7Đối với đồ thị của hàm y = f(x) tại điểm với abscissa x 0 Kẻ tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng đi qua các điểm (4; 3) và (3; -1) của đồ thị này. Tìm thấy f′( x 0).

Quyết định. 1) Hãy sử dụng phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước và tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm (4; 3) và (3; -1).

(y – y 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–y + 3 = –4x+ 16 | · (-một)

y – 3 = 4x – 16

y = 4x- 13, ở đâu k 1 = 4.

2) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến k 2 vuông góc với đường thẳng y = 4x- 13, ở đâu k 1 = 4, theo công thức:

3) Hệ số góc của tiếp tuyến là đạo hàm của hàm số tại tiếp điểm. Có nghĩa, f′( x 0) = k 2 = –0,25.

Trả lời: –0,25.

Nhiệm vụ số 8- Kiểm tra kiến ​​thức về hình học lập thể sơ cấp của những người tham gia kỳ thi, khả năng áp dụng các công thức để tìm diện tích bề mặt và thể tích của hình, góc nhị diện, so sánh thể tích của các hình tương tự, khả năng thực hiện các thao tác với các hình hình học, tọa độ và vectơ , vân vân.

Thể tích của một hình lập phương ngoại tiếp một hình cầu là 216. Tìm bán kính của hình cầu.

Quyết định. 1) V khối lập phương = một 3 (ở đâu một là độ dài của cạnh của hình lập phương), vì vậy

một 3 = 216

một = 3 √216

2) Vì hình cầu nội tiếp một hình lập phương nên có nghĩa là độ dài đường kính của hình cầu bằng độ dài cạnh của hình lập phương, do đó d = một, d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.

Nhiệm vụ số 9- Yêu cầu sinh viên tốt nghiệp biến đổi và đơn giản hóa các biểu thức đại số. Nhiệm vụ số 9 có mức độ phức tạp tăng lên với một câu trả lời ngắn. Các tác vụ từ phần "Tính toán và biến đổi" trong USE được chia thành nhiều loại:

các phép biến đổi của biểu thức số hữu tỉ;

các phép biến đổi biểu thức đại số và phân số;

các phép biến đổi của biểu thức số / chữ cái vô tỉ;

các hành động với mức độ;

phép biến đổi biểu thức logarit;

1. chuyển đổi các biểu thức lượng giác dạng số / chữ cái.

Ví dụ 9 Tính tgα nếu biết cos2α = 0,6 và

Quyết định. 1) Hãy sử dụng công thức đối số kép: cos2α = 2 cos 2 α - 1 và tìm

Do đó, tan 2 α = ± 0,5.

3) Theo điều kiện

do đó α là góc của phần tư thứ hai và tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

Trả lời: –0,5.

# ADVERTISING_INSERT # Nhiệm vụ số 10- Kiểm tra khả năng sử dụng kiến ​​thức và kỹ năng ban đầu của học sinh vào các hoạt động thực tiễn và cuộc sống hàng ngày. Chúng ta có thể nói rằng đây là những vấn đề trong vật lý, và không phải trong toán học, nhưng tất cả các công thức và đại lượng cần thiết đều được đưa ra trong điều kiện. Các nhiệm vụ được giảm xuống để giải một phương trình tuyến tính hoặc bậc hai, hoặc một bất phương trình tuyến tính hoặc bậc hai. Vì vậy, cần phải có khả năng giải các phương trình và bất phương trình đó, và xác định được đáp số. Câu trả lời phải ở dạng số nguyên hoặc phân số thập phân cuối cùng.

Hai vật thể khối lượng m= 2 kg mỗi người, chuyển động với cùng vận tốc v= 10 m / s với biên độ góc 2α so với nhau. Năng lượng (tính bằng jun) giải phóng trong quá trình va chạm hoàn toàn không đàn hồi của chúng được xác định bằng biểu thức Q = mv 2 sin 2 α. Các vật phải chuyển động ở góc 2α (tính bằng độ) nhỏ nhất nào để có thể giải phóng ít nhất 50 jun do va chạm?
Quyết định.Để giải quyết vấn đề, chúng ta cần giải bất phương trình Q ≥ 50, trên khoảng 2α ∈ (0 °; 180 °).

mv 2 sin 2 α ≥ 50

2 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 sin2α ≥ 50

Vì α ∈ (0 °; 90 °), chúng tôi sẽ chỉ giải quyết

Chúng tôi biểu diễn lời giải của bất phương trình bằng đồ thị:

Vì theo giả thiết α ∈ (0 °; 90 °), có nghĩa là 30 ° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Nhiệm vụ số 11- là điển hình, nhưng hóa ra lại khó đối với học sinh. Nguồn gốc của những khó khăn chính là việc xây dựng một mô hình toán học (vẽ một phương trình). Bài tập số 11 kiểm tra khả năng giải các bài toán đố.

Ví dụ 11. Trong kỳ nghỉ xuân, Vasya, học sinh lớp 11 phải giải 560 bài tập để chuẩn bị cho kỳ thi. Vào ngày 18 tháng 3, trong ngày cuối cùng của trường, Vasya đã giải được 5 bài toán. Sau đó mỗi ngày anh ta giải được cùng một số vấn đề nhiều hơn ngày hôm trước. Xác định xem Vasya đã giải quyết được bao nhiêu vấn đề vào ngày 2 tháng 4 vào ngày cuối cùng của kỳ nghỉ.

560 = (5 + một 16) 8,

5 + một 16 = 560: 8,

5 + một 16 = 70,

một 16 = 70 – 5

một 16 = 65.

Trả lời: 65.

Nhiệm vụ số 12- Kiểm tra khả năng thực hiện các thao tác của học sinh với hàm số, khả năng ứng dụng đạo hàm vào việc nghiên cứu hàm số.

Tìm điểm cực đại của hàm số y= 10ln ( x + 9) – 10x + 1.

Quyết định: 1) Tìm miền của hàm số: x + 9 > 0, x> –9, tức là x ∈ (–9; ∞).

2) Tìm đạo hàm của hàm số:

4) Điểm tìm được thuộc khoảng (–9; ∞). Chúng tôi xác định các dấu hiệu của đạo hàm của hàm và mô tả hoạt động của hàm trong hình:

Điểm tối đa mong muốn x = –8.

a) Giải phương trình 2log 3 2 (2cos x) - 5log 3 (2cos x) + 2 = 0

b) Tìm tất cả các nghiệm của phương trình này thuộc đoạn.

Quyết định: a) Cho log 3 (2cos x) = t, sau đó 2 t 2 – 5t + 2 = 0,

b) Tìm các rễ nằm trên đoạn.

Qua hình vẽ có thể thấy rằng đoạn thẳng đã cho có gốc là

Đường kính của đường tròn đáy của hình trụ là 20, đường sinh của hình trụ là 28. Mặt phẳng cắt các đáy của nó dọc theo các hợp âm có độ dài 12 và 16. Khoảng cách giữa các hợp âm là 2√197.

a) Chứng minh rằng tâm của các đáy của hình trụ nằm về cùng một phía của mặt phẳng này.

b) Tìm góc giữa mặt phẳng này và mặt phẳng đáy của hình trụ.

Quyết định: a) Một hợp âm có độ dài 12 cách tâm của vòng tròn cơ sở = 8, và hợp âm có độ dài 16, tương tự, ở khoảng cách 6. Do đó, khoảng cách giữa các hình chiếu của chúng trên một mặt phẳng song song với đáy của các hình trụ là 8 + 6 = 14 hoặc 8 - 6 = 2.

Khi đó khoảng cách giữa các hợp âm là

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

Theo điều kiện, trường hợp thứ hai được thực hiện, trong đó hình chiếu của các hợp âm nằm về một phía của trục của hình trụ. Điều này có nghĩa là trục không giao với mặt phẳng này bên trong hình trụ, tức là các đáy nằm về một phía của nó. Những gì cần được chứng minh.

b) Hãy biểu thị tâm của các cơ sở là O 1 và O 2. Chúng ta hãy vẽ từ trung tâm của cơ sở với hợp âm có độ dài 12 đường phân giác vuông góc với hợp âm này (nó có độ dài là 8, như đã lưu ý) và từ tâm của cơ sở khác đến hợp âm khác. Chúng nằm trong cùng một mặt phẳng β vuông góc với các hợp âm này. Hãy gọi trung điểm của hợp âm nhỏ hơn B, lớn hơn A và hình chiếu của A lên cơ sở thứ hai H (H ∈ β). Khi đó AB, AH ∈ β và do đó AB, AH vuông góc với dây cung tức là đường giao tuyến của mặt đáy với mặt phẳng đã cho.

Vì vậy, góc yêu cầu là

Nhiệm vụ số 15- mức độ phức tạp tăng lên với câu trả lời chi tiết, kiểm tra khả năng giải các bất đẳng thức, câu được giải thành công nhất trong số các nhiệm vụ với câu trả lời chi tiết có mức độ phức tạp tăng lên.

Ví dụ 15 Giải bất phương trình | x 2 – 3x| log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 .

Quyết định: Miền xác định của bất đẳng thức này là khoảng (–1; + ∞). Hãy xem xét ba trường hợp riêng biệt:

1) Để x 2 – 3x= 0, tức là X= 0 hoặc X= 3. Trong trường hợp này, bất đẳng thức này trở thành đúng, do đó, các giá trị này được đưa vào lời giải.

2) Hãy để bây giờ x 2 – 3x> 0, tức là x∈ (–1; 0) ∪ (3; + ∞). Trong trường hợp này, bất đẳng thức này có thể được viết lại dưới dạng ( x 2 – 3x) log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 và chia cho một biểu thức dương x 2 – 3x. Chúng tôi nhận được log 2 ( x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x≤ 0,5 -1 hoặc x≤ -0,5. Có tính đến miền định nghĩa, chúng tôi có x ∈ (–1; –0,5].

3) Cuối cùng, hãy xem xét x 2 – 3x < 0, при этом x∈ (0; 3). Trong trường hợp này, bất đẳng thức ban đầu sẽ được viết lại dưới dạng (3 x – x 2) log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2. Sau khi chia cho một biểu thức dương 3 x – x 2, chúng tôi nhận được log 2 ( x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x≤ 1. Có tính đến diện tích, chúng tôi có x ∈ (0; 1].

Kết hợp các dung dịch thu được, chúng ta thu được x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Trả lời: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Nhiệm vụ số 16- cấp độ nâng cao đề cập đến các nhiệm vụ của phần thứ hai với một câu trả lời chi tiết. Nhiệm vụ kiểm tra khả năng thực hiện các hành động với các hình dạng hình học, tọa độ và vectơ. Nhiệm vụ có hai mục. Trong đoạn đầu tiên, nhiệm vụ phải được chứng minh, và trong đoạn thứ hai, nó phải được tính toán.

Trong tam giác cân ABC có góc ở đỉnh A là 120 °, kẻ đường phân giác BD. Hình chữ nhật DEFH nội tiếp tam giác ABC sao cho cạnh FH nằm trên đoạn BC và đỉnh E nằm trên đoạn AB. a) Chứng minh rằng FH = 2DH. b) Tìm diện tích hình chữ nhật DEFH nếu AB = 4.

Quyết định: một)

1) ΔBEF - hình chữ nhật, EF⊥BC, ∠B = (180 ° - 120 °): 2 = 30 °, thì EF = BE do tính chất của chân đối diện với góc 30 °.

2) Cho EF = DH = x, thì BE = 2 x, BF = x√3 theo định lý Pitago.

3) Vì ΔABC là cân nên ∠B = ∠C = 30˚.

BD là tia phân giác của ∠B nên ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Xét ΔDBH - hình chữ nhật, vì DH⊥BC.

√3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF = 3 - √3

2) S DEFH = ED EF = (3 - √3) 2 (3 - √3)

S DEFH = 24 - 12√3.

Trả lời: 24 – 12√3.

Ví dụ 17. Khoản tiền gửi với số tiền 20 triệu rúp dự kiến ​​sẽ được mở trong bốn năm. Cuối mỗi năm, ngân hàng tăng lượng tiền gửi 10% so với quy mô đầu năm. Ngoài ra, vào đầu năm thứ ba và thứ tư, người gửi tiền hàng năm bổ sung tiền gửi bằng cách X triệu rúp, ở đâu X - trọn con số. Tìm giá trị cao nhất X, theo đó ngân hàng sẽ thêm ít hơn 17 triệu rúp vào khoản tiền gửi trong bốn năm.

Quyết định: Vào cuối năm đầu tiên, khoản đóng góp sẽ là 20 + 20 · 0,1 = 22 triệu rúp và vào cuối năm thứ hai - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 triệu rúp. Vào đầu năm thứ ba, khoản đóng góp (tính bằng triệu rúp) sẽ là (24,2 + X), và cuối cùng - (24,2 + X) + (24,2 + X) 0,1 = (26,62 + 1,1 X). Vào đầu năm thứ tư, đóng góp sẽ là (26,62 + 2,1 X) và ở cuối - (26,62 + 2,1 X) + (26,62 + 2,1X) 0,1 = (29,282 + 2,31 X). Theo điều kiện, bạn cần tìm số nguyên x lớn nhất mà bất phương trình

(29,282 + 2,31x) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình này là số 24.

Trả lời: 24.

Tại cái gì một hệ thống bất bình đẳng

có chính xác hai giải pháp?

Quyết định: Hệ thống này có thể được viết lại thành

Nếu chúng ta vẽ tập nghiệm của bất phương trình thứ nhất trên mặt phẳng, chúng ta nhận được phần bên trong của một đường tròn (có biên) bán kính 1 có tâm tại điểm (0, một). Tập nghiệm của bất phương trình thứ hai là phần mặt phẳng nằm dưới đồ thị của hàm số y = | x| – một, và cái sau là đồ thị của hàm
y = | x| , chuyển xuống bởi một. Nghiệm của hệ này là giao của các tập nghiệm của mỗi bất phương trình.

Do đó, hệ thống này sẽ chỉ có hai giải pháp trong trường hợp được chỉ ra trong Hình. một.

Các điểm tiếp xúc giữa đường tròn và đường thẳng sẽ là hai nghiệm của hệ. Mỗi đường thẳng nghiêng với trục một góc 45 °. Vì vậy, tam giác PQR- hình chữ nhật cân. Chấm Q có tọa độ (0, một), và điểm R- tọa độ (0, - một). Ngoài ra, các vết cắt PR và PQ bằng với bán kính hình tròn bằng 1. Do đó,

Để cho được sn Tổng P các thành viên của một cấp số cộng ( một p). Được biết rằng S n + 1 = 2N 2 – 21N – 23.

a) Đưa ra công thức P thành viên thứ của tiến trình này.

b) Tìm tổng môđun nhỏ nhất S n.

c) Tìm giá trị nhỏ nhất P, tại đó S n sẽ là bình phương của một số nguyên.

Quyết định: a) Rõ ràng, một = S n – S n- một . Sử dụng công thức này, chúng tôi nhận được:

S n = S (N – 1) + 1 = 2(N – 1) 2 – 21(N – 1) – 23 = 2N 2 – 25N,

S n – 1 = S (N – 2) + 1 = 2(N – 1) 2 – 21(N – 2) – 23 = 2N 2 – 25N+ 27

có nghĩa, một = 2N 2 – 25N – (2N 2 – 29N + 27) = 4N – 27.

B) bởi vì S n = 2N 2 – 25N, sau đó xem xét chức năng S(x) = | 2x 2 – 25x |. Đồ thị của cô ấy có thể được nhìn thấy trong hình.

Rõ ràng là giá trị nhỏ nhất đạt được tại các điểm số nguyên nằm gần nhất với các số không của hàm. Rõ ràng đây là những điểm. X= 1, X= 12 và X= 13. Kể từ, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = | 2 144 - 25 12 | = 12, S(13) = |S 13 | = | 2 169 - 25 13 | = 13 thì giá trị nhỏ nhất là 12.

c) Từ đoạn trước, nó tiếp nối rằng sn tích cực kể từ N= 13. Kể từ S n = 2N 2 – 25N = N(2N- 25), thì trường hợp hiển nhiên khi biểu thức này là một hình vuông hoàn hảo được nhận ra khi N = 2N- 25, tức là với P= 25.

Nó vẫn để kiểm tra các giá trị từ 13 đến 25:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13 S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 23 21, S 24 = 24 23.

Nó chỉ ra rằng đối với các giá trị nhỏ hơn P hình vuông đầy đủ không đạt được.

Trả lời: một) một = 4N- 27; b) 12; c) 25.

________________

* Kể từ tháng 5 năm 2017, nhóm xuất bản chung DROFA-VENTANA là một phần của Tổng công ty Sách giáo khoa Nga. Công ty cũng bao gồm nhà xuất bản Astrel và nền tảng giáo dục kỹ thuật số LECTA. Alexander Brychkin, tốt nghiệp Học viện Tài chính thuộc Chính phủ Liên bang Nga, ứng viên khoa học kinh tế, chủ nhiệm các dự án đổi mới của nhà xuất bản DROFA trong lĩnh vực giáo dục kỹ thuật số (các dạng sách giáo khoa điện tử, Trường học điện tử Nga, Giáo dục kỹ thuật số LECTA nền tảng) đã được bổ nhiệm làm Tổng giám đốc. Trước khi gia nhập nhà xuất bản DROFA, ông giữ chức vụ Phó Chủ tịch Phát triển Chiến lược và Đầu tư của tổ chức xuất bản EKSMO-AST. Ngày nay, Tổng công ty Xuất bản Sách giáo khoa Nga có danh mục sách giáo khoa lớn nhất được đưa vào Danh sách Liên bang - 485 tên sách (khoảng 40%, không bao gồm sách giáo khoa cho các trường giáo dưỡng). Các nhà xuất bản của tập đoàn sở hữu các bộ sách giáo khoa vật lý, vẽ, sinh học, hóa học, công nghệ, địa lý, thiên văn, được các trường học ở Nga yêu cầu nhiều nhất - những lĩnh vực kiến ​​thức cần thiết để phát triển tiềm năng sản xuất của đất nước. Danh mục đầu tư của công ty bao gồm sách giáo khoa và đồ dùng dạy học cho các trường tiểu học được trao Giải thưởng của Tổng thống về Giáo dục. Đây là những sách giáo khoa và sách hướng dẫn về các lĩnh vực chủ đề cần thiết cho sự phát triển của tiềm lực khoa học, kỹ thuật và công nghiệp của Nga.

Trong nhiệm vụ số 9 của phần SỬ DỤNG trong toán học ở cấp độ cấu hình, chúng ta cần chuyển đổi các biểu thức và thực hiện các phép tính cơ bản. Thông thường trong phần này có các biểu thức lượng giác, vì vậy để thực hiện thành công cần phải biết các công thức rút gọn và các phép đồng dạng lượng giác khác.

Phân tích các lựa chọn điển hình cho nhiệm vụ số 9 SỬ DỤNG trong toán học ở cấp độ hồ sơ

Phiên bản đầu tiên của nhiệm vụ (phiên bản demo 2018)

Tìm sin2α nếu cosα = 0,6 và π< α < 2π.

Giải thuật giải thuật:

1. Tìm giá trị sin của góc đã cho.
2. Ta tính giá trị của sin2α.
3. Chúng tôi viết ra câu trả lời.

Quyết định:

1. α nằm trong phần tư thứ ba hoặc thứ tư nên sin của góc âm. Hãy sử dụng nhận dạng lượng giác cơ bản:

2. Theo công thức sin của một góc kép: sin2α = 2sinαcosα = 2 ∙ (-0,8) ∙ 0,6 = -0,96

Đáp số: -0,96.

Phiên bản thứ hai của nhiệm vụ (từ Yaschenko, số 1)

Tìm nếu.

Giải thuật giải thuật:

1. Chúng ta biến đổi công thức tính cosin của một góc kép.
2. Chúng tôi tính cosin.
3. Chúng tôi viết ra câu trả lời.

Quyết định:

1. Ta biến đổi công thức tính côsin của một góc kép:

2. Tính cosin của góc mong muốn 2α, nhân với 25, thay vào giá trị đã cho của cosin của góc α

Phiên bản thứ ba của nhiệm vụ (từ Yaschenko, số 16)

Tìm giá trị của một biểu thức .

Giải thuật giải thuật:

1. Hãy nhìn vào biểu thức.
2. Chúng ta sử dụng các tính chất của hàm lượng giác để xác định giá trị của sin và côsin của các góc đã cho.
3. Ta tính giá trị của biểu thức.
4. Chúng tôi viết ra câu trả lời.

Quyết định:

1. Biểu thức là tích của các số và giá trị của các hàm số lượng giác của góc âm.

2. Hãy sử dụng các công thức:

3. Sau đó, chúng tôi nhận được:

Trả lời: -23.

Phiên bản thứ tư của nhiệm vụ (từ Yaschenko)

Tìm giá trị của biểu thức.

Giải thuật giải thuật:

1. Chúng ta phân tích biểu thức.
2. Chúng tôi biến đổi và đánh giá biểu thức.
3. Chúng tôi viết ra câu trả lời.

Quyết định:

1. Biểu thức chứa hai căn. Dưới gốc ở tử số là hiệu của các ô vuông. Để đơn giản hóa các phép tính, sự khác biệt của các bình phương có thể được tính bằng công thức nhân rút gọn.

Hãy xem xét các nhiệm vụ điển hình 9 OGE trong toán học. Chủ đề của nhiệm vụ 9 là thống kê và xác suất. Nhiệm vụ không khó ngay cả đối với một người không quen thuộc với lý thuyết xác suất hoặc thống kê.

Thông thường, chúng tôi được cung cấp một bộ đồ vật - táo, kẹo, cốc hoặc bất cứ thứ gì khác về màu sắc hoặc chất lượng khác. Chúng ta cần ước tính xác suất để một người trong số các đồ vật đó được giao cho một người. Nhiệm vụ được rút gọn để tính tổng số thứ, sau đó chia số thứ của lớp yêu cầu cho tổng số.

Vì vậy, chúng ta hãy chuyển sang việc xem xét các tùy chọn điển hình.

Phân tích các lựa chọn điển hình cho nhiệm vụ số 9 OGE trong toán học

Phiên bản đầu tiên của nhiệm vụ

Bà có 20 cái cốc: 6 cái bằng hoa màu đỏ, cái còn lại bằng cái màu xanh. Bà cụ rót trà vào một chiếc cốc được chọn ngẫu nhiên. Tìm xác suất để đó là một cái cốc có hoa màu xanh.

Quyết định:

Như đã đề cập ở trên, chúng tôi tìm thấy tổng số cốc - trong trường hợp này, nó được biết theo điều kiện - 20 cốc. Chúng ta cần tìm số cốc màu xanh:

Bây giờ chúng ta có thể tìm xác suất:

14 / 20 = 7 / 10 = 0,7

Phiên bản thứ hai của nhiệm vụ

Cửa hàng văn phòng phẩm bán 138 cái bút, trong đó 34 cái màu đỏ, 23 cái màu xanh lục, 11 cái màu tím, còn có xanh lam và đen, chia đều cho nhau. Tìm xác suất để nếu chọn ngẫu nhiên một cây viết thì chọn được bút đỏ hoặc bút đen.

Quyết định:

Đầu tiên chúng ta tìm số bút đen, để lấy tổng số màu này trừ đi tất cả các màu đã biết và chia cho hai, vì có số bút xanh và đen bằng nhau:

(138 - 34 - 23 - 11) / 2 = 35

Sau đó, chúng ta có thể tìm xác suất bằng cách cộng số đen và đỏ, chia cho tổng số:

(35 + 34) / 138 = 0,5

Phiên bản thứ ba của nhiệm vụ

Hãng taxi hiện có 12 xe miễn phí: 1 xe đen, 3 xe vàng và 8 xe xanh. Trong một cuộc gọi, một trong những chiếc xe đã rời đi, tình cờ gần khách hàng nhất. Tìm xác suất để một chiếc taxi màu vàng đến.

Quyết định:

Tìm tổng số ô tô:

Bây giờ chúng tôi ước tính xác suất bằng cách chia số lượng màu vàng cho tổng số:

Đáp số: 0,25

Phiên bản demo của OGE 2019

Trên đĩa là những chiếc bánh nướng, có hình thức giống hệt nhau: 4 chiếc với thịt, 8 chiếc với bắp cải và 3 chiếc với táo. Petya chọn ngẫu nhiên một chiếc bánh. Tìm xác suất để chiếc bánh có đầy táo.

Quyết định:

Một bài toán kinh điển trong lý thuyết xác suất. Trong trường hợp của chúng tôi, một kết quả thành công là một chiếc bánh táo. Có 3 chiếc bánh nướng với táo, và có tổng số những chiếc bánh nướng:

Xác suất lấy được một chiếc bánh táo là số chiếc bánh táo chia cho tổng số:

3/15 = 0,2 hoặc 20%

Lựa chọn thứ tư

Xác suất để một máy in mới sử dụng được hơn một năm là 0,95. Xác suất để nó tồn tại được hai năm trở lên là 0,88. Tìm xác suất để nó kéo dài ít hơn hai năm, nhưng không ít hơn một năm.

Quyết định:

Hãy giới thiệu ký hiệu của các sự kiện:

X - máy in sẽ kéo dài "hơn 1 năm";

Y - máy in sẽ kéo dài "2 năm trở lên";

Z - máy in sẽ kéo dài "ít nhất 1 năm, nhưng ít hơn 2 năm."

Chúng tôi phân tích. Các sự kiện Y và Z là độc lập, bởi vì loại trừ nhau. Sự kiện X vẫn sẽ xảy ra, tức là và khi sự kiện Y xảy ra và sự kiện Z xảy ra. Thật vậy, “hơn 1 năm” có nghĩa là cả “2 năm” và “hơn 2 năm”, và “ít hơn 2 năm, nhưng không dưới 1 năm”.

P (X) = P (Y) + P (Z).

Theo điều kiện, xác suất của sự kiện X (tức là “hơn một năm”) là 0,95, sự kiện Y (tức là “2 năm trở lên”) là 0,88.

Thay dữ liệu số vào công thức:

Chúng tôi nhận được:

Р (Z) = 0,95–0,88 = 0,07

P (Z) là sự kiện mong muốn.

Trả lời: 0,07

Tùy chọn thứ năm

Tại một bàn tròn trên 9 chiếc ghế, người ta xếp ngẫu nhiên 7 nam và 2 nữ. Tìm xác suất để các bạn nữ ở các nơi lân cận.

Quyết định:

Để tính xác suất, chúng tôi sử dụng công thức cổ điển của nó:

trong đó m là số kết quả thuận lợi cho sự kiện mong muốn, n là tổng số tất cả các kết quả có thể xảy ra.

Một trong hai cô gái (ngồi xuống trước) lấy một chiếc ghế ngẫu nhiên. Vậy có 9-1 = 8 cái ghế cho người kia ngồi. Những thứ kia. số tất cả các biến thể có thể có của các sự kiện là n = 8.

Cô còn lại phải lấy một trong 2 chiếc ghế liền kề với ghế của bạn thứ nhất. Chỉ một tình huống như vậy có thể được coi là một kết quả thuận lợi của sự kiện. Do đó, số kết quả thuận lợi là m = 2.

Chúng tôi thay thế dữ liệu vào công thức tính xác suất: